10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧
特值法:
从题干(或选项)出发,通过选取特殊情况代入,将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置,进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略,要注意在怎样的情况下才可使用,特殊情况可能是:特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等
例1 (2017·山东卷)若a >b >0,且ab =1,则下列不等式成立的是( ) A.a +1b <b
2a <log 2(a +b )
B.b 2a <log 2(a +b )<a +1
b
C.a +1b <log 2(a +b )<b 2
a
D.log 2(a +b )<a +1b <b 2
a
例2.设4
7
10
310()22222()n f n n N +=++++
+∈,则()f n =( )
A 、
2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42
(1)7
n n +- 【解析】思路一(特值法):令0n =,则34
4710421(2)2
(0)2222(81)12
7
f ??-??
=+++=
=--,对照选项,只有D 成立。
思路二:f (n )是以2为首项,8为公比的等比数列的前4n +项的和,所以
44
2(18)2()(1)187
n n f n n ++-==--,选D 。这属于直接法。
例3.若函数(1)y f x =+是偶函数,则(2)y f x =的对称轴是( )
A 、0x =
B 、1x =
C 、1
2
x =
D 、2x = 【解析】:因为若函数(1)y f x =+是偶函数,作一个特殊函数2
(1)y x =-,则(
2)y f x =变为2
(21)y x =-,即知(2)y f x =的对称轴是1
2
x =
,选C 例4.△ABC 的外接圆的圆心为O ,两条边上的高的交点为H ,=m(++)OH OA OB OC ,则实数m= 【答案】1
【解析】取特殊的直角三角形△ABC ,点O 为斜边的中点,点H 与三角形直角顶点C 重合,
这时候有=++OH OA OB OC ,所以m=1 排除法:
当选择题从正面突破比较复杂时,可以根据一些性质从反面排除一些错误的选项,常用于解不等式,集合,选项为范围的题目。
例1. 不等式2
21
x x +
+的解集是( )
A 、(1,0)(1,)-+∞
B 、(,1)(0,1)-∞-
C 、(1,0)(0,1)-
D 、(,1)(1,)-∞-+∞
【答案】A
【解析】如果直接解,差不多相当于一道大题!取2x =,代入原不等式,成立,排除B 、C ;取2x =-,排除D ,选A
例2. 下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为( ) (A )cos2y x x R =∈, (B )x y 2log =,x R ∈且x ≠0
(C )2
x x
e e y x R --=
∈, (D )3+1y x x R =∈, 【答案】B
【解析】利用函数奇偶性的定义可排除C ,D ,再由“在区间(1,2)内是增函数”可排除A ,从而可得答案B
例3.对于抛物线2
4y x =上任意一点Q ,点P (a ,0)都满足PQ a ≥,则a 的取值范围是( )
A 、(),0-∞
B 、(,2]-∞
C 、[0,2]
D 、(0,2) 【答案】B
【解析】逻辑排除法。画出草图,知a <0符合条件,则排除C 、D ;又取1a =,则P 是焦点,记点Q 到准线的距离为d ,则由抛物线定义知道,此时a <d <|PQ|,即表明1a =符合条件,排除A ,选B
带入检验法:
当题目是求值以及计算范围相关题目时,如果直接计算比较复杂,可以将四个选项一一代入进行检验,从而得到正确的答案。
例1(2015江西)函数5sin(2)2
y x π
=+图象的一条对称轴的方程为() A. 2x π=- B. 4x π=- C. 8x π= D. 54
x π
=
【解析】把选项逐次带入,当2
x π
=-时,y=-1,因此2
x π
=-
是对称轴,又因为正确选项
只有一个,故选A.
例2. 双曲线方程为
22
125x y k k
+=--,则k 的取值范围是( ) A 、5k
B 、25k
C 、22k -
D 、22k -或5k
【解析】观察选项,C 、D 可以取1,带入曲线得满足题意,又因为D 选项可以取6而C 不可
以,将6带入得满足题意,因此选D
【解析】观察选项,C 、D 可以取特别大,取x=8满足题意,因此,A 、B 错误。再取x=0满足题意,因此选D
数形结合法:
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现,从而大大降低思
维难度,是解决数学问题的有力策略,这种方法使用得非常之多。常用于解决解析几何,零点问题以及与函数相关的题目。
例 1.设函数()f x 定义在实数集上,它的图象关于直线1x =对称,且当1x ≥时,
()31x
f x =-,则有( )。
A 、
132()()()323f f f B 、2
3
1()()()323f f f C 、21
3()()()332
f f f D .321()()()233
f f f
【解析】、当1x ≥时,()31x
f x =-,()f x 的图象关于直线1x =对称,则图象如图所示。
这个图象是个示意图,事实上,就算画出()|1|f x x =-的图象代替它也可以。由图知,符
合要求的选项是B ,
例2.曲线[]12,2)y x =+∈-与直线(2)4y k x =-+有两个公共点时,k 的取值范围是( )
A 、5(0,
)12 B 、11(,)43 C 、5
(,)12
+∞ D 、53(,)124 【解析】:易知[]2
14(2,2)y x x =+-∈-的图象为2
2
(1)4(22,13)x y x y +-=-≤≤≤≤,
表示以(1,0)为圆心,2为半径的上半圆,如图。直线(2)4y k x =-+过定点(2,4),
那么斜率的范围就清楚了,选D
例3. 方程cosx=lgx 的实根的个数是( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
【解析】:在同一坐标系中分别画出函数cosx 与lgx 的图象,如图,由两个函数图象的交点的个数为3,知应选C
趋势估计法:
趋势判断法,包括极限判断法,估值法,大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲,趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果,要求化静为动,在运动中寻找规律,并且要熟记一些常见的结论。
例1. 用长度分别为2、3、4、5、6(单位:cm )的5根细木棍围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为多少?
A 、 cm 2
B 、2
C 、2
D 、20 cm 2
【解析】此三角形的周长是定值20,当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线,其面积趋向于零,可知,只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面
积最大,故三边长应该为7、7、6,因此易知最大面积为2
,选B 。
例2. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ,若c-a 等于AC 边上的高,那么
sin
cos 22
C A C A
-++的值是( ) A 、1 B 、1
2
C 、13
D 、-1
【解析】进行极限分析,0A →时,点C →A ,此时高0,h c a →→,那么
180,0C A →→,所以sin
cos 22
C A C A -++sin90cos01→+=,选A 例3. 双曲线2
2
1x y -=的左焦点为F ,点P 为左支下半支异于顶点的任意一点,则直 线PF 的斜率的变化范围是( ) A 、 (,0)-∞ B 、(,1)(1,)-∞-+∞
C 、(,0)
(1,)-∞+∞ D 、(1,)+∞
【解析】进行极限分析,当P →A 时,PF 的斜率0k →;当PF x ⊥时,斜率不存在,即
k →+∞或k →-∞;当P 在无穷远处时,PF 的斜率1k →。选C
直接法:
并不是所有的选择题都要用间接法求解,一般来讲,高考卷的前5、6道选择题本身就属于容易题,用直接法求解往往更容易;另外,有些选择题也许没有间接解答的方法,你别无选择;或者虽然存在间接解法,但你一下子找不到。
例1:设是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点,P 为直线上一点,
?21F PF 是底角为
的等腰三角形,则E 的离心率为【 】
()
A 12 ()
B 23 ()
C 3
4
()
D 4
5
【解析】∵是椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦
点,∴212F F c =。∵?21F PF 是底角为的等腰三角形,∴
0260PF D ∠=。∵P 为直线上一点,∴2232
F D OD OF a c =-=-。∴2203
=2()cos 602F D PF a c =-。又∵21F F =2PF ,即
322()2c a c =-。∴3
4
c e a ==。故选C
例2. (2013·四川)函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,-π2<φ<π
2
) 的部分图象如图所示,则ω,φ
的值分别是( )
A .2,-π3
B .2,-π6
C .4,-π6
D .4,π
3
【解析】由图可知,34T =5π12+π3=3π4,T =π,ω=2πT =2.∵点? ????5π12,2在图象上,
∴2·5π12+φ=π2+2k π,φ=-π3+2k π,k ∈Z .又-π2<φ<π2,∴φ=-π
3.故选A
例3. 抛物线2
y x =-上的点到直线4380x y +-=的距离的最小值是( )
A 、
43 B 、7
5
C 、85
D 、3
12F F 32a x =3012F F 3032
a
x =
【解析】设直线430x y m ++=与2y x =-相切,则联立方程知2
340x x m --=,令0=,
有4
3
m =
,∴两平行线之间的距离4
3
d ==
,选A 定义法:
定义是知识的生长点,因此回归定义是解决问题的一种重要策略。要熟知圆锥曲线、函数的性质、数列、导数等的基本定义。
例1. 在一组样本数据(x 1,y 1),(x 2,y 2),…,(x n ,y n )(n≥2,x 1,x 2,…,x n 不全相等)的散点图中,若所有样本点(x i ,y i )(i=1,2,…,n)都在直线y=1
2x+1上,则这组样本数据的
样本相关系数为( )
(A )-1 (B )0 (C )1
2
(D )1
【解析】根据样本相关系数的定义,因为所有样本点(x i ,y i )(i=1,2,…,n)都在直线y=1
2x+1
上,即两变量为完全线性相关,且完全正相关,因此这组样本数据的样本相关系数为1。故选D 。
例2. 点M 为圆P 内不同于圆心的定点,过点M 作圆Q 与圆P 相切,则圆心Q 的轨迹是( )
A 、圆
B 、椭圆
C 、圆或线段
D 、线段
【解析】设⊙P 的半径为R ,P 、M 为两定点,那么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数,∴由椭圆定义知圆心Q 的轨迹是椭圆,选B
例3.已知P 为抛物线2
4y x =上任一动点,记点P 到y 轴的距离为d ,对于给定点A (4,5),|PA|+d 的最小值是( )
A、4 B1 D1
【解析】d比P到准线的距离(即|PF|)少1,∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1,而A点在抛物线外,
∴|PA|+d的最小值为1,选D