第27炼 三角函数的值域与最值
一、基础知识
1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2
21cos21cos2cos
,sin 22
αα
αα+-=
=
（2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式
()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+
（4）合角公式：()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b
a
?=
2、常见三角函数的值域类型：
（1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ??
??=-
∈- ????
???
的值域 解：设24
t x π
=-
当,44x ππ??
∈-
????
时，32,444t x πππ??=-∈-????
sin 22t ?∴∈-???
()
f x ?∴∈?
（2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的函数，再求出值域即可
例：求()2
2sin cos 2,,63f x x x x ππ??
=-+∈-
????
的值域 解：()()
22sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++ 设sin t x =
2,63x ππ??∈-???? 1,12t ??∴∈-????
2
213
124
y t t t ??=++=++ ???
3,34y ??∴∈????，即()f x 的值域为3,34??????
（3）含三角函数的分式，要根据分子分母的特点选择不同的方法，通常采用换元法或数形结合法进行处理（详见例5，例6） 二、典型例题
例1：已知向量()()
()cos ,sin 3cos ,cos 3sin ,sin ,a x x x b x x x f x a b =+=--=? （1）求函数()f x 的单调递增区间 （2）当,64x ππ??
∈-
???
?时，求()f x 的取值范围
解：（1）()()()
()cos cos sin sin f x a b x x x x x x =?=++?-
2
2
cos sin cos x x x x =--
cos 222cos 23x x x π?
?
=-=+
??
?
()522223
3
6
k x k k x k k Z π
π
π
ππππππ+≤+
≤+?
+≤≤
+∈ ∴单调递增区间为：()5,36k k k Z ππππ??
++∈????
（2）思路：由（1）可得：()2cos 23f x x π?
?
=+ ??
?
，从,64x ππ??
∈-
????
得到角23x π+的范
围，进而求出()f x 的范围
解：由（1）得：()2cos 23f x x π??
=+
??
?
,64x ππ??∈-???? 52,20,3236x x ππππ??
??∴∈-?+∈??????
??
cos 23x π???
?∴+∈?? ?????
()2cos 223f x x π????∴=+∈ ????? 小炼有话说：对于形如()()sin f x A x ω?=+的形式，通常可先计算出x ω?+的范围，再确定其三角函数值的范围 例2：已知函数()cos 22sin sin 344f x x x x πππ?
?
?
???=-
+-+ ? ? ??
????
? （1）求函数()f x 的最小正周期和图像的对称轴方程 （2）求函数()f x 在区间,122ππ??
-
???
?的值域 解：（1）()cos 22sin sin 344f x x x x πππ??
?
???=-
+-+ ? ? ??
??
???
1cos 2sin 22sin 222222x x x x x x ????=++-+ ??? ???????
221cos 2sin 2sin cos 22
x x x x =
++-
11cos 2sin 2cos 2sin 2cos 22222x x x x x =
+-=- sin 26x π??
=-
??
?
T π∴= 对称轴方程：()26
2
3
2
k x k x k Z π
π
π
π
π-
=
+?=
+
∈ （2）思路：将26
x π-视为一个整体，先根据x 的范围求出26
x π-
的范围，再判断其正弦
值的范围
解：()sin 26f x x π??
=-
??
?
,122x ππ??
∈-????
52,636x πππ??∴-∈-????
()sin 2,162f x x π???
?∴=-∈-?? ?????
例3：函数2
7
cos sin cos24
y x x x =--+
的最大值为___________ 思路：解析式中的项种类过多，不利于化简与分析，所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。观察可得cos x 次数较低，所以不利于转化，而2
sin ,cos2x x 均可以用cos x 进行表示，确定核心项为cos x ，解析式变形为(
)(
)
2
2
7cos 1cos 2cos 14
y x x x =----+
，化简后为2
271cos cos cos 242y x x x ?
?=-++=--+ ??
?，当1cos 2x =时，max 2y =
答案：2
小炼有话说：当解析式无法化成()sin y A x ω?=+的形式时，要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数，进而要将某个三角函数作为核心变量，并将其余的三角函数用核心变量进行表示，再将核心变量进行换元求出值域即可 例4：设函数()sin cos2f x x x =+，若,62x ππ??
∈-
???
?，则函数()f x 的最小值是______ 思路：同例4考虑将解析式中的项统一，2
2
cos212sin 12sin x x x =-=-，进而可将sin x 作为一个整体，通过换元来求值域。
解：()2
sin cos2sin 12sin f x x x x x =+=+- 设sin t x =，由,62x ππ??∈-
????可得：1sin ,12x ??
∈-????
，从而[]0,1t ∈ 2
219
21248
y t t t ??∴=-++=--+ ???，所以90,8y ??∈????
所以最小值为0y = 答案：0
例5：函数()3sin 2sin x
f x x
-=
+的值域为___________
思路：可将sin x 视为研究对象，令[]sin ,1,1t x t =∈-，进而只需求32t
y t
-=+的值域即可。 解：令sin t x =，可得[]1,1t ∈-
35
122
t y t t -∴=
=-+
++ []1,1t ∈- []21,3t ∴+∈
55,523t ??∴
=??+?? 521,423y t ??∴=-+∈??+??
答案：2
,43
?????
?
小炼有话说：要注意在x R ∈时sin x 自身带范围，即[]sin 1,1x ∈-
例6：函数()2sin cos x
f x x
-=
的值域为____________
思路：可变形为()2sin 0cos x f x x -=--，且2sin 0cos x
x
--可视为()0,2与()cos ,sin x x 连线的斜率
k 的取值范围，()cos ,sin x x 为单位圆上的一点，所以问题转化为直线:2l y kx =+与圆
221x y +=有公共点的k 的范围。所以
1O l d -=
≤，解得：k ≥k ≤
所以()(
)
,3,f x ?∈-∞+∞?
答案：(
)
,3,?-∞+∞?
小炼有话说：（1）对比例5和例6，尽管都是同一个角的分式值域，但是例5的三角函数名相同，所以可视为同一个量，利用换元求解，而例6的三角函数名不同，所以不能视为同一个量。要采取数形结合的方式。
（2）本题还可利用方程与函数的关系求得值域，解法如下：
2sin cos sin 2cos x
y y x x x
-=
?+=
()()
2sin x x ??+=?+=
所以y 的取值范围（即值域）要能保证存在x 使得等式成立
1≤
2∴≤
(
)
,3,y ?∈-∞+∞?
例7：设函数()sin 2,,66f x x x a ππ??
??=+∈- ????
???的值域是1,12??-????
，则实数a 的取值范围是_____________
思路：本题是已知值域求参数，所以考虑先带着a 计算角26
x π
+
的范围为,266a π
π??-
+????
， 可知162f π??-
=- ???，值域中最大值为1，所以说明,26
6a π
π??-+????经过2π，同时范围不能超过7
6π（否则最小值就要小于1
2
-），从而可得72266a πππ≤+≤，解得：62a ππ≤≤
答案：
6
2
a π
π
≤≤
例8：已知函数()2
cos sin cos 2a f x a x b x x =--
的最大值为12
，且34f π??= ???
，则3f π??
-= ???
（ ） A.
12 B.
C. 12-
D. 1
2
-
思路：观察到()f x 的项具备齐二次的特点，所以想到将解析式化为()sin A x ω?+的形式，通过变形可得：(
)()2f x x ?=
+
，所以最大值为12
=，即221a b +=
①，再利用34f π??
= ???
可得：14a --=
②，通过①②可解得：
02,112
a a
b b ?=-?=???
?=-??
=-??，进而求出3f π??
- ???
的值为12-
或4
解：()2
1cos21cos sin cos sin22222
a x a
f x a x b x x a b x +=--=?-- (
)()1cos2sin222a x b x x ?=-=
+ 所以可得：(
)max 12
f x ==
另一方面：21cos sin cos 33332444a f a b a ππππ??=--=--=
???
整理可得：221a b a ?+=??+=??
，解得：02,112
a a
b b ?=?=????
=-??=-?? 当0
1a b =??
=-?
时，
sin cos 3334f πππ??????
-=--= ? ? ???????
当212
a b ?=-????=-
??时，
21sin cos 03232334f ππππ????????-=--+--+= ? ? ? ?
???????? ∴ 3f π??
- ???
的值为12-
或4
例9：当02
x π
<<时，函数()21cos28sin sin 2x x
f x x ++=的最小值为__________
思路一：考虑将所有项转变为关于2x 的三角函数，即
()()5
cos21cos241cos253cos233sin2sin20sin2x x x x f x x x x -++--===-?
-，从而想到分式与斜率的关系，5
cos23sin 2x
x -可视为()50,,sin 2,cos23x x ??
???
，结合02x π<<可得()sin2,cos2x x 为
单位圆半圆上的点，通过数形结合可得：最小值为4
思路二：考虑将所有项转变为关于x 的三角函数，则
()222221cos28sin 2cos 8sin cos 4sin sin 22cos sin cos sin x x x x x x
f x x x x x x ++++===，观察到分子分母为
齐二次式，从而上下同时除以2
cos x ，可得：()214tan 1
4tan tan tan x f x x x x
+==+，因为
0,2x π??
∈ ???
，所以()tan 0,x ∈+∞，所以利用均值不等式可得：()14tan 4tan f x x x =+≥
答案：4
例10：求函数()sin cos sin cos 1f x x x x x =+-+的值域
思路：本题很难转化为同名三角函数解析式，解题的关键在于了解sin cos x x +与sin cos x x
之间的联系：()2
1sin cos sin cos 12x x x x ??=
+-?
?，从而将解析式的核心变量转化为sin cos x x +，通过换元求出值域即可
解：
()()()22
2211sin cos sin cos sin cos sin cos 122x x x x x x x x ????=
+-+=+-???? ()()2
1sin cos sin cos 112f x x x x x ??∴=+-+-+?
?
()()2
1sin cos 2sin cos 122x x x x ??=-+-+++?
?
()21
sin cos 122
x x =-+-+???? 因为sin cos 2sin 2,24x x x π?
???+=
+∈- ?????
sin cos 1x x ∴+=时，()max 2f x =
当sin cos 2x x +=-时，()min 1
22
f x =
- 所以可得：()f x 的值域为12,22??
-?
???
一、光速解题——学会9种快
速解题技法
技法1 特例法
在解答填空题时,可以取一个(或一些)特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,失去了推理论证的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种方法.
典例1 (特殊数值)求值:cos 2
α+cos 2
(α+120°)+cos 2
(α+240°)= .
答案
解析 题目中“求值”二字提供了这样的信息:答案为一定值,于是不妨令α=0°,则
原式=cos 20+cos 2120°+cos 2
240°=1+
+=.
典例2 (特殊点)点P 为椭圆+=1上第一象限内的任意一点,过椭圆的右顶
点A 、上顶点B 分别作y 轴、x 轴的平行线,它们相交于点C,过点P 引BC 、AC 的平行线交AC
于点N,交BC于点M,交AB于D、E两点,记矩形PMCN的面积为S1,三角形PDE的面积为S2,则S1∶S2= .
答案1
解析不妨取点P,则S1=×(5-4)=,PD=2,PE=,所以
S2=×2×=,所以S1∶S2=1.
典例3(特殊函数)若函数y= f(x)对定义域D中的每一个x1,都存在唯一的x2∈D,使f(x1)·f(x2)=1成立,则称f(x)为“影子函数”,有下列三个命题:
①“影子函数” f(x)的值域可以是R;
②“影子函数” f(x)可以是奇函数;
③若y= f(x),y=g(x)都是“影子函数”,且定义域相同,则y= f(x)·g(x)是“影子函数”.
上述正确命题的序号是.
答案②
解析对于①:假设“影子函数”的值域为R,则存在x1,使得f(x1)=0,此时不存在x2,使得f(x1)·f(x2)=1,所以①错误;
对于②:函数f(x)=x(x≠0),对任意的x1∈(-∞,0)∪(0,+∞),取x2=,则f(x1)·f(x2)=1,因为函数f(x)=x(x≠0)为奇函数,所以“影子函数” f(x)可以是奇函数,②正确;
对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)=(x>0)都是“影子函数”,但F(x)= f(x)·g(x)=1(x>0)不是“影子函数”(因为对任意的x1∈(0,+∞),存在无数多个x2∈(0,+∞),使得F(x1)·F(x2)=1),所以③错误.
典例4(特殊位置)(1)已知E为△ABC的重心,AD为BC边上的中线,令=a,=b,过点E的直线分别交AB,AC于P,Q两点,且=ma,=nb,则+= .
(2)如图,在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P,Q,且A1P=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、下两部分,则上、下两部分的体积之比为.
答案(1)3 (2)2∶1
解析(1)由题意知结果必然是一个定值,故可利用特殊直线确定所求值.如图,令PQ∥BC,则=,=,此时,m=n=,故+=3.
(2)将P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此时仍满足条件A1P=BQ(=0),则有
==.
因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2∶1的上、下两部分.
典例5(特殊图形)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则= .
答案
解析不妨令△ABC为等边三角形,则cos A=cos C=,则=.
技法2 换元法
换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来,隐含的条件显露出来,或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景
中再研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.
典例1(三角换元)已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的取值范围是.
答案[4,12]
解析已知x2+2xy+4y2=6,
即(x+y)2+(y)2=()2,
故设x+y=cos α,y=sin α,
即x=cos α-sin α,y=sin α.
则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(cos α-sin α)·sin α
=8-4sin.
所以8-4≤z≤8+4,即z的取值范围是[4,12].
典例2(整体代换)函数y=sin x-cos x+sin xcos x,x∈[0,π]的最小值是.
答案-1
解析设t=sin x-cos x=sin,
则sin xcos x=,
因为x∈[0,π],所以x-∈,
所以t∈[-1,],
所以y=t+=-(t-1)2+1,当t=-1时,y min=-1.
典例3(局部换元)设对一切实数x,不等式x2log2+2xlog2+log2>0恒成立,求a的取值范围.
解析设log2=t,则
log2=log2=3+log2=3-log2=3-t,log2=2log2 =-2t,则原不等式化为(3-t)x2+2tx-2t>0,它对一切实数x恒成立,所以
解得所以t<0,即log2<0,所以
0<<1,解得0 技法3 数形结合法 数形结合法包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系,即以形为手段,以数为目的,比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数的精确性阐明形的某些属性,即以数为手段,以形为目的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 典例1(平面向量问题)设a,b,c是单位向量,且a·b=0,则(a-c)·(b-c)的最小值为. 答案1- 解析由于(a-c)·(b-c)=-(a+b)·c+1,因此求(a-c)·(b-c)的最小值等价于求(a+b)·c的最大值,这个最大值只有当向量a+b与向量c同向共线时取得.由于a·b=0,故a⊥b,如图所示,|a+b|=,|c|=1,当θ=0时,(a+b)·c取得最大值,故所求的最小值为1-. 典例2(函数问题)(1)用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中最小的数,设f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),则f(x)的最大值为. (2)设函数g(x)=x2-2(x∈R), f(x)=则f(x)的值域是. 答案(1)6 (2)∪(2,+∞) 解析(1)在同一平面直角坐标系中画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可 知f(x)= ∴f(x)的最大值在x=4时取得,为6. (2)依题意知f(x)= 即f(x)=作出图象如下(加粗部分),由图象可知f(x)的值域是∪(2,+∞). 典例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,若 f(x)=则关于x的方程f(x)+a=0(0 答案1-2a 解析在平面直角坐标系中作出函数f(x)=以及y=-a的图象,由图象可知,关于x的方程f(x)+a=0(0 典例4(不等式问题)已知当动点P(x,y)满足时,不等式x2+y2+2y≥2a-1恒成立,则实数a的取值范围是. 答案 解析动点P(x,y)满足的约束条件为其可行域如阴影部分所示.x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1,其中x2+(y+1)2表示点(x,y)到点(0,-1)的距离的平方,由图可知,点A(0,-1)到直线y=-x的距离的平方就是x2+(y+1)2的最小值, 由点到直线的距离的平方得x2+(y+1)2的最小值为=, 因此x2+y2+2y=x2+(y+1)2-1的最小值为-1=-, 所以由不等式恒成立的条件知2a-1≤-,解得a≤,故实数a的取值范围是. 典例5(解析几何问题)若抛物线y2=2px(p>0)上一点M到抛物线的准线和对称轴的距离分别为10和6,则点M的横坐标为. 答案9或1 解析在图(1)中,MN=MF=10,MG=6,∴FG=8,故AF=2,则x M=OF+FG=9,∴M的横坐标为9.在图(2)中,GF=8,∴AF=10+8=18,∴OG=AG-OA=10-9=1,故M的横坐标为1. 技法4 待定系数法 待定系数法就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为解方程(组)的问题来解决.待定系数法主要用来解决所求解的数学问题中涉及某种确定的数学表达式的情况,例如求函数解析式、求曲线方程、求数列的通项公式等问题. 典例1(求函数解析式)(1)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2 f(x-1)=2x+17,求f(x). (2)已知f(x)是二次函数,且f(0)=0, f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x). 解析(1)设f(x)=ax+b(a≠0), 则f(x+1)=ax+a+b, f(x-1)=ax-a+b, ∴3 f(x+1)-2 f(x-1)=ax+b+5a=2x+17, ∴解得∴f(x)=2x+7. (2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=0,知c=0,∴f(x)=ax2+bx. ∵f(x+1)= f(x)+x+1, ∴a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, ∴ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1, ∴解得 ∴f(x)=x2+x. 典例2(求曲线方程)(1)(2017天津,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为. (2)已知椭圆C的焦点在x轴上,其离心率为,且过点A,则椭圆C的标准方程为. 答案(1)(x+1)2+(y-)2=1 (2)+y2=1 解析(1)由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t>0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1, 因为∠FAC=120°,CA⊥y轴, 所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1, 所以OA=,即t=, 故圆C的方程为(x+1)2+(y-)2=1. (2)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0). 因为e==,所以=,即a=2b. 故椭圆C的方程为+=1. 又点A在椭圆C上,所以+=1, 解得b2=1. 所以椭圆C的标准方程为+y2=1. 典例3(求数列的通项公式)(2018江苏南京调研)已知数列{a n}中,a1=0,a n+1=2a n+n(n∈N*),求数列{a n}的通项公式. 解析已知a n+1=2a n+n, 设a n+1+A(n+1)+B=2(a n+An+B), 则a n+1+An+A+B=2a n+2An+2B, 即a n+1=2a n+An+B-A, 则? ∴a n+1+n+1+1=2(a n+n+1), ∴{a n+n+1}是首项为a1+1+1=2,公比为2的等比数列, ∴a n+n+1=2·2n-1=2n, ∴a n=2n-n-1(n∈N*). 技法5 构造法 构造法是指利用数学的基本思想,通过已知和所求之间的联系,构造出解题的数学模型,从而使问题得以解决.构造法需以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础,针对具体问题的特点采取相应的解决办法,其基本的方法是借用一类问题的性质来确定另一类问题的相关性质.常见的构造法有构造函数、构造图形、构造方程等. 典例1(构造函数)已知可导函数f(x)(x∈R)的导函数f '(x)满足f(x)< f '(x),则不等式f(x)≥ f(2 019)e x-2 019的解集是. 答案[2 019,+∞) 解析构造函数g(x)=,因为f(x)< f '(x),所以g'(x)=>0,所以 g(x)=在R上单调递增.不等式f(x)≥f(2 019)e x-2 019可转化为≥,即g(x)≥g(2 019),即x≥2 019,故原不等式的解集为[2 019,+∞). 典例2(构造图形)(2018江苏四校高三调研)已知a>1,b>2,则的最小值为. 答案6 解析构造图形(如图),在直角三角形中由勾股定理可得(a+b)2=(+)2+9,则=(+)+≥6, 当且仅当+=3时取等号,故的最小值为6. 典例3(构造方程)已知16cos C+4sin B+tan A=0,sin2B=4cos Ctan A,其中cos C≠0, 试确定的值. 解析令t=4,则由16cos C+4sin B+tan A=0得t2cos C+tsin B+tan A=0.(*) 因为cos C≠0,所以(*)式是关于t的一元二次方程. 易得Δ=sin2B-4cos Ctan A=0, 所以关于t的一元二次方程(*)有两个相等的实根,且t1=t2=4. 由根与系数的关系得:=t1·t2=42=16,故tan A≠0, 因此,=. 技法6 补集法 补集法就是在已知问题涉及的类别较多,或直接求解比较麻烦时,先求解该问题的对立事件,进而利用补集的思想求得问题结果的方法.该方法在概率、集合、函数等问题中应用较多. 典例1(概率问题)(2018江苏南通海安高级中学高三检测)分别在集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数相乘,则乘积为偶数的概率为. 答案 解析在集合A={1,2,3,4}和集合B={5,6,7,8}中各取一个数相乘,有16种结果,其中乘 积为奇数的有(1,5)、(1,7)、(3,5)、(3,7),共4种,则乘积为偶数的概率为1-=. 典例2(集合问题)已知集合A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0},且A∪B≠A,求实数a的取值范围. 解析∵集合A={x|x2-2x-8=0}={-2,4}. 若A∪B=A,则B?A, ①若B=A,则x=-2和x=4是方程x2+ax+a2-12=0的两个根,解得a=-2. ②若B={-2},则x=-2是方程x2+ax+a2-12=0的唯一解,得a=4. ③若B={4},则x=4是方程x2+ax+a2-12=0的唯一解,此时a不存在. ④若B为空集,则方程x2+ax+a2-12=0无实数解,即a2-4(a2-12)<0,解得a<-4或a>4. 综上可知,若A∪B=A,则a=-2或a<-4或a≥4. ∴若A∪B≠A,实数a的取值范围是[-4,-2)∪(-2,4). 典例3(函数问题)已知函数f(x)=ax2-x+ln x在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围是. 答案 解析 f '(x)=2ax-1+. ①若函数f(x)在区间[1,2]上单调递增,则 f '(x)≥0在[1,2]上恒成立,即 2ax-1+≥0,x∈[1,2],即a≥,x∈[1,2].(*) 令t=,因为x∈[1,2],所以t=∈. 设h(t)=(t-t2)=-+,t∈,显然函数h(t)在区间上单调递减, 所以h(1)≤h(t)≤h,即0≤h(t)≤. 由(*)可知,a≥. ②若函数f(x)在区间[1,2]上单调递减,则 f '(x)≤0在[1,2]上恒成立,即 2ax-1+≤0,x∈[1,2],即a≤·,x∈[1,2]. 结合①可知,a≤0. 综上,若函数f(x)在区间[1,2]上单调,则实数a的取值范围为(-∞,0]∪. 所以,若函数f(x)在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围为. 技法7 等价转化法 等价转化法是把难解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范、简单的问题.利用等价转化的思想方法解决数学问题没有统一的模式.既可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换,也可以在宏观上进行等价转化,消元法、换元法等都体现了等价转化的思想. 典例1(等体积转化)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别为线段AA1,B1C上的点,则三棱锥D1-EDF的体积为.
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