9.4两个平面平行
●知识梳理
1.两个平面平行的判定定理：如果一个平面的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
2.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行.
●点击双基
1.（2005年春季，3）下列命题中，正确的是
A.经过不同的三点有且只有一个平面
B.分别在两个平面的两条直线一定是异面直线
C.垂直于同一个平面的两条直线是平行直线
D.垂直于同一个平面的两个平面平行
答案：C
2.设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β.其中可能的情况有
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
解析：①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a与已知矛盾.
答案：C
3.α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是
A.α、β都平行于直线a、b
B.α有三个不共线点到β的距离相等
C.a 、b 是α两条直线，且a ∥β，b ∥β
D.a 、b 是两条异面直线且a ∥α，b ∥α，a ∥β，b ∥β
解析：A 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；
B 错，若A 、B 、
C 三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β； C 错，若a ∥b ，则不能断定α∥β；
D 正确.
答案：D
4.a 、b 、ｃ为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面，给出六个命题：
.????;????????????????????αγγαβαγβγαααβαβαγγ∥∥∥⑥∥∥∥⑤∥∥∥④∥∥∥③∥∥∥②∥∥∥①
a a a c a c c c
b a b a b a
c b c a ;;;;
其中正确的命题是________________.（将正确的序号都填上） 答案：①④⑤⑥
●典例剖析
【例1】设平面α∥平面β，AB 、CD 是两条异面直线，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且A 、C ∈α，B 、D ∈β，求证：MN ∥平面α.
剖析：因为AB 与CD 是异面直线，故MN 与AC 、BD 不平行.在平面α、β中不易找到与MN 平行的直线，所以试图通过证线线平行达到线面平行这一思路受阻，于是转而考虑通过证面面平行达到线面平行，即需找一个过MN 且与α平行的平面.根据M 、N 是异面直
线上的中点这一特征，连结BC，则此时AB、BC共面，即BC为沟通AB、CD的桥梁，再取BC的中点E，连结ME、NE，用中位线知识可证得.
证明：连结BC、AD，取BC的中点E，连结ME、NE，则ME 是△BAC的中位线，故ME∥AC，ME?α，∴ME∥α.同理可证，NE∥BD.又α∥β，设CB与DC确定的平面BCD与平面α交于直线CF，则CF∥BD，∴NE∥CF.而NE?平面α，CF?α，∴NE∥α.又ME∩
NE=E，∴平面MNE∥α，而MN?平面MNE，∴MN∥平面α.
【例2】如下图，在空间六边形（即六个顶点没有任何五点共面）ABCC1D1A1中，每相邻的两边互相垂直，边长均等于a，并且AA1∥CC1.求证：平面A1BC1∥平面ACD1.
证法一：作正方形BCC1B1和CC1D1D，并连结A1B1和AD.
∵AA1CC1BB1DD1，且AA1⊥AB，AA1⊥A1D1，
∴ABB1A1和AA1D1D都是正方形，且ACC1A1是平行四边形.
故它们的对应边平行且相等.
∵△ABC≌△A1B1C1，∴A1B1⊥B1C1.同理，AD⊥CD.
∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面ABC.同理，DD1⊥平面ACD.
∵BB1∥DD1，∴BB1⊥平面ACD.
∴A、B、C、D四点共面.
∴ABCD为正方形.
同理，A1B1C1D1也是正方形.
故ABCD—A1B1C1D1是正方体.
易知A1C1∥AC，∴A1C1∥平面ACD1.
同理，BC1∥平面ACD1，∴平面A1BC1∥平面ACD1.
证法二：证ABCD—A1B1C1D1是正方体，同上.
连结B1D、B1D1，则B1D1是B1D在底面ABCD上的射影，
由三垂线定理知B1D⊥A1C1，
同理可证B1D⊥BA1，
∴B1D⊥平面A1BC1.
同理可证，B1D⊥平面ACD1，
∴平面A1BC1∥平面ACD1.
思考讨论
证明面面平行的常用方法：利用面面平行的判定定理；证明两个平面垂直于同一条直线.
【例3】如下图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：
（1）AP⊥MN；
（2）平面MNP∥平面A1BD.
证明：（1）连结BC1、B1C，则B1C⊥BC1，BC1是AP在面BB1C1C 上的射影.∴AP⊥B1C.
又B 1C ∥MN ，∴AP ⊥MN .
（2）连结B 1D 1，∵P 、N 分别是D 1C 1、B 1C 1的中点，
∴PN ∥B 1D 1.又B 1D 1∥BD ，
∴PN ∥BD .又PN 不在平面A 1BD 上，
∴PN ∥平面A 1BD .
同理，MN ∥平面A 1BD .又PN ∩MN =N ，
∴平面PMN ∥平面A 1BD .
评述：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线.由于M 、N 、P 都为中点，故添加B 1C 、BC 1作为联系的桥梁.
●闯关训练
夯实基础
1.（2003年）在下列条件中，可判断平面α与β平行的是
A.α、β都垂直于平面γ
B.α存在不共线的三点到β的距离相等
C.l 、m 是α两条直线，且l ∥β，m ∥β
D.l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β
答案：D
2.设平面α∥β，A 、C ∈α，B 、D ∈β，直线AB 与CD 交于S ，若AS =18，BS =9，CD =３4，则CS =_____________.
解析：如图（1），由α∥β可知BD ∥AC ， ∴
SA SB =SC SD ，即189=SC
SC 34 ，∴SC =68.
如图（2），由α∥β知AC ∥BD ，∴
SB SA =SD SC =SC CD SC -，即918=SC SC -34.
∴SC =3
68. 答案：68或
368 3.如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个命题：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面四边形EFGH 的面积不改变；
③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；
④当容器倾斜如图乙时，EF ·BF 是定值.
其中正确命题的序号是_____________.
解析：对于命题①，由于BC 固定，所以在倾斜的过程中，始终有AD ∥EH ∥FG ∥BC ，且平面AEFB ∥平面DHGC ，故水的部分始终呈棱柱状（四棱柱或三棱柱、五棱柱），且BC 为棱柱的一条侧棱，命题①正确.对于命题②，当水是四棱柱或五棱柱时，水面面积与上下底面面积相等；当水是三棱柱时，则水面面积可能变大，也可能变小，故②不正确.③是正确的（请给出证明）.④是正确的，由水的体积的不变性可证得.综上所述，正确命题的序号是①③④.
答案：①③④
4.如下图，两条线段AB 、CD 所在的直线是异面直线，CD ?平面α，AB ∥α，M 、N 分别是AC 、BD 的中点，且AC 是AB 、CD 的公垂线段.
（1）求证：MN ∥α；
（2）若AB =CD =a ，AC =b ，BD =c ，求线段MN 的长.
（1）证明：过B 作BB ′⊥α，垂足为B ′，连结CB ′、DB ′，设E 为B ′D 的中点，
连结NE 、CE ，则NE ∥BB ′且NE =21BB ′，又AC =BB ′，
∴MCNE ，即四边形MCEN 为平行四边形（矩形）.
∴MN ∥CE .又CE ?α，MN ?α，∴MN ∥α.
（2）解：由（1）知MN =CE ，AB =CB ′=a =CD ，B ′D =22B B BD '-=22b c -，
∴CE =
)(41222b c a --=2224141c b a -+，即线段MN 的长为2224141c b a -+.
5.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB =a .
（1）求证：平面AD 1B 1∥平面C 1DB ；
（2）求证：A 1C ⊥平面AD 1B 1；
（3）求平面AB 1D 1与平面BC 1D 之间的距离.
（1）证明：∵D 1B 1∥DB ，∴D 1B 1∥平面C 1DB .同理，AB 1∥平面
C 1DB .
又D 1B 1∩AB 1=B 1，
∴平面AD 1B 1∥平面C 1DB .
（2）证明：∵A 1C 1⊥D 1B 1，而A 1C 1为A 1C 在平面A 1B 1C 1D 1上的射影，∴A 1C 1⊥D 1B 1.
同理，A 1C ⊥AB 1，D 1B 1∩AB 1=B 1.
∴A 1C ⊥平面AD 1B 1.
（3）解：设A 1C ∩平面AB 1D 1=M ，
A 1C ∩平面BC 1D =N ，O 1、O 分别为上底面A 1
B 1
C 1
D 1、下底面ABCD 的中心.
则M ∈AO 1，N ∈C 1O ，且AO 1∥C 1O ，
MN 的长等于平面AD 1B 1与平面C 1DB 的距离，即MN =A 1M =NC =31A 1C =
33a . 培养能力
6.如下图，直线a ∥直线b ，a ?平面α，b ?平面β，α⊥平面γ，β⊥平面γ，a 与b 所确定的平面不与γ垂直.如果a 、b 不是γ的垂线，则必有α∥β.
证明：令α∩γ=直线a ′，β∩γ=直线b ′.分别过a 、b 上任一点在α、β作a ′、b ′的垂线m 、n .根据两平面垂直的性质定理，
∵α⊥γ，β⊥γ，∴m ⊥γ，n ⊥γ.∴m ∥n .
∵a 不垂直于γ，m ⊥γ，且a 、m 在α，
∴a 与m 必是相交直线.又b 与n 在β，且有a ∥b ，m ∥n ，∴a ∥β，m ∥β.∴α∥β.
点评：根据a ∥b ，在α、β另找一对平行线.由α⊥γ、β⊥γ，联想到平面垂直的性质定理.本例沟通了平行与垂直、线线与线面及面面之间的联系.
7.如下图，已知平面α∥平面β∥平面γ，且β位于α与γ之间.点A 、D ∈α，C 、F ∈γ，
AC ∩β=B ，DF ∩β=E .
（1）求证：BC AB =EF
DE ； （2）设AF 交β于M ，ACDF ，α与β间距离为h ′，α与γ间距离为h ，当h h '的值是多少时，△BEM 的面积最大?
（1）证明：连结BM 、EM 、BE .
∵β∥γ，平面ACF 分别交β、γ于BM 、CF ，
∴BM ∥CF .∴BC AB =MF AM
.同理，MF AM =EF DE .∴BC AB =EF
DE . （2）解：由（1）知BM ∥CF ， ∴CF BM =
AC AB =h h '.同理，AD ME =h h h '-. ∴S BEM ?=21CF ·AD h h '（1－h
h '）sin ∠BME . 据题意知，AD 与CF 是异面直线，只是β在α与γ间变化位置.故CF 、AD 是常量，
sin ∠BME 是AD 与CF 所成角的正弦值，也是常量，令h ′∶h =x .只要考查函数y =x （1－x ）的最值即可，显然当x =21，即
h h '=2
1时，y =
－x 2+x 有最大值. ∴当h h '=21，即β在α、γ两平面的中间时，S BEM ?最大.
8.如下图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点，AB =a .
（1）求证：平面AMN ∥平面EFDB ；
（2）求异面直线BE 与MN 之间的距离.
（1）证明：∵MN ∥EF ，∴MN ∥平面EFDB .
又AM ∥DF ，∴AM ∥平面EFDB .而MN ∩AM =M ，
∴平面AMN ∥平面EFDB .
（2）解：∵BE ?平面EFDB ，MN ?平面AMN ，且平面AMN ∥平面EFDB ，
∴BE 与MN 之间的距离等于两平行平面之间的距离.
作出这两个平面与平面A 1ACC 1的交线AP 、OQ ，作OH ⊥AP 于H .
∵DB ⊥平面A 1ACC 1，
∴DB ⊥OH .而MN ∥DB ，∴OH ⊥MN .则OH ⊥平面AMN .
∵A 1P =42
a ，AP =42
3a ，
设∠A 1AP =θ，则cos θ=a a
4
23=322， ∴OH =AO ·sin θ=22
a ·322
a =32a .
∴异面直线BE 与MN 的距离是32a .
探究创新
9.科学植树的一个重要因素就是要考虑对树生长的作用.现在准备在一个朝正南方向倾角为α的斜坡上种树，假设树高为h m ，当太阳在北偏东β而仰角为γ时，该树在坡面上的影长为多少米？
分析：如下图，DE 是高度为h 的树，斜坡AD 朝正南方向，AB 为东西方向，BC 为南北方向.∠CBD =α，∠ACB =β，∠EAC =γ，∠AED =90°－γ，影长AD =x 为未知量.但x 难以直接与上述诸已知量发生联系，故设∠DAC =θ为辅助未知量，以揭示x 与诸已知量之间的数量关系，作为沟通桥梁.
解：在△ADE 中，
)sin(θγ-h =)90sin(γ-o x ， 即
γcos x =)sin(θγ-h . ①
在△ACD 中，CD =x sin θ，AC =x cos θ.在△ABC 中，BC =AC cos β=x cos θcos β.
在△BCD 中，tan α=
BC CD =βθcos tan . ②
由①推得x =
)sin(cos θγγ-h .
③
由②推得tan θ=tan αcos β，即θ=arctan （tan αcos β）.
代入③，即得树在坡面上的影长.
●思悟小结
证明两平面平行的方法：
（1）利用定义证；
（2）利用判定定理证；
（3）利用“垂直于同一直线的两个平面平行”来证.
面面平行常常转化为线面平行，而线面平行又可转化为线线平行.所以注意转化思想的应用，在处理两异面直线有关的问题中，通常采用过其中一直线上的一点作另一条直线的平行线或直接连结的方法，即搭桥的方法，把异面问题转化为平面问题，从而应用平面几何知识加以解决.两平面平行的性质定理是证明空间两直线平行的重要依据，故应切实掌握好.
●教师下载中心
教学点睛
1.结合图形使学生熟练地掌握两个平面平行的判定定理及性质定理.
2.判定两个平面平行是本节的重点，除了依据定义、判定定理外，还可用垂直于同一条直线的两个平面平行；法向量平行的两个平面也平行等.
3.为了应用两平面平行的条件，往往作第三个平面与它们相交.
拓展题例
【例1】下列命题中，错误的是
A.三角形的两条边平行于一个平面，则第三边也平行于这个平面
B.平面α∥平面β，a?α，过β的一点B有唯一的一条直线b，使b∥a
C.α∥β，γ∥δ，α、β、γ、δ的交线为a、b、c、d，则a ∥b∥c∥d
D.一条直线与两个平面成等角是这两个平面平行的充要条件
解析：D错误.当两平面平行时，则该直线与两个平面成等角；反之，如果一条直线与两个平面成等角，这两个平面可能是相交平面.
如下图，α⊥β，直线AB与α、β都成45°角，但α∩β=l.
答案：D
【例2】在四棱锥P—ABCD中，ABCD是矩形，P A⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN∥平面P AD；
（2）当MN⊥平面PCD时，求二面角P—CD—B的大小.
（1）证明：取CD的中点E，连结ME、NE.
∵M、N分别是AB、PC的中点，∴NE∥PD，ME∥AD.于是NE ∥平面P AD，
ME∥平面P AD.
∴平面MNE∥平面P AD，MN?平面MNE.
∴MN∥平面P AD.
（2）解：设MA =MB =a ，BC =b ，则MC =22b a +.
∵N 是PC 的中点，MN ⊥平面PCD ，∴MN ⊥PC .于是MP =MC =22b a +.
∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AM ，P A =
22AM PM -=b . 于是PD =2b ，EN 是△PDC 的中位线，EN =21
PD =22
b .
∵ME ⊥CD ，MN ⊥平面PCD ，∴EN ⊥CD ，∠MEN 即为二面角P —CD —B 的平面角.
设为α，于是cos α=
EM EN =22，α=45°，即二面角P —CD —B 的
大小为45°.