第二十六章反比例函数
26.1 反比例函数
26.1.1 反比例函数
——反比例函数的概念和解析式
一、新课导入
1.课题导入
情景：如图，舞台灯光可以瞬间将黑夜变成如白昼般明亮,这样的效果是如何实现的？是通过改变电阻来控制电流的变化实现的.因为当电流I较小时,灯光较暗;反之,当电流I较大时,灯光较亮.
问题：电流I，电阻R，电压U之间满足关系式U=IR，当U=220V时，你能用含有R的代数式表示I吗？那么I是R的函数吗？I是R的什么函数呢？
本节课我们开始学习反比例函数.(板书课题)
2.学习目标
（1）理解反比例函数的概念.
（2）会求反比例函数式.
3.学习重、难点
重点：反比例函数的概念，能求反比例函数式.
难点：反比例函数的概念.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P2.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：探究、思考、归纳、总结.
（4）自学参考提纲：
①形如y=k
x
(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，自变量x的取值范围
是x≠0.
②由y=k
x
可得，xy=k,若y=kx-n是反比例函数,则n=1.
③反比例函数y=
21
2
m
x
-
-的比例系数k是
1
2
2m
-
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会判断反比例函数.
②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数.
（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.
4.强化
（1）反比例函数的定义；反比例函数式的变式;自变量x的取值范围；k的值.
（2）练习：
①写出下列问题中两个变量之间的函数关系式，并指出比例系数k的值.
a.一个游泳池的容积为2000 m3，游泳池注满水所用的时间t(单位：h)随注水速度v(单位：m3/h) 的变化而变化；
答案：
2000
,2000. t k
v
==
b.某长方体的体积为1000 m3，长方体的高h(单位：m)随底面积S(单位：m2) 的变化而变化；
答案：
1000
,1000.
h k
S
==
c.一个物体重100 N，物体对地面的压强p（N/m2）随该物体与地面的接触面积S（m2）的变化而变化.
答案：100,100.p k S == ②下列函数中哪些是反比例函数?哪些是正比例函数?并指出比例系数. y=4x y x =3 y=2x - y=6x+1 y=x 2-1 y=21x
xy=123 答案：反比例函数：y=2x -
，比例系数为-2；xy=123，比例系数为123. 正比例函数：y=4x ，比例系数为4；
y x =3，比例系数为3. ③若函数y=63m x
- 是反比例函数，则m 的取值范围是m≠2.
1.自学指导
(1)自学内容：教材P3例1.
(2)自学时间：5分钟.
(3)自学方法：先学习例题的方法，然后模仿例题解答自学参考提纲中的问题.
(4)自学参考提纲：
①已知y 是x 的反比例函数，求其解析式时，一般先设y=
k x ,再由已知条件求出k 即可.
②已知y 是x 的反比例函数，则y 与x 成反比例吗？如果y 与x 2成反比例，怎样设其解析式？
y 与x 成反比例.可设y=2
k x . ③已知y 与x2成反比例，并且当x=3时，y=4.
a.写出y 关于x 的函数解析式；236y x ?=? ??
? b.当x=1.5时，求y 的值；（y=16）
c.当y=6时，求x 的值.（x=±6）
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：关注学生对成反比例与反比例函数的理解.
②差异指导：指导学生辨析反比例函数与成反比例.
（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.
4.强化：用待定系数法求反比例函数式的要点.
三、评价
1.学生自我评价.
2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.
3.教师的自我评价（教学反思）.
在学习了一次函数和二次函数后，反比例函数是初中学习阶段的第三种函数类型.在反比例函数教学过程中，应注意将反比例函数和正比例函数进行类比，帮助学生区分其异同，真正理解反比例函数的概念.另外要辨析反比例函数与成反比例的区别，引导学生通过交流研讨来弄清其区别.
本节的教学重点是理解反比例函数的概念和求解函数解析式，教学过程中应强调自变量的取值范围以及反比例函数与实际问题的联系.教师最好能够多举实例，联系生活实际，将抽象问题具体化，从而帮助学生理解新知.
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列等式中，y 是x 的反比例函数的是（B ） A.y=2
1x 3 C.y=5x+6 D.x=1y 2.(10分) 矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为4y x
= 3.(10分) 面积为30 cm 2的三角形的底y （cm ）与底边上的高x （cm ）的函数关系式是60 y x
= 4.(10分) 指出下列函数中哪些是反比例函数，并指出k 的值.
（1）y=2
x （2）y=53x - （3）y=x 2 （4）y=2x+1
解：（2）y=53x -是反比例函数，k=53
-. 5.(10分) 写出下列函数解析式，并指出它们各是什么函数.
(1)体积是常数V 时，圆柱的底面积S 与高h 的关系；
(2)柳树乡共有耕地S 公顷，该乡人均耕地面积y 与全乡总人口x 的关系. 解：（1）S=V h ，反比例函数.（2）y=S x
,反比例函数. 6.(10分) 已知y 与x2成反比例，并且当x=6时y=5.
（1）写出y 与x 之间的函数解析式；
（2）求当x=12时y 的值.
解：（1）设y=2k x ,当x=6时，y=5，∴5=26k ,解得k=180，∴y=2180x
. (2)把x=12代入y=
2180x ，得y=218012=54 7.(10分) 已知y 与x 的部分取值满足下表：
试猜想y 与x 的函数关系可能是你们学过的哪类函数，并写出这个函数的解析式．
解：猜想：y 是x 的反比例函数，解析式为y=6x -
. 二、综合应用（20分）
8.(10分) 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的反比例函数，则y 是x 的什么函数？正比例函数.
9.(10分) 如果y 是z 的反比例函数，z 是x 的正比例函数，则y 是x 的什么函数？反比例函数.
三、拓展延伸（10分）
10.(10分) 已知函数y=y 1+y 2，y 1与x 成正比例，y 2与x 成反比例，且当x=1时，y=4；当x=2时，y=5．
（1）求y 与x 的函数关系式；
（2）当x=4时，求y 的值．
解：（1）设y1=k1x,y2=2k x,则y=k1x+2k x，∵当x=1时，y=4;当x=2时，y=5,
∴k1+k2=4,2k1+2k x=5,∴k1=k2=2,∴y=2x+2
x
.
(2)当x=4时，y=2×4+2
4
=
17
2
.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第1课时反比例函数的图象和性质（1）
——反比例函数的图象和性质
一、新课导入
1.课题导入
我们都知道一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是抛物线，那么反比例函数的图象是什么样的呢？这节课我们一起来学习反比例函数的图象.
2.学习目标
（1）会用描点法画反比例函数的图象.
（2）根据反比例函数的图象探究其性质.
3.学习重、难点
反比例函数的图象和性质.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P4例2~P5思考.
（2）自学时间：10分钟.
（3）自学方法：学生观察、分析及归纳，通过对比理解进行总结.
（4）自学参考提纲：
①画出反比例函数y=6
x
与y=
12
x
的图象.
列表：
描点连线：
②观察反比例函数y=6
x
和y=
12
x
的图象.
a.两个函数的图象分别位于哪些象限？
b.在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
③k>0函数y=k
x
的图象分别位于第一、第三象限在每一个象限内，y随
x的增大而减小.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否会列表，是否理解表中数据的意义以及画图中存在的问题.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.
4.强化：
k>0函数的图象分别位于第一、第三象限在每一个象限内，y随x的增大而减小.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P5探究~P6归纳.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：学生回顾、分析、对比及归纳，进行总结.
（4）自学参考提纲：
①在平面直角坐标系中画出反比例函数y=
3
x
的图象
a.函数的图象位于哪些象限？
b.在每一象限内，随着x的增大，y如何变化？你能用它们的解析式说明理由吗？
②k<0函数y=k
x
的图象分别位于第二、第四象限在每个象限内,y都随x
的增大而增大.
③总结反比例函数y=k
x
的图象和性质.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否会列表，是否理解表中的数据的意义以及画图中存在的问题.
②差异指导：根据学情分类指导.
（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.
4.强化：总结反比例函数的图象和性质.
三、评价
1.学生自我评价.
2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）.
3.教师的自我评价（教学反思）.
教学过程中指导学生用描点法画出反比例函数图象，学生通过观察图象总结
出函数的性质.在教学条件允许的情况下，可借助计算机进行动态演示.这样，学生能够更直观、更清楚地看清函数的变化，从而使学生加深对函数性质的理解、自己总结规律、更好地帮助记忆.
通过本课的教学，教师可深刻地体会到运用信息技术可加强数学课堂教学中的灵活性、直观性.虽然制作起来比较麻烦，但能使课堂教学达到预想不到的效果，使课堂教学效率也明显提高
一、基础巩固（70分）
1.(10分)下列图象中是反比例函数的图象的是（D）
2.(10分) 函数y=-2
x
的图象大致是(A)
3.(10分) 如图是下列四个函数中哪一个函数的图象（C）
A.y=5x
B.y=2x+3
C.y=4
x
D.y=-
3
x
4.(10分) 反比例函数y=5
x
的图象位于第一、第三象限.
5.(10分) 反比例函数y=k
x
的图象如图所示，则k＜0;在图象的每一支上，y
随x的增大而增大.
6.(20分) 在同一坐标系上画出函数y=4
x
与y=
4
x
的图象.
二、综合应用（20分）
7.(20分) 指出下列函数对应的图象：
(1)y=2
x
; (2)y=
2
x
; (3)y=-
2
x
; (4)y=-
2
x
.
解：（1）y=2
x
的图象是D;(2)y=
2
x
的图象是A；(3)y=-
2
x
的图象是C；(4)y=-
2
x
的图象是B.
三、拓展延伸（10分）
8.(10分) 下表反映了y与x之间存在某种函数关系，现给出了几种可能的
函数关系式：y=x+7，y=x-5，y=-6
x
，y=
1
3
x-1.
（1）从所给出的几个式子中选出一个你认为满足上表数据关系的函数表达
式
6
y
x
=-；
（2）请说明你选择这个函数表达式的理由．
解：∵-6×1=-5×1.2=3×（-2）=4×（-1.5）=-6,∴
6
y
x
=-.
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时反比例函数的图象和性质（2）
——反比例函数的图象和性质的运用
一、新课导入
1.课题导入
问题：反比例函数的图象是什么？它有哪些性质？
在学生回答问题后，提出本节任务，由此导入课题.
2.学习目标
（1）能灵活运用反比例函数的图象和性质解决一些较综合的问题.
（2）领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法.
3.学习重、难点
重点：利用反比例函数的图象和性质解决综合问题.
难点：学会从图象上分析、解决问题.
二、分层学习
1.自学指导
（1）自学内容：教材P7例3.
（2）自学时间：5分钟.
（3）自学方法：结合自学参考提纲自学.
（4）自学参考提纲：
①已知反比例函数的图象上一点的坐标，怎样判断其图象位于哪些象限？
②若点(a,b)在y=k
x
的图象上,则ab=k.
③怎样运用待定系数法求反比例函数的解析式？
④练习：已知一个反比例函数的图象经过点A(3，-4).
a.这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y随x的增大如何变化？
这个函数的图象位于第二、第四象限；在图象的每一支上，y随x的增大而增大.
b.点B(-3，4),C(-2，6),D(3，4)是否在这个函数的图象上？
点B、C在这个函数图象上，点D不在这个函数的图象上.
2.自学：学生可结合自学指导进行自学.
3.助学
（1）师助生：
①明了学情：了解学生是否会通过观察图象理解反比例函数的性质.
②差异指导：关注学困生和中间层的学生对性质的认识.
（2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨.
4.强化
（1）反比例函数的图象上一点的坐标判断其图象所在的象限根据图象说性质.
（2）若点(a,b)满足解析式y=k
x
（即ab=k），则点（a，b）在此函数的图象
上.
1.自学指导
（1）自学内容：教材P7例4.
（2）自学时间：6分钟.
（3）自学方法：先学习例题中的方法，然后模仿例题解答自学参考提纲中的问题.
（4）自学参考提纲：
①反比例函数y=k
x
的图象既是中心对称图形，其对称中心是原点，又是轴
对称图形，其对称轴是直线y=x和y=-x
②怎样比较反比例函数y=k
x
的图象上横坐标已知的两点的纵坐标的大小？
举例说明.
③右图是反比例函数
7
n
y
x
+
=的图象的一支，根据图象回答下列问题：
a.图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？
图象的另一支位于第四象限，n＜-7.
b.在这个函数图象的某一支上任取点A (a，b）和点B (a′，b′）.如果a 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生是否会顺利进行图象的位置、k的符号和函数的增减性之间的转换. ②差异指导：根据学情分类指导. （2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化 （1）反比例函数图象上点的横纵坐标的积与k的关系；比较两个点的纵坐标的大小的方法. （2）练习：已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数 1 y x =的图象上，如 果x1 答案：y1＞y2.因为函数 1 y x =的图象位于第一、第三象限，所以在每个象限 内，y随x的增大而减小.因为x1 三、评价 1.学生自我评价. 2.教师对学生的评价：（1）表现性评价；（2）纸笔评价（评价检测）. 3.教师的自我评价（教学反思）. 反比例函数的图象和性质是反比例函数的教学重点，本课时的学习让学生掌握反比例函数的图象和性质的应用.学生在学习过程中会存在一些问题，应引导 学生类比一次函数和二次函数进行学习，课堂上多一些比较，多一些交流，让学生领会函数解析式与函数图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法. 一、基础巩固（70分） 1.(10分)已知反比例函数 2 k y x - =的图象位于第一、第三象限，则k的取值 范围是（A） A.k＞2 B.k≥2 C.k≤2 D.k＜2 2.(10分)如果点（3，-4）在反比例函数y=k x 的图象上，那么下列各点中， 在此图象上的是（C） A.(3,4) B.(-2，-6) C.(-2，6) D.(-3，-4) 3.(10分)关于反比例函数 2 y x =-的图象，下列说法正确的是（C） A.经过点（-1，-2） B.y随x的增大而增大 C.当x＜0时，图象在第二象限 D.y随x的增大而减小 4.(10分)已知函数 3 y x =（x＞0），那么（A） A.函数图象在第一象限内，且y随x的增大而减小 B.函数图象在第一象限内，且y随x的增大而增大 C.函数图象在第二象限内，且y随x的增大而减小 D.函数图象在第二象限内，且y随x的增大而增大 5.(10分)（多选）函数y kx =和y=k x (k≠0)的图象在同一平面直角坐标系中 大致是（BD） 6.(10分)反比例函数 23 k y x - =的图象在每个象限内，y随x的增大而增大， 则k 3 2＜． 7.(10分)正比例函数y=x 的图象与反比例函数y= k x 的图象有一个交点的纵坐标是2，求： （1）当x=-3时，反比例函数y 的值； （2）当-3＜x ＜-1时，反比例函数y 的取值范围 解：（1）由题意知：正比例函数与反比例函数图象的一个交点是（2，2）,则k=2×2=4,即反比例函数的解析式为4y x =.当x=-3时，4433y ==--. （2）当-3＜x ＜-1时，反比例函数的图象在第三象限，y 随x 的增大而减小，又∵当x=-1时，y=-4, ∴-4＜y ＜43 -. 二、综合应用（20分） 8.(20分) 已知反比例函数w y x -=的图象的一支位于第一象限. （1）图象的另一支位于哪个象限？常数w 的取值范围是什么？ （2）在这个函数图象的某一支上任取点A(a ，b ）和点B(a′，b′）.如果b ＞b′，那么a 和a′有怎样的大小关系？ 解：（1）图象的另一支位于第三象限，w ＞2.（2）a ＜a′. 三、拓展延伸（10分） 9.(10分) 已知点A （x 1,y 1）、B （x 2,y 2）是反比例函数y= k x （k ＞0）图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则有（A ） A.y 1＜0＜y 2 B.y 2＜0＜y 1 C.y 1＜y 2＜0 D.y 2＜y 1＜0 26.2 实际问题与反比例函数 第1课时实际问题与反比例函数（1） ——面积问题与装卸货物问题 一、新课导入 1.课题导入 前面我们结合实际问题讨论了反比例函数，看到了反比例函数在分析和解决问题中所起的作用.这节课我们进一步探讨如何利用反比例函数解决实际问题. 2.学习目标 (1)掌握常见几何图形的面积（体积）公式. (2)能利用工作总量、工作效率和工作时间的关系列反比例函数解析式. (3)从实际问题中抽象出数学问题，建立函数模型，运用所学的数学知识解决实际问题. 3.学习重、难点 重点：面积问题与装卸货物问题. 难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式. 二、分层学习 1.自学指导 （1）自学内容：教材P12例1. （2）自学时间：8分钟. （3）自学指导：抓住问题的本质和关键，寻求实际问题中某些变量之间的关系. （4）自学参考提纲： ①圆柱的体积=底面积×高， 教材P12例1中，圆柱的高即是d，故底面积 4 10 S d . ②P12例1的第(2)问实际是已知S=500，求d. ③例1的第(3)问实际是已知d=15，求S. ④如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60 m2的矩形科技园ABCD，其中一边AB靠墙，墙长为12 m，设AD的长为x m，DC的长为y m. a.求y与x之间的函数关系式； 60 y x ? = ? ??? b.若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26 m，材料AD和DC 的长都是整米数，求出满足条件的所有围建方案.(AD=5 m,DC=12 m;AD=6 m,DC=10 m;AD=10 m,DC=6 m.) 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生是否掌握利用面积（体积）公式列反比例函数关系式. ②差异指导：辅导关注学困生. （2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化 (1)教材例1的解题思路和解答过程. (2)面积公式与体积公式中的反比例关系. (3)练习：已知某矩形的面积为20 cm2. ①写出其长y与宽x之间的函数表达式； ②当矩形的长为12 cm时，宽为多少?当矩形的宽为4 cm，长为多少? ③如果要求矩形的长不小于8 cm，其宽最多是多少？ 答案：① 20 y x =② 5 3 cm;5 cm③ 5 2 cm 1.自学指导 （1）自学内容：教材P13例2. （2）自学时间：5分钟. （3）自学方法：认真分析例题，积极思考，结合自学参考提纲自学. （4）自学参考提纲： ①工作总量、工作时间和工作效率（或速度）之间的关系是怎样的？ ②教材例2中这艘船共装载货物240吨，卸货速度v（吨/天）与卸货时间t （天）的关系是 240 v t =. ③如果列不等式求“平均每天至少要卸载多少吨”，你会怎样做？写出你的解答过程. ④一司机驾汽车从甲地去乙地，以80千米/小时的平均速度用6小时到达目的地. a.当他按原路匀速返回时，汽车速度v（千米/小时）与时间t（小时）有怎 样的函数关系？ 480 v t ? = ? ??? b.如果该司机必须在4小时之内返回甲地，则返程时的速度不得低于多少？(120千米/小时) c.若返回时，司机全程走高速公路，且匀速行驶，根据规定：最高车速不得超过120千米/小时，最低车速不得低于60千米/小时，试问返程所用时间的范围是多少？（4~8小时） 2.自学：学生可结合自学指导进行自学. 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生是否会列函数关系式，是否会根据反比例函数关系解决实际问题. ②差异指导：指导学生从形式和自变量的取值范围两个方面对比正比例函数理解反比例函数. （2）生助生：同桌之间、小组内交流、研讨. 4.强化 （1）教材例2的解题思路和解答过程. （2）练习：某学校食堂为方便学生就餐，同时又节约成本，常根据学生多少决定开放多少售饭窗口，假定每个窗口平均每分钟可以售饭给3个学生，开放10个窗口时，需1小时才能对全部学生售饭完毕. ①共有多少学生就餐？ ②设开放x个窗口时，需要y小时才能让当天就餐的同学全部买上饭，试求 29.3 课题学习制作立体模型 一、导学 1.课题导入 问题：怎样由视图转化为立体图形？ 这节课我们通过动手实践来体会这个过程. 2.学习目标 (1)体验平面图形向立体图形转化的过程. (2)体会用三视图表示立体图形的作用. (3)进一步感受平面图形与立体图形之间的关系. 3.学习重、难点 重点：根据三视图制作立体模型. 难点：具体操作. 4.自学指导 （1）自学内容：教材P105~P106. （2）自学时间：30分钟. （3）自学方法：准备刻度尺、剪刀、小刀、胶水、硬纸板、马铃薯等参与活动. （4）课题活动参考提纲： ①以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组三视图所表示的立体模型. 图1 图2 ②按照下面给出的两组三视图，用马铃薯做出相应的实物模型. 图3 图4 ③下面每组平面图形都是由四个等边三角形组成. a.其中哪些可以折叠成多面体，把上面的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案； b.画出由上面图形能折叠成的多面体的三视图，并指出图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的； c.如果上图中小三角形的边长都是1，那么对应的多面体的表面积是多少？ cm2） ④下面的图形由一个扇形和一个圆组成. a.把上面的图形描在纸上，剪下来，围成一个圆锥. b.画出由上面图形围成的圆锥的三视图. c.如果上图中扇形的半径为13 cm，圆的半径为5 cm，那么对应的圆锥的体积是多少？ 1 ×π×52cm3). 3 ⑤结合具体实例，写一篇介绍三视图、展开图的应用的短文. 二、自学 学生结合自学指导进行自学. 三、助学 1.师助生： （1）明了学情：观察学生具体操作中的情况. （2）差异指导：根据学情进行个别指导或分类指导. 2.生助生：小组内相互交流、研讨、总结、归纳. 四、强化 1.由三视图想象实物形状. 27.2.3 相似三角形的应用举例青海一中李清 〔学习设计〕 例 5：已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和 CD=12m，两树的根部的距离BD=5m，一个身高1．6m的人沿 着正对这两棵树的一条水平直路L从左向右前进，当他与 左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的 树的顶端点C？ 分析：, AB l CD l ⊥⊥?AB∥CD，?AFH∽?CFK。 ? FH AH FK CK =，即 8 1.6 6.4 512 1.610.4 FH FH - == +- ，解得FH=8。 数学建模的关键 是生活中的实际 问题转化为数学 问题，转化的方法 之一是画数学示 意图，在画图的过 程中可以逐渐明 问题中的数量关 系与位置关系，进 而形成解题思路。 【素材积累】 1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。 ２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人上人；失意不灰心；得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。 学科数学课题26.1.2反比例函数的图象和性质班级授课者时间审核者课型 学习目标 1.通过画反比例函数图象，训练作 图能力 2.通过从图象中获取信息.训 练识图能力.3.通过对图象性质的研 究，训练探索能力和语言组织能力. 重点会确定一个单项式的系数和次数； 难点 会确定一个单项式的系数和次数； 探究新知（一）小组合作学习 自 学 主题一：自学教材P4页．做—做 观察反比例函数y=x 2 ，y=x 4 ,y=x 6 的图象它们有什么共同点? 总结它们的共同特征. (1)函数图象分别位于哪几个象限? (2)在每一个象限内，随着x值的增大.y的值是怎样变化的?能说明这是为什么吗？ (3)反比例函数的图象可能与x轴相交吗?可能与y轴相交吗？为什么？ 请大家先独立思考，再互相交流得出结论. 对于问题 (3)，可能会有学生认为图象在逐渐接近x轴,y轴，所以当自变量取很小或很大的数时，图象能与x轴y轴相交.可以从函数式的定义域、函数与方程等角度进行解释。 总结：当k>0时，函数图象分别位于第象限内，并且在每一个象限内，y随x 的增大而 . 主题二：议一议 用类推的方法来研究y＝- x 2 ，y＝- x 4 ,y=- x 6 的图象有哪些共同特征? 结论： 反比例函数y ＝ x k 的图象，当k>0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而 ；当k<0时，在每一象限内，y 的值随x 值的增大而 . 对 学 对子间检查自学内容并相互讨论 群 学 1、组长带领组员进行讨论上述的相关问题，并检查本组成员的完成情况。 2、组长组织好本组要展示的内容和展示人员的安排。 （二）展示 展示一：主题一：反比例函数的图像 展示二：主题一：反比例函数的性质 课堂练习 1．已知反比例函数x k y -= 3，分别根据下列条件求出字母k 的取值范围：（1）函数图象位于第一、三象限（2）在第二象限内，y 随x 的增大而增大 2．函数y ＝－ax ＋a 与x a y -= （a ≠0）在同一坐标系中的图象可能是（ ） 3．在平面直角坐标系内，过反比例函数x k y = （k ＞0）的图象上的一点分别作x 轴、y 轴的垂线段，与x 轴、y 轴所围成的矩形面积是6，则函数分析式为 课堂小结 通过本节课的学习，你有什么收获和体会？还有什么疑惑？ 课后练习 1．若函数x m y )12(-=与x m y -= 3的图象交于第一、三象限，则m 的取值范围是 2．反比例函数x y 2 - =，当x ＝－2时，y ＝ ；当x ＜－2时；y 的取值范围是 ； 当x ＞－2时；y 的取值范围是 人教版数学九年级下册全册课堂同步导学案 第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 26.1.1 反比例函数 一、课前预习 1.什么是函数？ 2.什么是一次函数？ 3.什么是正比例函数？ 4.乘法表中乘积为12的两个因数之间存在什么关系？ 二、创设情境 1.问题1 京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速度v（单位：km/h） 随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化． 问题2 某住宅小区要种植一块面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长 y（单位：m）随宽x（单位：m）的变化而变化. 问题3 已知北京市的总面积为1.68×104km2，人均占有面积 S（单位:km2/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化． 三、形成概念 反比例函数定义： 四、概念辨析 下列函数中哪些是反比例函数?并说出它的k。哪些是一次函数? ;; ; ; ;; ; ;. 五、例题探究 例1.当m ＝时，关于x的函数y=(m+1)是反比例函数？ 例2.已知y是x的反比例函数，并且当x=2时,y=6． （1）写出y关于x的函数解析式；（2）当x=4时,求y的值. （3）当y =8 时，求x的值. 例3.画出的图像.（思考：画出的图像） 六、拓展练习 1．已知y与x2成反比例，并且当x=3时，y=4． （1）写出y关于x的函数解析式； （2）当x=1.5时，求y的值； （3）当y=6时，求x的值. 2.已知y-1与成反比例，且当x=1时y=4，求y与x的函数表达式，并判断是哪类函数？ 26.1.2 反比例函数的图象和性质 第1课时反比例函数的图象和性质 学习目标： 1.能用描点法画出反比例函数的图象. 2.掌握反比例函数的图象和性质，并会用性质解决问题. 学习重难点： 重点：反比例函数的图象和性质 难点：理解反比例函数的性质，并能灵活运用 学习过程： 一、温故知新 1．反比例函数的反比例函数的表达式是 ____________ _______；解析式中自变量x的取值能为0吗？为什么？_______________ _______。 2．一次函数和二次函数的图象分别是，它们性质分别是： 。 3. 画函数图象的一般步骤是（1）；（2）；（3）。 数学活动 ——利用测角仪测量物高 一、导学 1.活动导入 请同学们准备如下学具：半圆形量角器一个，细线一根，小挂件(或其他小重物)，软尺一个. 这节课我们利用测角仪测量物高. 2.活动目标 （1）能自制测角仪，根据实际情况设计测量物高的方案. （2）能运用解直角三角形的知识根据测量的数据计算物高. 3.活动重、难点 重点：自制测角仪，测量物高. 难点：测量活动. 二、活动过程 1.活动指导 （1）活动内容：教材P81活动1、2：制作测角仪，测量树的高度；利用测角仪测量塔高. （2）活动时间：45分钟. （3）活动方法：完成活动参考提纲. （4）活动参考提纲： ①自制测角仪： 把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小挂件，如图1、2所示，制成的一个简单测角仪. 图1 图2 图3 ②探索测角仪的使用方法：如图3所示，仰角的度数是多少？ ③测量原理探讨: a.测量底部可以到达的物体的高度，如图4： b.测量底部不可以直接到达的物体的高度，如图5： ④探讨测量方案，设计活动报告: a.测量树高 (底部可以到达的物高)，如图6： b.测量塔高(底部不可到达的物高)，如图7： 图6 图7 ⑤活动实施: a.设计测量方案. b.实际测量，记录数据. c.整理数据计算物高. d.填写活动报告. 课题 测量示意图 测量数据 测量项目第一次第二次平均值 计算过程 结论 3.助学 （1）师助生： ①明了学情：了解学生是否能制作测角仪、设计测量方案，并积极参与活动. ②差异指导：全班学生每6人一组分组活动，指导学生制作测角仪、设计测量方案，督促学生认真完成活动. （2）生助生：小组内互相交流. 4.强化 （1）底部可以到达的物高的测量原理. （2）底部不可到达的物高的测量原理. 三、评价 1.学生学习的自我评价：这节课你有什么收获？有哪些不足？ 2.教师对学生的评价： （1）表现性评价：从学生参与活动的积极性、动手操作能力等方面进行评价. （2）纸笔评价：活动报告评价检测. 3.教师的自我评价（教学反思）. 本课时的数学活动是利用测角仪测量物高.整个活动过程应充分发挥学生的主动性，指导学生利用半圆形量角器、细线、小挂件制作一个简单的测角仪，对于在活动过程中有问题的学生及时给予帮助，增强与学生的互动和交流，将实际问题转化为数学模型，利用解直角三角形的知识进行解答. 一、基础巩固（60分） 1. (20分)某校九年级四个数学活动小组参加测量操场旗杆高度的综合实践活动，如图是四个小组在不同位置测量后绘制的示意图，用测角仪测得旗杆顶端A的仰角记为α，CD为测角仪的高，测角仪CD的底部C处与旗杆的底部B处之间的距离记为CB，四个小组测量和记录数据如下表所示： 29.1 投影 李度一中陈海思 第1课时平行投影与中心投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.了解投影的有关概念，能根据光线的方向辨认物体的投影。 2.了解平行投影和中心投影的区别。 3.了解物体正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。（二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 了解正投影的含义，能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【情境引入】 活动1 设问：你注意观察过周围物体在日光或灯光下的影子吗？影子与物体有着怎样的联系呢？教师展示实物及图片，学生观察、思考，感知物体与投影之间的关系。 学生讨论、发表观点；教师归纳。 总结出投影、投影线、投影面的概念。 总结：一般地，用光线照射物体，在上，得到的叫做物体的投影，叫做投影线，投影所在的叫做投影面。【自主探究】 活动2 教师给学生展示一组阳光下的投影图片，设问：下列投影中，投影线、投影面分别是什么？这些投影线有何共同特征？学生观察、思考、归纳，教师指导。 归纳总结：由形成的投影叫做平行投影。 试举出平行投影在生活中的应用实 例。。 活动3 出示一组灯光下的投影，学生观察投影线、投影面分别是什么？这些投影线有何共同特征？学生分析、回答。 归纳总结：由发出的光线形成的投影叫做中心投影。 试举出中心投影在生活中的应用实 例。。 活动4 出示教材88页练习：将物体与它们的投影用连接起来。 【合作探究】 活动5： 问题1 1.1 锐角三角函数 第1课时正切与坡度 学习目标: 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点: 1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点: 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法: 引导—探索法. 学习过程: 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵ 2 2 2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值. 四、随堂练习： 1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗? 2、如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度.(结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置 升高________米. 4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则 tanθ＝______. 5、如图，Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB的长为12 m，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD，求DB的长.(结果保留根号) 五、课后练习： 29.1 投影 杭信一中何逸冬 第2课时正投影 【学习目标】 （一）知识技能： 1.进一步了解投影的有关概念。 2.能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 （二）数学思考：在探究物体与其投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，发展学生的空间观念。 （三）解决问题：通过对物体投影的学习，使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识。 （四）情感态度：通过学习，培养学生积极主动参与数学活动的意识，增强学好数学的信心。 【学习重点】 能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。 【学习难点】 归纳正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。 【学习准备】手电筒、三角尺、作图工具等。 【学习过程】 【知识回顾】 正投影的概念：投影线于投影面产生的投影叫正投影。 【自主探究】 活动1 出示探究1 如图29.1—7中，把一根直的细铁丝（记为线段AB）放在三个不同位置：（1）铁丝平行于投影面； （2）铁丝倾斜于投影面： （3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有公共点）。 三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？ 通过观察、讨论可知： （1）当线段AB 平行于投影面P 时，它的正投影是线段A1B1,线段与它的投影的大小关系为AB A1B1； （2）当线段AB 倾斜于投影面P 时，它的正投影是线段A2B2,线段与它的投影的大小关系为AB A2B2； （3）当线段AB 垂直于投影面P 时，它的正投影是 。 设计意图：用细铁丝表示一条线段，通过实验观察，分析它的正投影简单直观，易于发现结论。 活动2 如图，把一块正方形硬纸板P （记为正方形ABCD ）放在三个不同位置： (1)纸板平行于投影面； (2)纸板倾斜于投影面； (3) 纸板垂直于投影面。 三种情形下纸板的正投影各是什么形状？ 通过观察、讨论可知： (1)当纸板P 平行于投影面时，P 的正投影与纸板P 的 一样; (2)当纸板P 倾斜于投影面时，P 的正投影与纸板P 的 ; (3)当纸板P 垂直于投影面时，P 的正投影成为 。 归纳总结：通过活动1、活动2你发现了什么？ 正投影的性 最新人教版九年级数学下册全册导学案 26.1 二次函数及其图像 26.1.1 二次函数 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如 ___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方 米，那么 y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 C B C B C B A 课题：28．1锐角三角函数（1） 目标导航： 【学习目标】 ⑴: 经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。 ⑵: 能根据正弦概念正确进行计算 【学习重点】 理解正弦（sinA ）概念，知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实． 【学习难点】 当直角三角形的锐角固定时，，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 【导学过程】 一、自学提纲： 1、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=10m ，?求AB 2、如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20m ，?求BC 二、合作交流： 问题： 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？ 思考1：如果使出水口的高度为50m ，那么需要准备多长的水管？ ； 如果使出水口的高度为a m ，那么需要准备多长的水管？ ； 结论：直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边 的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？ 结论：直角三角形中，45°角的对边与斜边的比值 三、教师点拨： 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠ A 的对边与斜边的比都等于1 2 ，是一个固定值；?当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比 都等于 2 ，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 探究：任意画Rt △ABC 和Rt △A ′B ′C ′，使得∠C=∠C ′=90°， 二次函数 【学习目标】 1. 了解二次函数的有关概念． 2. 会确定二次函数关系式中各项的系数。 3. 确定实际问题中二次函数的关系式。 【学法指导】 类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。 【学习过程】 一、知识链接： 1.若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 。 2. 形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数；形如 0)k ≠（的函数是反比例函数。 二、自主学习： 1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式 为 。 分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为 y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y = ，整理为y = . 2.n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式 _______________________． 3.用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式 是 。 4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？ 。 5.归纳：一般地，形如 ，（,,a b c a 是常数，且 ）的函数为二次函数。其中x 是自 变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流： （1）二次项系数a 为什么不等于0？ 答： 。 （2）一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？ 答： . 四、跟踪练习 1．观察：① 26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x =-+；⑥()2 21y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。（只填序号） 2.2(1)31m m y m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________． 三视图 课题： 29.2三视图（4）序号： 学习目标： 1、知识和技能： 学会根据物体的三视图所提供的数据，分析立体图形的有关数据并计算它的体积。 2、过程和方法： 经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。 3、情感、态度、价值观： 了解将三视图转换成立体图形在生产中的作用，使学生体会到所学知识有重要的实用价值。 学习重点： 学会根据物体的三视图所提供的数据，分析立体图形的有关数据并计算它的体积。 学习难点： 根据三视图描述基本几何体和实物原型及三视图在生产中的作用。 导学方法： 课时： 导学过程 一、课前预习： 预习课本第P114——115例6的有关内容，尝试完成《导学案》的教材导读和自主测评。 二、课堂导学： 1、导入 让学生欣赏事先准备好的机械制图中三视图与对应的立体图片，借助图片信息，让学生体会本章知识的价值。并借此可以讲述一下现在一些中专、中技甚至大学开设的模具和机械制图专业的课程都需要这方面的知识，激发学生学习兴趣，导入本课。 2、出示任务自主学习 阅读课本第P114——115例6的有关内容，并完成下面几个问题： 1）如何由几何体的三视图计算几何体的表面积与体积？ 2）简述三视图的作用。 3、合作探究 见《导学》P123难点探究 三、展示与反馈： 检查自学情况，解释学生疑惑。 四、学习小结： 由三视图想象立体图形，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左面，然后再综合起来考虑整体图形。然后根据物体的三视图所提供的数据，分析立体图形的有关数据并计算它的体积。 五、达标检测 1、课后练习 2、《导学案》自主测评 课后作业： 板书设计： 课题： 29.2三视图（4） 物体的形状、物体的三视图、物体的展开图三者相互联系、相互转化，我们可以由三构造几何原型，进而画出它的展开图，还可求表面积和体积等。 课后反思： 2.2.1 圆心角 1.了解圆心角的概念； 2.掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧之间的关系定理及该定理在解题中的应用． 自学指导 自学教材P47~48，完成下列问题. 知识探究 1.什么是圆心角? 解：顶点在圆上，角的两边与圆相交，像这样的角叫做圆心角. 2.弧、弦、圆心角的关系： 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也 相等 . 同样，还可以得到： 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等 . 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等. 3.思考： 定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 解：略. 自学反馈 1.如图所示，下列各角是圆心角的是 （ B ） A.ABC ∠ B.AOB ∠ C.OAB ∠ D.OBC ∠ 2.如图，A 、B 、C 、D 是 O 上的四点. （1）如果AOB COD ∠=∠，那么AB=___CD___，AB =__ ____； （2）如果AB CD =，那么AOB ∠=__∠COD____，AB=___CD___； （3）如果AB=CD ，那么AOB ∠=__∠COD____，AB =______. 活动1 小组讨论 例1 如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是( B ) A ．∠ABC B ．∠AOB C ．∠OAB D ．∠OCB 确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 例2 如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠B ＝70°，则∠A ＝___40°_____． 在应用弧、弦、圆心角之间的关系定理时，注意根据具体的需要选择有关部分，本题只需由两弧相等，得 到两弦相等就可以了． 例3 如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是OA ，OB 的中点，CM ⊥AB ，DN ⊥AB ，垂足分别为M ，N .求证：AC ︵ ＝BD ︵. 证明：如图所示，连接OC ，OD ，则OC ＝OD . ∵OA ＝OB ，M ，N 分别是OA ，OB 的中点， ∴OM ＝ON . 又∵CM ⊥AB ，DN ⊥AB ， ∴∠CMO ＝∠DNO ＝90°. ∴Rt △CMO ≌Rt △DNO .∴∠1＝∠2. ∴AC ︵＝BD ︵. 在同圆或等圆中，要证明圆心角、弧、弦、弦心距这四组量中的某一组量相等，通常是转化成证明另外三 组量中的某一组量相等． 活动2 跟踪训练 1.如图，MN 为⊙O 的弦，∠M=50°，则∠MON 等于（D ） A ．50° B ．55° C ．65° D ．80° 2.半圆所对的圆心角(B ) A ．大于180° B ．等于180° C ．在90°～180°之间 D ．等于90° 3. 如图，在⊙O 中，AB 、CD 为直径，则弧AD 与弧BC 的大小关系是( A ) A ．相等 B ．不相等 C ．不一定相等 D ．不能确定 学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评价_____ 圆的认识 第1课时圆的基本元素 【学习目标】 1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别； 2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念； 3．能应用圆的有关概念解决问题. 【学习重难点】 重点：理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别； 难点：理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念；【学法指导】 通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概念来解决问题． 【自学互助】 （图1） 一、自学教材P36-37 （一）知识链接 1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识 2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的并思考圆有什么特征 （二）根据以下题目自主学习并完成 1．理解圆的定义：（自己动手画圆） （1）描述性定义：____________________________________________________。 从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __； ②到定点的距离等于定长的点都在____ _. （2）集合性定义：__________________________________________________。 （3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______. （4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____ 确定圆的位置，______确定圆的大小. 2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。 如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧有；劣弧有。 【展示互导】 活动1．学生展示自主学习内容并相互交流 活动2.判断下列说法是否正确，为什么 （1）直径是弦.（）（2）弦是直径.（） （3）半圆是弧.( ) (4) 弧是半圆.( ) 建华镇初级中学九年级数学下导学案册 课题：反比例函数 备课人：高海鹏 学习目标：1．理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 学习难点：理解反比例函数的概念及建模； 知识链接：1、形如)0(≠=k kx y 的函数叫做正比例函数，2，形如 )0k b (≠+=是常数，且、k b kx y 的函数叫做一次函数。当b=0时称为正比例函数 1、一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成y ＝ （k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数．反比例函数的基本形式还能表示为 2、下列等式中，哪些是反比例函数? （填序号） （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+= x y （5）x y 23- = （6）31 +=x y （7）y ＝x －4 3、苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，则y 与x 之间的函数关系式为 4、矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，则y 与x 的函数解析式为 5、函数2 1 +- =x y 中自变量x 的取值范围是 x -2 -1 2 1- 21 1 3 y 3 2 2 -1 三、探究、合作、交流：（根据掌握的知识，认真填写下列内容） 1、已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ， 当x ＝－3时，y ＝ 2、已知y-2与x 成反比例，当x=3时，y=1，则y 与x 间的函数关系式是 。 3、当n 何值时，y =(n 2+2n )2 1 n n x +-是反比例函数？。 4、已知y 与x 成反比例，且当x=2时，y=6，求y 与x 的函数关系式． 5、已知y 与x-1成反比例函数，当x=2时y=1，则这个函数的表达式是（ ） A 、11-=x y B 、1-=x k y C 、11+=x y D 、11 -=x y 26.1.1二次函数（第一课时） 教学目标：（1）理解并掌握二次例函数的概念；（2）、能判断一个给定的函数是否为二次例函数（3）、能根据实际问题中的条件确定二次例函数的解析式。 重点：理解二次例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式； 难点：理解二次例函数的概念.。 教学过程： 一．预习检测案 一般地，形如____________________________的函数，叫做二次函数。其中x是________，a是__________，b是___________，c是_____________． 二．合作探究案： 问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x,表面积为y,写出y与x的关系。 问题2: n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系? 问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示? 问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点? 小组交流、讨论得出结论：经化简后都具有的形式。 问题5：什么是二次函数？ 形如。 问题6：函数y=ax2+bx+c，当a、b、c满足什么条件时，(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？(3)它是正比例函数？ 例1: 关于x的函数 m m x m y- + =2 )1 ( 是二次函数, 求m的值. 注意:二次函数的二次项系数必须是的数。三．达标测评案： 1．下列函数中,哪些是二次函数? (1)y=3x-1 ; (2)y=3x2+2; (3)y=3x3+2x2; (4)y=2x2-2x+1; (5)y=x2-x(1+x); (6)y=x-2+x. 2.若函数y＝(a－1)x2＋2x＋a2－1是二次函数,则( ) A.a＝1 B.a＝±1 C.a≠1 D.a≠－1 3.一定条件下,若物体运动的路段s(米)与时间t(秒)之间的关系为s＝5t2＋2t,则当t＝4秒时,该物体所经过的路程为 A.28米 B.48米 C.68米 D.88米 4.一个长方形的长是宽的2倍,写出这个长方形的面积与宽之间的函数关系式. 5．一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积Ｓ与半径Ｒ之间的关系式。 6、n支球队参加比赛，每两支之间进行一场比赛。写出比赛的场数m与球队数n之间的关系式。 7、若函数为二次函数，求m的值。 8、已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为- 5, 求这个二次函数的解析式. 课后反思： m m 22 1)x (m y- - = 的邻边 的对边A A ∠∠28.2.2 应用举例 杭信一中 何逸冬 第2课时 利用仰俯角解直角三角形 【学习目标】 ⑴ 使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题． ⑵ 逐步培养学生分析问题、解决问题的能力． ⑶ 渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的观点，培养学生用数学的意识 【学习重点】 将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决． 【学习难点】 实际问题转化成数学模型 【导学过程】 一、自学提纲： 1．解直角三角形指什么？ 2．解直角三角形主要依据什么？ (1)勾股定理： (2)锐角之间的关系： (3)边角之间的关系： tanA= 二、合作交流： 斜边的邻边 A A ∠=cos 斜边的对边 A A ∠=sin 仰角、俯角 当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 仰角，在水平线下方的角叫做俯角． 三、教师点拨： 例3 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功.当飞船完成变轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行.如图,当飞船运行到地球表面上P 点的正上方时，从飞船上最远能直接看到的地球上的点在什么位置?这样的最远点与P点的距离是多少?(地球半径约为6 400 km，结果精确到0. 1 km) 例4热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60o，热气球与高楼的水平距离为120 m.这 栋高楼有多高(结果精确到0.1m)? 四、学生展示： 一、课本76页练习第1 、2题 五、课堂小结： 六、作业设置： 课本第78页习题28．2复习巩固第3、4题 七、自我反思： 本节课我的收获: 【素材积累】 1、2019年，文野1岁那年，买房后第二年，完成了人生中最重要的一次转变。这一年，他摘心里对自己的定位，从穷人变成了有钱人。一些人哪怕有钱了，心里也永远甩不脱穷的影子。 ２、10月19 日下战书，草埠湖镇核心学校组织全镇小学老师收看了江苏省泰安市洋思中学校长秦培元摘宜昌所作的教训呈文录象。秦校长的讲演时光长达两个多小时，题为《打造高效课堂实现减负增效全面提高学生素质》。 24.1.1旋转 学习目标 1.掌握旋转的有关概念，理解旋转变换也是图形的一种基本变换； 2.探索和发现旋转后图形上的每一点都绕着旋转中心转动了相同的角度，图形的形状和大小都没有变化；会找出旋转前后图形中的对应点、对应线段、对应角、旋转中心、旋转角。根据旋转的性质，作出旋转后的图形； 3.让学生体会图形经过旋转变换后坐标的变化情况。 4.通过对旋转现象观察分析的过程，培养学生用数学的眼光看待生活中的有关问题； 学习重难点 重点：掌握旋转的有关概念，探索和发现旋转的性质；会准确找出对应元素，旋转中心、旋转角。 难点：对图形进行旋转变换，画出旋转后的图形，掌握作图的技能。 课前预习 1．如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，折叠后重合的点叫做对称点． 3．在平面内，一个图形绕着一个定点(如点O)，旋转一定的角度(如θ)，得到另一个图形的变换，叫做旋转．定点O叫做旋转中心，θ叫做旋转角．原图形上一点A旋转后成为点A′，这样的两个点叫做对应点． 4．一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等；两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，都等于旋转角；旋转中心是唯一不动的点．5．在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度后，能够与原图重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心． 课堂探究 1．旋转的性质 例1 同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的．如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的四边形AEFG可以看成是把四边形ABCD以A为中心 ()． 1.1锐角三角函数 第 1 课时正切与坡度 学习目标 : 1.经历探索直角三角形中边角关系的过程. 理解正切的意义和与现实生活的联系. 2.能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算 . 学习重点 : 1. 从现实情境中探索直角三角形的边角关系. 2. 理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点 : 理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法 : 引导—探索法 . 学习过程 : 一、生活中的数学问题: 1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 2、生活问题数学化： ⑴如图：梯子AB和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ ⑵以下三组中，梯子AB和 EF 哪个更陡？你是怎样判断的？ 二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题）⑴Rt △AB1C1和 Rt△AB2C2有什么关系 ? ⑵B 1 C 1 和 B 2 C 2有什么关系？AC1AC2 ⑶如果改变B2在梯子上的位置( 如 B3C3) 呢 ? ⑷由此你得出什么结论? 三、例题： 例 1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡? 例2、在△ ABC中，∠ C=90°， BC=12cm， AB=20cm，求 tanA 和 tanB 的值 . 四、随堂练习： 1、如图，△ ABC是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗? 2、如图，某人从山脚下的点A 走了 200m后到达山顶的点B，已知点 B 到山脚的垂直距离为55m，求山的坡度 .( 结果精确到0.001) 3、若某人沿坡度i ＝ 3： 4 的斜坡前进10 米，则他所在的位置比原来的位置 升高 ________米. 4、菱形的两条对角线分别是16 和 12. 较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ ，则 tan θ＝______. 人教版九年级下册数学全章导学案 第二十六章反比例函数 26.1 反比例函数 学习目标 1．理解并掌握反比例函数的概念 2．能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式 3．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想 4．经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念以及意义。 5．培养观察、推理、分析能力，体验数形结合的数学思想，认识反比例函数的应用价值。 学习重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式 学习难点：理解反比例函数的概念 【导读指导】 1.情景导入 2.明确目标 3.预习检测 回忆一下什么是一次函数、二次函数？它们的一般形式是怎样的？ 【导学指导】 4.展示探究 （1）体育课上，老师测试了百米赛跑，那么，时间与平均速度的关系是怎样的？ （2）看教材P2页思考中的三个问题，三个函数的解析式分别是怎样的？ （3）电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR，当U＝220V时， （1）你能用含有R的代数式表示I吗？ （2）利用写出的关系式完成下表： R/Ω20 40 60 80 100 I/A 当R越来越大时，I怎样变化？当R越来越小呢？ （3）变量I是R的函数吗？为什么 归纳： 反比例函数：如果两个变量x,y之间的关系可以表示成 的形式，那么y是x的反比例函数，其中x是自变量，反比例函数的自变量x的取值范围是。 【导练指导】 5.拓展测评 1．下列等式中，哪些是反比例函数 （1）3x y = （2）x y 2-= （3）xy ＝21 （4）25+=x y （5）x y 23- = （6）31 +=x y （7）y ＝x －4 2．当m 取什么值时，函数2 3)2(m x m y --=是反比例函数？ 3．苹果每千克x 元，花10元钱可买y 千克的苹果，求出y 与x 之间的函数关系式。 【导思指导】 6.小结收获 反比例函数、一次函数、二次函数的一般形式？ 7.点评激励 8.课后作业 1.若函数2 8)3(m x m y -+=是反比例函数，求m 。 2.矩形的面积为4，一条边的长为x ，另一条边的长为y ，求y 与x 的函数解析式。 3.已知y 与x 成反比例，且当x ＝－2时，y ＝3，则y 与x 之间的函数关系式是 ，当x ＝－3时，y ＝ 4.函数2 1 +- =x y 中自变量x 的取值范围是 5.已知函数y ＝y 1＋y 2，y 1与x ＋1成正比例，y 2与x 成反比例，且当x ＝1时， y ＝0；当x ＝4时，y ＝9，求当x ＝－1时y 的值。九年级下册数学29.3 课题学习 制作立体模型(导学案)
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