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一、复数的概念
1． 虚数单位i:
（1）它的平方等于1-，即21i =-；
（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1的关系:
i 就是1-的一个平方根，即方程21x =-的一个根，方程21x =-的另一个根是-i ． （4）i 的周期性：
41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-，41n i =．
2． 数系的扩充：复数(0)
i i(0)
i(0)i(0)a b a b b a a b b a b a =??
+=??+≠??
+≠??
实数纯虚数虚数非纯虚数 3． 复数的定义：
形如i()a b a b +∈R ，的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4． 复数的代数形式:
通常用字母z 表示，即()z a bi a b R =+∈，，把复数表示成a bi +的形式，叫做复数的代数形式．
5． 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：
对于复数()a bi a b R +∈，，当且仅当0b =时，复数()a bi a b R +∈，是实数a ；当0b ≠时，复数z a bi =+叫做虚数；当0a =且0b ≠时，z bi =叫做纯虚数；当且仅当0a b ==时，
z 就是实数0
6． 复数集与其它数集之间的关系：N Z
Q R C 苘苘
知识内容
复数
7． 两个复数相等的定义：
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，a b d ，，，c ，d ∈R ，那么i i a b c d +=+?a c =，b d =
二、复数的几何意义
1． 复平面、实轴、虚轴：
复数i()z a b a b =+∈R ，与有序实数对()a b ，是一一对应关系．建立一一对应的关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i()z a b a b =+∈R ，
可用点()Z a b ，表示，这个建立
y 轴
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把2i 换成1-，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6． 乘法运算律：
（1）()()123123z z z z z z = （2）123123()()z z z z z z ??=?? （3）()1231213z z z z z z z +=+ 7． 复数除法定义：
满足()()()i i i c d x y a b ++=+的复数x yi +(x 、y ∈R )叫复数a bi +除以复数c di +的商，
记为：()()a bi c di +÷+或者a bi
c di
++ 8． 除法运算规则：
设复数i a b +(a 、b ∈R )，除以i c d +(c ，d ∈R )，其商为i x y +（x 、y ∈R )， 即()(i)i i a b c d x y +÷+=+∵()()()()x yi c di cx dy dx cy i ++=-++ ∴()()i i cx dy dx cy a b -++=+
不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
1． 复数的概念
【例1】 已知2(1a i bi i i -??
=-+ ?+??
为虚数单位），那么实数a ，b 的值分别为（） A ．2，5B ．-3，1C ．-1．1D ．2，3
2
-
【答案】D
【例2】 计算：0!1!2!100!i +i +i ++i =L （i 表示虚数单位） 【答案】952i +
【解析】 ∵4i 1=，而4|!k （4k ≥），故0!1!2!100!i +i +i ++i i i (1)(1)197952i =++-+-+?=+L 【例3】 设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ）
A ．z 的对应点Z 在第一象限
B ．z 的对应点Z 在第四象限
C ．z 不是纯虚数
D ．z 是虚数
【答案】D
【解析】
2222(1)10t t t -+=-+≠． 【例4】 在下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①两个复数不能比较大小；
②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；
④若a b ，是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1
z z
=
． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
【答案】B
【解析】 复数为实数时，可以比较大小，①错；1x =-时，22(1)(32)0x x x i -+++=，②错；z 为
实数时，也有z z +∈R ，③错；0a b ==时，()()0a b a b i -++=，④错；⑤⑥正确．
2． 复数的几何意义
【例5】 复数2i
12i
m z -=
+（m ∈R ，i 为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
例题精讲
【答案】A
【解析】由已知
2(2)(12)1
[(4)2(1)]
12(12)(12)5
m i m i i
z m m i
i i i
---
===--+
++-
在复平面对应点如果在第一象限，
则
40
10
m
m
->
?
?
+<
?
，而此不等式组无解．即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
【例6】若
35
ππ
44
θ??
∈ ?
??
，，复数(cos sin)(sin cos)i
θθθθ
++-在复平面内所对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
．
1)到点【解析】复数z表示的点在单位圆与直线
1
2
x=上（
13
22
z z
+=-表示z到点
1
2
??
- ?
??
，与点
3
2
??
?
??
，
的距离相等，故轨迹为直线1
2
x=），故选D．
【例9】已知复数(2)i()
x y x y
-+∈R
，
y
x
的最大值为
_______．
【解析】
2i
x y
-+=
∵
22
(2)3
x y
-+=
∴，故()
x y
，在以(20)
C，
y
x
表示圆上的点()
x y
，与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知y
x
【例10】复数z满足条件：21i
z z
+=-，那么z对应的点的轨迹是（）
2
u u r
为邻
【例12】已知复数
1
z，
2
z满足11
z=，21
z=，且
12
4
z z
-=，求1
2
z
z
与
12
z z
+的值．【答案】；4．
【解析】设复数
1
z，
2
z在复平面上对应的点为
1
Z，
2
Z，由于222
1)1)4
+=，
故222
1212
z z z z
+=-，
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故以1OZ u u u u r
，2OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是矩形，从而12OZ OZ ⊥u u u u r u u u u r
，则
12z z ==；12124z z z z +=-=． 【例13】 已知12z z ，∈C ，121z z ==
，12z z +=12z z -．
【解析】 设复数12z z ，，12z z +在复平面上对应的点为123Z Z Z ，，，由121z z ==知，以1OZ u u u u r
，2
OZ u u u u r 为邻边的平行四边形是菱形，记O 所对应的顶点为P ，
由12z z +=1120PZ O ∠=?（可由余弦定理得到），故1260Z OZ ∠=?，
． 3【答案】511- 【解析】 原式12121269100
1
21511(i)
=
+
=
=-+=--． 【例17】 已知复数1cos i z θ=-，2sin i z θ=+，则12z z ?的最大值为（ ）
A ．3
2
B C D ．3
【答案】A
=，
故当sin21
θ=±时，
12
z z?
3
2
．
【例18】对任意一个非零复数z，定义集合{|}
n
z
M w w z n
==∈N
，．
（１）设z是方程
1
x
x
+=的一个根，试用列举法表示集合
z
M．若在
z
M中任取两个数，求其和为零的概率P；
由一元二次方程求根公式得
1
(5i)(1i)
3i
2
x
-+-
==-，
2
(5i)(1i)
2
2
x
---
==．
∴原方程的解为
1
3i
x=-，
2
2
x=．
法二：设i()
x a b a b
=+∈R
，，则有2
(i)5(i)6(2)i0
a b a b a bi
+-++++-=，
22
(56)(252)i0
a b a b ab b a
?---++-+-=
22560
2520
a b a b
ab b a
?---+=
?
??
-+-=
??
①
②
，
由②得：52
21
b
a
b
+
=
+
，代入①中解得：
3
1
a
b
=
?
?
=-
?
或
2
a
b
=
?
?
=
?
，
故方程的根为123i 2x x =-=，．
【例20】 已
知21z x =+22()i z x a =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的
取值范围．
【答案】112a ?
?∈- ??
?，．
【解析】
12z z >∵，42221()x x x a ++>+∴， 22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．
【解析】 若α，β为实数，则440k ?=-≥且2
222()()444k αβαβαβαβ-=-=+-=-=，
解得1k =-．
若α，β为虚数，则440k ?=-<且α，β共轭，
2
222()()444k αβαβαβαβ-=--=-++=-+=，解得3k =．
综上，1k =-或3k =．
【例23】 用数学归纳法证明：(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ++=+∈N ，
． 并证明1(cos isin )cos isin θθθθ-+=-，从而(cos isin )cos()isin()n n n θθθθ-+=-．
【解析】 1n =时，结论显然成立；
若对n k =时，有结论成立，即(cos isin )cos()isin()k k k θθθθ+=+， 则对1n k =+，1(cos isin )(cos isin )(cos isin )k k θθθθθθ++=++ 由归纳假设知，上式(cos isin )[cos()isin()]k k θθθθ=++
cos[(1)]isin[(1)]k k θθ=+++，
从而知对1n k =+，命题成立．
综上知，对任意n ∈N ，有(cos isin )cos()isin()n n n n θθθθ+=+∈N ，
．
即(525)(5415)0x y x y i +-++-=， 故525054150x y x y +-=??
+-=?，解得1
5x y =-??=?
，故4x y +=．
【例26】 已知
1
z
z -是纯虚数，求z 在复平面内对应点的轨迹． 【答案】以102??
???，为圆心，12为半径的圆，并去掉点(00)，和点(10)，． 【解析】 法一：
设i z x y =+（x y ∈R ，），
则222
i (1)i 11i (1)z x y x x y y z x y x y +-+-==--+-+是纯虚数， 故220(0)x y x y +-=≠，
即z 的对应点的轨迹是以1
02?? ??
?，为圆心，1
2
为半径的圆，并去掉点(00)，
和点(10)，．
(10)，． 【解析】 ∵()23i f z z z =+-，
∴(i)2(i)(i)3i 22i i 3i f z z z z z +=+++-=++--22i.z z =+- 又知(i)63i f z +=-，∴22i 63i z z +-=-
设i z a b =+（a b ∈R ，），则i z a b =-，∴2(i)(i)6i a b a b -++=-，即3i 6i a b -=-， 由复数相等定义得36
1a b =??
-=-?
，解得21a b ==，．∴2i z =+． 故()(2i)2(2i)(2i)3i 64i f z f -=--=--+-+-=--．
【点评】复数的共轭与模长的相关运算性质：
①设i z x y =+（x y ∈R ，）的共轭复数为z ，则2z z x +=；2i z z y -=； ②z 为实数2
220z z z z z ?=?>?=； ③z 为纯虚数200(0)z z z z ?
④对任意复数有z z =；1212z z z z ±=±；1212z z z z =?，特别地有22()z z =；11
22
z z z z ??=
???；2
z z z =?．
2．
2ωω=，
222331
1
1
1
10ωωωωωωωω
++++==++=． 22111121ωωωωωωω
++-====-+-+． 【点评】利用12ω=-的性质：3313221()n n n n ωωωωω++===∈Z ，
，，210ωω++=可以快速计算一 些ω相关的复数的幂的问题．
【例30】 若232012320n n a a a a a ωωωω+++++=L （012212n n a a a a ω+∈∈=-N R L ，，，，，，），
求证：036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L
设036147258A a a a B a a a C a a a =+++=+++=+++L L L ，，， 则有20A B C ωω++=
，即1
102
2A B C ????+-+
+-= ? ? ? ?????
，
202)0A B C
B C --?=??
?-=，解得A B C ==，即036147258a a a a a a a a a +++=+++=+++L L L ．
（3）222
2211222221(1)(1)11b a a w u a a a a a a a a ---=+=+=-=-+++++12(1)31a a ?
?=++-??+?
?． 因为1
12
a ??
∈- ??
?
，，所以10a +>， 故223431w u -?=-=≥． 当1
11
a a +=
+，即0a =时，2w u -取得最小值1．
【例32】 对任意一个非零复数z ，定义集合21{|}n z M w w z n -==∈N ，
． （1）设σ
是方程1
x x
+
=的一个根，试用列举法表示集合M σ； （2）设复数z M ω∈，求证：z M M ω?．
【答案】（1
）i)i)i)i)2222M σ??
=+---+-?
?????
，，，；（2）略
【解析】 （1）∵σ
是方程1
x x
+
为虚数
（2）将()x y ，作为点P 的坐标，()x y ''，作为点Q 的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上
点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ．当点P 在直线1y x =+上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；
（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上?若存在，试
求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．
【答案】（1）x x y y
?'=+??
'=-??；（2）(22y x =-；
（3）这样的直线存在，其方程为3
y x =
或3y x =- 【解析】 （1）由题设，002w z z z z z =?==，∴02z =，
于是由214m +=，且0m >，得3m =，
因此由(13i)(i)3(3)i x y i x y x y x y ''+=-?+=++-，得关系式33x x y
y x y ?'=+??'=-??
．
（2）设点()P x y ，在直线1y x =+上，则其经变换后的点()Q x y ''，满足
(13)3
(31)1
x x y x ?'=++??
'=--??， 消去x ，得(23)232y x ''=--+，故点Q 的轨迹方程为(23)232y x =--+． （3）假设存在这样的直线，
∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，∴所求直线可设为(0)y kx b k =+≠． ∵该直线上的任一点()P x y ，，其经变换后得到的点(33)Q x y x y +-，仍在该直线上，
∴3(3)x y k x y b -=++，即(31)(3)k y k x b -+=-+， 当0b ≠时，方程组(31)13k k k
?-+=??-=??无解，故这样的直线不存在．
当0b =，由
(31)31k k k -+-=
，得23230k k +-=，解得3
3
k =或3k =-． 故这样的直线存在，其方程为3
3
y x =
或3y x =-．
【习题1】 已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（）
A ．()15，
B ．()13，
C ．()15，
D ．()13，
【答案】C
【解析】 21z a =+，而02a <<，∴15z <<
【习题2】 设A B ，为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平
面的（）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
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【答案】B
【解析】 sin sin cos cos cos()tan cot 0sin cos sin cos A B A B A B B A A B A B -+-==->，cos()
cot tan 0sin cos A B B A B A +-=<．
【习题3】
4等于（）
A
．1
B
．1-C
．1
D
．1-
【解析】原式4
25
22
516(1i)1(2i)2
21211
ωω+=
=-?===-+??
??
，选B ． 1OZ u u u u r
，
班级_____________ 姓名______________ 四年级（下）英语Unit1易错题英译互译。 1. 多少学科 6. 去上学 2. 喜欢科学课7. 我们的新课表 3. 什么课8. 上一节美术课 4. 去操场9. 多少节数学课 5. 今天下午10. 有两场足球赛 一、选择题。 ( ) 1. It’s time school. A. at B. to C. for ( ) 2. Do you have PE lessons this week? A. any B. some C. a ( ) 3. It’s time play table tennis. Let’s go. A. of B. to C. for ( ) 4. Do we have Chinese lesson this morning? A. any B. some C. a ( ) 5. What do you like? I like PE. It’s fun. A. subjects B. subject C. a subject ( ) 6. Do you have English lesson on Monday? A. any B. a C. an ( ) 7. We have Art lesson and English lesson today. A. an; a B. a, an C. an, an ( ) 8. How many lessons do you have today? --- A. We have Art and Music. B. We have three. C. We like PE. 四年级（下）英语Unit2易错题 二、英译互译。 1. 星期几 2 我的一天 3. 去学校 4. 在星期六下午 5. 有一节美术课 6. 今天早上 7. 好的。8. 一节溜冰课9. 真遗憾！ 三、按要求写单词。 1. match(复数) 2. let’s (完全形式) _ 3. here(反义词) __ 4. he’s（同音词）________ 四、选择题。 ( ) 1. ─ ______ lessons do you have this morning？─ We have four . A. What B. How many C. How much ( ) 2. ─What _do you have this morning? ─I have English and Maths. A. subject B. lessons C. lesson ( ) 3. ─ What do you like? ─ I like Art. A. subjects B. lesson C. lessons ( ) 3. I get up ___ six twenty. A. at B. on C. in ( ) 4. I an English lesson. She an English lesson too. A. has；have B. have; have C. have；has ( ) 5.We have eight _______at school, and I like En glish. It’s fun. A. lessons B. subject C. subjects ( ) 6. We don’t have lessons on Sunday. A. some B. a C. any ( ) 7. We don’t have Chinese lesson this morning. A. some B. a C. any ( ) 8. It’s time_____play basketball. Let’s go. A. of B. to C. for ( ) 9. It’s time_____ class. A.at B.to C. for ( ) 10. ─___do you have your first lesson?─____eight o’clock. A. When；At B. What；On C. How；At ( ) 11. Welcome ______ the snack bar. A. at B. to C. in ( ) 12. Who’s the boy______ the white shirt. A. with B. at C. in ( ) 13. Who’s the woman______ long hair. A. at B. in C. with 四年级（下）英语Unit3易错题 二、英译互译。 1. 做我们的家庭作业 6. 谈论关于 2. 在晚上7. 在夜间 3. 在那里8. 放学后踢足球 4. 做她的家庭作业9. 今天下午 5. 吃早饭10. 看电视 三、选择题。 ( ) 1. What time is it? A. It’s six. B. Six. C. At six.
易错题答案详解 1. A or else意为“要不然，否则”。 2. A 考查连词。根据语境用if引导条件状语从句。 3. A 本题考查考生运用介词和比较级的能力。For在这里是“就……而言”的意思，而第二个选项要抓住信息词still在此处的妙用，它是用来修饰比较级的，加上上文的cold，在此处就不难选择colder了。 4. D 本题考查不定代词的本意区别及其与语境综合运用。此处none指的是not any vinegar，也就是说，此处可以这样理解：I'm sorry to say that I didn't put any vinegar in the soup, because I forgot it. 5. B 本题考查考生在语境中灵活运用. 辨析短语用法的能力，此处seldom，if ever 是一个短语，是“从不，决不”的意思。 6. B 本题however you like相当于in whatever way you like，根据语境，不难判断出B为正确答案。 7. A 本题考查情态动词shall在主语是第二. 三人称时，作为征求意见的用法。。 8. C 考查连接词。Where引导地点状语从句。 9. C 考查时态。had planned发生called和couldn't get away之前。 10. D 考查连接代词。whosever既引导从句作介词to的宾语，又在从句中作定语。 11. A 考查冠词的用法。第一空表示泛指，而第二空构成一个短语do sb. a great service，其意思为“给某人提供好的服务”。Service在这里为抽象名词具体化。 12. C 考查动词的时态。根据句子的意思，表示发生在过去的动作对现在所产生的影响，所以应该用现在完成时。此句的意思是“由于我把所有的钱都丢失了，所以再开始说是我的过错也就没有意义了”。 13. A 考查动词短语的用法。look up的意思为“向上看”. “尊敬”. “仰望”. “查寻”. “拜访”. “好转”，在本语境中为“好转”。 14. A 考查介词表示时间的用法。during the night的意思为“在晚上的某个时间”。 15. C 考查冠词的用法，experience意思为“经验”时是一个不可数名词，当意思为“经历”时是一个可数名词。本题是他在社会中赢得了很丰富的经验，experience在此为不可数名词，社会在这里是抽象名词，所以不加冠词。 16. A 本题考查free的用法。在这里free的意思为：解除负担. 义务或限制。在本题中，free和句子的主语之间是一种逻辑上是动宾关系，所以要用过去分词形式，表示一种被动与完成。 17. B 本题是对情景交际用语的考查。“你错过了开会”，而从答语中的“我在会议结束前五分钟到达会场”，可以看出答话者认为对方讲话不够确切，毕竟答话者参加了会议，只不过迟到而已。 18. C 本题考查交际用语，表示许可时，肯定回答常用“Yes, please. / Of course, you may. / Go ahead, please. / Not at all. / Just help yourself. ”等表示。B和D选项前后矛盾。 19. C 本题考查交际用语。当对方表示感谢时，常用的答语有：You're welcome. / It's nothing. / That's all right. / Don't mention it. / It's a pleasure. / It's my pleasure. / That's nothing. / It was no trouble at all. 等。A项意思为“乐于效劳”；D项表示同意等；B项“不要紧. 没关系”。 20. C 根据句意，该空须填一个连词。Considering连词，“就……而论；照……来看”。 21. B just my luck是习语，意思为“真倒霉！”。not at all和that's all right多用于对方感谢时的应答语，“不客气”。Never mind用于对方道歉时的应答语，“没关系”。 22. A 这是一个省略句，承接上文，省略了as I had thought。
更多精品文档 复数易错题 1．在复平面内，复数65,23i i --+对应的点分别为A B 、,若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ） A ．48i + B ．82i + C ．2i - D ．4i + 【答案】C 【解析】 试题分析：先由点,A B 对应的复数可以得到点,A B 的坐标，在利用中点坐标公式可以求出点C 的坐标，最后就可以得到点C 对应的复数．由于复数65i -对应的点为()6,5A -，复数23i -+对应的点为()2,3B -．利用中点坐标公式得线段AB 的中点()2,1C -，所以点C 对应的复数2i -，故选C ． 考点：1、复平面；2复平面内的点与复数的一一对应关系；3、线段的中点． 2．z 为复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，且1i z i ?=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1- C ．i D ．1 【答案】D 【解析】 试题分析：()()() 111,1,i i i z i z i i i i -?--===--∴=-+?-其虚部为1，故选D ． 考点：复数的概念及运算． 3．设集合}|,sin cos ||{22R ∈-==x x x y y M ，{|| |1N x =<，i 为虚数单位，}R ∈x ，则M ∩N 为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1] C ．[0，1） D ．[0，1] 【答案】C 【解析】 试题分析：[] 1,0}2cos {=∈=R x x x M ,}11{}1{}12 31{<<-=<=<+=x x x x x i x N ，[)10，=N M ,故选C. 考点：1.集合的交并补；2.复数的代数运算与几何运算 4．设i i z ++= 11 ，则=||z A. 2 1 B. 22 C. 23 D. 2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222 i i z i i i i i i i --= +=+=+=-++-，由模的运算可得：||2 z = =. 考点：复数的运算 5． =-+2 3 )1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D 【解析】 试题分析：由已知得 =-+23)1()1(i i 22(1)(1)2(1) 1(1)2i i i i i i i +++==----． 【考点定位】复数的运算． 6．设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为( )． A.2 B.-2 C.- D. 【答案】A 【解析】 ∵ = = = + ∴由纯虚数的概念知：=0, ≠0 ∴a=2 7．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）
一般现在时易错题及解析 一、单项选择一般现在时 1．—Tu Youyou proves with hardships _______ great honor. —Sure. Opportunities favour the prepared mind. A．comes B．will come C．is coming D．are coming 【答案】A 【解析】考查时态。上句：屠呦呦证明了艰辛会变成伟大的荣誉。下句：当然，机会偏爱有准备的头脑。根据句意可知句子用一般现在时态，故答案为A。 2．Mr. Black, as well as the professor who________ from Beijing University, ________ to attend our school meeting. A．come; is B．comes; are C．comes; is D．come; are 【答案】C 【解析】 考查主谓一致。第一个空处主语为定语从句中的who，指代单数名词professor，谓语用单数。第二个空处主语为Mr. Black，为单数，谓语用单数。故选C。 3．Wishing you the best of luck. We ________ your telephone number and will call you if anything comes up. A．have B．will have C．had D．would have 【答案】A 【解析】 试题分析：考查动词的时态。句意：祝你好运。我们有你的电话号码，如果有什么事，我们会打电话给你。我们有你的电话号码是客观事实，故用一般现在时，故选A。 考点：考查动词的时态 4． Temperatures________ quite dramatically at night in mountains, so put on some warm clothes before going out. A．are dropped B．drop C．are being dropped D．have dropped 【答案】B 【解析】 试题分析：句意：山里的气温晚上下降得厉害，所以出门前穿上一些暖和的衣服。山里的气温到晚上骤降是自然状况，应该用一般现在时的主动语态。故选B。 考点：考查谓语动词的时态和语态。 5．You’d better write down her address before you ________ it. A．forget B．are forgetting C．forgot D．will forget
【高中数学】单元《复数》知识点归纳 一、选择题 1．复数z 满足(2)36z i i +=-（i 为虚数单位），则复数z 的虚部为（ ） A ．3 B ．3i - C ．3i D ．3- 【答案】D 【解析】 【分析】 首先化简复数z ，然后结合复数的定义确定其虚部即可. 【详解】 由题意可得：()()()() 362361151322255i i i i z i i i i -----====--++-， 据此可知，复数z 的虚部为3-. 本题选择D 选项. 【点睛】 复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程． 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000 OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应的复数 【详解】 因为00O P OP =u u u u v u u u v ，0OO u u u u v 对应的复数是－1， 所以P 0对应的复数， 即0OP u u u v 对应的复数是 ()11i i -+-=-，故选D. 【点睛】 本题考查复数的代数表示法及其几何意义，复平面内复数、向量及点的对应关系，是基础题．
3．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】 根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】 因为342z i ++≤， 故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离， 故该距离的最大值为222AB +==， 最小值为22AB -=，故4M m -=. 故选：B. 【点睛】 本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题. 4．设i 是虚数单位，则()() 3211i i -+等于( ) A ．1i - B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】 () ()3221(1)(1)2(1)1221i i i i i i i i i -----===-++ 故答案选B 【点睛】 本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力.
班级 姓名 四年级（下）英语 Unitl 易错题 英译互译。 二、英译互译。 1. match(复数) _________ 2. let 完全形式) _ 3. here(反义词)_ 4. he 's (同音词) ____________ 四、选择题。 ( )1. — _______ les s odo you have this morning ? — We have four . A. What B. How many C. How much ( )2. — What do you have this morning? — I have En glish and Mfethssubject B. less ons C. less on ( )3. — What ______ do you like? — I like Art. A. subjects B. less on C. lesso ns ( )3. I get up ___ ___ s ix twen ty. A. at B. on C. in ( )4. I ____ an En glish less on. She __ an En glish less on too. A. has ; have B. have; have C. have ; has ( )5.We have eight _______ at school, and I like En glish. It A. lesion s fun. B. subject C. subjects ( )6. We don 't have less ons on Sun day. A. some B. a C. any ( )7. We don 't have Chin ese less on this morning. A .some B . a C. any ( )8. It ' s time play basketball. Let A. of ' s go B. to C . for ( )9. It ' s time class. A.at B.to C. for ( )10.— do you have your first lesson? eight o cloAk.When ; At B. What ; On C. How ; At ( )11. Welcome the sn ack bar. A. at B. to C. in ( )12. Who ' s the boy the white shirt. A. with B. at C. in ( )13. Who ' s the woma n long hair. A. at B. i n C. with 四年级（下）英语 Unit3易错题 二、英译互译。 1. 做我们的家庭作业 ______________________ 6.谈论关于 _____________________________ 2. 在晚上 _________________________________ 7.在夜间 _____________________________ 3. 在那里 _________________________________ 8.放学后踢足球 _____________________________ 4. 做她的家庭作业 _________________________ 9.今天下午 _____________________________ 5. 吃早饭 __________________________________ 10.看电视 ______________________________ 1. 2. 3. 4. 5. 多少学科 喜欢科学课 什么课— 去操 场 ________ 今天下午 _ 、选择题。 6. 去上学 ________ 7. 我们的新课表_ 8. 上一节美术课 9. 多少节数学课 10. 有两场足球赛 ( ( ( ( ( )1. It ' s time )2. Do you have )3. It ' s time )4. Do we have _ )5. What ______ school. A. at B. to C. for _____ PE lessons this week? A. any _ play table tennis. Let '.sogo. ____ Chin ese less on this morning? A. any do you like? I like PE. It A.s ufojects B. some B. to C. a C. for B. some B. subject )6. Do you have ________ En glish less on on Mon day? A. any )7. We have _____ Art less on and ______ En glish less on today. )8. How many less ons do you have today? --- ____ A. We have Art and Music. 四年级(下)英语 Unit2易错题 B. a A. an; a C. a C. a subject C. an B. a, an C. an, an B. We have three. C. We like PE. 1.星期几 __________ 4.在星期六下午- 7.好的。 __________ 三、按要求写单词。 ____ 2我的一天— _____ 5.有一节美术课 8. 一节溜冰课 ___________ 3.去学校 今天早上 9.真遗憾！ ______ 6.
新数学复习题《复数》专题解析 一、选择题 1．复数21i z i +=-，i 是虚数单位，则下列结论正确的是 A ．5z = B ．z 的共轭复数为31+22i C ．z 的实部与虚部之和为1 D ．z 在复平面内的对应点位于第一象限 【答案】D 【解析】 【分析】 利用复数的四则运算，求得1322 z i = +，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可得到结论． 【详解】 由题意()()()()22121313111122 i i i i z i i i i i ++++====+--+-， 则221310()()22z =+=，z 的共轭复数为1322z i =-， 复数z 的实部与虚部之和为2，z 在复平面内对应点位于第一象限，故选D ． 【点睛】 复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为a bi -． 2．如图所示，在复平面内，OP uuu v 对应的复数是1－i ，将OP uuu v 向左平移一个单位后得到00 O P u u u u v ，则P 0对应的复数为( ) A ．1－i B ．1－2i C ．－1－i D ．－i 【答案】D 【解析】 【分析】 要求P 0对应的复数，根据题意，只需知道0OP u u u v ，而0000OP OO O P =+u u u v u u u u v u u u u v ，从而可求P 0对应
20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期：
黄冈中学高考数学易错题精选（二） 集合与简易逻辑、极限与复数 1．已知集合12 {|,}10M x x Z N x =∈∈-且 ，则M 的非空真子集的个数是（ ） A ．30个 B ．32个 C ．62个 D ．64个 2．不等式 1 ax a x ->的解集为M ，且2M ?，则a 的取值范围是（ ） A ．1(,)4+∞ B ．1[,)4+∞ C ．1(0,)2 D ．1(0,]2 3．已知2 {|40},{|10}P m m M m mx mx x =-<<=--<对一切实数都成立，则下列关系式中成立的是（ ） A ．P M B ．M P C ．M P = D ．M P =? 4．已知p 和q 是两个不相等的正整数，且2q ≥，则1 (1)1 lim 1(1)1 p n q n n →∞+-+-=（ ） A ．0 B ．1 C ． p q D ． 1 1 p q -- 5．设S 为复数集C 的非空子集．若对任意,x y S ∈，都有,,x y x y xy S +-∈， 则称S 为封闭集．下列命题： ①集合{|,}S a bi a b i =+为整数，为虚数单位为封闭集； ②若S 为封闭集，则一定有0S ∈；③封闭集一定是无限集； ④若S 为封闭集，则满足S T C ??的任意集合T 也是封闭集． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号) 6．已知集合}023|{2 =+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围； 若至少有一个元素，则a 的取值范围． 7．对任意两个集合M N 、，定义：{|}M N x x M x N -=∈?且， M N M N N M =--（）（），设 2{|,} M y y x x R ==∈， {|3sin ,}N y y x x R ==∈，则M N ＝．
复数易错题 1．在复平面内，复数65,23i i --+对应的点分别为A B 、,若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是（ ） A ．48i + B ．82i + C ．2i - D ．4i + 【答案】C 【解析】 试题分析：先由点,A B 对应的复数可以得到点,A B 的坐标，在利用中点坐标公式可以求出点C 的坐标，最后就可以得到点C 对应的复数．由于复数65i -对应的点为()6,5A -，复数23i -+对应的点为()2,3B -．利用中点坐标公式得线段AB 的中点()2,1C -，所以点C 对应的复数2i -，故选C ． 考点：1、复平面；2复平面内的点与复数的一一对应关系；3、线段的中点． 2．z 为复数z 的共轭复数，i 为虚数单位，且1i z i ?=-，则复数z 的虚部为（ ） A ．i - B ．1- C ．i D ．1 【答案】D 【解析】 试题分析： ()()() 111,1,i i i z i z i i i i -?--= ==--∴=-+?-其虚部为1，故选D ． 考点：复数的概念及运算． 3．设集合}|,sin cos ||{22R ∈-==x x x y y M ，{|| |1N x =<，i 为虚数单位，}R ∈x ，则M ∩N 为（ ） A ．（0，1） B ．（0，1] C ．[0，1） D ．[0，1] 【答案】C 【解析】 试题分析：[] 1,0}2cos {=∈=R x x x M ,}11{}1{}12 31{<<-=<=<+=x x x x x i x N ，[)10，=N M ,故选C. 考点：1.集合的交并补；2.复数的代数运算与几何运算 4．设i i z ++= 11 ，则=||z A. 2 1 B. 22 C. 23 D. 2 【答案】B 【解析】 试题分析：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222 i i z i i i i i i i --= +=+=+=-++-，由模的运算可得：||2 z = =. 考点：复数的运算 5． =-+2 3 )1()1(i i （ ） A. i +1 B. i -1 C. i +-1 D. i --1 【答案】D 【解析】 试题分析：由已知得=-+23)1()1(i i 22 (1)(1)2(1) 1(1)2i i i i i i i +++==----． 【考点定位】复数的运算． 6．设i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a 为( )． A.2 B.-2 C.- D. 【答案】A 【解析】 ∵ = = = + ∴由纯虚数的概念知：=0, ≠0 ∴a=2 7．已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ） （A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i + 【答案】C 【解析】
苏教译林版一年级下册易错题汇总 写在前面：如果名词为复数，代词要用they；名词表示物体名称的词，比如盒子，铅笔，名词分为可数名词和不可数名词，可数名词2个或者两个以上要用复数就是加s或者es,不可数名词不管多少都没有复数，一般不可数名词多个用some；动词是表示动作名称的词，和名词一样都是表示名称，但是不是同一类。形容词是形容名词的词，比如漂亮的猪，漂亮的就是形容词。数词就是1,2,3,4...这样的词。 一、单项选择 ( ) 1. Look at the butterfly. ---- _______beautiful. A.It's B. They are 因为butterfly为单数，所以用it’s ( )2. ----Is this your ruler? ---- _______. A.Yes, thank you. B. No, this is a pencil. 实际问的ruler的属格，强调的是your ( )3. What's in your box? A.It's cute. B. Three green marbles and a bottle. 询问盒子里有什么，你的回答应该是什么，什么，什么，有什么说什么。 ( )4. ----How many_____ ? ---- Eight. A.birds B. bird How many 后面接名词复数。 ( )5. This is a duck. A.Quack! Quack! B. Baa! Baa! A是鸭子的叫声，B是羊的叫声。 ( ) 6. They're so ! A.puppy B. yummy 他们如此...后面接形容词，yummy，可口的，好吃的
高中数学《复数》复习知识点 一、选择题 1．已知i 是虚数单位，44z 3i (1i)=-+，则z (= ) A ．10 B ．10 C ．5 D ．5 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【详解】 4244z 3i 3i 13i (1i)(2i) =-=-=--+Q ，22z (1)(3)10∴=-+-=． 故选B ． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 2．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】 由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2， ∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈， ∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)， ∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】 本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题. 3．设i 是虚数单位，则()()3211i i -+等于( )
A ．1i - B ．1i -+ C ．1i + D ．1i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 化简复数得到答案. 【详解】 ()()3 221(1)(1) 2(1) 1221i i i i i i i i i -----===-++ 故答案选B 【点睛】 本题考查了复数的计算，意在考查学生的计算能力. 4．在复平面内，已知复数z 对应的点与复数2i --对应的点关于实轴对称，则z i =（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -+ D ．12i -- 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知求得z ，代入z i ，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】 由题意，2z i =-+， 则22(2)() 12z i i i i i i i - +-+-===+-． 故选：B ． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 5．若1z i =+，则31i zz =+（ ） A ．i - B ．i C ．1- D ．1 【答案】B 【解析】 因为1z i =+，所以1z i =- ，()()3112,1i zz i i i zz =+-==+，故选B. 6．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2i B ．1-2i C ．12i -+ D ．12i --
初中英语代词易错题辨析 正误辨析 ［误］Tom's mother is taller than my. ［正］Tom's mother is taller than mine. ［析］形容词性物主代词可以作定语，也就是讲它可以作形容词，如：my book，而这句话的意思是：汤姆的妈妈比我的妈妈高。比较的对象是my mother,也就是mine。 ［误］We have a lot of homework to do today. So we need two or three hours to finish them. ［正］We have a lot of homework to do today. So we need two or three hours to finish it. ［析］在应用代词时，要注意人称，格与数的一致性。这里it所代替的是不可数名词homework，所以应用it。 ［误］He and you should go to the library to return the books. ［正］You and he should go to the library to return the books. ［析］这主要是英语习惯上的用法。当两个以上的人称代词并列时其排列顺序一般为you, he, she, I,而复数时为we, you，they:如男女并列时，应先男后女，如：He and she …如果在表示不好意思，承担责任时，单数时用，I, he, she, you, 复数时用They, you，we, 如：Tom and I are good friends. You, he and I must go to play the game for our team this afternoon. We, you and they have been there before. I, he and you have to pay for it. ［误］He or his brother is doing their homework. ［正］He or his brother is doing his homework. ［析］由either…or, neither…nor, or 连接两个主语时，如果两主语是单数时，用单数代词，如两主语是复数时，用复数代词，如：Either teachers or students want to do their best to help the old man.如是一单一复两名词时，一般将单数名词放在前，复数名词放在后，要用复数代词，如：The teacher or his students will clean their classroom together. ［误］His brother is taller than him. ［正］His brother is taller than he. ［析］than是连词，其后应视为省略句，than he is.所以要注意区分其主格与宾格的用法。 ［误］I like you as much as she. ［正］I like you as much as her. ［析］as…as 其后也应看作是省略句。应为as I like her.所以应用宾格。而第一句应译为我像她那样喜欢你。两句语法都是对的但含义不同。 ［误］Myself did it yesterday. ［正］I myself did it yesterday. ［正］I did it myself yesterday. ［析］反身代词不可作主语，但可以用作主语的同位语。 ［误］Take care of ourselves. ［正］Take care of yourselves .(yourself) ［析］祈始句的主语应看作第二人称you. ［误］Please bring your daughter with yourself. ［正］Please bring your daughter with you. ［析］反身代词不能作介词宾语，除非是由不及物动词与介词组成的动词短语，如：The old woman spoke to herself.
【英语】there be结构易错题集锦-名师教育（word）1 一、there be结构 1．There ________ a meeting tomorrow afternoon. A. will be going to B. will going to be C. is going to be 【答案】 C 【解析】【分析】句意：明天下午有个会议。由句子结构可知，there be，表示存在，be 要随着名词单复数而变化。根据将来的时间状语tomorrow afternoon，要用一般将来时be going to+动词原形。空格后有可数名词单数 a meeting ，be要用is，要用is going to be，故选C。 【点评】考查there be句型的一般将来时的用法。根据时间状语，确定there be时态。 2．There ________ so many foreigners in the streets these days. A. is B. are C. have 【答案】 B 【解析】【分析】句意：如今这些街道上有许多外国人。there be 有（表示存在），不能和have，有，连用，故排除C，根据so many foreigners，主语为复数形式，be动词用are，故填are。 【点评】考查there be句型。注意there be句型和主谓一致的用法。 3．The weather forecast says that ______ another storm tomorrow. A. there will have B. there will be C. there has D. there has been 【答案】 B 【解析】【分析】句意：天气预报说明天将会有另一场暴风雨。首先there be表示“有” ,不与have、has连用 ,排除A、C．又根据tomorrow可知 ,用一般将来时 ,故选B。 【点评】there be句型 4．There ______ a lot of furniture in the shop. A. are B. have C. is D. has 【答案】 C 【解析】【分析】句意：商店里有许多家具。there be表示有......，固定搭配，时态是一般现在时，主语furniture家具是不可数名词，所以be动词用is，故选C。 【点评】考查there be结构，注意根据主语确定be动词。
复数的基本运算易错题 一、对复数的相关概念混淆不清 1、下列命题中： （1）两个复数不能比较大小；（2）若bi a z += ，则仅当0,0≠=b a 时Z 为纯虚数； （3）若0)()(232221=-+-z z z z ，则321z z z ==；（4）11==?+=+y x i yi x ； （5）若实数a 与ai 对应，则数集与纯虚数一一对应。其中正确的命题个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、已知1||=z 且12-≠z ，则复数1 2+z z A.必为实数 B.必为虚数 C.是虚数但不一定是纯虚数 D.可能是实数，也可能是虚数 二、对复数的几何意义理解不深 3、（10湖北理）若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数Z ，则表示复 数1z i +的点是 A ．E B.F C.G D.H 4、（08江西理）在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5、（07辽宁理）若35ππ44θ??∈ ???，，则复数(cos sin )(sin cos )i θθθθ++-在复平面内所 对应的点在 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 三、对复数的模理解不透 6、（10浙江理）对任意复数i R y x yi x z ),,(∈+=为虚数单位，则下列结论正确的是 （A ）y z z 2||=- （B ）222y x z += （C ）x z z 2||≥- （D ）||||||y x z +≤ 7、（08广东理）已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．(1 5)， B ．(13)， C ．(15)， D ．(13)， 8、（08四川延考理）已知复数(3)(3)2i i z i +-=-，则||z =