习题课
1． 两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为
( )
A ．1∶9
B ．1∶27
C ．1∶3
D ．1∶1
2、一个锥体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A 、
21 B 、61 C 、31 D 、9
1
3、一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为( )
A.100π3cm 3
B.208π3cm 3
C.500π3
cm 3
D.41613π3
cm 3
4、如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为1
2，则该几何体的俯视图可以是
( )
5、设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A ．3πa 2
B ．6πa 2
C ． 12πa 2
D ．24πa 2
6、有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________。
注：长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线．
7、已知圆锥的母线长为5㎝，高为4㎝，则这个圆锥的体积________。
8、设某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为
9、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A ．64＋32π
B ．64＋64π
C ．256＋64π
D ．256＋128π
10、已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )．
A.4 0003 cm 3
B.8 000
3 cm 3 C ．2 000 cm 3 D ．
4 000 cm 3
11、某个几何体的三视图如图所示(单位：m)，
(1)求该几何体的表面积(结果保留π)；
(2)求该几何体的体积(结果保留π)．
A 级 课时对点练 一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于4 3 π，则该 圆锥的体积为 ( ) A.2281π B.881π C.4581π D.1081π 解析：设圆锥的底面半径为r ，则2πr 1＝43π，∴r ＝2 3 ， ∴圆锥的高h ＝ 1－? ?? ??232＝53. ∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝45 81 π. 答案：C 2．如图，是一个几何 体的三视图，侧视图和正视图均为矩形， 俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何 体的侧面积为 ( ) A ．6 B ．12 3 C ．24 D ．3 解析：注意到此题的几何体是底面边长为2的正三角 形，于是侧面积为S ＝6×4＝24. 答案：C
3．下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点) ( ) A ．6＋3＋π B ．18＋3＋4π C ．18＋23＋π D ．32＋π 解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球，其中正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，故其表面积 S ＝4π×? ?? ??122＋2×3 4×22＋3×2×3＝18＋23＋π. 答案：C
4．一个多面体的三视 图分别为正方形、等腰三角形和矩形， 如图所示．则该多面体的体积 ( ) A ．48 cm 3 B ．24 cm 3 C ．32 cm 3 D ．28 cm 3 解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱，如图． 其中侧面矩形ABCD 中，AD ＝6(cm )，AB ＝4(cm )，底面等 腰三角形ADF 的底边AD 上的高为4(cm )，则其体积V ＝ 1 2 ×4×4×6＝48(cm 3)． 答案：A 5．已知某几何体的 三视图如图，其中正(主)视图中半圆 的半径为1，则该几何体的体积为 ( ) A ．24－32π B ．24－π 3 C ．24－π D ．24－π 2
第73课柱、锥、台、球的表面积和体积 一、教学目标 能运用公式求柱、锥、台、球的表面积和体积. 二、知识梳理 【回顾】 ?阅读课本必修2第47页至59页，理解以下内容. 正棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式及其关系；圆柱、圆锥、圆台的体积公式及其关系；柱体、锥体、台体的体积公式及其关系；球的表面积、体积公式． 三、诊断练习 1、教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。找出学生错误的原因，设计“问题串”，将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害。 2、诊断练习点评 题1．若圆锥的侧面积为π2，底面积为π，则该圆锥的体积为__________. 【分析与点评】本题是容易题，主要是考查圆锥侧面积公式和体积公式的正确使用． 题2．如图，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是__________. 【分析与点评】该多面体是正四棱锥，侧棱长为1，底面正方形外接圆的半径等于 2 2 ， 由侧棱、底面正方形外接圆半径及高之间关系求解. 题3．棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________. 【分析与点评】正方体外接球半径是正方体棱长的3倍得到球的半径求解. 变式1：棱长分别是2，3，4的长方体外接球的体积是________. 变式2：棱长都是2的正四面体的外接球的表面积为________. 题4．五棱台的上、下底面均为正五边形，边长分别是8cm和18cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为13cm，则它的侧面积为_________cm 2. 【分析与点评】先求出斜高等于12cm，再运用公式求侧面积. 3、要点归纳 （1）注意各个公式的推导过程，不要死记硬背公式本身，要熟悉柱体中的矩形、锥体中的直角三角形、台体中的直角梯形等特征图形在公式推导中的作用. （2）如果不是正棱柱、正棱锥、正棱台，在求其侧面积或全面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加. （3）注意求体积的一此特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用方法. 四、范例导析 例1 如图，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点的最短路线的长为____________. 【教学处理】先将“沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A点”改为“沿着三棱柱的 侧面绕行一周到达A点”组织学生讨论解法，在有解决方案后，改回原题．如能 配合实物模型和细线演示一，效果更好． 【引导分析与精讲建议】 1、学生大多接触过“蚂蚁爬火柴盒”问题，先提醒学生对照条件，判断能否用同样的方法解决？ 1 C 1 A 1 B C A B
第9课时 1.1.7 柱、锥、台和球的体积 课时目标 1.了解祖暅原理． 2．掌握柱、锥、台和球的体积计算公式． 3．会利用柱、锥、台和球的体积公式解决有关几何体的体积问题． 识记强化 1．柱体(棱柱、圆柱)的体积公式为V 柱体＝Sh ，(S 为柱体底面积，h 为柱体的高)，V 圆 柱＝πr 2 h (r 为底面半径，h 为圆柱的高)． 2．若一个锥体(棱锥、圆锥)的底面积为S ，高为h ，则它的体积是V 锥体＝1 3 Sh ，若圆锥 的底面半径为r ，高为h ，则它的体积为V 圆锥＝13 πr 2 h . 3．若一个台体上、下底面的面积分别为S ′、S ，高为h ，则它的体积公式为V 台体＝1 3h (S ＋SS ′＋S ′)，若圆台上、下底面半径分别为r ′、r ，高为h ，则它的体积为V 圆台＝13 πh (r 2 ＋rr ′＋r ′2 )． 4．球的半径为R ，则球的体积为V 球＝43 πR 3 . 课时作业 一、选择题(每个5分，共30分) 1．圆柱的侧面展开图是长12 cm ，宽8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A.288π cm 3 B.192π cm 3 C.288π cm 3或192π cm 3 D ．192π cm 3 答案：C 解析：圆柱的高为8 cm 时，V ＝π×? ?? ??122π2 ×8＝288π cm 3.当圆柱的高为12 cm 时，V ＝ π×? ?? ??82π2 ×12＝192π cm 3. 2．已知一个母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于240°，则该圆锥的体积为( ) A.2281π B.881 π
§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 一、教学目标 1、知识与技能 （1）通过对柱、锥、台体的研究，掌握柱、锥、台的表面积和体积的求法。 （2）能运用公式求解，柱体、锥体和台全的全积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。 （3）培养学生空间想象能力和思维能力。 2、过程与方法 （1）让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状。 （2）让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系。 3、情感与价值 通过学习，使学生感受到几何体面积和体积的求解过程，对自己空间思维能力影响。从而增强学习的积极性。 二、教学重点、难点 重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算 难点：台体体积公式的推导 三、学法与教学用具 1、学法：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，通过剖析实物几何体感受几何体的特征，从而更好地完成本节课的教学目标。 2、教学用具：实物几何体，投影仪 四、教学设想 1、创设情境 （1）教师提出问题：在过去的学习中，我们已经接触过一些几何体的面积和体积的求法及公式，哪些几何体可以求出表面积和体积？引导学生回忆，互相交流，教师归类。 （2）教师设疑：几何体的表面积等于它的展开圈的面积，那么，柱体，锥体，台体的侧面展开图是怎样的？你能否计算？引入本节内容。 2、探究新知 （1）利用多媒体设备向学生投放正棱柱、正三棱锥和正三棱台的侧面展开图 （2）组织学生分组讨论：这三个图形的表面由哪些平面图形构成？表面积如何求？ （3）教师对学生讨论归纳的结果进行点评。 3、质疑答辩、排难解惑、发展思维 （1）教师引导学生探究圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的结构，并归纳出其表面积的计算公式: )''22rl l r r r S +++=（圆台表面积π r 1 为上底半径 r 为下底半径 l 为母线长 （2）组织学生思考圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系。
柱、锥、台、球的表面积和体积 考纲要求：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 经典例题：在三棱柱ABC—DEF中，已知AD到面BCFE的距离为h，平行四边形BCFE的面积为S． 求：三棱柱的体积V． 当堂练习： 1．长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，绳子的最短长度是（） A．+1 B． C． D． 2．若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（） A．8R2 B． 9R2 C．10R2 D．12R2 3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（） A． 10cm B． 5cm C． 5cm D．cm 4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（） A．2倍 B． 4倍 C． 8倍 D．16倍 5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（） A．1倍 B．2倍 C．1倍 D．1倍 6．正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（） A． B． C． D． 7．两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为（） A．4 B． 3 C． 2 D． 1 8．已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（） A．a3 B．a3 C．a3 D．a3 9.正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为（） A． B． C． D．
柱锥台球的表面积和体积公式 高三数学 刘玉国 2011年12月5日 星期一 A 级 课时对点练 一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于4 3 π，则该 圆锥的体积为 ( ) A.2281π B.881π C.4581π D.1081π 解析：设圆锥的底面半径为r ，则2πr 1＝43π，∴r ＝2 3 ， ∴圆锥的高h ＝ 1－? ?? ??232＝53. ∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝45 81 π. 答案：C 2．(2010·杭州二次质检)如图，是一个几何 体的三视图，侧视图和正视图均为矩形， 俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何 体的侧面积为 ( ) A ．6 B ．12 3 C ．24 D ．3
解析：注意到此题的几何体是底面边长为2的正三角 形，于是侧面积为S ＝6×4＝24. 答案：C 3．(2010·德州质检)下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点) ( ) A ．6＋3＋π B ．18＋3＋4π C ．18＋23＋π D ．32＋π 解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球，其中正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，故其表面积 S ＝4π×? ?? ??122 ＋2× 3 4 ×22＋3×2×3＝18＋23＋π. 答案：C
4．(2010·淮南模拟)一个多面体的三视 图分别为正方形、等腰三角形和矩形， 如图所示．则该多面体的体积 ( ) A ．48 cm 3 B ．24 cm 3 C ．32 cm 3 D ．28 cm 3 解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱，如图． 其中侧面矩形ABCD 中，AD ＝6(cm )，AB ＝4(cm )，底面等 腰三角形ADF 的底边AD 上的高为4(cm )，则其体积V ＝ 1 2×4×4×6＝48(cm 3)． 答案：A 5．(2010·厦门模拟)已知某几何体的 三视图如图，其中正(主)视图中半圆 的半径为1，则该几何体的体积为 ( ) A ．24－32π B ．24－π 3 C ．24－π D ．24－π 2
柱、锥、台和球的体积（1） 教学目标：了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学重点：了解柱、锥、台的体积的计算方法 教学过程： （一）祖暅原理： 祖暅（音geng ），一名祖暅之，是祖冲之的儿子，他的活动时期大约在公元 504— 526年?祖氏父子在 数学和天文学上都有杰出的贡献. 祖暅的主要工作是修补编辑祖冲之的《缀术》.他推导球体积公式的方法非常巧妙. 根据中国算书《九章算术》中李淳风的注释，下面我们使用现代的术语，并将原来的图形略加修改， 把祖暅当时推导球体积公式的方法介绍如下： 作一个几何体 Vi .底面OABC 是一个正方形，边长为 r （图2-18）.高 OD=r,且OD 丄底面AG 云玄都是以0为El 心.以r 为半径的圆 的右且平行于底面的任意平面与几何体的截面都是正方形，在0D 上 取一点S ,过点 另取一个边长为 r 的正方体V2（图2-19），连结O' D', O' C', O' A',锥体O' -A ' B ' C' D'记 作V3, V2-V3是正方体O' D'挖去锥体 O' -A ' B ' C D'剩下的几何体.下面来证明 V1=V2-V3. 设平行于底面与底面距离为 h 的平面，截V2的截面是正方形 P TS' M 面积等于r 2，截V3的截面是 2 正方形Q' TR N,面积等于h （因为Q' T=O T=h ），所以这两个正方形的差形成曲尺形 P' Q NR S ' M, 它的面积等于r 2-h 2. 比较V 与V2-V3在等高（h ）处的截面，它们的面积都是 r 2-h 2,因此体积相等，即 V=V2-V3. 祖暅原理的原文是“幕势既同，则积不容异.”“幕”是截面积，“势”是几何体的高.意思是：两 个同高的几何体，如果与底等距离的截面积总相等，那么几何体的体积相等.这就是现在说的：夹在两个 a , OS 为h ，则截面面积a 2=r 2-h 2. 图 2-18 D f C 图 2-1^
1.3柱、锥、台、球的表面积和体积 考纲要求：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 经典例题：在三棱柱ABC—DEF中，已知AD到面BCFE的距离为h，平行四边形BCFE的面积为S． 求：三棱柱的体积V． 当堂练习： 1．长方体ABCD-A1B1C1D1的AB=3，AD=2，CC1=1，一条绳子从A沿着表面拉到点C1，绳子的最短长度是（） A．+1 B． C． D． 2．若球的半径为R，则这个球的内接正方体的全面积等于（） A．8R2 B．9R2 C．10R2 D．12R2 3．边长为5cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面, 则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离是（）
A．10cm B．5cm C．5cm D．cm 4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（） A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍 5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（） A．1倍B．2倍C．1倍D．1倍 6．正方体的全面积是a2,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（） A． B． C．D． 7．两个球的表面积之差为48,它们的大圆周长之和为12,这两个球的半径之差为（） A．4 B．3 C．2 D．1 8．已知正方体的棱长为a，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（） A．a3 B．a3 C．a3 D．a3 9.正方形ABCD的边长为1，E、F分别为BC、CD的中点，沿AE，EF，AF折成一个三棱锥，使B，C，D三点重合，那么这个三棱锥的体积为（）A．B．C．D．
柱、锥、台的表面积与体积 要点1 柱体的表面积 棱柱的侧面是平行四边形；圆柱的侧面展开图是矩形． 设柱体的底面周长为c ，高为h ，则S 侧＝c·h ，S 表＝S 侧＋2S 底． 要点2 锥体的表面积 棱锥的侧面展开图是由若干个三角形拼成的，因此侧面积为各三角形面积之和；圆锥的侧面展开图为扇形．表面积公式为：S 表＝S 侧＋S 底． 要点3 台体的表面积 棱台的侧面展开图为若干个梯形拼接而成，因此侧面积为各梯形的面积之和，而圆台的侧面展开图为扇环，其侧面积可由大扇形的面积减去小扇形的面积而得到，它们的表面积公式为：S 表＝S 侧＋S 上底＋S 下底． 要点4 柱体、锥体与台体的体积公式 V 柱体＝Sh ，(S 为底面积，h 为柱体的高)． V 锥体＝1 3Sh ，(S 为底面积，h 为锥体的高)． V 台体＝1 3(S ＋SS ′＋S ′)h ， V 柱――――→S ′＝S V 台――――→S ′＝0 V 锥 例1 (1)已知棱长为5的各侧面均为正三角形的四棱锥 S －ABCD ，求它的侧面积、表面积．
(2)一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面面积相等，求这个正方体和圆柱的体积之比． 例2(1)已知一圆台上底面半径为2，下底面的半径为3，截得此圆台的圆锥的高为6，求此圆台的体积． 例3某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积等于________，表面积等于________． 空间几何体体积计算的常见技巧 1．等积变换法 例如图所示，三棱锥的顶点为P，PA、PB、PC为三条侧棱，且PA、PB、PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P －ABC的体积V.
第一章空间几何体 1.3空间几何体的表面积与体积 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积 学习目标 1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式,提高学生的空间想象能力和几何直观能力,培养学生的应用意识,增加学生学习数学的兴趣. 2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法,提高学生的运算能力,培养学生转化、化归以及类比的能力. 学习过程 一、课题导入,问题探究 问题1:我们已经学过正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图,你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗? 问题2:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体,如何计算它们的表面积? 问题3:类比棱柱和棱锥,如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征,求它们的表面积? 问题4:联系圆柱、圆锥的侧面展开图,你能想象圆台侧面展开图的形状,并且画出它吗?如果圆台的上、下底面半径分别是r',r,母线长为l,你能计算出它的表面积吗? 二、类比思考,引起联想 问题5:请同学们联想一下圆柱、圆锥和圆台的结构特征,它们的表面积之间有什么关系?
问题6:回顾长方体、正方体和圆柱,你能将它们的体积公式统一成一种形式吗,并依次类比出柱体的体积公式. 问题7:怎么得到锥体和台体的体积公式呢? 三、典型例题 【例1】若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为() A.18 B.15 C.24+8 D.24+16 【例2】已知棱长为a,各面均为等边三角形的四面体S-ABC,求它的表面积. 【例3】(1)两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是() A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27 (2)三棱锥V-ABC的中截面是△A1B1C1,则三棱锥V-A1B1C1与三棱锥A-A1BC的体积之比是() A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8 【例4】有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽,共重5.8kg,已知底面是正六边形,边长为12mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?(π取3.14) 四、作业精选,巩固提高 1.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为() A. B. C.π D. 2.向高为H的水瓶中匀速注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系如图所示,那么水瓶的形状是()
第1章 立体几何初步 §1.3柱、锥、台、球的表面积和体积 考纲要求：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）；会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 重难点：了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积和体积的运用． 经典例题：在三棱柱ABC —DEF 中，已知AD 到面BCFE 的距离为h ，平行四边形BCFE 的面积为S ． 求：三棱柱的体积V ． 当堂练习： 1．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的AB=3，AD=2，CC 1=1，一条绳子从A 沿着表面拉到点C 1，绳子的最短长度是（ ） A +1 B D 2．若球的半径为R ，则这个球的内接正方体的全面积等于（ ） A ．8R 2 B ． 9R 2 C ．10R 2 D ．12R 2 3．边长为5cm 的正方形EFGH 是圆柱的轴截面, 则从E 点沿圆柱的侧面到相对顶点G 的最短距离是（ ） A ． 10cm B ． 52cm C ． 512 +πcm D cm 4．球的大圆面积扩大为原大圆面积的4倍，则球的表面积扩大成原球面积的（ ） A ．2倍 B ． 4倍 C ． 8倍 D ．16倍 5．三个球的半径之比为1：2：3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的（ ） A ．1倍 B ．2倍 C ．1 54倍 D ．14 3倍 6．正方体的全面积是a 2 ,它的顶点都在球面上，这个球的表面积是（ ） A ． 3 2a π B ． 2 2 a π C ． D ． 7．两个球的表面积之差为48π,它们的大圆周长之和为12π,这两个球的半径之差为（ ） A ．4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 8．已知正方体的棱长为a ，过有公共顶点的三条棱的中点的截面分别截去8个角，则剩余部分的体积是（ ） A ． 21a 3 B ．32a 3 C ．65a 3 D ．12 11a 3 9.正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，沿AE ，EF ，AF 折成一个三棱锥，使B ，C ，D 三点重合，那么这个三棱锥的体积为（ ） A ． 81 B ．241 C ．242 D ．48 5 10.棱锥V-ABC 的中截面是?A 1B 1C 1，则三棱锥V-A 1B 1C 1与三棱锥A-A 1BC 的体积之比是（ ） A ．1：2 B ． 1：4 C ．1：6 D ．1：8 11. 两个球的表面积之比是1：16，这两个球的体积之比为（ ） A ．1：32 B ．1：24 C ．1：64 D ． 1：256 12．两个球的体积之比为8：27，那么，这两个球的表面积之比为（ ） A ．2：3 B ．4：9 C
习题课 1． 两个球的半径之比为1∶3，那么两个球的表面积之比为 ( ) A ．1∶9 B ．1∶27 C ．1∶3 D ．1∶1 2、一个锥体的主视图和左视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 、 21 B 、61 C 、31 D 、9 1 3、一个平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm ，则球的体积为( ) A.100π3cm 3 B.208π3cm 3 C.500π3 cm 3 D.41613π3 cm 3 4、如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且体积为1 2，则该几何体的俯视图可以是 ( ) 5、设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．3πa 2 B ．6πa 2 C ． 12πa 2 D ．24πa 2 6、有三个球，第一个球内切于正方体六个面，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，则这三个球的表面积之比为________。 注：长方体的8个顶点在同一个球面上，则长方体的体对角线是球的直径；球与正方体的六个面均相切，则球的直径等于正方体的棱长；球与正方体的12条棱均相切，则球的直径是正方体的面对角线． 7、已知圆锥的母线长为5㎝，高为4㎝，则这个圆锥的体积________。 8、设某几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为 9、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( ) A ．64＋32π B ．64＋64π C ．256＋64π D ．256＋128π 10、已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )． A.4 0003 cm 3 B.8 000 3 cm 3 C ．2 000 cm 3 D ． 4 000 cm 3 11、某个几何体的三视图如图所示(单位：m)， (1)求该几何体的表面积(结果保留π)； (2)求该几何体的体积(结果保留π)．
A 级 课时对点练 欧阳光明（2021.03.07） 一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分) 1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于43π，则该圆锥的体积为( ) A.2281π B.881π C.4581π D.1081π 解析：设圆锥的底面半径为r ，则2πr 1＝43π，∴r ＝23， ∴圆锥的高h ＝1－? ?? ??232＝53. ∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝4581π. 答案：C 2．如图，是一个几何 体的三视图，侧视图和正视图均为矩形， 俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何 体的侧面积为( ) A ．6 B ．123 C ．24 D ．3 解析：注意到此题的几何体是底面边长为2的正三角 形，于是侧面积为S ＝6×4＝24. 答案：C 3．下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点)( ) A ．6＋3＋π B ．18＋3＋4π C ．18＋23＋π D ．32＋π 解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球，其中正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，故其表面积
S ＝4π×? ????122＋2×34×22＋3×2×3＝18＋23＋π. 答案：C 4．一个多面体的三视 图分别为正方形、等腰三角形和矩形， 如图所示．则该多面体的体积( ) A ．48 cm 3 B ．24 cm 3 C ．32 cm 3 D ．28 cm 3 解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱，如图． 其中侧面矩形ABCD 中，AD ＝6(cm )，AB ＝4(cm )，底面等腰三 角形ADF 的底边AD 上的高为4(cm )，则其体积V ＝12×4×4×6＝ 48(cm 3)． 答案：A 5．已知某几何体的 三视图如图，其中正(主)视图中半圆 的半径为1，则该几何体的体积为( ) A ．24－32π B ．24－π3 C ．24－π D ．24－π2 解析：据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为 3，故其体积V ＝2×3×4－12×π×12×3＝ 24－3π2. 答案：A 二、填空题： 6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视 图都是边长为1的正方形，俯视图是直径 为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________． 解析：由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所
昆明行知中学高一数学空间几何体模块导学案编制人：杨广审核人：审批人： 班级：小组：姓名: 教师评价： 1.3空间几何体的表面积与体积 【课标要求】 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积计算公式。 【学习目标】 通过实物的展开图，能够说出柱、锥、台的展开图形及侧面积求法和球的表面积与体积公式 【使用说明及学法指导】 1.先精读一遍教材P23—P28，用红色笔进行勾画；再针对预习导学二次阅读； 2.若预习完可对合作探究部分认真审题，做不完的正课时再做； 3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑； 4.重点掌握的内容：柱、锥、台及球的表面积与体积。 预习案 问题1：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？（以正三棱柱、棱锥、棱台为例说明） 问题2：圆柱、圆锥、圆台都是旋转体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？ 问题3：如何认识柱、锥、台体的高？柱体、锥体、台体的体积如何计算？（分别写出计算公式） 问题4：如何用球半径来表示球的体积和面积？
【预习自测】 1. 已知圆锥的表面积为27m 2，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径。(提示：数形结合) 2.将一个气球的半径扩大1倍，它的体积扩大到原来的几倍？ 3.五棱台的上、下底面均为正五边形，边长分别是6cm和16cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长尾13cm，求它的侧面积 【我的疑惑或收获】：
昆明行知中学高一数学空间几何体模块导学案编制人：杨广审核人：审批人： 班级：小组：姓名: 教师评价： 1.3空间几何体的表面积与体积 探究案 【探究目标】 通过实物的展开图，总结柱、锥、台和球的表面积，用类比的方法求柱、锥、台和球的体积. 例1.
《柱、锥、台和球的体积》教案（人教B 版必修2） 人教B版数学必修2：柱体、锥体与台体的体积 一、选择题 1. 平行于棱锥底面的截面把棱锥的高分成2∶1的两部分(从上到下)，则棱锥被分成的两部分的体积之比是() A．8∶1． B．8∶27． C．4∶5． D．8∶19． 2. 要在一个体积为V的三棱柱木块的两端刨去两个三棱锥和，把剩余部分加工成一个魔术道具，则该道具的体积是（） A．B．C．D． 3. 已知每条棱长都为3的直平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，∠BAD=60°，长为2的线段MN的一个端点M在DD1 上运动，另一个端点N在底面ABCD上运动．则MN中 点P的轨迹与直平行六面体的面所围成的几何体的体积 为（） A. B. C. D. 4. 如图，三棱锥S-ABC中，则截面EFG把三棱锥分成的两部分的体积之比为（） A．1∶9B．1∶7 C．1∶8D．2∶25
5. (2004年天津卷)如图, 在长方体中，AB=6，AD=4，．分 别过BC、的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为，，．若，则截面的面积为 () A． B．C．D． 16 二、填空题 6. 斜三棱柱的一个侧面的面积等于10cm2，该侧面与它所对的侧棱距离为6cm．，则这个三棱柱的体积为． 7. 一个正四棱锥，它的底面边长是a，斜高也是a，它的体 积是． 8. 在棱长为a的正方体ABCD－ABCD中，P、Q是对角线AC 上的点，若PQ=，则三棱锥P－BDQ的体积为 9. 已知正三棱锥的侧面积为l 8cm2，高为3cm，则它的体积为． 10. 如图，在多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的 正方形，EF∥AB，EF=，EF与面AC的距离为2，则该多面体 的体积为. 三、解答题 11. 三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面面积分别为S1、S2、S3，求它的体积. 12. 平行六面体相交于一个顶点的三条棱的长分别是a、b、c，三条棱中每两条的夹角是60°，求它的体积． 13. 如图，三棱锥P－ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l， PA、
1.1.2 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积和体 积 学习目标：1.了解并掌握球的体积和表面积公式.2.会用球的体积与表面积公式解决实际问题．(重点)3.会解决球的组合体及三视图中球的有关问题．(难点、易混点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．球的体积 设球的半径为R ，则球的体积V ＝34πR 3. 2．球的表面积 设球的半径为R ，则球的表面积S ＝4πR 2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍． [基础自测] 1．思考辨析 (1)球的体积之比等于半径比的平方．( ) (2)长方体既有外接球又有内切球．( ) (3)球面展开一定是平面的圆面．( ) (4)球的三视图都是圆．( ) [提示] (1)× 体积比应为半径比的立方． (2)× 长方体不一定有内切球． (3)× 球面展不成平面． (4)√ 2．若球的过球心的圆面的周长是C ，则这个球的表面积是( ) A ．4πC2 B ．2πC2 C ．πC2 D ．2πC 2 C [由2πR ＝C ，得R ＝2πC ，所以S 球面＝4πR 2＝πC2.] 3．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的( )
A ．2倍 B ．4倍 C ．8倍 D ．16倍 C [设气球原来的半径为r ，体积为V ，则V ＝34πr 3.当气球的半径扩大到原来 的2倍后，其体积变为34π(2r )3＝8×34 πr 3.] 4．一个球的外切正方体的表面积为6 cm 2，则此球的体积为( ) A ．34π cm 3 B ．86π cm 3 C ．61π cm 3 D ．66π cm 3 C [设球的直径为2R cm ，则正方体的棱长为2R cm ，所以6×4R 2＝6，解得R ＝21，所以球的体积为34π×81＝61 π(cm 3)．] [合 作 探 究·攻 重 难] 球的表面积与体积 (2)已知球的体积为3500π，求它的表面积． [解] (1)设球的半径为r ，则由已知得 4πr 2＝64π，r ＝4. 所以球的体积：V ＝34×π×r 3＝3256 π. (2)设球的半径为R ，由已知得 34πR 3＝3500π，所以R ＝5， 所以球的表面积为：S ＝4πR 2＝4π×52＝100π. [规律方法] 求球的表面积与体积的一个关键和两个结论 (1)关键：把握住球的表面积公式S 球＝4πR 2 ，球的体积公式V 球＝34πR 3是计算球的表面积和体积的关键，半径与球心是确定球的条件.把握住公式，球的体
柱锥台球的结构特征 第一课时 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征（一）教学要求：通过实物模型，观察大量的空间图形， 认识柱体、锥体的结构特征，并能运用这些特征描述现 实生活中简单物体的结构. 教学重点：让学生感受大量空间实物及模型，概括 出柱体、锥体的结构特征. 教学难点：柱、锥的结构特征的概括. 教学过程： 一、新课导入：讨论：经典的建筑给人以美的享受，其中奥秘为何？世间万物，为何千姿百态？ 2. 提问：小学与初中在平面上研究过哪些几何图形？在空间范围上研究过哪些？导入：进入高中，在必修② 的第一、二章中，将继续深入研究一些空间几何图形， 即学习立体几何，注意学习方法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算. 二、讲授新课：教学棱柱、棱锥的结构特征： ① 提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？ ② 讨论：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有哪些公共特征？把这些几
何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？ ③ 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所 围成的几何体叫棱柱. → 列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线. ④ 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等. 表示：棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’ ⑤ 讨论：埃及金字塔具有什么几何特征？ ⑥ 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥. 结合图形认识：底面、侧面、侧棱、顶点、高. → 讨论：棱锥如何分类及表示？ ⑦ 讨论：棱柱、棱锥分别具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？ 棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、 对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面 的截面是与底面全等的多边形 棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截