维纳和布朗运动_杨静

第38卷第10期2008年5月数学的实践与认识M A THEM A TICS IN PRAC TICE AND THEO RY V o l.38　No.10　M a y,　2008　

维纳和布朗运动

杨　静1,　唐　泉2

(1.北京联合大学基础部,北京　100101)

(2.咸阳师范学院数学系,陕西咸阳　712000)

摘要:　布朗运动,作为一种特殊的随机过程,在随机过程理论处于一个中心地位.布朗运动理论在其他许

多领域也有重要应用.在布朗运动理论的发展和完善过程中,布朗,爱因斯坦和维纳等人都作出了重要贡献.

通过解读原始文献,考察了维纳建立布朗运动数学理论的过程.揭示了维纳在布朗运动的数学理论严格化

进程中的重要作用.

关键词:　维纳;布朗运动;随机过程

0　引 言

收稿日期:2007-09-26基金项目:国家自然科学基金资助项目(10671053) 1827年,英国植物学家布朗(R.Brow n,1773～1858)用显微镜观察悬浮在水中的花粉时,发现了水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的折线运动.事实上在布朗之前,已经有人报告了这种现象.但由于布朗第一个系统而深入地研究了这一现象,因此这种现象被称作布朗运动.在布朗之后很长一段时间内,人们都不知道布朗运动发生的原理.直到19世纪70年代,才有一些学者对布朗运动作出了定性分析,他们指出,这些微小颗粒的运动是受到周围分子的不平衡的碰撞而导致的.1905年,爱因斯坦(A.Einstein,1879～1955)发表了关于布朗运动的数学描述,他把布朗粒子视为理想气体巨分子系统.1908年,佩兰(J .Perrin ,1870～1942)用一系列出色的实验,证明了布朗粒子作为一种巨分子系统的热学性质.爱因斯坦和佩兰等物理学家关于布朗运动的文章,深深影响了维纳的早期工作.1923年,维纳(N.Wiener,1894～1964)给出了布朗运动的严格的数学理论,并作出了一系列工作,极大地促进了布朗运动数学理论的发展.本文旨在考察维纳建立布朗运动数学理论的过程.

1　维纳的生平和学术背景

维纳1894年11月26日生于美国密苏里州的哥伦比亚.他的父亲列奥维纳出生于俄国,18岁时移居美国.列奥维纳通过刻苦自学,成为哈佛大学斯拉夫语教授.列奥维纳对儿子寄予厚望,希望他在学术上有所成就.

维纳是一个名符其实的神童,他的父亲很早就发现了儿子的天赋,并坚信借助于环境进行教育的重要性,他从一开始学习就实施严格的教育计划.维纳三岁半开始读书,生物学和天文学的初级科学读物就成了他在科学方面的启蒙书籍.从此,他兴致勃勃,埋首于五花八门的科学读本.七岁时,开始深入物理学和生物学的领域,甚至超出了他父亲的知识范围.从

达尔文的进化论到夏尔科、雅内的精神病学著作,从儒勒·凡尔纳的科学幻想小说到18、19世纪的文学名著,维纳几乎无所不读.

维纳怀有强烈的好奇心,而他父亲则用严厉的态度坚持实施以数学和语言学为核心的教学计划.在这种严格的训练下,他的数学长进非常显著.父母几次设法送他到学校去受教育,但不寻常的智力和训练使维纳在学校里很难被安排.他的阅读远远地走在书写的前面,他刻苦地学习并掌握了初等数学,但仍需要扳着手指做算术.直到9岁时,维纳才作为一名特殊的学生,进了艾尔中学,不满12岁就毕业了.

1906年,维纳被父亲送进塔夫茨学院数学系就读,他用三年时间读完了大学课程,于1909年春毕业.之后维纳开始攻读哈佛大学研究院生物学博士学位,然而由于他动手能力差,并且缺乏从事细致工作所必需的技巧和耐心,同时深度近视给他增添了不少麻烦,因此他不得不转学到康奈尔大学去学哲学.第二年维纳又回到哈佛,开始研读数理逻辑,并于18岁获哈佛大学哲学博士学位[1].

在哈佛的最后一年,维纳向学校申请了旅行奖学金并获得了批准.他先后留学于英国剑桥大学和德国哥丁根大学,在罗素、哈代、希尔伯特等著名数学家指导下研究逻辑和数学.

罗素是维纳的主要良师益友,维纳跟他学习数理逻辑和科学与数学哲学,从这位大师身上得到许多深刻的教益.罗素的哲学课程和数学原理课,维纳感到很新鲜,富有启发性.罗素建议维纳阅读爱因斯坦1905年发表的三篇论文,学习卢瑟福的电子理论和波尔的学说.罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉,他的教导使维纳牢牢记住,不仅数学是重要的,而且还需要有物理概念.

对于维纳未来的数学家生涯,罗素的另一个重要影响是,他向维纳提出,一个专攻数理逻辑和数学哲学的人最好能懂一些数学.因此,维纳选读了许多数学课程,接受了哈代等人的指导.哈代清晰、有趣和发人深思的讲演,涉及了包括勒贝格积分在内的实变函数基础和复变函数引论,给了维纳深刻的启示,并直接导致他早期生涯中的主要成就.

在维纳研究数学基础时,他曾随意地读过数学分析的书籍.但是在1919年早期他空闲的时候,他才研究了诸如奥斯古德(W. F.Osg ood,1864～1943),沃尔特拉(V.Volterra,1860～1940),弗雷歇(M .Frechet ,1878～1973)和勒贝格(H .Lebesg ue ,1875～1941)等重要分析学家的经典著作.这些著作是他姐姐的未婚夫格林(Gabriel M arcus Green )的遗赠品,格林是哈佛大学数学系的一位有前途的数学家,死于战后的一次流行病.这些书令维纳惊讶万分,毫无疑问,它们激励了他向分析的转变.

1923年,维纳发表了一系列论文.在这些论文中,维纳给出了布朗运动的严格的数学定义,从而极大地推进了布朗运动理论的研究.

维纳曾在自传中写道:“我后期的大部分数学研究工作总是可以追溯到我对于布朗运动的研究.首先,这种研究把我引向概率论的研究.此外,它还很直接地把我引向周围分析图,引向谐波分析的形式的研究,这种研究比古典的傅立叶级数和傅立叶积分更为概括.所有这些思想与马萨诸塞理工学院的一位教授所抱有的工程专业思想相结合,使得我在讯息论的理论和实践方面都有了一些进展,从而最后建立了控制论这门学问.这门学问实质上是用统计学的方法来研究讯息论.这样,尽管我的科学兴趣象是变化多端,可是从始至终,整个贯穿我的第一次成熟的工作和现在的工作的,只有一条线”[1].维纳还在巴拿赫空间、概率论、位势分布和广义调和分析等理论取得重大成果,并将傅16310期杨　静,等:维纳和布朗运动

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里叶积分的理论应用于电路设计工作.第二次世界大战期间,他从防空火力控制和雷达噪声滤波问题出发,建立起维纳预测和滤波理论.40年代后期,他将先前在数学、通信工程、自动控制、计算技术和神经生理等方面的成就综合在一起,于1948年出版了《控制论》一书,标志着控制论的创立.控制论提出了划时代的崭新思想方法,对人类思维和科学研究产生了广泛而深远的影响.

维纳曾应邀到世界各地访问讲学,先后当选为美国国家科学院院士和美国数学会副会长,并荣获美国数学会设立的博歇奖和总统颁发的美国国家科学奖章.其中,1935～1936年,清华大学聘请维纳为访问教授,他对当时清华大学数学系、电机系的教学和科研起了推进作用,并和华罗庚等数学家结下了深厚的友谊.

1964年3月18日,维纳在瑞典的斯德哥尔摩由于心脏病发作而逝世.

2　维纳对布朗运动的研究工作

布朗于1827年在观察液体中某种植物的花粉颗粒时,明显的看到它在不断地做不规则的折线运动,而且粒子越小,运动越活跃.他得出这个运动“并非由于液体的流动,也不是由于液体的逐渐蒸发,而是由于粒子本身”的结论.他对所有新鲜的花粉和一些花粉标本以及矿物粉末作了大量的观察.他把他的观察汇集成书,并在1828年出版,他推测这种运动可能是液体压力不均匀所致.

1858年法国化学家、物理学家雷克奥(H.V.Reg nault,1810～1878)提出布朗运动是由于光的照射使液体受热不均匀,另外还提出一些其他假设,都被精密实验所否定.1877年德尔索(J.Delsaulx,1828～1891)首先提出布朗运动是由于微小颗粒受到周围液体分子的不平衡碰撞所致.1888年法国物理学家古伊(L.G.Gouy,1854～1926)进行精密的研究,发现液体粘滞性越小,运动越活跃,而且发现强光照射及加强电磁场对布朗运动没有影响,他认为布朗运动的原因应在液体分子的热运动中去寻找.不过,没有一个合理的,能同实验相比较的理论产生.1905年爱因斯坦发表的三篇论文解决了三类问题:给布朗运动以合理的解释;给出布朗运动可以证实的关系及公式;理论推论及应用.波兰物理学家斯莫卢霍夫斯基(M.Smolucho wski,1872～1917)直接受到波尔兹曼的影响,从1900年开始研究布朗运动,也用涨落理论来解释布朗运动,不过,他的论文于1906年才发表[2].

维纳研究布朗运动的契机,源于他和数学家巴尼特(I.A.Bar nett,1894～1974)的交往,这件事对维纳的科学生涯影响很大.1919年夏天,青年数学家巴尼特拜访维纳,巴尼特是穆尔(E.H.Mo ore,1862～1932)过去的学生.其时维纳开始从事泛函分析的研究,而巴尼特在这方面训练有素,维纳请巴尼特给自己建议一个合适的题目.于是巴尼特向维纳建议研究函数空间的积分问题.

按照巴尼特的建议,维纳开始认真地尝试.经过两年的工作,最终解决了这个问题.其间,他首先研究了勒贝格积分,想推广勒贝格的思想.一个名叫加托的年轻法国人曾写过一篇这方面的论文,但未得到满意的结果.英国学者丹尼尔(P.T.Daniel)的一些论文对这个问题也有所提示,丹尼尔的工作比加托的工作令维纳感到满意,不过维纳认为丹尼尔的工作没有特别涉及曲线族.不久,维纳在《伦敦数学协会汇刊》里看到泰勒(G.I.Taylo r)写的一篇关于湍流理论的论文(1920).这篇论文同维纳的兴趣密切相关,因为气体微粒在湍流中的路径是曲线,所以泰勒论文的物理结果包括这些曲线族的平均或者积分.维纳觉得泰勒的这

篇文章非常重要,因为他当时曾试图以湍流作为巴尼特问题的模型.另一方面,泰勒在该文中建立了函数及其导数间的一种相关性,这启发维纳后来在广义调和分析中引进了自相关和互相关函数.

有泰勒的论文作后盾,维纳开始越来越多地考虑关于曲线平均理论的物理可能性.然而,维纳以湍流作为问题模型的想法未能实现,因为湍流现象实在太复杂了,无法直接从它来着手.这促使他去寻找较简单的模型,他想到了布朗运动.[3]他对布朗运动进行了这样的描述:

“设想在一块场地上有一只推球①,场地上有一群人转来转去.人群中各人都将跑向这推球,把它推来推去.有人把它朝一个方向推;有人把它朝另一个方向推,这些推动很可能是平衡的.然而,尽管这些推动是平衡的,但事实仍然是,球是被各个人推动,这平衡只是近似的.因此,随着时间的推移,这球将在场地上滚来滚去,就象我们已经提到过的醉汉那样;将有一种不规则的运动,其中将要发生的同过去已经发生的几乎没有什么关系.

现在来考虑流体的分子,不管是气体的分子还是液体的分子.这些分子将不会静止,而是象人群中的人那样作随机的不规则运动.这运动将随着温度升高而变得愈趋活跃.我们假想,把一个小球放进这流体,它可以被分子推动,酷似推球被人群推来推去.如果这球极其小,我们无法看到它,而如果它极其大,悬浮在流体中,则流体的微粒同这个球的碰撞最终将非常平衡,以致观察不到什么运动.不过有个中间范围存在,在这个范围内球大到足以看得见,小到足以在显微镜下表现出不停地作不规则运动.表明分子的不规则运动的这种扰动称为布朗运动.它最初是十八世纪的显微镜学家们观察到的,他们把这看成在微观领域中一切足够小的粒子的普遍的运动”[4].

我们知道,由于罗素的建议,维纳曾阅读过爱因斯坦这方面的论文.爱因斯坦和斯莫鲁霍夫斯基两人的关于布朗运动的奠基性论文,都是关于任一给定微粒在---特定时刻的行为或者许多微粒的长时间的统计,而没有涉及单个微粒所遵循的曲线的数学性质.维纳则企图研究单个粒子的运动路径,或者更确切的说,是要研究这些路径的总体.每条路径都用函数空间中的一个点来表示.另外,法国物理学家佩兰的著述也启发了维纳.在维纳的许多著作中都能看到他提到佩兰的工作,或多处引用佩兰的评论.佩兰在他的《原子》一书中有一段评论,他说,实际上布朗运动中微粒所遵循的那些非常不规则的曲线,引导人们想起数学家们所假想的那种连续的不可微分的曲线.佩兰之所以称这运动是连续的,是因为这些微粒从来不跳过一个间隙,所以称之为不可微分的,是因为它们似乎任何时候都没有一个很确定的运动方向.

当然,在物理学的布朗运动中,微粒不会真的由于同分子相碰撞而受到一种绝对不断的作用,而是在一次碰撞同下一次碰撞之间有短暂的间隔.然而,这些间隔太短了,用任何通常的方法都观察不到.因此,自然就可以把布朗运动理想化,似乎这些分子在大小上无限小,而把碰撞描述为连续的.维纳研究的正是这种理想化的布朗运动,而且维纳发现,它是真实布朗运动的那些自然性质的一个绝妙的代表.而且,这样来表述布朗运动,可获得一个高度完美的形式理论.在这理论的指引下,维纳能够证实佩兰的猜测,并证明除了零概率情形的集而外,一切布朗运动都是连续的、不可微分的曲线.

16510期杨　静,等:维纳和布朗运动①一种把直径约有六英寸的很重的球推进对方球门的游戏.

3　布朗运动的数学严格化—维纳的五篇论文

从1920年开始,维纳发表了一系列论文,致力于布朗运动的数学分析化.它们分别是:

1)“任意元泛函的平均值”[5](1920);2)“解析泛函的平均”[6](1921);3)“解析泛函的平均与布朗运动”[7](1921);4)“微分空间”[8](1923);5)“泛函的平均值”[9](1924).

维纳的这5篇文章主要致力于严格证明存在支配布朗运动过程的概率定律.过去人们认为布朗路径受概率定理支配,而且路径似乎应该是连续的.问题是要构造和分析一个严格的数学模型.在科尔莫戈罗夫把概率论严密化前10多年里,维纳构造了布朗运动的数学模型,其中最根本的概率是定义在连续空间的子集上的测度值,从此这个测度通常叫作“维纳测度”.固定好一个时间起点和空间中的方向,令x (t )为布朗微粒在时刻t 位置的指定方向的一个分量,那么x (0)=0.由于技术上的原因,把t 限制在紧区间上比较便利.这样,维纳就考虑[0,1]上的连续函数组成的空间C ,其中函数在0取值为0,他还定义了C 的子集的测度(基于丹尼尔积分).位置函数的任何性质的概率都和有这个性质的子集的测度有关.C 的子集的维纳测度有如下性质:(这里,如果k 是C 中的一个元素,那么X (t ,k )是k 在t 的值)

1)C 的测度是1.

2)函数X (t , )是C 上的随机变量(可测函数),X (t 2, )-X (t 1, )具有高斯分布,其平均值为0,均方值是T |t 2-t 1|,其中T 是一个给定的严格正参数.

3)如果t 0<…

在文章1)中,维纳漂亮地改写了丹尼尔的工作.丹尼尔曾发现,本质上勒贝格开始于一

个积分

∫

,为了方便,它定义在“初等函数”类L 上(如阶梯函数或连续函数),然后用这些元素建立一个大得多、数学上更漂亮的函数类L -,然后推广积分,这样L -上推广的积分∫有更多的性质.丹尼尔给出了几个公设,从理论上论证了勒贝格的方法.他考虑了系统(L ,M ),其中L 是集合X 上f ,g 等实值函数的向量空间,即f ,g ∈L ,a ,b ∈R ,意味着a f +bg ∈L ,其中R 是实数集,M 是从L 映到R 的函数,具有初等积分的性质.丹尼尔使(L ,M )服从几个简单但精心选择的公设,并证明扩张(L

-,M -)的存在性,其中L -,M -具有成熟的勒贝格积分的深奥特征[11].

维纳则给出了某个给定抽象空间的加权剖分序列相容的一个条件,来确定e -可加概率测度或一个平均运算.这只是用测度的语言描述的丹尼尔抽象积分理论.但是,在定义具体的测度时它更方便,而且它是从有限可加测度到e -可加测度的所谓扩张定理的原型.3个例子解释了这个定理的用处.在最后一个例子中,他讨论了对Ho ¨lder 连续函数的某一平均运算.虽然这里没有提到布朗运动,但是由他进一步的研究,我们可以想象到,他在此文中致力于此.

在文章2)中,维纳用(古典形式的)中心极限定理解释了,假设布朗粒子在任一时间段的位移满足高斯分布是自然的结果.从这个考虑开始,他得到了粒子在时刻x 1,…,x n 的位置的联合分布_x 1,…,x n .下列类型的泛函F n 的平均值A (F n )称作n 阶解析泛函:166数　学　的　实　践　与　认　识38卷

F n (f )=

∫1

0…∫10f (x 1)…f (x n )d j n (x 1,…,x n )平均值A (F n )定义为:

A (F n )=∫1

0…∫10∫∞-∞…∫∞-∞y 1…y n d _x 1,…,x n (y 1,…,y n )d j n (x 1,…,x n )

在某些条件下,由A (F )=∑n A (F n ),这可以推广到解析泛函F =∑n F n 的平均值A (F ).

A (F )显然是关于维纳测度的F 的积分,后来第4篇文章证明了它的存在性.本文是到达他的目标的中间一步.

在文章3)中,维纳的目的是,利用第二篇文章的结果来证明如下实验事实:液体中一个粒子的位移的平方的均值正比于时间.维纳假设,粒子的动量的增量是通过液体的分子运动引起的随机碰撞的超位置,及液体的黏性引起的摩擦力而得到的.物理学家知道这一思想,体现在1908年给出的朗之万模型中,但是维纳没有提到它.因为假设在不同时刻碰撞是独立作用的,所以维纳把它们在无限小区间内的效果等同于文章2)中引进的布朗运动的增量.然后他证明,直到时间t ,粒子的位移的平方是布朗运动的2阶解析泛函.把2)中的公式应用到这个泛函,证明了:这个泛函的平均值几乎正比于t .总之,维纳应用维纳测度得到了布朗运动的一个更准确的模型[12].

维纳的第4篇文章“微分空间”是随机过程理论中最重要的著述之一.在测度和积分的基础上建立概率论的思想可追溯到波莱尔(E '.Bo rel,1871～1956),1909年,他用勒贝格测度的语言证明了(古典形式的)强大数定律.然而,为了讨论随机过程,我们需要函数空间上的测度和积分理论.在20世纪20年代,除了维纳,其他数学家只讨论有限联合分布.为了讨论依赖一个随机过程的整体轨道的泛函平均值,他们不加证明地把它定义成一列近似泛函的平均值,这些近似泛函依赖有限个时间点.维纳通过把平均值定义成丹尼尔积分,从而把布朗运动理论建立在一个坚固的基础上.虽然他在文中研究了布朗运动,但是他的方法成为现代随机过程理论的一个典范[13].

维纳的这篇论文是研究布朗运动的一个里程碑,他把这一学科置于坚实的基础上.因为布朗运动几乎所有的样本路径都是连续的,所以{W (t )}的机率分布定义在连续函数空间上面.这样得到的测度空间恰好就是维纳空间.此后由维纳及其他许多数学家进一步加以发展,并且应用到更一般的自然科学领域.

实际上,用这种办法维纳发现了其他领域中许多有趣的问题.事实上,由于对脑波的研究导致维纳将他的结果应用到布朗运动的非线性泛函上去,甚至导致他讨论它们的分析工作.在维纳有关工程通讯理论的工作上,也可发现类似的做法,其中由于噪声(noise)所产生的扰动,因而导致随机过程的预测理论之产生.其次,由于讨论布朗运动的流(flow ),使他对遍历论也做出伟大的贡献.总之,他创始了一支新的数学—无穷维函数空间上的分析学.对这支新数学的进一步研究启迪了近代分析学的发展.

在第5篇文章中,维纳给出了维纳测度的存在性证明.

4　维纳布朗运动研究的影响和意义

维纳能够成功地严格定义布朗运动,主要在于他观察到:维纳测度以任意高的百分比集中在一个紧的连续函数族.这一思想,现在叫作紧密性,是现代概率测度论的基础.16710期

杨　静,等:维纳和布朗运动

只是在20世纪30年代,维纳才能够发现并严格表达这些论文背后的东西.通过把空间H 映射到区间[0,1],使对应于B 的集合的勒贝格测度等于B 的维纳测度,维纳把布朗运动的特点归结为随机过程{x (t ,T ):t ∈[0,1],T ∈[0,1]},满足以下条件:1)增量x (b , )-x (a , )是满足正态分布的随机变量,平均值为0,方差为e 2(b -a );2)对不重叠区间[a ,b ],

[c ,d ],增量x (a , )-x (b , )与x (c , )-x (d , )随机独立.

维纳证明,对于[0,1]中的几乎全部T ,轨道x ( ,T )处处连续,但处处不可微,因此证实了佩兰微观观测暗示的东西.对于L 2[a ,b ]上的任意f ,维纳能定义“斯蒂尔杰斯”型积分:

g ( )=

∫b a f (t )d x (t , )在[0,1]上并能阐述这样得到的新随机变量g ( )的优美性质.因此,维纳开创了概率论的全新领域,我们现在称作随机分析.

在随机过程理论中,理想化的布朗运动占有中心位置,在过去50年来,几个数学家的努力已经证明了这一点.维纳可能已经猜测到这一点,但是他没有意识到,他的布朗运动也深入渗透到数学分析的非随机部分.另外,虽然维纳测度是函数空间中一个特殊的概率测度,但是维纳在这方面的工作仍然极其重要,它的价值主要是:

首先,它包含了几个在随机过程理论中十分有力的技巧.

第二,维纳证明了布朗运动的惊人性质,如不可微性,Ho ··lder 连续性,当时这些性质听起来甚至都是病态的,后来吸引了许多数学家的注意.由于莱维, A.Dv oretzky ,爱尔得什

(P .Erdo ¨s ),角谷静夫等人尝试推广他的结果,导致了许多有意义的工作.

第三,在随机过程中许多方面,甚至一般情况下的分析中,布朗运动都是有用的[14].然而,由于当时美国数学界的领袖人物的研究兴趣并不在此,因此维纳的工作没有在数学界引起任何轰动.无论是维纳还是别人,都不知道他的这项工作会有深远的意义.所有这一切,都要到若干年之后才被认识到.1964年,卡克(M .Kac )说过这样一段话:“在过去二十年中,数学家们一直在进行统计过程理论的丰富多产的研究,这种理论也就是对那些在时间上连续发生的现象的概率分析.统计过程来源于物理学、天文学、经济学、遗传学、生态学以及许多其他的科学领域.统计过程的最简单并且也是最著名的例子就是粒子的布朗运动.1921年,维纳提出了以气体路径集合上的测度论为基础建立布朗运动理论的思想.业已表明,这一思想对于概率论是极富成效的.它不仅给老问题注入了新生命,…更重要的是开辟了崭新的研究领域,提示了概率论和其他数学分支之间引人注目的联系”[15].

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N .Wiener and Brownian Motion

Y AN G J ing 1,　T AN G Quan 2

(1.Depa rtm ent o f Ba sic co urses,Beijing Unio n U niv er stiy ,Beijing 100101,China)

(2.Depa rtm ent o f mathema tics,Xia ny ang N o rmal U niv erstiy ,Xianya ng 712000,China)

Abstract :　Bro w nian mo tio n,as a special stochastic pr ocess,is in the centr e o f the theo ry o f stochastic pro cesses .And it has impo rtant applica tio ns to many fileds .During the ev olutio n o f Bro wnia n mo tio n theor y,R.Bro wn, A.Einstein a nd N.Wiener co ntributed a lo t.Based o n the o riginal r eso urces,this pa per studies the pro cess o f Wiener ′s esta blishing the ma thematical theo ry o f Bro w nia n mo tio n ,and r ev eals tha t wiener play ed an impo r tant ro le in th e rig or dev elopment of the theo ry .

Keywords :　N .Wiener ;Br ow nian mo tio n ;stochastic pro cess 169

10期杨　静,等:维纳和布朗运动

布朗运动和伊藤引理的运用

布朗运动与伊藤引理的运用 一、引言 1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所着名数学家的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（）和斯科尔斯（）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了着名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。 二、相关概念和公式推导 1、布朗运动介绍 布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定义是维纳（Winener）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。 （1）、标准布朗运动 设t?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z在t?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征： 特征1：z ?和t?的关系满足下式： z?= 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为的正态分布）中的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t?，z ?的值相互独立。

布朗运动理论一百年

布朗运动理论一百年 郝柏林 由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。 1 我们从布朗运动本身开始回顾 英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1827年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。 事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。 2 爱因斯坦的扩散长度公式 爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论

的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。” 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发： 假定在t?=0时刻粒子位于x=0处，即ρ（x，0）=δ（x），扩散方程的解是： 即粒子的密度遵从高斯分布。对于固定的时刻t，x和x2的平均值分别是： 〈x〉=0，〈x2〉=2Dt 于是得到扩散长度的公式： 这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。

应用随机过程学习总结

应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

关于布朗运动的理论(爱因斯坦)

关于布朗运动的理论 爱因斯坦 1905年12月 在我的论文《热的分子［运动］论所要求的[静］液体中悬浮粒子的运动》发表后不久，（耶那的）西登托普夫（Siedentopf）告诉我：他和别的一些物理学家——首先是（里昂的）古伊（Gouy ）教授先生一一通过直接的观测而得到这样的信念，认为所谓布朗运动是由液体分子的不规则的热运动所引起的。不仅是布朗运动的性质，而且粒子所经历路程的数量级，也都完全符合这个理论的结果。我不想在这里把那些可供我使用的稀少的实验资料去同这个理论的结果进行比较，而把这种比较让给那些丛实验方面掌握这个问题的人去做。 下面的论文是要对我的上述论文中某些论点作些补充。对悬浮粒子是球形的这种最简单的特殊情况，我们在这里不仅要推导出悬浮粒子的平移运动，而且还要推导出它们的旋转运动。我们还要进一步指明，要使那篇论文中所给出的结果保持正确，观测时间最短能短到怎样程度。 要推导这些结果，我们在这里要用一种此较一般的方法，这部分地是为了要说明布朗运动同热的分子［运动］论的基础有怎样的关系，部分地是为了能够通过统一的研究展开平动公式和转动公式。因此，假设α是一个处于温度平衡的物理体系的一个可量度的参数，并且假定这个体系对于α的每一个（可能的）值都是处在所谓随遇平衡中。，

按照把热同别种能量在原则上区别开的古典热力学，α不能自动改变；按照热的分子〔运动］论，却不然。下面我们要研究，按照后一理论所发生的这种改变必须遵循怎么样的定律。然后我们必须把这些定律用于下列特殊情况：—— 1、 α是（不受重力的作用的）均匀液体中一个球形悬浮粒子的重心的 X 坐标。 2、α是确定一个球形粒子位置的旋转角，这个粒子是悬浮在液体中的，可绕直径转动。 §1、热力学平衡的一个情况 假设有一物理体系放在绝对温度为 T 的环境里，这个体系同周围环境有热交换，并且处干温度平衡状态中。这个体系因而也具有绝对温度T ，而且依据热的分子［运动］论，它可由状态变数p p n 1完全地确定下来。在所考查的这个特殊情况中，构成这一特殊体系的所有原子的坐标和速度分量可以被选来作为状态变数p p n 1。 对于状态变数p p n 1在偶然选定的一个时刻处于一个 n 重的 无限小区域（p p n d d 1）中的几率，下列方程成立—— （1） p p e n E RT N d d C dw 1-= 次处C 是一个常数，R 是气体方程的普适常数，N 是一个克分子中实际分子的数目，而E 是能量。假设α是这个体系的可以量度的参数，并且假设每一组值p p n 1都对应一个确定的α值，我们要用 αAd 来表示在偶然选定的一个时刻参数α的值处在α和ααd +之间的几率。于是

布朗运动理论

布朗运动理论一百年1 布朗运动理论一百年 郝柏林 由爱因斯坦、斯莫鲁霍夫斯基（M.Smoluchowski）等人在20世纪初开始的布朗运动理论，在一百年间发展出内容丰富的众多学科分支，现在正在成为分析生物细胞内分子机器运作原理的有力工具。爱因斯坦1905年发表的5篇论文中，关于布朗运动的文章可能人们知道得最少，而实际上它被引用的次数却超过了狭义相对论。 1 我们从布朗运动本身开始回顾 英国植物学家罗伯特·布朗在1828年和1829年的《哲学》杂志上发表了两篇文章，描述自己在1927年夏天在显微镜下观察到花粉颗粒在液体中的不停顿的运动。他最初曾经以为是看到了生命运动，但后来确认这种运动对细小的有机和无机颗粒都存在，因而不是生命现象所致。布朗认为运动的原因在于这些颗粒包含着“活性分子”（active molecules），而与所处液体没有关系。 事实上，布朗并不是观察到这类运动的第一人。他在上述两篇文章里就曾提到了约十位前人，包括做过大量观察的制作显微镜的巧手列文胡克（Antonnie von Leeuwenhock）。

2 科学前沿与未来 2 爱因斯坦的扩散长度公式 爱因斯坦在1901—1905年期间致力于博士论文研究。他1905年发表的头一篇文章——“分子大小的新测定”就基于其博士论文。爱因斯坦考察了液体中悬浮粒子对渗透压的贡献，把流体力学方法和扩散理论结合起来，建议了测量分子尺寸和阿佛伽德罗常数的新办法。这样的研究同布朗运动发生关系是很自然的。然而，他1905年5月撰写的第二篇论文的题目并没有提及布朗运动。这篇题为《热的分子运动论所要求的静止液体中悬浮小粒子的运动》的文章，一开始就说：“可能，这里所讨论的运动就是所谓的布朗分子运动；可是，关于后者我所能得到唯一的资料是如此的不准确，以致在这个问题上我无法形成判断。” 爱因斯坦确实建立了布朗运动的分子理论，并且开启了借助随机过程描述自然现象的数理科学发展方向。 我们不在此重复爱因斯坦当年对扩散系数D 的推导，直接从熟知的（一维）扩散方程出发： 22D t x ρρ??=?? 假定在t =0时刻粒子位于x =0处，即ρ（x ，0）=δ（x ），扩散方程的解是： ()241,4πx Dt x t e Dt ρ-= 即粒子的密度遵从高斯分布。对于固定的时刻t ，x 和x 2的平均值分别是： 〈x 〉=0，〈x 2〉=2Dt 于是得到扩散长度的公式： 这里出现了著名的爱因斯坦的1/2指数。

《应用随机过程》教学大纲

《应用随机过程》课程教学大纲 课程代码：090541007 课程英文名称：Applications Stochastic Processes 课程总学时：40 讲课：40 实验：0 上机：0 适用专业：应用统计学 大纲编写（修订）时间：2017.6 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 随机过程是现代概率论的一个重要的组成部分，其理论产生于上世纪初期，主要是由物理学、生物学、通讯与控制、管理科学等方面的需求而发展起来的。它是研究事物的随机现象随时间变化而产生的情况和相互作用所产生规律的学科。随机过程的理论为许多物理、生物等现象提供诸多数学模型，同时为研究这类现象提供了数学手段。本课程为统计学专业的专业课程，通过本课程的学习，掌握随机过程的基本概念、基本理论、内容和基本方法，了解随机过程的重要应用，为后继课程学习提供知识准备，另一方面，随机过程的发展也是人们认识客观世界的一个重要组成部分，它有助于学生辩证唯物主义世界观的培养。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：通过本科程的学习，使学生掌握，要求学生掌握随机过程的基本概念、二阶矩过程的均方微积分、马尔可夫过程的基本理论、平稳过程的基本理论、鞅和鞅表示、维纳过程、Ito定理、随机微分方程等理论和方法。 2.基本能力：通过本课程的学习，使学生能较深刻地理解随机过程的基本理论、思想和方法，并能应用其解决实践中遇到的随机问题，从而提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。 3.基本技能：掌握建立随机数学模型、分析和解决问题方面的技能，为进一步自学有关专业应用理论课程作好准备。 （三）实施说明 本大纲是根据沈阳理工大学关于制订本科教学大纲的原则意见专门制订的。在制订过 程中参考了其他学校相关专业应用随机过程教学大纲。 本课程思维方式独特，还需要学生有较高的微积分基础，教学中应注意概率意义的解 释和学生基础情况的把握，处理好抽象与具体，偶然与必然、一维与多维，理论与实践的关系。本课程内容分概率论与数理统计两部分，在教学中应充分注意两者之间的联系，重视基本概念，讲清统计思想。 （四）对先修课的要求 本课的先修课程：数学分析，高等代数，概率论。 （五）对习题课的要求 由于本课程内容多学时少，习题课在大纲中未作安排，建议教师授课过程中灵活掌 握；对于学生作业中存在的问题，建议通过课前和课后答疑解决。通过习题课归纳总结章节知识解决重点难点内容。 （六）课程考核方式 1.考核方式：考试 2.考核目标：在考核学生基本知识、基本原理和方法的基础上，重点考核学生解决实际问题的能力。 3.成绩构成：本课程的总成绩主要由两部分组成：平时成绩20-30％；期末成绩70-80％; 平时成绩构成：出勤，测验，作业。其中测验为开卷，随堂测验。

(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结

1、引言 布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。 2.维纳过程 2.1独立增量过程 维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。 定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。 若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量 )()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ 是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。 我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。 如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量)()(s X t X -的分布函数只与时间差)0(t s s t <≤-有关，而与t 和s 无关(令s h -=便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。

布朗运动和伊藤引理的运用

布朗运动与伊藤引理的运用 唐雨辰3112352013 统计2107 一、引言 1827年英国植物学家布朗发现液体中悬浮的花粉粒具有无规则的运动，这种运动就是布朗运动。1900年，法国数学家巴舍利耶（L.Bachelier）在其博士论文《投资理论》中，给出了布朗运动的数学描述，提出用算术布朗运动来模拟股票价格的变化。如果股票价格遵循算术布朗运动将意味着股票价格可能取负值，因此股票价格不遵循算术布朗运动，基于这个原因，萨缪尔森（P.A.Samuelson）提出股票的收益率服从算术布朗运动的假设，即股票价格服从算术布朗运动。在柯朗研究所著名数学家H.P.McKean的帮助下，萨缪尔森得到了欧式看涨期权的显式定价公式，但是该公式包含了一些个体的主观因素。1973年，布莱克（F.Black）和斯科尔斯（M.Scholes）发表了一篇名为《期权和公司负债定价》的论文，推导出了著名的Black-Scholes公式，即标准的欧式期权价格显式解，这个公式中的变量全是客观变量。哈佛大学教授莫顿（Merton）在《期权的理性定价理论》一文中提出了与Black-Scholes类似的期权定价模型，并做了一些重要推广，从此开创了金融学研究一个新的领域。 二、相关概念和公式推导 1、布朗运动介绍 布朗运动（Brownian Motion）是指悬浮在流体中的微粒受到流体分子与粒子的碰撞而发生的不停息的随机运动。然而真正用于描述布朗运动随机过程的定

义是维纳（Winener ）给出的，因此布朗运动又称为维纳过程。 （1）、标准布朗运动 设t ?代表一个小的时间间隔长度，z ?代表变量z 在t ?时间内的变化，遵循标准布朗运动的z ?具有的两种特征： 特征1：z ?和t ?的关系满足下式： z ?= (2.1) 其中，ε代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0的正态分布）中的一个随机值。 特征2：对于任何两个不同时间间隔t ?，z ?的值相互独立。 从特征1可知，z ?本身也具有正态分布特征，其均值为0为t ?。 从特征2可知，标准布朗运动符合马尔可夫过程，因此是马尔可夫过程的一种特殊形式。 现在我们来考察遵循标准布朗运动的变量z 在一段较长时间T 中的变化情形。我们用z （T ）-z （0）表示变量z 在T 中的变化量，它可被看作是在N 个长度为t ?的小时间间隔中z 的变化总量，其中/N T t =?，因此， 1()(0)N i z T z ε=-=∑ (2.2) 其中(1,2,)i i N ε= 是标准正态分布的随机抽样值。从特征2可知，i ε是相互独立的，因此z （T ）-z （0）也具有正太分布特征，其均值为0，方差为N t T ?=， 由此我们可以发现两个特征：○ 1在任意长度的时间间隔T 中，遵循标准布朗 运动的变量的变化值服从均值为0，○ 2对于相互独立的正态分布，方差具有可加性，而标准差不具有可加性。 当0t ?→时，我们就可以得到极限的标准布朗运动： dz = （2.3） （2）、普通布朗运动

1.下列关于布朗运动的叙述,正确的是( )

1．下列关于布朗运动的叙述，正确的是() A．固体小颗粒做布朗运动是由于固体小颗粒内部的分子运动引起的 B．液体的温度越低，悬浮小颗粒的运动越缓慢，当液体的温度降到零摄氏度时，固体小颗粒的运动就会停止 C．被冻结在冰块中的小炭粒，不能做布朗运动是因为冰中的水分子不运动 D．固体小颗粒做布朗运动是由于液体分子对小颗粒的碰撞引起的 解析：选D.固体小颗粒的布朗运动是由于液体分子的无规则运动引起的，故A错误，D正确；温度越低，小颗粒的运动由于液体分子的运动减慢而减慢，但即使降到零摄氏度，液体分子还是在运动的，布朗运动是不会停止的，故B项错误；被冻结在冰块中的小炭粒不能做布朗运动是因为受力平衡，而不是由于水分子不运动(水分子不可能停止运动，因为热运动是永不停息的)，故C项错误． 2．(2011年高考四川理综卷)气体能够充满密闭容器，说明气体分子除相互碰撞的短暂时间外() A．气体分子可以做布朗运动 B．气体分子的动能都一样大 C．相互作用力十分微弱，气体分子可以自由运动 D．相互作用力十分微弱，气体分子间的距离都一样大 解析：选C.布朗运动是指悬浮颗粒因受分子作用力不平衡而引起的悬浮颗粒的无规则运动，选项A错误；气体分子因不断相互碰撞其动能瞬息万变，因此才引入了分子的平均动能，选项B错误；气体分子不停地做无规则热运动，其分子间的距离大于10r0，因此气体分子间除相互碰撞的短暂时间外，相互作用力十分微弱，分子的运动是相对自由的，可以充满所能达到的整个空间，故选项C正确；气体分子在不停地做无规则运动，分子间距离不断变化，故选项D错误． 3．做布朗运动实验，得到某个观测记录如图1－3－3.图中记录的是() 图1－3－3 A．分子无规则运动的情况 B．某个微粒做布朗运动的轨迹 C．某个微粒做布朗运动的速度—时间图线 D．按等时间间隔依次记录的某个运动微粒位置的连线 解析：选D.图中的折线记录的是某个做布朗运动的微粒按相等时间间隔依次记录的位置连线，不是分子无规则运动的情况，也不是微粒做布朗运动的轨迹，更不是微粒运动的v t 图线，故D对，A、B、C错． 4．我们知道分子热运动的速率是比较大的，常温下能达几百米/秒．将香水瓶盖打开后，离瓶较远的人，为什么不能立刻闻到香味呢？ 解析：分子热运动的速率虽然比较大，但分子之间的碰撞是很频繁的，由于频繁的碰撞使得分子的运动不再是匀速直线运动，香水分子从瓶子到鼻孔走过了一段曲折的路程，况且引起人的嗅觉需要一定量的分子，故将香水瓶盖打开后，离得较远的人不能立刻闻到香味．答案：见解析

应用随机过程教学大纲

《应用随机过程A》课程教学大纲 课程编号： L335001 课程类别：专业限选课适用专业：统计学专业 学分数：3学分学时数： 48学时 应修（先修）课程：数学分析、概率统计、微分方程、高等代数 一、本课程的地位和作用 应用随机过程是数学与应用数学专业的专业限选课程，是统计学专业的专业课程之一。随机过程是研究客观世界中随机演变过程规律性的学科，随机过程的研究对象为随时间变化的随机现象，即随时间不断变化的随机变量，通常被视为概率论的动态部分。随着科学技术的发展，它已广泛地应用于通信、控制、生物、地质、经济、管理、能源、气象等许多领域，国内外许多高等工科院校在研究生中设此课程，大量工程技术人员对随机分析的方法也越来越重视。通过本课程的学习，使学生初步具备应用随机过程的理论和方法来分析问题和解决问题的能力。 二、本课程的教学目标 使学生掌握随机过程的基本知识，通过系统学习，学生的概率理论数学模型解决随机问题的能力得到更加进一步的提高，特别在经济应用上，通过本课程的学习，可以让数学专业的学生很方便地转向在金融管理、电子通讯等应用领域的研究。 三、课程内容和基本要求 ?”记号标记既（用“*”记号标记难点内容，用“?”记号标记重点内容，用“* 是重点又是难点的内容。） 第一章预备知识 1．教学基本要求 （1）掌握概率空间, 随机变量和分布函数, 矩母函数和特征函数的概念和相关性质。 （2）掌握条件概率, 条件期望和独立性的概念和相关性质。 （3）了解概率中收敛性的概念和相互关系。 2．教学内容 （1）概率空间 （2）▽随机变量和分布函数

（3）▽*数字特征、矩母函数和特征函数 （4）▽*条件概率、条件期望和独立性 （5）收敛性 第二章随机过程的基本概念和类型 1．教学基本要求 （1）掌握随机过程的定义。 （2）了解有限维分布族和Kolmogorov定理。 （3）掌握独立增量过程和独立平稳增量过程概念。 2．教学内容 （1）基本概念 （2）▽*有限维分布和Kolmogorov定理 （3）▽随机过程的基本类型 第三章 Poisson过程 1．教学基本要求 （1）了解计数过程的概念。 （2）掌握泊松过程两种定义的等价性。 （3）掌握泊松过程的到达时刻的分布、等待时间的分布和来到时刻的条件分布。（4）了解泊松过程的推广。 2．教学内容 （1）▽ Poisson过程 （2）▽* 与Poisson过程相联系的若干分布 （3）* Poisson过程推广 第四章更新过程 1．教学基本要求 （1）掌握更新过程的定义和基本性质。 （2）掌握更新函数、更新方程。 （3）了解更新定理及其应用，更新过程的若干推广。 （4）了解更新过程的若干推广。 2．教学内容

布朗运动

布朗运动 在显微镜下看起来连成一片的液体，实际上是由许许多多分子组成的。液体分子不停地做无规则的运动，不断地随机撞击悬浮微粒。悬浮的微粒足够小时，受到的来自各个方向的液体分子的撞击作用是不平衡的。在某一瞬间，微粒在另一个方向受到的撞击作用强，致使微粒又向其它方向运动。这样，就引起了微粒的无规则的布朗运动。 1定义 悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗最先用显微镜观察悬浮在水中花粉的运动而发现的。作布朗运动 的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。J.B.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。 这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。布朗运动可在气体和液体中进行。 2特点 无规则 每个液体分子对小颗粒撞击时给颗粒一定的瞬时冲力，由于分子运动的无规则性，每一瞬间，每个分子撞击时对小颗粒的冲力大小、方向都不相同，合力大小、方向随时改变，因而布朗运动是无规则的。 永不停歇

浅谈布朗运动

浅谈布朗运动 吉林大学 物理学院

浅谈布朗运动 摘要: 布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。本文对应用随机过程中的布朗运动理论进行了介绍，对布朗运动的背景，定义，性质及应用进行了阐述。 关键词: 布朗运动的定义;布朗运动的性质;布朗运动的应用 一、 概述 1827年,英国植物学家布朗(Robert Brown)发现浸没在液体中的花粉颗粒做无规则的运动,此现象后被命名为布朗运动.爱因斯坦(Albert Einstein)于1905年解释了布朗运动的原因,认为花粉粒子受到周围介质分子撞击的不均匀性造成了布朗运动.1918年,维纳(Wiener)在他的博士论文中给出了布朗运动的简明数学公式和一些相关的结论。 如今,布朗运动的模型及其推广形式在许多领域得到了广泛的应用,如经济学中, 布朗运动的理论可以对股票权定价等问题加以描述. 从数学角度来看,布朗运动是一个随机过程。具体的说,是连续时间、连续状态空间的马尔科夫过程。 二、 布朗运动的定义 随机过程}0t t {X ≥），（如果满足： 1、00X =）（ . 2、}0t t {X ≥），（有独立的平稳增量. 3、对每个 t > 0，）（t X 服从正态分布) t 2,0N(σ

则称}0t t {X ≥），（为布朗运动，也称维纳过程。 常记为B(t),T ≥0或W(t), T ≥0。 如果1=σ，称之为标准布朗运动，标准布朗 运动的定义是一个随机函数()()X t t T ∈，它是维纳 随机函数。 皮兰1908的布朗运动实验 三、布朗运动的性质 1、它是高斯随机函数。 2、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是： {}(,)()()f t s y x P X t y X s x y ?--=≤=?21/22 2()2()exp 2()y x t s t s πσσ-??-??=--????-?? 可以看出它对空间和时间都是均匀的。 3、如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。 （1）、2 1( )(/)X t c Xtc = （c ＞0为常数，t ≥0） （2）、2()()()X t Xt h Xh =+- （h ＞0为常数，t ≥0） （3）、1 3()(0)()0 (0) tX t t X t t -?> =? =? 4、标准布朗运动的协方差函数2 (,)min(,)C s t s t σ=。 5、标准布朗运动非均方可微。 由于布朗运动()X t 是维纳随机函数，而后者按照定义应有 2 2 [()()] W t s W t h σ+-=。因而令()()X t W t =后，必有：2 2 ()()X t h X t h h σ+-?? = ? ?? ，

应用随机过程学习汇总

应用随机过程学习汇总

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应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

布朗运动

43 布朗运动 华东理工大学化学系 胡 英 43.1 引 言 1827年，英国植物学家布朗(Brown R)在光学显微镜下发现了悬浮 在水中的花粉颗粒进行着无休止的不规则运动，他正确地将这种以后被 称为布朗运动的起因归结于物质的分子本性。但争论一直延续，直到 1888年古艾(Gouy G)做了排除了其它可能原因如机械振动、对流和光照 的实验后，才告消除。正如佩兰(Perrin J)在1910年指出的，颗粒的独立 运动并不受到密度和组成的影响。 在《物理化学》6.4中对布朗运动已有了初步的讨论，导得了爱因 斯坦(Einstein A)-斯莫鲁霍夫斯基(Smoluchowski M von)方程， Dt z 22>=<，其中><2z 是颗粒在t 时的均方位移，D 是扩散系数； 又导得斯托克斯(Stokes G G)-爱因斯坦方程，) π6/(L r RT D η=， r 是颗粒半径，η是粘度。在本章中将进行更深入的介绍。我们将从计入随机 力的朗之万(Langevin P)方程开始，首先对单个粒子的运动解出其速度和 位移，并引入时间相关函数；然后讨论在位形和速度相空间中找到颗粒 的概率，导出其随时间的演变，得出扩散方程。最后在结语中简要提及 不同颗粒运动间的相关。对布朗运动的进一步了解，将为研究稠密流体 包括高分子熔体中的传递打下良好的基础。 43.2 朗之万方程 设在粘度为η、密度为ρ的流体中，有一半径为a 质量为m 的中 性球体颗粒漂浮着，颗粒密度可视为与流体密度相同，因此有 3/43ρa m π=。如果时间尺度比起ηρ/2a 足够长(后者称为粘滞弛豫 viscous relaxation ，来源见后)，运动的幅度又比a 小时，这时流体的粘 滞响应可用准稳态的斯托克斯拖曳力来表示，可以应用斯托克斯定律 u f a ηπ=6，f 即拖曳力或摩擦力，t d /d r u =是颗粒的运动速度，r 是 位置，f 、u 、r 均为矢量。这种处理将流体分子作用于颗粒上的力分解 为两部分：一是平均的拖曳力f ， 另一个则为随时间涨落的随机的布朗

布朗运动及其应用

随机过程在金融领域的作用 14 王颖浅谈布朗运动在金融领域的应用 悬浮微粒永不停息地做无规则运动的现象叫做布朗运动 例如，在显微镜下观察悬浮在水中的藤黄粉、花粉微粒，或在无风情形观察空气中的烟粒、尘埃时都会看到这种运动。温度越高，运动越激烈。它是1827年植物学家R.布朗首先发现的。作布朗运动的粒子非常微小，直径约1~10微米，在周围液体或气体分子的碰撞下，产生一种涨落不定的净作用力，导致微粒的布朗运动。如果布朗粒子相互碰撞的机会很少，可以看成是巨大分子组成的理想气体，则在重力场中达到热平衡后，其数密度按高度的分布应遵循玻耳兹曼分布。.佩兰的实验证实了这一点，并由此相当精确地测定了阿伏伽德罗常量及一系列与微粒有关的数据。1905年A.爱因斯坦根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对于气体动理论的建立以及确认物质结构的原子性具有重要意义，并且推动统计物理学特别是涨落理论的发展。由于布朗运动代表一种随机涨落现象，它的理论对于仪表测量精度限制的研究以及高倍放大电讯电路中背景噪声的研究等有广泛应用。这是1826年英国植物学家布朗（1773-1858）用显微镜观察悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。不只是花粉和小炭粒，对于液体中各种不同的悬浮微粒，都可以观察到布朗运动。布朗的发现是一个新奇的现象，它的原因是什么人们是迷惑不解的。在布朗之后，这一问题一再被提出，为此有许多学者进行过长期的研究。一些早期的研究者简单地把它归结为热或电等外界因素引起的。最早隐约指向合理解释的是维纳(1826——1896)，1863年他提出布朗运动起源于分子的振动，他还公布了首次对微粒速度与粒度关系的观察结果。不过他的分子模型还不是现代的模型，他看到的实际上是微粒的位移，并不是振动。 到了70——80年代，一些学者明确地把布朗运动归结为液体分子撞击微粒的结果，这些学者有卡蓬内尔、德尔索和梯瑞昂，还有耐格里。植物学家耐格里(1879)从真菌、细菌等通过空气传播的现象，认为这些微粒即使在静止的空气中也可以不沉。联系到物理学中气体分子以很高速度向各方向运动的结论，他推测在阳光下看到的飞舞的尘埃是气体分子从各方向撞击

华工应用随机过程试卷及参考答案

华南理工大学2011—2012 学年第一学期 《应用随机过程》考试试卷（A 卷） （闭卷时间 120 分钟） 院/系年级 __专业姓名学号 1、设X 是概率空间(Ω,F ,P )且 EX 存在， C 是 F 的子σ－域，定义E (XC )如下：（1）_______________ ； （2）_____________________________________________ ； 2、设{N (t ),t ≥ 0}是强度为 λ 的 Poisson 过程，则 N (t )具有_____、 _____增量，且?t >0，h >0充分小，有：P ({N (t + h )? N (t ) = 0})＝ ________，P ({N (t + h )? N (t ) =1})＝_____________； 3、设{W (t ),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则?t >0，W (t ) ～____，且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）； 4、倒向随机微分方程（BSDE ）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。 二、证明分析题（共 12 分，选做一题） 1、设X 是定义于概率空间(Ω,F ,P )上的非负随机变量，并且具有

指数分布，即：P({X ≤ a}) =1?e?λa ，a >0，其中λ是正常数。设λ是 另一个正常数，定义：Z = λλe?(λ?λ)X ，由下式定义：P(A)=∫A ZdP，?A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函 数：P({X ≤ a})，a>0； 2、设X0～U (0,1)，X n+1～U (1?X n,1)，n≥1，域流{F n,n≥ 0}满足： F n =σ(X k,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Y n = 2n ?∏ k n=1 1 X?k X ?1 k ，n ≥1， 试证：{Y n ,n ≥ 0}关于域流{F n,n ≥ 0}是鞅！ 三、计算证明题（共60 分） 1、（12 分）假设X～E(λ)，给定c >0，试分别由指数分布的无记

爱因斯坦与布朗运动

爱因斯坦与布朗运动 摘要：爱因斯坦从理论和定量的角度对布朗运动进行了研究，他巧妙地在物理学中运用数学，在1905年发表的关于布朗运动的研究使这场科学上关于原子、分子非实在性的争论宣告结束．本文就对其布朗运动的研究做粗浅的介绍。 关键词：爱因斯坦；布朗运动；1905 Abstract：Einstein use theory and quantitative point of brownian motion carried out research, he subtly in physics, mathematics, and in 1905 make use of brownian motion a study of the science of atoms, molecules not really a debate the article ，To the brown of the study of a crude. keywords: Einstein；Brownian motion；1905 从古至今，人类一直在探索宇宙的本原．古希腊人认为，亘古以来就存在着无数的原子，原子既不能创生，也不能消灭。由于宗教影响，原子论沉浸了两千年之久。17、18世纪，由于对蒸汽机的研究和改进，对蒸汽和真空的实验研究也取得了一定的成绩。因此，原子论的研究再度兴起．引发了一场长久的原子—分子论。 为了使分子动理论成为一种精确的物理理论，对分子大小的精确测定是19世纪末至20世纪初一个重要的研究课题．爱因斯坦在大学时就开始关注原子—分子的论战，并不畏权威地站到玻耳兹曼这边。布朗最早用显微镜观察悬浮在液体中的花粉粒子的运动，并于1827年8月发表有关布朗运动的文章．但当时科学家们并没有把它与分子运动联系起来，古伊1888年才认识到布朗运动是由于液体内部的扰动引起的．可惜他的研究是定性的，没有引起玻耳兹曼及其他坚持分子运动论的科学家的注意，因此对当时的论战没产生什么影响．爱因斯坦运用统计方法对布朗运动进行了深入的理论研究，得出了很多重要结论。 到1905年，对于分子大小的测定已有几种实验方法．但当时测定的都是气体分子的大小．爱因斯坦的论文——《分子大小的新测定》，首次给出了一种用液体中的现象来测定分子大小的方法：不离解的稀溶液中溶质的分子的大小，可以从溶液和纯溶剂的内摩擦，以及从溶质在溶剂里面的扩散(率)求出来．只要一个溶质的分子的体积大于一个溶剂分子的体积就行了。该文将流体力学的技巧与扩散理论相结合，创造了一种测定分子大小和阿伏伽德罗常量的精确度很高的新方法． 1905年5月11日爱因斯坦完成了《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》论文，文中用统计方法得出悬浮粒子不规则运动的均方根位移公式：间接证明了分子的存在。 爱因斯坦的第三篇论文是《关于布朗运动的理论》，他给出了在室温下，直径为1 μm和密度ρ=1 g／cm3的小物体，在水中发生平动和转动的最小时间间隔大约是10-1s． 爱因斯坦研究布朗运动的基本思路是这样的：他首先利用流体力学的知识，把水看成是一种不可压缩的均匀的流体，而糖分子则是全同的刚性球形粒子．然后用统计的方法，得出糖分子扩散的规律．在此基础上，再考虑糖分子会增加水的粘滞性，把糖在水中的迁移率和粘滞度代入相关方程，很自然就得到了阿伏伽德罗常数．所以美国物理学家施塔赫尔称赞说：“布朗运动的论文也扩大了经典力学概念的应用范围．”

布朗运动(论文)

浅谈布朗运动 冯涛 青海民族学院 电子工程与信息科学系 810007 摘 要：布朗运动作为具有连续时间参数和连续状态空间的一个随机过程,是一个最基本、最简单同时又是最重要的随机过程。 关键词： 布朗运动、马尔科夫随机函数；性质及推导；应用 On the Brownian motion Abstract ：Brownian motion as a continuous time parameter and the continuous state space of a random process, is a most basic, simple at the same time is the most important stochastic process. Keywords ：Brownian motion, Markov random function; the nature and derivation; Application 一、关于布朗运动的性质及推导。 标准布朗运动的定义是一个随机函数()()X t t T ∈，它是维纳随机函数。它有如下的一些重要性质。 （1）、它是高斯随机函数。 （2）、它是马尔科夫随机函数。它的转移概率密度是： {}(,)()()f t s y x P X t y X s x y ? --= ≤=?2 1/2 2 2 ()2()exp 2()y x t s t s πσσ-??-??=--????-?? 可以看出它对空间和时间都是均匀的。 （3）、如()(0)X t t ≤是标准布朗运动，则下列各个随机函数也是标准布朗运动。 1）、2 1()(/)X t cX t c = （c ＞0为常数，t ≥0） 2）、2()()()X t X t h X h =+- （h ＞0为常数，t ≥0） 3）、13()(0)()0 (0) tX t t X t t -?>=? =? （4）、标准布朗运动的协方差函数2 (,)min(,)C s t s t σ=。 证明如下。已知(,)()()() ()C s t X s X t X s X t =-，当s ＜t 时， ()()(0)0X s X s X =-=，故右方第二项为零。右方第一项 ()()()[()()()]X s X t X s X t X s X s =--+2 () ()()()X s X t X s X s =-+