数列最全知识点归纳总结 重庆万州ZHOU 整理
等差数列
等差数列的概念
定 义 式：*),2(1N n n d d a a n n
∈≥=--为常数，，或*)(1N n d a a n n ∈=-+.
递 推 式：*)(1N n d a a n n ∈+=+.
等差中项：任何两个数b a ,都有且仅有一个等差中项A ??
?
?
?+=2b a A . 通项公式：d n a a n
)1(1-+=，d m n a a m n )(-+=（广义）.
特征：b kn a n
+=，其中d a b d k -==1,.
前n 项和：d n n na d n n na n a a S n n n 2
)
1(2)1(2)(11--=-+=+=
. 特征：Bn An S n +=2，其中2
,21d
a B d A -==
. 注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n 项和的特征，
都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式. 2.对任何数列，都有??
?∈≥-==-.
*,2 ,,
1 ,11N n n S S n S a n n n
等差数列的性质
1. 若{}n a 为等差数列，则d m n a a m n )(-+=*),(N n m ∈.
2. 若{}n a 为等差数列，且*),,,(N q p n m q p n
m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+.
3. 若{}n a 为等差数列，，则项数中间项 )12(12?=-?=-n a S n n .
4. 若等差数列{}n a 共有12+n 项，则①中偶奇a S S =-；② n n S S 1
+=偶奇. 5. 若等差数列{}n a 共有n 2项，则①nd S S =-奇偶；②n
n a a S S 1+=奇偶. 6. 若{}n a 为各项均不为零的等差数列，前n 项和为,n S ，则
1
21
21212--?=--n m S S a a m n m n .
7. 若{}n a 、{}n b 均为各项非零的等差数列，前n 项和分别为n n T S ,，则1
21
2--=n n n n T S b a . 8. 在等差数列{}n a 中，若)(,n m m a n a n m ≠==，则0=+n m a .
9. 在等差数列{}n a 中，若)(,n m m S n S n m ≠==，则)(n m S n m +-=+. 10.在等差数列{}n a 中，若)(n m S S n m ≠=，则0=+n m S .
11.若{}n a 为等差数列，则{}b ka n +仍为等差数列，其中k 和b 是常数. 12.若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n b a +仍为等差数列.
13.若{}n a 为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若{}n a 为等差数列，{}n b 为 正整数等差数列，则
{}n
b a 为等差数列.
14.n S 为数列{}n a 的前n 项和，则{}n a 为等差数列?
??
??
??n S n 为等差数列. 15.若{}n a 为等差数列，则{}n a 依次k 项和仍为等差数列，即.,,232k k k k k S S S S S --…仍为 等差数列.
等比数列
等比数列的概念
定 义 式：
*),2,0(1
N n n q q a a n n
∈≥≠=-常数，或*)(1N n q a a n n ∈=+. 递 推 式：*)(1
N n q a a n n ∈=+.
等比中项：两个同号的实数b a ,才有但有两个等比中项G ()
ab G ±=. 通项公式：11-=n n
q a a ，m n m n q a a -=（广义）.
前n 项和：当1=q 时，1na S n =，
当1≠q 时，1
111111)
1(111)1(--+--=--=--=--=q
q a q a a q q a a q q a S n n n n n n . 特征：)0)(1(≠-=A q A S n
n .
注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.
等比数列的性质
1. 若{}n a 为等比数列，则m
n m n q
a a -=*),(N n m ∈.
2. 若{}n a 为等比数列，且*),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a =.
3. 若{}n a 为等比数列，则{}n ka 仍为等比数列，其中k 是非零．．常数.
4. 若{}n a 为等比数列，则当()k
n a 恒有意义时()
{
}k
n a 仍为等比数列，其中k 是任意常数.
5. 若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n b a 、?
??
??
?n n b a 仍为等比数列. 6. 若{}n a 为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若{}n a 为等比数列，{}n b 为 正整数等差数列，则
{}n
b a 为等比数列.
7. n T 为正项数列{}n a 的前n 项积，则{}n a 为等比数列{}n
n
T ?
为等比数列.
8. 若k S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且0≠k S ，则{}n a 依次k 项和仍为等比数列， 即.,,232k k k k k S S S S S --…仍为等比数列.
注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.
等差数列与等比数列的联系
1. 非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。
2. 等差数列与等比数列可以相互转化.事实上，若{}n a 是等比数列，则{}
n c a log 是等差数列； 若{}n a 是等差数列，则{}n
a c
是等比数列，其中c 是常数，且1,0≠>c c .
3. 等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的 运算有类似的性质.
2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 (2)通项公式法：
①若 =
+（n-1）d=
+（n-k ）d ，则{}n a 为等差数列；
②若
，则{}n a 为等比数列。
(3)中项公式法：验证
都成立。
3. 在等差数列{}n a 中,有关S n 的最值问题——常用邻项变号法求解：
(1)当 >0,d<0时，满足 的项数m 使得
取最大值.
(2)当 <0,d>0时，满足 的项数m 使得取最小值。
在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等
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●基础知识
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8．{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2n －1＝(2n －1)a n ，{b n }为等差数列，S ′n 为前n 项和，则S ′2n －1＝(2n
－1)b n ，所以a n b n
＝S 2n －1
S ′2n －1.
9．通项公式是a n ＝An ＋B (A ≠0)是一次函数的形式，前n 项和公式S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)是不含常数项的二次函数的形式．(注：当a n ＝B 时，S n ＝Bn )．
S n
n ＝An ＋B 是一次函数(A ≠0)．
点列(1，a 1)、(2，a 2)、…(n ，a n )…共线；
点列(1，S 11)、(2，S 22)…(n ，S n
n )…共线．
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10．若a 1＞0，d ＜0，S n 有最大值，可由不等式组
????? a n ≥0a n ＋1＜0
来确定n .
若a 1＜0，d ＞0，S n 有最小值，可由不等式组
?????
a n ≤0a n ＋1＞0
来确定n .
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4．等比数列的判定方法
(1)a n ＋1＝a n q (q 是不为0的常数，n ∈N *)?{a n }是等比数列． (2)a n ＝cq n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)?{a n }是等比数列．
(3)a 2n ＋1＝a n ·
a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)?{a n }是等比数列． (4)S n ＝A ·q n
－A (A 、q 为常数且A ≠0，q ≠0,1)?{a n }是公比不为1的等比数列．
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3．数列求和的常见方法有：
(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．
(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．
(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．
(4)倒序相加：例如：等差数列前n 项和公式的推导方法．
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(8)an ＝Sn －Sn －1(n ≥2)．
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●基础知识
一、等差、等比数列的综合问题
(1)若{a n }是等差数列，则数列{ca n }(c ＞0，c ≠1)为数列；
(2)若{a n }为正项等比数列，则数列{log c a n }(c ＞0，c ≠1)为
数列；
(3)若{a n }既是等差数列又是等比数列，则数列{a n }为等比等差常数列．
{}n
n n n n n n a z n x a z n x a z x n a q z x n a A An qa a ?+?-?+?-+?-=++-+=++列，构造得等比数、、然后展开对比系数确定为常数）设、、＋若数列相邻两项满足二q B A ),()1(q B ( B )(11递推式如
)
,,,0,(11为常数q d b bdq N n b d qa a n n n ≠∈?+=+++型的通项的求法: (1)若q b =
,则可化为d b
a b a n n
n n +=++11,从而化为以
b a 1为首项,公差为d 的等差数列,通项可求.
可设 四特征根法
求
数
列
通
。
？
C Bn An qa a n n 呢+++=+2
1)
()1()1(2
21z yn xn a q z n y n x a
n n +--=++-+-+方法：设（三）若数列相邻三项的关系满足 0
12=++++n n n Ca Ba a )
(112n
n n n xa a
y xa a -=-+++
数列知识点归纳及例题分析
《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法 （2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 等差数列 等比数列 定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…） 通项 公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和 公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项 公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>）
《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-) 2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：强调2,1≥=n n 分开，注意下标；n a 与n S 之间的互化（求通 项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：定义法；函数单调性法 （2）最大（小）项问题： 单调性法；图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系）
例3：已知数列}{n a 满足????? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处）
例题： 例4（等差数列的判定或证明）：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，数列{b n }满足b n ＝1a n －1 (n ∈N *)． (1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 ∵a n ＝2－1 a n －1 (n ≥2，n ∈N * )，b n ＝1 a n －1 . ∴n ≥2时，b n －b n －1＝1a n －1－1 a n －1－1 ＝ 1? ?? ??2－1a n －1－1 －1 a n －1－1 ＝a n －1 a n －1－1－1a n －1－1 ＝1. ∴数列{b n }是以－5 2 为首项，1为公差的等差数列．
一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）
必修 5 第二章 数列 （复习 1） 一 、等差数列知识点 1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起， 那么 这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的 ，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表 示为 a n a n 1 d ( n 2) 或 a n 1 a n d (n 1)。 2、等差数列的通项公式： a n a 1 (n 1)d ；说明：等差数列 的单调性： 为数列 当 为常数列， 为递减数列。 3、等差中项的概念：定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差 其中 A a ， A ， b 成等差数列 。 4、等差数列的前 n 和的求和公式： 。 5、等差数列的性质： （ 1）在等差数列 a n 中，从第 2 项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （ 2）在等差数列 a n 中，相隔等距离的项组成的数列是 AP ， 如： a 1 ， a 3 ， a 5 ， a 7 ，??； a 3 ， a 8 ， a 13 ， a 18 ，??； （3）在等差数列 a n 中，对任意 m ， n N ， a n ， d (m n) ； （ 4）在等差数列 a n 中，若 m ， n ， p ， q N 且 m n p q ，则 ； 说明：设数列 { a n } 是等差数列，且公差为 d ， （Ⅰ）若项数为偶数，设共有 2n 项，则① S 奇 S 偶 nd ； ② S 奇 a n ； S 偶 a n 1 （Ⅱ）若项数为奇数，设共有 2n 1项，则① S 偶 S 奇 a n a 中 ；② S 奇 n 。 S 偶 n 1 （ 2） S n 最值的求法：①若已知 S n ，可用二次函数最值的求法（ n N ）；②若已知 a n ，则 S n 最 值时 n 的值（ n a n 0 a n 0 N ）可如下确定 或 a n 1 。 a n 10 变式训练 1， 根据各题的条件，求等差数列 a n 的前 n 项和 S n ， （ 1） a 1 2,d 5, n 10 （ 2） a 12, a n 6,n 12 （ 3） a 10 2, d 5, n 8 2. 在 1 和 15 之间插入 25 个数，使得所得到的的 27 个数成等差数列。求插入的 25 个数的和 ? 6、数列最值 3,等差数列 a n 的前 n 项和为 S n ，已知 S 9 0, S 10 0 ，则此等差数列的前 n 项和中， n 是多少的 （ 1） a 1 0 ， d 0 时， S n 有最大值； a 1 0 ， d 0 时， S n 有最小值； 1 / 6
数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有
数列知识点及常用解题方法归纳总结 一、 等差数列的定义与性质 () 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ?=+2 ()()前项和n S a a n na n n d n n = +=+ -112 12 {}性质：是等差数列a n （）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+ {}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232-- （）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则 ；421 21 a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52 a S an bn a b n n n ?=+ 0的二次函数） {}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2 项，即： 当，，解不等式组可得达到最大值时的值。a d a a S n n n n 11 000 0><≥≤?? ?+ 当，，由可得达到最小值时的值。a d a a S n n n n 11000 <>≤≥?? ?+ {}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123 （由，∴a a a a a n n n n n ++=?==----12113331 ()又·，∴S a a a a 3132 22 33113 = +===
数列知识点题型方法总复习 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函 数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数 列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15 2n S =-，则13a =-，10n =； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率 为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数 列。
数列专题解析方法 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例 1: 写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33 ，； （2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2)
例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式 例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式 例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广 例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式 类型四：累加法 形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和 例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法 形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1
数列基础知识点 1．概念与公式： ①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列； 2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2 ) 1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= ②等比数列：1°.定义若数列q a a a n n n =+1 }{满足 （常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;1 1k n k n n q a q a a --==3°.前n 项和公式：),1(1) 1(111≠--=--= q q q a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n = 2．简单性质： ①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a 1°.若}{n a 是等差数列，则;23121 =+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121 =?=?=?--n n n a a a a a a ②中项及性质： 1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2 b a A += 2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ?=? ④顺次n 项和性质：见习题册page28复习题B 组第2题： 1°.若}{n a 是公差为d 的等差数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则组成公差为n 2d 的等差数 列； 2°. 若}{n a 是公差为q 的等比数列，∑∑∑=+=+=n k n n k n n k k k k a a a 1 21 31 2,,则 组成公差为q n 的等比数 列.（注意：当q =－1，n 为偶数时这个结论不成立）
数 列 专 题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形
3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法． （3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 考点二：等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)
数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式： 1n n a a d --= 二 通项公式：n a 1()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=na =中间项 1(1)2 n n na d -=+ 一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 1.3或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置， 如：3个数a-d,a,a+d ； 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=； 在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则 m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=； 3.若等差数列的项数为2() +∈N n n ，则，奇偶nd S S =- 1 +=n n a a S S 偶奇 ； 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设12,n A a a a =++?+，122n n n B a a a ++=++?+， 21223n n n C a a a ++=++?+，则有C A B +=2； 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇 数)最大 第二部分 等比数列 一 定义：1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -= 数列{a n }是等比数列的一个等价条件是： (1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，） 当0q >且0q ≠时，n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。
数 列 一、数列的概念 （1 项叫第1项（或首项）第n 项（也叫通项）记作n a ；数列的一般形式：1a ，2a ，3a （1）(2)2010（2例如：①：1 ，2 ，②：4131211，，，说明： ①{}n a 表示数列，n a 的通项公式； ② 同一个数列的(1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一 个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 n a 来代替()f n ，其图象是一 . 有穷数列和无穷数、 … … 和n S 与通项n a 的关系： 322 +=n ，求数列}{n a 的通项公式 2项起，每一项与它的d 表示。用递推公式表示为1)。 = (1)n d +-； d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，12497116a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64
2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ） 3.等差数列,12-=n a n 题型三、等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 2 a b A += a ，A ， b 成等差数列?A （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a A ．120 B ．D ．75 2.设数列{}n a 是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为 48，则它的首项是（ ） A ．1 B.2 C.4 D.8 题型四、等差数列的性质： ()n m a a n m d =+-， 且m n p q +=+，则 n 。 ) 127...a a a +++= （D ）n n n 项和，已知23a =， 611a =，则7S 等于( )
等差数列 一、数列 定义：有序的一列数 表示方法：1）最常见的枚举法：1,2,3,4,5,6…… 2）★★★通项公式：()n a f n =，理解：数列是一种特殊的函数，特殊在定义域上，定义 域n 是从1开始的自然数，所以说，数列又可以从函数解析式的角度来分析数列特征 3）递推关系：1 ()n n a f a +=，理解：递推公式是最直观的，比如说等差数列就是后一项和前一项的 差相等，但是递推公式不利于分析数列的性质，比如想知道第100项是多少，就需要由递推公式去推出通项公 式 4）求和公式：n S ，理解：n S 和n a 的关系11 (2) (1)n n S S n S n --≥??=?（记⑤） ★★★难点：递推公式?通项公式 通项公式?求和公式 ☆☆☆一般考察思路：/n n a S ?递推公式?通项公式n S ??不等式（中间截取一段或者几段） 二、等差数列 1. 递推公式：1n n a a d +=+（d 可以是0） ()n m a a n m d =+- 2. 通项公式：1(1)()n a a n d f n =+-=（可以把这个式子看成一个关于n 的一次函数（记①）） 1(dn a d =+-）（一次项系数为d （记②），这个式子递增递减的变化取决于公差d （记③）） 3. 求和公式： 1()2 n n a a n S += （把n a 的式子代入）1(1) 2 n n na d -=+ （更常用） 21=()22d d n a n +-（可看成二次函数，无常数项。二次项系数为2 d ，决定开口方向。（记④） ?从函数的角度看一个数列的n S 有没有最大值和最小值是由d 的正负决定的） 考点1：由数列函数性质速算通项公式和求和公式 例题1.已知一个等差数列{}n a ，2 5a =，57a =，求通项公式 解析：1）通常解法：求通项公式，求1a 求d 52233a a d -= = ，1133a =，1132211 (1)(1)=3333 n a a n d n n =+-=+-?+ 2）口算解法：把n a 看成一个函数1(n a dn a d =+-）（由②，只需要记住一次项系数为d ） 所以23n a n = +一个数，然后代入2a ，解得那个数是113 例题2．1）已知数列{}n a 的通项公式是25n a n =+，求n S 解析：由①知，通项公式为关于n 的一次函数，则n a 是等差数列 常规解法：21221(1) 7,9,2,7262 n n n a a d a a S n n n -===-==+ ?=+ 口算解法：（函数的角度）由②，知道2d =，由④知，2 2 n d S n =+一个数n ?2=n +一个数n ? 想求得这个数只需要代入一个n S 即可，21171S a ===+一个数1?，可知，这个数为6 所以26n S n n =+ 2）已知数列{}n a 的前n 项和为23n S n n =-，求{}n a 的通项公式 解析：由④，n S 是没有常数项的二次函数，所以{}n a 是等差数列 由口算解法，可知6n a n =+一个数，由112S a ==，64n a n =-
数列知识点 内容4 要求层次 A B C 数列 数列的概念 数列的概念和表示法 √ 等差数列、 等比数列 等差数列的概念 √ 等比数列的概念 √ 等差数列的通项公式与前n 项和公式 √ 等比数列的通项公式与前n 项和公式 √ 二．知识点 (一)数列的该概念和表示法、 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项记作n a ，在数列第一 个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个 数列的通项公式 说明：①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点 看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤 立的点 （4）数列分类： ①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列； ②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列 （5）递推公式定义：如果已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间 的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 （二）等差数列 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；
20XX 年高考数学数列知识点及题型大总结 等差数列 知识要点 1．递推关系与通项公式 m n a a d n a a d d n a a d m n a a d n a a d a a m n n n m n n n n --= --= --=-+=-+==-+1; )1()()1(1111变式：推广：通项公式：递推关系： 为常数） 即：特征：m k m kn n f a d a dn a n n ,(,)(), (1+==-+= ),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。 2．等差中项： 若c b a ,,成等差数列，则b 称c a 与的等差中项，且2 c a b +=；c b a ,,成等差数列是c a b +=2的充要条件。 3．前n 项和公式 2 )(1n a a S n n += ； 2)1(1d n n na S n -+= ) ,()(,)2(22212为常数即特征：B A Bn An S Bn An n f S n d a n d S n n n +=+==-+= 是数列 {}n a 成等差数列的充要条件。 4．等差数列 {}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中 ⑴q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若反之，不成立。 ⑵d m n a a m n )(-=- ⑶m n m n n a a a +-+=2
⑷n n n n n S S S S S 232,,--仍成等差数列。 5．判断或证明一个数列是等差数列的方法： ①定义法： ）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列 ②中项法： )22 1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列 ③通项公式法： ),(为常数b k b kn a n +=?{}n a 是等差数列 ④前n 项和公式法： ),(2为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 练习：1．等差数列 {}n a 中， ) (3 1 ,1201191210864C a a a a a a a 的值为则-=++++ A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 165 1203232)(32) 2(3 1 318999119=?==-=+-=-a d a d a a a a 2．等差数列 {}n a 中，12910S S a =>，，则前10或11项的和最大。 解：0912129 =-=S S S S ， 003011111121110>=∴=∴=++∴a a a a a a ，又，， ∴ {}n a 为递减等差数列∴1110S S =为最大。 3．已知等差数列{}n a 的前10项和为100，前100项和为10，则前110项和为－110 解：∵ ，，，，，1001102030102010S S S S S S S --- 成等差数列，公差为D 其首项为 10010=S ，前10项的和为10100=S 解
数列 基础知识梳理 一、数列 1、数列的定义 数列是按照一定顺序排列着的一列数，在函数的意义下，数列是某一定义域为正整数或它 的有限子集｛1,2,3,4，……,n｝的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值， 其图像是无限个或有限个孤立的点，数列的一般形式为印，a2,a3,|l（,a n ,通常简记为｛a n｝，其中a n是数列的第n项，也叫通项。 1）｛a n｝与a n是不同的概念，｛a n｝表示数列a1l a2,a3^|,an^L而a.表示的是这个数 列的第n项 2）数列与集合的区别 集合中元素性质：确定性，无序性，互异性； 数列中数的性质：确定性，有序性，可重复性。 2、数列的通项公式 当一个数列｛a n｝的第n项a n与项数n之间的函数关系可以用一个公式a^ f n来表示，就把这个公式叫数列｛a n｝的通项公式，可根据数列的通项公式算出数列的各项，也可判断给定的数是否为数列｛a n｝中的项或可确定是第几项。但不是所有数列都可以写出通项公式，数列的通项公式也不唯一。 3、数列的表示方法 数列看成一个特殊的函数，所有从函数的观点出发，数列的表示方法有以下三种: 1）解析法：通项公式和递推公式两种； 2）列表法 3）图像法（数列的图像是一系列孤立的点）4、数列的分类 （1）有穷数列和无穷数列 （2）单调数列，搬动数列，常数列 5、a n与S n的关系 S（ n =1） n 一IS n —Sn4（n^2） 6、等差数列 1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 定义的表示为：a n -a n 一1 = d （n ?二 N *,n 丄2）或者 a n ： -a n = d （n ?二 N *） 公差d 可正可负或为零，为零时，数列为常数列。 2）等差数列的通项公式 a n =印 n -1 d, a .二 a m n -m d d = a n ~am (n = m) n —m 3）等差数列的增减性 d .0=等差数列「aj 为递增数列； d ：：0=等差数列「a/为递减数列； d=0=等差数列CaJ 为常数列。 4 ）等差中项 a +b 任意两个数a,b 有且仅有一个等差中项 ，即。 2 A 二~~ = a,A,b 三个数构成等差数列。 2 5）等差数列前n 项和公式（倒序相加法） n & a n S i ； 2 n （n —1） 5 d. 2 + x , n （n T ） d 2 『 d 第二个公式 q = na 1 d 可整理成 S n n …I 印 n 2 2 I 2丿 pl pl A 二一启二印-一则S n =An 2 ? B n , S n 可看成是关于n 的二次函数（常数项为 2 2 那么可以得出一下结论： （1） 当d -0是,S n 有最小值；当d ：：：0是,S n 有最大值； （2） ｛ a n ｝是等差数列二 S n 二 An 2 ? Bn. 对于第二个公式要求 a n ，a m 是数列中的项即可，也可表示为 n -1
最全数列知识点归纳 注意：（1）数列与集合的差异；（2）数列中只有很少一部分是等差或者等比数列，只是我们高中阶段仅仅研究与等差、等比相关联的特殊数列而已。 等差（等比）数列定义：从第2项起，每一项与它前一项的差（比）等于同一个常数。 注：常数，即与n 无关的数 等差数列判断方法： （1）1n n n a a d +-=≥（2） （2）112n n n a a a +-+= （3）An+B n a =（4）2n S An Bn =+ 等比数列判断方法： （1） 1(0)n n n a q q a +=≠≥（2） （2）2 11n n n a a a +-?=（3）n-1n 1q kq (0)n n a a a q ==≠或 （4）n k+kq q n S =-（不为0或1） 数列的通项公式研究的是数列的通项n a （代表项）与序号n 之间的函数关系()f n n a =。 类型一：. eg8：若给出一般数列的某几项或无穷项111 11234 --（），，，...； 类型二：.若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型三：已知数列n S 与n 一个函数关系。递推法 （注意n a 的表示形式，思考是否需要分类表示） 11 , 1, 2n n n a n a s s n -=?=?-≥? 类型四：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）()1n n a a f n +=+的形式，求n a 。 累加法 类型五：已知此数列的递推关系（1n n a a +与的关系）为()1n n a a f n +=?的形式，求n a 。 累乘法 类型六：已知此数列的递推关系为1()n n a pa f n p q +=+（、为常数） 等的形式，求n a 。 构造法 1(1) 32;n n a a +=+1(2) 321;n n a a n +=+-1(3) 33;n n n a a +=+1(4) 3321;n n n a a n +=++- 类型七：已知此数列的递推关系为11n n n n ka a pa qa p q ++=+（、为常数） 等的形式，求n a 。 构造法 11111111n n n n n n n n n n n n n n n n ka a pa qa p q ka a pa qa k a a a a a a a a ++++++++=+?=+?=+ 类型八：已知此数列的递推关系为111n n n n n n n pa m ka a pa qa m a ka t ++++=++?=+等的形式，求n a 。 特征方程 {}112200(); (1),,1(2), (3),n n n n a x px m x x kx t px m x x kx t a x x a a x ??-+=?+=+??+-??????-?? 令方程有两根 则是等比数列 方程有两相等根 则是等差数列方程无实数根则是周期数列 类型九：已知此数列的递推关系为1n n n pa a ka m +=+等的形式，求n a 。取倒数法 11111n n n n n n n pa ka m m k a ka m a pa a a p ++++=?=?=++ ()123f n n n a a a a =+++ +=。 若已知数列就为特殊的等差、等比数列，或者能够转换成等差、等比数列的情况，公式法 类型二：. 若出现“等差、等比加减组合型”的通项，分组求和法 类型三：若出现“等差、等比乘除组合型”的通项，错位相减法 类型四：n a =分式可以使用裂项相消：如：111n(n+1)n (n+1)=-= 裂项相消法 类型五：12-1n n a a a a +=+= 可以使用倒序相加： 类型六：既非等差也非等比但正负相间求和可以使用并项法求和。如：1123456(1)n n +-+-+-+ +- 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A +=或 b a A +=2