收稿日期：2013-11-05
基金项目：国家自然科学基金（51278221，51378076）
作者简介：周林华（1981-），男，博士，E-mail ：zhoulh@https://www.doczj.com/doc/ab8472161.html,
长春理工大学学报（自然科学版）
Journal of Changchun University of Science and Technology （Natural Science Edition ）
Vol.37No.2Apr.2014
第37卷第2期2014年4月
差分方程模型在交通流计算中的应用研究
周林华，胡宏华，梁辰，刘琪，李军，李延忠
（长春理工大学
理学院，长春130022）
摘
要：针对交通流计算中车道被占对道路通行能力的影响以及所导致的车辆排队长度等问题，本文给出了一种能快速计
算车辆排队长度的数学模型，且以此可以分析不同车道被占对道路实际通行能力的影响。首先明确道路实际通行能力的定义，并将车道被占后的时间离散化，然后根据车辆流动数量关系建立车辆排队长度的差分方程计算模型。通过实际视频资料的验证，利用差分方程模型计算的结果能很好地与实际情况相吻合。该研究结果能用于车道被占后，为上游路口车辆放行数量与放行方向等交通信号控制提供预判依据。关键词：交通流；差分方程；道路通行能力中图分类号：
U491.1+12
文献标识码：A
文章编号：1672-9870（2014）02-0117-07
Research on Difference Equation Model in Traffic Flow Calculation
ZHOU Linhua ，HU Honghua ，LIANG Chen ，LIU Qi ，LI Jun ，LI Yanzhong
（School of Science ，Changchun University of Science and Technology ，Changchun 130022）
Abstract ：In order to analyze the influence of an accident on the road capacity and calculate the vehicle queue length ，a mathematic model was provided ，which could quickly obtain the vehicle queue length.Firstly ，the definition of the actual road capacity is made sure ，and after the lane being occupied the time discretization is got ，then a difference equation model was proposed based on the quantitative relation of the vehicle.The feasibility of the difference equation model is verified by actual video data.The results could be used to provide basis of predictions of the vehicles release quantity and orientation in the upstream intersection when the lanes are occupied.Key words ：traffic flow ；difference equation ；road capacity
由于城市化进程的加快，交通问题日趋严重，因
此对于交通流问题的正确了解与分析成为解决交通问题的关键。交通流问题理论是分析研究道路上行人和机动车辆（主要为汽车）在个别或成列行动中的规律，探讨车流流量、流速和密度之间的关系，以求减少交通时间的延误，事故的发生和提高道路交通设施使用效率的理论。目前对此研究的方法主要有概率论方法，流体力学方法和动力学方法等，其中动力学方法［1］，即跟车理论，就是在交通流中追随前车的后车，假设其向前移动有某种规律性，据此可求得各车辆动力学状态的微分方程式。后两种方法使用较多，主要应用于道路服务水平与通行能力的评价，交通量与交通事故预测，交通信号控制和估算、消除
汽车排队长度等方面。
对道路实际通行能力给出了定义，然后利用差
分方程［2，
3］
建立了车辆排队长度的计算模型，进而可以讨论交通流问题中车道被占用对车辆排队长度的影响，为上游车辆放行数量与方向等交通信号控制提供预判依据；利用两个具体的视频材料对模型进行了验证分析，结果表明差分方程模型能很好的与实际情况吻合。
1
道路实际交通能力及车辆排队长度计算的数学建模
1.1道路实际通行能力
为了研究车道被占对道路实际通行能力的影
长春理工大学学报（自然科学版）2014年
响，分析了道路通行能力的变化过程。以往采用单
位时间内通过某横截面的标准车当量数作为对实际
通行能力的定义［4］。然而，当道路有交通事故发生
时，在事故横截面处的交通情况有时为通畅状态，有
时为拥堵状态，若仍然沿用通常定义并不合理。因
此，本文对单位时间内道路横断面处的实际通行能
力分为两种情况讨论，如下所示，各变量定义见表1。
单位时间内的道路实际通行能力ì
í
?
?
?
??
?
?
??
情况一：不发生交通拥堵
Q x=C b×N×F w×F hv×F p 情况二：发生交通拥堵
Q x=n
（n为单位时间内通过横断面的标准车当量）
表1上式中符号说明
C b N F w F hv P hv
E hv
F p 基本（理论）通行能力
单向车行道的车道数
车道宽度和侧向净宽对通行能力的修正系数
大型车对通行能力的修正系数
大型车交通量占总交通量的百分比
大型车换算成小客车的车辆换算系数
驾驶员条件对通行能力的修正系数，一般在0.9-1之间
1.2道路实际通行能力变化过程
当有车辆在道路上发生碰撞并占用了若干可通行的车道后，从车祸开始到车辆撤离期间，事故车辆影响了道路的正常通行能力，致使道路实际通行能力不断发生变化。为了研究不同车道被占对道路实际通行能力的影响，计算车辆排队长度，此处我们先明确道路实际通行能力的离散变化过程。
将从车辆发生碰撞开始到车辆撤离的时间以均等的间隔离散化，计算每个单位时间段内实际通行能力，从而可以得出整个时间段内的实际交通能力变化过程，具体实现方法如下。
第一步，时间离散化。将从车辆发生碰撞开始到车辆撤离的时间，均等的分为n份，分别记为t1,t2,?,t n。
第二步，测算第一个时间段t1的道路实际通行能力。根据该时间段内是否有交通拥堵分为两种情况处理，采用标准小汽车当量数计算换算车辆的标准车当量［4］。
1）情况一：当车辆正常通行时，实际通行能力可由文献［4］给出的方法计算得到（符号说明如表一所示）：
Q x=C b×N×F w×F hv×F p（1）其中，F=1/[1+P(E-1)]。
基本（理论）通行能力指在理想的道路和交通条件下，单位时间一个车道或一条道路某一路段通过小汽车最大数，是计算各种通行能力的基础。
2）情况二：当车辆处于拥堵状态时，实际通行能力由道路在该单位时间内通过横断面的实际标准车当量n1计算得到，即有
Q1=n1（2）第三步：测算第2个时间段t2的交通通行能力Q2。
……
第n步：测算第n个时间段t n的交通通行能力Q n。
最终，当有车辆在道路上发生碰撞时，在从车辆发生碰撞开始到车辆撤离的时间段t与道路实际通行能力Q即为对应关系。
1.3车辆排队长度计算模型
当道路发生堵塞时，等候车辆的排队长度能真实地反映出道路的实际通行能力。延续上一小节利用时间离散化的思想来处理车辆排队长度和路段上游车流量等之间的关系，本小节我们将根据离散动态系统的方法建立差分方程模型［5，6］。在单位时间内，车辆当前的排队长度等于上一个单位时间末的车辆排队长度与此单位时间段内的车辆排队长度之和。由于在各个车道中，车流量比例占最大值的车道对车辆排队长度起到决定作用，因而单位时间段内排队长度等于排队车辆数（上游车流量减去实际通行能力）乘以所有车道流量比例的最大值，再乘以车辆平均长度与车辆间的最小安全距离总长度之和。于是，我们可以得到计算车辆排队长度的离散化差分方程模型：
L n=L n-1+k[(R n-Q n)(l0+d)-d]（3）其中，L n-1与L n分别为第n-1和第n个时间段的车辆排队长度，k即为所有车道流量比例的最大值，其余符号说明见表2。
为了得到L n的最终计算公式，我们逐个时间段计算车辆排队长度：
第一步：第一个单位时间段内的车辆排队长度L1=L0+k[(R1-Q1)(l0+d)-d]（4）第二步：第二个单位时间段内的车辆排队长度L2=L1+k[(R2-Q2)(l0+d)-d]（5）……
第n步：第n个单位时间段内的车辆排队长度
L=L+k[(R-Q)(l0+d)-d]（6）
118
最终整理可得L n与初始车辆排队长度L0、上游车流量R n、所有车道流量比例中的最大值k等之间的关系式：
L n=L0+∑i=0n k[(R i+1-Q i+1)(l0+d)-d]（7）表2车辆排队长度公式中符号说明
L n R n Q n
l0
d a,b,c...
k 第n个单位时间时车辆排队长度
第n个单位时间时路段上游车流量
第n个单位时间时事故横断面实际通行能力通行车辆平均车长
通行车辆最小安全距离
每个车道的流量比例
所有车道流量比例中的最大值
2模型验证
本节我们利用两段实际交通事故视频资料（下面简记为视频一和视频二）检验差分方程模型的合理性。充分考虑事故所占车道的不同、事故持续时间、路段上游车流量等因素对道路实际通行能力的影响，计算交通事故路段车辆排队长度并与实际情况相比较。由于缺少相关专业软件对视频资料进行等时长车辆查数，本文采用慢速播放人工查数的办法处理视频资料，获得了视频资料中车辆直行与左右转弯的比例数，事故横断面以及上游路口在单位时间（10秒）内通过的车辆数，并换算为了标准单位。
2.1视频一交通事故横断面实际通行能力变化过程
视频一事故车辆占用二、三车道，每个车道的流量比例如图1所示，分别是21%，44%，35%，事故持续时间为20
分钟。
图1视频一事故道路情况
第一步，时间离散化。从事故发生到车辆撤离共约20分钟，由于上游路口路灯相位周期为30秒，为了降低路灯信号周期对进入事故发生车道车流量的影响，规定以10秒为单位时间，得到数据共85组，分别为t1,t2,...,t85。
第二步，测算第一个时间段t1的实际通行能力。时间段内，车辆正常通行，无拥堵状态，故该时间段内实际通行能力符合情况一：
Q1=C b×N×F w×F hv×F p=3.5pcu/10s（8）第三步，测算第二个时间t2段的实际通行能力。时间段内，车辆处于拥堵状态，故该时间段内实际通行能力符合情况二：
Q2=3pcu/10s（9）……
第八十五步，测算第85个时间t85段的实际通行能力
Q85=4.5pcu/10s（10）于是，所求通行能力变化过程可用表3表示。
表3实际通行能力随时间变化情况（pcu/h）
ti i=1 i=2 i=3 i=4 i=5 i=6 i=7 i=8 i=9 i=10 i=11 i=12 i=13 i=14 i=15 i=16 i=17实际通行能力
1260
1080
1260
1080
1440
1260
1440
1080
1440
1620
1080
1260
1080
1880
1880
1880
1880
ti
i=18
i=19
i=20
i=21
i=22
i=23
i=24
i=25
i=26
i=27
i=28
i=29
i=30
i=31
i=32
i=33
i=34
实际通行能力
2880
1800
1800
1620
1800
1440
1440
1260
1620
1260
1620
1440
1880
1260
1440
1440
1260
ti
i=35
i=36
i=37
i=38
i=39
i=40
i=41
i=42
i=43
i=44
i=45
i=46
i=47
i=48
i=49
i=50
i=51
实际通行能力
1440
1800
1620
1800
1620
1440
1440
1080
1260
1080
1080
1080
1080
1260
720
1080
1080
ti
i=52
i=53
i=54
i=55
i=56
i=57
i=58
i=59
i=60
i=61
i=62
i=63
i=64
i=65
i=66
i=67
i=68
实际通行能力
720
1260
1080
720
1080
1080
720
1260
1260
1080
720
1260
1080
1080
720
1080
1080
ti
i=69
i=70
i=71
i=72
i=73
i=74
i=75
i=76
i=77
i=78
i=79
i=80
i=81
i=82
i=83
i=84
i=85
实际通行能力
900
1080
720
720
1080
720
1260
1080
720
1080
1080
900
1080
1260
1080
1080
1080
第2期周林华，等：差分方程模型在交通流计算中的应用研究119
长春理工大学学报（自然科学版）2014年
为更加形象直观的描述实际通行能力的变化过程，可用Matlab 拟合出的函数图像拟合函数如图2
所示。
图2事故所处横断面实际通行能力随时间变化曲线
由图2对事故所处横断面实际通行能力的变化过程的拟合图形观察，认为该拟合出的函数模型可
以对视频一中发生事故期间的实际通行能力进行描述。从对拟合的图像分析来看，事故期间的实际通行能力变化符合三次函数的变化规律。由函数变化及对图像的分析可知，实际通行能力在0秒至200秒内成上升趋势，在200秒至700秒内成下降趋势，在700秒至900秒左右车辆撤离事故现场时成上升趋势。
2.2视频二交通事故横断面实际通行能力变化过
程及其与视频一的差异
图3视频二事故道路情况
视频二事故车辆占用一、二车道，事故发生地点与视频一在同一横断面，每个车道的流量比例如图
表4
事故位于外侧两道时实际通行能力随时间的变化数据（pcu/h ）
ti
i =1i =2i =3i =4i =5i =6i =7i =8i =9i =10i =11i =12i =13i =14i =15i =16i =17i =18i =19i =20i =21i =22i =23i =24i =25i =26i =27i =28i =29i =30i =31i =32i =33i =34i =35实际通行能力
180018001980180014401800180016201440126018001800180019801620180018001620144014401800180016201800180018001620198018001800180016201440180018001800ti i =37i =38i =39i =40i =41i =42i =43i =44i =45i =46i =47i =48i =49i =50i =51i =52i =53i =54i =55i =56i =57i =58i =59i =60i =61i =62i =63i =64i =65i =66i =67i =68i =69i =70i =71实际通行能力
180018001800180018001800162014401620180018001440180018001620144018001800180018001800180019801440180018001800180018001800180014401620198018001800
ti i =73i =74i =75i =76i =77i =78i =79i =80i =81i =82i =83i =84i =85i =86i =87i =88i =89i =90i =91i =92i =93i =94i =95i =96i =97i =98i =99i =100i =101i =102i =103i =104i =105i =106i =107实际通行能力
180018001980180014401800180016201620144014401620126018001800126016201080162018001440144010801440108012601080144012601080144012601440144010801260
ti i =109i =110i =111i =112i =113i =114i =115i =116i =117i =118i =119i =120i =121i =122i =123i =124i =125i =126i =127i =128i =129i =130i =131i =132i =133i =134i =135i =136i =137i =138i =139i =140i =141i =142i =143实际通行能力
10801080126010801440108010801080126090014401440108010801260144010801440108090012601080900108012601260900108010809001440108012601080900900
ti i =145i =146i =147i =148i =149i =150i =151i =152i =153i =154i =155i =156i =157i =158i =159i =160i =161i =162i =163i =164i =165i =166i =167i =168i =169i =170i =171i =172i =173i =174i =175i =176实际通行能力
12601080108012609007200540720720900900108090012601080720126010807201080900720126010801260108010801260126010801260
120
二所示，分别是21%，44%，35%，事故持续时间为30分钟。分析同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
第一步，采用第一问的整理方法建立模型，事故所处横断面的实际通行能力随时间的变化数据如表4所示。
第二步，分析视频二和视频一在同一横断面交通事故所占车道不同对该横断面实际通行能力影响的差异。
为更加形象直观的描述实际通行能力的变化过程，可用Matlab 拟合出的函数图像，如图4
所示。
图4实际通行能力随时间变化曲线
由图4对事故所处横断面实际通行能力的变化过程的拟合图形观察，根据拟合图像分析，可知事故期间的实际通行能力变化符合二次方程，实际通行能力在0秒至400秒内成上升趋势，在400秒至1400
秒内成下降趋势，在1400秒至1800秒左右车辆撤离事故现场时成上升趋势。
将图2与图4进行比较，可以得出以下结论：
（1）视频一在事故发生10秒是车辆第一次开始排队，视频二在事故发生34秒时车辆第一次开始排队；（2）视频一在事故期间最大车辆排队长度为190米，视频二在事故期间最大车辆排队长度为200米；（3）视频二中的实际通行能力比视频一中的实际通行能力强9.01%左右。结合图2的变化趋势，可计算出视频一的实际通行能力的期望为1062.58pcu/h ，视频二的实际通行能力的期望为1276.38pcu/h ，可知视频二中的实际通行能力比视频一中的实际通行能力强9.01%左右；
（4）视频一中事故车辆所占车道为二、三车道，视频二中事故车辆所占车道为一、二车道。当事故发生时，事故车辆占了两个车道，那么只留下一个车道供其余车辆通行，原来在被占车道行驶的车辆必须变道通过，此时就会降低可行车道单位时间内可通行的标准车当量，即降低该车道的实际通行能力；
（5）下游路口右转流量比例为21%，直行流量比例为44%，左转流量比例35%，视频一中事故车辆占用直行和左转的车道，需要变道的车流量占总车流量的79%；视频二中事故车辆占用直行和右转的车
道，需要变道的车流量占总车流量的65%，根据实际情况，视频一中需要变道的车流量比视频二中要多，故视频一中所占车道降低实际通行能力的程度比视频二中大。
2.3车辆排队长度理论计算及其与实际情况对比
在视频一事故车辆未撤离期间，车辆排队长度不断发生变化。利用第二部分所建立的差分方程模
表5
视频一车辆实际排队长度随时间变化情况
ti
i =1i =2i =3i =4i =5i =6i =7i =8i =9i =10i =11i =12i =13i =14i =15
实际车辆排队长度
1029287847792127132158139144128908590
ti i =16i =17i =18i =19i =20i =21i =22i =23i =24i =25i =26i =27i =28i =29i =30
实际车辆排队长度
798090112124140134137125765978817393
ti
i =31i =32i =33i =34i =35i =36i =37i =38i =39i =40i =41i =42i =43i =44i =45
实际车辆排队长度
1111321501431391209086858084110132144153
ti i =46i =47i =48i =49i =50i =51i =52i =53i =54i =55i =56i =57i =58i =59i =60
实际车辆排队长度
1301401379870928692123138145155149150144
ti i =61i =62i =63i =64i =65i =66i =67i =68i =69i =70i =71i =72
实际车辆排队长度
93927681107118150162147152130139
第2期周林华，等：差分方程模型在交通流计算中的应用研究
121
长春理工大学学报（自然科学版）2014年
型，结合实际的事故持续时间，可以得到理论车辆排队长度。同时，可以通过视频一的车辆实际排队长度（见表5）与理论车辆排队长度作对比，以检验差分方程模型的合理性。
L n =L 0+∑i =0n
k [(R i +1-Q i +1)(l 0+d )-d ]（11）
其中，车辆平均车长l 0取为4米，通行车辆最小安全距离d 为1.5米，
车道修正系数k 为三条车道中流量比例的最大值0.44，R i +1为视频一上游车流量所得数据（见表6），Q i +1为视频一的实际通行能力（见表3）。用Microsoft Visual C++6.0进行编程，得到理论上的车辆排队长度随事故发生时间变化的数据（见表7）。将表5的实际长度与表7的理论长度做对比，可算出平均相对误差仅仅约为5.9%，这说明
我们建立的差分方程模型可以合理估算车辆排队长度。
显然，由于l 0+d 为常数，说明L n 与R i +1及Q i +1均呈线性关系。当实际通行能力为定值时，车辆排队长队随上游车流量增长而增长；而当上游车流量为定值时，车辆排队长队随实际通行能力增长而减小。
3结论
以上研究表明差分方程模型能在交通流计算中
得到有效应用。尤其可以计算道路发生拥堵时，车
辆排队长度何时能到达上游路口。例如，假设视频一中路段下游方向需求不变，路段上游车流量为1500pch/h ，事故发生时车辆初始排队长度为零，且
表6
上游车流量随时间变化情况
ti
i =1i =2i =3i =4i =5i =6i =7i =8i =9i =10i =11i =12i =13i =14i =15
事故路段上游车流量
13935111157104
ti
i =16i =17i =18i =19i =20i =21i =22i =23i =24i =25i =26i =27i =28i =29i =30
事故路段上游车流量
6.501034410375.550
ti
i =31i =32i =33i =34i =35i =36i =37i =38i =39i =40i =41i =42i =43i =44i =45
事故路段上游车流量
2672103874.50028
ti
i =46i =47i =48i =49i =50i =51i =52i =53i =54i =55i =56i =57i =58i =59i =60
事故路段上游车流量
311295001310520
ti
i =61i =62i =63i =64i =65i =66i =67i =68i =69i =70i =71i =72
事故路段上游车流量
1571101757.51
表7
理论车辆排队长度随时间变化情况
ti
i =1i =2i =3i =4i =5i =6i =7i =8i =9i =10i =11i =12i =13i =14车辆排队长度
9588881021021009793859010097908883
ti i =16i =17i =18i =19i =20i =21i =22i =23i =24i =25i =26i =27i =28i =29车辆排队长度
8895888883838588858178788895102
ti
i =31i =32i =33i =34i =35i =36i =37i =38i =39i =40i =41i =42i =43i =44车辆排队长度
979797107119122122117117129141146139131129
ti i =46i =47i =48i =49i =50i =51i =52i =53i =54i =55i =56i =57i =58i =59车辆排队长度
139153156153148143158158151143141139151158156
ti i =61i =62i =63i =64i =65i =66i =67i =68i =69i =70i =71i =72
车辆排队长度
148143134134141136134129124131141136
122
事故持续不撤离，则从事故发生开始，经过6min50s，车辆排队长度将到达距离事故发生点140米的上游路口。因此，交通管理部门应该在6min50s内赶赴现场疏散拥堵的交通，或是控制上游交通信号灯以减少进入事故路段的车辆。
一般地，若已知事故所处横断面距上游路口的长度L，通过差分方程模型可以计算出车辆排队长度达到上游路口需要的时间T。为了避免车辆排队达到上游路口造成严重的交通阻塞，甚至出现区域性拥堵，可以在T这个时间段内适量调节上游路口的交通信号灯的相位，减缓事故所处横断面的通行压力，保证车辆的顺利通行，同时不会对上游路口别的道路的实际通行能力有较大的影响。对于占道施工、设计道路渠化方案、设置路边停车位和设置非港湾式公交车站等，本文方法也可以提供重要的信
息，因此具有广泛的实际意义。
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内流体流经弯头、三通及变径处时压力变化较大，并存在较明显的回流，压降升高，说明排汽管道整体布置及局部结构存在不合理的现象。
2结论
各支管流量分配不均匀，影响到空冷凝汽器的运行效率，特别是北方的冬季局部支管的蒸汽流量较少容易引起排汽管道局部冻结，从而影响到空冷机组运行的可靠性和安全性；由于排汽管道整体布置及局部结构不合理，流体流动的速度方向时常改变，会形成涡流，造成能量的耗散，压降升高，能量损失变大，从而造成机组运行经济性变低。针对以上问题，本文提出改进措施如下：优化排汽管道的整体布置方式，可将主管道移动到整个排汽管道中间位置；可在支管2、支管3以及支管4入口处加装导流叶片，优化导流叶片的细部结构及局部叶片数量，均
流减阻，达到提高机组整体运行经济性以及可靠性的目的。
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（上接第116页）
第2期周林华，等：差分方程模型在交通流计算中的应用研究123
差分方程模型 一. 引言 数学模型按照离散的方法和连续的方法，可以分为离散模型和连续模型。 1. 确定性连续模型 1) 微分法建模(静态优化模型)，如森林救火模型、血管分支模型、最优价格模型。 2) 微分方程建模(动态模型)，如传染病模型、人口控制与预测模型、经济增长模型。 3) 稳定性方法建模(平衡与稳定状态模型)，如军备竞赛模型、种群的互相竞争模型、种群的互相依存模型、种群弱肉强食模型。 4) 变分法建模（动态优化模型），如生产计划的制定模型、国民收入的增长模型、渔业资源的开发模型。 2. 确定性离散模型 1) 逻辑方法建模，如效益的合理分配模型、价格的指数模型。 2) 层次分析法建模，如旅游景点的选择模型、科研成果的综合评价模型。 3）图的方法建模，如循环比赛的名次模型、红绿灯的调节模型、化学制品的存放模型。 4）差分方程建模，如市场经济中的蛛网模型、交通网络控制模型、借贷模型、养老基金设置模型、人口的预测与控制模型、生物种群的数量模型。 随着科学技术的发展，人们将愈来愈多的遇到离散动态系统的问题，差分方程就是建立离散动态系统数学模型的有效方法。 在一般情况下，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相适应，当时间变量离散化以后，可以用差分方程建立动态离散模型。有些实际问题既可以建立连续模型，又可建立离散模型，究竟采用那种模型应视建模的目的而定。例如，人口模型既可建立连续模型(其中有马尔萨斯模型Malthus、洛杰斯蒂克Logistic模型)，又可建立人口差分方程模型。这里讲讲差分方程在建立离散动态系统数学模型的的具体应用。
二. 差分方程简介 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的数学模型也是离散的，譬如，像政治、经济和社会等领域中的实际问题。有些时候，即使所建立的数学模型是连续形式，例如像常见的微分方程模型、积分方程模型等。但是，往往都需要用计算机求数值解。这就需要将连续变量在一定的条件下进行离散化，从而将连续型模型转化为离散型模型。因此，最后都归结为求解离散形式的差分方程解的问题。关于差分方程理论和求解方法在数学建模和解决实际问题的过程中起着重要作用。 1. 差分方程的定义 给定一个数列{}n x , 把数列中的前1+n 项i x ),,2,1,0(n i Λ=关联起来得到的方程，则称这个方程为差分方程。 2. 常系数线性齐次差分方程 常系数线性齐次差分方程的一般形式为 02211=++++---k n k n n n x a x a x a x Λ， (1) 或者表示为 0),,,,(1=++k n n n x x x n F Λ (1’) 其中k 为差分方程的阶数，其中k a a a ,,,21Λ为差分方程的系数，且0≠k a )(n k ≤。 对应的代数方程 02211=++++--k k k k a a a Λλλλ (2) 称为差分方程(1)的对应的特征方程。(2)式中的k 个根k λλλ,,,21Λ称为(1)式的特征根。 2.1 差分方程的解 常系数线性齐次差分方程的解主要是由相应的特征根的不同情况有不同的形式。下面分别就特征根为单根、重根和复根的情况给出方程解的形式。 2.1.1 特征根为单根(互不相同的根) 设差分方程(1)有k 个单特征根(互不相同的根)k λλλ,,,21Λ，则
第7章 差分方程模型 7.1 市场经济中的蛛网模型 7.3 差分形式的阻滞增长模型 7.4 按年龄分组的种群增长 §7.1 市场经济中的蛛网模型 例1 蛛网模型问题 [问题的提出] 蛛网模型现象 供大于求 -> 价格下降 -> 减少产量 ↑ 数量与价格在振荡 ↓ 增加产量 <- 价格上涨 <- 供不应求 提出的问题 1.描述商品数量与价格的变化规律 2.商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定 3.当不稳定时政府能采 取什么干预手段使之稳定 [模型分析与假设] 蛛网模型 设 k x ~第k 时段商品数量； k y ~第k 时段商品价格 消费者的需求关系 → 需求函数 ) (k k x f y = → 减函数 生产者的供应关系 → 供应函数 ) (1k k y h x =+ → 增函数 ↓ ) (1+=k k x g y f 与 g 的交点P0(x0,y0) ~ 平衡点 一旦xk=x0，则yk=y0 xk+1,xk+2,…=x0, yk+1,yk+2, …=y0 y x0 y0
方程模型 在P0点附近用直线近似曲线 ) (k k x f y =→ ) 0()(00>--=-ααx x y y k k ) (1k k y h x =+→ ) 0()(001>-=-+ββy y x x k k )(001x x x x k k --=-+αβ )()(0101x x x x k k --=-+αβ 1<αβ )/1(βα< → 0x x k → P0稳定 g f K K < 1>αβ )/1(βα> → ∞→k x P0不稳定 g f K K > 方程模型与蛛网模型的一致 f K =α g K =β/1 [模型的求解] 考察α ,β 的含义 xk~第k 时段商品数量；yk~第k 时段商品价格 ) (00x x y y k k --=-α α~ 商品数量减少1单位, 价格上涨幅度 ) (001y y x x k k -=-+β β~ 价格上涨1单位, (下时段)供应的增量 α~ 消费者对需求的敏感程度 α小, 有利于经济稳定 β~ 生产者对价格的敏感程度 β小, 有利于经济稳定 → 1<αβ 经济稳定 经济不稳定时政府的干预办法 1. 使α尽量小，如α=0 → 需求曲线变为水平 → 以行政手段控制价格不变 2. 使β尽量小，如β =0 → 供应曲线变为竖直 → 靠经济实力控制数量不变 x y 0 y0 g f x y 0 x0 g f
分类号 学号密题 目 （中、英文） 作者姓名 指导教师 学科门类 提交论文日期专业名称 成绩评定 数学与应用数学 理 学
咸阳师范学院2016届本科毕业设计（论文） 摘要 微分方程是研究数学的一个重要分支，是本科期间我们必须掌握的基本知识，而本文我们研究的是一个递推关系式，也称差分方程。它是一种离散化的微分方程，是利用描述客观事物的数量关系的一种重要的数学思想来建立模型的。而利用差分方程建立模型解决问题的方法在生活中随处可见，比如在自由竞争市场经济中的蛛网模型是利用差分方程分析经济何时趋于稳定，又如金融问题中的养老保险也是利用差分方程来分析保险品种的实际投资价值。而差分方程模型是描述客观世界中随离散时间变量演化规律的有力建模工具。本文首先给出差分方程的定义以及求解过程并给出判断差分方程稳定性的判断方法，随后以同一环境下的羊群和草群的相互作用为模型分析其种群的数量变化过程，进而研究线性差分方程的稳定性，最后用一个实际模型来更好的说明差分方程的稳定性对解决实际问题有非常大的帮助。 关键字：差分方程；差分方程模型；平衡点；稳定性
差分方程模型的稳定性分析 Abstract Difference equation is also called recursive equation, it is to describe the relationship between the number of objective things of a kind of important mathematical model. And the use of the differential equation model of the solution can be found everywhere in life. Such as cobweb model in the free market economy is to use the difference equation analysis when the economic stability, and as the financial problem of pension insurance breed difference equation is used to analysis the actual investment value. This paper gives the judge the stability of difference equation to judge method, then in the same group of sheep and grass under the environment of interaction analysis for the model a process, the number of the population change, in turn, study the stability of the linear difference equation. In the end, one practical model to better explain the stability of difference equation. Key words:Difference equation;Difference equation model ; Balance point; Stability
1. 一老人60岁时将养老金10万元存入基金会，月利率0.4%， 他每月取1000元作为生活费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？ 分析：(1) 假设k 个月后尚有 k A 元，每月取款b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款， 根据题意，建立如下的差分方程： 1k k A aA b +=-，其中a = 1 + r (1) 每岁末尚有多少钱,即用差分方程给出 k A 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时 0k A =由（1）可得： 01 k k k a A A a b r -=- 若0n A =，01 n n A ra b a =- (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝(80-60)*12=240 时， 240 0A =，240 02401 A ra b a =- 利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2)用MA TLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240
思考与深入： (2) 结论：128个月即70岁8个月时将基金用完 (3) A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80岁，60岁时应存入15.409万元。 2. 某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10万元，月利率0.5%，他每月还1000元。建立差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要10年还清，每月需还多少？ 分析：记第k个月末他欠银行的钱为x（k），月利率为r，且a=1+r，b为每月还的钱。则第k+1个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2… 在r=0.005 及x0=100000 代入，用MA TLAB 计算得结果。 编写M 文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MATLAB计算并作图: k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000元，则需要11年7个月还清。 如果要10年即n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MA TLAB 计算如下： >> x0=100000; >> r=0.005; >> n=120; >> b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10年还清，则每年返还1110.2元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为1r，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为1a；猫头鹰的年平均减少率为
第七章 差分方程模型 教学目的：通过经济学中蛛网模型的实例讨论，介绍一类动态离散模型------差分方程模型的 建模方法. 教学要求：1 让学生学会运用差分思想建立数学模型的基本方法，进一步熟悉数学建模的基 本过程. 2使学生掌握运用解析方法或数学软件求解差分方程模型. 3帮助学生运用差分方程的平衡点及其稳定性有关理论来分析实际问题. 教学重点：1蛛网模型的图形描述，并通过建立差分方程模型对其进行理论解释. 2运用差分思想建立数学模型和求出模型解析表达式或数值解. 教学难点：1差分方程在稳定点附近有关稳定条件的实际意义. 2差分方程在稳定点附近有关稳定条件的推广. 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具.下面我们对差分方程作一简单的介绍. §7.1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数.记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y -=?+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +-=?-?=??=?+++1212 2)(为t y 的二阶差分.类似地， 可以定义t y 的n 阶差分t n y ?. 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶.差分方程也可以写成不显含差分的形式.例如，二阶差分方程 02=+?+?t t t y y y 也可改写成012=+-++t t t y y y . 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解.类似于微分方程情况，若解中含有的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解.若解中不含任意常数，则称此 解为满足某些初值条件的特解. 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++-++ （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10 是常数，00≠a .其对应的齐次方程为 0110=+++-++t n t n t n y a y a y a （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则) 2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的解，其 中21,c c 为任意常数.若)1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则)2()1(t t t y y y +=也是
差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易
第七章线性差分方程模型的辨识 根据对过程的初步分析，可以是先提出一个结构已定的参数模型来描述过程的动态特性，而模型中有一些参数需要通过辨识来加以确定，像这样的辨识问题称为参数估计问题，最小二乘法是很常用的估计方法。 线性差分方程模型的最小二乘估计 首先讨论一种较简单的情况，即无噪声或噪声较小的情况，这样可以应用一般最小二乘估计模型参数，但是对于噪声较大的情况，采用一般最小二乘法估计通常是有偏差的，需要应用更加复杂的算法，如广义最小二乘法。 辨识问题的提法 设被辨识的动态系统，可用如下n阶常系数线性差分方程描述： y(k) + a^y(Jc—1) + ?? - a n y(k— n) = bju(k) + biu(k— 1) ---------- 卜b n u(k— n) 系统方程也写成如下算子形式： A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k), 其中， = 14- fliQ-1 + a2q~2+ …+ 如厂"，B(q_1) = 14- bq_1 + ①厂？H ------------- F bq~n, 辨识问题的提法，已知： (1)由方程描述的系统都是稳定的。 (2)系统的阶是n阶。 (3)输入输出观测数据{u (k) },{y(k)}(k“,2,...,N+n), 要求根据上述己知条件来估计差分方程的参数： a】, b](i = 1,2, ???N + n), 参数最小二乘估计的慕本思根是，选择 b x(i = 1,2, ...N + n), 使得系统方程尽可能好的与观测数据拟合，考虑到模型误差测最误差，模型方程改为： A(q")y(k) = B(q_1)u(k) + e(k), 其中，e(約称为模型残差，乂称方程误差。 现在的问题就是决定A(q"), B(g")的系数，是e2最小 最小二乘估计 将下式 A(q_1)y(k) = B(q_1)u(k) + e(k\ 改成以下形式
第九章 差分方程模型的理论和方法 引言 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模： 在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而 建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。 第一节 差分方程的基本知识 一、 基本概念 1、 差分算子 设数列{}n x ，定义差分算子n n n x x x -=??+1:为n x 在n 处的向前差分。 而1--=?n n n x x x 为n x 在n 处的向后差分。 以后我们都是指向前差分。 可见n x ?是n 的函数。从而可以进一步定义n x ?的差分： n n x x 2)(?=?? 称之为在n 处的二阶差分，它反映的是的增量的增量。 类似可定义在n 处的k 阶差分为：
第七章 差分方程模型 差分方程是解决离散时间问题的常用的数学方法，本章介绍几个用差分方程建立的实际问题的数学模型。 7.1个人住房抵押贷款 随着经济的发展,金融问题正越来越多地进入普通市民的生活，贷款、保险、养老金和信用卡等都涉及金融问题，个人住房抵押贷款是其中最重要的一项。1998年12月,中国人民银行公布了新的存、贷款利率水平,其中贷款利率如表7.1所列: 表7.1 中国人民银行贷款利率表 贷款期限 半年 一年 三年 五年 五年以上 利率﹪ 6.12 6.39 6.66 7.20 7.56 当贷款期处于表中所列相邻年限之间时利率为对应相邻两数中较大者。其后,上海商业银行对个人住房商业性贷款利率做出相应调整。表7.2和表7.3分别列出了上海市个人住房商业抵押贷款年利率和商业抵押贷款(万元)还款额的部分数据(仅列出了五年)。 表7.2 上海市商业银行住房抵押贷款利率表 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 利率﹪ 6.12 6.255 6.390 6.525 6.660 表7.3 上海市商业银行住房抵押贷款分期付款表（元） 贷款期限 一年 二年 三年 四年 五年 月还款 一次还清 本息总和 10612.0 444.36 10664.54 305.99 11015.63 237.26 11388.71 196.41 11784.71 一个自然的问题是,表7.2和表7.3是如何依据中央人民银行公布的存、贷款利率水平制定的？ 我们以商业贷款10000元为例,一年期贷款的年利率为6.12﹪,到期一次还本付息总计10612.00元,这很容易理解。然而二年期贷款的年利率为6.255﹪,月还款数444.36元为本息和的二十四分之一,这后两个数字究竟是怎样产生的？是根据本息总额算出月还款额，还是恰好相反？让我们稍微仔细一些来进行分析。由于贷款是逐月归还的,就有必要考察每个月欠款余额的情况。 设贷款后第k 个月时欠款余额为k A 元，月还款m 元,则由k A 变化到1k A +,除了还款额外,还有什么因素呢？无疑就是利息。但时间仅过了一个月,当然应该是月利率,设为r ,从而得到 1k k k A A rA m +-=-
第7章 差分方程模型 在第三章中我们看到，动态连续模型用微分方程方法建立，与此相应，当时间变化离散后，可以用差分方程方法建立。有些实际问题既可建立连续模型，又可建立离散模型。本章将主要讨论差分方程模型。 7.1市场经济中的蛛网模型 在自由贸易市场上你注意过这样的现象吗：一个时期以来某种消费品如肉的上市量远大于需求，由于销售不畅导致价格下跌，生产者发现养猪赔钱，于是转而经营其他农副业。这一段时间猪肉上市量就会大减，供不应求将导致价格上涨。生产者看到有利可图，有重操旧业。这样在下一个时期会重现供大于求、价格下降的局面、在这种没有外界干预的情况下，这种现象将如此循环下去。 在完全自由竞争的市场经济中上述现象通常是不可避免的，因为商品的价格是由消费者的需求关系决定的，商品数量越多价格越底，而下一时期商品的数量有生产者的需求关系决定的，商品的价格越低生产的数量越少，这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。在现实世界里这样的振荡会出现不同的形式，有的振荡渐小趋向平稳，有的则振幅越来越大，没有外界如政府的干预，将导致经济崩溃。 本节先用图形方法建立所谓“蛛网模型”，对上述现象进行分析，给出市场经济区域稳定的条件，再利用差分方程建模，对结果进行解释，并讨论当市场经济不稳定时政府可以采取什么样的干预措施，最后对上述模型做适当推广。 蛛网模型 记第k 时段商品的数量为k x ，价格为k y ，1,2,3,k = 这里我们把时间离散化为时段，1个时段相当于商品的1个生产周期，如蔬菜、水果是一个种植周期，肉类是牲畜的饲养周期。 同一时段商品的价格k y 取决于数量k x ，设 ()k k y f x = (1) 它反映消费者对这种商品的需求关系，称需求函数，因为商品的数量越多价格越低，所以在图1中用一条下降曲线f 表示它，f 称需求曲线。 下一时段商品的数量1k x +由上一时段价格k y 决定，设 1()k k x h y +=,或1()k k y g x += (2) 这里g 是h 的反函数，反映生产者的供应关系，称供应函数，因为价格越高生产量越大，所以在图中供应曲线g 是一条上升的曲线。 图中两条曲线相较于00,0()p x y 点。0p 点是平衡点，其意义是，一旦在某一时段k 有k x =0x ，则有（1），（2）可知k y =0y ，1k x +=0x ，1k y +=0y ，……，即k 以后各时段商品的数量和价格将永远保持在00,0()p x y 点，但是实际生活中的种种干扰使得数量和价格不可能停止在0p 点，不妨设1x 偏离0x （如图7-1），我们分析随着k 的增加k x ，k y 的变化。
1. 一老人 60 岁时将养老金 10 万元存入基金会，月利率 0.4%， 他每月取 1000 元作为生活 费，建立差分方程计算他每岁末尚有多少钱？多少岁时将基金用完？如果想用到 80 岁，问 60 岁时应存入多少钱？ 分析： (1) 假设 k 个月后尚有 A k 元，每月取款 b 元，月利率为 r ，根据题意，可每月取款， 根据题意，建立如下的差分方程： A k 1 aA k b ，其中 a = 1 + r 每岁末尚有多少钱 ,即用差分方程给出 A k 的值。 (2) 多少岁时将基金用完，何时 A k 0 由（ 1）可得： A A a k b a k 1 k 0 r n 若 A n 0 ， b A 0 ra n a1 (3) 若想用到 80 岁，即 n ＝ (80-60)*12=240 时， A 240 0 ， b A 0 ra 240 (1) 240 利用 MATLAB 编程序分析计算该差分方程模型，源程序如下： clear all close all clc x0=100000;n=150;b=1000;r=0.004; k=(0:n)'; y1=dai(x0,n,r,b); round([k,y1']) function x=dai(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)-b; end (2) 用 MATLAB 计算： A0=250000*(1.004^240-1)/1.004^240 a 1
思考与深入： (2)结论： 128 个月即 70 岁 8 个月时将基金用完 (3)A0 = 1.5409e+005 结论：若想用到80 岁， 60 岁时应存入15.409 万元。 2.某人从银行贷款购房，若他今年初贷款10 万元，月利率 0.5%，他每月还 1000 元。建立 10 年还清，每月需还多差分方程计算他每年末欠银行多少钱，多少时间才能还清？如果要 少？ 分析：记第k 个月末他欠银行的钱为 x（ k），月利率为r，且a=1+r，b 为每月还的钱。则第k+1 个月末欠银行的钱为 x(k+1)=a*x(k)+b，a=1+r，b=-1000，k=0，1，2? 在r=0.005 及 x0=100000 代入，用 MATLAB 计算得结果。 编写M文件如下: function x=exf11(x0,n,r,b) a=1+r; x=x0; for k=1:n x(k+1)=a*x(k)+b; end MATLAB 计算并作图 : k=(1:140)'; y=exf11(100000,140,0.0005,-1000); 所以如果每月还1000 元，则需要11 年 7 个月还清。 如果要 10 年即 n=120 还清，则模型为： r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] 用MATLAB 计算如下： >>x0=100000; >>r=0.005; >>n=120; >>b=-r*x0*(1+r)^n/[1-(1+r)^n] b= 1.1102e+003 所以如果要10 年还清，则每年返还1110.2 元。 3. 在某种环境下猫头鹰的主要食物是田鼠，设田鼠的年平均增长率为r1，猫头鹰的存在引起的田鼠增长率的减少与猫头鹰的数量成正比，比例系数为a1；猫头鹰的年平均减少率为
第三章 差分方程模型 §1、 差分方程 设有未知序列{}k y ，称 0),,,;(1=++n k k k y y y k F （1） 为n 阶差分方程。 若有)(k y y k =，满足 0))(,),1(),(;(=++n k y k y k y k F 则称)(k y y k =是差分方程（1）的解，包含n 个任意常数的解称为（1）的通解， 当110,,,-n y y y 为已知时，称其为（1）的初始条件，通解中的任意常数都由初始条件确定后的解称为（1）的特解。 [例1] 设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时即第三月开始每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖。设第k 月末共有k y 对兔子，试建立关于k y 的差分方程。 [解] 因为第2+k 月末的兔子包括两部分，一部分为上月留下的，另一部分为当月新生的，而由题设当月生的小兔数等于前月末的兔数，所以有 ?? ?==+=++1,010 1 2y y y y y k k k 这是著名的裴波那契数列。 [例2] 汉诺塔问题 将k 个大小不同的圆盘依其半径大小依次套在桩A 上，大的在下，小的在上。现将此 k 个盘移到空桩B 或C 上，但要求一次只能移动一个盘且移动过程中，始终保持大盘在下，小盘在上，移动过程中桩A 也可利用。设移动k 个盘的次数为k y ，试建立k y 的差分方程。 [解] 先将桩A 上的k 个大小不同的圆盘按题设要求移到C 上，这需要移动k y 次，再将A 上的最大盘移到B 上，这需要移动一次，最后将C 上的k 个盘按要求移到B 上，这又需要移动k y 次。 所以，差分方程为? ??=+=+01 201y y y k k
-192- 第十六章 差分方程模型 离散状态转移模型涉及的范围很广，可以用到各种不同的数学工具。下面我们对差分方程作一简单的介绍，下一章我们将介绍马氏链模型。 §1 差分方程 1.1 差分方程简介 规定t 只取非负整数。记t y 为变量y 在t 点的取值，则称t t t y y y ?=Δ+1为t y 的一阶向前差分，简称差分，称t t t t t t t y y y y y y y +?=Δ?Δ=ΔΔ=Δ+++1212 2)(为t y 的二阶差分。类似地，可以定义t y 的n 阶差分t n y Δ。 由t y t 、及t y 的差分给出的方程称为t y 的差分方程，其中含t y 的最高阶差分的阶数称为该差分方程的阶。差分方程也可以写成不显含差分的形式。例如，二阶差分方程 02=+Δ+Δt t t y y y 也可改写成012=+?++t t t y y y 。 满足一差分方程的序列t y 称为差分方程的解。类似于微分方程情况，若解中含有 的独立常数的个数等于差分方程的阶数时，称此解为该差分方程的通解。若解中不含任意常数，则称此解为满足某些初值条件的特解。 称如下形式的差分方程 )(110t b y a y a y a t n t n t n =+++?++L （1） 为n 阶常系数线性差分方程，其中n a a a ,,,10L 是常数，00≠a 。其对应的齐次方程为 0110=+++?++t n t n t n y a y a y a L （2） 容易证明，若序列) 1(t y 与) 2(t y 均为（2）的解，则)2(2) 1(1t t t y c y c y +=也是方程（2）的 解，其中21,c c 为任意常数。若) 1(t y 是方程（2）的解，) 2(t y 是方程（1）的解，则 )2()1(t t t y y y +=也是方程（1）的解。 方程（1）可用如下的代数方法求其通解： （I ）先求解对应的特征方程 001 10=+++?a a a n n L λ λ （3） （II ）根据特征根的不同情况，求齐次方程（2）的通解。 （i ）若特征方程（3）有n 个互不相同的实根n λλ,,1L ，则齐次方程（2）的通解为 t n n t c c λλ++L 11 （n c c ,,1L 为任意常数） （ii ）若λ是特征方程（3）的k 重根，通解中对应于λ的项为t k k t c c λ)(1 1?++L ， ),,1(k i c i L =为任意常数。 （iii ）若特征方程（3）有单重复根 i βαλ±=，通解中对应它们的项为 t c t c t t ?ρ?ρsin cos 21+，其中22βαρ+=为λ的模，α β ?arctg =为λ的幅角。 （iv ）若i βαλ±=是特征方程（3）的k 重复根，则通解对应于它们的项为 t t c c t t c c t k k k t k k ?ρ?ρsin )(cos )(12111?+?+++++L L
差分方程模型的理论和方法 1、差分方程：差分方程反映的是关于离散变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。 2、应用：差分方程模型有着广泛的应用。实际上，连续变量可以用离散变量来近似和逼近，从而微分方程模型就可以近似于某个差分方程模型。差分方程模型有着非常广泛的实际背景。在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等许许多多的方面都有着非常重要的作用。可以这样讲，只要牵涉到关于变量的规律、性质，就可以适当地用差分方程模型来表现与分析求解。 3、差分方程建模：在实际建立差分方程模型时，往往要将变化过程进行划分，划分成若干时段，根据要解决问题的目标，对每个时
段引入相应的变量或向量，然后通过适当假设，根据事物系统的实际变化规律和数量相互关系，建立每两个相邻时段或几个相邻时段或者相隔某几个时段的量之间的变化规律和运算关系（即用相应设定的变量进行四则运算或基本初等函数运算或取最运算等）等式（可以多个并且应当充分全面反映所有可能的关系），从而建立起差分方程。或者对事物系统进行划分，划分成若干子系统，在每个子系统中引入恰当的变量或向量，然后分析建立起子过程间的这种量的关系等式，从而建立起差分方程。在这里，过程时段或子系统的划分方式是非常非常重要的，应当结合已有的信息和分析条件，从多种可选方式中挑选易于分析、针对性强的划分，同时，对划分后的时段或子过程，引入哪些变量或向量都是至关重要的，要仔细分析、选择，尽量扩大对过程或系统的数量感知范围，包括对已有的、已知的若干量进行结合运算、取最运算等处理方式，目的是建立起简洁、深刻、易于求解分析的差分方程。在后面我们所举的实际例子中，这方面的内容应当重点体会。 差分方程模型作为一种重要的数学模型，对它的应用也应当遵从一般的数学建模的理论与方法原则。同时注意与其它数学模型方法结合起来使用，因为一方面建立差分方程模型所用的数量、等式关系的建立都需要其他的数学分析方式来进行；另一方面，由差分方程获得的结果有可以进一步进行优化分析、满意度分析、分类分析、相关分析等等。