板块一 三角形等高模型
我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生
变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1
3
，则三角形面积与原来的一
样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b =
s 2s 1b
D
C
B
A
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△；
反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
板块二 鸟头模型
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．
如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△
E
D
C
B
A
D
E C
B
A
图⑴ 图⑵
【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平
方厘米，求ABC △的面积．
例题精讲
4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△，
::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，
则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的
面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ．
【答案】70
【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那
么三角形ABC 的面积是多少？
E D
C B A A
B C D
E
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接BE ．
∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD =
∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==．
【答案】15
【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面
积是甲部分面积的几倍？
乙
甲
E D C
B
A
A B
C
D
E
甲
乙
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接AD ．
∵3BE =，6AE =
∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==，
∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲．
【答案】5
【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，
:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．
E
D C
B
A E
D
C
B
A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△
[]::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△，
所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘
米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到
一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比
【答案】50
【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的
面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2
倍，所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326?=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648?=(平方厘米)．
【答案】48
【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．
F
E
D C
B
A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答
【解析】
:():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =??=??=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =??=??=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =??=??=△△
设24ABC S =△份，则4BDE S =△份，4ADF S =△份，9CEF S =△份，244497DEF S =---=△份，恰好是7
平方厘米，所以24ABC S =△平方厘米
【答案】24
【例 5】 如图16-4，已知．AE=
15AC ，CD=14BC ，BF=1
6
AB ，那么DEF ABC 三角形的面积三角形的面积等于多少?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，决赛，第一题，9题 【解析】 如下图，连接AD ，BE ，CF.
有△ABE ，△ABC 的高相等，面积比为底的比，则有ABE ABC
S
S
=
AE
AC
，所以ABE S =
AE
AC
×ABC S =
15
ABC S
同理有AEF S
=
AF
AB
ABE S ,即=AEF S
=
15×56ABC S =1
6
ABC S . 类似的还可以得到CDE S =14×45ABC S =15ABC S ，BDF S =16×13ABC S =1
8
ABC S ．
所以有DEF S =ABC S -(AEF S +CDE S +BDF S )=(1-16-15-18)ABC S =
61
120
ABC S ． 即DEF ABC 三角形的面积三角形的面积为61120
． 【答案】
61120
【例 6】 如图，三角形ABC 的面积为3平方厘米，其中:2:5AB BE =，:3:2BC CD =，三角形BDE 的面
积是多少？
A
B E
C D
D
C E
B A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 由于180ABC DBE ?∠+∠=，所以可以用共角定理，设2AB =份，3BC =份，则5BE =份，
325BD =+=份，由共角定理:():()(23):(55)6:25ABC BDE S S AB BC BE BD =??=??=△△，设
6ABC S =△份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是250.512.5?=平方厘米，三角
形BDE 的面积是12.5平方厘米
【答案】12.5
【例 7】 如图所示，正方形ABCD 边长为6厘米，13AE AC =
，1
3
CF BC =．三角形DEF 的面积为_______平方厘米．
E
D
C
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】走美杯，五年级，初赛
【解析】 由题意知13AE AC =
、13CF BC =，可得2
3
CE AC =．根据”共角定理”可得， ():():()12:(33)2:9CEF ABC
S S CF CE CB AC =??=??=△△；而66218ABC S =?÷=△；所以4CEF S =△；
同理得，:2:3CDE ACD S S =△△;，183212CDE S =÷?=△，6CDF S =△
故412610DEF CEF DEC DFC S S S S =+-=+-=△△△△(平方厘米)．
【答案】10
【例 8】 如图，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD AB =；延长BC 至E ，使2CE BC =；延
长CA 至F ，使3AF AC =，求三角形DEF 的面积．
F
E
D
C
B A
A
B C
D
E
F
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 (法1)本题是性质的反复使用．
连接AE 、CD ． ∵1
1
ABC DBC S S =，1ABC S =， ∴S 1DBC =．
同理可得其它，最后三角形DEF 的面积18=．
(法2)用共角定理∵在ABC 和CFE 中，ACB ∠与FCE ∠互补， ∴111428ABC FCE S AC BC S FC CE ??===??． 又1ABC
S
=，所以8FCE
S
=．
同理可得6ADF
S =，3BDE
S =．
所以186318DEF ABC FCE ADF BDE S S S S S =+++=+++=．
【答案】18
【例 9】 如图，把四边形
ABCD 的各边都延长2倍，得到一个新四边形EFGH 如果ABCD 的面积是5平方
厘米，则EFGH 的面积是多少平方厘米?
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星
【题型】解答 【解析】 方法一：如下图，连接BD ，ED ，BG ，
有EAD 、ADB 同高，所以面积比为底的比，有2EAD
ABD
ABD EA
S
S S
AB
=
=．
同理36EAH
EAD EAD ABD AH
S
S S S AD
=
==． 类似的，还可得6FCG BCD S S =，有()66EAH FCG ABD
BCD
ABCD S S
S
S
S +=+==30平方厘米．
连接AC ，AF ，HC ，还可得6EFB
ABC
S
S
=，6DHG
ACD
S
S
=，
有()66EFB
DHG
ABC
ACD
ABCD S
S
S
S
S +=+==30平方厘米
.
有四边形EFGH 的面积为EAH,FCG ,EFB,DHG ,ABCD 的面积和，即为30+30+5=65(平方厘米.) 方法二：连接BD ，有EAH 、△ABD 中∠EAD+∠BAD=180° 又夹成两角的边EA 、AH ，AB 、AD 的乘积比，
EA AH
AB AD
??=2×3=6，所以EAH
S
=6ABD
S
．
类似的，还可得FCG
S =6BCD
S
，有EAH
S
+FCG S
=6（ABD
S +BCD
S
)=6ABCD S =30平方厘米．
连接AC ，还可得EFB
S
=6ABC S
，
DHG S
=6
ACD
S
，
有EFB
S
+DHG S
=6（
ABC S +
ACD
S
）=6ABCD S =30平方厘米．
有四边形EFGH 的面积为△EAH ，△FCG ，△EFB ，△DHG ，ABCD 的面积和， 即为30+30+5=65平方厘米． 【答案】65
【例 10】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的
面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．
H
G
A
B C
D E
F
H
G
A B C
D E
F
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．根据共角定理
∵在ABC △和BFE △中，ABC ∠与FBE ∠互补，
∴111133
ABC FBE S AB BC S BE BF ??===??△△． 又1ABC S =△，所以3FBE S =△．
同理可得8GCF S =△，15DHG S =△，8AEH S =△．
所以8815+3+236EFGH AEH CFG DHG BEF ABCD S S S S S S =++++=++=△△△△．
所以213618
ABCD EFGH S S ==．
【答案】
118
【例 11】 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形
ABCD 的面积．
H G
F
E
D C
B A A B C
D
E
F
G
H
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接BD ．由共角定理得:():()1:2BCD CGF S S CD CB CG CF =??=△△，即2CGF CDB S S =△△
同理:1:2ABD AHE S S =△△，即2AHE ABD S S =△△ 所以2()2AHE CGF CBD ADB ABCD S S S S S +=+=△△△△四边形 连接AC ，同理可以得到2DHG BEF ABCD S S S +=△△四边形
5AHE CGF HDG BEF EFGH ABCD ABCD S S S S S S S =++++=△△△△四边形四边形四边形
所以66513.2ABCD S =÷=四边形平方米
【答案】13.2
【例 12】 如图，将四边形ABCD 的四条边AB 、CB 、CD 、AD 分别延长两倍至点E 、F 、G 、H ，若四
边形ABCD 的面积为5，则四边形EFGH 的面积是 ．
A B C
D E F G
H
A B C
D
E
F G
H
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AC 、BD ．
由于2BE AB =，2BF BC =，于是4BEF ABC S S ??=，同理4HDG ADC S S ??=．
于是444BEF HDG ABC ADC ABCD S S S S S ????+=+=．
再由于3AE AB =，3AH AD =，于是9AEH ABD S S ??=，同理9CFG CBD S S ??=． 于是999AEH CFG ABD CBD ABCD S S S S S ????+=+=．
那么491260EFGH BEF HDG AEH CFG ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD S S S S S S S S S S ????=+++-=+-==．
【答案】60
【例 13】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使1
2
CE BC =，F 是AC 的中点，
若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少？
A B
C
D
E
F
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ∵在ABC △和CFE △中，ACB ∠与FCE ∠互补，
∴224111
ABC FCE S AC BC S FC CE ??===??△△． 又2ABC
S
=，所以0.5FCE
S
=．
同理可得2ADF S =△，3BDE S =△．
所以20.532 3.5DEF ABC CEF DEB ADF S S S S S =++-=++-=△△△△△
【答案】3.5
【例 14】 如图，1ABC S =△，5BC BD =，4AC EC =，DG GS SE ==，AF FG =．求FGS
S
．
S
G
F E D
C
B
A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 本题题目本身很简单，但它把本讲的两个重要知识点融合到一起，既可以看作是”当两个三角形有一
个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用，也可以看作是找点，最妙的是其中包含了找点的3种情况．
最后求得FGS S △的面积为432111
5432210
FGS S =????=△．
【答案】1
10
【例 15】 如图所示，正方形ABCD 边长为8厘米，E 是AD 的中点，F 是CE 的中点，G 是BF 的中点，三
角形ABG 的面积是多少平方厘米？
A
B
C
D
E
F G
A
B
C D
E
F G
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 连接AF 、EG ．
因为21
8164
BCF CDE S S ==?=△△，根据”当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积
比等于夹这个角的两边长度的乘积比”8AEF S =，8EFG S =，再根据”当两个三角形有一个角相等或
互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”，得到16BFC
S
=，32ABFE S =，
24ABF S =，所以12ABG S =平方厘米．
【答案】12
【例 16】 四个面积为1的正六边形如图摆放，求阴影三角形的面积．
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 如图，将原图扩展成一个大正三角形DEF ，则AGF ?与CEH ?都是正三角形．
假设正六边形的边长为为a ，则AGF ?与CEH ?的边长都是4a ，所以大正三角形DEF 的边长为4217?-=，那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍．而一个正六边形是由6个单位小正三角
形组成的，所以一个单位小正三角形的面积为16，三角形DEF 的面积为49
6
．
由于4FA a =，3FB a =，所以AFB ?与三角形DEF 的面积之比为4312
7749
?=．
同理可知BDC ?、AEC ?与三角形DEF 的面积之比都为12
49
，所以ABC ?的面积占三角形DEF 面积
的1213134949-?=，所以ABC ?的面积的面积为4913136496?=．
【答案】13
6
【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1，则图中虚线围成的五边形ABCDE 的面积是 ．
B D
C
E
A
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 从图中可以看出，虚线AB 和虚线CD 外的图形都等于两个正六边形的一半，也就是都等于一个正六
边形的面积；虚线BC 和虚线DE 外的图形都等于一个正六边形的一半，那么它们合起来等于一个正六边形的面积；虚线AE 外的图形是两个三角形，从右图中可以看出，每个三角形都是一个正六边
形面积的16，所以虚线外图形的面积等于11132363?+?=，所以五边形的面积是12
103633
-=．
【答案】2
63
【例 17】 仅用下图这把刻度尺，最少测量 次，就能得出三角形ABC 和三角形BCD 的面积比。
【考点】三角形的鸟头模型 【难度】5星 【题型】解答 【关键词】学而思杯，6年级，第10题 【解析】 连接DA 并延长交BC 边的延长线于E 点，然后测出EA 和ED 的长度，由于EA 与ED 在一条直线上，
所以测一次就能EA 和ED 长度，根据共边定理可知，三角形ABC 与三角形BCD 的面积比就等于EA 比
ED ，故最少测量1次就可解决问题。
【答案】1次
模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =， 16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 三角形等高模型与鸟头模型
E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75) ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设 8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角 形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =， 6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 乙 甲 E D C B A A B C D E 甲 乙 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =V V ，∴6ABC BDE S S =V V ，5S S =乙甲．
模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方 厘米，求ABC △的面积． 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份， 则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的 面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？ 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S =V V 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷V V V ，∴1515ABC ADE S S ==V V ． 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S =V V 又∵4BD DC ==， 三角形等高模型与鸟头模型
模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这 就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 三角形等高模型与鸟头模型
反之，如果ACD BCD S S △△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3 个面积相等的三角形； ⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点， 答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的43 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米， 那么图中阴影部分的面积是 平方厘米。 C D B A
三角形的等高模型 例题精讲 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例题1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶6个面积相等的三角形． 【解析】⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例题2】如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ C D B A
【解析】因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时， 它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等． 于是：三角形ABD 的面积=12高÷2=6×高 三角形ABC 的面积=（12+4）×高÷2=8×高 三角形ADC 的面积=4×高÷2=2×高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4/3倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍． 【例题3】如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半， 即4×3÷2=6(平方厘米)． 【巩固1】如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米． 【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于 平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于 平行四边形面积的一半，为50÷2=25平方厘米． 【巩固2】如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它 内部阴影部分的面积是 ． F E C B A 【解析】 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半， 为20×12÷120． 【例题4】如图，长方形ABCD 的面积是56平方厘米，点E 、F 、G 分别是长方形ABCD 边上的中点，H 为AD 边上的任意一点，求阴影部分的面积． E B A E B A 【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用． 连接BH 、CH ．
板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与原来的一 样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶ 6个面积相等的三角形． 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上． 例题精讲 三角形等高模型与鸟头模型 （学生版）
等高（等底）模型 【知识点分析】 1 基础知识： 三角形面积=底.K高昇 斯哄：三角形面枳的丸小，取决于三角瞪底和高的乘积. 若底不变，高越大（小），面积越大a卜）； 若高不变，底越丸（小儿面积越大（小）； 2. 模型结论： ①两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 女！■图S] * —a * b ②两个三角形底相等，面积比等于它们的髙之比： 特殊:等底等高的两个三角形面积相等；（注意平行线） 其他常用蛀论： （1）夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图$*=￡*； 反之，如果则可知宜线曲平行于CD. （2）等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； （3）三甫形罰积等于与它等底等高的平行四边珈圍积妁一半； （4）两个平行四边形高相等*面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
3、拓展结论： 拓展1: 图（1）: 四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，贝US阴二扌S正证明：连接BH、CH,根据等高等底知：S?=S②，S云S空S⑥三S⑥，所以正图（2）：四边形ABCD为正方形，E、F、G是各边三等分点，H是是AD上任意一点、,则S阴气S正（证明方法同上） 图（3）:四边形ABCD为长方形，E、F、G是各边中点，H是是AD上任意一点，则S十丄 S长（证明方法同上） 2 拓展2： 图（2）: S赵S小正，证明同上（辅助线如图） 图（3）: S阴二大正，证明同上（辅助线如图） 图⑷：$阴=gs中正，证明：辅助线如图，根据平行s，、RE=S住阳, 所以,S阴冷S中
【典型例题】 W 1：如右因，E在AD上.AD至直BC?ylD = 12 ^耒，DE = 3圧米.求三角 形ABC的和积是三角形EBC面积的几倍？ 例2:长方形ABCD的面积为36, E> F. G为各边中点，H为AD边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？ 例3:（第6届走美杯5年级决春第8題）央如图，A. B、C都是正方形边的中 A, ACOD比AAOB大15平方厘米。AAOB的面积为多少平方厘米？ D
知识框架 板块一三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2 ÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发 生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的 1 3，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12 :: S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图 ACD BCD S S= △△ ； 反之，如果 ACD BCD S S= △△ ，则可知直线AB平行于CD． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 三角形等高模型和鸟头模型
板块二鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():() ABC ADE S S AB AC AD AE =??△ △例题精讲 【例1】如右图，E 在AD 上，AD 垂直BC，12AD =厘米，3DE =厘米．求三角形ABC 的面积是三角形 EBC 面积的几倍？欢迎关注：奥数轻松学 余老师薇芯：69039270 E D C B A 【巩固】如图30-5，设正方形ABCD 的面积为1，E，F 分别为边AB，AD 的中点，FC=3GC，则阴影部分的面 积是多少?
模型一三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式 ： 三角形面积二底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积 ? 如果三角形的底不变，高越大（小）,三角形面积也就越大（小）; 如果三角形的高不变，底越大（小）,三角形面积也就越大（小）; 这说明当三角形的面积变化时 ，它的底和高之中至少有一个要发生变化 ?但是，当三角形的底和高同时 发生变化时，三角形的面积不一定变化?比如当高变为原来的 3倍，底变为原来的-,则三角形面积与原来 3 的一样?这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积 ，而不仅仅取决于高或底的变 化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状 ? 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论 ① 等底等高的两个三角形面积相等 ； ② 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如 图 S ：S 2 二a: b ④ 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ）； ⑤ 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 ； ⑥ 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等 ，面积比等于它们的高之比 ③夹在一组平行线之间的等积变形 反之，如果 ACD = BCD , ,如右上图 ACD = S A BCD ； 则 可知直线AB 平行于CD ?
【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形：⑵4个面积相等的三角形 ⑶6个面积相等的三角形。 【解析】⑴ 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考 【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。 ⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？ ⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？ 【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD的面积=12高＜2-6高 三角形ABC的面积（12 4）高"2=8高三角形ADC的面积=4高“2=2高 所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的4倍； 3 三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。 【例3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是_______ 平方厘米。 【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4 3一：一2=6（平方厘米）。
小学奥数-几何五大模型(等高模型)
模型一 三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的13 ，则三角形面积与原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 三角形等高模型与鸟头模型
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等 的三角形；⑶6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： C E D B A F C D B A G D B A ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑸ ⑷⑶⑵⑴ ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、 BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂 线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的4 3 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影 部分的面积是 平方厘米。 【解析】 图中阴影部分的面积等于长方形ABCD 面积的一半，即4326?÷=(平方厘米)。 C D B A
模型一三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式： 三角形面积底高2 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积. 如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）； 如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化?但是，当三角形的底和高同时 1 发生变化时，三角形的面积不一定变化?比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1，则三角形面积与原来 3 的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化. 同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状. 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图S i :S2 a:b ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图S A ACD S A BCD ； 反之，如果S A ACD S A BCD，则可知直线AB平行于CD ? ④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
你有多少种方法将任意一个三角形分成： ⑴3个面积相等的三角形； ⑵4个面积相等的三角形； ⑶ 6个面积相等的三角形。 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考: 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形 ABD 面积的多少倍？ ⑵求三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的多少倍? 因为三角形 ABD 、三角形 ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从 A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积 12高2 6高 三角形ABC 的面积 （12 4）高2 8高 三角形ADC 的面积 4高2 2高 4 所以，三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的-倍； 3 三角形ABD 的面积是三角形 ADC 面积的3倍。 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面 积是 平方厘米。 D C 图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD 面积的一半，即4 3 2 6（平方厘米）。 （2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是 50平方厘米，则阴影部分的面积 是 平方厘米。 【例1】 【解 【例2】 【解析】 【例3】 【解析】 ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:
模型一 三角形等 高模型 已经知道三角形面积 的计算公式： 三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时 发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与原来 的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图 12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 【例 1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴ 3个面积相等的三角形；⑵ 4个面积相等的三角形；⑶ 6个面积相等的三角形。 【解析】 ⑴ 如下图，D 、E 是BC 的三等分点，F 、G 分别是对应线段的中点，答案不唯一： ⑵ 如下图，答案不唯一，以下仅供参考： ⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考： 【例 2】 如图，BD 长12厘米，DC 长4厘米，B 、C 和D 在同一条直线上。 ⑴ 求三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的多少倍？ ⑵ 求三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的多少倍？ 【解析】 因为三角形ABD 、三角形ABC 和三角形ADC 在分别以BD 、BC 和DC 为底时，它们的高都是从A 点向BC 边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。 于是：三角形ABD 的面积12=?高26÷=?高 三角形ABC 的面积124=+?（）高28÷=?高 三角形ADC 的面积4=?高22÷=?高 所以，三角形ABC 的面积是三角形ABD 面积的 4 3 倍； 三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的3倍。 【例 3】 如右图，ABFE 和CDEF 都是矩形，AB 的长是4厘米，BC 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面 积是 平方厘米。 三角形等高模型与鸟头模型
知识图谱 几何第01讲_等高模型-一、等高模型（比例关系）三角形中的等高梯形中的等高 一：等高模型（比例关系） 知识精讲 一．三角形中的面积比例关系 直线形计算中，最重要的就是找到两个三角形面积与边长之间的关系． 当两个三角形同高或等高的时候，它们面积的比等于对应底之比．如图所示： 二．梯形中的面积比例关系 在梯形中，对角线把梯形分成两个分别以上底、下底为底边的等高三角形，则它们的面积比与对应上下底之比．如图所示： 三点剖析 重难点：三角形等高模型与梯形中的等高模型 题模精讲 题模一三角形中的等高 例1.1.1、
如图，，．已知△ABC的面积是10，阴影部分的面积是__________． 答案： 2.4 解析： △ABD和△ACD是等高，它们的面积比是，所以△ACD的面积是．同理△CDE和△ADE是等高，它们的面积比是 ，所以阴影部分的面积是． 例1.1.2、 如图所示，已知△ABC的面积为1，且，，，则△DEF的面积是多少？
答案： 解析： 易知，，． 故． 例1.1.3、 如图，在△ABC中，已知△ADE、△DCE、△BCD的面积分别是89，26，28，那么△DBE的面积是_______ 答案： 解析： ，故， ． 例1.1.4、
如图7，已知，，，，△BCG和△EFG的面积和是24，△AGF和△CDG的面积和是51，则△ABC与△DEF的面积和是__________． 答案： 23 解析： △ABC、△BCG、△CDG的面积比等于底边比，即，所以设它们的面积分别是2x、3x、9x；同理设△AGF、△EFG、△DEF的面积分 别是5y、4y、5y．根据条件，可列方程，所以△ABC 与△DEF的面积和是． 题模二梯形中的等高 例1.2.1、 如图，梯形ABCD的面积是10，E为CD中点，求三角形ABE的面积是 ___________．
板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生 变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与原来的一 样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b = s 2s 1b a D C B A ③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A D E C B A 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平 方厘米，求ABC △的面积． 例题精讲 4-3-2.三角形等高模型与鸟头模型
模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共 角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方 厘米，求ABC △的面积． E D C B A E D C B A 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份，则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的 面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？ E D C B A A B C D E 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==． 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 三角形等高模型与鸟头模型
模型二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共 角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上如图 2)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图⑴ 图⑵ 【例 1】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方 厘米，求ABC △的面积． 【解析】 连接BE ，::2:5(24):(54)ADE ABE S S AD AB ===??△△， ::4:7(45):(75)ABE ABC S S AE AC ===??△△，所以:(24):(75)ADE ABC S S =??△△，设8ADE S =△份， 则35ABC S =△份，16ADE S =△平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方厘米，ABC △的 面积是70平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 ． 【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那 么三角形ABC 的面积是多少？ 【解析】 连接BE ． ∵3EC AE = ∴3ABC ABE S S = 又∵5AB AD = ∴515ADE ABE ABC S S S =÷=÷，∴1515ABC ADE S S ==． 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面 积是甲部分面积的几倍？ 【解析】 连接AD ． ∵3BE =，6AE = ∴3AB BE =，3ABD BDE S S = 又∵4BD DC ==， ∴2ABC ABD S S =，∴6ABC BDE S S =，5S S =乙甲． 【例 2】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =， :3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积． 【解析】 连接BE ，::2:5(23):(53)ADE ABE S S AD AB ===??△△ []::3:(32)(35):(32)5ABE ABC S S AE AC ==+=?+?△△， 所以[]:(32):5(32)6:25ADE ABC S S =??+=△△，设6ADE S =△份，则25ABC S =△份，12ADE S =△平方厘 米，所以1份是2平方厘米，25份就是50平方厘米，ABC △的面积是50平方厘米．由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【例 3】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积 为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【解析】 连接FB ．三角形AFB 面积是三角形CFB 面积的2倍，而三角形AFB 面积是三角形AEF 面积的2倍， 所以三角形ABC 面积是三角形AEF 面积的3倍；又因为平行四边形的面积是三角形ABC 面积的2倍，所以平行四边形的面积是三角形AFE 面积的326?=（）倍．因此，平行四边形的面积为8648?=(平方厘米)． 【例 4】 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积． 【解析】 :():()(11):(23)1:6BDE ABC S S BD BE BA BC =??=??=△△，:():()(13):(24)3:8CEF ABC S S CE CF CB CA =??=??=△△:():()(21):(34)1:6ADF ABC S S AD AF AB AC =??=??=△△ 三角形等高模型与鸟头模型
一、三角形当中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2，决定于底和高的长度，所以我们有了等高模型和等底模型。在等高模型中，（图1）当BD=CD时，阴影部分，SΔABD=SΔABC÷2 特别地如图2，当BE=ED，DF=FC，阴影部分面积，SΔAEF=SΔABC÷2 在等底模型中（图3），当AE=DE时，阴影部分，SΔEBC=SΔABC÷2 二、平行四边形中的一半模型 由于三角形的面积公式S=底×高÷2， 平行四边行的面积公式S=底×高 所以与平行四边形同底等高的三角形是它面积的一半！ 同时，长方形是特殊的平行四边行，再根据平行线间的等积变形，可以得到如下诸图，阴影部分面积是四边形面积的一半： 知识结构 一半模型
【巩固练习】判断下面的图形中阴影部分的面积是不是整个图形面积的一半。是打“√”，不是打“×”。 （）（）（）（） （）（） 三、梯形中的一半模型 在梯形中，当三角形的底边是梯形的一个腰，顶点在另一个腰的中点处，那么三角形是梯形面积的一半。 如图4，在梯形ABCD中，BE=CE，则SΔADE=SABCD÷2 如图5，是它的变形，注意其中AF=DF，BE=CE。
四、任意四边形中的一半模型 如图6，在四边形ABCD中，AE=EB，DF=CF，则SEBFD=SABCD÷2 【能力提升】 【巩固练习】
【例1】如图，已知长方形ABCD的面积为24平方厘米，且线段EF,GH把它分成四个小长方形，求阴影部分的面积。 【巩固】已知大长方形的长是6厘米，宽是4厘米，求阴影部分的面积。 【例2】如图所示，平行四边形的面积是50 平方厘米，阴影部分面积是（）平方厘米． 【例3】 如图,长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD,长方形ABCD的长是20，宽是12，则它部阴影部分的面积是多少？ 例题精讲 4
三角形等高模型和鸟头模型 知识框架 板块一 三角形等高模型 我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底?高2÷ 从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积． 如果三角形的底不变，高越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 如果三角形的高不变，底越大(小)，三角形面积也就越大(小)； 这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1 3 ，则三角形面积与 原来的一样．这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状． 在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论： （1） 等底等高的两个三角形面积相等； （2） 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图12::S S a b = b a S 2S 1 D C B A （3） 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． （4） 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； （5） 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； （6） 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的 高之比． 板块二 鸟头模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)， 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△