机器人避障问题
摘要
本文从机器人避障问题的基本算法：福德法出发，先假设机器人行走过程中可以折线转弯，以及机器人行走过程中可以和障碍物发生零距离接触，对第一问也就是普遍机器人寻找最优路径的情况进行求解。
问题一中，在建模过程中运用福德法求解最优路径时要涉及到次要障碍物产生干扰，为此我们人为进行简要选择最有可能发生阻扰机器人经过最优路径到达终点的障碍物进行福德法建模，求解最优路径，这样就避免了那些不必要的障碍物的考虑。运用这种想法，我们就可以对第一问中的最优路径进行逐一求解。当把机器人从起点到终点的路径的最优路径确定之后，我们再对此基础模型的路径进行细化，把机器人转弯过程中的最小圆半径为10和与障碍物距离最大为10的约束条件进行补充，考虑到转弯过程中，机器人转弯发生的所有情况，我们分别对所发生的情况逐一进行研究，并加以证明，选择出最佳转弯情况并进而给出每种情况所对应的最短路径图。
问题二中，我们利用对问题一中O->A的最短路径方案进行进一步的最短时间路径研究，初步判断导致从0->A最短路程路径与0->A最短时间路径不同的原因是：机器人转弯过程中发生的转弯半径、圆心位置的不同，而机器人转弯路径的不同间接导致到机器人走过的路径长度不同，以及转弯过程中的速度不同，这样就造成了最短时间路径选择与最短路程路径的不同的结果的产生。
我们通过分析得出最短时间路径的最高点，即此路径相对于直线OA的最远距离应该尽可能小。为此我们得出一个结论，最短时间路径总得圆弧段必然与障碍物5的最高点相切，也就是说此圆弧所对应的圆心在障碍物5的对角线上。此时引入此圆弧所对应的半径r作为变量，通过一系列几何分析，最后得出了通过此路径的总时间T与半径r的关系式，并通过MATLAB进行仿真得出了O到A 的最短时间路径图，并可知此通过此路径的时间为T(总)min=94.223秒，且路径总长度为L(总)=471.10。
关键词：福德法、局部分析、最优路径、避障路径、拓扑研究
一、问题重述
图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表：
在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆
弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。
机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为
21.0100e 1)(ρρ-+==v v v ； 其中ρ是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算：
(1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。
(2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。
注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。
二、问题分析
问题一：
问题一要求寻找出机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径，我们可以先不要考虑机器人转弯过程中的最小半径为10个单位、机器人行走时与障碍物的距离不得少于10个单位约束条件，对要进行求解的行走路径途径的始点与终点的障碍物进行局部优化，只对影响到机器人从始点到终点最优路径选择的障碍物进行考虑，在此基础山运用福德法分别求解出机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最优路径。在求出最优路径的基础上，我们分别对约束到机器人行走的两个因素：1、机器人转弯过程中的最小半径为10个单位；2、机器人行走时与障碍物的距离不得少于10个单位加以补充，再运用几何分析的方法对机器人在转弯节点所发生的情况分别研究，给出相关转弯情况的解决方案，最后我们就可以结合由福德法确定的最优路径以及转弯过程所发生的情况的解决方案，对问题提问到的：机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径，分别给出具体结果，进而问题一得到解决。
问题二：
我们利用对问题一中O->A的最短路径方案进行进一步的最短时间路径研究，初步判断导致从0->A最短路程路径与0->A最短时间路径不同的原因是：机器人转弯过程中发生的转弯半径、圆心位置的不同，而机器人转弯路径的不同间接导致到机器人走过的路径长度不同，以及转弯过程中的速度不同，这样就造成了最短时间路径选择与最短路程路径的不同的结果的产生。我们通过分析得出最短时间路径的最高点，即此路径相对于直线OA的最远距离应该尽可能小。为此我们得出一个结论，最短时间路径总得圆弧段必然与障碍物5的最高点相切，也就是说此圆弧所对应的圆心在障碍物5的对角线上。此时引入此圆弧所对应的半径r作为变量，来分析总时间T与半径r的关系。
三、模型假设
（1）假设机器人在行走过程中自能前进不能后退；
（2）假设机器人行走的地面不出现凹凸现象，地面是平坦的；
（3）机器人行走过程中始终与障碍物保持10个单位的安全距离；
（4）机器人从直线前进进入到到转弯曲线进行时的状态瞬间完成；
四、符号说明
L1：机器人从O→A的路径；
L2；机器人从O→B的路径；
L3：机器人从O→C的路径；
L4；机器人从O→A→B→C的路径；
V1……Vn 表示机器人前进拓扑图总的分叉节点；
: 为机器人转弯时对应的圆弧的半径；
T(总)：为机器人从O到A之间的路径所花费的时间；
五、模型建立、求解与数据分析
一）、建模准备：
1：在建模前，我们先看一个福德法在求解机器人寻找最短路径的实现的例子：例：首先对移动机器人及工作环境作以下假设：
1)工作环境是在一个面积大小为64 的正方形区域；
2) 移动机器人形状大小为 1× 1 的正方形；
3) 障碍物形状不作限定，所占面积为 1~n ，n 取值范围[1,64] ；
将移动机器人的工作环境以栅格地图的形式进行分块，每个栅格形状大小为1× 1，并对每个栅格进行编号，从坐标原点开始，沿X 轴编号，编号形式如图1 所示，图1中蓝色部分为障碍物位置。
图1
假定移动机器人所在位置为点( xs,ys) ，移动机器人的
移动方向有8 个，方向表示如图2 所示，移动一个单元
格后机器人的位置分别为( xs+1, ys+1)、( xs, ys+1)、( xs–1, ys +1)、( xs–1, ys) 、( xs–1, ys–1)、(x, ys–1)、( xs+1, ys–1)、
( xs+1,ys) ，需要移动的距离分别是。
1：Floyd 算法是建立在已知节点的权值及方向的基础上的，因此移动机器人的最短路径规划从算法节点选择、节点的带权有向图入手进行研究。: 2：节点的选择
垂线法是指在指定连线上作垂线，通过垂线与障碍物边沿的交点，确定Floyd 算法中的节点的方法，通过垂线法能有效的将环境中最短路径上节点选择出来，垂
线法选择节点的流程为：
1）连接始点 v0 、终点 vt，找出连线上所经过的障碍物Oi ，图中障碍物为 O1 ；
2）在障碍物O 1 、O 2 上，以v0vt 的连线（简称为t ）作垂线m ，垂线m 与t 的交点为 Q i，垂线 m 与障碍物边沿的交点为U i；
3）分别选择 t 两边 Ui Qi 距离最大的点vi ，纳入节点集合S 中，图1中障碍物 O1 选择的节点为v1、v2；
因此，根据垂线法得到集合S 中的节点为：S={V0、V1、V2、Vt}所在位置计算出节点间的权值大小。w01指节点v0 、v1 间的权值，权值大小由两节点间的移动距离得到，为方便观察，将vt 用v3 代表。如果两点连线间有障碍物，
这两点间的权值为∞，路径的走向是沿着连线t 的方向，也就是连线t 同一边节点间的方向，与确定它的 Q i 点间的方向是相同的，在t 不同边的点直接不限制相互间的方向。所以只存在有v0 到v1、v0 到v2的方向，而没有v1 到v0 、v2 到v0 的指向。如果两点连线间有障碍，权值仍为∞。因此，根据节点位置、障碍物位置和连线的t 方向，得到环境路径的有向带权图，如图所示：
以及有向图的邻接矩阵，如图所示：
移动机器人寻找最短路径的实现步骤如下：
1）写出vi 到vj 初始无中间节点权值矩阵A 0 ，如式 (1)所示，从权值矩阵看出，v 0 、v 1 、v 2 、v3 相互间的权值关系和方向关系。
2）计算 vi 到vj 间有 1 个中间节点情况下的最短权值矩阵。设 vj 经过一个中间点vr 到达vj ，则vi 到vj 的最短距离为：
，最短权值矩为：。
即移动机器人中间经过 1 个节点到达终点的权值矩阵为：
注：当机器人经过的障碍物大于一时，我们可以计算vi 到vj 间有 k 个中间节点情况下的最短权值矩阵。设 vj 经过中间点vr 到达vj ，vi 经过 r 个中间节点到达点vr 的最短距离为，vr 经过k–r个中间节点达到点vj 的
最短距离为，则vi经过k个中间点到达vj 的最短距离为
，最短权值矩阵为：。
2：在对实际问题中给出的路径进行求解时，我们可能会面临不可以运用福德法求解的情况，这时我们为了能够顺利运用到福德法进行对路径的求解可以对要求解的路径进行分析，找出导致这种现象产生的原因，从而找出机器人从起点到终点时必将通过的节点，然后我们以节点为分界点，对整个路径进行局部分解，例如题目给出的从原点O->B时，我们为了能够顺利运用福德法求解从O到达B 点的最优路径，我们可以对O->B，进行分段处理，选择机器人从O到B过程中必定通过的节点进行分解求解，例如机器人从0—>B中必将通过节点T，此时我们就可以将机器人从O->B 的整个过程分解为O->T和T->B，然后我们分别运用福德法对O->T和T->B的最优路径进行分别求解，确定O→T，T→B的最优路径，进而得出O->B的路径。
3、为了能够快速利用福德法求出机器人行走的最优路径，我们对于机器人从始点开始到终点的过程中，只把影响到机器人从始点到终点过程中经过可能成为最优路径（其中最优路径必然包含在这些可能的路径中）的只要障碍加以研究，对于机器人行走过程中没有涉及到到障碍物忽略不计。
二）建模过程：
分析一：
1)、由于在求解机器人行走的最短路径时，机器人受到的两个约束因素：1、机器人转弯过程中的最小半径为10个单位；2、机器人行走时与障碍物的距离不得少于10个单位，不影响其最优路径的总体确定，而只对具体路径确定之后的细节部分影响，所以我们先不考虑这两个约束条件，对路径进行逐步求解：在机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径的求解的过程中，我们利用上面所述思想分别对题目所要求求解的路径进行逐一求解：
（1）机器人从原点O开始到达终点的A的情况：
根据1）所述，机器人从始点O A到终点A的优化结果如图2所示：
图2
根据上述方法我们可以很容易的得到机器人从O->A的有向带权图，如下：
以及有向带圈矩阵如下：
机器人中间经过 1 个节点到达终点的权值矩阵如下：
经过分析机器人从O点出发到达终点B，途径节点V2的路程最短，即O->A 的最短路径为O->V2->A；
（2）机器人从原点O开始到达终点的B的情况：
同理我们利用上述思想给出机器人从O->B的抽象优化图：如图3所示：
图3
根据上述方法我们可以很容易的得到机器人从O->B的有向带权图，如图4：
图4
我们同样采用福德法求得O->B的最佳路径为：V0→V7→V9→V10→V11→V12 →V14。
（3）同理我们利用上述思想给出机器人从O->C的抽象优化图：如图5所示：
图5
我们同样采用福德法求得O->C的最佳路径为：
V0→V15→V16’→V22→V23→V24
（3）机器人从原点A开始到达终点的B的情况：
同理我们利用上述思想给出机器人从A->B的抽象优化图：如图6所示：
图6
我们同样采用福德法求得A->B的最佳路径为：V25→V27→V28→V14。
（4）机器人从原点B开始到达终点的C的情况：
同理我们利用上述思想给出机器人从B->C的抽象优化图：如图7所示：
图7
我们同样采用福德法求得B->C的最佳路径为：V14；→V30→V32→V34→V38→
V39→V24。
（5）结合（1）、（4）、（5）我们可得机器人从原点O开始到达终点的C的路径为：V0→V2→V3；→V27→V28→V14；
→V30→V32→V34→V38→V39→V24;
结论一：
模型一在暂不考虑两个约束条件：1、机器人转弯过程中的最小半径为10个单位；2、机器人行走时与障碍物的距离不得少于10个单位，的情况下确定了O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径如下：
（1）O→A：V0→V2→V3；如下图红色部分；
此路径记为L1;
（2）O→B：V0→V7→V9→V10→V11→V12→V14;如下图黑色部分;
此路径记为L2
（3）O→C：V0→V15→V16→V22→V23→V24; 如下图蓝色部分；
此路径记为L3;
（4）O→A→B→C→O：V0→V2→V3→V27→V28→V14→V30→V32→V34→
V38→V39→V24; 如下图红色、绿色。粉红色部分；
此路径记为L4;
图8
分析二：
当考虑到前面所述的两个约束（1）、机器人转弯过程中的最小半径为10
个单位；2、机器人行走时与障碍物的距离不得少于10个单位。条件时，我们对考虑两个约束之后，对约束产生的一系列现象进行相应的方案研究，给出具体方案和算法：
建模如下：
1）：现象一：当机器人从一个始点到达终点的途中绕过一个障碍物的时候，我们对机器人发生的转弯过程进行抽象，即抽象O为机器人开始的始点，A为终点，如图9：
图9
猜想：当机器人从始点出发途中经过一个障碍物时，在绕过障碍物的过程中，机器人的转弯所发生的圆心的原点落在障碍物离始点与终点的连线的最远边界点上、且转弯圆半径为允许最小半径时，转弯的路径最小。
为了证明这个结论我们现在将机器人绕过一个弯时，发生的转弯现象抽象为上图。我们现在假设上面的结论不成立，即存在一点不在障碍物离始点与终点的连线最远边界时，机器人绕过障碍物的路径最短，这样将出现两种现象：
1、机器人绕过障碍物时绕弯的圆的圆心落在两条切线的交点与障碍物离始点与终点连线的最远边界点的连线（这里连线我们设为L）的情况（除去障碍物离始点与终点连线最远的边界点）。这里结合机器人绕弯时发生的最小圆半径的限定，（1）易知当所出现的拐弯点存在于沿着L远离始点与终点的连线的延长线时，将必然使得机器人走过的路径大于结论所得的路径；（2）当机器人绕弯过程中产生的圆心沿着L线向始点与终点连线靠近时，此时结合机器人离障碍物的距离不小于10个单位的限定，机器人产生的绕弯路径，如图10所示：
图10
此时我们对OA连线与最优拐弯圆线切的所有一般发生原则现象进行研究。
由于转弯过程中，所发生的路径图形是一对称图形，所以我们只取图形的左半部分进行研究。这里我们可以很巧妙地利用ME点的延长交于圆的K点进行分析，显然弧KP>弧PE，曲线ONK>OE，即ONP>OEP，故转弯圆的圆心不可能存在于沿着L靠近始终点连线的直线上。
2、机器人发生转弯时的转弯圆的圆心偏离两条切线的交点与障碍物离始终点连线的最远边界点的连线L的情况：
图11所示：
图11
由于机器人发生转弯时与障碍物的距离不小于10个单位（即圆Q要通过点P），所以势必造成偏离后的半径比结论所得圆半径大，即图中的QK>PM，又由于Q点与M点离OA线的距离相等，所以K离OA线的距离大于P离OA线的距离，
又因为圆Q的半径大于圆M的半径，由此易得（ON+弧MKH+HA）>（()E+弧EPF+FA），即当机器人绕弯时产生的绕弯圆的圆心偏离两条切线的交点与障碍物离始终点连线的最远边界点的连线（L）时，机器人所走的路径大于机器人按猜想方法行走的路径。
结论：由1和2知，猜想成立的。
即：当机器人从始点出发途中经过一个障碍物时，在绕过障碍物的过程中，机器人的转弯所发生的圆的圆心落在障碍物离始终点的连线的最远的边界点、且所发生的转弯圆在允许的最小半径时，机器人绕过一个障碍物时行走的路径最小。
2）现象二：
方案一：当机器人只有绕过一个障碍物的情况：
其抽象路径为下图中
其路径为L1=OE+弧EF+FA；
对OE的求解，我们可以运用勾股定理：OE2=OO12-EO12；
同理AF2=AO12-O1F2；
πO ；
而弧EF=r∠EO1F2/360
∠ EO1F=360 O ---∠OO1E---∠-OO1A---∠FO1A；
∠OO1E、∠OO1A、∠FO1A的计算方法我们可以利用余弦定理：a2=b2+c2+2abcos∠A，分别计算。
图12
方案二：当机器人从一个始点到达终点的途中绕过两个障碍物的时候，我们对机器人发生的转弯过程进行抽象，抽象后结果有两种：结果如下：
1）机器人绕过两个障碍物的过程是在同一侧绕过的：
图13
在方案一中的结论下，我们可以对机器人连续绕过两个障碍物的情况进行分析，其路径为L2=OB+弧BC+CD+弧DE+EA；
其中CD的计算情况：
（1）当两圆全等时，CD=O1O2；
(2) 当两圆半径不等时，且R>r，即CD2=O12+O22
其余计算方法与方案一的情况类似。
2）机器人绕过两个障碍物的过程是在不同侧绕过的：如下图所示：
图14
我们对其走过的路径进行分析，其路径L3=OB+弧B1C+CD+弧DE+AE；
其中CD2=O1O22-（CO1+DO2）2；
其余计算方法与方案一的计算类似。
3）现象三：
对于机器人行走的路程为：O→A→B→C→O时，机器人在通过点A、B、C的过程中发生转弯，转弯的过程又受到转弯发生圆弧的半径最小为10个单位的限制，此时为了找到最短路径，就必须找到转弯所发生的圆的圆心位置。这里我们对机器人的转弯圆的圆心位置和半径大小进行几何分析：问题可以抽象描述为：如图15所示，
图15
已知A、B、C三点，有一个半径已经确定的圆O，圆O经过点B，应怎样确定圆O的圆心，才能使切线段AP与弧AKO、切线段AQ的和最小？
为了找到圆心的位置我们给出下列方法：如图16所示：
图16
连接AB并延长AB，连接CB并延长CD，以点B为圆心，以圆O的半径为半径画圆，过圆心B作垂线KB、KM交圆B于K、M，连接KM。过B点作垂直于KM 的垂线BO’，交圆B于O’，即点O’为使切线段AP与弧AKO、切线段AQ的和最小的圆心。
（4）有了上面的走法以及对机器人约束限制条件研究方案，我们就可以对问题一提到的：机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O 的最短路径，算出具体路径。其做法是在模型一给出的基本路径上，在机器人发生转弯的位置增加最小转弯圆不小于十个单位，以及离障碍物的距离大于十个单位两个因素的限制。结合模型二的分析我们知道要使机器人所走过的路径最小，其发生转弯过程的转弯圆的圆心落在障碍离机器人行走的始终点连线的最远处，
且圆心半径为最小机器人行走转弯半径：由此知道机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径的具体路径图，如图17所示：
图17
（注：在途中机器人走过的切点，分别用蓝色十字标号标出。）
结论二：
我们结合模型二给出的方案和几何知识求得机器人从O(0, 0)出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径的具体路径长度，分别为：L1（O→A）= 471.04；
L2（O→B）=464.72；
L3（O→C）=1089.0；
L4（O→A→B→C→O）=2776.648。
对于问题中提到的：给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标，由于所占篇幅问题，我们把它放到下面的附件（2）中。
最短时间路径模型：
求机器人从O (0, 0)出发，到达A的最短时间路径。对问题一中所发生的O->A 所选择最短路径的情况，我们以此为基础，对机器人从0->A中的最短时间路径进
行对比研究，初步判断导致从0->A 最短路程路径与0->A 最短时间路径不同的结果的原因是：机器人转弯过程中发生的转弯半径、圆心位置的不同，而机器人转弯半径的不同间接导致到机器人的速度不同，以及转弯过程中的路程不同，这样就造成了最短时间路径选择与最短路程路径的不同的结果的产生。
因题目规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，而且每个圆弧的半径最小为10个单位，机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为21.0100
e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。
可以看出()v ρ是ρ的单调递减函数，我们用matlab 编程得出函数图形进行分析得出这样一个关系：
图19
其中横坐标是半径ρ，纵坐标是速度()v ρ。
图形分析：半径ρ从10开始增加，速率呈指数值增加，当半径ρ=13时速度()v ρ已经非常接近于最大值5。
下面建立最短时间模型：
首先我们以OA 两点之间为例，根据前面模型一的证明，路径经过障碍物5的左上点且与该点相切时此路径相对最短，做出障碍物5的对角线（图中红色粗线），此对角线显然垂直于OA ，定义此对角线为中心轴，并把圆心设在中心轴上画出几个与障碍物5左上点相切的圆，然后以分别从O 点A 点向此圆做切线，如图20：
机器人避障问题 摘要 本文主要运用直线逼近法等规律来解决机器人避障问题.对于问题一：要求最短路径运用直线逼近法证得圆弧角三角形定理，得出结论：若一大圆弧角三角形完全包括另一小圆弧角三角形，则该三角形曲线周长必大于小的三角形周长.那么可知机器人在曲线过弯时，选择最小半径可满足路径最短，即为10个单位半径，通过观察可得可能的所有曲线，通过仅考虑直线段的大致筛选选出总长较小、长度相近（之差小于100）的曲线，然后利用平面几何知识对相关切点，进而求出各直线、曲线的长度，求和可得最段路线.对于问题二：通过对机器人过弯规律2 1.0100 e 1)(ρ ρ-+= =v v v 的分析可知，当过弯 半径13ρ=时，机器人速度达最大速度为50=v 个单位/秒，再大就无变化了，那么可分两种情况考虑：1）当13ρ>时，过弯速度无变化，但由圆弧角三角形定理可知，此时随着ρ的不断变大，其路线总长不断变大，这时ρ越小O A →所用时间最短；2）当13ρ≤时，统计计算ρ分别为10、11、12、13时，过弯速度v 也不断变化，计算所用时间发现随ρ不断变大，O A →所用时间越短，此时当13ρ=时，时间最短.综合上述可知：当 13ρ=时，时间最短. 关键词： 质点机器人 安全范围 直线逼近法 圆弧角三角形定理 10单位半径
1 问题重述 在一个800×800的平面场景中，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，其中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物， 物的距离至少超过10个单位）.规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径.机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位.为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位. 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒.机器人转弯时，最大转弯速度为 2100.11 0()(1e ) v v v ρρ--==+，其中ρ是转弯半径.如果超过该速度，机器人将发 生侧翻，无法完成行走. 下面建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型.对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径. (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径. 2 问题分析 2.1问题一： 该问题要求路径最短，即不要求速度与时间，则可认为以最小半径10的圆过弯. 如图2.1所示：由圆弧角三角形定理（简单证明见模型准备5.3）可知过弯时，只有采用10单位半径过弯时，才会使得过弯路径最短，因此解决问题一的过弯拐角问题均采用10单位半径过弯路径. 2.2问题二： 由于O→A 过程中，机器人至少要经过一
机器人避障问题的解题分析 摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题机器人避障问题进行了全面分析，对最短路的设计进行了理论分析和证明，建立了机器人避障最短路径的几何模型，对最短时间路径问题通过建立非线性规划模型，有效地解决了转弯半径、圆弧圆心位置和行走时间等问题。 关键词：机器人避障；最短路径；Dijkstra算法；几何模型；非线性规划模型 1 引言 随着科学技术的进步和计算机技术的发展，机器人的应用越来越广泛，在机器人的应用中如何使机器人在其工作范围内为完成一项特定的任务寻找一条安全高效的行走路径，是人工智能领域的一个重要问题。本文主要针对在一个场景中的各种静态障碍物，研究机器人绕过障碍物到达指定目的地的最短路径问题和最短时间问题。 本文以2012年“高教社”杯全国大学生数学建模竞赛D题“机器人避障问题”为例进行研究。假设机器人的工作范围为800×800的平面正方形区域（如图1），其中有12个不同形状的静态障碍物，障碍物的数学描述（如表1）： 图1 800×800平面场景图
表1 在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动，机器人不能与障碍物发生碰撞，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v （ρ是转弯 半径）。如果超过该速度，机器人将发生侧翻，无法完成行走。 场景图中有4个目标点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，下面我们
D题机器人避障问题 摘要 本文综合运用分析法、图论方法、非线性规划方法，讨论了机器人避障最短路径和最短时间路径求解问题。 针对问题一，首先，通过分析，建立了靠近障碍物顶点处转弯得到的路径最短、转弯时圆弧的半径最小时和转弯圆弧的圆心为障碍物的顶点时路径最短、转弯在中间目标点附近时，中间目标点位于弧段中点有最短路径的三个原理，基于三个原理，其次对模型进行变换，对障碍物进行加工，扩充为符合条件的新的区域并在转弯处圆角化构成障碍图，并通过扩充的跨立实验，得到切线和圆弧是否在可避障区的算法，第三，计算起点、中间目标点和最终目标点和各圆弧及圆弧之间的所有可避障切线和圆弧路径，最后给这些定点赋一个等于切线长度或弧度的权值构成一个网络图，然后利用Dijkstra算法求出了O-A、O-B，O-C的最短路径为O-A：471.0372个单位，O-B：853.7001个单位，O-C：1086.0677个单位；对于需要经中间目标点的路径，可运用启发规则分别以相邻的目标点作为起点和终点计算，确定路径的大致情况，在进一步调整可得到O-A-B-C-O的最短路径为2748.699个单位。 针对问题二，主要研究的是由出发点到达目标点A点的最短时间路径，我们在第一问的基础上考虑路径尽可能短且圆弧转弯时的圆弧尽量靠近障碍物的顶点，即确定了圆弧半径最小时的圆弧内切于要确定的圆弧时存在最小时间路径，建立以总时间最短为目标函数，采用非线性规划模型通过Matlab编程求解出最短时间路径为最短时间路程为472.4822个单位，其中圆弧的圆心坐标为(81.430,209.41)，最短时间为94.3332秒。圆弧两切点的坐标分别为（70.88,212.92）、（77.66,219.87）。 关键字：Dijkstra算法跨立实验分析法非线性规划模型
开放性实验报告 ——避障机器人设计 系别：智能科学与技术 姓名：唐继鹏 姚武浩 姜飞鹏 郑光旭 指导老师：袁立行、王曙光、亢红波时间：2011.9.16——2012.4.28
目录 1 系统功能介绍 (1) 2 设计任务与要求 (1) 3 系统硬件设计 (1) 3.1系统总体设计框图 (1) 3.2寻线模块(ST188) (2) 3.3电机控制模块 (3) 3.4单片机最小模块 (4) 3.5数码管显示模块 (6) 4 系统软件实现 (7) 4.1 设计思路 (7) 4.2 软件程序流程图 (8) 4.3程序代码见附录Ⅰ (8) 5 调试结果 (8) 6 实验总结 (9) 附录Ι (10) 附录Ⅱ (18) 附录Ⅲ (19)
1 系统功能介绍 本设计以单片机作为控制核心，电路分为最小系统模块，黑线检测模块，电机驱动模块，数码管显示模块。黑线检测模块采用反射式关电传感器st188，并且接相应的三级管来规划传感器的输出，当输出高电平为正常情况。电机为伺服电机，给定脉宽为1.5ms的信号电机保持不动，给定脉宽为1.7ms的信号电机正向转到给定脉宽为1.3ms的信号电机逆向转到。数码管动态显示机器人行进过程所用的时间。 2 设计任务与要求 ◆熟悉51系列单片机的原理及应用。 ◆掌握ST188设计电路和传感器的使用。 ◆掌握直流电机的驱动方法。 ◆掌握动态数码管显示的方法。 ◆设计机器人的硬件电路及软件程序。 ◆制作机器人的硬件电路，并调试软件，最后实现机器人的自动测量黑线。 3 系统硬件设计 3.1系统总体设计框图 该系统中51单片机作为主微控芯片，其外多个I/O口作为通用I/O口接受传感器的信号并输出相应的控制信号。 系统硬件总体设计框图如下图3.1-1所示。
机器人避 障问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要研究了在一个区域中存在12个不同形状障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的多种情形，寻找出一条恰当的从给出发点到目标点的运动路径使机器人在运动中能安全、无碰撞的绕过障碍物而使用的路径和时间最短。由于规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径，机器人不能折线转弯。所以只要给定的出发点到目标点存在至少一个障碍物，我们都可以认为最短路径一定是由线和圆弧所组成，因此我们建立了切线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种切线圆结构来求解。在没有危险碰撞的情况下，圆弧的半径越小，路径应该越短，因此我们尽量选择最小的圆弧半径以达到最优。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解，把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，用lingo 工具箱求解得出了机器人从O(0,0)出发，O→A、O→B、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径；利用matlab 中的fminbnd 函数求极值的方法求出了机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径。本文提出一种最短切线圆路径的规划方法，其涉及的理论并不高深，只是应用了几何知识和计算机程序、数学工具计算，计算简易，便于实现，能搞提高运行效率。 问题一 O→A 最短路径为：OA L =471.0372 O→B 最短路径为：=1OB L 853.8014 O→C 最短路径为：4OC L =1054.0 O→A→B→C→O 最短路径为： 问题二机器人从O(0,0)出发，到达A 的最短时间路径： 最短时间是94.5649，圆弧的半径是11.5035,路径长4078 .472=OA L 关键词最短路径；避障路径；最优化模型；解析几何；数学工具 一、问题重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0,0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍
机器人避障问题的最短路径分析 摘要 本论文研究了机器人避障最短路径和最短时间路径的问题。主要讨论了在一个区域中存在12个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过若干目标点最终到达出发点的两种情况。采用传统的避障方法——切线图法。建立了线圆结构，这样任何路径，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点再到达目标点的状况，我们采用在转弯点和节点都采用最小转弯半径，以节点为切点的形式。然后建立了最优化模型，利用MATLAB软件对方案进行求解。 问题一：把路径分解成若干个线圆结构来求解，然后把可能的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径： A O→最短路径为：471.0 O→最短路径为：869.5 B O→最短路径为：1093.3 C 对于O → → →我们将A、B、C看作切点，同样采用线圆结构 C B A O→ 计算。 O→ → → →最短路径为：2827.1 A O C B 问题二：考虑避障路径和转弯速度，我们建立时间与路径之间的模型，用MATLAB软件求出最优解。当转弯半径为11.5的时候，可以得出最短时间为：T=94.3 关键词最优化模型避障路径线圆结构切线图法
一、问题重述 本文是求一个机器人在800×800的平面场景图中避开障碍物，建立从原点O(0, 0)点处出发达到终点的最短路径和最短时间路径的模型。即求：1、O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。2、O →A 的最短时间路径。 机器人在行走时的要求是：1、它只能在该平面场景范围内活动2、图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物（障碍物的分布如图1）3、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位）。4、规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。5、为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速 度为2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。 已知场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)。图中各个点 的坐标见下表。 图1 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330)
第3章系统总体结构及工作原理 该系统主要以超声波测距为基本测距原理，并在相应的硬件和软件的支持下，达到机器人避障的效果。 3.1机器人总体硬件设计 3.1.1传感器的分布要求 为了全方位检测障物的分布状况，并及时为机器人系统提供全面的数据，可将所需的八个传感器均匀排列在机器人周围，相邻每对传感器互成45度角。为了避免相互干扰，八个传感器以程序运行周期为周期，进行循环测距。传感器排列示意图如下： 图3.1.1 传感器分布图
图3.1.2 硬件设计总体框架图 上图为支持机器人运行实用程序的硬件部分的总体设计框架图，由负责相关任务的同学提供。在超声波信号输入单片机以后，由存储在单片机中的主程序调用避障子程序，根据输入信号执行避障指令，并使相关数据返回主程序，转而提供给电机和LED显示器的驱动程序使用，最后，由电机执行转向指令，结果则显示在LED显示器上。
图3.1.3 软件总体框架图 由上图可知，本文作者负责的超声波避障程序为软件总体设计中的子程序部分。在主程序运行过程中，若调用超声波避障程序，机器人在自行轨迹规划后，将程序处理所得数据送给电机处理成立程序，控制电机动作。具体的避障程序设计将在第4章进行。 3.2超声波测距原理 测距原理：超声波是指频率高于20KHz的机械波。为了以超声波作为检测
手段，必须产生超生波和接收超声波。完成这种功能的装置就是超声波传感器，习惯上称为超声波换能器或超声波探头。超声波传感器有发送器和接收器，但一个超声波传感器也可具有发送和接收声波的双重作用。超声波传感器是利用压电效应的原理将电能和超声波相互转化即在发射超声波的时候，将电能转换，发射超声波；而在收到回波的时候，则将超声振动转换成电信号。[8]超声波测距的原理一般采用渡越时间法TOF（time of flight）。首先测出超声波从发射到遇到障碍物返回所经历的时间，再乘以超声波的速度就得到二倍的声源与障碍物之间的距离，即：[8] D=ct/2 其中D为传感器与障碍物之间的距离，以m计，c为超声波速度，这里以340m/s计，t为超声波从发送到接收的总时间，以s计。据此原理可以用超声波传感器测得的距离为避障程序提供所需的数据。[8] 第4章轨迹规划算法的实现方案 4.1轨迹规划算法的层次化设计 根据上述材料分析，可以将机器人轨迹规划算法设计分为基础控制层、行为控制层和坐标计算层，三个层次进行。 4.1.1基础控制层设计 基础控制层可定义为基本行为层，这层算法的任务是寻找目标点，并确保机器人可以顺利到达指定目标位。在确定目的地位置的情况下，为了达到上述目的，计算机必须对机器人的方位进行时实计算。应用人工势场法原理，可以将目标点设为引力极，牵引机器人运动。对此动作建立相应的模型，可以使用建立平面坐标作为虚拟势场的方法来给机器人定义方位，将机器人关于目标点的时实偏角作为虚拟引力方向，以确定机器人下一步所需转过的角度，并时实检测，是否已到达目的地，若已到达，则可认为虚拟引力此刻为0，并发出信号控制程序终止运行总体程序。 由此，可确定基础控制层所需的各参数： (1)机器人的时实坐标x, y值，由专门的坐标计算层提供，为了提高精 确度，可以采用厘米为单位制。 (2)机器人的速度v，测量后设为定值使用。 (3)周期T，直接设置为定值使用。 (4)偏转角de，可通过机器人与横坐标之间的夹角pe，减去机器人到目 标点连线与横坐标的夹角E得到。
机器人避障问题 【摘要】 本文主要是对机器人在一个平面区域内通过不同障碍物到指定目标点进行研究，通过建立机器人与障碍物的最小安全距离的禁区模型，进而建立从区域一点到另一点的最短距离、最短时间的数学模型。在最优转弯顶点为障碍物，最优转弯半径为安全距离10的基础上，把路径概括为基本的三种数学模型。利用穷举的算法找出最短路径和最短时间。 针对区域中从一点到另一点避障的最优路径问题，把障碍物划分为有顶点和无顶点两大类。首先本文证明对于有顶点障碍物，机器人以障碍物顶点为圆心且转弯的圆弧半径为10时路径最优，我们还注意到在某些路径中适当增加圆的半径可以把曲线路线转换为直线路径，进一步优化行进路径；对于无顶点障碍物通过论证找出以障碍物圆心为转弯圆心，以障碍物半径与安全距离的和为转弯半径的最优转弯圆弧。其次本文将寻找最短路径的的问题转换为最短路径的优选问题。本文巧妙的将优化模型转变为研究不与障碍物边界相交、不与圆弧相交的路线中的最优解的问题。在这个数学模型的基础上进行相应的改善并且使用穷举的算法找出最优路径。 针对不同的目标点，我们将机器人的行进分为单目标点和多目标点两种情况针对多目标点问题，由于机器人不能直线转向，所以在经过目标点时，应该提前转向，且中间目标点应该在转弯弧上。因此先建立优化模型（模型三）对行进时中间目标点处转弯圆弧圆心搜索求解。求出中间目标点转弯圆心后，用把中间目标点的圆心看做“障碍物”的办法把问题转化为单目标点问题。然后根据模型二和模型一利用MATLAB软件编程求得了O→A、O→B、O→C、O→A→B→A→C的最短路径，最短路径长分别为 471.0372、857.6778、1094.5、2799.0121,其中O-->A的最短路径对应圆弧的圆心坐标为(80,210)；O→B的最短路径对应圆弧的圆心坐标：(60,300)、(150,435)、（220、470）、(220,530)、(150,600)；O→C经过的圆心：(230，60)、(410,100)、(500,200)、(720,520)， （720,600）；对于多目标点问题利用模型三进行分割求解得到O→A→B→C→O最短路径对应圆心坐标（80,210）、（307.7715）、（306.2932）、（220,530）、（150,600）、（109.8478,701.7379）、（270,680）、（370,680）、（430,680）、（540,730）、（670,730）、（709.7933）、（642.0227）、（720,600）、（720,520）（500,200），（410,100），（230,60）。对于最短时间路径问题，根据转弯半径和速度的关系，在问题一求出的最短路径的模型的基础上，进行路线优化，建立以最短时间为目标的非线性规划模型，利用lingo 求解最短时间获得了机器人从O点出发，到达A的最短时间路径，求得最短时间路径下转弯半径为12.9885 ，同时最短时间路径时间长为94.2283个单位，路径长为471.129个单位。相应圆弧的圆心坐标为（82.1414，207.9153）。 关键词：机器人避障覆盖法穷举法非线性规划
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期：年月日
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
机器人避障问题 摘要 针对题中机器人避障最短路径问题，文章使用简化后建立的最短路径的数学模型来解决此类问题。 对于问题1，我们matlab中自带函数graphshortestpath函数求解最短路径的数学模型。其主要思想是：首先先证明出两点之间的最短路径是由两条线段和以中间点为圆心的圆的一段圆弧组成，然后证明圆弧的半径为定值10。然后对模型简化使模型化为标准的最短路径模型，最后用graphshortestpath函数对模型求解。 针对问题2，我们建立了优化模型。在问题1的基础上，我们对两种行走方案进行分析，根据转弯弧的半径变化对速度的影响我们锁定到一条路径，然后利用lingo对优化模型进行求解。 关键词：graphshortestpath函数、最短路径、避障问题
精心整理 机器人避障问题 摘要 本文研究了在一个800800?平面场景里，机器人通过直线和圆弧转弯，绕过障碍物，到达目标点的问题，解决了到达目标点路径最短，以及到达A 点时间最短的问题。文章将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了在拐点和节点最小转弯半径的形式. O A →O →B O →C O →A →B 10个单位为50=v 对场景图中4(1)(2)1.出发，分别做圆的切线，直到终点。对于经过路径中的目标点的问题，我们采用最小转弯模式，建立优化模型，最终求的最短路径。 2．问题二要求从起始点到达A 点所用的时间最短，从题意以及生活经验可得，拐弯半径越大，所用时间越短，拐弯半径越小，所用时间越大。半径最小不低于10，取最大值时机器人应刚好未碰到4、6三角形，可通过几何解法计算出来，并对时间进行优化处理。 三、模型假设 假设机器人可以抽象成点来处理 假设机器人的能源充足，且在整个行走过程中无故障发生 四,符号说明
】 5（为起点，，OA 圆弧的切点，角度 1OO A ∠=,11OO M ∠=,11AO N ∠=，111M O N θ∠=.设这段路程机器人的总路程为L. 解法如下： 如上图可得有以下关系： 1 AOO ?在中： 在11Rt OO M ?： 222arccos(2b c a bc α+-=
在11Rt AO N 中： 所以： 从而可得： 结果如下： 机器人行走路线 1OM =1N A 弧11M N = 224.7221； b= 237.6973 c= O 同理了解 比较可得， O 从上面绕到到目标点A 的距离最短，最短路径为471.0372。
机器人行走问题 摘要 本文研究了机器人避障最短路径的问题。主要研究了在一个区域中存在四个障碍物，由出发点到达目标点以及由出发点经过途中的若干目标点到达最终目标点的两种情形。我们通过证明具有圆形限定区域的最短路径是由两部分组成的：一部分是平面上的自然最短路径（即直线段），另一部分是限定区域的部分边界，这两部分是相切的，互相连接的。依据这个结果，我们可以认为最短路径一定是由线和圆弧做组成，因此我们建立了线圆结构，这样无论路径多么复杂，我们都可以将路径划分为若干个这种线圆结构来求解。对于途中经过节点的再到达目标点的状况，我们采用了两种方案，一种是在拐点和节点都采用最小转弯半径的形式，另一种是适当扩大拐点处的转弯半径，使得机器人能够沿直线通过途中的目标点。然后建立了最优化模型对两种方案分别进行求解。 问题一，我们很容易分解成线圆结构来求解，然后把可能路径的最短路径采用穷举法列举出来，最终得出最短路径： R→A 最短路径为：70.5076 R→B 最短路径为：107.9587 R→C 最短路径为：102.0514 问题二，我们方案都进行优化，求得最终结果： 第一种方案最短路径为：156.471 第二种方案最短路径为：157.752 关键词最短路径最优化模型避障路径解析几何
一、问题重述 下图是一个100×80的平面场景图，在R（0，0）点处有一个机器人，机器人只能在该100×80的范围内活动，图中四个矩形区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述分别为B1（20，40；5，10）、B2（30，30；10，15）、B3（70，50；15，5）、B4（85，15；5，10），其中B1（20，40；5，10）表示一个矩形障碍物，其中心坐标为（20，40），5表示从中心沿横轴方向左右各5个单位，即矩形沿横轴方向长5×2=10个单位，10表示从中心沿纵轴方向上下各10个单位，即矩形沿纵轴方向长10×2=20个单位，所以，障碍物B1的中心在（20，40），大小为10×20个单位的矩形，其它三个障碍物的描述完全类似。 在平面场景中、障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点（要求目标点与障碍物的距离至少超过1个单位），为此，须要确定机器人的最优行走路线——由直线段和圆弧线段组成的光滑曲线，其中圆弧线段是机器人转弯路线，机器人不能折线转弯，转弯路径是与直线相切的一圆形曲线段，也可以是两个或多个相切的圆弧曲线段组成，但每个圆形路线的半径都必须大于某个最小转弯半径，假设为1个单位。另外，为了不与障碍物发生碰撞，要求机器人行走线路与障碍物间的最短距离为1个单位，越远越安全，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法到达目标点，行走失败。请回答如下问题： 1.场景图中有三个目标点A（50，40）、B（75，60）、C（95，20），请用数学建 模的方法给出机器人从R（0，0）出发安全到达每个目标点的最短路线。 2.求机器人从R（0，0）出发，依次安全通过A、B到达C的最短路线。
INTELLIGENT VEHICLE Our society is awash in “machine intelligence” of various kinds.Over the last century, we have witnessed more and more of the “drudgery” of daily living being replaced by devices such as washing machines. One remaining area of both drudgery and danger, however, is the daily act ofdriving automobiles 1.2 million people were killed in traffic crashes in 2002, which was 2.1% of all globaldeaths and the 11th ranked cause of death . If this trend continues, an estimated 8.5 million people will be dying every year in road crashes by 2020. In fact, the U.S. Department of Transportation has estimated the overall societal cost of road crashes annually in the United States at greater than $230 billion. When hundreds or thousands of vehicles are sharing the same roads at the same time, leading to the all too familiar experience of congested traffic. Traffic congestion undermines our quality of life in the same way air pollution undermines public health.Around 1990, road transportation professionals began to apply them to traffic and road management. Thus was born the intelligent transportation system(ITS). Starting in the late 1990s, ITS systems were developed and deployed. In developed countries, travelers today have access to signifi-cant amounts of information about travel conditions, whether they are driving their own vehicle or riding on public transit systems. As the world energy crisis, and the war and the energy consumption of oil -- and are full of energy, in one day, someday it will disappear without a trace. Oil is not in resources. So in oil consumption must be clean before finding a replacement. With the development of science and technology the progress of the society, people invented the electric car. Electric cars will become the most ideal of transportation. In the development of world each aspect is fruitful, especially with the automobile electronic technology and computer and rapid development of the information age. The electronic control technology in the car on a wide range of
基于弹性绳索拉伸的机器人避障问题 摘要 本文研究了机器人避障的相关问题。在一个已知区域中存在12个障碍物，使用基于弹性绳索拉伸的方法，求解了由出发点到目标点的最短路径和最短时间路径。我们在禁区顶点以最小转弯半径转向为最优的前提下，对障碍物进行了加工，即将限定区域向外扩展并将顶点圆角化。那么最短路径就由两部分组成：一部分是平面上的直线段，另一部分是限定区域上部分弧构成。由于最短路径一定是由直线线段和圆弧做组成，而弹性绳索紧贴障碍物时，弹性绳索与直线线段和圆弧重合，并且弹性绳索有自然缩短的趋势，弹性绳处于紧绷状态，此时弹性绳长就是最短路径。 问题一，将绳索系与起点和终点，使用拉伸弹性绳索的方法，找到所有符合要求的绳索连结成的路径并计算路径长度，最终最短的绳长即为所求。由于符合要求的路径可能比较多，我们又使用了尺规作图进行简化了以及一般情况下的Dijkstra求解最短路径的方法。 最终求得： O→A最短路径长度为471.037 O→B最短路径长度为 853.13 O→C最短路径长度为1092.82 O→A→B→C→O最短路径长度为2714.31 问题二，由于机器人转弯时所行走的速度和转弯半径有关。而当转弯半径最小时相应的速度也最小。就必须平衡转弯半径和转弯时速度的这一对矛盾。本文通过极限状态的求解，计算出可能的最短时间路径。 关键字：最短路径切线长弧长
一、问题的重述 图1是一个800×800的平面场景图，在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物，障碍物的数学描述如下表： 编号 障碍物名称 左下顶点坐标 其它特性描述 1 正方形 (300, 400) 边长200 2 圆形 圆心坐标(550, 450)，半径70 3 平行四边形 (360, 240) 底边长140，左上顶点坐标(400, 330) 4 三角形 (280, 100) 上顶点坐标(345, 210)，右下顶点坐标(410, 100) 5 正方形 (80, 60) 边长150 6 三角形 (60, 300) 上顶点坐标(150, 435)，右下顶点坐标(235, 300) 7 长方形 (0, 470) 长220，宽60 8 平行四边形 (150, 600) 底边长90，左上顶点坐标(180, 680) 9 长方形 (370, 680) 长60，宽120 10 正方形 (540, 600) 边长130 11 正方形 (640, 520) 边长80 12 长方形 (500, 140) 长300，宽60 在图1的平面场景中，障碍物外指定一点为机器人要到达的目标点(要求目标点与障碍物的距离至少超过10个单位)。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的一段圆弧组成，也可以由两个或多个相切的圆弧路径组成，但每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位，否则将发生碰撞，若碰撞发生，则机器人无法完成行走。 机器人直线行走的最大速度为50=v 个单位/秒。机器人转弯时，最大转弯速度为 2 1.0100 e 1)(ρρ-+==v v v ，其中ρ是转弯半径。如果超过该速度，机器人将发生侧 翻，无法完成行走。 请建立机器人从区域中一点到达另一点的避障最短路径和最短时间路径的数学模型。对场景图中4个点O(0, 0)，A(300, 300)，B(100, 700)，C(700, 640)，具体计算： (1) 机器人从O(0, 0)出发，O→A 、O→B 、O→C 和O→A→B→C→O 的最短路径。 (2) 机器人从O (0, 0)出发，到达A 的最短时间路径。 注：要给出路径中每段直线段或圆弧的起点和终点坐标、圆弧的圆心坐标以及机器人行走的总距离和总时间。
承诺书 我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：2418 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员(打印并签名) ：1.黎仕东 2.李兆海 3.赵甜森 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： （论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。如填写错误，论文可能被取消评奖资格。） 日期：年 8 月25 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
机器人避障问题 一、摘要 本文讨论了机器人在平面场景中避障行走的问题，已知机器人的行走模式（直线与相切圆弧）以及场景障碍物的分布，计算出到平面各个给定点的最短路径，以及到A 点的最短时间。 文中，首先，考虑到机器人与障碍物之间有10个单位的碰撞距离，故用CAD 软件将平面场景图进行改进，再用CAD 设计可能的最短路径。接着，对每条具体路径进行分解，得到三种基本线圆形模型（点圆模型，双圆异侧模型，双圆同侧模型），对这三种模型进行求解，得到各个模型直线长度以及转弯圆弧圆形角的表达公式。之后，参照具体的行走路径，构造合适的行走矩阵，用以判断每段路径所属的基本模型。路径总的长度可用如下公式表达： 12 ,1,1,2 1 1 N N i i i i i i i s m r θ--+++===+?∑∑ 最后，通过计算设计的集中可能的最短路径，我们得到每段的最短路径的长度分别为： O ——A 路段：471.0372（单位）； O ——B 路段: 853.7001（单位）； O ——C 路段: 3100915.1?（单位）； O ——A ——B ——C ——O 路段: 3 2.677810?（单位）。 对于问题二，我们在问题一的基础上分别利用直线最大速度和转弯最大速度计算出时间的表达式。为了方便计算，我们将转弯圆弧的圆心定在P （80,210）（场景中正方形5的左上角），这样得到时间T 与转弯半径ρ的函数关系式： 2 100.10 (1)(2arccos arccos ) e a b T v ρρ ρ πα-?+?---= 通过MATLAB 编程，画出其图像，求解得出：当半径ρ=11.435时，时间T 最小，其大小为94.5649（秒）。 关键词：最短路径 线圆模型 行走矩阵 MATLAB 二、问题重述 在一个800×800的平面场景图（见附录一），在原点O(0, 0)点处有一个机器人，它只能在该平
可避障机器人设计报告 姓名*** 班级机械设计制造及其自动化1班学号3011201*** 任课教师洪鹰 2014年12 月16 日
目录 一、概述??????????????????????????????????????????????3 二、方案设计?????????????????????????????????????????4 1、硬件设计?????????????????????????????????????4 1.1避障基本方法?????????????????????????????4 1.2主控芯片选择?????????????????????????????4 1.3电源设计??????????????????????????????????5 1.4电机选择?????????????????????????????????5 2、主程序设计??????????????????????????????????5 三、总结??????????????????????????????????????????????7
一、概述 机器人是一类能够自动完成某项功能的机械系统，机器人通过传感器和执行机构与外界进行信息物理和交互，处理器负责处理传感器采集来的信息并将相应的控制命令送给执行机构执行。机器人因其对环境的强适应性，使得他在很多领域取代了人的劳动，将人从繁重、危险的环境中解放出来。机器人广泛应用于工业生产、科学研究、危险品处理乃至国防领域。而我这次设计的应该是最基础的一种机器人——自动避障机器人，它能通过传感器感知外部环境，实现避障。
机器人避障问题的MATLAB解法探析 摘要：本文对2012年全国大学生数学建模竞赛D题“机器人行走避障问题”，给出了利用matlab这一数学软件进行求解的方法，并对该方法的优缺点进行了分析。 关键词：机器人避障matlab 2012年全国大学生数学建模竞赛D题“机器人行走避障问题”如下： 在一个800×800的平面场景图中，原点O（0，0）点处有一个机器人，它只能在该平面场景范围内活动。图中有12个不同形状的区域是机器人不能与之发生碰撞的障碍物。规定机器人的行走路径由直线段和圆弧组成，其中圆弧是机器人转弯路径。机器人不能折线转弯，转弯路径由与直线路径相切的圆弧组成，每个圆弧的半径最小为10个单位。为了不与障碍物发生碰撞，同时要求机器人行走线路与障碍物间的最近距离为10个单位。计算机器人从O（0，0）出发，O→A、O→B、O→C和O→A→B→C→O的最短路径。 一、问题的分析 为达到要求，我们按照以下原则选择路径： （1）在障碍物拐点处的圆弧半径为临界半径个单位； （2）因为直线速度大于转弯速度，所以在不转弯的地方尽可能走直线； 按照上述原则，我们选取以下步骤求最短路径： （1）穷举出起始点与目标点的所有可能直线路径，判断出最短直线路径； （2）针对上述最短直线路径，在障碍物拐点处加入弧线转弯，然后计算实际最短行走路径。 二、问题的求解 按照上述步骤，逐步求最短路径： （1）首先画出O到A允许行走所有直线路线，如图所示。 （2）计算出各节点到下一节点的距离作为权值给各条边赋权，可以求解出最优直线路径。用MATLAB软件，程序如下： sets： cities/O，B1，B2，C1，C2，A/； roads（cities，cities）/O，B1 O，B2 O，C1 B1，A B1，C2 C1，B1 C1，B2 B2，C2 B2，A C2，A /：w，x； data： w= 224.7 237.7 100 237.7 150 150 150 150 250 114； n=@size（cities）； min=@sum（roads：w*x）； @for（cities（i）|i #ne# 1 #and# i #ne# n： @sum（roads（i，j）：x（i，j））=@sum（roads（j，i）：x（j，i）））； @sum（roads（i，j）|i #eq# 1：x（i，j））=1； end 计算出结果（只列出有用部分）： Global optimal solution found. Total solver iterations：0 Variable Value Reduced Cost