一元二次不等式及简单分式不等式的解法
一元二次不等式解法
探究一元二次不等式2
50x x -<的解集，观察图象，获得解集 画出二次函数25y x x =-的图象，如图，观察函数图象，可知： 当 x<0，或x>5时，函数图象位于x 轴上方，此时，y>0,即2
50x x ->； 当0 50x x -<； 所以，不等式2 50x x -<的解集是{} |05x x << 解下列不等式： 1. 24415x x -> 2. 23100x x -->； 3. 2450x x -+< 4. 2x 2－3x －2＞0 5.－3x 2＋6x ＞2. 6.－x 2＋2x －3＞0. 7. 260x x --<； 8.2 3100x x -++<； 9.02632>+-x x 10.27120x x -+>； 11.2230x x --+≥； 12.2 210x x -+<； 13. 0522>--x x 14. 24410x x -+> 15. 0222 <--x x 16.3x 2－x －4≤0 17.0352>-+x x 18. 2 106511x x -≤+-≤ 19.已知集合}04|{2>-=x x A ，}062|{2>-+=x x x B ， 则=?B C A R ________________；=?B C A R ____________________． 20.不等式022 >++bx ax 的解集为}3 1 21|{<<- x x ，则b a -= 。 分式不等式解法 解不等式（1）01 x 解不等式： （1） 03 12<+-x x （2）01 21>+-x x （3）0 73 <+-x x （4）211x ≥+ （5）21≥-x x 课 题：分式不等式 高次不等式的解法 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必须异号，∴原不等 式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集的并集，即{x|? ??<+>-040 1x x } ∪?? ?>+<-0 40 1|{x x x }=φ∪{x|-4 ①将不等式化为(x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0(<0)形式（各项x的符号化“+”），令(x-x1)(x-x2)… (x-xn)=0，求出各根，不妨称之为分界点，一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n个分界点把数轴分成n+1部分……； ②按各根把实数分成的n+1部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的 因式开始依次自上而下排列）； ③计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 练习：解不等式：x(x-3)(2-x)(x+1)>0. {x|-1 一元二次不等式及其解法 【设计思想】 新的课程标准指出：数学课程应面向全体学生；促进学生获得数学素养的培养和提高；逐步形成数学观念和数学意识；倡导学生探究性学习。这与建构主义教学观相吻合。本节课正是基于上述理念，通过对已学知识的回忆，引导学生主动探究。强调学习的主体性，使学生实现知识的重构，培养学生“用数学”的意识。本节课的设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。 【教材分析】 本节课是人教社普通高中课程标准实验教材数学必修5第三章《不等式》第二节一元二次不等式及其解法，本节主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式，并能解一元二次不等式。这一节共分三个课时，本节课属于第一课时，课题为《一元二次不等式及其解法》。学数学的目的在于用数学，除了让学生探究并掌握一元二次不等式的解法外，更重要的是要领悟函数、方程、不等式的密切联系，体会数形结合，分类讨论，等价转换等数学思想。 【学情分析】 学生在初中就开始接触不等式，并会解一元一次不等式。 【教学目标】 知识与技能：通过学生自主预习与课上探究掌握一元二次方程、一元二次不等式、二次函数之间的关系和一元二次不等式的解法； 过程与方法：自主探究与讨论交流过程中，培养学生运用等价转化和数形结合等数学思想解决数学问题的能力； 情感态度价值观：培养学生的合作意识和创新精神。 【教学重点】一元二次不等式的解法。 【教学难点】一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系。 【教学策略】 探究式教学方法 （创设问题情境——界定问题——选择问题解决策略——执行策略——结果评价） 【课前准备】 教具：“几何画板”及PPT课件. 粉笔：用于板书示范. 一 不等式的解法 1 含绝对值不等式的解法（关键是去掉绝对值） 利用绝对值的定义：（零点分段法） 利用绝对值的几何意义：||x 表示x 到原点的距离 ||(0){|}x a a x x a =>=±的解集为 }|{)0(||a x a x a a x <<-><的解集为 }|{)0(||a x a x x a a x -<>>>或的解集为 公式法：c b ax <+,与)0(>>+c c b ax 型的不等式的解法. 2 整式不等式的解法 根轴法（零点分段法） 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 分解因式； 3） 标根（令每个因式为0，求出相应的根，并将此根标在数轴上。注意：能取 的根打实心点，不能去的打空心）； 4） 穿线写解集(从右到左，从上到下依次穿线。注意：偶次重根不能穿过)； 一元二次不等式解法步骤： 1） 化简（将不等式化为不等号右边为0，左边x 的最高次项系数为正)； 2） 首先考虑分解因式；不易分解则判断?，当0?≥时解方程（利用求根公式） 3） 画图写解集（能取的根打实心点，不能去的打空心） 3 分式不等式的解法 1）标准化：移项通分化为()0()f x g x >(或()0()f x g x <)；()0()f x g x ≥(或()0() f x g x ≤)的形式， 2）转化为整式不等式（组）()()0()()0()()00()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠?； 4 指数、对数不等式的解法 ①当1a >时 ()()()()f x g x a a f x g x >?> log ()log ()()()0a a f x g x f x g x >?>> ②当01a <<时 ()()()()f x g x a a f x g x >?< log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >?<< x = 0x x ≥ 0x x -< 分式不等式的解法 一．学习目标： 1．会解简单的分式不等式。 二．学习过程 （一）基础自测 1．解下列不等式 (1)43107x x -<+ (2)－x 2＋7x >6 (3)()()015<+-x x . （二）尝试学习 2.解下列不等式 （1）121 >+-x x （2）2x ＋11－x <0. (3)41 2+-x x ≥0 (4) x ＋5(x －1)2≥2 （三）巩固练习题 1.不等式 02 1<+-x x 的解集是 . 2.不等式 01 312>+-x x 的解集是（ ） .A }2131|{>- 1．不等式 23--x x ≥0的解集是 . 2.不等式 0121≤+-x x 的解集是 3.不等式 042>+-x x 的解集是 4．不等式1x x -≥2的解集为（ ） .A [1,0)- .B [1,)-+∞ .C (,1]-∞- .D (,1](0,)-∞-+∞ 5．解下列不等式 （1）2x ＋11－x <0 （2）x ＋12x －3≤1 四．作业 解不等式：（1） 0324≤+-x x （2）321≥-+x x 《一元二次不等式及其解法》典型例题透析 类型一：解一元二次不等式 例1. 解下列一元二次不等式 （1）2 50x x -<； （2）2 440x x -+>； （3）2 450x x -+-> 思路点拨: 转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 解析： （1）方法一： 因为2(5)410250?=--??=> 所以方程2 50x x -=的两个实数根为：10x =，25x = 函数25y x x =-的简图为： 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. 方法二：2 50(5)0x x x x -???-? 解得05x x >?? ?，即05x <<或x ∈?. 因而不等式2 50x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0?=， 方程2440x x -+=的解为122x x ==. 函数2 44y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠ 方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2 (2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一： 原不等式整理得2 450x x -+<. 因为0?<，方程2 450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2 450x x -+<的解集是?. 所以原不等式的解集是?. 方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是?. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当0?≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0?>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) 2 2320x x -->；(2) 2 3620x x -+-> (3) 2 4410x x -+≤； (4) 2 230x x -+->. 【答案】 （1）方法一： 因为2(3)42(2)250?=--??-=> 方程2 2320x x --=的两个实数根为：11 2 x =-，22x = 函数2 232y x x =--的简图为： 因而不等式2 2320x x -->的解集是：1 {|2}2 x x x <- >或. 方法二：∵原不等式等价于 21)(2)0x x +->（, ∴ 原不等式的解集是：1 {|2}2 x x x <->或. （2）整理，原式可化为2 3620x x -+<, 因为0?>, 方程2 3620x x -+=的解131x =231x =， 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型：一元一次、二次不等式，分式不等式，高次不等式，指数、对数不等式，三角不等式，含参不等式，函数不等式，绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时，将二次不等式整理成首项系数大于0的一般形式，再求根、结合图像写出解集 3三个二次之间的关系： 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一：转化为不等式组；法二：化为整式不等式；法三：数轴标根法 5.高次不等式解法 法一：转化为不等式组；法二：数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()() (x g x f a a x g x f >?>； 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0 （一）分式不等式： 型如： 0)()(>x x f ?或0) () ( 练一练：解关于x 的不等式 051)1(>--x x 3532 )2(≤-x 例1、 解关于x 的不等式： 23 2 ≥+-x x 解： 023 2 ≥-+-x x 03) 3(22≥++--x x x 即， 038 ≥+--x x 03 8 ≤++x x （保证因式分解后，保证一次项前的系数都为正） 等价变形为：? ? ?≠+≤++030 )3)(8(x x x ∴原不等式的解集为[)3,8-- 例2、解关于x 不等式 23 28 2<+++x x x 方法一：322 ++x x 恒大于0，利用不等式的基本性质 方法二：移项、通分，利用两式同号、异号的充要条件，划归为一元一次或一元二次不等式。 例3、 解关于x 的不等式：1≥x a 解：移项 01≥-x a 通分 0≥-x x a 即，0≤-x a x 等价转化为，?? ?≠≤-0 )(x a x x 当a>0时，原不等式的解集为],0(a 当a<0时，原不等式的解集为)0,[a 当a=0时，原不等式的解集为φ 一对一个性化辅导教案 一元二次不等式及其解法 【要点梳理】 要点一、一元二次不等式及一元二次不等式的解集 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.比如： 250x x -<.一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x <，则不等式20ax bx c ++>的解集为 {}2 1 x x x x x ><或，不等式2 0ax bx c ++<的解集为{}21x x x x << 要点诠释：讨论一元二次不等式或其解法时要保证(0)a ≠成立. 要点二、一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两根为12x x 、且12x x ≤，设ac b 42-=?，它的解按照 0>?，0=?，0的图像与x 轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式20ax bx c ++>(0)a >或 20ax bx c ++<(0)a >的解集. 二次函数 c bx ax y ++=2（0>a ）的图象 20(0)ax bx c a ++=>的根 有两相异实 根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集 )0(02>>++a c bx ax {} 2 1 x x x x x ><或???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 要点诠释： （1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线=y c bx ax ++2与x 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分0,0,0?>?=?<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集. 要点三、解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式?： ①0?>时，求出两根12x x 、，且12x x <②0?=时，求根a b x x 221- ==； - 2 - 一元二次不等式的解法 一、选择题 1．不等式x 2＜3x 的解集是 ( )． A ．{x |x ＞3} B ．{x |x ＜0或x ＞3} C ．R D ．{x |0＜x ＜3} 2．不等式－x 2－x ＋2≥0的解集是 ( )． A ．{x |x ≤－2或x ≥1} B ．{x |－2＜x ＜1} C ．{x |－2≤x ≤1} D ．? 3．不等式x (x －a ＋1)＞a 的解集是{x |x ＜－1或x ＞a }，则 ( )． A ．a ≥1 B ．a ＜－1 C ．a ＞－1 D ．a ∈R 4．已知全集U ＝R 集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，则?U A 等于 ( )． A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |0＜x ＜2} C ．{x |x ＜0或x ＞2} D ．{x |x ≤0或x ≤2} 5．不等式ax 2＋5x ＋c ＞0的解集为? ??? ?? x ?? 13 ＜x ＜12，则a ，c 的值为 ( )． A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6 6.已知集合M ＝? ????? ??? ?x ??? x ＋3 x －1＜0，N ＝{} x | x ≤－3，则集合{x |x ≥1}等于 ( )． A ．M ∩N B ．M ∪N C ．?R (M ∩N ) D ．?R (M ∪N ) 7．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240)，若 每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是 ( )． A ．100台 B ．120台 C ．150台 D ．180台 8．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝?，则实数a 的值的集合是 ( )． A ．{a |0＜a ＜4} B ．{a |0≤a ＜4} C ．{a |0＜a ≤4} D ．{a |0≤a ≤4} 9．关于x 的不等式a －x x ＋b ＜0, a ＋b ＞0的解集是 ( )． A ．{x |x ＞a } B ．{x |x ＜－b ，或x ＞a } C ．{x |x ＜a ，或x ＞－b } D ．{x |－b ＜x ＜a } 10．在R 上定义运算?：x ?y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )?(x ＋a )＜1对任意实数x 恒成立，则( )． A ．－1＜a ＜1 B ．0＜a ＜2 C ．－12＜a ＜32 D ．－32＜a ＜1 2 11、函数y ＝log 3(9－x 2)的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 12、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，x ∈R )的部分对应值如下表： 13、设f (x )＝x 2＋bx ＋1且f (－1)＝f (3)，则f (x )＞0的解集为________． 14、关于x 的不等式ax 2－2ax ＋2a ＋3＞0的解集为R ，则实数a 的取值范围为________． 15、不等式(3x －4)(2x ＋1) (x －1)2 <0的解集为________． 三、解答题 16、解不等式1）－2x 2＋103x －1 3＞0； 2)x －1x －2≥0； 3)2x －13－4x ＞1. 2.3分式不等式的解法 上海市虹口高级中学 韩玺 一、教学内容分析 简单的分式不等式解法是高中数学不等式学习的一个基本内容.对一个不等式通过同解变形转化为熟悉的不等式是解不等式的一个重要方法.这两类不等式将在以后的数学学习中不断出现，所以需牢固掌握. 二、教学目标设计 1、掌握简单的分式不等式的解法. 2、体会化归、等价转换的数学思想方法. 三、教学重点及难点 重点 简单的分式不等式的解法. 难点 不等式的同解变形. 四、教学过程设计 一、分式不等式的解法 1、引入 某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍. 设楼梯的长度为s ，甲的速度为v ，自动扶梯的运行速度为0v . 于是甲上楼所需时间为 s v ，乙上楼所需时间为02 s v v + . 由题意，得 2 s s v v v < +. 整理的 0122v v v <+. 由于此处速度为正值，因此上式可化为022v v v +<，即02v v >.所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍. 2、分式不等式的解法 例1 解不等式： 1 232 x x +>-. 解：（化分式不等式为一元一次不等式组） 1232x x +>-?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?10320x x -?或10320x x ->??-??或12 3x x >?? ??或 10 320 x x ->?? -?>，00a ab b -?12032x x +->-?()51032 x x -->-?1 032x x -<- ?()()3210x x --（0<）?()()0f x g x >（0<） ； （2） ()()0f x g x ≥（0≤）?()()()()000 f x g x g x ≥≤??? ≠??. 不等式知识点及其解题技巧 1、不等式的性质：（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或 （4）若，，则；若，，则。如（1）对于实数中，给出下列命题：①；②； ③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；（2）已知，，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则的取值范围是______（答：） 2. 不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差 的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如（1）设，比较的大小（答：当时，（时取等号）；当时，（时取等号））；（2）设，，，试比较的大小（答：）；（3）比较1+与的大小（答：当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。如（1）下列命题中正确的是A 、的最小值是2 B 、的最小值是 2 C 、的最大值是 D 、的最小值是（答：C ）；（2）若，则的最小值是______（答：）；（3）正数满足，则的最小值为______（答：）； ,a b c d >>a c b d +>+,a b c d >-0,0a b c d >>>>ac bd >0,0a b c d >><0a b >>n n a b >0ab >a b >11a b <0ab 11a b >c b a ,,22,bc ac b a >>则若b a bc ac >>则若,2222,0b ab a b a >><<则若b a b a 11,0<<<则若b a a b b a ><<则若, 0b a b a ><<则若,0b c b a c a b a c ->->>>则若,011,a b a b > >若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤- ≤3x y -137x y ≤-≤c b a >>,0=++c b a a c 12,2??-- ?? ?0,10>≠>t a a 且21log log 21+t t a a 和1a >11log log 22 a a t t +≤1t =01a <<11log log 22a a t t +≥1t =2a >12 p a a =+-2422-+-=a a q q p ,p q >3log x )10(2log 2≠>x x x 且01x <<43x > 3log x 2log 2x 413x <<3log x 2log 2x 43 x =3log x 2log 2x 1y x x =+ 2y =423(0)y x x x =-->2-423(0)y x x x =-->2-21x y +=24x y +,x y 21x y +=y x 11+3+ 创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克* 一元二次不等式解法练习 例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a ．＜＜．＜＜11a a C x a D x x a ．＞或＜．＜或＞x a a 1 1 例有意义，则的取值范围是 ．2 x x 2--x 6 例3 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝________． 例4 不等式3129x -≤的整数解的个数是 （ ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．4 例不等式＋＞的解集为5 1x 1 1-x [ ] A ．{x|x ＞0} B ．{x|x ≥1} C ．{x|x ＞1} D ．{x|x ＞1或x ＝0} 例与不等式 ≥同解的不等式是6 0x x --3 2 [ ] A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1 C ． ≥23 0--x x D ．(x －3)(2－x)≤0 例不等式 ＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax x -1 [ ] A a B a C a D a ．＜ ．＞ ．＝ ．＝－ 1 21 21 2 1 2 例解不等式 ≥． 8 237 232x x x -+- 例 9 解关于x 的不等式 (x －2)(ax －2)＞0． 1、 分析比较与的大小后写出答案． a 1 a 解∵＜＜，∴＜，解应当在“两根之间”，得＜＜． 选． 0a 1a a x A 11 a a 2、分析 求算术根，被开方数必须是非负数． 解 据题意有，x 2－x －6≥0，即(x －3)(x ＋2)≥0，解在“两根之外”，所以x ≥3或x ≤－2． 3、 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，－1和2是方程ax 2＋bx －1＝0的两个根，考虑韦达定理． 解 根据题意，－1，2应为方程ax 2＋bx －1＝0的两根，则由韦达定理知 -=-+=-=-=-?? ?????b a a ()()1211122 ×得 a b ==-121 2，． 4、答案 A 5、 分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分． 解不等式化为＋－ ＞，通分得＞，即＞， 1x 0001 11122 ----x x x x x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ． 说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解． 6、 解法一原不等式的同解不等式组为≥， ≠． ()()x x x ---???32020 故排除A 、C 、D ，选B ． 二次不等式、分式不等式的解法（二） 示标——知识归纳 1、不等式的结构 ()???????????--????????????指数、对数不等式等 超越不等式绝对值不等式无理不等式分式不等式高次一次、二次、整式不等式有理不等式代数不等式不等式 2、这些不等式解法的化归思路主要是： ???? ?????化去绝对值超越化为代数无理化为有理分式化为整式高次化为低次)5()4()3()2()1(最后化为???二次不等式一次不等式组 施标——应用举例 例1 解关于x 的不等式： （1）).(03222R a a ax x ∈>--（2）).0(0)1(22≠<++-a a x a ax 解（1）.,30322122a x a x a ax x -===--有二根 当0=a 时，021==x x ，解集为);,0()0,(+∞-∞ 当0a 时，,21x x > 解集为).,3(),(+∞--∞a a （2）0)1(22=++-a x a ax 有二根 .1,21a x a x = = 当0>a 时，原不等式化为,0)1)((<--a x a x 当1=a 时，解集为φ； 当10<a 时，解集为).,1(a a 当0--a x a x 当1-=a 时，解集为);,1()1,(+∞---∞ 当1-a 与0<--a a x a x ， )0(0)1)((<>--a a x a x 。它们的解集迥然不同。 知识点一：一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。比如：. 任意的一元二次不等式，总可以化为一般形式：或 . 知识点二：一般的一元二次不等式的解法 设一元二次方程的两根为且，，则相应的不等式的解集的各种情况如下表： （1）一元二次方程的两根是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线与轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分三种情况，得到一元二次不等式 与的解集。 知识点三：解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程，计算判别式： ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 知识点四：用程序框图表示求解一元二次不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)的过程规律方法指导 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数 二次函数（）的图象 类型一：解一元二次不等式 1．解下列一元二次不等式 （1）；（2）；（3） 思路点拨：转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答. 总结升华： 1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力； 2. 当时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当 且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）. 举一反三： 【变式1】解下列不等式 (1) ；(2) (3) ；(4) . 【变式2】解不等式： 类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数 2．不等式的解集为，求关于的不等式的解集。 《一元二次不等式及其解法》说课稿 各位老师好！今天我说课的题目是一元二次不等式及其解法，所选用的是高中数学人教A 版必修5教材。《一元二次不等式及其解法》出自该教材第二章不等式。根据新课标的理念，对于本节课，我将以教什么，怎样教，为什么这样教为思路，从教材分析，教学目标分析，教学方法分析，教学过程分析四个方面加以说明。 一、教材分析 1、教材的地位和作用 一元二次不等式的解法是解不等式的基础和核心，在高中数学中有广泛的应用，蕴藏着重要的数形结合思想，现已成为代数、三角、解析几何交汇综合的部分，也是近年来高考综合题的热点，可见，本节课的学习在高中数学中具有举足轻重的地位。 2. 学情分析 学生在初中已经学习了一元二次方程和一元二次函数，对不等式的性质有了初步了解。从心理特征来说，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生来说更加严密，抽象思维能力也有进一步提升，所以要更加注重其抽象思维的训练，因此对于这个阶段的学生来说，一元二次不等式的学习有一定的基础。 3. 教学重难点 根据以上对教材的地位和作用，以及学情分析，结合新课标对本节课的要求，我将本节课的重点确定为：.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型；围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想。 难点确定为：理解一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 二、教学目标分析 新课标指出，教学目标应包括只是与技能目标，过程与方法目标，情感与态度目标这三个方面，而这三维目标又应是紧密联系的一个有机整体，学生学会知识与技能的过程同时成为学会学习，形成正确价值观的过程，这告诉我们，在教学中应以知识与技能为主线，渗透情感态度价值观，并把前面两者充分体现在过程与方法中。借此，我将三维目标进行整合，确定本节课的教学目标为： 1.经历从实际情景中抽象出一元二次不等式模型的过程; 通过函数图象了解一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的联系; 会解一次二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图. 2.采用探究法，按照思考、交流、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学;发挥学生的主体作用，作好探究性实验; 理论联系实际，激发学生的学习兴趣. 3.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想; 通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辩证的世界观. 三、教学方法分析 本节课为了培养学生的探究型思维目标，实现学生在教师指导下的发现探索，让学生愉快的学习，在发现与探索中建构知识，发展能力，有效地渗透数学思想，同时以观察法为主的合作交流方 式，以一系列问题促进主体学生的学习活动，让学生自己发现问题、解决问题，得到一般性结论，教师则从旁适时点拨，帮助学生逐步攀升，从而达到知识与能力的目标。 课题： 一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法 目标： 1．巩固一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，掌握掌握简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法； 2．培养数形结合的能力，一题多解的能力，培养抽象概括能力和逻辑思维能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会从不同侧面观察同一事物思想。 重点：简单的分式不等式和特殊的高次不等式的解法。 难点：正确串根。 过程： 一、复习引入 1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系。 2．一元二次不等式的解法步骤。 引言：今天我们来研究一元二次不等式的另外解法，以及特殊的高次不等式、分式不等式的解法。 二、新课 ⒈ 一元二次不等式与特殊的高次不等式解法 例1 解不等式0)1)(4(<-+x x . 分析一：利用前节的方法求解； 分析二：由乘法运算的符号法则可知，若原不等式成立，则左边两个因式必 须异号，∴原不等式的解集是下面两个不等式组：???<+>-0401x x 与???>+<-0401x x 的解集 的并集，即{x|???<+>-0401x x }∪???>+<-040 1|{x x x }=φ∪{x|-4 ∴原不等式的解集是{x|-4高考数学 高次分式不等式解法
一元二次不等式及其解法教学设计
分式不等式的解法
分式不等式的解法基础测试题回顾.doc
《一元二次不等式及其解法》典型例题透析
高中数学不等式的分类、解法(教资材料)
专题二、分式不等式的解法
一元二次不等式及其解法例题分类
一元二次不等式的解法
分式不等式教案
不等式知识点及其解题技巧
一元二次不等式解法习题及答案
二次不等式、分式不等式的解法
一元二次不等式的解法
一元二次不等式及其解法》说课稿
一元二次不等式、高次不等式、分式不等式解法
相关主题
文本预览