第一章建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例
1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模
1.1从现实对象到数学模型
我们常见的模型
玩具、照片、飞机、火箭模型… …~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机… …~ 物理模型地图、电路图、分子结构图… …~ 符号模型
模型是为了一定目的，对客观事物的一部分
进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物
模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题”
用x 表示船速，y 表示水速，列出方程：
75050)(750
30)(=?-=?+y x y x 答：船速每小时20千米/小时.
甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?
x =20y =5求解
航行问题建立数学模型的基本步骤?作出简化假设（船速、水速为常数）；
?用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；
?用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；
?求解得到数学解答（x=20, y=5）；
?回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型(Mathematical Model) 和
数学建模（Mathematical Modeling)
对于一个现实对象，为了一个特定目的，
根据其内在规律，作出必要的简化假设，
运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型
数学
建模
1.2数学建模的重要意义
?电子计算机的出现及飞速发展；
?数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。
数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，
越来越受到人们的重视。
?在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；?在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；?数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。
数学建模的具体应用
?分析与设计?预报与决策?控制与优化?规划与管理
如虎添翼
数学建模计算机技术
知识经济
1.3 数学建模示例
1.3.1椅子能在不平的地面上放稳吗
问题分析模
型
假
设通常~ 三只脚着地放稳~ 四只脚着地
?四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;
?地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;
?地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来?椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性x B A D
C O
D ′C ′B ′ A ′用θ(对角线与x 轴的夹角)表示椅子位置
?四只脚着地距离是θ的函数
四个距离
(四只脚)A,C 两脚与地面距离之和~ f (θ)
B,D 两脚与地面距离之和~ g (θ)两个距离θ椅脚与地面距离为零
正方形ABCD 绕O 点旋转
正方形
对称性
用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来
f(θ) , g(θ)是连续函数
对任意θ,f(θ), g(θ)
至少一个为0
数学问题已知：f(θ) , g(θ)是连续函数;
对任意θ，f(θ) ? g(θ)=0 ;
且g(0)=0，f(0) > 0.
证明：存在θ
，使f(θ
) = g(θ0) = 0.
模型构成
地面为连续曲面
椅子在任意位置
至少三只脚着地
模型求解
给出一种简单、粗糙的证明方法
将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。
由g(0)=0，f(0) > 0 ，知f(π/2)=0 , g(π/2)>0.
令h(θ)= f(θ)–g(θ), 则h(0)>0和h(π/2)<0.
由f, g的连续性知h为连续函数, 据连续函数的基本性
, 使h(θ0)=0, 即f(θ0) = g(θ0) .
质, 必存在θ
因为f(θ) ? g(θ)=0, 所以f(θ
) = g(θ0) = 0.
评注和思考建模的关键~
θ和f(θ), g(θ)的确定
假设条件的本质与非本质考察四脚呈长方形的椅子
1.3.2 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
???3名商人
???3名随从随从们密约, 在河的任一
岸, 一旦随从的人数比商
人多, 就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?
问题分析多步决策过程
决策~ 每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.
河小船(至多2人)
模型构成
x k ~第k 次渡河前此岸的商人数
y k ~第k 次渡河前此岸的随从数
x k , y k =0,1,2,3;k =1,2,??s k =(x k , y k )~过程的状态S={(x , y )|x =0, y =0,1,2,3; x =3, y =0,1,2,3; x =y =1,2}
S ~ 允许状态集合
u k ~第k 次渡船上的商人数
v k ~第k 次渡船上的随从数
d k =(u k , v k )~决策
D={(u , v )|u+v =1, 2} ~允许决策集合
u k , v k =0,1,2;k =1,2,??s k +1=s k d k +(-1)k ~状态转移律求d k ∈D(k =1,2, ?n), 使s k ∈S, 并按
转移律由s 1=(3,3)到达s n +1=(0,0).
多步决策
问题
模型求解x y 3
322
1
10?穷举法~ 编程上机?图解法状态s =(x,y ) ~ 16个格点~ 10个点允许决策~ 移动1或2格; k 奇,左下移; k 偶,右上移.s 1n +1d 1, ?，d 11给出安全渡河方案评注和思考
规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况
d 1d 11允许状态S={(x , y )|x =0, y =0,1,2,3;x =3, y =0,1,2,3; x=y =1,2}
1.3.3 如何预报人口的增长
世界人口增长概况
背景
年1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60
中国人口增长概况
年1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0
研究人口变化规律控制人口过快增长
指数增长模型——马尔萨斯提出(1798)
常用的计算公式
k
k r x x )1(0+=x (t ) ~时刻t 的人口
基本假设: 人口(相对)增长率r 是常数
t r t x t x t t x ?=-?+)()()(今年人口x 0, 年增长率r k 年后人口0)0(,x x rx dt dx ==rt
e x t x 0)(=t r e x t x )()(0=t
r x )
1(0+≈随着时间增加，人口按指数规律无限增长
指数增长模型的应用及局限性
?与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合
?适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
?可用于短期人口增长预测
?不符合19世纪后多数地区人口增长规律
?不能预测较长期的人口增长过程
19世纪后人口数据人口增长率r不是常数(逐渐下降)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大
假设)
0,()(>-=s r sx r x r r ~固有增长率(x 很小时)x m ~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）)1()(m
x x r x r -=r 是x 的减函数m x r s =0)(=m x r
rx dt
dx =)1()(m x x rx x x r dt dx -==dx /dt x x m m x m
x t x x x e m
m rt ()()=+--110t x 0
x (t )~S 形曲线, x 增加先快后慢
x x m /2
参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口
预报，必须先估计模型参数r 或r, x m
?利用统计数据用最小二乘法作拟合
例：美国人口数据（单位~百万）1860 1870 1880 …… 1960 1970 1980 199031.4 38.6 50.2 …… 179.3 204.0 226.5 251.4
专家估计
阻滞增长模型(Logistic 模型)
r =0.2557, x m =392.1
对于6.4节蛛网模型讨论下列问题： （1）因为一个时段上市的商品不能立即售完，其数量也会影响到下一时段的价格，所以第k+1时段的价格1+k y 由第k+1和第k 时段的数 量1+k x 和k x 决定。如果设1+k x 仍只取决于k y ，给出稳定平衡的条件，并 与6.4的结果进行比较。 （2）若除了1+k y 由1+k x 和k x 决定之外，1+k x 也由前两个时段的价格k y 和 1-k y 决定，试分析稳定平衡的条件是否还会放宽。 解：（1） 设1+k y 由1+k x 和k x 的平均值决定，即价格函数表示为： )2 (11k k k x x f y +=++ 则 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),(001>-=-+ββy y x x k k 消去y, 得到 012)1(22x x x x k k k +=++++αβαβαβ ，k=1,2,…. 该方程的特征方程为 022=++αβαβλλ 与6.4节中 )2 (11-++=k k k y y g x 时的特征方程一样， 所以0<αβ<2, 即为0p 点的稳定条件。
（2）设 )2 (11k k k x x f y +=++ )2 (11-++=k k k y y g x ， 则有 0),2 (0101>-+-=-++ααx x x y y k k k 0),2 (0101>-+=--+ββy y y x x k k k 消去y,得到 0123)1(424x x x x x k k k k +=++++++αβαβαβαβ 该方程的特征方程为 02423=+++αβαβλαβλλ 令λ=x ,αβ=a ， 即求解三次方程 0a 2ax ax 4x 23=+++ 的根 在matlab 中输入以下代码求解方程的根x ： syms x a solve(4*x^3+a*x^2+2*a*x+a==0,x) 解得 1x = (36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3)/12 - a/12 + (a*(a - 24))/(12*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3))； 2x = -(2*a*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(1/3) - 3^(1/2)*a*24*i - 3^(1/2)*(36*a^2 - 216*a - a^3 + 24*3^(1/2)*(-a^2*(a - 27))^(1/2))^(2/3)*i - 24*a + 3^(1/2)*a^2*i +
《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n
第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1Λ=i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日）
第一章建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例 1.4 数学建模的方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 怎样学习数学建模
1.1从现实对象到数学模型 我们常见的模型 玩具、照片、飞机、火箭模型… …~ 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机… …~ 物理模型地图、电路图、分子结构图… …~ 符号模型 模型是为了一定目的，对客观事物的一部分 进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征
你碰到过的数学模型——“航行问题” 用x 表示船速，y 表示水速，列出方程： 75050)(750 30)(=?-=?+y x y x 答：船速每小时20千米/小时. 甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少? x =20y =5求解
航行问题建立数学模型的基本步骤?作出简化假设（船速、水速为常数）； ?用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）； ?用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）； ?求解得到数学解答（x=20, y=5）； ?回答原问题（船速每小时20千米/小时）。
数学模型(Mathematical Model) 和 数学建模（Mathematical Modeling) 对于一个现实对象，为了一个特定目的， 根据其内在规律，作出必要的简化假设， 运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型 数学 建模
数学模型姜启源第四版答案 【篇一：姜启源数学模型课后答案(3版)】 t>第二章(1)（2008年9月16日） 1．学校共1000名学生，235人住在a宿舍，333人住在b宿舍，432人住在c宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数：（1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分 较大者; （2）. 1中的q值方法； （3）.d’hondt方法：将a、b、c各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,??相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中a、b、c行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍 分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将 3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑n=10的分配方案， 3 p1?235,p2?333,p3?432, ?pi?1000. i?1 方法一（按比例分配） q1? p1n 3 ?2.35,q2? p2n 3 ?3.33, q3? p3n 3 ?4.32 ? i?1 pi ? i?1 pi
i?1 pi 分配结果为： n1?3, n2?3, n3?4 方法二（q值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： n1?2,n2?3, n3?4 第10个席位：计算q值为 q1? 235 2 2?3 ?9204.17, q2? 333 2 3?4 ?9240.75, q3? 432 2 4?5 ?9331.2 q3最大，第10个席位应给c.分配结果为 n1?2,n2?3,n3?5 方法三（d’hondt方法） 此方法的分配结果为：n1?2,n2?3,n3?5 此方法的道理是：记pi和ni为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表a、b、c宿舍）. pini pini pini 是 每席位代表的人数，取ni?1,2,?,从而得到的近. 中选较大者，可使对所有的i,尽量接 再考虑n?15的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2．试用微积分方法，建立录像带记数器读数n与转过时间的数学模型. 解：设录像带记数器读数为n时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t到t??t时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得 vdt?(r?wkn)2?kdn,两边积分，得 ?vdt?2?k?(r?wkn)dn t
姜启源版《数学模型》第四章习题第7题 一、问题重述 某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照顾客的要求切割后出售。从钢管厂进货时得到的原料钢管的长度都是1850mm现有一客户需要15根290mm 28根315mm 21根350mn和30根455mn的钢管。为了简化生产过程，规定所使用的切割模式的种类不能超过4种，使用频率最高的一种切割模式按照一根原料钢管价值的1/10增加费用，使用频率次之的切割模式按照一根原料钢管价值的2/10 增加费用，依次类推，且每种切割模式下的切割次数不能太多（一根钢管最多生产5根产品）。此外，为了减少余料浪费，每种切割模式下的余料不能超过100mm 为了使总费用最小，应如何下料？ 二、基本假设 1、假设所研究的每根钢管的长度均为1850mm勺钢管。 2、假设每次切割都准确无误。 3、假设切割费用短时间内不会波动为固定值。 5、假设钢管余料价值为0。 6假设一切运作基本正常不会产生意外事件。 四、模型建立 根据题目要求，不妨假设叫左勺王％,于是得到目标函数: 4 min M X i 1 0.1i i 1
需求量的约束: 每一种切法不能超过限制1850,余料不超过100(即产品加起来不小于1750) 极限情况下，根数的范围: D j le n j j 1 1850 一根原料钢管最多生产5根产品： 4 r j 5,i 1,2,3,4 j 1 钢管根数和切割方法都为非负整数： r ij Z ,x i Z 五、模型求解 model : !数学模型132页题7; sets : !定义4种切割模式，每种模式用 x(i)根管材； qiegemoshi/m1..m4/:x; !定义四种长度，每种有需求 ； cha ngdu/cd1..cd4/:le n,dema nd; !定义切法矩阵，行为模式，列为需要的长度类型 ； lin ks(qiegemoshi,cha ngdu):r; en dsets !目标函数，每种切割模式按切割频率增加 10%的费用； min = @sum(qiegemoshi(i):x(i)*(1+i*0.1)); !假设4种切法，一种比一种切得少 ； @for (qiegemoshi(i)|i#lt#4:x(i)>=x(i+1)); !需求量的约束； @for (changdu(j)： 约束条件如下: x-i x 2 x 3 x 4 (4.1 ) D j ，j 1,2,3, 4 (4.2 ) 4 1750 r ij le n j j 1 1850,i 123,4 (4.3) D j 1850 len j (4.4)