2012年高考数学最有可能考的50道题
(数学理--课标版) （30道选择题+20道非选择题）
一．选择题（30道）
1．【浙江省名校名师新编“百校联盟”交流联考数学理】已知集合A={}(,)
0x y x y +=，
{}(,)x
B x y y e
==，则A B 的子集个数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
2. 【湖南省岳阳市2011届高三教学质量检测试卷】若集合M={}2
1m ，,集合N={}4,2，
{}4,2,1=N M ，则实数
m 的值的个数是（ ）
A.1
B.2
C.3
D.4
3.【广东省汕头市2011届高三上学期期末质检数学理】设全集U 是实数集R ，M={x|x 2
＞4}，N ＝{x|31≤ C A ．{x|－2≤x ＜1 B ．{x|－2≤x ≤2} C ．{x|1＜x ≤2 D ．{x|x ＜2} 4. 【2011北京门头沟一模文】已知集合A = {}2| <+-x x x ，则A B 等于( ) A. {}12|<<-x x B. {}21|< C. {}32|< D. {}32|<<-x x 5.【江西省师大附中等七校联考】下列说法中，正确的是（ ） A ．命题“若22 am bm <，则a b <”的逆命题是真命题 B ．命题“x R ?∈，02>-x x ”的否定是：“x R ?∈，02 ≤-x x ” C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 6. 【广东省揭阳市2010-2011学年下学期高中毕业班第二次高考模拟考数学】已知命题p ： x R ?∈，5cos 4 x = ；命题q ：2 ,10x R x x ?∈-+>.则下列结论正确的是（ ） A ．命题p q ∧是真命题 B ．命题p q ∧?是真命题 C ．命题p q ?∧是真命题 D ．命题p q ?∨?是假命题 7. 【2011门头沟一模理】,a b 为非零向量，“函数2 ()()f x ax b =+ 为偶函数”是“a b ⊥ ” 的（ ） （A ） 充分但不必要条件 （B ） 必要但不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件 8.【浙江杭州市2011届高三第一次质检数学理】某程序框图如同所示，则该程序框图运行后输出的n 的值为（ ） A ．2 B ． 3 C ．4 D ．10 9.【江西省赣州十一县市2010—2011学年第二学期高三年级期中联考】已知数列{}n a 中， n a a a n n +==+11,1，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件 是( ) A ．n ≤8 B ．n ≤9 C ．n ≤10 D ．n ≤11 10.【辽宁沈阳二中2011届上学期高三第四次阶段测试数学理】已知复数5 12i z i +=，则它的 共轭复数z 等于（ ） D A ．2i - B ．2i + C ．2i -+ D ．2i -- 11.【江西省抚州一中等八校下学期联考】已知i z i -=+?)1(，那么复数z z -对应的点位于复平面内的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 12.【2011丰台一模理】已知函数3,0, ()ln(1),>0. x x f x x x ?≤=?+? 若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取 值范围是( ) (A) (,1)(2,)-∞-?+∞ (B) (,2)(1,)-∞-?+∞ (C) (1,2)- (D) (2,1)- 13.【2011门头沟一模理】设函数1()ln (0)3 f x x x x = ->，则函数()f x （ ） (A) 在区间(0,1)(1,)+∞， 内均有零点 (B) 在区间(0,1)(1,)+∞， 内均无零点 (C) 在区间(0,1)内有零点，在区间(1,)+∞内无零点 (D) 在区间(0,1)内无零点，在区间(1,)+∞内有零点 14.【广东省汕头市2011届高三一模数学理】图3中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为2和的两矩形所构成．设函数()(0)S S a a =≥是图中阴影部分介于平行线0y =及 y a =之间的那一部分的面积，则函数()S a 的图象大致为 （ ） 15.【辽宁省东北育才学校2011届高三第六次模拟数学理】若)(x f 是定义在R 上的函数，对任意的实数x ，都有4)()4(+≤+x f x f 和)2011(,4)3(,2)()2(f f x f x f =+≥+且的值是（ ） D C B A 侧视图 正视图A 、2010 B 、2011 C 、2012 D 、2013 16.【浙江省名校名师新编“百校联盟”交流联考数学理】 已知M 是曲线2 1ln (1)2 y x x a x =+ +-上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均不小于 4 π 的锐角，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,2]-∞ B ．[2,)+∞ C ．(0,2] D ．(,2-∞+ 17.【安徽省巢湖六安淮南三校(一中)2011届高三联考】定义在R 上的函数)(x f 满足 ,0)()2(<'+x f x 又)3(log 2 1f a =， ),3(ln ),)3 1((3 .0f c f b == 则( ) A. c b a << B. a c b << C. b a c << D.a b c << 18．【山西省山大附中2011届高三高考模拟题试题数学理】已知{}n a 是首项为1的等比数列，且1234,2,a a a 成等差数列，则数列1{ }n a 的前5项的和为（ ） A ．31 B ．32 C ．3116 D ． 3132 19.【宁夏银川二中2011届一模数学理】 等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若2132112364(...),27,n n S a a a a a a a -=+++==则（ ） (A)27 (B) 81 (C) 243 (D) 729 20.【广东省揭阳市2011年一模数学理】 一个正方体截去两个角 后所得几何体的正（主）视图、侧（左）视图如右图所示，则 其俯视图为（ ） 21.【黑龙江哈九中2011届高三期末理】已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为（ ） A ．2 B ． 12 C ． 3 D ． 6 22. 【辽宁省东北育才学校2011届高三第六次模拟数学】双曲线 222 2 1x y a b - =的左焦点为1F ， 顶点为1A 、2A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段1PF 、12A A 为直径的两圆的位置关系是( ) A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 23.【2011北京市海淀一模理】已知抛物线M ：24y x =，圆N ：222)1(r y x =+-（其中 r 为常数，0>r ）.过点（1，0）的直线交圆N 于C 、D 两点，交抛物线M 于A 、B 两点， 且满足BD AC =的直线只有三条的必要条件是( ) A ．(0,1]r ∈ B ．(1,2]r ∈ C ．3 [,4)2 r ∈ D ．3 (,)2 r ∈+∞ 24．【2011年广州市一模试题数学理】将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校, 要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等, 则不同的分配方法种数为（ ） A ．96 B ．114 C ．128 D ．136 25.【2011石景山一模理】已知椭圆 2 2 14 x y +=的焦点为1F ，2F ，在长轴12A A 上任取一点 M ，过M 作垂直于12A A 的直线交椭圆于点P ，则使得120PF PF ?< 的点M 的概率为 （ ） A ．3 B 3 ．3 D ． 12 26.【2011北京市东城一模理】已知(,)2απ ∈π,1tan()47 απ+ = ,那么ααcos sin +的值为（ ） （A ）5 1- （B ） 5 7 （C ）5 7- （D ） 4 3 27.【2011年河南省焦作市高三第一次质检数学文】已知函数f （x ）＝Acos （ωx ＋?）（x ∈R ）的图像的一部分如下图所示，其中A>0， ω＞0，｜?｜< 2 π ，为了得到函数f （x ）的图像，只要将函数g （x ）＝2 2 cos sin 2 2 x x －（x ∈R ）的图像上所有的点（ ） A ．向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的1 2 倍，纵坐标不变 B ．向右平移6 π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移3 π 个单位长度，再把得所各点的横坐标缩短到原来的 12 倍，纵坐标不变 D ．向左平移3 π 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 28.【唐山一中2011届高三第一次调研考试数学理】已知a 、b 是非零向量且满足(3)a b a -⊥ ，(4)a b b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．56 π B ． 23 π C ． 3 π D ． 6 π 29.【黑龙江哈尔滨市第六中学2011届高三第一次模拟考试数学理】ABC ?的外接圆的圆心为O ，半径为2，0=++AC AB OA 且||||AB OA =，则向量CA 在CB 方向上的投影为 （ ） （A ）3 （B ）3 （C ）3- （D ）3- 30.【广东湛江2011届高三一模文数】已知0,0x y >>，若2 282y x m m x y + >+恒成立，则 实数m 的取值范围是（ ） A ．4 m ≥或2m -≤ B ．2m ≥或4 m -≤ C ．24m -<< D ．42m -<< 二．填空题（8道） 31.【江西省师大附中等七校联考】若一个底面是正三角形 40 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率 的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该 球的表面积为_______. 32.【安徽省宿州市2010-2011学年高三第三次教学质量检测】已知抛物线x y 82=的准线与 双曲线 )0,0(12 22 2>>=- b a b y a x 相交于A,B 两点，双曲线的一条渐近线方程是x y 22=， 点F 是抛物线的焦点，，且△FAB 是直角三角形，则双曲线的标准方程是________________. 33.【广东省广州六中2011届高三理科数学预测卷】双曲线 2 2 116 9 x y - =上一点P 到右焦点的 距离是实轴两端点到右焦点距离的等差中项，则P 点到左焦点的距离为 ． 34.【2011年江西省六校3月联考数学试卷(理科)】已知n x x ??? ? ? +12的展开式的各项系数和 为32，则展开式中x 的系数为______. 35.【江西省抚州一中等八校下学期联考】已知△ABC 的面积是30，其内角A 、B 、C 所对边的长分别为,,a b c ，且满足12cos 13 A = ，1c b -=，则a = ． 36.【2011年广州市一模试题数学理】某所学校计划招聘男教师x 名,女教师y 名, x 和y 须满足约束条件25,2,6.x y x y x -≥?? -≤?? 则该校招聘的教师最多是 名. 37.【2011东城一模理】从某地高中男生中随机 抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg ）数 据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可 知体重的平均值为 kg ；若要从身高在 [ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男 生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动， 再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不 在同一组内的概率为 ． 38.【辽宁省东北育才学校2011届高三第六次模拟数学理】下表给出一个“直角三角形数阵” 41 41,21 163 , 83,43 …… 满足每一列成等差数列,从第三行起,每一行的数成等比数列,且每一行的公比相等,记第i 行第j 列的数为83),,,(a N j i j i a ij 则+ ∈≥等于 . 三．解答题（12道） 39.【青岛市2011届高三3月质检】数列}{n a 的前n 项和记为n S ,t a =1,点1(,)n n S a +在直线 21y x =+上,N n * ∈． (Ⅰ)当实数为何值时,数列}{n a 是等比数列？ (Ⅱ)在(Ⅰ)的结论下,设31log n n b a +=,n T 是数列1 1{}n n b b +?的前n 项和,求2011T 的值． 40．【2011届广东惠州一模】已知()log m f x x =(m 为常数，0m >且1m ≠)，设 12(),(),,()()n f a f a f a n *∈N 是首项为4，公差为2的等差数列. (1)求证：数列{n a }是等比数列； (2)若()n n n b a f a =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，当m = 时，求n S ； (3)若lg n n n c a a =，问是否存在实数m ，使得{}n c 中每一项恒小于它后面的项？ 若存在，求出实数m 的取值范围. 41.【黑龙江省哈九中2011届高三第二次模拟考试数学理】在ABC ?中，c b a ,,分别是角 C B A ,,的对边，向量)2,(c a b m -=，)cos ,(cos C B n =，且n m // . （1） 求角B 的大小； （2） 设)0(sin )2 cos()(>+- =ωωωx B x x f ，且)(x f 的最小正周期为π， 求)(x f 在区间]2 , 0[π 上的最大值和最小值. 42.【广东省揭阳市2011年一模数学理】如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时６千米的速度步行了１分钟以后，在点D 处 望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角AEB ∠=α,α的 最大值为60 ． （1）求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； （2）求塔的高AB. 43．【深圳市2011届高三第一次调研数学理】 第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行 ，为了搞好接待 工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者。将这30名志愿者的身高编 成如右所示的茎叶图（单位：cm ）： 若身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”， 身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”， 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”。 （1）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中 提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是 “高个子”的概率是多少？ （2）若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。 44.【安徽省皖南八校2010-2011学年高三第三次联考】 某地区甲校高二年级有1100人，乙校高二年级有900人，为了统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩，采用分层抽样的方法在两校共抽取了200名学生的数学成绩，如下表：（已知本次测试合格线是50分，两校合格率均为100%） 甲校高二年级数学成绩： 分组 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [90，100] 频数 10 25 35 30 x 乙校高二年级数学成绩： 分组 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [90，100] 频数 15 30 25 y 5 （I ）计算x ，y 的值，并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分（精确到1分） （II ）若数学成绩不低于80分为优秀，低于80分为非优秀，根据以上统计数据写下面2×2 列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“两个学校的数学成绩有差 异？” 甲校 乙校 总计 P A D B C 优秀 非优秀 总计 附： 2 0()P K k ≥ 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．879 2 2 () ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -= ++++ 45.【北京市石景山区2011届期末数学理】已知直四棱柱A B C D A B C D ''''-，四边形ABCD 为正方形，'AA 22==AB ，E 为棱C C '的中点． （Ⅰ）求证：A E '⊥平面BD E ； （Ⅱ）设F 为AD 中点，G 为棱'BB 上一点，且14 B G B B '= ，求证：FG ∥平面BDE ； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下求二面角G D E B --的余弦值． 46.【福建省晋江市季延中学2010-2011学年度高三第一次模拟数学理】在四棱锥P-ABCD 中， 底面ABCD 是一直角梯形， 90=∠BAD ，a AD AB BC AD ==,//，⊥=PD a BC ,2底面ABCD ． （Ⅰ）在PD 上是否存在一点F ，使得PB//平面ACF ， 若存在，求出FD PF 的值；若不存在，试说明理由； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若PA 与CD 所成的角为600 ， 求二面角A-CF-D 的余弦值． 47.【山东省济宁一中2011届高三一轮验收】如图，已知圆 22 :20G x y x +-- =经过椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的右焦点F 及上顶点B ，过椭圆外一 点(),0m ()m a >且倾斜角为5 6 π的直线交椭圆于,C D 两点． （I ）求椭圆的方程； （Ⅱ）若0,FC FD ?= 求m 的值． 48.【河北省衡水中学2011届高三下学期第一次调研考试】设椭圆C 1：2 2 221(0) x y a b a b +=>>的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛 物线C 2：21y x =-与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点． （Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45 - ），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线 C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ?面积的最大值． 49.【河北省衡水中学2011届高三下学期第一次调研考试】 设函数2 1()ln .2 f x x ax bx =-- （1）当12 a b == 时，求)(x f 的最大值； （2）令2 1()()2 a F x f x ax bx x =+++ ，（03x <≤），其图象上任意一点00(,)P x y 处切线的 斜率k ≤ 2 1恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当0a =，1b =-，方程2 2()m f x x =有唯一实数解，求正数m 的值． 50.【福建省福州市2011届高中毕业班质检数学理】设函数f (x )=e x +sinx,g (x )=ax,F (x )=f (x )－g (x ). (Ⅰ)若x =0是F (x )的极值点,求a 的值； (Ⅱ)当 a =1时,设P (x 1,f (x 1)), Q (x 2, g (x 2))(x 1>0,x 2>0), 且PQ //x 轴,求P 、Q 两点间的最短距离； (Ⅲ):若x ≥0时,函数y =F (x )的图象恒在y =F (－x )的图象上方,求实数a 的取值范围． 泄露天机——2012年高考押题精粹 (数学理课标版) （30道选择题+20道非选择题） 【参考答案】 一．选择题（30道） 1．【参考答案】B 2.【参考答案】D 3.【参考答案】C 4.【参考答案】B 【点评】：集合问题是高考必考内容之一，题目相对简单.集合的表示法有列举法、描述法、图示法三种，高考中与集合的运算相结合，不外乎上述几种题型。但以描述法为主，考查不等式的有关知识，也有个别省份考查其他知识，如题1。 5.【参考答案】B 6.【参考答案】C 7.【参考答案】C 【点评】：上面3题是简易逻辑的内容，简易逻辑内容有：命题的或、且、非；四种命题；充分、必要条件；全称命题和特称命题。作为高考内容的重要组成部分，也是各省高考常见题型，特别是对充分、必要条件与全称命题和特称命题的考查。 8.【参考答案】C 9.【参考答案】D 【点评】：8,9题考查的内容是程序框图。程序框图题型一般有两种，一种是根据完整的程序框图计算，如题8；一种是根据题意补全程序框图，如题9.程序框图一般与函数知识和数列知识相结合，特别经过多年的高考，越来越新颖、成熟。 10.【参考答案】B 11.【参考答案】A 【点评】：10、11题考查的是复数有关知识。复数主要内容有：复数的四则运算、复数的模、共轭复数、复平面等，上述两题都囊括了，且比较新颖。 12.【参考答案】D 13.【参考答案】D 14.【参考答案】C 15.【参考答案】C 16.【参考答案】A 17.【参考答案】D 【点评】：12、13、14、15、16、17题属于函数与导数模块。该模块的内容主要包括分段函数、函数的奇偶性、函数的图象、函数的零点、指对函数值比较大小、导数中的切线问题、导数的单调性等，上述6题考查的内容基本涵盖该模块中的知识点，且比较新颖。 18．【参考答案】C 19.【参考答案】C 【点评】：18、19题考查的数列知识。数列版块在新课标的背景下要求降低，只强调等差、 等比数列通项、前n 项和，所以这两题比较，把高考要求的东西都包括进去了，而且题干比较新鲜。 20.【参考答案】C 21.【参考答案】D 【点评】：20、21题是空间几何体的内容。三视图和空间角是高考的重点内容，这其中三视图考查得越来越新，如20题就是这样；空间角包括异面直线所成的角、线面角高考理科常考题型，如21题。 22.【参考答案】B 23.【参考答案】D 【点评】：22、23为解几内容。新课标背景下双曲线是客观题的必考内容，抛物线、直线和圆也是常考内容，而椭圆一般放在解答题中考查，相对来说在客观题出现的比较少。 24．【参考答案】B 25.【参考答案】B 【点评】：24、25题属于排列组合、概率统计模块。该模块在高考中最常见题型是排列组合题，但作为新课标下的几何概型题也是常考题型。 26.【参考答案】B 27.【参考答案】C 【点评】：26、27为三角类题目。三角在高考中一般有两种题型，一是三角求值题，二是三 角函数的性质和图象题，上面两题几乎把要考的知识点都包含进去了，且题设比较好！ 28.【参考答案】D 29.【参考答案】A 【点评】：28、29是向量这部分内容的代表。向量的数量积是高考命题的一个重要方向，而 28题可以作为一个代表；而向量的几何运算是高考命题的另一个重要方向，像29题，不仅 考查了该部分知识点，而且背景新颖。 30.【参考答案】D 【点评】：不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，30题两者都兼顾到了。 二．填空题（8道） 31.【参考答案】193 π 【点评】：新课标不仅爱考查三视图，也喜好考查球，本题一题两考。 32.【参考答案】116 2 2 2 =- y x 33.【参考答案】13 【点评】：新课标中，椭圆都作为压轴题放在解答题中，因此填空题考查的一般都是双曲线和抛物线。32、33题比较新颖同时难度不是很高，符合高考命题的要求。 34.【参考答案】10 【点评】：新课标下，二项式问题好像不怎么考查，既然多年不怎么考，也许今年会热一下。二项式的通项公式和求展开式各项系数和，是必须掌握的知识。 35.【参考答案】5 【点评】：解三角形是高考的重要组成部分，不在客观题考查，就在解答题中出现。解三角 形所涉及的知识点要掌握，如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等。 36.【参考答案】10 【点评】：线性规划也是高考重要内容，此题考查该知识点换了一个角度，比较好。 37．【参考答案】 32 【点评】：统计中的频率分布直方图是高考常考题型，本题之所以好，在于设问比较好，不是常规的，当然考查的知识点没有变。 38.【参考答案】 21 【点评】：推理与证明作为新课标的新增知识点，高考出现是必要的，此题考查了归纳推理的应用。当然类比推理的定义也要掌握。 三．解答题（12道） 39. 【参考答案】解： (Ⅰ)由题意得121n n a S +=+，121n n a S -=+(2)n ≥ 两式相减得)2(3,211≥==-++n a a a a a n n n n n 即， 所以当2≥n 时，}{n a 是等比数列， 要使1≥n 时，}{n a 是等比数列，则只需 3121 2=+= t t a a ，从而1=t ． (Ⅱ)由(Ⅰ)得知1 3n n a -=，31log n n b a n +==， 11111(1)1 n n b b n n n n +== - ?++ 20111220112012 1 1 11111(1)()()2 2 3 2011 2012 T b b b b = +???+ =-+-+???+-20112012 = 40．【参考答案】解：(1)由题意()42(1)22,n f a n n =+-=+即log 22,m n a n =+∴22 n n a m += ∴ 2(1)22 122 n n n n a m m a m ++++==，∵0m >且1m ≠，∴2 m 为非零常数， ∴数列{a n }是以4m 为首项，2 m 为公比的等比数列 (2)由题意222222 ()log (22)n n n n n n m b a f a m m n m +++===+?， 当1 2 (22)2 (1)2 n n n m b n n ++= =+?=+?， ∴3452 223242(1)2n n S n +=?+?+?+++? ① ① 式乘以2，得4562322232422(1)2n n n S n n ++=?+?+?++?++? ② ②－①并整理，得345623222222(1)2n n n S n ++=-?-----++? 3345232[2222](1)2n n n ++=--++++++? 3 3 3 2[12]2(1)2 12 n n n +-=-- ++?-333 22(12)(1)2 n n n +=-+-++? 3 2 n n +=? (3)由题意 22lg (22)lg n n n n c a a n m m +==+?，要使1n n c c -<对一切2n ≥成立， 即2lg (1)lg n m n m m <+??对一切 2n ≥成立， ①当1m >时，有lg 0m >，则2(1)2n n m n <+≥对成立； ②当01m <<时，有lg 0m <，则2(1)n n m >+， ∴22 1m n m > -对一切2n ≥成立，只需22 21m m > -， 解得3 3 m -<< ，考虑到01m <<，∴03 m << . 综上，当03 m << 或1m >时，数列{}n c 中每一项恒小于它后面的项 【点评】：新课标下对数列的考查要求降低，只对等差、等比数列通项和求和要求掌握。数列求和的方法具有很强的模型(错位相减型、裂项相消型、倒序相加型)，建议熟练掌握，将恒成立问题转化为最值是常用的方法，需要注意. 41.【参考答案】解：（1）由n m //，得,cos )2(cos B c a C b -= B a B c C b cos 2cos cos =+∴由正弦定理， 得B A B C C B cos sin 2cos sin cos sin =+ 3 .21cos ,cos sin 2)sin(π = ∴= ∴=+B B B A C B （2）由题知)6 sin(3sin 2 3cos 2 3sin )6 cos()(π ωωωωπ ω+ =+ = +- =x x x x x x f ， 由已知得 πω π =2，2=∴ω，)6 2sin(3)(π + =x x f 当]2,0[∈x 时，]1,2 1[)6 2sin(],6 7,6[ 6 2- ∈+ ∈+ π π ππ x x 所以，当6 π = x 时，)(x f 的最大值为3；当2 π = x 时，)(x f 的最大值为2 3- . 42.【参考答案】解：（1）依题意知在△DBC 中30BCD ∠= ,18045135DBC ∠=-= CD=6000× 160 ＝100(ｍ),1801353015D ∠=--= ， 由正弦定理得sin sin C D B C D B C D = ∠∠， ∴sin 100sin 15sin sin 135 CD D BC DBC ?∠?= = ∠ 1001)2 ? = =（ｍ） 在Rt△ABE 中，tan A B B E α= ∵AB 为定长 ∴当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时B E C D ⊥ 当B E C D ⊥时，在Rt△BE C 中 cos E C B C B C E =? ∠1)25(32 =? =-(ｍ), 设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了分钟， 则25(360606000 6000 EC t -= ?= ?34-= （分钟） （2）由（１）知当α取得最大值60°时， B E C D ⊥， 在Rt△BE C 中,sin BE BC BC D =?∠ ∴tan 60sin tan 60AB BE BC BCD =?=?∠? ＝11)25(32 ? =-（m ） 即所求塔高为25(3-m. 【点评】：高考三角类解答题无非就是两种，（1）三角函数题——考查三角函数的性质或图像；（2）是解三角形，特别的有点省份爱解三角形的应用题。 43．【参考答案】解：（1）根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 6 130 5=， 所以选中的“高个子”有26 112=? 人，“非高个子”有36 118=? 人 用事件A 表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A 表示“没有一名“高个子”被选中”， 则()P A =- 12 5 23C C 10 710 31= - =． 因此，至少有一人是“高个子”的概率是10 7． （2）依题意，ξ的取值为0,1,2,3． 5514 C C )0(3123 8 ===ξP ，55 28C C C )1(3 12 2 8 14= ==ξP ， 55 12C C C )2(3121 82 4= = =ξP ， 55 1C C )3(312 3 4= = =ξP ． 因此，ξ的分布列如下： 155 1355 12255 28155 140=? +? +? +? =ξ∴E ． 【点评】：本题主要考察茎叶图、分层抽样、随机事件的概率、对立事件的概率、随机变量的分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数 据处理能力和应用意识． 44.【参考答案】解：（Ⅰ）依题意甲校应抽取110人，乙校应抽取90人， 故10x =，15y = 估计甲校平均分为11010 ×95+30×85+35×75+25×65+1055 ?75≈ 乙校平均分为90 5 ×95+1585+25×75+30×65+1555 ??71≈ （Ⅱ） k= 2 200(40702070) 4.7141109060140 ?-?≈??? 又因为4.714 3.841>故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为 “两个学校的数学成绩有差异” ． 【点评】：本题把概率、统计、统计案例等知识点结合在一起，综合性强，且把独立性检验的概念贯穿其中，是个亮点。 45.【参考答案】解：（Ⅰ）∵四棱柱''''D C B A ABCD -为直四棱柱， ∴ AC BD ⊥，A A BD '⊥，A A A AC =' ， ∴ A A CE '⊥面BD . ∵ A A CE '?'面E A ， ∴ E A BD '⊥. ∵ 5122 2 = += 'B A ，2112 2= +=BE ，31112 22= ++='E A ， ∴ 222E A BE B A '+='. ∴ BE E A ⊥'. 又∵ B BE BD = ， ∴ B DE 面⊥'E A . （Ⅱ）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴， D D '为z 轴，建立空间直角坐标系. ∴ )2,0,1(A '，)1,1,0(E ，)0,0,2 1(F ，)2 1 ,1,1(G . ∵ 由（Ⅰ）知：)11,1(--='E A 为面BDE 的法向 量，)21 ,1,2 1 (=FG ， ∵ 02 1)1(112 11=? -+?+?-='?E A FG . ∴ E A FG '⊥. 又∵F G ?面BDE ，∴ FG ∥面BDE . （Ⅲ） 设平面DEG 的法向量为),,(z y x n =，则 )1,1,0(=DE ，)21 ,1,1(=DG . ∵ 0110=?+?+?=?z y x DE n ,即0=+z y . 02 111=?+ ?+?=?z y x DG n ,即02=+ +z y x . 令1=x ，解得：2-=y ，2=z ， ∴ )2,2,1(-=n . ∴ 9 353 32 )1()2(11)1(,cos - =??-+-?+?-= '>=