【离散数学】第一章命题演算
本章的重点是命题概念及其表示、命题公式化简、主范式及其互化、P规则、T规则以及CP规则。难点是推理理论及应用。
一、命题概念(领会)
学习本章首先要深刻理解命题的概念。理解原子命题与复合命题的关系，在了解复合命题的基础上，理解联结词的定义。
命题：具有唯一真值的陈述句称为命题，又简称语句。注意，这里有两个条件，首先它是一个陈述句，其次，它具有唯一的一个真值。
真值：就是语句为真或假的性质。一个语句的真值可以为真也可以为假。真值不是说该语句的值必为真。
任一命题必有其真值，也称这个命题的值。既然是命题了，那它必有一个确定的真值，不管这个真值为真还是为假。当一个陈述句能够分辩其值的真假时(也就是说，总可以肯定是其中的某一个)，它就是命题，即使我们不知道它是真还是假。
另外要理解命题常量、命题变元及指派的含义。
复合命题就是一些原子命题经过一些联结词复合而成的命题。常用的联结词有：(1)否定、(2)合取、(3)析取、(4)条件、(5)双条件
复合命题与联系词是密切相关的，不包含联结词的命题就是原子命题，至少包含一个联结词的命题才是复合命题。
复合命题的真值只取决于构成它们的各原子命题的真值，而与它们的内容含义无关。对联结词所联结的两原子命题之间有无关系无关。(这一条很重要，因为一个命题用自然语言表达时，我们往往会受到自然逻辑的影响，比如"我如果不上班，那么天下雨"这种命题，在自然的逻辑里，是不成立的，一个人不上班怎么会导致天下雨呢? 但是在这里，这个复合命题的值实际上是由两个原子命题的真值决定的，与它的含义无关，这个复合命题是|P-
>Q ,前一个原子命题的真值为假，后一命题值为真，根据条件的定义，这个复合命题值为真)
∧、∨、←→具有对称性，|、→无对称性，(教材提示，也可用iff表示双向箭头←→，由于字符集的限制，本网页在表示否定关联词时用"|"，请在书写时注意规范写法。对称性是指真值表中复合命题的真值与原子命题的真值之间的关系。)
命题公式与命题不同，在一个由命题标识符组成的式子中，如果标识符表示确定的命题，则该式就是命题。如果标识符只表示命题的位置，可由任何命题代替，则该式子就为命题公式。命题变元P用特定命题替代时，称为对P的指派。
不是所有由命题变元、联结词及有关括号组成的字符串都能成为命题公式。要成为一个命题公式(合式公式)，应当符合规定。这个规定是：
(1)单个命题变元本身是一个合式公式。
(2)如果A是合式公式，那么|A是合式公式。
(3)如果A和B是合式公式，那么(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(A←→B)都是合式公式。
(4)当且仅当有限次地应用(1)(2)(3)所得到的包含命题变元、联结词和圆括号的符号串是合式公式。
总的理解就是说，单个命题变元是合式公式，由合式公式作为命题变元，有限次地运用联结词及括号组成的符串才能是合式公式。即命题公式，简称公式。
命题变元只有进行指派后才可能确定其所在命题公式的真值。当一个命公式中的所有命题变元用一组真值指定后，就称为对命题公式的指派。想一想，什么是真指派、什么是假指派? 这个比较简单。
一个命题的真值表应该列出其所有指派的取值情况。一般来说，由n个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。
联结词的简化，按照两个等价的命题公式，可以看到一个有较多联结词的公式可以简化为含有一个联结词的公式。这里有两个等值公式应当记一下：
(|P∨Q)<=>(P→Q)
(P∧Q)∨(|P∧|Q)<=>(P←→Q)
我们要弄清什么是"重言式(永真式)"、什么是"矛盾式(永假式)"以及"可满足式"。这其中涉及到指派及命题公式的取值，容易理解。
课本中表1.3.6列出的常用的命题公式等价定理应该记住的.
二、等价变换(简单应用)
当两个合式公式中相应变元的任一种真值指派情况下，这两个公式的真值均相同，则这两个合式公式是等价的。可以相互置换。
有两个命题公式A、B，A<=>B，当且仅当A←→B为一重言式(永真式)。这是什么意思呢? 就是说，如果有两个命题A、B，只有在命题公式(A←→B)(双条件式)的值是永真的时候，这两个命题才是等价的。
蕴含式又称永真条件式。永真条件式更清楚地表达了它的定义，就是一个条件式P→Q，当且仅当它是重言式时，就称P蕴含Q (P=>Q)。什么时候P→Q不是蕴含式呢? 很明显，当P 为真、Q为假时，它不是一个蕴含式。
蕴含式有四个性质：
(1) 对任意公式A,有A=>A，即公式蕴含本身。
(2) 对任意公式A，B和C，若A=>B、B=>C 则 A=>C。
(3) 对任意公式A，B和C，若A=>B、A=>C 则 A=>(B∧C)
证明如下：
如果A的值为T，由A→B、A→C为重言式可得B为T、C为T，此时B∧C为T。
如果A的值为F，则无论B、C为T或F，A→(B∧C)为T，所以A→(B∧C)是重言式，即
A=>(B∧C)。
(4) 对任意公式A，B和C，若A=>C、B=>C 则 (A∨B)=>C
证明如下：
如果A的真值为T，由A→C为重言式可得C为T，此时不论B为何值，(A∨B)为T，(A∨
B)->C为T。
若B为T，由B→C为重言式可得C为T，此时不论A为何值，(A∨B)为T，(A∨B)->C为T。
若A和B均为F，则不论C为何值，(A∨B)→C为T。所以(A∨B)=>C。
设P、Q为任意两个命题公式，P<=>Q的充分必要条件是P=>Q，Q=>P.就是说，若要证明两个命题公式等价，只要证明两个公式互相蕴含。反过来，如果两个公式是互为蕴含的，那么，这两个公式是等价的。
同样，第14页的表1.4.1也应记住。
三、最小联结词组与范式：(简单应用)
通过等价变换，我们可以把带→、←→的公式全部化成只带 {|、∧}或只带{|、∨}的命题公式，这种只带此两种联结词的公式就是标准形式，即范式。
注意,单独的|、∧、∨及{∨、∧}都不能是命题公式的最小联结词组。只有{|、∧}、{|、∨}是命题公式的最小联结词组。
范式根据其形式的不同又分为合取范式和析取范式。注意合取范式并不是只带|和∧的公式。它要求各个子公式均是由命题变元及其否定组成的析取式。而析取范式则恰恰相反。
由n个命题变元(不是命题公式)组成的合取式，就称为布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现(其中之一)且仅出现一次。就是说每个变元或其否定必在一个小项内出现。(跳到大小项比较)
小项的三个性质为：
(1)每个小项具有一个相应编码，当该编码与其真实指派相同时，该小项真值为T。其余各种指派情况下均为F。
(2)任意两个不同小项的合取式永假。因为每个小项有唯一不同的编码，当指派与一个小项的编码相同时，必与另一个小项的编码不同，所以总有一个小项为假。
(3)全体小项的析取式为永真。因为在任一指派情况下，总有一个小项为真。
主析取范式是对应于原命题公式而言的，它是原命题公式的一个等价公式，而且仅由小项的析取所组成。那么要最直接地找到一个命题公式的主析取范式，就可以应用真值表，一个使公式真值为T的指派所对应的小项的析取就是此公式的主析取范式。
有了小项，则有大项(布尔析取),大项与小项定义的不同之处就是把合取变成了析取。
在真值表中一个公式的值为F的指派所对应的大项的合取，即为此公式的合取范式。对于任意含有n个命题变元的非永真命题公式A，其合取范式是唯一的。
下面我们将小项与大项作一对比，以利记忆。
小项(布尔合取)
大项(布尔析取)
定义
n个命题变元的合取式
n个命题变元的析取式
形式
P∧Q，P∧|Q，|P∧Q，|P∧|Q，
P∨Q，P∨|Q，|P∨Q，|P∨|Q，
主范式
命题变换得主析取范式
命题变换为主合取范式
真值表法求主范式
公式真值为T的指派所对应的小项的析取
公式真值为F的指派所对应的大项的合取
主范式形式
m00∨m01∨m02 (Σ0，1，2...)
小项的m用小写，析取就是相当于连加
M00∧M01∧M02 (Π0，1，2..)
大项的M用大写，合取就相当于连乘
记忆
变元合取是小项；
小项尖尖头朝上；
公式值真对主析；
析取小项换命题。
变元析取好大项，
大项宽宽口朝天。
公式值假对大项，
合取大项主合范。
对课本中的例题应认真学习掌握。
1.6 推理理论(简单应用)
推理就是把一些假设前提作为T，并使用一些公论的规则，得到另外的命题形成结论，这种过程很有意思，大侦探福尔摩斯就是深谙此道的人，如果我们学会了推理，那么在做一些智力题时是很有帮助的，就象是本章最后的那几道题，一般人要翻来覆去考虑很久，看看我们能不能用公式来解开它。
对于推理理论，主要要掌握的是判别有效结论的过程也就是论证过程。
有真值表法、主范式方法、等值演算法和构造论证法。其中构造论证法是本节的重点。
使用构造论证法，首先要确定推理定律及等值定律，也就是我们前面学过的定律及公式可以直接应用的，其次是要确定已知的前提，假设其值为真。推理过程就是一系列命题公式序列，其中每个命题公式或者是已知的前提，或者是由某些前提应用推理规则得到的结论。那么常用的推理规则有：
(1)P规则：前提引入规则，就是在证明的任何步骤上都可以引入前提。
(2)T规则：结论引入规则，就是在证明的任何步骤上证明的结论都可以为后续证明的前提。
(3)转换规则：也是T规则，就是可以在证明的任何步骤上进行命题公式的等值替换。
还有一个定理就是CP规则：若H1∧H2∧...Hn∧R=>C,则H1∧H2∧...Hn=>R→C
这些内容相当抽象，除了认真仔细地做习题外，光这么看是无法掌握的，所以我们要好好地做完习题。
北京邮电大学 离散数学 第一次阶段作业 判断题 1. 如果A∪B=B，则A?B。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 2. 如果a∈A∪B，则a?A或a?B。【答案：B】 A. 正确 B. 错误 3. a∈{a,a}。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 4.{?}是空集。【答案：B】 A. 正确 B. 错误 5.设ρ是集合A上的等价关系，则当a,b∈ρ时，aρ=bρ。【答案：A】 A. 正确 B. 错误 单项选择题 1. 设A={a,a}，则下列各式中错误的是【答案：B】 A. a∈2A B. {a}?2A C. {a}∈2A D. {a}?2A 解：2A={?,a,a, a,a} 2. 下列各式中不正确的是【答案：C】 A. ??? B. ?∈{?} C. ??? D. ?∈{?,?} 3. 设ρ是集合A上的关系，则（）不是ρ为反对称关系的充分必要条件【答案：D】 A. ρ是反对称关系 B. ρ∩ρ?i A C. 对任意x,y∈A，当x,y∈ρ且x≠y时y,x?ρ D. 对A的某两个元素x, y，当x,y,y,x∈ρ时有x=y 4. 设A，B，C是集合，ρ,μ分别是A到B，B到C的关系，x∈A，z∈C，则存在y∈B使得x,y∈ρ且y,z∈μ是x,z∈ρ°μ的（）条件【答案：C】 A. 充分而非必要 B. 必要而非充分 C. 充分必要
D. 既非充分又非必要 5. 设A={0,b}，B={1,b,3}，则A∪B的恒等关系为【答案：A】 A.{0,0,1,1,b,b,3,3} B. {0,0,1,1,3,3} C. {0,0,b,b,3,3} D. {0,1,1,b,b,3,3,0}
#include
N=N/2; } while(!Empty(S)) { Pop(S,&e); printf("%d ",e); } } void main() { int n; printf("请输入待转换的值n：\n"); scanf ("%d",&n); conversion(n); }习题 1.判断下列语句是否是命题，为什么？若是命题，判断是简单命题还是复合命题？ (1)离散数学是计算机专业的一门必修课。 (2)李梅能歌善舞。 (3)这朵花真美丽！ (4)３＋２＞６。 (5)只要我有时间，我就来看你。 (6)x＝５。 (7)尽管他有病，但他仍坚持工作。 (8)太阳系外有宇宙人。 (9)小王和小张是同桌。 (10)不存在最大的素数。 解在上述10个句子中，(3)是感叹句，因此它不是命题。(6)虽然是陈述句，但它没有确定的值，因此它也不是命题。其余语句都是可判断真假的陈述句，所以都是命题。其中：(1)、(4) 、(8) 、(9) 、是简单命题，、(2) 、(5) 、(7)、(10) 是复合命题。 2.判断下列各式是否是命题公式，为什么？ (1)(P→(P∨Q))。 (2)(?P→Q)→(Q→P)))。 (3)((?P→Q)→(Q→P))。 (4)(Q→R∧S)。 (5)(P∨QR)→S。 (6)((R→(Q→R)→(P→Q))。 解 (1)是命题公式。 (2)不是命题公式，因为括号不配对。 (3)是命题公式。 (4)是命题公式。
数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明:
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求2010年12月19日前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1 ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 (PQ)R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式PQ 的主析取范式是 (PQR) (PQR) ． 4．设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 (x)(P(x) →Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a, b},那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) A(b)) (B(a) B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A(x)为“x 大于3”，则谓词公式(x)A(x) 的真值为 ． 7．谓词命题公式(x)((A(x)B(x)) C(y))中的自由变元为 ． 8．谓词命题公式(x)(P(x) Q(x) R(x ，y))中的约束变元为 X ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 1．解：设P ：今天是天晴； 则 P ． 2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式． 解：设P ：小王去旅游，Q ：小李去旅游， 则 PQ ． 3．请将语句“如果明天天下雪，那么我就去滑雪”翻译成命题公式． 解：设P:明天天下雪 。 Q:我去滑雪 则 P Q ． 4．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式． 7．解：设 P ：他去旅游，Q ：他有时间， 则 P Q ． 5．请将语句 “有人不去工作”翻译成谓词公式． 11．解：设P(x)：x 是人，Q(x)：x 去工作，
第三阶段 一、判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 设图G是连通的，则任意指定G的各边方向后所得的有向图是弱连通的 A. 正确 B. 错误 知识点: 无向图和有向图 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 3. n阶完全图的任意两个不同结点的距离都为1 A. 正确 B. 错误 知识点: 无向图和有向图 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 5. 设都是命题公式，则也是命题公式 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 6. 7. “如果8＋7＞2，则三角形有四条边”是命题 A. 正确 B. 错误
知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 8. 9. 设都是谓词公式，，则是永真式 A. 正确 B. 错误 知识点: 一阶逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 10. 二、单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 设D是有向图，则D强连通的充分必要条件为 A. 略去D中各边方向后所得到的无向图是连通的 B. D是单向连通图，且改变它的各边方向后所得到的有向图也是单向连通图 C. D的任意两个不同的结点都可以相互到达 D. D是完全图 知识点: 无向图和有向图 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 3. 图和的结点和边分别存在一一对应关系是（同构）的 A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 知识点: 无向图和有向图
第一章习题 1.1&1.2 判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还 是复合命题.并将命题符号化,并讨论它们的真值. (1) √2是无理数. 是命题,简单命题.p:√2是无理数.真值:1 (2) 5能被2整除. 是命题,简单命题.p:5能被2整除.真值:0 (3)现在在开会吗? 不是命题. (4)x+5>0. 不是命题. (5) 这朵花真好看呀! 不是命题. (6) 2是素数当且仅当三角形有3条边. 是命题,复合命题.p:2是素数.q:三角形有3条边.p?q真值:1 (7) 雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起. 是命题,复合命题.p:雪是黑色的.q:太阳从东方升起. p?q真值:0 (8) 2008年10月1日天气晴好. 是命题,简单命题.p:2008年10月1日天气晴好.真值唯 一. (9) 太阳系以外的星球上有生物. 是命题,简单命题.p:太阳系以外的星球上有生物.真值唯一. (10) 小李在宿舍里. 是命题,简单命题.P:小李在宿舍里.真值唯一. (11) 全体起立! 不是命题. (12) 4是2的倍数或是3的倍数. 是命题,复合命题.p:4是2的倍数.q:4是3的倍数.p∨q 真值:1 (13) 4是偶数且是奇数.
是命题,复合命题.P:4是偶数.q:4是奇数.p∧q真值:0 (14) 李明与王华是同学. 是命题,简单命题.p: 李明与王华是同学.真值唯一. (15) 蓝色和黄色可以调配成绿色. 是命题,简单命题.p: 蓝色和黄色可以调配成绿色.真值:1 1.3 判断下列各命题的真值. (1)若 2+2=4,则 3+3=6. (2)若 2+2=4,则 3+3≠6. (3)若 2+2≠4,则 3+3=6. (4)若 2+2≠4,则 3+3≠6. (5)2+2=4当且仅当3+3=6. (6)2+2=4当且仅当3+3≠6. (7)2+2≠4当且仅当3+3=6. (8)2+2≠4当且仅当3+3≠6. 答案: 设p:2+2=4,q:3+3=6,则p,q都是真命题. (1)p→q,真值为1. (2)p→┐q,真值为0. (3)┐p→q,真值为1. (4)┐p→┐q,真值为1. (5)p?q,真值为1. (6)p?┐q,真值为0. (7)┐p?q,真值为0. (8)┐p?┐q,真值为1. 1．4将下列命题符号化，并讨论其真值。 （1）如果今天是1号，则明天是2号。 p:今天是1号。 q:明天是2号。 符号化为：p→q 真值为：1 （2）如果今天是1号，则明天是3号。 p:今天是1号。
离散数学考试题(后附详细答案) 一、命题符号化(共6小题,每小题3分,共计18分) 1.用命题逻辑把下列命题符号化 a)假如上午不下雨,我去瞧电影,否则就在家里读书或瞧报。 设P表示命题“上午下雨”,Q表示命题“我去瞧电影”,R表示命题“在家里读书”,S表示命题“在家瞧报”,命题符号化为:(?P?Q)∧(P?R∨S) b)我今天进城,除非下雨。 设P表示命题“我今天进城”,Q表示命题“天下雨”,命题符号化为:?Q→P或?P→Q c)仅当您走,我将留下。 设P表示命题“您走”,Q表示命题“我留下”,命题符号化为: Q→P 2.用谓词逻辑把下列命题符号化 a)有些实数不就是有理数 设R(x)表示“x就是实数”,Q(x)表示“x就是有理数”,命题符号化为: ?x(R(x) ∧?Q(x)) 或??x(R(x) →Q(x)) b)对于所有非零实数x,总存在y使得xy=1。 设R(x)表示“x就是实数”,E(x,y)表示“x=y”,f(x,y)=xy, 命题符号化为: ?x(R(x) ∧?E(x,0) →?y(R(y) ∧E(f(x,y),1)))) c) f 就是从A到B的函数当且仅当对于每个a∈A存在唯一的b∈B,使得f(a)=b、 设F(f)表示“f就是从A到B的函数”, A(x)表示“x∈A”, B(x)表示“x∈B”,E(x,y)表示“x=y”, 命题符号化为:F(f)??a(A(a)→?b(B(b) ∧ E(f(a),b) ∧?c(S(c) ∧ E(f(a),c) →E(a,b)))) 二、简答题(共6道题,共32分) 1.求命题公式(P→(Q→R))?(R→(Q→P))的主析取范式、主合取范式,并写出所有成真赋 值。(5分) (P→(Q→R))?(R→(Q→P))?(?P∨?Q∨R)?(P∨?Q∨?R) ?((?P∨?Q∨R)→(P∨?Q∨?R)) ∧ ((P∨?Q∨?R) →(?P∨?Q∨R))、 ?((P∧Q∧?R)∨ (P∨?Q∨?R)) ∧ ((?P∧Q∧R) ∨(?P∨?Q∨R)) ?(P∨?Q∨?R) ∧(?P∨?Q∨R) 这就是主合取范式 公式的所有成真赋值为000,001,010,100,101,111,故主析取范式为 (?P∧?Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R) 2.设个体域为{1,2,3},求下列命题的真值(4分) a)?x?y(x+y=4) b)?y?x (x+y=4) a) T b) F 3.求?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x))的前束范式。(4分) ?x(F(x)→G(x))→(?xF(x)→?xG(x)) ??x(F(x)→G(x))→(?yF(y)→?zG(z))??x(F(x)→G(x))→?y?z(F(y)→G(z)) ??x?y?z((F(x)→G(x))→ (F(y)→G(z))) 4.判断下面命题的真假,并说明原因。(每小题2分,共4分) a)(A?B)－C=(A-B) ?(A-C) b)若f就是从集合A到集合B的入射函数,则|A|≤|B| a) 真命题。因为(A?B)－C=(A?B)?~C=(A?~C)?(B?~C)=(A-C)?(B-C) b) 真命题。因为如果f就是从集合A到集合B的入射函数,则|ranf|=|A|,且ranf?B,故命题 成立。
一、判断题（共5道小题，共50.0分） 1. 如果，则或． A. 正确 B. 错误 知识点: 集合 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 2. 是空集． A. 正确 B. 错误 知识点: 集合 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 设为集合上的等价关系, 则 A. 正确 B. 错误 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 设集合，则是到的关系
A. 正确 B. 错误 知识点: 关系 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 5. 设集合，，则 A. 正确 B. 错误 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 6. 二、单项选择题（共5道小题，共50.0分） 1. 设为实数集合，下列集合中哪一个不是空集 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示:
2. 设是集合A上的关系，则（）不是为反对称关系的充分必要条件. A. 是反对称关系 B. ∩ C. 对任意 D. 对A的某两个元素 知识点: 关系 学生答案: [D;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 3. 设为集合上的等价关系，对任意，其等价类为 A. 空集 B. 非空集 C. 是否为空集不能确定 D. 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10.0 提示: 4. 设，，则的恒等关系为 A. B.
第一章部分课后习题参考答案 16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)0∨(0∧1) 0 （2）（p?r）∧(﹁q∨s) （0?1）∧(1∨1) 0∧10. （3）（p∧q∧r）?(p∧q∧﹁r) （1∧1∧1）? (0∧0∧0)0 (4)（r∧s）→(p∧q) （0∧1）→(1∧0) 0→0 1 17．判断下面一段论述是否为真：“是无理数。并且，如果3是无理数，则也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。” 答：p: 是无理数 1 q: 3是无理数0 r: 是无理数 1 s:6能被2整除 1 t: 6能被4整除0 命题符号化为：p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(q→p) （5）(p∧r) (p∧q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r) 答：（4） p q p→q q p q→p (p→q)→(q→p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式 （5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例） 第二章部分课后习题参考答案 3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) (p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r) 答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)(p∨(p∨q))∨(p∨r)p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式 (3)P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r) 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)(p→(q∧r)) (4)(p∧q)∨(p∧q)(p∨q) ∧(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r) (p∨q)∧(p∨r) p∨(q∧r)) p→(q∧r) （4）(p∧q)∨(p∧q)(p∨(p∧q)) ∧(q∨(p∧q) (p∨p)∧(p∨q)∧(q∨p) ∧(q∨q) 1∧(p∨q)∧(p∧q)∧1 (p∨q)∧(p∧q) 5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值 (1)(p→q)→(q∨p) (2)(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解： （1）主析取范式 (p→q)→(q p) (p q)(q p) (p q)(q p) (p q)(q p)(q p)(p q)(p q) (p q)(p q)(p q) ∑(0,2,3) 主合取范式： (p→q)→(q p) (p q)(q p)
离散数学作业7 离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，要求本学期第17周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分。 一、填空题 1．命题公式()P Q P →∨的真值是 1或T ． 2．设P ：他生病了，Q ：他出差了．R ：我同意他不参加学习. 则命题“如 果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为 （P ∨Q ）→R ． 3．含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧?R) ． 4．设P (x )：x 是人，Q (x )：x 去上课，则命题“有人去上课．” 可符号化为 ?x(P(x) ∧Q(x)) ． 5．设个体域D ＝{a , b },那么谓词公式)()(y yB x xA ?∨?消去量词后的等值式为 (A(a) ∨A(b)) ∨((B(a) ∧B(b)) ． 6．设个体域D ＝{1, 2, 3}，A (x )为“x 大于3”，则谓词公式(?x )A (x ) 的真值为 0(F) ． 7．谓词命题公式(?x )((A (x )∧B (x )) ∨C (y ))中的自由变元为 y ． 8．谓词命题公式(?x )(P (x ) →Q (x ) ∨R (x ，y ))中的约束变元为 x ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 设P ：今天是晴天。 姓 名： 学 号： 得 分： 教师签名：
P10 1对下面每个集合，判断2和{2}是否它的一个元素。 (1){x∈R | x是大于1的整数} (2){x∈R | x是某些整数的平方} (3){2, {2}} (4){{2},{{2}}} (5){{2}, {2,{2}}} (6){{{2}}} 解： {2}是(3)，(4)，(5)的元素。2是(1)，(3)的元素。 3 下列哪些命题成立？哪些不成立？为什么？ （1）φ∈{φ,{φ}} （2）φ?{φ,{φ}} （3）{φ}?{φ,{φ}} （4）{{φ}}?{φ,{φ}} 解： （1）成立 （2）成立 （3）成立 （4）成立 5 设A集合={a,b,{a,b},φ}。下列集合由哪些元素组成？ (1)A-{a,b}; (2){{a.b}}-A; (3){a,b}-A; (4)A--φ; (5)φ-A; (6)A-{φ}. 解： (1){{a,b},φ} (2)φ (3)φ (4) A (5)φ (6){a,b,{a,b}} 6 假定A是ECNU二年级的学生集合，B是ECNU必须学离散数学的学生的集合。请用A 和B表示ECNU不必学习离散数学的二年级的学生的集合。 解：A∩B 7 设A,B和C是任意集合，判断下列命题是否成立，并说明理由。
(1)若A?B,C?D，则A∪C?B∪D,A∩C?B∩D； (2)若ADB,CDD，则A∪CDB∪D,A∩CDB∩D； (3)若A∪B=A∪C，则B=C； (4)若A∩B=A∩C，则B=C； 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)不一定成立 11（5）设A、B和C是集合，请给出(A-B)?(A-C)=φ成立的充要条件。解：错误！未找到引用源。A?B∪C 13试求： (1)P(φ); (2)P(P(φ)); (3)P({φ,a,{a}}) 解： (1){φ} (2){φ，{φ}} (3){φ，{φ}，{a}，{{a}}} 15 设A是集合，下列命题是否必定成立? （1）A∈P(A) （2）A?P(A) （3）{A}∈P(A) （4）{A}?P(A) 解： (1)成立 (2)不一定成立 (3)不一定成立 (4)成立 18设A＝{a,b}，B={b,c},下列集合由哪些元素组成？ (1)A×{a}×B; (2)P(A)×B; (3)(B×B) ×B; 解： (1){(a,a,b),(a,a,c),(b,a,b),(b,a,c)} (2){(φ,c),(φ,b),({a},c),({a},b),({b},c),({b},b),({a,b},c),({a,b},b)} (3){((b,b),c),((b,b),b),((b,c),c),((b,c),b),((c,b),c),((c,b),b),((c,c),c),((c,c),b)} 19 设A是任意集合，A3=(A×A)×A=A×(A×A)是否成立？为什么？ 解：不成立。
离散数学第二阶段作业（第四第五章） 1.在一阶逻辑中将下列命题符号化: （1）每个人都有心脏。 令M(x):x是人，H(x):x有心脏。命题符号化为：?x(M(x)→H(x)) （2）有的狗会飞。 设D(x)：x是狗，F(x)：x会飞。命题符号化为：?x(D(x)∧F(x)) （3）没有不犯错误的人。 设M(x): x是人，F(x):x犯错误，命题符号化为 ①┐?x(M(x)∧┐F(x)) ②?x(M(x)→F(x)) （4）发光的不都是金子。 设L(x)：x是发光的东西，G(x)：x是金子。命题符号化为 ①┐?x(L(x)→G(x)) ②?x(L(x)∧﹁G(x)) （5）一切人都不一样高。 设F(x):x是人, H(x,y), x与y相同, L(x,y): x与y一样高， 命题符号化为 ?x(F(x)→?y(F(y)∧?H(x,y)→?L(x,y))) 或?x?y(F(x)∧F(y)∧?H(x,y)→?L(x,y)) （6）并不是所有的汽车都比火车快。 设F(x):x是汽车, G(y):y是火车, H(x,y):x比y快， 命题符号化为 ??x?y(F(x)∧G(y)→H(x,y)) 或?x?y(F(x)∧G(y)∧?H(x,y)) 7）没有一个自然数大于等于任何自然数。
设 N(x):x 是自然数，G(x,y):x ≥y 命题符号化为：??x(N(x)∧?y(N(y)→G(x,y))) （8）有唯一的偶素数。 设：Q(x):x 是偶数，P(x):x 是素数， E(x,y):x ＝y 命题符号化为： ?x(Q(x)∧P(x)∧??y(Q(y)∧P(y)∧?E(x,y))) 2.填空：求下列各式的前束范式。 )),()(()),((x xF y t G x F y x y t G y →????→??）（ (2))),()((),(2121211x x G x x H x x F x ??→→? )),()((),(2323211x x G x x H x x F x ??→→?? )),()((),(2332411x x G x H x x x F x ?→?→?? ))),()((),((2334121x x G x H x x F x x ?→→??? 3.在自然数推理系统F 中,构造下面推理的证明: 前提:))())()((()(y R y G y F y x xF →∨?→?,)(x xF ? 结论:?xR(x) ①)(x xF ?前提引入 ②F(c) ①EI ③))())()((()(y R y G y F y x xF →∨?→?前提引入 ④))())()(((y R y G y F y →∨? ①③假言推理 (1)?xF (x ) →?yG (x , y )
离散数学作业答案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
离散数学集合论部分形成性考核书面作 业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数 理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题 目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识 点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地 完成集合论部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答 过程，要求本学期第11周末前完成并上交任课教师（不收电子稿）。并在03任务界 面下方点击“保存”和“交卷”按钮，完成并上交任课教师。 一、填空题 1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)- A B P(B )={{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}，A? B={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2>} ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为{<2,2>,<2,3>,<3,2>,<3,3>} ． 4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} ∈ y x∈ y < > = {B , , x , 2 y A x 那么R－1＝{<6,3>,<8,4>} 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={
阶段作业一一、判断题(共5道小题,共50、0分) 1. 命题公式的真值分别为0,1,则的真值为0 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 2. 设P,Q都就是命题公式,则 A. 正确 B. 错误 知识点: 命题逻辑 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 3. 空集就是任何集合的真子集. A. 正确 B. 错误 知识点: 集合 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 4.设为集合上的等价关系, 则 A. 正确 B. 错误 知识点: 关系
学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 5．设为集合上的等价关系, 则也就是集合上的等价关系 C. 正确 D. 错误 知识点: 关系 学生答案: [A;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 二、单项选择题(共5道小题,共50、0分) 1. 下面哪个联结词不可交换 A. B. C. D. 知识点: 命题逻辑 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 2. 下列各式中不正确的就是 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示:
3. 设为集合,若,则一定有 A. B. C. D. 知识点: 集合 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 4. 设为集合上的等价关系,对任意,其等价类为 A. 空集 B. 非空集 C. 就是否为空集不能确定 D. 知识点: 关系 学生答案: [B;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示: 5. 设A,B就是集合,则下列说法中()就是正确的、 A. A到B的关系都就是A到B的映射 B. A到B的映射都就是可逆的 C. A到B的双射都就是可逆的 D. 时必不存在A到B的双射 知识点: 映射 学生答案: [C;] 得分: [10] 试题分值: 10、0 提示 阶段作业二 判断题(共5道小题,共50、0分)
离散数学数理逻辑部分形成性考核书面作业本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次形考书面作业是第三次作业，大家要认真及时地完成数理逻辑部分的综合练习作业。 要求：将此作业用A4纸打印出来，并在07任务界面下方点击“保存”和“交卷”按钮，以便教师评分．作业应手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成后上交任课教师（不收电子稿）． 一、填空题 1．命题公式() →∨的真值是 1 ． P Q P 2．设P：他生病了，Q：他出差了．R：我同意他不参加学习.则命题“如果他生病或出差了，我就同意他不参加学习”符号化的结果为P∨Q→R ． 3．含有三个命题变项P，Q，R的命题公式P∧Q的主析取范式是(P∧Q∧┐R)∨(P∧Q∧R) ． 4．设P(x)：x是人，Q(x)：x去上课，则命题“有人去上课．”可符号化为?x ( P ( x) ∧Q ( x))． 5．设个体域D＝{a, b},那么谓词公式) xA? ∨ x ?消去量词后的等值式为 yB ( ) (y (A(a)∨A(b))∨(B(a) ∧B(b))． 6．设个体域D＝{1, 2, 3}，A(x)为“x大于3”，则谓词公式(?x)A(x) 的真值为0 ． 7．谓词命题公式(?x)((A(x)∧B(x)) ∨C(y))中的自由变元为y ．8．谓词命题公式(?x)(P(x) →Q(x) ∨R(x，y))中的约束变元为x ． 三、公式翻译题 1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式． 解：
第一部分: 高等代数, 包括九个方面. 第一章：多项式 一元多项式，整除的概念，最大公因式，因式分解定理，重因式，多项式函数，复系数与实系数多项式的因式分解，有理系数多项式； 第二章：行列式 排列，级行列式，级行列式的性质，行列式的计算，行列式按一行（列）展开，克拉默法则，行列式的乘法规则； 第三章：线性方程组 消元法，维向量空间，线性相关性，矩阵的秩，线性方程组有解的判别定理，线性方程组解的结构，二元高次方程组； 第四章：矩阵 矩阵的概念，矩阵的运算，矩阵乘积的行列式与秩，矩阵的逆，矩阵的分块，初等矩阵，分块乘法的初等变换及应用，广义逆矩阵； 第五章：二次型 二次型的矩阵表示，标准形，惟一性，正定二次型； 第六章：线性空间 集合、映射，线性空间的定义与简单性质，维数、基与坐标，基变换与坐标变换，线性子空间，子空间的交与和，子空间的直和，线性空间的同构； 第七章：线性变换 线性变换的定义，线性变换的运算，线性变换的矩阵，特征值与特征向量，对角矩阵，线性变换的值域与核，不变子空间，若当(Jordan)标准形介绍，最小多项式； 第八章：矩阵 矩阵，矩阵在初等变换下的标准形，不变因子，矩阵相似的条件，初等因子，若当(Jordan)标准形的理论推导； 第九章：欧几里得空间 定义与基本性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形。 第二部分: 概率论，包括以下六个方面． 1、概率论的基本概念 1) 随机试验、随机事件及其运算 2) 概率的定义及概率的性质 3) 概率空间的概念4) 条件概率和三个重要公式 5) 事件的独立性 6)贝努利试验和二项概率公式 2、一维随机变量及其分布 1) 随机变量的概念和分布函数 2) 离散型随机变量及其分布 3) 连续型随机变量及其分布 4) 六个常用的分布 5) 随机变量函数的分布 3、多维随机变量及其分布 1) 多维(离散型和连续型)随机变量及其分布 2) 边缘分布、条件分布和随机变量的独立性 3) 二维随机变量(包括二维到二维)函数的分布 4、随机变量的数字特征
习题1.1 1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它的真值。 ⑴中国有四大发明。 ⑵计算机有空吗? ⑶不存在最大素数。 ⑷21+3＜5。 ⑸老王是山东人或河北人。 ⑹2与3都是偶数。 ⑺小李在宿舍里。 ⑻这朵玫瑰花多美丽呀! ⑼请勿随地吐痰! ⑽圆的面积等于半径的平方乘以p。 ⑾只有6是偶数，3才能是2的倍数。 ⑿雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。 ⒀如果天下大雨，他就乘班车上班。 解：⑴⑶⑷⑸⑹⑺⑽⑾⑿⒀是命题，其中⑴⑶⑽⑾是真命题，⑷⑹⑿是假命题，⑸⑺⒀的真值目前无法确定；⑵⑻⑼不是命题。 2. 将下列复合命题分成若干原子命题。 ⑴李辛与李末是兄弟。 ⑵因为天气冷，所以我穿了羽绒服。 ⑶天正在下雨或湿度很高。 ⑷刘英与李进上山。 ⑸王强与刘威都学过法语。 ⑹如果你不看电影，那么我也不看电影。 ⑺我既不看电视也不外出，我在睡觉。 ⑻除非天下大雨，否则他不乘班车上班。 解：⑴本命题为原子命题； ⑵p：天气冷；q：我穿羽绒服； ⑶p：天在下雨；q：湿度很高； ⑷p：刘英上山；q：李进上山； ⑸p：王强学过法语；q：刘威学过法语； ⑹p：你看电影；q：我看电影； ⑺p：我看电视；q：我外出；r：我睡觉； ⑻p：天下大雨；q：他乘班车上班。 3. 将下列命题符号化。 ⑴他一面吃饭，一面听音乐。 ⑵3是素数或2是素数。
⑶若地球上没有树木，则人类不能生存。 ⑷8是偶数的充分必要条件是8能被3整除。 ⑸停机的原因在于语法错误或程序错误。 ⑹四边形ABCD是平行四边形当且仅当它的对边平行。 ⑺如果a和b是偶数，则a+b是偶数。 解：⑴p：他吃饭；q：他听音乐；原命题符号化为：p∧q ⑵p：3是素数；q：2是素数；原命题符号化为：p∨q ⑶p：地球上有树木；q：人类能生存；原命题符号化为：p→q ⑷p：8是偶数；q：8能被3整除；原命题符号化为：p?q ⑸p：停机；q：语法错误；r：程序错误；原命题符号化为：q∨r→p ⑹p：四边形ABCD是平行四边形；q：四边形ABCD的对边平行；原命题符号化为：p?q。 ⑺p：a是偶数；q：b是偶数；r：a+b是偶数；原命题符号化为：p∧q→r 4. 将下列命题符号化，并指出各复合命题的真值。 ⑴如果3+3=6，则雪是白的。 ⑵如果3+3≠6，则雪是白的。 ⑶如果3+3=6，则雪不是白的。 ⑷如果3+3≠6，则雪不是白的。 ⑸3是无理数当且仅当加拿大位于亚洲。 ⑹2+3=5的充要条件是3是无理数。(假定是10进制) ⑺若两圆O1，O2的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然。 ⑻当王小红心情愉快时，她就唱歌，反之，当她唱歌时，一定心情愉快。 解：设p：3＋3＝6。q：雪是白的。 ⑴原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑵原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑶原命题符号化为：p→q；该命题是假命题。 ⑷原命题符号化为：p→q；该命题是真命题。 ⑸p：3是无理数；q：加拿大位于亚洲；原命题符号化为：p?q；该命题是假命题。 ⑹p：2+3＝5；q：3是无理数；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 ⑺p：两圆O1,O2的面积相等；q：两圆O1,O2的半径相等；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。 ⑻p：王小红心情愉快；q：王小红唱歌；原命题符号化为：p?q；该命题是真命题。
国开放大学离散数学本离 散数学作业答案 The pony was revised in January 2021
离散数学集合论部分形成性考核书面作业 本课程形成性考核书面作业共3次，内容主要分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，基本上是按照考试的题型（除单项选择题外）安排练习题目，目的是通过综合性书面作业，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握．本次形考书面作业是第一次作业，大家要认真及时地完成集合论部分的综合练习作业． 要求：学生提交作业有以下三种方式可供选择： 1. 可将此次作业用A4纸打印出来，手工书写答题，字迹工整，解答题要有解答过程，完成作业后交给辅导教师批阅． 2. 在线提交word文档 3. 自备答题纸张，将答题过程手工书写，并拍照上传． 一、填空题
1．设集合{1,2,3},{1,2} ==，则P(A)-P(B )= {{1,2}，{2,3}，{1,3}， A B {1,2,3}} ，A B= {< 1,1>，<1,2>，<2，1>，<2，2>，<3，1>，<3， 2> } ． 2．设集合A有10个元素，那么A的幂集合P(A)的元素个数为 1024 ． 3．设集合A={0, 1, 2, 3}，B={2, 3, 4, 5}，R是A到B的二元关系， 则R的有序对集合为 {< 2,2>，<2,3>，<>，<> } ．4．设集合A={1, 2, 3, 4 }，B={6, 8, 12}，A到B的二元关系 R＝} y x y x∈ ∈ < > = A , , 2 , y {B x 那么R－1＝ {< 6，3>，<8，4> } ． 5．设集合A=｛a, b, c, d｝，A上的二元关系R={