第25讲锐角三角函数
【测控导航表】
知识点题号
锐角三角函数的定义1,3,8
特殊角的三角函数值 2
解直角三角形及应用4,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15
A层(基础)
1.(2015丽水)如图,点A为∠α边上的任意一点,作AC⊥BC于点C,CD⊥AB于点D,下列用线段比表示cos α的值,错误的是( C )
(A)(B)
(C)(D)
解析:∵AC⊥BC,CD⊥AB,
∴∠α+∠BCD=∠ACD+∠BCD,
∴∠α=∠ACD,
∴cos α=cos∠ACD===,
只有选项C错误,故选C.
2.在△ABC中,若+(1-tan B)2=0,则∠C的度数是( C )
(A)45°(B) 60° (C)75°(D)105°
解析:由题意得cos A=,tan B=1,
∴∠A=60°,∠B=45°,
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°.
故选C.
3.如图所示,在直角坐标系中,P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,则sin α的值是( A )
(A)(B)
(C)(D)
解析:过点P作PH⊥x轴于点H,
∵P是第一象限内的点,其坐标是(3,m),
∴OH=3,PH=m,
∵OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是,即tan α==,
∴=?m=4,
根据勾股定理得OP=5,
∴sin α==.故选A.
4.如图所示,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( A )
(A)20米(B)10米(C)15米(D)5米
解析:GE∥AB∥CD,BC=2GC,GE=15米,
AB=2GE=30米,
AF=BC===10米,
DF=AF·tan 30°=10×=10米,
CD=AB-DF=30-10=20米.故选A.
5.如图是某水库大坝横断面示意图,∠ABC=120°,BC的长是50 m,则水库大坝的高度h是( A )
(A)25 m (B)25 m
(C)25 m (D) m
解析:过点C作CE⊥AB于点E,
∵∠ABC=120°,
∴∠CBE=60°,
在Rt△CBE中,BC=50 m,
∴CE=BC·sin 60°=25(m).故选A.
6.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90°,AC=6,D是AC上一点,若tan∠DBA=,则AD的长是( B )
(A) (B) 2 (C)1 (D)2
解析:作DE⊥AB于E点.
∵tan∠DBA==,
∴BE=5DE,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠A=45°,
∴AE=DE.
∴BE=5AE,
又∵AC=6,
∴AB=6,
∴AE+BE=5AE+AE=6,
∴AE=,
在等腰直角△ADE中,
由勾股定理得AD=AE=2.
故选B.
7.如图所示,一水库迎水坡AB的坡度i=1∶2,则坡角α的正弦值sin α= .
解析:过A作AC⊥BC于C,
∵AB的坡度i=1∶2,
∴tan α==,
设AC=x,BC=2x,
根据勾股定理可得AB==x,
则sin α===.
8.网格中的每个小正方形的边长都是1,△ABC每个顶点都在网格的交点处,则sin A= .
解析:如图,作AD⊥BC于D,CE⊥AB于E,
由勾股定理得AB=AC=2,BC=2,AD=3,
由BC·AD=AB·CE
得CE==,
sin∠CAE===.
9.(2015潍坊)观光塔是潍坊市区的标志性建筑,为测量其高度,如图,一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB是45 m,根据以上观测数据可求观光塔的高CD是135 m.
解析:∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°,
∴∠ADB=30°.
在Rt△ABD中,
tan 30°=,
即=.
∴AD=45 m.
∵在一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°,
∴∠CAD=60°.
在Rt△ACD中,
CD=AD·tan 60°=45×=135 m.
10.如图,将正方形纸片对折,折痕为EF.展开后继续折叠,使点A落在EF上,折痕为GB,则∠ABG的正切值是2-.
解析:设正方形的边长为x,
则AB=x,BF=x,
AF==x,
GE+AG=x.
易证△AGE∽△BAF,
∴=,
即=,
得AG=(2-)x.
∴tan∠ABG===2-.
11.(2014遵义)如图,一楼房AB后有一假山,其坡度为i=1∶,山坡坡面上E点处有一休息亭,测得假山坡脚C与楼房水平距离BC=25米,与亭子距离CE=20米,小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°,求楼房AB 的高.(注:坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)
解:过点E作EF⊥BC交BC延长线于F,EH⊥AB于点H,
在Rt△CEF中,
∵i==
=tan∠ECF,
∴∠ECF=30°,
∴EF=CE=10米,CF=10米,
∴BH=EF=10米,
HE=BF=BC+CF=(25+10)米,
在Rt△AHE中,∵∠HAE=45°,
∴AH=HE=(25+10)米,
∴AB=AH+HB=(35+10)米.
即楼房AB的高为(35+10)米.
12.(2015攀枝花)如图所示,港口B位于港口O正西方向120 km处,小岛C位于港口O北偏西60°的方向.一艘游船从港口O出发,沿OA方向(北偏西30°)以v km/h的速度驶离港口O,同时一艘快艇从港口B出发,沿北偏东30°的方向以60 km/h的速度驶向小岛C,在小岛C用1 h加装补给物资后,立即按原来的速度给游船送去.
(1)快艇从港口B到小岛C需要多长时间?
(2)若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1 h,求v的值及相遇处与港口O的距离.
解:(1)∵∠CBO=60°,∠COB=30°,
∴∠BCO=90°.
在Rt△BCO中,
∵OB=120,
∴BC=OB=60,
∴快艇从港口B到小岛C的时间为
60÷60=1(小时);
(2)设相遇处为点E,过C作CD⊥OA,垂足为D,
则OC=OB·cos 30°=60,
CD=OC=30,
OD=OC·cos 30°=90,
∴DE=|90-3v|.
∵CE=60,CD2+DE2=CE2,
∴(30)2+(90-3v)2=602,
∴v=20或40,
当v=20时,
OE=3×20=60 km,
当v=40时,
OE=3×40=120 km.
即当v为20 km/h时,相遇处与港口O的距离为60 km;
当v为40 km/h时,相遇处与港口O的距离为120 km.
B层(能力)
13.(2014苏州)如图,港口A在观测站O的正东方向,OA=4 km,某船从港口A出发,沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处,此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向,则该船航行的距离(即AB 的长)为( C )
(A)4 km (B)2 km
(C)2 km (D)(+1)km
解析:如图,过点A作AD⊥OB于D,
在Rt△AOD中,∠ADO=90°,∠AOD=30°,OA=4,
∴AD=OA=2.
在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°,
∴BD=AD=2,
∴AB=AD=2.
即该船航行的距离(即AB的长)为2 km.
故选C.
14.(2015湖州模拟)如图,坡面CD的坡比为1∶,坡顶的平地BC上有一棵小树AB,当太阳光线与水平线夹角成60°时,测得小树在坡顶平地上的树影BC=3米,斜坡上的树影CD=米,则小树AB的高是4米.
解析:由已知得Rt△AFD,Rt△CED,
如图,且得∠ADF=60°,FE=BC,
BF=CE,
在Rt△CED中,
设CE=x,由坡面CD的坡比为1∶,
得DE=x,则根据勾股定理得
x2+(x)2=()2,
得x=±,-不合题意舍去,
所以CE=米,则ED=米,
那么,FD=FE+ED=BC+ED=3+=米,
在Rt△AFD中,
由三角函数得:
=tan∠ADF,
∴AF=FD·tan 60°=×=米,
∴AB=AF-BF=AF-CE=-=4米.
15.如图所示是某货站传送货物的平面示意图.为了提高传送过程的安全性,工人师傅欲减小传送带与地面的夹角,使其由45°改为30°.已知原传送带AB长为4米.
(1)求新传送带AC的长度;
(2)如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道,试判断距离B点5米的货物MNQP是否需要挪走,并说明理由.(≈1.4,≈1.7)
解:(1)在Rt△ABD中,AD=AB·sin 45°=4×=4,
在Rt△ACD中,AC==2AD=8,
即新传送带AC的长度为8米.
(2)结论:货物MNQP不需挪走.理由如下:
在Rt△ABD中,
BD=AB·cos 45°=4×=4,
在Rt△ACD中,
CD=ACcos 30°=8×=4,
∴CB=CD-BD=4-4.
∵PC=PB-CB=5-(4-4)=9-4≈2.2>2,
∴货物MNQP不需挪走.
16年最有可能考到的知识点
(1)特殊角的三角函数值;
(2)在网格中考查锐角三角函数的定义;
(3)解直角三角形与边角关系的综合;
(4)解直角三角形在实际生活中的应用.
1.(2016预测)计算:cos245°+tan 60°·cos 30°等于( C )
(A)1 (B) (C)2 (D)
解析:原式=()2+×=+=2.
故选C.
2.(2016预测)在△ABC中,AB=12,AC=13,cos∠B=,则BC边长为( D )
(A)7 (B)8 (C)8或17 (D)7或17
解析:∵cos∠B=,
∴∠B=45°.
当△ABC为钝角三角形时,如图1,
∵AB=12,∠B=45°,
∴AD=BD=12.
∵AC=13,
∴由勾股定理得CD=5,
∴BC=BD-CD=12-5=7;
当△ABC为锐角三角形时,如图2,
同样求出BD=12,CD=5,
∴BC=BD+CD=12+5=17.
故选D.
3.(2016预测)如图,两建筑物AB和CD的水平距离为30米,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为20米.
解析:如图,延长CD交AM于点E,则AE=30米.
∴DE=AEtan 30°
=10(米).
同理可得CE=30(米).
∴CD=CE-DE=20(米).
4.(2016预测)如图,某市对位于笔直公路AC上两个小区A,B的供水路线进行优化改造.供水站M在笔直公路AD上,测得供水站M在小区A的南偏东60°方向,在小区B的西南方向,小区A,B之间的距离为300(+1)米,求供水站M分别到小区A,B的距离.(结果可保留根号)
解:过点M作MN⊥AB于N,设MN=x米,
在Rt△AMN中,
∵∠ANM=90°,∠MAN=30°,
∴MA=2MN=2x,AN=MN=x.
在Rt△BMN中,
∵∠BNM=90°,∠MBN=45°,
∴BN=MN=x,MB=MN=x.
∵AN+BN=AB,
∴x+x=300(+1),
∴x=300,
∴MA=2x=600,MB=x=300.
故供水站M到小区A的距离是600米,到小区B的距离是300米.
第20讲 锐角三角函数 没有精确的数学计算，没有多种测量和 几何作图，社会生产就无从进行。 ——凯洛夫 知识方法扫描 三角函数是基本初等函数之一，在科学技术许多领域中应用广泛，锐角三角函数体现了直角三角形中边和角之间的数量关系，因此它本身是几何和代数的一种结合体，用特殊角三角函数值和三角函数性质解题的方法称为三角法，用三角法解题通常要与构造直角三角形相结合。 ① 掌握锐角的三角函数即角的正弦，余弦，正切，余切的定义；同角三角函数间的关系，如α ααcos sin tan =,1cos sin 22=+αα等； ② 掌握三角函数值的取值范围，当0o≤α≤90o时，0≤sinα≤1, 0≤cosα≤1； ③ 会解直角三角形； ④ 要会利用当锐角变大时，其正弦值和正切值也变大，而余弦值和余切值变小的规律来处理关于比较同名函数值大小的问题； ⑤ 要会解答三角与代数，三角与几何的综合问题 经典例题解析 例1．已知,1cos cos 2=+θθ 求θθθθ8642sin sin sin sin 2+++的值。 解．1cos cos 2=+θθ ，θθθ22sin cos 1cos =-=∴。 +∴θ2sin 2θθθθθθθ432864cos cos cos cos 2sin sin sin +++=++ )cos (cos cos cos )cos (cos 222θθθθθθ++++= 211cos cos 12=+=++=θθ 例2．（1987年宁波市初中数学竞赛试题）若α为锐角，求证： 1114sin cos sin cos αααα ++>。 证明 1114s i n c o s s i n c o s αααα++- =111(1)(1)(2)sin cos sin cos αααα -+-+- =1sin 1cos 12sin cos sin cos sin cos αααααααα ---++
第十讲锐角三角函数 趣题引路】 甲、乙两名运动员在陆地赛跑的速度以及在水中游泳的速度都相同，有一次他俩进行赛跑和游泳综合测试，比赛路线如图10-1所示，陆地跑道与河岸所成的角为30°,水路泳道与岸所成的角为60°,甲赛跑、游泳 的线路是折线AA扎，乙赛跑、游泳的线路是折线BB’B：,起跑点的连线与线路垂直，终点连线也与线路垂直，开始两人并肩跑，甲先到岸边跳入水中，接着乙再到岸边，在水中两人齐头并进同时到达终点：你知道 他们在陆地上的跑步速度V,与水中游泳的速度比之比是多少吗？ 解析如图，作AiBs丄BB“ AA,垂足分别为凡、B,：因两人在陆地上赛跑的速度相同，故甲跑完AA’与乙跑完BB,所用时间相同。同样，甲游完A此所花时间与乙游完B品所花时间也相同。又因为两人从出发至到达终点所花的总时间相同，所以甲游完AA的时间恰好等于乙跑完Bb的时间， 设这个时间为t,贝I］：心丛=邑色..：冬=色如.……①， 岭v i 叫A A 在冲，COS60—篇……③. 知识延伸】 “锐角三角函数”中我们学列了锐角的正弦、余弦、正切，余切以及一些特殊角的三角函数值的有关讣算.在解与锐角三角函数有关的问题时，还要充分利用其余角或同角函数关系。我们知道，在RtAABC 中，sin A=cos (90° -A), cos A=sin (90° -A), tan A=cot (90° -A), cot A=tan (90： -A) ?这是互余两角的三角函数关系. 同时，同角三角函数间也存在着一些特殊的关系。如图10-2在RtAABC中, 在中cos30。=处,二B、B\
另外，锐角三角函数还有两个非常重要的性质：1?单调性?当◎为锐角时，sina 与sna 的值随a 的 增大而增大，cos a 与cot a 的值随◎增大而减小：2 ?有界性，当OW a W90 °时，OWsinaWl, OWcosa Wl ? 例 1 在 RtAABC 中，ZC=90° ,若 sinA=tanB.求 cosA 的值 解析在RtAABC 中， ?.? ZA+ZB 二90" ? /. tanB=cotA. ?/ sinA=tanB,.?? sinA=cotA ? ?/ 0 < A < 90°,.?.0 < cos A,故 cos A = 点评：本例也可以将sinA, tanB 用线段的比表示,如结合RtAABC, WsinA = - c lanB = -,再设法求纟，即得到cosA 的值 a c 例2已知关于x 的方程4x c -2 (m+1) x+m=0的两根正好是某直角三角形两个锐角的正弦，求m 的值。 解析依题意，可设方程4宀2 (m+1) x+m=0的两根为sin A 、sinB,其中ZA+ZB 二90° ,由根与系 数关系，得：sinA+sinB 二"‘一 [,sinA ? sinB= —? 2 4 由ZA+ZB 二90° ,知 sinB=sin (90° -A) =cosA. 将①.②代入③，W(—)2-2 - = 1解得："=点阻=-点 2 4 ■ v0 28.1 锐角三角函数（教案） 第 1 课时正弦 【知识与技能】 1. 让学生理解当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是一个定值的事实； 2. 掌握正弦函数意义，能依据正弦函数定义进行有关计算. 【过程与方法】通过对30°和45°与其所对的直角边与斜边的比值之间关系的探讨，可以获得“直角三角形中，当锐角一定时，这个锐角的对边与斜边的比是固定值”这一重要结论，发展学生的演绎推理能力. 【情感态度】在探索正弦函数概念的过程中，可进一步培养学生的创新意识，发展学生的形象思维，增强由特殊到一般逻辑推理能力. 【教学重点】了解正弦函数定义，理解当锐角一定时它所对的直角边与斜边的比固定不变这一事实.【教学难点】加深直角三角形中，当它的某一锐角固定时这角的对边与斜边的比是个定值”的理解. 一、情境导入，初步认识 问题为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌. 现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°， 为使水管出水口到水平面的高度为35m，那么需准备多长的管？ 【教学说明】对所提示的问题，教师应引导学生如何将这一实际问题转化为数学模型，让学生在相互交流中获得结论. 教师应重点关注学生获取结论的过程，即是否运用 30 的对边1 “ 斜边= 2 ” 这一结论。 二、思考探究，获取新知 探究 1 如果将上述问题中出水口到水平面的高度改为50m，那么需准备多长的水管？ 思考 1 通过对前面问题和探究的思考，你有什么发现？ 【教学说明】在学生自主探究，获得结论后，让他们相互交流各自体会，为掌握本节知 识积累感性认识. 最后教师与学生一道进行简要总结. 【归纳结论】在一个直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么不管三角形的大小如 何，这个角的对边与斜边的比值都等于1，是一个固定值. 2 ∠ C=90°，∠ A = 45°，计算∠ A的对边BC与斜思考 2 如图，在Rt△ACB中， 锐角三角函数—知识讲解 【学习目标】 1．结合图形理解记忆锐角三角函数定义； 2．会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值； 3．理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”. 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 所对的边BC 记为a ，叫做∠A 的对边，也叫做∠B 的邻边，∠B 所对的边AC 记为b ，叫做∠B 的对边，也是∠A 的邻边，直角C 所对的边AB 记为c ，叫做斜边． 锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sin A a A c ∠= =的对边斜边； 锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cos A b A c ∠= =的邻边斜边； 锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tan A a A A b ∠= =∠的对边的邻边. 同理sin B b B c ∠= =的对边斜边；cos B a B c ∠==的邻边斜边；tan B b B B a ∠==∠的对边的邻边． 要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA ，cosA ，tanA 分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成， ， ，不能理解成sin 与∠A ，cos 与∠A ，tan 与∠A 的乘积．书写时习惯上省略∠A 的角的 记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan ∠AEF ”，不能写成 “tanAEF ”；另外， 、 、 常写成 、 、 ． (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA ＞0． B C a b c 锐角三角函数教学设计 §28?1锐角三角函数（一） 一. 指导思想 建构主义学习理论的核心是：以学生为屮心，强调学生对知识的主动探索，主动发现和对所学知识意义的主动建构；教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用，并不要求教师直接向学生传授和灌输知识。 《数学课程标准》提出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的纽织者、引导者与合作者；有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。学生的数学学习内容应当是现实的、冇意义的、富冇挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜想、验证、推理打交流活动。教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 因此，在木节课的每个教学活动屮，教师努力做到：给予学生充分的独立思考、探究的时间，使学生面对新问题，寻求新的解决办法；参与到学生活动中，适时进行点拨与指导，对学生在活动屮的各种表现，都应该及时给予鼓励，使他们真正体验到白己的进步，感受到成功的喜悦；为学生提供协作、交流的机会，使每个学牛的个性得以张扬，自我表现意识和团队精神得以增强。 二. 教学背景分析 （一）教学内容分析： 1.地位及作用 《锐角三角函数概念》是人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册笫28章第一节的内容。 锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数屮已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。锐角三角函数的概念，既是本章的重点，也是难点.又是学好本章内容的关键?因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角Z间的关系，从而才能利川这些关系解直角三角形。此内容乂是数形结合的典范.因此，学好本节内容是十分必要的，对本单元的学习必须引起足够的重视. 2.课时安排 本节教材共分三课时完成,:第-?课时是正弦概念的建立及其简单应用；第二课时是余弦、正切概念的建立及其简单应用；笫三课时是综合应用。 （二）学生情况分析： 学生前面已经学习了三角形、四边形、和似三角形和勾股定理的知识，为锐角三角函数的学习 教学设计： §28.1 锐角三角函数 授课人：和金平 编号： 48号 §28.1 锐角三角函数（一） 一、教学目标： 1、理解直角三角形中锐角正弦函数的意义，并会求锐角的正弦值； 2、掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形其他边长的方法； 3、经历锐角正弦的意义探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究能力。 教学重点： 理解正弦（sinA）概念，掌握当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值．教学难点： 在直角三角形中当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 二、教学过程： 1、创设情景，提出问题:（PPT演示） 在唐僧师徒取经的路上，遇到了一座山，这座山有多高呢？这可难住了唐僧。大徒弟孙悟空目测山的顶部，视线与水平线的夹角为30度，然后从地面飞到山顶，路程是1000米。 你能帮孙悟空计算出山的高度吗？ 1000米 B A C 情境探究: 分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A＝30°，AB＝1000m，求BC 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 可得BC＝AB ＝500m，也就是说，这座山的高度是500m 思考1：在上面的问题中，如果孙悟空从山底部飞到山顶1500米，那么山的高度是多少？ 可得B’C ＝AB’ ＝750m 仍有 1 2 A BC AB ∠ == 的对边 斜边 1 2 ''1 , A B C ∠ == 的对边 1 2 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比值都等于 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？ 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，由于∠A ＝45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，假设 BC= ，由勾股定理得: A 因此 C B 45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C=90° 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于1 2 ，是个固定值； 当∠A=45°时，∠A ，也是一个固定值． 2、【探究】当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt△ABC 和Rt△A’B’C ，使得∠C ＝∠C ’＝90°,∠A ＝∠A’＝ ， 那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ 由于∠C ＝∠C ’＝90°， ∠A ＝∠A ’＝ 所以Rt△ABC ∽ Rt△A’B’C’ 【为了更直观地验证这一结论，教师几何画板演示：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比不变；当锐角A 的度数增大时，不管三∠A 的对边与斜边的比值变大。】 1 2 a 22222 22AB AC BC BC a =+==AB =2BC AB ===a a 2 αAB BC ' '' 'B A C B α,'''' BC AB B C A B ∴=B'C' .AB '' BC A B =即 1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 教学设计： §28.1 锐角三角函数 授课人：和金平 编号： 48号 §28.1 锐角三角函数（一） 一、教学目标： 1、理解直角三角形中锐角正弦函数的意义，并会求锐角的正弦值； 2、掌握根据锐角的正弦值及直角三角形的一边，求直角三角形其他边长的方法； 3、经历锐角正弦的意义探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的探究能力。 教学重点： 理解正弦（sinA ）概念，掌握当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值． 教学难点： 在直角三角形中当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。 二、教学过程： 1、创设情景，提出问题:（PPT 演示） 在唐僧师徒取经的路上，遇到了一座山，这座山有多高呢？这可难住了唐僧。大徒弟孙悟空目测山的顶部，视线与水平线的夹角为30度，然后从地面飞到山顶，路程是1000米。 你能帮孙悟空计算出山的高度吗？ 1000米 B A C 情境探究: 分析：这个问题可以归结为，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A ＝30°，AB ＝1000m ，求BC 根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即 可得BC ＝ AB ＝500m ，也就是说，这座山的高度是500m 思考1：在上面的问题中，如果孙悟空从山底部飞到山顶1500米，那么山的高度是多少？ 可得B ’C ＝ AB ’ ＝750m 仍有 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角 ''1,'2 A B C AB ∠ ==的对边斜边1 2 12 2文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. B C A 30° A C B 45° 的对边与斜边的比值都等于 思考2：在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？ 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，由于∠A ＝45°，所以 Rt△ABC 是等腰直角三角形，假设 BC= ，由勾股定理得: A 因此 C B 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对 边与斜边的比都等于 从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt △ABC 中，∠C=90° 当∠A=30°时，∠A 的对边与斜边的比都等于 12，是个固定值； 当∠A=45°时，∠A 的对边与斜边的比都等于22，也是一个固定值． 2、【探究】当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 任意画Rt△ABC 和Rt△A’B’C ，使得∠C ＝∠C ’＝90°,∠A ＝∠A’＝ ， 那么 与 有什么关系．你能解释一下吗？ 由于∠C ＝∠C ’＝90°， ∠A ＝∠A ’＝ 所以Rt△ABC ∽ Rt△A’B’C’ 【为了更直观地验证这一结论，教师几何画板演示：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比不变；当锐角A 的度数增大时，不管三∠A 的对边与斜边的比值变大。】 【通过数形结合引导学生体会锐角A 的度数的变化与∠A 的对边与斜边的比之间的关系，并且结合图形叙述正弦定义，以培养学生概括能力及语言表达能力】． [板书] 定义：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。 记作sinA ， B A C 指出：“sinA ”是一个完整的符号，记号里习惯省去角的符号“∠”． 【这一环节的教学，教师要强调前提条件是：“在直角三角形中”，正弦函数值是边的比值，没有单位，并且让学生明确什么是“对边”和“斜边”】单独写出符号sin 是没有意义的。 当∠A =30°时， 当∠A=45°时， a 2222222AB AC BC BC a =+==a 22 αAB BC ''''B A C B α,'''' BC AB B C A B ∴=1sin 302= 锐角三角函数 【课前热身】 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝2，sinA ＝2 3 ，则AC 的长是（ ） A ．3 C ． 4 5 D 2．Rt ?ABC 中，∠C=?90，∠A ∶∠B=1∶2，则sinA A ．21 B ．22 C ．23 D ．1 3．如图，在平面直角坐标系中，已知点A （3，0）， 点B （0，－4），则cos OAB ∠ 等于_______． 4．? +?30sin 130cos =____________． 5.王英同学从A 地沿北偏西60o方向走100m 到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时王英同学离A 地 ( ) A ．150m B ．350m C ．100 m D ．3100m 【考纲解读】 1.理解并掌握锐角三角函数的定义、性质和特殊角的三角函数值 2.会利用直角三角函数值解直角三角形 3.能运用解直角三角形的一般步骤解决实际生活、生产中的问题 【考点扫描】 1．sin α，cos α，tan α定义 sin α＝____，cos α＝_______，tan α＝______ ． 2．特殊角三角函数值 3.锐角三角函数之间的关系 22sin sin cos 1,tan cos α αααα +== 4.解直角三角形 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形 （直角三角形中，除直角外一共有5个元素，即三条边和两个锐角） 5.解直角三角形的应用问题 （1）俯角、仰角（2）坡度、坡角（3）方向角 6.解直角三角形的步骤方法 （1）根据题目的已知条件，画出平面几何图形，找出已知条件中各量之间的关系 （2）是直角三角形的，根据边角关系进行计算；若不是直角三角形，应大胆尝试添加辅助线，构造直角三角形进行解决 用直角三角形的方法解决实际问题的关键是要根据实际情况建立数学模型，正确的画出图形，找准三角形. α a b c 第9讲锐角三角函数 知识点1 锐角三角函数 1.如图在△ABC中，∠C是直角，锐角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）叫做角A的锐角三角函数． 2.特殊角的三角函数值 3.锐角三角函数值的变化规律 当0°≤α≤90°时，sinα随α的增大而增大，cosα随α的增大而减小； 当0°<α<90°时，tanα随α的增大而增大． 【典例】 1.已知α为锐角，且tanα是方程x2+2x﹣3=0的一个根，求2sin2α+cos2α﹣tan（α+15°）的值． 【答案】略 【解析】解：解方程x2+2x﹣3=0得： x1=1，x2=﹣3， ∵tanα＞0， ∴tanα=1， ∴α=45°， ∴2sin2α+cos2α﹣tan（α+15°） =2sin245°+cos245°﹣tan60° =2?（）2+（）2﹣? =1+﹣3 =﹣． 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上的一点，CD=3，AD=BD=5．求∠A的三个三角函数值． 【答案】略 【解析】解：在Rt△BCD中， ∵CD=3，BD=5， ∴BC===4， 又AC=AD+CD=8， ∴AB===4， 则sinA===， cosA===， tanA===． 【方法总结】 已知边的条件求锐角三角函数值，首先要构造直角三角形，使所求的三角函数对应的角是直角三角形的内角，再结合图形找到所求锐角的三角函数值所涉及到的两边，求出这两边即可求解． 【随堂练习】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（） A. B. C. D. 2 【答案】A. 【解析】解：∵∠C=90°，sinA=，AB=2， 锐角三角函数教学设计 §28.1锐角三角函数（一） 一．指导思想 建构主义学习理论的核心是：以学生为中心，强调学生对知识的主动探索，主动发现和对所学知识意义的主动建构；教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用，并不要求教师直接向学生传授和灌输知识。 《数学课程标准》提出：学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者；有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方法。学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动的进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流活动。教师应向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 因此，在本节课的每个教学活动中，教师努力做到：给予学生充分的独立思考、探究的时间，使学生面对新问题，寻求新的解决办法；参与到学生活动中，适时进行点拨与指导，对学生在活动中的各种表现，都应该及时给予鼓励，使他们真正体验到自己的进步，感受到成功的喜悦；为学生提供协作、交流的机会，使每个学生的个性得以张扬，自我表现意识和团队精神得以增强。 二．教学背景分析 （一）教学内容分析： 1．地位及作用 《锐角三角函数概念》是人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级下册第28章第一节的内容。 锐角三角函数的概念是以相似三角形的知识为基础的，它的建立是对代数中已初步涉及的函数概念的一次充实和进一步开阔视野，也将是高中阶段学习任意角的三角函数的基础。锐角三角函数的概念, 既是本章的重点，也是难点. 又是学好本章内容的关键.因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。此内容又是数形结合的典范.因此，学好本节内容是十分必要的，对本单元的学习必须引起足够的重视. 2.课时安排 本节教材共分三课时完成，；第一课时是正弦概念的建立及其简单应用；第二课时是余弦、正切概念的建立及其简单应用；第三课时是综合应用。 （二）学生情况分析： 学生前面已经学习了三角形、四边形、相似三角形和勾股定理的知识，为锐角三角函数的学习提供的研究的方法，具备了一定的逻辑思维能力和推理能力。通过以前的合作学习，具备了一定的合作与交流能力. 三．教学策略 1．利用课件，解释知识形成的过程，进而促成学生对知识的主动建构；为学生的探究提供学习资源和支持. 2．在整个过程中，让学生亲自动手实践，通过学生自主学习、亲身体验探索、发现新知识，并运用数学知识解决问题。 四．教学方式的设计 本节课采用“探究与合作交流”的教学方法，通过自主探索、合作交流对锐角三角函数初中数学九年级《锐角三角函数：正弦》公开课教学设计
第1讲 锐角三角函数—知识讲解
锐角三角函数教学设计数学优秀教学设计案例实录能手公开课示范课.docx
(优质课)锐角三角函数教案
(优质课)锐角三角函数教案
19讲：锐角三角函数
(教师版)第9讲 锐角三角函数
锐角三角函数教学设计数学优秀教学设计案例实录能手公开课示范课
锐角三角函数经典总结