负数的认识和意义
2.2．1 对数的含义 一学习目标：1理解对数的概念. 2掌握对数与指数的关系式。 3会进行指对互化以及简单的指对互化。 二 自学指导 1 自学课本第62页的内容，思考并回答下列问题： （1）对数的意义是什么？对数与指数有什么联系？你能举两个具体的例子吗？ （2）对数式中底数的范围是什么？思考为何会有这个范围？ （3）常用对数和自然对数又是怎样定义的？ （4）负数和零有没有对数？1log 0,log 1a a a ==证明 三 自主检测 1 填写下列表格 2 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式 (1)4381;= (2)132;8-= (3)1() 4.3355 m = 16 14 (4)log 2=- lg100(5)2= (6)ln10 2.303=
3求下列各式中x 的值 (1)327log 2x = (2)2log 23 x =- (3)16log 12 x = (4)lg 0.001x = (5)2ln e x -= (6)lg 3x = (7)ln 1x =- (8)8log 6x = (9)2log 643x =- 三 随堂练习 1求出使对数有意义的x 的范围 (1)(2)log (1)x x +- (2)(32)log (12)x x +- 2 求下列各式的值 3210log log 1 5(1)1010.log ππ-+ (2)log 3变式训练 (1)22log 3327_____-=。 (2)lg 525,___x x ==则。 232(3)log ,log ,____m n a a m n a +===则。 5534[log ][log ]3 4(4)log log 0,_____b a b a ===（log ）（log ）则 26 3 2 211(6)log log 044x x αβαβ++=?=的两根为和，则（）（）_________ 五 课堂小结 对数的意义是什么？（即指对互化的公式）
认识负数 教学目标： 1、在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会读、写负数； 2、会用负数表示一些日常生活中的量，体验数学的应用价值； 3、在认识负数和应用负数解决问题的过程中获得成功的体验。 教学重点： 感受负数产生的必要性，理解负数的意义，会正确地读写负数，感受负数在生活中的广泛应用。 教学难点： 理解负数的意义，并对生活中的一些负数的实际意义做出解释。 教学准备： 多媒体、课件、数字卡片 教学课时： 1课时 教学过程： 课前谈话 同学们，在我们生活中，存在着很多意义相反的现象，比如说：“向上看（向下看）；向东走200M（向西走200M）；电梯上升15层（电梯下降15层）…….. ”你能举出一些这样的例子吗？ （一）用正号（+）和负号（—）记录相反意义的量
1.像这样意义相反的现象，在我们学校也是随处可见的，比如：（出示班级人数变化表）我们班本期的人数和上期相比，发生了什么变化？其他班呢？指名说说。 （有的班学生人数增加了，有的班人数减少了）人数增加、减少是一组表示相反意义的量，你觉得老师这样记录能把它们区分开来吗？你有更好的方法进行记录吗？用你自己喜欢的方式进行记录。 学生填表，指名展示反馈，说说自己的想法。 你觉得哪一种最具数学味的？这样记录有什么好处？是的，数学家们也喜欢采用这种既简洁又方便的方法来表示这样具有相反意义的量，而“加号“和”减号”在这里应读作“正号”和“负号”，现在你会读这些数吗？谁来试一试？（师带读），那我们就一起用带有正号和负号的数重新记录一下好吗？ 2.现在你会用带有正号和负号的数来记录其他表示相反意义的量吗？（课件出示） （1）一辆公交车经过胡长保教育集团站时有13人上车，9人下车。 如果上车13人记作（+13人），读作（正13人）， 那么下车9人记作（-9人），读作（负9人）。 (如果上车记为正,那么下车就记为负) （2）高老师九月份存入3000元，十月份取出2500元。 如果存入3000元记作（+3000元），读作(正3000元)， 那么取出2500元记作（-2500元），读作（负2500元）。 (如果存入记为正,那么取出就记为负) （3）一个蓄水池夏季水位上升0.85米，冬季水位下降0.79米。 如果上升0.85米记作（+0.85米），读作（正0.85米），
负数的认识 （1）表示相反意义的量 例1、用最简单的形式表示下列各个量 ①某人走了5千米 ②今天张三的体温是摄氏38度 解：① 5千米②38°C 注：一个量由计量的数和计量单位两部分组成 例2、用最简单的形式表示下列各个量 ①向东走了5千米、向东走了5千米 ②摄氏零上5度、摄氏零下5度 解：① 东5千米、西5千米 若都写成5千米就没法区别这两个量的不同意义 ②零上5°C、零下5°C 若都写成5°C就没法区别这两个量的不同意义 可以看到仅用计量数5与计量单位是无没表示出，象例2中这样的具有相反意义的量的，我们只好在计量数前面冠以东、西、零上、零下这样的字眼，这种计量方法确实有点麻烦。具有相反意义的量是一种很普遍的现象，如盈利1000元与亏本1000元，进步30名与退步30名等等。因此数学家把一种意义用“+”号表示，与它相反的意义用：“-”号表示 这样例2的答案就是：① +5千米、 +5千米 ②+5°C、-5°C 至于哪一个意义规定为正数学上并无特别的要求。习惯上，我们把具有正面的、向上的意义用“+”号表示，具有反面的、向下的意义用“-”号表示。
例3、用最简单的形式表示下列各个量 如盈利1000元与亏本1000元 讲解：规定“盈利”这一意义用“+”号表示，则“亏本”就用“-”号表示 因此，盈利1000元记为+1000元 亏本1000元记为-1000元 （2）正数与负数 在例3中，两个量的计量数分别就是+1000和-1000 以后我们把+1000叫做正数它与我们原来所说的1000是相同的， -1000叫做负数它与我们原来所说的1000是相反的。 再如+5是正数与我们原来所说的5是相同的， -5是负数它与我们原来所说的5是相反的。 （3）相反数 象+5与-5，+1000与-1000这样只有符号不同的数叫做互为相反数，一个数叫做另一个数的相反数，规定0的相反数还是0 例4、写出下列各数的相反数 +5.3，-34，-3/7，0 注意：+0与-0都与0相同 负数的意义 “人有悲欢离合，月有阴晴圆缺”这都是自然界的常态，数字也是如此，有正必有负，有赢定
对数的概念 一、教学内容分析 本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学生学习情况分析 现阶段大部分学生学习的自主性较差，主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，故应通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、转化、归纳等数学思想的学习方法。 三、设计思想 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。让学生在教师的引导下，充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权。 四、教学目标 1、理解对数的概念,了解对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的互化；理解对数的性质，掌握以上知识并形成技能。 2、通过事例使学生认识对数的模型，体会引入对数的必要性；通过师生观察分析得出对数的概念及对数式与指数式的互化。 3、通过学生分组探究进行活动，掌握对数的重要性质。通过做练习，使学生感受到理论与实践的统一。 4、培养学生的类比、分析、归纳能力，严谨的思维品质以及在学习过程中培养学生探究的意识。 五、教学重点与难点 重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的相互转化。 难点：（1）对数概念的理解；（2）对数性质的理解。
正数、负数以及0的意义 一、教学目标： 知识与技能： 借助生活中的实例理解有理数的意义，会判断一个数是 正数还是负数，能应用负数表示生活中具有相反意义的量。 过程与方法： 1、体会负数引入的必要性，感受有理数应用的广泛性， 并领悟数学知识来源生活，体会数学知识与现实世界的联系。 2、能结合具体情境出现并提出数学问题，并解释结果 的合理性。 情感态度与价值观： 结合负数的历史，对学生渗透数学传统文化的教 育与爱国主义的教育，培养学生良好的数学情感。 二、学情分析： 学生刚上初中，对初中的新鲜事物都不熟悉，因此会对初中学习的内容比较感兴趣，是老师培养学生对数学的兴趣的关键时刻。巧用课本素材，渗透传统文化，利用多媒体形象、直观的特点为学生构建思维想象的平台，营造良好的学习氛围，充分调动学生学习的积极性、自觉性，用以达到以快乐的形式去追求知识的目的。三、教学重、难点： 重点：体会负数引入的必要性和有理数应用的广泛性, 能应用正负数表示生活中的具有相反的意义的量。 难点：能应用正负数表示生活中的具有相反的意义的量，养成把数学应用于生活实际问题的习惯。
四、教学过程 教学活动：讲授 （一）温故知新 1、PPT出示图片。 师：同学们，看图片珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地，大家想想高于水平面数字和低于水平面的数字该怎么写？前面一节课我们学习了正数和负数,那么大家知道什么样的数叫做正数，什么样的数叫做负数? 生：正数就是我们小学里学过的自然数，而在正数前带有“﹣”号的数叫做负数。 师：哦，大家认为他说得对吗？ 生：不对，0就不是正数。 师：他回答的是对的，不过我想问大家0.2这个数是什么数？ 生：是正数。 师（追问）那你认为什么样的数是正数？ 生：我们以前学过的数，有自然数，分数和小数，但0除外。 师：那0是什么数？ 生：既不是正数，也不是负数。 师：回答的很好，我们要记住0既不是正数，也不是负数， PPT出示：0的其他实际意义： 1．温度中的0℃；2．海平面的高度； 3．标准水位； 4．正数和负数的界点。 强调： 0既不是正数，也不是负数。 2、PPT出示复习题。 师：下面有一组数，请同学们按照要求进行分类。
负数的定义 1、以前所学的所有数（0除外）都是正数，也就是说正数前面的“+”是可以省略不写的！ 2、负数的定义：在正数前面加上“-”就是负数。 3、负数前面必定有“-”如果前面不是“-”（可能没有符号或者是“+”）都是正数（0除外）。 4、0既不属于正数，也不属于负数，它是正数和负数的分界。 练习： 将以下数字按要求分类 1.25、、-7、3、3.011……、-5 、0、、-0.03 正数负数自然数非正数 写数下列数相对的负数形式 0.33……、 负数的作用 负数是在人为规定正方向的前提下出现的。 负数常用来表示和正数意义相反的量。 在选择用正数还是负数表示时，首先看是否规定了正方向。 一般含有褒义的量用正数表示，含有贬义的量则用负数表示。 例：零上5°用+5℃表示；零下5°用-5℃表示。收入2000元用+2000元表示；支出500元用-500元表示。 练习： 1、如果﹢20%表示增加20%，那么﹣20%表示什么？ 2、某日傍晚，黄山的气温由上午的零上2摄氏度下降了7摄氏度，这天傍晚黄山的气温是_ 摄氏度。 3、正常水位为0，水位高于正常水位0.2记作_____________，低于正常水位0.3米记作______________。 正常水位为5米，现在水位为6.3m记作，低于正常水位2.5m记作。 4、按照要求回答：一个学生演示，教师提出要求规定向前走为正。 （1）向前走2步记作_________________。（2）向后走5步记作 _________________。 6、判断题 （1）0可以看成是正数，也可以看成是负数（） （2）海拔－155米表示比海平面低155米（） （3）如果盈利1000元，记作＋1000元，那么亏损200元就可记作－200元（）（4）温度0℃就是没有温度（） 7、常见负数的意义 （1）地图上的负数： 中国地形图上，可以看到我国有一座世界最高峰—珠穆朗玛峰，图上标着8848，在西北部有一吐鲁番盆地，地图上标着－155米，你能说说8848米，－155米各表示什么吗？这两个高低是以谁为标准的？ 收入与支出 收入：2600元，（）教育支出：300元（）娱乐支出：500元（）。（3）电梯间的负数
1对数的概念 如果a(a>0，且a ≠1)的b 次幂等于N ，即N a b =，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作：b N a =log ,其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数. 由定义知： ①负数和零没有对数; ②a>0且a ≠1,N>0; ③01log =a , 1log =a a , b a b a =log ,b a b a =log 特别地，以10为底的对数叫常用对数，记作N 10log ,简记为lgN ；以无理数e(e=2.718 28…) 为底的对数叫做自然对数，记作N e log ，简记为N ln 2对数式与指数式的互化 式子名称指数式N a b =(底数)(指数)(幂值)对数式b N a =log (底数)(对数)(真数) 3对数的运算性质 如果a>0,a ≠1,M>0,N>0,那么 (1)N M MN a a a log log )(log +=(2N M a a log log N)(M log a -=÷(3)M b M a b a log log = 问：①公式中为什么要加条件a>0,a ≠1，M>0,N>0? ②=n a a log ______ (n ∈R) ③对数式与指数式的比较.(学生填表) 运算性质 n m n m a a a +=?,n m n m a a a -=÷ mn n m a a =)((a>0且a ≠1,n ∈R) N M MN a a a log log )(log +=, N M a a log log N)(M log a -=÷(a>0,a ≠1,M>0,N>0) 难点疑点突破 对数定义中，为什么要规定a ＞0,，且a ≠1? 理由如下： ①若a ＜0，则N 的某些值不存在，例如log-28 ②若a=0，则N ≠0时b 不存在；N=0时b 不惟一，可以为任何正数 ③若a=1时，则N ≠1时b 不存在；N=1时b 也不惟一，可以为任何正数 为了避免上述各种情况，所以规定对数式的底是一个不等于1的正数
比零小（<0）的数．用负号（即相当于减号）“－”标记．如-2, -5.33, -45/77, -π．参见：非负数（Nonnegative）,负数（negative number）正数（Positive）, 零（Zero），负号/减号（Minus Sign）．例1、我们在小学学过自然数1,2,3,...;一个物体也没有,就用0来表示,测量和计算有时不能得到整数的结果,这就要用分数和小数表示.同学们还见过其他种类的数吗? 现在有两个温度计,温度计液面指在0以上第6刻度,它表示的温度是6℃,那么温度计液面指在0以下第6 刻度,这时的温度如何表示呢? 提示：如果还用6℃来表示,那么就无法区分是零上6℃还是零下6℃，因此我们就引入一种新数——负数. 参考答案：记作-6℃. 说明：我们为了区分零上6℃与零下6℃这一组具有相反意义的量，因而引入了负数的概念. 例2、下面我们再看一个例子,从中国地形图上可以看到,有一座世界最高峰——珠穆朗玛峰,图上标着8844; 还有一个吐鲁番盆地,图上标着-155.你能说出它们的高度各是多少吗? 提示：中国地形图上可以看到,上述两处都标有它们的高度的数,图上标的数表示的高度是相对海平面说的, 通常称为海拔高度.8844表示珠穆朗玛峰比海平面高8844米,-155表示吐鲁番盆地比海平面低155米. 参考答案：珠穆朗玛峰的高度是海拔8844米; 吐鲁番盆地的高度是海拔-155米. 说明：这个例子也说明了我们为了实际需要引入负数,是为了区分海平面以上与海平面以下高度,它们也表示具有相反意义的量. 例3、甲地海拔高度是35米乙地海拔高度是15米，丙地海拔高度是-20米，请问哪个地方最高，哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？提示：35米，15米，-20米分别表示什么意义？参考答案：甲地最高，丙地最低，最高的地方比最低的地方高55米。说
对数的概念 教学目标： 1、理解对数的概念 （1）、理解对数的定义，了解对数式中各字母的取值范围及名称； （2）、理解指数与对数之间的互逆关系，能够进行对数式与指数式的互化； （3）、能够利用对数式与指数式的互化关系完成简单的运算。 2、通过对数概念的学习，使学生认识到指数与对数之间的互化关系，蕴含着数学中相互转化的思想，同时学生体会到类比学习方法在数学学习中的作用。 3、通过对数的学习，能利用相互联系的观点看问题，培养他们利用数学思想分析问题的意识。 教学重点： 1、对数概念的正确理解； # 2、对数式与指数式的相互转化。 教学难点： 1、对数式，指数式中各字母含义的区别理解； 2、应用指数与对数的相互转化求值。 教学过程： 一、问题情境： 若3+2=5，则3=5-2；
若3×2=6,则3=6÷2； 若23=8，则3=。 思考：能否用2和8的来表示3 [ 二、学生活动： 活动1：引导学生观察在上面的几个式子中，都是求3，第一个3根据的加法逆运算用减法求出，第二个3用乘法的逆运算除法求出，那么第三个3能不能用指数式的逆运算求出来呢指数式的逆运算又 是什么呢显然我们以前没有学过，所以今天我们学习一种新的数学运算——对数运算来解决这个问题。 三、构建数学： 1、对数的定义：一般地，如果a(a＞0,a≠1)的b的次幂等于N，即a b=N,那么就称b是以a为底的对数，记作, =其中a叫做对 N log b a 数的底数，N叫做真数。 注意：（1）a＞0,a≠1, （2）a b=N?, = N log b a (3)注意对数的书写格式。 活动2：讨论并写出a,b,N在指数式和对数式中各自的名称两种运算的关系就如同加减法和乘除运算一样，当数字的位置变发生了变化，其含义和名称也随之改变。
《正数、负数以及0的意义》教学设计 教学目标 1、了解负数产生的背景是从实际需要出发的。 2、会判断一个数是正数还是负数。 3、会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量。 4、了解“0”在有理数分类中的作用。 5、培养学生数学应用意识，渗透对立统一的辨证思想。 学情分析 本班学生基础较差，因此在课堂设计中多从最基础的知识出发，从易到难，步步深入，启发学生思维。 重点难点 1、了解正数与负数是有实际需要产生的以及会用正负数表示生活中常用的具有相反意义的量。 2、应用正负数解决生活中的实际问题。 教学过程 【导入】弓I入新课 引入新课:数学是离不开数的，请同学们回答：小学学过哪些数？ 学生回答: 【讲授】新课导入讲解：正数、负数以及0的意义 教师展示课件: 由计数、排序、产生数1、2、3…… 由表示"空位"、“没有”产生0 由分物、测量产生分数。
问题1、实际生活中仅仅有正数和分数能够满足需要吗 【讲授】进行新课 (一)、教师展示课件: 1、珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔图。 2、温度计。 (二)、教师讲解正数和负数的概念。 1、把以前学过的大于零的数叫正数。有时在前面加上“+”号。如 +0.5;+3;+1/2……+ 号可以省略。 2、我们把在以前学过的数(0除外)前面加上(—)号的数叫负数。如一3;— 0.5; —2/3…… 3、一个数前面的“ + ”“一”号叫他的符号，“一”读作“负”，“ +”读作 “正”。如“一5”读作“负5” , “ +3 ”读作“正3”。 4、学生思考：“一个数不是正数就是负数，对吗” ？ 5、教师讲解“ 0”的含义：“0”不仅仅表示没有，有时也表示正数和负数的分界。 6、负数小史。 7、范例解析，加深理解。 8、怎样理解相反意义的量？ (1)、相反意义的量具有两个要素：一是意义相反，二是都具有数量 (2)、与一个量成相反意义的量不止一个。 (3)、对于两个具有相反意义的量，把哪一个规定为正带有任意性。不过习惯上把“向东”，“运进”，“上升”，“盈利”，“增加”，“收入”等规定为正，反之则为负。
《对数与对数运算》（第一课时） (人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第二章第二节) 一、教学内容解析 《对数与对数运算》选自人教A版高中数学必修一第二章，共分两小节，第一小节主要内容是对数的概念、对数式与指数式的互化，第二小节内容是对数的运算性质，本课时为第一小节内容． 16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成为当务之急.苏格兰数学家纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数. 与传统教科书相比，教材从具体问题引进对数概念，加强了对数的实际应用与数学文化背景，强调“对数源于指数”以及指数运算与对数运算的互逆关系，将对数安排在指数运算及指数函数之后进行学习，实现对数与原有知识体系的对接，有利于学生学习时发现与论证对数的运算性质. 基于以上分析，本课时的教学重点是：对数概念的理解以及指数式与对数式的互化. 二、教学目标设置 1.感受引入对数的必要性，理解对数的概念； 2.能够说出对数与指数的关系，能根据定义进行互化和求值； 3.感受数学符号的抽象美、简洁美. 本课时落实以上三个教学目标： 通过“推断化石年代”和“解指数方程”两个实例，认识到引入对数，研究对数是基于实际需求的。根据底数、指数与幂之间的关系，通过“知二求一”的分析，引导学生借助指数函数图象，分析问题中幂指数的存在性，以及为了表示指数的准确值，引入了对数符号，从而引出对数概念. 通过图示连线，对指数式和对数式中各字母进行对比分析，来认识对数与指数的相互联系；利用指数式与对数式的互化，来帮助学生理解对数概念，体会转化思想在对数计算中的作用.对数源于指数，本课时中，对数问题往往回归本源，转化为指数问题来解决，因而要在理解对数概念的基础上学会互化和求值. 恰当的数学符号，对数学发展起着巨大的推动作用，对数符号抽象而简洁，学生需要在不断的学习中逐渐体验对数符号的重要性.
《负数的初步认识》教材解读 教材分析：它是苏教版小学数学五年级上册第一单元的教学内容。让学生学习一些负数的知识，有助于理解生活中负数的应用，拓宽数学视野。同时还能扩展对数的认识，更好地理解自然数、整数的意义。因此《新课程标准》将负数的认识调整到第二学段“数与代数”的知识体系中。 教学目标分析： 知识性目标：使学生在熟悉的生活情境中初步认识负数的含义，知道正数和负数的读、写方法，知道0既不是正数也不是负数，正数都大于0，负数都小于0； 过程性目标：使学生在认识负数的过程中，体会数学与日常生活的联系，增进对数学的了解，进一步培养对数学的兴趣，提高学好数学的信心。 教学重点和难点分析： 教学重点：在现实情境中初步认识负数的意义。 教学难点：理解0既不是正数也不是负数，能对正数、负数和0的大小进行比较。 教学内容分析： （１）用负数表示低于零度的温度，学生首次感知负数。 例１精心选择三个城市同一天的最低气温，设计了“创设问题情
境——讲解负数知识”的教学线索，让学生有意义地接受负数。教材分三个环节编写：第一是营造需要——用不同的数分别表示零上温度和零下温度；第二是讲解负数的知识，包括正数和负数的表示方法和读、写；第三是通过“试一试”巩固例题教学的知识。 教材通过精心选择的三个最低气温，营造教学负数的氛围。南京的最低气温刚好是０摄氏度，上海的最低气温是零上４摄氏度，北京的最低气温是零下４摄氏度。上海和北京的最低气温是两个不同概念的４摄氏度，怎样用数学的方法分别表示这两个温度，让人一看就明白而且不会发生混淆?这就是教学负数的氛围。为了营造这样的氛围，例题让学生联系各个城市图片右边的温度计说说“能知道些什么”，鼓励他们广泛地交流，包括看到的各个城市的具体气温以及由此想到的上海气温比０摄氏度高，北京气温比０摄氏度低等内容。由此在学生内心产生一种需要：寻找一种比较简便的方法，表示并区分上海与北京的不同气温。 教材把正数与负数结合在一起讲解，有利于突出负数的意义与表示方法，体会正数与负数分别表示具有相反意义的数量。先讲零上４摄氏度与零下４摄氏度分别记作+４℃和-４℃，让学生清楚地看到它们使用了不同的表示方法。再讲“+４”与“-４”的读法，并通过“+４也可以写成４”初步把以前学过的那些大于０的自然数与正数联系起来。 （２）用正数或负数表示海拔高度，丰富对负数的感性认识。 例２用正数表示珠穆朗玛峰的海拔高度，用负数表示吐鲁番盆地
第一课时负数 【教学目标】 1.在熟悉的生活情境中初步认识负数，能正确地读写正数和负数，知道0既不是正数也不是负数。 2.初步学会用负数表示一些日常生活中的实际问题。 3.能借助数轴初步理解正数、0和负数之间的关系。 【重点难点】 负数的意义和数轴的意义及画法。 【教学指导】 1.通过丰富多彩的生活情境，加深学生对负数的认识。 负数的出现，是生活中表示两种相反意义的量的需要。教学时，教师应通过丰富多彩的生活实例，特别是学生感兴趣的一些素材来唤起学生已有的生活经验，激发学生的学习兴趣，在具体情境中感受出现负数的必要性，并通过两种相反意义的量的对比，初步建立负数的概念。在引入负数以后，教师要鼓励学生举出生活中用正负数表示两种相反意义的量的实际例子，培养学生用数学的眼光观察生活，并通过大量的事例加深对负数的认识，感受数学在实际生活中的广泛应用。 2.把握好教学要求。 对负数的教学要把握好要求，作为中学进一步学习有理数的过渡，小学阶段只要求学生初步认识负数，能在具体的情境中理解负数的意义，初步建立负数的概念。这里不出现正负数的数学定义，而是描述什么样的数是正数，什么样的数是负数，只要求学生能辨认正负数。关于数轴的认识，这里还没有出现严格的数学定义，而是描述性的定义，只是让学生借助已有的在直线上表示正数和0的经验，迁移类推到负数，能在数轴上表示出正数、0和负数所对应的点。 3.培养学生多角度观察问题，解决问题的能力。 教材创设了开放性的思维空间，在解决问题时应着眼于让学生自主地理解数学信息、寻找解题思路。教师要有意识地引导学生从不同角度寻找答案，对于学生有道理的阐述，教师要积极鼓励，激发学生求知的欲望，逐步增强学生学好数学的内驱力。
对数的概念与对数运算性质 2.2.1对数的概念与对数运算性质 一、内容与解析 (一）内容：对数的概念与对数的基本性质 （二）解析：我们在前面的学习过程中,已了解了指数函数的概念和性质,它是后续学习的基础,从本节开始我们学习对数及其运算.使学生认识引进对数的必要性,理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用. 教材注重从现实生活的事例中引出对数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情景创设.教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能,教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.根据本节内容的特点,教学中要注意发挥信息技术的力量,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,尽量利用计算器和计算机创设教学情境,为学生的数学探究与数学思维提供支持. 二、教学目标及解析
(一)教学目标 1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系;理解和掌握对数的性质;掌握对数式与指数式的关系；培养学生分析、综合解决问题的能力;培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2.通过与指数式的比较,引出对数的定义与性质. 3.学会对数式与指数式的互化,从而培养学生的类比、分析、归纳能力;在学习过程中培养学生探究的意识；增加学生的成功感,增强学习的积极性. （二）解析 1、理解对数的概念就是指：一是实际的需要；二是人为规定的一种新的表示数的符号； 2、熟练进行对数式与指数式的互化就是指：一是弄清楚对数与指数，对数式与指数式的含义；二是理解对数式与指数式的互化的实质；三是要把这种互化提升为一种方法，为我们以后解题奠定基础。 3、会求一些特殊的对数式的值就是指能够熟练利用：和对数恒等式。 三、问题诊断分析 对数概念的理解中学生存在问题，所以要结合具体的实例，指出为了解决实际问题，引入对数的概念，体现了数学来源于实际的生活，并服务于实际的生活。 四、教学支持条件分析
5、“对数”概念教学案例 案例：对数的概念 教案设计：上海市华师大松江实验高级中学王兵 教学目标： 1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值的范围； 2．理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系，掌握对数式与指数式的互化； 3．知道常用对数和自然对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数的值；4．经历由指数式提出对数概念的过程；养成类比、转化的思维习惯； 教学重点：对数式与指数式的互化 教学难点：对数概念的理解与同化 教学导图： 教学过程： 一、提出问题： x x x x 39x2 1 3x1 3 1 3x 2 32x? =?= =?=- =?= =?= 原有的方法不能解决，怎么办？ 设计说明：教材中的引入是这样的：“假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？”这是一个“已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是本章要学习的对数问题．”教材是以实际问题引出对数的基本概念．我认为教材的引入主要矛盾不突出，从
这个实际问题中抽象出一个数学等式可能会花去学生不少时间，在学生抽象出这个指数方程时，若是用对数表达，这个对数的形式也并不美观，我觉得还不如从解指数方程的角度，直截了当的提出课题. 二、 形成概念： 上面这个指数方程的解是客观存在的，而且它的范围在（0,1）间，我们如何把它表达出来呢？数学家们引入了“对数”，用对数表达上式的解为：3x log 2=.这里的“log ”是英文对数“logarithm ”的前三个字母，3叫底数，2 为真数.它也是一个实数，只不过是个无理数. 设计说明：开门见山的给出对数的相关概念，从特殊的对数出发，让不太喜欢字母的学生拥有些许亲切感，有利于归纳出对数的概念. 问题：大家能写出下面指数方程的解吗？ x 1)23;= x 2)1.082;= x 3) a N (a 0,a 1)=>≠ 设计说明：从特殊到一般，强化对数的形式.对于1），2）学生们能够快速的写出正确的形式.3)需要简单的分类讨论，当N 0≤时，该方程显然是无解的，只有当N 0>时，方程有唯一解，可以用对数的形式表示为a x log N =.以问题的形式， 给出本课的研究对象，可以调动学生的学习兴趣，有利于数学概念的同化. 三、 同化概念： 一般地，如果a(a>0且a ≠1)的b 次幂等于N, 即b a N =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数,记作 a log N b = 其中a 叫做对数的底数.N 叫做真数. 强调对数的书写格式：用英语中的“四线三格”来规范学生的书写，一定不能写错位置. 设计说明：注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误 对数式与指数式之间的互化：b a a N b log N =?= 各字母的对应关系： 幂底数 ← a → 对数底数 指数 ← b → 对数 幂 ← N → 真数 问题：1）为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？ 2）是否是所有的实数都有对数呢？ 强调：零和负数没有对数，真数为正数，即N>0 设计说明：让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a 、b 和N 位置的不同，及它们的含义.对数与指数的互化体现了等价转化这个重要的数学思想.
负数乘以负数得正数的意义 为什么负数乘以负数得正数？你能举出实际例子解释吗 为什么“负负得正”？对于这个问题，也许你根本没有考虑，也许你的解释是“课本规定如此”。这个回答不能满足具有好奇心和求知欲的大家，请大家了解一下“负负得正”的发展史。 众所周知，负数概念最早出现在中国，在《九章算术》中方程章给出正负数的加减运算法则，而负负得正直到13世纪末才由数学家朱士杰给出。在《算学启蒙》（1299）中，朱士杰提出：“明乘除法，同名相乘得正，异名相乘得负”。 公元7世纪，印度数学家婆罗笈多（brahmayup-ta）已有明确的正负数概念，及其四则运算法则：“正负相乘得负，两负数相乘得正，两正数得正。” 直到18世纪还有一些西方数学家认为“负负得正”这一运算法则是个谬论。甚至到了19世纪，英国还有一些数学家不接受负数，如英国数学家弗伦得（1757—1841）抨击那些谈“负负得正”的代数学家，认为负数有悖常理，“只有那些喜欢信口开河，厌恶严肃思维的人才支持这种数得使用。” 事实上直到19世纪中叶以前，负负得正的运算，则在学习代数课本中并没有得到正确的解释，法国文豪司汤达（1783—1843）在学生时代就曾被这个法则困扰了很久，他的两位数学教师迪皮伊先生和夏倍尔都未能给他一个令他信服的解释，司汤达因而对数学和数学教师产生了不信任感，他说：“到底是我的两位老师在骗我呢还是数学本身就是一场骗局呢？”显然为了减少学生学习负数乘法运算的理解困难，利用生硬的“规定”的方法直接引入负负得正的法则是不可取的。下面是引入方法帮助同学们理解。 每个孩子都是听着故事长大的。所以，他们应当对故事有着更多的兴趣和热情。而对于学生来说。对比较强烈的概念会给他们留下较为深刻的印象，如好与坏、善与恶等。下面这个模型应该可以给学生以更直观的感受。 故事模型： 好人（正数）或坏人（负数）进城（正数）或出城（负数）好（正数.）与坏（负数），如果好人（+）进城（+）对于城镇来说是好事（+）。所以（+）×（+）=+：如果好人（+） 出城（-），对于城镇来说是坏事（-），如果坏人(-)进城（+）对城镇来说是坏事（-）即（-）×（+）=-所以如果坏人(-)出城(-)对于城镇来说是好事(+)，所以（-）×（-）=+ “负债”模型：
对数及对数运算 【学习目标】 1．理解对数的概念，能够进行指数式与对数式的互化； 2．了解常用对数与自然对数的意义； 3．能够熟练地运用对数的运算性质进行计算； 4．了解换底公式及其推论，能够运用换底公式及其推论进行对数的计算、化简与证明．5．能将一般对数转化成自然对数或常用对数、体会换底公式在解题中的作用． 【要点梳理】 要点一、对数概念 1．对数的概念 如果??01b aNaa???，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:log a N=b．其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 要点诠释： 对数式log a N=b中各字母的取值范围是：a>0 且a?1， N>0， b?R． 2．对数??log0a Na??，且a1具有下列性质： （1）0和负数没有对数，即0N?； （2）1的对数为0，即log10a?； （3）底的对数等于1，即log1a a?． 3．两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，NNlglog10简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e????）为底的对数叫做自然对数，logln e NN简记作． 4．对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转 化．它们的关系可由下图表示． 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化． 要点二、对数的运算法则 已知??loglog010aa MNaaMN???，且，、
（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； ??logloglog aaa MNMN?? 推广：????121212loglogloglog0akaaakk NNNNNNNNN???? ?、、、 （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； logloglog aaa MMNN?? （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； loglog aa MM??? 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立．如：log2（-3）（-5）=log2（-3）+log2（-5）是不成立的，因为虽然log2（-3）（-5）是存在的，但log2． （-3）与log2（-5）是不存在的． （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： log a（M?N）=log a M?log a N， log a（M·N）=log a M·log a N， log a NMNM aa loglog?． 要点三、对数公式 1．对数恒等式： log log a bNa aNaNNb??????? 2．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有: （1）)(loglogRnMM naa n?? 令 log a M=b，则有a b=M，（a b）n=M n，即nbn Ma?)(，即na Mb n log?， 即:naa MM n loglog?． （2）)1,0(logloglog???ccaMM cca，令log a M=b，则有a b=M，则有)1,0(loglog???ccMa cbc 即Mab cc loglog??，即aMb cc loglog?， 即)1,0(logloglog???ccaMM cca
数学优秀教案评选 《负数的认识》 教学设计 西平县焦庄金刚小学：张赞扬 2016-4-10
《负数的认识》教学设计 教学内容：人教版六年级下册《负数的认识》。 教学目标： 1、在具体情境中了解负数产生的背景和意义，认识负数，掌握正、负数的读、写法，知道正负数和0的关系。会用正、负数描述现实生活中的现象。 2、培养学生观察、比较、联想、猜测、推理等思维能力和独立思考、合作交流等学习能力。 3、让学生体验数学和生活的联系，获得积极的情感体验，进一步激发学习数学的兴趣。 教学方法： 情境创设法、观察比较法、小组合作法、归纳概括法等 课前游戏 上课之前，我们先来做个游戏。游戏的名字叫“与我相反”。游戏规则是：老师说一句话，你们要快速地说出与这句话意思相反的话。 1、上 2、左。 3、起立。 下面要加大点难度了，仔细听，看谁反应最快。 1、服装店今年九月份赚了2000元。 2、我在银行存入了300元。 3、我向南走了100米。 一、教学例1 1、情境引入。电脑播放天气预报片头。 师：伴随着这熟悉的音乐，让我们一起走进中央电视台的天气预报节目。在节目中，老师收集了几个城市某一天的最低气温资料，并通过温度计来显示。 2、教学用正负数和0表示几个城市某一天的最低气温。 出示图片：南京0摄氏度 师：在科学课上，我们曾经学过一点看温度计的方法，在这，老师做
一个简单的介绍：在温度计上，有两个计量温度的单位。左边这个表示“摄氏温度，”右边这个表示“华氏温度。”通常情况下，我们采用“摄氏度”作为计量温度的单位。所以，只要看温度计左边的刻度。师:我们先来看看南京，那一天的气温是多少摄氏度呢？ 师：在摄氏温标里，它规定把水结冰的温度定为0摄氏度。 （出示图片：上海零上4摄氏度） 师：那上海的气温是多少摄氏度呢？你是怎么看的？能把你的方法介绍给大家吗？ 师：它以0摄氏度为分界线，每小格是2摄氏度，那半格是多少摄氏度呢？ 师：拿上海的气温和南京的比一比，感觉怎么样？ （出示图片：北京零下4摄氏度） 师：我们再来看北京，北京那一天的气温是多少摄氏度呢？ （同时出示上海、南京、北京三地的气温图片） 师：北京的气温和上海的气温一样吗？不一样在哪呢？ 师：他巧妙的以0摄氏度为分界线，他说上海的气温是零上4摄氏度，北京的气温是零下4摄氏度。一个在0摄氏度以上，一个在0摄氏度以下，一上一下，正好相反。 师：那你们知道在数学上是怎样来区分和表示零上4摄氏度和零下4摄氏度的呢？ 3、介绍正负数的读写法。 师：为了更方便于表示，在数学上采用了简单的符号来表示。人们规定，零上4摄氏度可以记作+4摄氏度或4摄氏度，零下4摄氏度记作-4摄氏度。 教学正数和负数的读写法 师：“+4”读作正4，在写的时候，我们先写一个正号，再写一个4，读作正4。“+4”也可以写成4。这个数读作负四，-4在书写时，也
《对数的概念》教学设计 一、教材分析 《课程标准》指出，通过必要地数学学习，获得必要的基础知识和基本技能，理解基本的数学概念，数学结论的本质，了解概念，结论等产生的背景，体会所蕴含的数学思想方法。通过探究活动，体会数学发现和创造的历程。提高运算，处理数据，分析、解决问题的能力。 本节课是新课标高中数学A版必修①中第二章对数函数内容的第一课时，也就是对数函数的入门。在本模块中，对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，它是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时在解决一些日常生活问题及科研中起十分重要的作用。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一，相互联系、相互转化的思想，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。 二、学情分析 必修一是学生进入高中接触的第一本数学教材，高中开始阶段，学生还不太适应高中的学习生活，学习的主动性不够，学习有依赖性，且学习的信心不足，对数学存在或多或少的恐惧感。通过对指数与指数幂的运算的学习，学生已多次体会了对立统一、相互联系、相互转化的思想，并且探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼。因此，学生已具备了探索发现研究对数定义的认识基础，所以通过指导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、等价转化、归纳等数学思想方法的学习。 三、设计思路 学生是教学的主体,本节课要给学生提供各种参与机会。为了调动学生学习的积极性，使学生化被动为主动。本节课我利用多媒体辅助教学,教学中我引导学生从实例出发，从中认识对数的模型，体会引入对数的必要性。在教学重难点上，我步步设问、启发学生的思维,通过课堂练习、探究活动,学生讨论的方式来加深理解,很好地突破难点和提高教学效率。 结合高一数学组承担的课题《教师课堂教学行为的评价、反思及有效教学研究》通过教师的课堂教学行为，使学生充分地动手、动口、动脑，掌握学习的主动权，提高课堂教学效率。 四、三维教学目标 知识目标：1.理解对数的概念,了解对数与指数的关系；2.掌握对数式与指数式的互化；理