精锐教育学科教师辅导讲义
的正方形的网格中标出了则
．
3
）求证：
求
．求
=
.
CF=5-
将正方形纸片对折，折痕为
上，折痕为，则
点，交交
关于
是点关于原点的对称点，点的顶点，那么在与△
交
标为（
的解析式为：
关于的解析式为：
点的坐标为（
相似，
或
时，
由题意可△BEP的面积为.△CFP的面积为.
△ABC的面积为.设四边形AEPF的面积为y.
∴=.
自变量x的取值范围为3＜x＜6.
（3）可证△EBP∽△PCF.
∴.
设BP=x，则.
解得.∴ PE的长为4或.
二、专题过关
检测题1：（2012海淀一模5）如图，在△ABC中，C=90, 点D在CB上，DE AB 于E，若DE=2， CA=4，则的值为（）
A． B．
C． D．
答案：C
检测题2：（2012朝阳一模12）如图,在正方形ABCD中，AB=1，E、F分别是BC、CD边上点，（1）若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是；（2）若CE=CB，CF=CD，则图中阴影部分的面积是（用含n的式子表示，n是正整数）．
，已知二次函数、．求证：
，则，解得
．
．
，则，求得点平分
．
,
，
（
.
)=
解得，
-1=2(
解得，
.
=1- ()= -.
解得，
（
解得，
或
起每隔连接时，阶
（
_______
900
∶
∶
.
.
）已知：如图，的直径，上一点，的切线，交，连结
并延长交
.
与⊙
直线
是⊙
与⊙
，则
中，同理得是
∥
；
．
）在平面直角坐标系中，对于任意两点
与点的“非常距离”为
，则点
例如：点，因为，所以点与点
与线段长度的较大值（点与垂直于的交点）。
为
上的一个动点，
），求点，
的“非常距离”的最小值是
轴的垂线，过点，连结
.
的长度变大，由于点
与线段的“非常距离”变大；当点时，线段的长度变大，点
.
点.
当点时，点
对于⊙轴的垂线，过点作
，连结是等腰
初三数学相似三角形知 识点归纳 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的 比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-≈， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =
《相似三角形》与《锐角三角函数》综合提优训练 1、下列两个图形:①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五 边形. 其中一定相似的有( ) A.2组 B.3组 C.4组 D.5组 2、（1）如果 234 x y z ==，求 3x y z y -+=_____________ （2）已知x ：y =3：5，y ：z =2：3，则 z y x z y x +-++2的值为 3、应中共中央总书记胡锦涛同志的邀请，中国国民党主席连战先生、亲民党主席宋楚瑜先生分别从台湾来大陆参观访问，先后来到西安，都参观了新建成的“大唐芙蓉园”，该园占地面积约为800000m 2 ，若按比例尺1:2000缩小后，其面积大约相当于( ) A.一个篮球场的面积 B.一张乒乓球台台面的面积 C.《陕西日报》的一个版面的面积 D.《数学》课本封面的面积 4、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美感．某女士身高165 cm ，下半身 长x 与身高l 的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为( ) A ．4 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．10 cm 5、 如图，已知D 、E 分别是ABC ?的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 2 6、如图，△ABC 的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA 的值为 ．
7、在Rt △ABC 中，∠C =90o，AB =10，AC =8，则sin A 的值是（ ） A ． 45 B ． 3 5 C ． 34 D ．4 3 ． 8、若3tan （a+10°）=1，则锐角a 的读数为（ ） A ．20° B ．30° C ．40° D ．50° 9、如果△ABC 中，sinA=cosB= 2 ，则下列最确切的结论是（ ） A. △ABC 是直角三角形 B. △ABC 是等腰三角形 C. △ABC 是等腰直角三角形 D. △ABC 是锐角三角形 10、直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将△ABC 如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ， 则tan ∠CBE 的值是（ ） 11、 如图，四边形ABCD 、CEFG 都是正方形，点G 在线段CD 上，连接,,BG DE DE 和FG 相交于点O ，设 ,()AB a CG b a b ==>.下列结论: ①BCG DCE ???；②BG DE ⊥；③ DG GO GC CE =；
三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x
函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性 在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函 数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都是增函数 (k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数 (k∈Z)
三角函数知识点及同步练习 1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。 2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)： 3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值； 4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。 5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要) A 90B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A 对边 邻边 C b A 90 B 90∠-?=∠? =∠+∠得由B A
6、正弦、余弦的增减性： 当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 1、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。 2、应用举例： (1)仰角：视线在水平线上方的角；俯角：视线在水平线下方的角。 (2)坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。用字母i 表示，即h i l = 。坡度一般写成1:m 的形式，如1:5i =等。把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么 tan h i l α= =。 【例1】在Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝12，BC ＝15。（1）求AB 的长；（2）求sinA 、cosA 的值； （3）求A A 22cos sin +的值； （4）比较sinA 、cosB 的大小。 变式：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝900，5=a ，2=b ， 则sinA ＝ 。 （2）在Rt △ABC 中，∠A ＝900，如果BC ＝10，sinB ＝0.6，那么AC ＝ 。 【例2】计算：020045sin 30cot 60sin +? :i h l =h l α
初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质:b c a d d c b a =?= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， 语言描述如下： = ， = ， = . （4）上述结论也适合下列情况的图形： n m b a =
三角和反三角函数图像 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x
函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时y max =1 x=2kπ- 2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ- 2π,2kπ+2 π ］上都是增函数；在［2kπ+2 π ,2kπ+32π］上都是减函数(k ∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ- 2π，kπ+2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k ∈Z)
初中三角函数 〖考试要求〗 通过实例认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道300，450，600角的三角函数值；会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它对应的锐角. 度数sinαcosαtanα 30° 2 1 2 3 3 3 45° 2 2 2 2 1 60° 2 3 2 1 3 1．1 正弦和余弦 例1已知0°≤α≤90°．（1）求证：sin2α+cos2α=1； （2）求证：sinα+cosα≥1，讨论在什么情形下等号成立； （3）已知sinα+cosα=1，求sin2α+cos2α的值． 证明（1）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB，所以在这种情形下 A B C A B C
当α=0°时，sinα=0，cosα=1；当α=90°，sinα=1，cosα=0．所以在这两种情形下仍有 sin2α+cos2α=1． （2）如图6-1，当0°＜α＜90°时，sinα=BC/AB，cosα=AC/AB．所以在这种情形下 当α=0°时，sinα+cosα=0+1=1；当α=90°时，sinα+cosα=1+0=1．所以当0°≤α≤90°时，总有 sinα+cosα≥1， 当并且只当α=0°或α=90°时，等号成立． （3）由于已知sina+cosα=1．由（2）可知α=0°或α=90°，所以总有 sin2α+cos2α=1． 例2 求证：对于0°≤α≤90°， 1．2 正切和余切 证明（1）当0°＜α＜90°时，如图6-2，
当α=0°时，tgα=0，sinα=0，cosα=1．所以仍有tgα= （2）α必须满足不等式： 0°＜α＜90°． 如图6-2， 所以tgα·ctgα=1． 例2 已知锐角α，且tgα是方程x2-2x-3=0的一个根，求 解： x2-2x-3=0的两根为3和-1．这里只能是tgα=3．如图6-3，由于tgα=3．因此可设BC=3，AC=1，从而
三角函数和相似三角形综合题 1、（2017?哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB 的值为（ ） A ．14 D 2、（2017?金华）在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA 的值是（ ） A ．34 B.43 C.35 D.45 3、（2017?聊城）在Rt △ABC 中，cosA=12 ，那么sinA 的值是（ ） A ．2 B ．2 C ．3 D ．12 4、（2017?安顺）如图，⊙O 的直径AB=4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC=5，则AD 的长为（ ） A ．65 B ．85 C ．5 D ．5 5、（2017?滨州）如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC=30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD=BA ，则tan ∠DAC 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 6、（2017?白银）美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，沿河两岸的滨河路风情线是兰州最美的景观之 一．数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A ，B 两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D 进行了测量．如图，测得∠DAC=45°，∠DBC=65°．若AB=132米，求观景亭D 到南滨河路AC 的距离约为多少米？（结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
7、（2017?淮安）A，B两地被大山阻隔，若要从A地到B地，只能沿着如图所示的公路先从A地到C地，再由C地到B地．现计划开凿隧道A，B两地直线贯通，经测量得：∠CAB=30°，∠CBA=45°，AC=20km，求隧道开通后与隧道开通前相比，从A地到B地的路程将缩短多少？（结果精确到0.1km, ，） 8、（2017?常德）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC 与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参 考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，3≈1.732，2≈1.414） 9（2017?张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD和底座CD两部分组成．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=70.5°，在Rt△DBC中，∠DBC=45°，且CD=2.3米，求像体AD的高度（最后结果精确到0.1米，参考数据：sin70.5°≈0.943，cos70.5°≈0.334，tan70.5°≈2.824）
反三角函数公式
反三角函数图像与特征 1 ：
反三角函数的定义域与主值范围 式中n为任意整数.
反三角函数的相互关系 sin x = x-x3/3!+x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+... (-∞
If x > 0.5 And x <= 1 Then ArcSin = -Atn(Sqr(1 - x * x) / x) + 2 * Atn(1) End Function ArcCos(x) 函数 功能：返回一个指定数的反余弦值，以弧度表示，返回类型为Double。 语法：ArcCos(x)。 说明：其中，x的取值范围为[-1，1]，x的数据类型为Double。 程序代码： Function ArcCos(x As Double) As Double If x >= -1 And x < -0.5 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x *x) / x) + 4 * Atn(1) If x >= -0.5 And x <= 0.5 Then ArcCos = -Atn(x/ Sqr(1 - x * x)) + 2 * Atn(1) If x> 0.5 And x <= 1 Then ArcCos = Atn(Sqr(1 - x*x) / x) End Function
三角函数综合练习题 一．选择题（共10小题） 1．如图，在网格中，小正方形の边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABCの正切值是（） A．2 B．C．D． 2．如图，点D（0，3），O（0，0），C（4，0）在⊙A上，BD是⊙Aの一条弦，则sin∠OBD=（） A．B．C．D． 3．如图，在Rt△ABC中，斜边ABの长为m，∠A=35°，则直角边BCの长是（） A．msin35° B．mcos35° C．D． 4．如图，△ABC中AB=AC=4，∠C=72°，D是AB中点，点E在AC上，DE⊥AB，则cosAの值为（）
A．B．C．D． 5．如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架の跨度BC=10米，∠B=36°，则中柱AD（D 为底边中点）の长是（） A．5sin36°米B．5cos36°米C．5tan36°米D．10tan36°米 6．一座楼梯の示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CAの夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯の面积至少需要（） A．米2B．米2C．（4+）米2D．（4+4tanθ）米2 7．如图，热气球の探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处の仰角为30°，看这栋楼底部C处の俯角为60°，热气球A处与楼の水平距离为120m，则这栋楼の高度为（） A．160m B．120m C．300m D．160m 8．如图，为了测量某建筑物MNの高度，在平地上A处测得建筑物顶端Mの仰角为30°，向N点方向前进16m到达B处，在B处测得建筑物顶端Mの仰角为45°，则建筑物MNの高度等于（）
A．8（）m B．8（）m C．16（）m D．16（）m 9．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度の综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面の大树顶端Cの仰角为36°，然后沿在同一剖面の斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面ABの坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CDの高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（） A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米 10．如图是一个3×2の长方形网格，组成网格の小长方形长为宽の2倍，△ABCの顶点都是网格中の格点，则cos∠ABCの值是（） A．B．C．D． 二．解答题（共13小题） 11．计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣| 12．计算：．
中考简答题第20题相似三角形与锐角三角函数 类型一与相似三角形有关的几何测量 1.如图,小明想利用所学的几何知识测量学校操场上旗杆AB的高度,他的测量方案如下:他在测量过程中两次利用镜子,第一次把镜子放在C点,小明在F点正好在镜子中看见旗杆顶端A，第二次把镜子放在D点,小明在H点正好在镜子中看到旗杆顶端A.已知图中的所有点均在同一平面内AB⊥BH，EF⊥BH，GH⊥BH，小明的眼晴到地面的距离EF=GH=1.68米，测得CD=10米，CF= 2.4米，DH= 3.6 米,请你利用这些数据求出旗杆AB的高度。
2.小明想用镜子测量一颗松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次把镜子放在C点，人在F 点时，正好在镜子中看到树尖A，第二次把镜子放在D点，人在H点时，正好看到树尖A，已知小明的眼睛距离地面1.6m，量的CD=12m，CF=1.8m，DH= 3.8m，请你求出松树的高。
3.春节期间的一天晚上,小玲和小明去看灯展.如图,当小明站在灯杆AB和灯杆CD之间的F点处,小林的身高为EF,小玲发现了奇怪的一幕:小明在灯A的照射下,影子恰好落在灯杆CD的底部D点处,小明在灯C的照射下,影子恰好落在灯杆AB的底部B点处.已知图中所有点都在同一平面内，AB、CD、EF都与BD垂直,垂足分别是B、D、F,且AB=2m，CD=6m， 求小明的身高EF。 4.大唐芙蓉园是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园，全园标志性建筑以紫云楼卫代表，展示了“形神升腾紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王风范，（如图①），小风和小花等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“紫云楼”的高度,来检验自己掌握知识和运用知识的能力,他们经过研究发现需要两次测量:如图②,首先,在阳光下,小风在紫云楼影子的末端C 点处竖立一根标杆CD,此时,小花测得标杆CD的影长CE=2米;然后,小风从C点沿BC方向走了 5.4米,到达G处,在G处竖立标杆FG,接着沿BG后退到点M处时,恰好看见紫云楼顶端A和标杆顶端F在一条直线上,此时,小花测得GM=0.6米.已知小风的眼睛到地面的距离HM=1.5米,标杆CD=FG=2米AB⊥BM，CD ⊥BM，FG⊥BM，HM⊥BM,请你根据题中提供的相关信息,求出紫云楼的高AB。
三角函数 1. 特殊锐角（0°，30°，45°，60°，90°）的三角函数值 2. 角度制与弧度制 设扇形的弧长为l ，圆心角为a （rad ）,半径为R ，面积为S 角a 的弧度数公式 2π×(a /360°) 角度与弧度的换算 ①360°=2π rad ②1°=π/180rad ③1 rad=180°/π=57° 18′≈57.3° 弧长公式 l a R = 扇形的面积公式 12 s lR = 3. 诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限） 所谓奇偶指是整数k 的奇偶性（k ·π/2+a ） 所谓符号看象限是看原函数的象限（将a 看做锐角，k ·π/2+a 之和所在象限） 注： ①：诱导公式应用原则：负化正、大化小，化到锐角为终了
4. 三角函数的图像和性质：（其中z k ∈） ①： 三角函数 x y sin = x y cos = x y tan = cot y x = 函 数 图 象 定义域 R R 2 x k π π≠+ x k π ≠ 值域 [-1,1] [-1,1] R R 周期 2π 2π π π 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 单 调 性 2,222k k ππππ? ?-+↑????2,222k k ππππ??-+↑???? []2,2k k πππ-↑ []2,2k k πππ+↓ ,22k k ππππ? ?-+↑???? [],k k πππ+↓ 对 称 性 :2 x k π π=+ 对称轴 对称中心:(,0)k π :x k π =对称轴 : 对称中心(+ ,0) 2k π π : 对称中心( ,0)2 k π 零值点 πk x = 2 π π+ =k x πk x = 2 π π+ =k x 最 值 点 2 π π+ =k x ,1max =y 2 π π- =k x ,1min -=y πk x 2=，1max =y ； 2y k ππ=+，1min -=y
相似三角形，一元二次方程，三角函数 13. 如图，在小孔成像问题中，小孔O到物体AB的距离是60㎝，小孔O到像CD的距离是30㎝，若物体AB的长为16㎝，则像 CD的长是㎝ 15. 如图，正方形OABC 与正方形ODEF是位似图，点O为位似中 心，位似比为 2：3 ，点A 的坐标为（ 0， 2 ），则点E的 坐标是 21. （8分）如图，△ABC中，AB=8，AC=6 （1）请用尺规作图的方法在AB 上找点D ，使得△ACD ∽△ABC （保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，求 AD的长 22. （10分） 某百货商店服装柜在销售中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件. （1）若想要这种童装销售利润每天达到 1200 元，同时又能让顾客得到更多的实惠，每件童装应降价多少元？ （2）当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？
24. （12分） 如图①，四边形ABCD与四边形CEFG都是矩形，点E，G分别在边 CD，CB上，点F 在AC上，AB=3 ，BC=4 （1）求AF BG 的值； （2）把矩形CEFG绕点C 顺时针旋转到图②的位置，P为AF，BG的交点，连接CP （Ⅰ）求AF BG 的值 （Ⅱ）判断 CP与AF的位置关系，并说明理由. 22．（10分）如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． (1)判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由； (2)求∠BAC的度数．
23.(本题满分10分) 小李的活鱼批发店以44元/公斤的价格从港口买进一批2000公斤的某品种活鱼，在运输过程中，有部分鱼未能存活，小李对运到的鱼进行随机抽查，结果如表一.由于市场调节，该品种活鱼的售价与日销售量之间有一定的变化规律，表二是近一段时间该批发店的销售记录. (1)请估计运到的2000公斤鱼中活鱼的总重量；(直接写出答案) (2)按此市场调节的观律， ①若该品种活鱼的售价定为52.5元/公斤，请估计日销售量，并说明理由； ②考虑到该批发店的储存条件，小李打算8天内卖完这批鱼(只卖活鱼)，且售价保持 不变，求该批发店每日卖鱼可能达到的最大利润，并说明理由.
1. 相似三角形的判定定理: 推论一一直角三角形相似： (1) 直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。 (2) 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例, 那么这两个直角三角形相似。 2. 性质定理： (1) 对应角相等。 (2) 对应边成比例。 (3) 对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4) 周长比等于相似比。 (5) 面积比等于相似比的平方。 3. 相似三角形的传递性 如果△ABC S ^I B I C I ,M I B I C I s 公2B 2C 2，那么△ ABC "A 2B 2C 2 精选文档 相似三角形考点 4、 比例的性质 a c (1) 比例的基本性质： =— b d a c a b (2) 合比性质： =- b d b (3) 等比性质：a =- = L =m b d n ad 二be (bd H 0) e d d a e L m a 八 b d L (b d L n u) n b
精选文档 如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形 叫做位似图形，这个点叫做位似中心。对应边的比叫做位似比，位似比等于相似比。 锐角三角函数知识点总结 1、勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。 a 2 b 2 c 2 2、如下图，在 Rt △ AB （中，/ C 为直角，则/ A 的锐角三角函数为（ZA 可换成/B ）: 3、特殊角的三角函数值（重要） 三角函数 30 ° 45 ° 60 ° \ 疋 义 表达式 正 弦 sin A - A 的对边 斜边 a sin A — c 余 弦 cosA - A 的邻边 斜边 .b cos A - c 正 切 tan A - A 的对边 A 的邻边 tan A — b
一、选择题 １．下列多边形一定相似的为( ) A ．两个矩形 B.两个菱形? C ．两个正方形 ?D.两个平行四边形 2．在△ＡＢC 中,ＢC=15cm,CA=45ｃm,AB=63ｃm,另一个和它相似的三角形的最短边是5cm,则最长边是( ） Ａ.1８cm B ．２1cm ? C.24c ｍ Ｄ．19.5c ｍ ３．如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成3０°夹角,这棵大树在折断前的高度为（ ) A.1０米? B.15米 C.25米? D ．30米 4．若A B ∠∠、均为锐角，且2 1 cos 21 sin = =B A ，,则( ）. Ａ．?=∠=∠60B A ??? Ｂ.?=∠=∠30B A Ｃ．?=∠?=∠3060B A ， ? ?D.?=∠?=∠6030B A ， 5. 如图:把△ AB Ｃ沿A Ｂ边平移到△A ＇B'C'的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分） 的面积是空白部分面积的一半,若ＡB=1,则此三角形移动的距离A Ａ'是（ ) A 2- 1?B 2 ?C ．2 1- D ． 1 2 ６. Ｐ是R ｔ△A ＢC 的斜边ＢC 上异于B , Ｃ的一点,过P 点作直线截△A ＢC ，使截 得的三角形与△A ＢC 相似，满足这样条件的直线共有（ ） A. l 条 ??Ｂ. 2条? ?C. 3 条 D. 4条 7. 在△A ＢＣ中，∠A=10５°,∠B=４5°，ｔａｎＣ的值是（ ） A. 21 ????B. 3 3 ? C ． 1 ? D. 3 8.如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为６,8,现将ABC △如图那样折叠，使点A 与 点B 重合,折痕为DE ，则tan CBE ∠的值是( ） A ． 24 7 ?7 C ．724? D ．13 1０ 题 A B D C E 30 ° 6 8 C E A B D （第8题）
反三角函数的图像和性质 yx,arccos yx,arctanyx,arcsin ,1,1,1,1,,,,R 定义域 ,,,,，，,, ,,,,值域 [0，π] ,,,,2222，，,, 在上单调递增在上单调递减 ,1,1,1,1,,,,在R上单调递增单调性 无减区间无减区间无增区间 3奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数 32, 32,,21212,-1 图象 -22468-224682O11 -1,-1-,2-2 -22468-1 -1O2-2 -1 arcsin()arcsin,,,xxarccos()arccos,,,xx,arctan()arctan,,,xx 运算公x,,[1,1]x,,[1,1] xR,式1 运算公,,,, arccos(cos),[0,]xxx,,, arctan(tan),(,)xxx,,,arcsin(sin),[,]xxx,,,2222式2 运算公 sin(arcsin),[1,1]xxx,,,cos(arccos),[1,1]xxx,,,tan(arctan),xxxR,, 式3 , arctancotxarcx，,运算公,2 arcsinarccos,[1,1]xxx，,,,2式4 xR, 三角函数的图像和性质 4 yx,cosy,tanx yx,sin kZ,343 3222 1一个周11(((113,,2,,,期的图-22468,-22468(-4-2246823,,O,2,O2O--12-12-1-1-1 22像 -2-2 -2
-3,,,x|x,k，,k,Z ,定义域 R R ,,2,, [1,1],[1,1], 值域 R 奇偶性奇函数偶函数奇函数 , 2,2,周期 对 ,直线xk，kZ, ,，,称直线，无 xk,,kZ,2 轴对 称对 性称k,,(,0)k,，kZ, 点，kZ, 点(,0)k，(,0)点，kZ, ,22中 心 ,,,,,在上 [2,2]kk,，[2,22]kk,,,,，，,,,上在,上在(,)kk,，,,2222单调性 ,,3,在上，，[2,2]kk,,,，,[2,2]kk,,在上无减区间 22
圆与三角函数及相似三角形综合训练题 1.如图，R t△ABC中，∠ACB=90 ，AC=4，BC=2，以AB上的一点O为圆心作⊙O分别与AC、 BC相切于D、E。⑴求⊙O的半径。⑵求sin∠BOC的值。 2.如图，如图，R t△ABC中，已知∠ACB=90 ，BC=6，AB=10，以BC为直径作⊙O交AB于 D,AC、DO的延长线交于E,点M为线段AC上一点，且CM=4. ⑴求证：直线DM是⊙O的切线。⑵求tan∠E的值。
3．﹙河南中考题﹚已知，如图，在半径为4的⊙O 中，AB 、CD 是两条直径，M 为OB 的中点，CM 的延长线交⊙O 于点E,且EM ﹥MC.连结DE ，DE=15.⑴求EM 的长；⑵求sin ∠EOB 的值。 4.﹙河南中考题﹚已知：如图，点DC 是以AB 为直径的半圆上的两点，O 为圆心，DB 与AC 相交于点E,OC ∥AD,AB=5，cos ∠CAB=5 4.求CE 和DE 的长。
5. ﹙河南中考题﹚已知：如图，AB是⊙O的直径，O为圆心，AB=20，DP与⊙O相切于点D,DP ⊥PB,垂足为P,PB与⊙O交于点C,PD=8. ⑴求BC的长；⑵连结DC,求tan∠PCD的值；⑶以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，求直线BD的解析式。 6. ﹙北京中考题﹚已知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E,交AD于点F，交AE于点M,且∠B=∠CAE, FE:FD=4:3. ⑴求证：AF=DF；⑵求∠AED的余弦值；⑶如果BD=10，求△ABC的面积。
7. ﹙北京海淀区中考题﹚已知：以R t△ABC的直角边AB为直径作⊙O，与斜边AC交于点D,E为BC边上的中点，连结DE. ⑴如图，求证：DE是⊙O的切线；⑵连结OE、AE.当∠CAB为何值时，四边形AOED是平行四边形，并在此条件下求sin∠CAE的值。 8．﹙天津中考题﹚如图，R t△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，以点C为圆心、CA为半径 的圆与AB、BC分别交于点D、E.求AB、AD的长。
三角函数公式和图象总结 1．与角α终边相同的角，连同角α在内，都可以表示为S={β|β=α+k ×360，k ∈Z} 2．弧长公式：α?=r l 扇形面积公式lR S 21 = 其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径。 3．三角函数定义： sin ,cos ,tan y x y r r x ααα===，其中P (,)x y 是α终边上一点，||r OP = 4．同角三角函数的两个基本关系式 22 sin sin cos 1 tan cos ααααα +== sin sin αsin β tan tan α
sin cos), a x b x x? +=+其中tan b a ?=，?所在的象限与点(,) a b所在的象限一 致。
12．①sin()(0)y A x b A ω?=++>、cos()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为 || ω，最大值为A+b ，最小值为-A+b. ②tan()(0)y A x b A ω?=++>的最小正周期为|| π ω 13．正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 14．余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- bc a c b A 2cos 2 22-+= 15．S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2 A sin B sin C sin =))()((c p b p a p p ---(其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 反三角函数图像与反三角函数特征 反正弦曲线 反余弦曲线 拐点(同曲线对称中心)：，该点切线斜率为1 拐点
第五讲 锐角三角函数 【问题探索】 一般地，如果锐角A 的大小确定，我们可以作出无数个以A 为一个锐角直角三形（如图），那么图中： ?===2 2 2111AC C B AC C B AC BC 成立吗？ （1）当∠A 变化时，上面等式仍然成立吗？ （2）上面等式的值随∠A 的变化而变化吗？ 【新课引入】 由前面的探索可以看出：如果一个直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与这个角的邻边的比值也确定。 这个比值反映了斜边相对于这角的邻边的倾斜程度，它与这个锐角的大小有着密切的关系。 1、在直角三角形中，我们将∠A 的对边与它的邻边的比称为∠A 的正切，记作 tanA 即： b a A A A =∠∠= 的邻边的对边tan 同理：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，我们把锐角∠A 的对边a 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作________，即：sinA ＝________=________. 3、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,我们把锐角∠A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的______，记作=_________，即：cosA=______=_____。 （你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看____________________. 思考： 你能分别说出30°、45°、60°角的三角函数值吗？并填写下表： 【总结归纳】 1、牢记三角函数的概念，紧紧抓住直角三角形，勤快画图，是解答三角函数题的关键； 2、特殊角的三角函数值，只要记住两个三角板的各边比值（如图），严格按照三角函数的定义，即可心算推出。 C C 1 C 2
2012—2013学年九年级数学（下）周末复习资料（09） 理想文化教育培训中心 学生姓名： 得分: 一、知识点梳理： 1、等腰三角形： （1）性质：等边对等角；三线合一。 （2）判定：等角对等边。 2、相似三角形： （1）判定：①两角对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似；④直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似． （2）性质：①对应边成比例，对应角相等； ②对应中线的比，角平分线的比，高的比都等于相似比；③周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 3、直角三角形： （1）勾股定理及逆定理：a 2＋b 2＝c 2 （2）锐角三角函数：sinA=c a cosA=c b tanA=b a 特殊角的三角函数值。 （3）解直角三角形：俯角（仰角） ；坡角（坡度、坡比）；方位角。 二、巩固练习： 1、（2012江苏徐州）如果等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为【 】 A ．9 B ．7 C ．12 D ．9或12 2、（2012湖北荆门）如图1，△ABC 是等边三角形，P 是∠ABC 的平分线BD 上一点，PE ⊥AB 于点E ，线段BP 的垂直平分线交BC 于点F ，垂足为点Q ．若BF =2，则PE 的长为【 】 A ． 2 B ． 2 C ． D ． 3 3、（2012浙江湖州）如图2，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =10，CD 是AB 边上的中线，则CD 的长是【 】 A ．20 B ．10 C ．5 D ．52 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 4、（2012四川绵阳）已知，如图3，△ABC 中，∠C =90°，tanA =12 ，D 是AC 上一点，∠CBD =∠A ，则sin ∠ABD =【 】。 A ．35 B C ．310 D
三角函数综合练习题 一.选择题(共10小题） 1．如图，在网格中，小正方形の边长均为1，点A,B，Ｃ都在格点上，则∠ＡBCの正切值是( ） A.2?Ｂ.?C.?D. ２.如图,点D（0,3），O(0，0),C(4，0)在⊙A上，BＤ是⊙Aの一条弦,则ｓin∠OＢD＝（） A.? B.? C.D． ３.如图，在Rt△AＢC中，斜边ABの长为m，∠A=3５°，则直角边ＢCの长是（） Ａ．msin35°?Ｂ.mcos３5°C．Ｄ． ４.如图，△ABＣ中AＢ=AC＝4，∠Ｃ=72°，D是AB中点,点E在AＣ上,ＤE⊥AB，则cｏsA の值为（ ) Ａ．Ｂ. C.?D.
５.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形）钢架の跨度ＢC＝1０米，∠Ｂ=3６°，则中柱AD(Ｄ为底边中点）の长是( ) A．５sin36°米?B.5cos36°米?C．5tａn36°米?Ｄ.1０ｔan3６°米 6.一座楼梯の示意图如图所示，BC是铅垂线,ＣA是水平线，BＡ与CAの夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=４米，楼梯宽度1米,则地毯の面积至少需要（) A.米2B．米2C．（4+）米2?Ｄ．(４+4tａnθ)米2 7．如图,热气球の探测器显示，从热气球Ａ处看一栋楼顶部B处の仰角为30°,看这栋楼底部C处の俯角为６0°，热气球Ａ处与楼の水平距离为120m,则这栋楼の高度为（） A.１6０m B.120m Ｃ.3０0m D．160m ８.如图,为了测量某建筑物ＭNの高度,在平地上A处测得建筑物顶端Ｍの仰角为30°，向N点方向前进１6m到达B处,在B处测得建筑物顶端Mの仰角为4５°，则建筑物MNの高度等于（） A．8（)ｍB．8（）m C．16（）m?Ｄ．1６（）m