7.6 数列的极限
课标解读：
1、理解数列极限的意义；
2、掌握数列极限的四则运算法则。
目标分解：
1、数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无
限地趋近于某个常数
a (即|
|a a
n
-无限地接近于0)，那么就说数列
{}n a 以a 为极限。
注：
a 不一定是{}n
a 中的项。
2、几个常用的极限：①C C n =∞→lim (C 为常数)；②01lim
=∞→n n ；③
)
1|(|0lim <=∞
→q q n n ；
3、数列极限的四则运算法则：设数列{}n a 、{}n b ，
当
a
a n n =∞
→lim ，
b
b n n =∞
→lim 时，b
a b a n n n ±=±∞
→)(lim ；
b
a b a n n n ?=?∞
→)(lim ；
)0(lim
≠=∞→b b a
b a n
n n
4、两个重要极限：
①?????<=>=∞→00100
1lim c c c n
c n 不存在
②??
???-=>=<=∞
→11||111||0lim r r r r r n
n 或不存在
问题解析： 一、求极限：
例1：求下列极限：
(1)
3
214lim 22
+++∞→n n n n (2)
2
4
323lim n n n
n n -+∞→ (3)
)(lim 2n n n n -+∞
→
例2：求下列极限：
(1) )23741(lim 2222n
n n n n n -++++∞→ ；
(2) ])
23()13(1
1181851521[
lim +?-++?+?+?∞
→n n n
例3：求下式的极限：
)2
,0(,sin cos sin cos lim πθθθθθ∈+-∞→n n n n n
二、极限中的分数讨论：
例4：已知数列
{}n a 是由正数构成的数列，31=a ，且满足
c a a n n lg lg lg 1+=-，其中n 是大于1的整数，c 是正数。
(1) 求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；
(2) 求1
122lim +-∞→+-n n n
n n a a 的值。
三、极限的应用：
例5：已知p 、q 是两个不相等的正整数，且2≥q ，求1
)11(1
)1
1(lim -+-+∞→q
p n n
n 的值。
知识内化： 1、=++++∞→n
n n 212
lim
__________________。
2、=+-+++++∞
→])
1(23)1(1)1(1[lim n n n n n n n n ______________。 3、=?-?---+∞→1113
232lim n n n
n n n n ___________________。 4、下列四个命题中正确的是（ ） A 、若2
2
lim A a n n =∞
→，则A a n n =∞
→lim
B 、若0>n a ，A a n n =∞
→lim ，则0>A
C 、若A a n n =∞
→lim ，则2
2lim A a n n =∞
→
D 、若0)(lim =-∞
→n
n n b a ，则n n n n b a ∞
→∞→=lim lim
5、已知数列{}n a 、{}n b 都是由正数组成的等比数列，公比分别为p 、q ，
其中q p >且1≠p ，1≠q ，