《数列》知识点归纳及例题分析
一、数列的概念:
1.归纳通项公式:注重经验的积累
例1.归纳下列数列的通项公式: (1)0,-3,8,-15,24,....... (2)21,211,2111,21111,......
(3), (17)
9
,107,1,23
2.n a 与n S 的关系:???≥-==-)
2(,)
1(,11n S S n a a n n n
注意:强调2,1≥=n n 分开,注意下标;n a 与n S 之间的互化(求通
项)
例2:已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2,11
,32n n n S n ,求n a .
3.数列的函数性质:
(1)单调性的判定与证明:定义法;函数单调性法 (2)最大(小)项问题:
单调性法;图像法
(3)数列的周期性:(注意与函数周期性的联系)
例3:已知数列}{n a 满足?????
<<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ,531
=a ,求2017a . 二、等差数列与等比数列
1.等比数列与等差数列基本性质对比(类比的思想,比较相同之处和不同之处)
例题:
例4(等差数列的判定或证明):已知数列{a n }中,a 1=35,a n =2-1
a n -1
(n ≥2,n ∈N *
),数列{b n }满足b n =1a n -1
(n ∈N *).
(1)求证:数列{b n }是等差数列;
(2)求数列{a n }中的最大项和最小项,并说明理由. (1)证明 ∵a n =2-1
a n -1 (n ≥2,n ∈N *
),b n =1
a n -1
.
∴n ≥2时,b n -b n -1=1a n -1-1
a n -1-1
=
1?
??
??2-1a n -1-1
-1
a n -1-1
=a n -1
a n -1-1-1a n -1-1
=1. ∴数列{b n }是以-5
2
为首项,1为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知,b n =n -72,则a n =1+1b n =1+2
2n -7,
设函数f (x )=1+2
2x -7
,
易知f (x )在区间? ????-∞,72和? ??
??7
2,+∞内为减函数.
∴当n =3时,a n 取得最小值-1;当n =4时,a n 取得最大值3. 例5(等差数列的基本量的计算)设a 1,d 为实数,首项为a 1,公差
为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ,满足S 5S 6+15=0.
(1)若S 5=5,求S 6及a 1 (2)求d 的取值范围. 解 (1)由题意知S 6=
-15
S 5
=-3,a 6=S 6-S 5=-8.
所以???
??
5a 1+10d =5,a 1+5d =-8.
解得a 1=7,所以S 6=-3,a 1=7. (2)方法一 ∵S 5S 6+15=0, ∴(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0,
即2a 21+9da 1+10d 2
+1=0.
因为关于a 1的一元二次方程有解,所以
Δ=81d 2-8(10d 2+1)=d 2-8≥0,
解得d ≤-22或d ≥2 2. 方法二 ∵S 5S 6+15=0,
∴(5a 1+10d )(6a 1+15d )+15=0, 9da 1+10d 2+1=0.
故(4a 1+9d )2=d 2-8.所以d 2≥8. 故d 的取值范围为d ≤-22或d ≥2 2.
例6(前n 项和及综合应用)(1)在等差数列{a n }中,已知a 1=20,前n 项和为S n ,且S 10=S 15,求当n 取何值时,S n 取得最大值,并求出它的最大值;
(2)已知数列{a n }的通项公式是a n =4n -25,求数列{|a n |}的前n 项和.
解 方法一 ∵a 1=20,S 10=S 15,
∴10×20+10×92d =15×20+15×142d ,∴d =-53
.
∴a n =20+(n -1)×? ??
??-53=-53n +65
3.
∴a 13=0,即当n ≤12时,a n >0,n ≥14时,a n <0,
∴当n =12或13时,S n 取得最大值,且最大值为S 13=S 12=12×20+12×112×? ??
??
-53=130. 方法二 同方法一求得d =-53.
∴S n =20n +
n n -1
2
·? ????-53=-56n 2+1256n =-56? ?
?
??n -2522+3 12524.
∵n ∈N *,∴当n =12或13时,S n 有最大值,且最大值为S 12=S 13=130. (2)∵a n =4n -25,a n +1=4(n +1)-25,
∴a n +1-a n =4=d ,又a 1=4×1-25=-21.
所以数列{a n }是以-21为首项,以4为公差的递增的等差数列.
令?????
a n =4n -25<0, ①a n +1=4n +1-25≥0, ②
由①得n <614;由②得n ≥51
4
,所以n =6. 即数列{|a n |}的前6项是以
21为首项,公差为-4的等差数列,从第7项起以后各项构成公差为4的等差数列,
而|a 7|=a 7=4×7-24=3. 设{|a n |}的前n 项和为T n ,则
T n
=?????
21n +n n -1
2
×-4 n ≤6
66+3
n -6+
n -6
n -7
2
×4 n ≥7
=?????
-2n 2
+23n n ≤6,2n 2
-23n +132 n ≥7.
例7已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差为 3
例8等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为{},{}n n S T ,且7453n n
S n
T
n
,
则使得n
n
a b 为正整数的正整数n 的个数是 3 . (先求an/bn
n=5,13,35)
例9已知数列{}n a 中,113a =,当2≥n 时,其前n 项和n S 满足2
221n
n n S a S =-,
()()2
113
2214n n a n n ?=?=??
-?≥
则数列{}n a 的通项公式为
例10在数列{}n a 中,12a =,11ln(1)n n a a n
+=++,则n a = .
例11
设11a a -+是和的等比中项,则a +3b 的最大值为 2 .
例12 若数列1, 2cos θ, 22cos 2θ,23cos 3θ, … ,前100项之和为0, 则θ的值为
( )
例13 △ABC 的三内角成等差数列, 三边成等比数列,则三角形的形状为__等边三角形_
三、数列求和:
(1)倒序相加法 如
:
已
知
函
数
1
()()42
x
f x x R =
∈+,求
12
()()()m m
S f f f m m m
=++
+_________
(2)错位相减法:{}n n b a 其中{ n a }是等差数列,{}n b 是等比数列。
(3)裂项相消法:形如)1
1(1))((1C
An B An B C C An B An a n +-+-=++=
(4)拆项分组法:形如n n n c b a ±=,
2ln n
+22,Z
3
k k ππ±∈
如:n n n a 32+=,65()2
()
n n
n n a n -?=?
?为奇数为偶数,21)1(n a n n ?-=-
练习: 1、数列1,211+,3211++,···,n
+++ 211的前n 项和为( B ) A .
122+n n B .12+n n C .12++n n D .1
2+n n
2、数列,,16
1
7
,8
15,4
13,2
1
1 前n 项和=n S . 3、数列{}n a 的通项公式为n
n a n ++=11,则S 100=
_________________。
4、设()111
12
612
1n S n n =++
++
+,且13
4
n n S S +?=,则=n .6
5、设*N n ∈,关于n 的函数21)1()(n n f n ?-=-,若)1()(++=n f n f a n ,则
数列}{n a 前100项的和=++++100321a a a a ________.答案:100. 解答:])1[()1()1()1()1()1()(22221n n n n n f n f a n n n n -+-=+?-+?-=++=-,
)12()1(+-=n n ,所以
201)199(9)7(5)3(100321+-+++-++-=++++ a a a a
100502=?=.
四、求数列通项式
(1)公式法:12
1+=+n
n a a ,112++-=?n n n n a a a a ,1
21+=+n n
n a a a 等
(2)累加法:形如)2)((1≥=--n n f a a n n 或)(1n f a a n n +=-,且)(n f 不为常数
(3)累乘法:形如)2)((1≥?=-n n f a a n n 且)(n f 不为常数 (4)待定系数法:形如1,0(,1≠+=+k b ka a n n ,其中a a =1)型
(5)转换法:已知递推关系0),(=n n a S f ???≥-==→-)
2(,)
1(,11
n S S n a a S n n n n
解题思路:利用???≥-==-)2(,)
1(,11
n S S n a a n n
n
变化(1)已知0),(11=--n n a S f ;(2)已知0),(1=--n n n S S S f
(6)猜想归纳法(慎用)
练习:
考点三:数列的通项式
1、在数列{}n a 中,前n 项和842--=n n S n ,则通项公式
=n a _______________
3、已知数列的前
n
项和
n
n S 23+=,则
=n a _______________1
5
12
2
n n n a n -=?=?≥?
4、已知数列{}n a ,
21=a ,231++=+n a a n n ,则 =n a )(,2
3*2N n n
n ∈+
5、在数列{}n a 中,1112,lg 1n n a a a n +??==++ ?
?
?
(*N n ∈),则n a = . 6、如果数列{}n a 满足)(53111*++∈=-=N n a a a a a n n n n ,,则
=n a ________________
7、}{n a 满足11=a ,1
31+=
+n n n a a a ,则n a =_______132n -
8、已知数列{}n a 的首项12a =,且121n n a a +=-,则通项公式n a =
121n -+
9、若数列{}n a 满足()*112,32n n a a a n N +==+∈,则通项公式n a =
10、如果数列{}n a 的前n 项和32
3
-=n n a S ,那么这个数列的通项公式是( D )
A .)1(22++=n n a n
B .n n a 23?=
C .13+=n a n
D .n n a 32?= 五、数列应用题: 等差数列模型
1、一种设备的价格为450000元,假设维护费第一年为1000元,以后每年增加1000元,当此设备的平均费用为最小时为最佳更新年限,那么此设备的最佳更新年限为 。30年
2、在一次人才招聘会上,有甲、乙两家公司分别公布它们的工资标准:
甲公司:第一年月工资数为1500元,以后每年月工资比上一年月工资增加230元;
乙公司:第一年月工资数为2000元,以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5%.
设某人年初同时被甲、乙公司录取,试问:
(1)若该人打算连续工作n 年,则在第n 年的月工资收入分别是多少元
(2)若该人打算连续工作10年,且只考虑工资收入的总量,该人应该选择哪家公司为什么(精确到1元)
解:(1)设在甲公司第n 年的工资收入为n a 元,在乙公司第n 年的工资收入为n b 元
则2301270n a n =+,120001.05n n b -=? (2)设工作10年在甲公司的总收入为S 甲,在甲公司的总收入为S 乙
(10150045230)12304200S =?+??=甲
2000(1 1.05)
123018691 1.05
n S -=
?≈-乙
由于S S >乙甲,所以该人应该选择甲公司.
等比数列模型
例 从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据计划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上一年度减少5
1
,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加4
1。
(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为n a 万元,旅游业总收入为n b 万元,写出n a 、n b 的表达式;
(2)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入(精确到整数) 参考解答:
(1)1
2
511800511800511800800-?
?
? ??-++??? ??-+??? ??-+=n n a
???
???????? ??-=????
??????? ??++??? ??++=-n n 541400054545418001
2
1
2411400411400411400400-?
?
?
??+++??? ??++??? ??++=n n b
???
?????-??? ??=????
??????? ??++??? ??++=-145160054545414001
2n n
(2)解不等式n n a b >,得5≥n ,至少经过5年,旅游业的总收入
才能超过总投入.
六、2017年高考题
一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求
的)
1. (2017年新课标Ⅰ) 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,
648S =,则{}n a 的公差为( )
1.A
2.B 4.C 8.D
2.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( )
1.A 盏 3.B 盏 5.C 盏 9.D 盏
3.(2017年新课标Ⅲ卷理) 等差数列{}n a 的首项为1,公差不为0.若
632,,a a a 成等比数列,则{}n a 前6项的和为( )
24.-A 3.-B 3.C 8.D
4. (2017年浙江卷) 已知等差数列}{n a 的公差为d ,前n 项和为n S ,
则“0>d ”是“5642S S S >+”的( )
.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充
分也不必要条件
5.(2017年新课标Ⅰ) 几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款
应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列?,16,8,4,2,1,8,4,2,1,4,2,1,2,1,1其中第一项是02,接下来的两项是102,2,再接下来的三项是2102,2,2,依此类推.求满足如下条件的最小整数100:>N N 且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是( )
440.A
330.B 220.C 110.D
二、填空题(将正确的答案填在题中横线上)
6. (2017年北京卷理) 若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足
8,14411==-==b a b a ,2
2
a b =_______.
7.(2017年江苏卷)等比数列{}n a 的各项均为实数,其前n 项和为n S ,已知367
63
44
S S ==
,,则8a =_______________. 8.( 2017年新课标Ⅱ卷理) 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,33a =,
410S =,
则11
n
k k
S ==∑
. 9.(2017年新课标Ⅲ卷理)设等比数列{}n a 满足3,13121-=--=+a a a a ,
则=4a __.
三、解答题(应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 10.( 2017年新课标Ⅱ文)已知等差数列}{n a 前n 项和为n S ,等比数列
}{n b 前n 项和为.
2,1,1,2211=+=-=b a b a T n (1)若533=+b a ,求}{n b 的通项
公式; (2)若213=T ,求3S .
11.(2017年新课标Ⅰ文) 记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知
.
6,232-==S S
(1)求{}n a 的通项公式; (2)求n S ,并判断21,,++n n n S S S 是否成等差数列。
12. ( 2017年全国Ⅲ卷文)设数列{}n a 满足()123+212n a a n a n ++-=…
(1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列21n a n ??
?
?+??
的前n 项和;
13.(2017年天津卷文)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为*
()n S n ∈N ,
{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2334111412,2,11b b b a a S b +==-=.
(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列2{}n n a b 的前n 项和
*()n ∈N .
14.(2017年山东卷文)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,且
121236,a a a a a +==.
(1)求数列{}n a 的通项公式;
(2){}n b 为各项非零等差数列,前n 项和n S ,已知211n n n S b b ++=,求数列
n n b a ??
????前n 项和n T
15. (2017年天津卷理)已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,
{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =.
(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)求数列221{}n n a b -的前n 项和
()n *∈N .
16. (2017年北京卷理) 设{}n a 和{}n b 是两个等差数列,记
1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--???-(1,2,3,)n =???,
其中12max{,,,}s x x x ???表示12,,,s x x x ???这s 个数中最大的数.
(1)若n a n =,21n b n =-,求123,,c c c 的值,并证明{}n c 是等差数列; (2)证明:或者对任意正数M ,存在正整数m ,当n m ≥时,
n
c M n
>;或者存在正整数m ,使得12,,,m m m c c c ++???是等差数列.
17.(2017年江苏卷)对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足:
1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立,
则称数列{}n a 是“()P k 数列”.
(1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”;
(2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列.
18.(本小题满分12分)
已知}{n x 是各项均为正数的等比数列,且.2,32321=-=+x x x x (Ⅰ)求数列}{n x 的通项公式;
(Ⅱ)如图,在平面直角坐标系xOy 中,依次连接点
)1,(,),2,(),1,(11211+?++n x P x P x P n n 得到折线121+?n P P P ,
求由该折线与直线11,,0+===n x x x x y 所围成的区域的面积n T .
19.(2017年浙江卷)已知数列}{n x 满足:
).)(1ln(,1*111N n x x x x n n n ∈++==++