【例1】 若0abc <，且a b c >>【考点】最简二次根式
【难度】2星
【题型】解答
【关键词】
【解析】根据0abc <和a b c >>可得，0a <，0b <，0c <或0a >，0b >，0c <
又4320a b c ≥，所以0b >，即0a >，0b >，0c <，则2a -
【答案】2a -
【例2】 化简： 【考点】最简二次根式
【难度】2星
【题型】解答
【关键词】
【解析】原式=．
【答案】
【考点】最简二次根式
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
=∵2(2)0a b +≥，2
(2)0a a b b +≥，∵0a
b ≥，∵a 、b 同号或0a =
∵2a b +与b 同号，∵20a b
b +>
∵原式2
22b a b
a b b +=?+
【答案】
【例3】)20x y >>
【考点】最简二次根式
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】
22y y x y x y ==--
【例4】 a b =，10ab 【考点】
【难度】
【题型】
【关键词】第12届，希望杯试题
【解析】由已知得ab ，ab ===10
ab =.
【巩固】计算：232xy 【考点】二次根式的乘除
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】2326618xy xy xy xy ==
【答案】18xy
【巩固】计算：(?- ? 【考点】二次根式的混合运算
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】原式2348914a a a ==-+
【答案】2348914a a a -+
【巩固】计算：2+=_________.
【考点】二次根式的混合运算
【难度】4星
【题型】填空
【关键词】第18届，希望杯，培训试题
【解析】原式
2=+252
?-+?
214== 【答案】14
【例5】 当
a =，求代数式2963a a a -++-的值. 【考点】二次根式化简求值
【难度】4星
【题型】河南省竞赛，第七届祖冲之杯数学竞赛
【关键词】
【解析】0
a =<，2296(3)13133a a a a a a a -+-+=+=--=--
【例6】 已知：3a b +=，1ab =，且a b >的值. 【考点】二次根式化简求值
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析=
∵22()()45a b a b ab -=+-=，a b >，∴a b -=，原式
=
=
【巩固】 已知：x =y =，求44x y +的值.
【考点】二次根式的化简求值
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】天津市，竞赛题
【解析】2x ===，2y ===+ 4x y +=，1xy =，24422222222()2()22194x y x y x y x y xy x y ??+=+-=+--=??
【答案】194
【例7】 已知1a =，b =2c =，那么a ，b ，c 的大小关系是＿＿＿
＿.
A.a b c <<
B.b a c <<
C.c b a <<
D.c b a <<
【考点】根式的大小比较
【难度】5星
【题型】填空
【关键词】2002年,全国初中数学联合竞赛，分子有理化 【解析】
a ==，
b =，c
显然22，
所以b a c <<．
【答案】b a c <<
二次根式的计算与化简（提高篇） 1、已知m 2、化简（1（2） x x x x x 50 2232212 3-+ （30)a > 3、当2x =2(7(2x ++的值。 4、先化简，再求值：221,39a b ==。 5、计算：) ...1 6、已知1a 222214164821442 a a a a a a a a a --++÷ -+-+-,再求值。
7、已知：3 21 +=a ，321 -=b ，求b a b a 222 2+-的值。 8、已知：2 323-+=a ，2 323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 1121212 2 2--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12 --+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3 a a a ÷ - 12、计算及化简：
⑴. 22 - ⑵ ⑶ ⑷ 13、已知：11a a +=+221 a a +的值。 14、已知1 1039 32 2++=+-+-y x x x y x ，求 的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分） 1． ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ）
3． 2 )1(-x ＝2 )1(-x ．…（ ） 4．ab 、3 1 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31 ，2 9x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－8 15 27102 ÷31225 a ＝_． 8．a －12 -a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋ 122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简 222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋ 3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分） 16．已知2 3 3x x +＝－x 3+x ，则………………（ ） （A ）x ≤0 （B ）x ≤－3 （C ）x ≥－3 （D ）－3≤x ≤0 17．若x ＜y ＜0，则 2 22y xy x +-＋ 2 22y xy x ++＝………………………（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y
《二次根式》拓展练习 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0B．﹣4C．4D．﹣8 2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5 4．（5分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x＝2D．x＜﹣2 5．（5分）下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D． 二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝． 7．（5分）若，则a m＝． 8．（5分）若u、v满足v＝，则u2﹣uv+v2＝．9．（5分）已知，求x y的值． 10．（5分）若有意义，则x的取值范围为． 三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）已知+＝b+8 （1）求a的值； （2）求a2﹣b2的平方根． 12．（10分）若a，b为实数，且，求．13．（10分）已知x，y都是实数，且，求x+2y的平方根．14．（10分）已知a是非负数，且关于x的方程+＝仅有一个实
数根，求实数a的取值范围． 15．（10分）若y＝﹣2，求（x+y）y的值．
《二次根式》拓展练习 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0B．﹣4C．4D．﹣8 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：有意义，则a+1≥0， 解得：a≥﹣4， 故a能取的最小整数为：﹣4． 故选：B． 【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，分别计算即可．【解答】解：A，x+3≥0，解得，x≥﹣3，错误； B、x﹣3＞0，解得，x＞3，错误； C、x+3＞0，解得，x＞﹣3，错误； D、x﹣3≥0，解得，x≥3，正确， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0， 解得：x≥3，
二次根式能力拓展题 (提高篇)
二次根式的计算与化简（提高篇） 1、已知m 2、化简（1）（2） x x x x x 5022322123-+ （3）0)a > 3、当2x =2(7(2x ++ 4、先化简，再求值：22，其中1,39a b ==。 5、计算：) ...1 6、已知1a =，先化简222214164821442a a a a a a a a a --+++÷-+-+-,再求值。
7、已知：321+=a ，321 -=b ，求b a b a 2222+-的值。 8、已知：232 3-+=a ，2 323+-=b ，求代数式223b ab a +-的值。 9、已知30≤≤x ，化简9622+-+x x x 10、已知2a =a a a a a a a a 112121222--+---+- 11、①已知2222x y x xy y ==+++求：的值。 ②已知12+=x ，求1 12--+x x x 的值． ③)57(9 64222x x y x y +-+ ④3)2733(3a a a ÷-
12、计算及化简： ⑴. 22 - ⑵ ⑶ ⑷- 13、已知：11a a + =+221a a +的值。 14、已知1 1039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。 二次根式提高测试 一、判断题：（每小题1分，共5分）
1． ab 2)2(-＝－2ab ．…………………（ ） 2．3－2的倒数是3＋2．（ ） 3．2)1(-x ＝2)1(-x ．…（ ） 4．ab 、31 b a 3、b a x 2- 是同类二次根式．…（ ） 5．x 8，31，29x +都不是最简二次根式．（ ） 二、填空题：（每小题2分，共20分） 6．当x__________时，式子31 -x 有意义． 7．化简－815 27102÷31225 a ＝_． 8．a －12-a 的有理化因式是____________． 9．当1＜x ＜4时，|x －4|＋ 122+-x x ＝________________． 10．方程2（x －1）＝x ＋1的解是____________． 11．已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简222 2d c ab d c ab +-＝______． 12．比较大小：－721_________－341 ． 13．化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________． 14．若1+x ＋3-y ＝0，则(x －1)2＋(y ＋3)2＝____________． 15．x ，y 分别为8－11的整数部分和小数部分，则2xy －y2＝____________． 三、选择题：（每小题3分，共15分）
二次根式拓展提高练习 1、化简： 2 3)20x y >> 4a b ==，用a 、b 表示9.4
5、计算：232xy 6、计算：(?- ? 7、计算：2+=_________. 8、当 a =，求代数式2963a a a -+-的值.
9、已知：3a b +=，1ab =，且a b >的值. 10、已知：x = y =，求44x y +的值. 11、已知1a ，b =2c =，那么a ，b ，c 的大小关系是＿＿＿＿. A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.c b a << 12、把代数式(x -___________； 13、已知：2b =，则 11a b +的平方根为_____________； 14、若a 、b 为实数，且|1|0a -， 则1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993) ab a b a b a b +++++++++的值为_____________；
15 =成立的条件是_________ =-，则x 的取值范围是_________； 16 、若化简|1|x -25x -，则x 的取值范围是__________； 17、如果||1a a =- ，那么|21|a --； 18 、代数式3--_________；这时,a b 的关系是_________； 19 a b ==，用,a b =_________； 20 、化简：； 21 、若最简二次根式a =________； 22、若△ABC 的三边长分别为,,a b c 0=，则最大边c 的取值范围为____________。 23、已知a 为实数，且满足200a a -=，则2200a -的值为________； 24、已知01x << ； 25、已知a =的值。 26、已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简222 2d c ab d c ab +-＝______； 27、化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________； 28、化简： 2 1a a a --=______________ 29、若2223+-=+x x x x ，则x 的取值范围是_______________； a a a a a a a -+---+-+22212121,321 求
二次根式拓展提高（讲义） 一、知识点睛 1． 理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2． 根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3． 完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞ ，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4． 实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化 二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（ ） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2
2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．
八年级数学二次根式拓展提高之恒等变形(实数) 拔高练习 试卷简介:全卷共三个大题，第一题是填空（7道，每道5分）；第二题是计算（3道，每道5分）；第三题是解答（4道，每道10分），满分120分，测试时间30分钟。本套试卷有一定的难度系数，包含了根式的意义及其与绝对值、完全平方式的综合运用，同学们可以在做题过程中回顾课本，加深对根式的理解。 学习建议:本讲内容是在课本基础上的拔高训练，深入地剖析了根式，需要同学们更加深入地理解根式的意义，也要熟悉其与绝对值、完全平方式的综合运用。虽然题目有些难度，但万变不离其宗，大家可以在做这部分题的时候多回顾课本，真正做到理解最基本的知识点。 一、填空题(共7道，每道5分) 1.化简：=______. 答案：6 解题思路：被开方数必须大于等于零，∴，即. 又，∴a-1=0 ∴a=1 代入所求式子，答案为6. 易错点：忽略了被开方数是大于等于零这一隐含条件 试题难度：三颗星知识点：二次根式有意义的条件 2.若有意义，则a-b=______. 答案：0 解题思路：若使有意义，需满足2ab-b-a2-b2≥0，即-(a-b)2≥0 ∴(a-b)2≤0 又(a-b)2≥0 ∴(a-b)2=0 ∴a-b=0 易错点：没有掌握被开方数必须大于等于零这一条件 试题难度：二颗星知识点：二次根式有意义的条件 3.已知，若axy-3x=y，则a=______. 答案： 解题思路：算术平方根和完全平方式都是大于等于零的，而二者之和等于零，所以二者分别 等于零，故可得出x=，y=3.然后代入axy-3x=y，可得a=. 易错点：求不出x、y的值 试题难度：三颗星知识点：二次根式有意义的条件 4.若，则3x+4y=______.
《二次根式》培优 一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。 时，a c +=+ 2. 二次根式的性质 （1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化 （1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解
基础巩固 1.化简： （1 ） （2 （3 （4 ） （5 （6 ） 解：（1 ）. （2 3. （3 ） （4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0=
初中数学·人教版·八年级下册——第十六章二次根式 16.1二次根式 16.1.1二次根式的概念 基础闯关全练 拓展训练 1.(2019河南驻马店平舆期末)下列各 式:①38;②-(-b);③a2;④;⑤x2+2x+1,一定是二次根式的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.(2019海南海口十四中4x的取值范围是() A.x≠-1 B.x≥-1 C.x>-1 D.x<-1 3.(2019重庆璧山四校期中联考)若x、y都是实数,且2x-1+1-2x+y=4,则xy的算术平方根为() A.2 B.±2 C.2 D.不能确定 能力提升全练 拓展训练 1.使式子6+x-2x+3有意义的最小整数x是. 2.(2017山东济宁十三中模拟)无论x取何实数,式子x2+6x+m都有意义,则m的取值范围为. 三年模拟全练 拓展训练 1.(2018 x的取值范围是() A.x>0 B.x≠9 C.x≥0且x≠9 D.x>0或x≠9 2.(2019山东德州宁津实验中学第一次月考,11,★★☆)如果式子-m+ P(m,n)在平面直角坐标系中的位置是() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.(2019安徽宿州十八中期末,12,★★☆)若a、b为实数,且 a+b=.
五年中考全练 拓展训练 1.(2016云南曲靖中考,10,★☆☆)如果整数x>-3,那么使函数y= -2x有意义的x的值是(只填一个). 2.(2019四川内江中考,22,★★☆)若|1001-a|+a-1002=a,则a-10012=.核心素养全练 拓展训练 1.已知m满足2x+3y-m=0, 3x+2y+1+2m=0,且x+y-2020=-2020-x-y,求m的值. 2.先阅读,后回答问题. x为何值时x(x-1)有意义? 要使式子有意义需满足x(x-1)≥0, 由乘法法则得x≥0,x-1≥0或x≤0,x-1≤0, 解得x≥1或x≤0, 即当x≥1或x≤0时,x(x-1)有意义. 体会解题思想后,解答:x
教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能： （1）理解二次根式的概念， （2）利用公式的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 2、过程与方法： 通过自主合作学习，和教师合作精讲，掌握学习目标。 3、感态度与价值观： 培养学生辩证唯物主义观点。 2. 教学重点/难点 二次根式中被开方数的取值范围。 3. 教学用具 多媒体，白板。 4. 标签 教学过程 1 、引入新课 【师】同学们好（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：面积为3的正方形的边长为 ___面积为S的正方形的边长． 问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130则他的宽为 __________． 问题3：一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t与开始落下时离地面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表示t，那么t为 _________． 答案：
【板书】 第十六章二次根式 2 、新知介绍 【师】很明显都是一些正数的算术平方 根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如\（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 思考: （学生活动）议一议： 1）-1有算术平方根吗？(没有) 2）0的算术平方根是多少？（0） 3）当a<0，有意义吗？（没有） 例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有： 不是二次根式的有： 【板演/PPT】 【师】大家刚才都完成了任务，接下来我们一起学习二次根式性质： 我们学过，，a≥0的式子叫二次根式，我们知道a≥0那么呢？因是a的算术平方根所以≥0.下面我们根据二次根式的非负性解决实际问题。 例2：当x是多少时，在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x≥1/3 当x≥1/3时，在实数范围内有意义． 3、巩固训练（生演板）
二次根式 第一课时 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 （a ≥0 ）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1（ a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y= ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3， BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以，所以所求点的坐标． 问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得S= 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们（a ≥0）?的式子叫做二次根式，号． 3x B A C
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 有意义吗？ 老师点评:（略） 例1 （x>0） 、 、 （x ≥0，y ?≥0）． 分析 ；第二，被开方数是正数或0． 解： x>0）、- x ≥0，y ≥0）；、 、． 例2． 当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P 练习1、2 、3． 四、应用拓展 例3．当x + 在实数范围内有意义？ 分析+ 中的≥0和 中的x+1≠0． 解：依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1+在实数范围内有意义． 例4(1)已知+5，求的值．(答案:2) 1x 1x y +1x 1x y +1313 11x +11x +11 x +23010x x +≥??+≠? 32 3211 x +x y
二次根式培优 一、知识的拓广延伸 1、挖掘二次根式中的隐含条件 一般地，我们把形如a a() ≥0 的式子叫做二次根式，其中0 a≥。 根据二次根式的定义，我们知道：被开方数a的取值范围是0 a≥，由此我们判断下列式子有意义的条件： 1 (1; 2 (4); 1 x ++ -+ + 2、 教科书中给出： (0) a a =≥，在此我们可将其拓展为： a a a a a a 2 == ≥ -< ? ? ? || () () （1）、根据二次根式的这个性质进行化简： ①数轴上表示数a 的点在原点的左边，化简 2a ②化简求值： 1 a a= 1 5 ③已知， 1 3 2 m -<< ，化简2m ④______ =； ⑤若为a,b,c ________ =; ___________ =. （2）、根据二次根式的定义和性质求字母的值或取值范围。 ①若1 m=,求m的取值范围。 4x =-，则x的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． ③若a= ④3,2xy 已知求的值。 二．二次根式a的双重非负性质：①被开方数a是非负数，即0 ≥ a
②二次根式a 是非负数，即0≥a 例1. 要使1 21 3-+ -x x 有意义，则x 应满足（ ）． A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．2 1 ＜x ≤3 例2（1）化简x x -+-11＝_______． (2) x ＋y )2，则x －y 的值为( ) (A)－1． (B)1． (C)2． (D)3． 例3(1)若a 、b 为实数，且满足│a －2│+2b -=0，则b －a 的值为( ) A ．2 B ．0 C ．－2 D ．以上都不是 (2)已知y x ,是实数，且2)1(-+y x 与42+-y x 互为相反数，求实数x y 的倒数。 三，如何把根号外的式子移入根号内 我们在化简某些二次根式时，有时会用到将根号外的式子移入根号内的知识，这样式子的化简更为简单。在此我们要特别注意先根据二次根式的意义来判断根号外的式子的符号。如果根号外的式子为非负值，可将其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数，根号前的符号不会发生改变；如果根号外的式子为负值，那么要先将根号前的符号变号，再将其其平方后移入根号内，与原被开方数相乘作为新的被开方数。 （1）、 根据上述法则，我们试着将下列各式根号外的式子移入根号内： ①- ②(a -（2）、利用此方法可比较两个无理数的大小。 (2)2-—3 四，拓展性问题 1、 整数部分与小数部分 要判断一个实数的整数部分与小数部分，应先判断已知实数的取值范围，从而确定其整数部分，再由“小数部分=原数—整数部分”来确定其小数部分。 例：（1）1的整数部分为a ，小数部分为b ，试求ab —b 2的值。 （2）若x 、y 分别为 8-2xy —y 2的值。 （3 a ，小数部分为 b ，求a 2+b 2 的值。 （4）若________a a b a b ==是的小数部分，则。 5a a b -（的整数部分为a ，小数部分为b ，求的值。 2、巧变已知，求多项式的值。 32351 x x x x = +-+（1）、若的值。
二次根式 一、二次根式的两个非负性. 1）、被开方数非负的应用：【a ≥0】 例1：已知：y=32-x +x 23-+2.则x y = . 例2：已知：b= b a a 3462+-+b a a 3426+-则a 2-ab+b 2= . 例3：设a.b.c 均为不小于3的实数. 则2-a +1+b +11--c 的最小值是 . 针对性训练： 1、代数式x +1-x +2-x 的最小值为 . 2、求：4+a +a 29-+a 31-+2a -的值为 . 2）、结果非负【a ≥0】的应用 例1：已知：4+x +（2x+y ）2=0则x-y 的值为 . 针对性训练习： 1、已知：2-m +x 2+y 2+4x-6y+13=0则（x+y ）m 的值为 . 2、①.110-x +1有最小值时x= ，这个最小值为= . ②.42+x +1有最小值时x= ，这个最小值为= ③.9-24x -的最大值为 ，最小值为 . 3）、综合应用.8 例1：已知：2001-a +a -2000=2003-a 求：a 例题：已知：3x +5y =7其中（x>0）求m=2x -3y 的取值范围. 针对性练习： 1、已知：实数a 满足a -2004+2005-a =a 则a-20042的值为 .
4）、一个非负数转化为另一个非负数的平方的应用【2)( a a =】 例1: 填空：y-21-y =( )2 例2：已知：2（x +1-y +2-z ）=x+y+z.求x.y.z 的值. 例3：已知a+b 2+11--c =42-a +2b-3 求：a+2b-2 1 c 的值. 针对性练习 1、a,b,c 是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求()()()b a c a c b c b a +++++的值 2、如果( ) 9214+++=-+-+z y x z y x ，那么x+y+z 的值是多少 二、2a =a 的应用 拓展为b a 2= a b 反过来a b =b a 2时要注意a 符号 例1：设x<0.y<0.在x x y -y 13xy -y x 3化简= . 例2：若3-x +()21-x =2则x 的取值范围是 . 例3：已知：-32 二次根式的运算拓展与提高 【例1】 已知2 542 4 52 2 2 +--- --= x x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题) 【例2】 化简 2 2 ) 1(111++ + n n ，所得的结果为（ ）(武汉市选拔赛试题) A ．1 111++ + n n B ．1 111++ - n n C ．1 111+- + n n D ．1 111+- - n n 【例3】计算： （1） ) 23)(36(23346+ + ++； （2； 【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题) 巩固练习 1．如果2 2332+-+ -= x x y ，那么4x y -= ． 2．已知3=xy ，那么y x y x y x +的值为 ． (成都市中考题) 3．计算2001 ) 13(2) 13(2) 13( 1999 2000 2001 ++-+-+= ．(天津市选拔赛试题) 4．若 ab ≠0，则等式ab b b a -= - -3 5 1成立的条件是 ．(淄博市中考题) 5．如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( ) A ．x ≤1 B ．x ≥2 C ．1≤x ≤2 D ．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子a a -- -11) 1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1 7．已知)0,0(02 >>=+-y x y xy x ，则 y xy x y xy x 4353-++-的值为( ) A ．3 1 B ． 2 1 C ． 3 2 D ． 4 3 8．已知3 21 += a ，那么 a a a a a a -+-- +-2 2 2 1 21 1 的值等于（ ） 2021年人教版八年级数学下册 第十六章 二次根式 综合提升训练题 一、选择题 1．估计(的值应在（ ） A ．2和3之间 B ．3和4之间 C ．4和5之间 D ．5和6之间 221a =-，那么（ ） A ．12a < B ．12a ≤ C ．12a > D ．12 a ≥ 3有意义，则字母x 的取值范围是（ ） A ．x ≥-2 B ．x ≠4 C ．x <-2 D ．x ≥-2且x ≠4 4．下列计算结果，正确的是（ ） A 3 B C ． 1 D ．2＝5 5．实数a ，b |||+|-+a b a b 的结果是（ ） A ．2a ﹣b+1 B ．a ﹣2b+1 C ．﹣a+2b ﹣1 D ．2a+b ﹣1 6是整数，则n 的值不可能是（ ） A ．2 B ．8 C ．32 D ．40 7．化简2+|x ﹣2|结果为（ ） A ．0 B ．2x ﹣4 C ．4﹣2x D ．4 8．下列计算正确的是（ ） A = B = C D 9．下列式子一定成立的是（ ） A 2a =﹣2 B 2a =＋2 C =D = 10．已知实数x y ，满足50x -=，则x y ，的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ．21或18 B ．21 C ．18 D ．以上均不对． 二、填空题 11．已知实数31a ，则a 的倒数为________． 12_____ 13．已知52 x =|4|x -的结果是_____． 14．14．若6x ，小数部分为y ，则(2x y 的值是___. 15．数轴上有A ，B ，C 三点，相邻两个点之间的距离相等，其中点A 表示B 表示1，那么点C 表示的数是________． 三、解答题 16．先化简，再求值：2224112a a a a a -÷----，其中2a =． 17．先化简，再求代数式2211122x x x -??-÷ ?++??的值，其中1x =-． 18．（1）()() 33 （2 19．先阅读下列的解答过程，然后再解答： 只要我们找到两个正数a 、b ，使a b m +=，72a b -=，使得22m +==那么便有： )a b ==> 7m =，12n =，由于437+=，4312?= 即227+== 2===+（1）填空：625-= ，1046+= ； （2）化简：29813 -． 20．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ ===…… 二次根式单元综合提高 一、选择题 1、下列各式中，不是二次根式的是（ ） A B 2 、若a = ，5 b = ，则a b 、两数的关系是（ ） A ．a b 、互为相反数 B ．a b 、互为倒数 C ．5a b = D ．a b = 3、下列各数分别与（2 ） A B ．2+ C ．2- D ．2-+4 、计算：? （ ）（不用计算器） A ． B ． C D ． 5 、 ） A ．1x ；≥ B ．1x -；≥ C ．x -；1≤≤1 D ．11x x -或≥≥． 6、正方形的面积为4，则正方形的对角线长为（ ） A ． ．．4 二、填空 7 、请你写出一个能与 合并的最简二次根式 ． 8、当0a ＜ 时，a 的值是 ． 9 、已知1y =+，则 y x = 。 10 你发现了什么规律，请用含n （n 是正整数）的式子来表示： ． 三、计算 （1）(2 -（2）- （3） （4）+ （5）(1)(2)- + （6）()÷ （7）) ) 2011 2012 2 2 -? 四、综合练习 11、已知：22a b = -= ，，分别求下列代数式的值： （1）2 2 a b ab -； （2）2 2 a a b b ++． 12、由两个等腰直角三角形拼成的四边形（如图），已知AB ，求： （1）四边形ABCD 的周长； （2）四边形ABCD 的面积． 13、如图，扶梯AB 的坡比为4:3，滑梯CD 的坡比为1:2，设AE ＝40米，BC ＝30米，一男 孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程？ 14、如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它是由黑白完全相同的方砖密铺 而成。求一块方砖的边长。 15、①已知的值。求：2 2 ,32,32y xy x y x +++ =-= ②已知12+=x ，求1 1 2 -- +x x x 的值． 第十六章二次根式 教材简析 本章的内容主要包括：二次根式的概念和性质、二次根式的乘除、二次根式的加减．在中考中，本章重在考查二次根式的概念和性质以及运用二次根式的运算法则进行化简、求值． 教学指导 【本章重点】 二次根式的性质和运算． 【本章难点】 灵活运用二次根式的性质及运算法则进行相关的化简与实数的简单运算． 【本章思想方法】 1．掌握类比思想．如：类比算术平方根的概念理解二次根式的性质，类比整式的运算法则理解二次根式的运算法则． 2．掌握分类讨论思想．如：在进行二次根式的化简时，当被开方数中有字母且没有给出字母的取值范围时，应考虑对字母的取值进行分类讨论． 3．体会整体思想．如：在求含有二次根式的代数式的值时，有时从整体角度考虑，将已知条件和待求值的式子进行变形后整体代入求值． 课时计划 16.1二次根式2课时 16.2二次根式的乘除2课时 16.3二次根式的加减2课时 16.1二次根式 第1课时二次根式的概念 教学目标 一、基本目标 【知识与技能】 理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围． 【过程与方法】 经历观察、比较、总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程，发展学生的归纳概括能力． 【情感态度与价值观】 经历观察、比较和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识． 二、重难点目标 【教学重点】 二次根式的概念，二次根式有意义的条件． 【教学难点】 求二次根式中字母的取值范围． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P2～P3的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根．因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 2．一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 3．下列式子中，不是二次根式的是(B) A．45B．－3 C．a2＋3D．2 3 环节2合作探究，解决问题活动1小组讨论(师生互学) 第16章二次根式教学活动设计 52)(2652)本节课你有何收获或困惑？ 二次根式的混合运算说课材料 龙脑桥中学 向来萍 一 教学目标 1.能运用多项式乘法法则和整式乘法公式进行二次根式的运算； 2.熟练进行二次根式的混合运算。 二 教学重点 1.能运用多项式乘法法则和整式乘法公式进行二次根式的运算； 2.熟练进行二次根式的混合运算。 三 教学难点 1.能运用多项式乘法法则和整式乘法公式进行二次根式的运算； 2.熟练进行二次根式的混合运算。 四 学情分析 在二次根式性质和乘除及加减运算的基础上，本课进一步学习二次根式的混合运算，二次根式的混合运算是本章所学内容的综合运用，运算过程中用到乘法分配律，还需用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，教学中要注意让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系.教科书中例3是二次根式的加减乘除混合运算，运算过程中要注意由浅入深的层次安排，类比整式混合运算从单项式与多项式相乘、多项式除以单项式、多项式与多项式相乘到乘法公式的应用，逐渐从数过渡到带有字母的式．例4也是二次根式的混合运算，在运算过程中用到多项式的乘法法则和整式的乘法公式. 教学中，要注意让学生体会二次根式的运算与整式运算的联系，在进行二次根式的混合运算时，应注意：（1）二次根式的混合运算顺序和实数的混合运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的，先算括号的（或者先去括号）；（2）二次根式运算结果要简化；（3）二次根式的混合运算时，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再根据题目的特点确定合适的运算方法，同时要灵活运用乘法公式、因式分解等方法简化计算 。 五 教学过程 （一）课前预习 计算： （1）6·a 3· b 31 （2）16 141 二次根式 1.下列各式中，一定是二次根式的是 （ ） 2.(2010.无锡)有意义的x 取值范围是 （ ） A.13x > B. 13x >- C.x ≥13 D. x ≥－13 3.a 的取值范围是 （ ） A.a ≠0 B. a >－1且a ≠0 C. a >－3且a ≠0 D. a ≥－3且a ≠0 4.若1m =，则m 的取值范围是 （ ） A.m>1 B. m<1 C. m ≥1 D.m ≤1 5. （ ） A. a ≤0 B. a ≥0 C.a <0 D a >0 6.(1) 2＝a 成立的条件是 ； （2-a 成立的条件是 . 7.当x 2x =-. 8.x . 9.若a ，b 满足2(2)0a b +-+=，那么21b a -+= . 10.2 23x x -+= . 11.要使下列二次根式有意义，则x 的取值范围是什么？ (1) ; . 12.把下列各式在实数范围内分解因式. （1）2441x x -+； （2）4 9a -. 13.2440b b -+=，求b a 的值. 14.已知x ，y ，z |1|0y -=，求200920083x y z ++的值. 15.已知－2≤a ≤2 . 参考答案 1.B 2.C ［提示：由3x －1≥0，得x ≥ 13.］ 3.D ［提示：字母a 应满足 ，即a ≥－3，且a ≠0.］ 4.C ［提示：将原式变形可得1m =，可知1－m ≤0，∴m ≥1.］ 5.A 提示：（1）被开方数为非负数.（2）2a ≥0，∴-a ≥0，∴a ≤0.提示：(2)x -≥0，∴2-x ≥0， ∴x ≤2.提示：∵2－x ≥0， ∴x ≤2，又x －2≥0，∴x ≥2.∴x ＝2.hslx3y3h 9.0［提示：由题意可得a+b -2=0，① b －2a +3＝0，② ①+②得2b －a+1＝0.］ 10.2［提示：由题意可得x-1≥0，1－x ≥0，∴x=1，代入原式，结果为2.］ 11.解：（1）1x - ≥0，且≠0,∴x-1<0. (2) 22440,(2)0x x x -+≥-≥即，∴x 为任意实数（3）10x-10-1 x -≥≠，且，∴x-1﹤0,即x ﹤1 (4）x+1≥0,2，∴x ≥-1,且x ≠3 12.解：2222 441(2)221(21)x x x x x -+=-?+=- （2）42229(3)(3)(3)(a a a a a a -=+-=++ a+3≥0 a ≠0 次根式拓展专题培优 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 二次根式的专题提高 一、二次根式的双重非负性 例题：1、使式子 x x 2 -有意义的x 的取值范围是 2、无论x 取任何实数，m x x +-62都有意义，则m 的取值范围是 3、已知22284x x y -+-= ，求x+y 的值 4、已知实数a,b,c 满足0432=-++b a ，012442 =--+c b c ，求a+b+c 的值。 练习： 1、使式子 1 1 --x x 有意义的x 的取值范围是 2、若4342 -=-+-b a a ，则b a 22 -= 3、若a a a =-+-20152014，则2 2014-a = 二、简单的二次根式的化简 例题：1、如果式子322)1(2 -=-+-x x x ，则x 的取值范围是 2、把a b b a --1 )(根号外的因式移到根号内的结果为 练习： 1、化简（1）a a 1- （2）22x x x -- 2、已知a,b,c 为?ABC 的三边，化简2 2 2 2 )()()()(a b c c a b c b a c b a -----+--+++的结果为是 3、若x x +=-11，则2 )1(-x = 三、二次根式的运算与规律探究 例题：1、观察下列各式：1131432112 +?+=???+，1232543212 +?+=???+， 1333654312+?+=???+，猜测=???+20172016201520141 2练习： 1、设n,k 为正整数，， ， ，已知 ,则 2、小明做数学题时,发现 , ,,,按上述规律, 第n 个等式是 3、设S= + +…+，求不超过S 的最大整数 四、分母有理化 例题：黑白双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中常见的描述，其意是指两人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”如： ， 与 的积不含有根号，我们就说这两个式子互为有理化因 式，其中一个是另一个的有理化因式．于是二次根式 可以这样解： ，像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母 中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化． 解决问题：① 的有理化因式是， 12 1 分母有理化得 ②计算： ③计算： ． ④已知, ,则 ⑤已知:, , ,试比较a 、b 、c 的 大小. 练习： 1、计算)12004)(2004 20031 231321211( +++++++++ = 2、已知 则 3、已知实数x,y 满足,则 的值 为 五、二次根式的计算综合题二次根式的运算拓展与提高
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