函数的有关概念1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 2．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (5)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 3. 相同函数的判断方法：（满足以下两个条件） ①定义域一致 (化简前) ②表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）； 4．值域：先考虑其定义域 （1）图像观察法（掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数、
)0,(>+ =b a x b ax y 三角函数等的图像，利用函数单调性） （2）基本不等式 （3）换元法 （4）判别式法 5. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x ∈A)中的x 为横坐标，函数值y 为纵坐标的点P(x ，y)的集合C ，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C 上每一点的坐标(x ，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x 、y 为坐标的点(x ，y)均在C 上 . (2) 画法 描点法 图象变换法：常用变换方法有三种：平移变换 伸缩变换 对称变换 6．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 7．映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A （原象）→B （象）” 对于映射f ：A →B 来说，则应满足： (1)集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；
高一数学复习讲义09年版 函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、 开口方向、判别式 考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法） 简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.
启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系） 问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0 第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→； 本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。 一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义 元素: 研究的对象 集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法 列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集 子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集 第一讲 集合 知识要点一： 集合的有关概念 ⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。 ⑵集合中元素的特性：?? ? ??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。 ⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作：A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ? （注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上） ⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示方法。例：{ }2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例：{} 4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N * ；整数集记 作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}） 高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些 简单集合。 例题讲解： 夯实基础 一、判断下列语句是否正确 课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日 公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 职高高一数学课件 下面是小编整理的职高高一数学课件，欢迎大家阅读参考，希望帮助到你。 内容分析： 1.集合是中学数学的一个重要的基本概念。在小学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进一步应用集合的语言表述一 些问题。例如，在代数中用到的有数集、解集等 ; 在几何中用到的有点集。至于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握 和运用，基本的逻辑知识在日常生活、学习、工作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的工具。这些可以帮助学生认识学习本章的意义， 也是本章学习的基础。 把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在高中数学的最开始，是因为在高中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础。例如，下一章讲函数的概念与性 质，就离不开集合与逻辑。 2.1.1 节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手，引出集 合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明。然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表 示集合的例子。 3. 这节课主要学习全章的引言和集合的基本概念。学习引言是 引发学生的学习兴趣，使学生认识学习本章的意义。本节课的教学重点是集合的基本概念。 4.在初中几何中，点、直线、平面等概念都是原始的、不定义 的概念，类似地，集合则是集合论中的原始的、不定义的概念。在开 始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识。 教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合， 也简称集。”这句话，只是对集合概念的描述性说明。 教学过程： 一、复习引入： 1. 简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数; 2.教材中的章头引言 ; 3.集合论的创始人——康托尔 ( 德国数学家 )( 见附录 ); 4.“物以类聚”，“人以群分”; 5.教材中例子 (P4) 二、讲解新课： 阅读教材第一部分，问题如下： (1)有那些概念 ?是关于如何定义的 ? (2)有那些符号 ?是关于如何表示的 ? (3)集合中元素的特性是什么 ? ( 一) 集合的有关概念： 由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人 高中平面几何 叶中豪 学习要点 几何问题的转化 圆幂与根轴 P ’tolemy 定理及应用 几何变换及相似理论 位似及其应用 完全四边形与Miquel 点 垂足三角形与等角共轭 反演与配极，调和四边形 射影几何 复数法及重心坐标方法 例题和习题 1．四边形ABCD 中，AB=BC ，DE ⊥AB ，CD ⊥BC ，EF ⊥BC ，且 ()sin 1 tan sin 2 θθγγ?+=。求证：2EF=DE+DC 。（10081902.gsp ） 2．已知相交两圆O和O'交于A、B两点，且O'恰在圆O上，P为圆O的AO'B 弧段上任意一点。∠APB的平分线交圆O'于Q点。求证：PQ2=PA×PB。 （10092401-1. gsp） 3．设三角形ABC的Fermat点为R，连结AR，BR，CR，三角形ABR，BCR，ACR的九点圆心分别为D，E，F，则三角形DEF为正三角形。（10082602.gsp） 4．在△ABC中，已知∠A的角平分线和外角平分线分别交外接圆于D、E，点A关于D、E的对称点分别为F、G，△ADG和△AEF的外接圆交于A和另一点P。求证：AP//BC。（10092102.gsp） 5．圆O1和圆O2相交于A、B两点，P是直线AB上一点，过P作两圆作切线，分别切圆O1和圆O2于点C、D，又两圆的一条外公切线分别切圆O1和圆O2于点E，F。求证：AB、CE、DF共点。（10092201.gsp） 6．四边形ABCD中，M是AB边中点，且MC=MD，过C、D分别作BC、AD 的垂线，两条垂线交于P点，再作PQ⊥AB于Q。求证：∠PQC=∠PQD。 （10081601-26.gsp） 数学基础知识 第一讲 集合 知识要点一： 集合的有关概念 ⑴某些指定的对象集在一起就成为一个集合，这些研究对象叫做元素。 ⑵集合中元素的特性：?? ? ??的元素顺序无关无序性：集合与组成它元素是互不相同的互异性：集合中任两个必须是确定的确定性：集合中的元素 注意：这三条性质对于研究集合有着很重要的意义， 经常会渗透到集合的各种题目中，同学们应当重视。 ⑶元素与集合的关系：①如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作： A a ∈ ②如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作：A a ? （注意：属于或不属于（?∈,）一定是用在表示元素与集合间的关系上） ⑷集合的分类：集合的种类通常分为：有限集（集合含有有限个元素）、无限集（集合含有无限个元素）、空集（不含任何元素的集合，用记号?表示） ⑸集合的表示： ①集合的表示方法： 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来的表示 方法。例：{ }2,1=A 描述法：在花括号内先写上表示这个集合一般元素的符号及取值范围，再 画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。例： {}4>=x x B （如果元素的取值范围是全体实数，范围可省略不写）。 图示法（即维恩图法）：用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合。 ②特定集合的表示：自然数集（非负整数集）记作N ；正整数集记作()+N N *；整数集记作Z ；有理数集记作Q ；实数集记作R 。（这些特定集合外面不用加{}） 高考要求：理解集合的概念，了解属于关系的意义，掌握相关的术语符号，会表示一些简单集合。 例题讲解： 夯实基础 一、判断下列语句是否正确 1）大于5的自然数集可以构成一个集合。 正确{}5>∈x N x 2）由1，2，3，2，1构成一个集合，这个集合共有5个元素。错误 3）所有的偶数构成的集合是无限集。 正确 4）集合{}{}b a c B c b a A ,,,,,==则集合A 和集合B 是两个不同的集合。 错误 二、用符号∈或?填空。 1）N __0 2）Z _____14.3 3）Q ______π 第二章、函数 第一节、函数 一、函数 1、函数的定义：设集合A 是一个非空的数集，对A 中的任意数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的 数y 与它对应，这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作()y f x =，x A ∈。其中，x 叫做自变量，自变量的取值范围叫做函数的定义域。所有函数值构成的集合，即(){} ,y y f x x A =∈叫做这个函数的值域。 2、检验两个给定的变量之间是否具有函数关系，需检验： （1）定义域和对应法则是否给出； （2）根据给出的对应法则，自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y 。 例1、下列图形中，能表示y 是x 的函数的是（ ） 例2、下列等式中，能表示y 是x 的函数的是（ ） A. y x =± B. 2 1y x =+ C. 21y x = -- D. 21y x =- 3、如何判断函数的定义域： （1）分式的分母不能为零； （2）开偶次方根的被开方数要不小于零； （3）多个函数经过四则运算混合得到的函数定义域是多个定义域的交集； （4）函数0 x 中x 不为零。 例3、求下列函数的定义域 （1）32()32x f x x -=+； （2）()21f x x =-； （3）20 ()(4)f x x =-； （4）21()42 f x x x = -+ + A x B C D x x x y y y y o o o o 例4、求下列函数值域 （1）{}()21,1,2,3,4f x x x =+∈ （2）[]2()21,0,3f x x x x =--∈ （3）) ,1(,1 )(+∞-∈= x x x f （4）[)21(),1,1 x f x x x -=∈+∞+ 4、函数的3要素：定义域、值域和对应法则。 判断两个函数相同的依据就是函数的三要素完全相同。 注：在函数关系式的表述中，函数的定义域有时可以省略，这时就约定这个函数的定义域就是使得这个函数关系式有意义的实数的全体构成的集合。 例5、下列各对函数中，是相同函数的是 （ ） A.2 (),()f x x g x x == B. 2 (),()f x x g x x == C.2(),()f x x g x x = = D. 2 (),()f x x g x x == 5、区间：设a ，b ∈R ，且a ＜b ， 满足a ≤x ≤b 的全体实数x 的集合，叫做闭区间，记作[a,b]； 满足a ＜x ＜b 的全体实数x 的集合，叫做开区间，记作﹙a,b ﹚； 满足a ≤x ＜b 或a ＜x ≤b 的全体实数x 的集合，都叫做半开半闭区间，分别记作[a,b ﹚或﹙a,b ]； 分别满足x ≥a,x ＞a,x ≤a,x ＜a 的全体实数的集合分别记作[a,﹢∞﹚,﹙a,﹢∞﹚,﹙﹣∞,a ], ﹙﹣∞,a ﹚。 6、映射：设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素 x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．其中x 叫做原象，y 叫做象。 注：映射可以是多对一，不可以一对多。即A 中元素不可剩余，B 中元素可以剩余。特别的，集合B 中的任意元素在集合A 中有且只有一个原象的映射，叫做一一映射。 7、映射个数的确定：若集合A 有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则A 到B 的映射有m n 个。 例6、已知集合},{},3,2,1{b a B A ==。问： (1)Ａ到Ｂ的不同映射ｆ：B A →有多少个？ (2)Ｂ到Ａ的不同映射ｇ：A B →有多少个？ 8、映射与函数的关系：函数是特殊的映射。 9、复合函数： 高一数学集合 【知识要点】 一、集合的含义及其表示 1、一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 集合的性质： （1）确定性： 班级中成绩好的同学构成一个集合吗？ （2）无序性： 班级位置调换一下，这个集合发生变化了吗？ （3）互异性： 集合中任意两个元素是不相同的。 如：已知集合A ＝{1，2，a}，则a 应满足什么条件？ 常用数集及记法 （1）自然数集：记作N （2）正整数集：记作*N N +或 （3）整数集：记作Z （4）有理数集：记作Q （5）实数集：记作R 例：下列各种说法中，各自所表述的对象是否确定，为什么？ （1）我们班的全体学生； （2）我们班的高个子学生； （3）地球上的四大洋； （4）方程x 2－1＝0的解； （5）不等式2x －3>0的解； （6）直角三角形； 2、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素列举在一个大括号里：{…} （2）描述法：将集合的所有元素都具有的 性质（满足的条件）表示出来，写成{x| P （x ）}的形式。 如：{x ︱x 为中国的直辖市} （3）集合的分类：有限集与无限集 <1>有限集：含有有限个元素的集合。 <2>无限集：若一个集合不是有限集，就称此集合为无限集。 <3>空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如： 二、子集、全集、补集 1、子集的定义：如果集合A 的任一个元素都在集合B 中 则称集合A 为集合B 的子集，记作：A ?B B A ?或 特别的：A A A ??? 真子集的定义：如果A ? B 并且B A ≠，则称集合A 为集合B 的真子集。 2、补集的定义：设A 为S 的子集，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记作：A C S ＝{x ∣x ∈S 且x ?A}，如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，就把S 称为全集。 三、交集与并集的定义 1、定义：一般地，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集；记作：A ∩B ；由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集；记作： 欢迎阅读 一、复数的概念 1． 虚数单位i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0) i i(0) i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠?? +≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时， z 就是实数0 6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘 知识内容 复数 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ， 可用点()Z a b ，表示，这个建立 y 轴 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律： （1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ??=?? （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义： 复数 知识内容 一、复数的概念 1．虚数单位i: （1）它的平方等于 1 ，即i2 1 ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3） i 与－ 1 的关系 : i 就是1的一个平方根，即方程 2 1 的一个根，方程 2 1 的另一个根是 -i ．x x （4） i 的周期性： i 4n 1i ， i 4n 2 1 ， i 4n 3i ， i 4 n 1 ． 实数 a( b0) 2．数系的扩充：复数a bi bi( b0)纯虚数 bi( a0) 虚数 a 非纯虚数 a bi( a0) 3．复数的定义： 形如 a bi( a ，b R ) 的数叫复数， a 叫复数的实部，b叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示 4．复数的代数形式 : 通常用字母 z 表示，即z a bi (a ，b R) ，把复数表示成 a bi 的形式，叫做复数的代数形式．5．复数与实数、虚数、纯虚数及0 的关系： 对于复数 a bi ( a ，b R) ，当且仅当 b0时，复数 a bi( a ，b R) 是实数a；当 b 0 时，复数z a bi 叫做虚数；当a0 且 b0 时， z bi 叫做纯虚数；当且仅当 a b 0 时，z就是实数 0 6．复数集与其它数集之间的关系：N 苘Z Q 苘 R C 7．两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a，a，b，d， c ， d R ，那么 a bi c di a c ，b d 二、复数的几何意义 1．复平面、实轴、虚轴： 复数 z a bi( a ，b R ) 与有序实数对 a ，b是一一对应关系．建立一一对应的关系．点 Z 的横坐 标是 a ，纵坐标是b，复数z a bi( a ，b R ) 可用点 Z a ，b 表示，这个建立了直角坐标系来表 示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实 数． 2．．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为0 ，0 ，它所确定的复数是z 0 0i 0 表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 复数 z a bi一一对应复平面内的点 Z (a ，b) 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1．复数z1与z2的和的定义： z1z2 a bi c di a c b d i 2．复数z1与z2的差的定义： z1 z2 a bi c di a c b d i 3．复数的加法运算满足交换律: z1z2z2z1 4．复数的加法运算满足结合律: ( z1z2 )z3z1(z2 z3 ) 5．乘法运算规则： 设 z1 a bi ， z2c di ( a、b、c、d R )是任意两个复数， 那么它们的积 z1 z2 a bi c di ac bd bc ad i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i 2换成1，并且把实部与 虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6．乘法运算律： （1） z1 z2 z3z1 z2 z3 考研数学春季强化班高数讲义 第一章 函数 极限 连续 一．函数 1． 函数的概念（定义、定义域、对应法则、值域） 2． 函数的性态 1）单调性 定义：单调增： ).()(2121x f x f x x '单调增； 2)奇偶性 定义：偶函数 );()(x f x f =- 奇函数 ).()(x f x f -=- 判定：(1）定义： (2）设)(x f 可导，则： a))(x f 是奇函数? )(x f '是偶函数； b))(x f 是偶函数? )(x f '是奇函数； (3）连续的奇函数其原函数都是偶函数； 连续的偶函数其原函数之一是奇函数。 3)周期性 定义：)()(x f T x f =+ 判定：(1)定义； (2）可导的周期函数其导函数为周期函数； (3）周期函数的原函数不一定是周期函数； 4)有界性 定义：若;)(,,0M x f I x M ≤∈?>?则称)(x f 在I 上有界。 判定：（1）定义： （2）)(x f 在],[b a 上连续)(x f ?在],[b a 上有界； （3）)(x f 在),(b a 上连续，且)0()0(-+b f a f 和存在)(x f ?在 ）（b a ,上有界； （4）)(x f '在区间I （有限）上有界)(x f ?在I 上有界； 3．复合函数与反函数 (函数分解成简单函数的复合,分段函数的复合) 4．基本的初等函数与初等函数 基本初等函数: 常数，幂函数 ,指数,对数,三角,反三角。了解它们定义域,性质,图形. 初等函数: 由基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个 解析式表示的函数. 题型一 复合函数 例1设)1(-x f 的定义域为),0(],,0[>a a ，则)(x f 的定义域为 (A) ]1,1[+a (B) ]1,1[--a (C) ],1[a a - (D) ]1,[+a a 例2已知,1)]([,)(2x x f e x f x -==?且,0)(≥x ?求)(x ?及其定义域。 =)((x ?)0,)1ln(≤-x x 例3设???≥<=0,10,0)(x x x f , ? ??≤-<-=||1,2||1||,2)(2x x x x x g 试求)]([)],([x f g x g f . ( ???≤<<≤=||21||,12||1,0)]([x x x x g f 或 ???≥-<=0 ,10,2)]([x x x f g ) 题型二 函数性态 §1.1 集合 1．1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 一、基础过关 1． 下列各项中，不可以组成集合的是 ( ) A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 2． 集合A 中只含有元素a ，则下列各式正确的是 ( ) A ．0∈A B ．a ?A C ．a ∈A D ．a ＝A 3． 由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3 x 3所组成的集合，最多含 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素 D ．5个元素 4． 由下列对象组成的集体属于集合的是________．(填序号) ①不超过π的正整数； ②本班中成绩好的同学； ③高一数学课本中所有的简单题； ④平方后等于自身的数． 5． 如果有一集合含有三个元素1，x ，x 2－x ，则实数x 的取值范围是________． 6． 判断下列说法是否正确？并说明理由． (1)参加2012年伦敦奥运会的所有国家构成一个集合； (2)未来世界的高科技产品构成一个集合； (3)1,0.5，32，1 2组成的集合含有四个元素； (4)某校的年轻教师． 7．已知集合A 是由a －2,2a 2＋5a,12三个元素组成的，且－3∈A ，求a . 二、能力提升 8．已知集合S中三个元素a，b，c是△ABC的三边长，那么△ABC一定不是() A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等腰三角形 9．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m为() A．2 B．3 C．0或3 D．0,2,3均可 10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________. 11．设P、Q为两个非空实数集合，P中含有0,2,5三个元素，Q中含有1,2,6三个元素，定义集合P＋Q 中的元素是a＋b，其中a∈P，b∈Q，则P＋Q中元素的个数是多少？ 三、探究与拓展 12．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则1 1－a ∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素； (2)集合A不可能是单元素集． 此文档下载后即可编辑 高一数学：集合讲义 一、集合及其基本概念 1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。 集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。 注意：集合｛0｝与空集?的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。 例1：下列各项中不能组成集合的是 （A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题 （C ）所有数学难题 （D ）所有无理数 2、元素与集合的关系 一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）； 要么a 不是A 中的元素，记作a A ?（读作a 不属于A ）。这个性质即为集合中元素的确定性。 在元素与集合之间，只能用∈或?表示，它们之间只存在这两种关系。 例2、若A={x | x=0}，则下列各式正确的是 （A ）φ=A （B ）φ∈A （C ）{ 0 }∈A （D ）0 ∈A 3、集合的表示方法 我们用列举法与描述法表示一个集合。 列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。 描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。 我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可 以用Z 表示；有理数集可以用Q 表示；实数集可以用R 表示。 例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(____________________ 例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来__________________________. 二、集合与集合的关系 1、子集 对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作A B ?。任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。 2、真子集 对于两个集合A 和B ，如果集合A B ?，并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的 一、复数的概念 1． 虚数单位i: （1）它的平方等于1-，即21i =-； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系: i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性： 41n i i +=， 421n i +=-， 43n i i +=-， 41n i =． 2． 数系的扩充：复数(0)i i(0) i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =?? +=??+≠?? +≠?? 实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义： 形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式: 通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式． 5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系： 对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，z 就是实数0 知识内容 复数 6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C 苘苘 7． 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，， c ， d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d = 二、复数的几何意义 1． 复平面、实轴、虚轴： 复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，可用点()Z a b ，表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2． ．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为()00， ，它所确定的复数是00i 0z =+=表示是实数． 除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 3． 这就是复数的一种几何意义．也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法． 三、复数的四则运算 1． 复数1z 与2z 的和的定义： 12z z +=()()i i a b c d +++=()()i a c b d +++ 2． 复数1z 与2z 的差的定义： 12z z -=()()i i a b c d +-+=()()i a c b d -+- 3． 复数的加法运算满足交换律:1221z z z z +=+ 4． 复数的加法运算满足结合律:123123()()z z z z z z ++=++ 5． 乘法运算规则： 设1i z a b =+，2i z c d =+(a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 那么它们的积()()()()12i i i z z a b c d ac bd bc ad =++=-++ 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2 i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律： （1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ??=?? -- 高一数学：集合讲义 一、集合及其基本概念 １、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体,可以看作一个集合。 集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。 注意：集合{0}与空集?的区别：前者是含有一个元素“０”的集合，后者是不含元素的集合。 例１:下列各项中不能组成集合的是 (A ）所有正三角形 （B ）《数学》教材中所有的习题 (C ）所有数学难题 (D ）所有无理数 2、元素与集合的关系 一个集合A 与一个对象a ，要么a 是A 中的元素，记作a A ∈（读作a 属于A ）； 要么a 不是A 中的元素,记作a A ?(读作a 不属于A )。这个性质即为集合中元素的确定性。 在元素与集合之间，只能用∈或?表示,它们之间只存在这两种关系。 例2、若A=｛x ｜ ｘ＝0}，则下列各式正确的是 （A)φ＝A （B ）φ∈A (C){ 0 }∈A （D ）０ ∈A 3、集合的表示方法 我们用列举法与描述法表示一个集合。 列举法就是把集合中的元素一一列举出来,并写在大括号中。 描述法就是通过描述集合中所有元素的共同特性来表示集合，一般写作{}|x x 具有某种特性。 我们应熟练记住一些常用的数学符号:自然数集可以用N 表示；正整数集可以用+N 表示；整数集可以 用Z 表示；有理数集可以用Q 表示;实数集可以用R 表示。 例3、用列举法表示集合{}N y N x y x y x ∈∈=-+,,052|),(＿_____＿＿＿____＿__＿＿__ 例4、解不等式23<-x ，并把其正整数解表示出来_＿____＿＿____＿_＿_＿__＿___＿__. 二、集合与集合的关系 1、子集 对于两个集合A 和B ，如果集合A 中任何一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集合B 的子集,记作A B ?。任何集合都是自己的子集;空集是任何集合的子集。 2、真子集 对于两个集合A 和B ,如果集合A B ?,并且B 中至少有一个元素不属于A ，那么集合A 叫做集合B 的真考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤
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