第三章 行波法与积分变换法
(第十三讲
)
分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式
考察如下Cauchy 问题：
.- ),(u ),(u 0,
,- ,0t 02
2
222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换;
??
?-=+=at
x at x ηξ,
（2） 利用复合函数求导法则可得
222222
22))((,ηηξξ
ηξηξη
ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u
u u u u x u u u x u x u x u
同理可得
),2(2222222
2ηηξξ
??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得
η
ξ???u
2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式
)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ
这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
).
()()(),()()('
'
x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）
由（3）第二式积分可得
C dt t a x G x F x
+=-?0
)(1)()(ψ，
利用(3)第一式可得
.2
)(21)(21)(,2
)(21)(21)(00C
dt t a x x G C
dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ?
所以，我们有
?+-+-++=at
x at
x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4）
此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题：
?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202
x u x u x y u u u y y y yy xy xx
解：其特征方程为
0)(32)(22=--dx dxdy dy
由此可得特征线方程为
d
y x c
y x =+=-3
因此作变换
??
?+=-=y
x y x μξ,
3 从而可得
η
ξ???u
2＝0 从而有
)()3(),(y x G y x F y x u ++-=
由初始条件可得
)()3(3)()3('
'
2=+-=+x G x F x x G x F
所以有
C x G x F =-)(3)3(，
从而可得
C
x
x G C
x x F +=-=4
3)(4
9)3(2
2
故而可知
223)()3(),(y x y x G y x F y x u +=++-=。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程
02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx
称下常微分方程为其特征方程
0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。
注：此方法可以推广的其他类型的问题。 （第十四讲）
三、公式的物理意义 由
)()(),(at x G at x F t x u -++=
其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波，
)(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个
方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、依赖区间、决定区域、影响区域
由方程的解（4）可以看出，解在（x,t ）点的数值由x 轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。区间[x-at,x+at]称为点（x,t ）的依赖区间
对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图
则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。
另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（） 则经过时间t 后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为
0,21>+≤≤-t at x x at x
而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。
注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。
补充：Fourier 变换
一、定义
设)(x f 为定义在),(+∞-∞，若积分
?+∞
∞--=dx e x f s F isx )()(
存在，称)(s F 为)(x f 的Fourier 变换。?
+∞
∞
-=
ds e s F x f isx )(21)(π
称为)(s F 的逆Fourier
变换。
记
?
?∞
+∞
--+∞
∞
--=
===ds
e s F s F F x
f dx
e x
f s F x f F isx
isx )(21
)]([)()()()]([1
π
二、性质 1．线性性质
若已知),()]([),()]([2211s F x f F s F x f F == 则有).()()]()([2121s bF s aF x bf x af F +=+ 2．对称性
若)()]([s F x f F =，则)(2)]([s f x F F -=π。 3．相似性
若)()]([s F x f F =，则)(1)]([a
s F a ax f F = 4．延迟性
若)()]([s F x f F =，则若0)()]([0isx e s F x x f F -=- 5．频移性
若)()]([s F x f F =，则)(])([00s s F e x f F x is -=，)(])([00s s F e x f F x is +=-。 6．微分性
若)()]([s F x f F =，则)()](['s isF x f F =，特别)()()]([)(s F is x f F n n =。 7．积分性
若)()]([s F x f F =，则)(1
])([s F is
dx x f F =?。 8．卷积性
若),()]([),()]([2211s F x f F s F x f F == 则
)()()](*)([2121s F s F x f x f F =。 第十五讲
§3.3 积分变换法举例
例1、 无界杆上的热传导问题
设有一根无限长的杆，杆上具有强度为),(t x F 的热源，杆的初温为)(x ?，求t>0时杆上温度分别情况。
解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：
.- ),(u 0, ,- ),,(02
2
2+∞<<∞=>+∞<<∞+??=??=x x t x t x f x
u a t u t ? 很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。下面我们用Fourier 变换法求解。
用),(),,(t s G t s U 表示),(),,(t x f t x u 的Fourier 变换，关于x 对上方程作Fourier 变换可得
G U s a dt
t s dU +-=22)
,( 此为一阶ODE ，在由原问题的初始条件作Fourier 变换可得上常微分方程的定解条件
)(0s U t Φ==
从而可得
τττd e s G e s U t s
a t s a )
(2
222),()(---?+Φ=
再利用Fourier 逆变换可得原问题的解。 由Fourier 变换表知
t
a x t s a e
t
a e F 222
24121][-
--=
π
再由Fourier 变换的卷积性质知
?
?
?
∞
+∞
----
∞
+∞
---
-+
=
t
t a x t
a x d e
t f d a d e
t a
t x u 0
)
(4)(4)(222),(21)(21),(ξτ
τξτπ
ξξ?πτξξ。
总结：积分变换法解定解问题的一般过程
1．根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对
方程进行积分变换把问题简化； 2．对所得简化问题求解；
3．运用逆变换，求得原问题的解。
例2．一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C 0 ，求杆上温度分布规律。 解：由题意可知，等价于求下定解问题
),(u .0,0u 0, ,0 ,002
2
2t f x t x x
u a t u x t =+∞<<=>+∞<
此问题不能用Fourier 变换法（？）。要用Laplace 变换法求解。若关于x 作Laplace 变换，则需要有u 关于x 的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t 的Laplace 变换。记)}({)()},,({),(t f L p F t x u L p x U ==，则作Laplace 变换可得
)
(0222
p F U dx U
d a
pU x ==-
从而可得
x
a
p
x
a
p Be
Ae
U +=-
由定解条件知，当∞→x 时，U 有界，从而可得Ｂ＝０．又)(0p F U x =-，故 x
a p e
p F U -
=)( 为求原问题的解，下用Laplace 逆变换，查表可知
)
0(1
)}2({2
)(2
≥==
-+∞
-?
k e p t
k
erfc L dt
e y erfc p
k
y
t π
令a
x
k =
，则知 ?
?
∞+--
-+∞
-=
==
t
a x
y p
a
x
y
t dy
e t
a x erfc e p
L dt
e y erfc 2
2
412
)2(
}1{2
)(ππ
再由Laplace 变换的微分性质知
t
a x t
a x
y p a
x p
a
x e
t
a x dy e
dt d e
p
p L e
L 22
42
/341
1
22[
}1
{}{-
∞+--
---=
==?
ππ
最后，由Laplace 变换卷积性知
?
--
-=
t
t a x d e
t f a x t x u 0
)
(42
/322)
(1)
(2),(τττπ
τ。
注：从例1 和例2解的表达公式不难看出：函数
t
a x e
t
a x 2242-π对热传导问题起重要
作用。令
?
????≤>=-0 t
00
t 2),(2
42/3t
a x e t a x t x k π
则例1的解可写为
τξτξτξξξξ?d d t x k f d t x k t x u t
?
?
?--+-=+∞
∞
-+∞∞
-0),(),(),()(),(
此公式为Possion 公式，称函数),(),;,(τξτξ--=Γt x k t x 为热传导方程的基本解。
它表示在杆上处时刻的一个瞬时单位热源所引起的杆上温度分布。故有时称基本解为瞬时单
位点热源的影响函数。
例3．用Laplace 变换法求解定解问题：
???
?
?
????<<=>==><
0 ,0,0 ,20 ,02022x x u t u u t x x u
t u t x x π 解：由题意知，需关于时间t 作拉普拉斯变换，记)},({),(t x u L s x U =，对方程做拉氏变换可得
?????==-=-==,
,sin 2022x x U U
x sU dx
U
d π 用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解
2
0sin ππ+=
s x
U 又上常微分方程相应的齐次问题的通解为
x
s x
s Be Ae
U -
+=1
所以，上常微分方程的通解为
2
sin ππ++
+=-
s x
Be Ae
U x
s x
s ， 再由定解条件可得A ＝B ＝0，从而
2
sin ππ+=
s x
U 故而，原定解问题的解
.sin }sin {
}{),(22
11x e s x L U L t x u t
ππ
ππ---=+==。 第十六讲
例4．用积分变换法解定解问题
()222200
09,0,
0|cos ,lim ,0,0|0,
|0,0x x t t u u x t t x u t u x t t u
u x t
=→+∞
==???=<<+∞>?????
==>??
??==<<+∞
???
解：对方程两端对t 取Laplace 变换，设()()0
,,(,)st U x s L u x t u x t e dt +∞
-==
?????
，可得
()()22
2,,069
d U x s s U x s dx -=<>
对定解条件的两端对t 取Laplace 变换，记()[]0
cos cos st F s L t t e dt +∞
-==
??
，则有：
()()()0,7lim ,08x U s F s U x s →+∞
=<>
???=<>??
由上解得：()(),9s
x a
U x s F s e
-=<>.
对<9>的两端取Laplace 逆变换求(),u x t .
()()[]113
03,,cos cos 33s x x t u x t L U x s L L t e x x t t ---?
????
? 第三章课后习题讲解
第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)
由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)
补充：（习题2.1 ） 10．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况，设始电压分布为kx cos A ，初始电流分布为 kx A L C cos 。 解：（1）电压的传播情况： 传输线方程：02=-xx tt v a v ，式中LC a 1 2 =。 初始条件： ?? ? ? ?==--=-======)(sin )sin ()1(1 )(cos 00 0x kx aAk kx Ak L C C j C v x kx A v t x t t ψ? 由达朗伯公式有： ?+-+-++=at x at x d a at x at x t x v ξξψ??)(21)]()([21),( )](cos )(cos [21at x k A at x k A -++=?+-+at x at x d k aA a ξξsin 21 )](cos )(cos [21at x k A at x k A -++=)](cos )(cos [2 at x k at x k A -++-+ )(cos at x k A -= （2）电流的传播情况： 传输线方程：02=-xx tt j a j ，式中LC a 1 2 = ，初始条件： ??? ??? ?==-======)(sin 1 )(cos 000 x kx L Ak v L j x kx A L C j t x t t t ψ? 应用一维无界空间解达朗伯公式： )](cos )(cos [21),(at x k A L C at x k A L C t x j -++=?+-+at x at x d k L Ak a ξξsin 21 )](cos )([cos 2at x k at x k L C A -++= )]cos()(cos [2at x at x k A L LC -++-+ )(cos at x k A L C -= 11．在G/C=R/L 条件下求无限长传输线上的电报方程的通解。 解：关于j 和v 的电报方程为
数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部；圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+； ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--； (623)i k e ππ+； 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章： 1、（1） 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3） 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）
由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 . 2 )(21)(21)(, 2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、依赖区间、决定区域、影响区域 由方程的解（4）可以看出，解在（x,t ）点的数值由x 轴上区间[x-at,x+at]
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
数学物理方法习题 第一章： 应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、 2、 3、 4、 5、 第二章： 1、下列各式在复平面上的意义是什么? （1） （2） ; 2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。 3、计算数值（和为实常数，为实变数） 4、函数 将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线？ （1） （2） 5、已知解析函数的实部或虚部，求解析函数。 （1） ； （2） 6、已知等势线族的方程为 常数，求复势。 第三章： 1、计算环路积分： 3r ?= 0r ??= ()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+? 21()0 r ?=()0A ???= 0; 2 Z a Z b z z -=--=0arg 4z i z i π -<<+1Re()2 z =1;1i i e ++a b x sin5i i ?sin sin() iaz ib z a i b e -+1 W z = z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+== =(00) f υ==22 x y +=
2、证明：其中是含有的闭合曲线。 3、估计积分值 第四章： 1、泰勒展开 （1） 在 （2）在 （3）函数在 2、（1） 在区域展成洛朗级数。 （2） 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数：① 以为中心展开； ②在的邻域展开；③在奇点的去心邻域中展开；④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质 第五章： 1、计算留数 （1） 在点。 （2） ，在点； （3） 在孤立奇点和无穷远点（不是非孤立奇点）； 2211132124sin 4(1).(2).11sin (3). (4). () 231 (5). (1)(3)z z z i z z z z z e dz dz z z z e dz dz z z z dz z z π π+=+====-+--+-????? 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ πξξ=? l 0ξ=222i i dz z +≤? ln z 0 z i =1 1z e -0 0z =21 1z z -+1z =1 ()(1)f z z z = -01z <<1 ()(3)(4)f z z z = --0z =0z =521 (1);(2)(1)sin cos z z z z -+2 (1)(1)z z z -+1,z =±∞3 1sin z e z -0z =31 cos 2z z -
数学物理方法 泰山医学院 于承斌 cbyu@https://www.doczj.com/doc/a81341742.html,
第十四章行波法与达朗贝尔公式 14.1 二阶线性偏微分方程的通解 对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解， 但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后， 有的可以得到通解。
例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280 例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P281 14.2 二阶线性偏微分方程的行波解 通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程 类型的求解十分有效.
1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程 为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的简单二阶线性偏微分方程 xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1) 方程中的系数 ,,a b c 为实常数． ,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母 表示它是实常数，而不是 的函数）
假设方程的行波解具有下列形式 (,)() u x y F y x λ=+代入方程即得 2 ()()()0 a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故2 a b c λλ++=(14.2.2) ''()0 F y x λ+≠上述方程变为
(i) 2 40 b a c ?=?>12(,)()() u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3) 2 40 b a c ?=?=(ii) 122b a λλ==? 对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()() u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4) 对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12 ,λλ
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
第一章 复数与复变函数（1） 1.计算 )(1)2; i i i i i -- = -- =-()122(12)(34)(2)5102122. ; 345(34)(34)59165 5 i i i i i i i i i i i i +-++--+++ = + =- =- --+-+5 5 51(3). ; (1)(2)(3) (13)(3) 102i i i i i i i = = = ------ 4 2 2 2 (4).(1)[(1)](2)4; i i i -=-=-=- 1 1 22 ())]a b a b i =+= 1 1 2 2 24s sin )]()(co s sin ); 2 2 i a b i θθθθ=+=++ 3. 设 1z = 2;z i = 试用三角形式表示12z z 及1 2z z 。 解： 121co s sin ;(co s sin ); 4 4 2 6 6 z i z i ππππ=+= + 121155[co s( )sin ( )](co s sin ); 2 4 6 4 6 2 12 12 z z i i π π π π ππ= + ++ = + 12 2[co s( )sin ( )]2(co s sin ); 4 6 4 6 12 12 z i i z ππππππ=- +- =+ 11.设123,,z z z 三点适合条件1230z z z ++=及1231; z z z ===试证明123,,z z z 是一个内接于单位圆 z =1 的正三角形的顶点。 证明：1230;z z ++=z 123231;312;;z z z z z z z z z ∴=--=--=-- 122331;z z z z z z ∴-=-=-123 ,,z z z ∴所组成的三角形为正三角形。 1231z z z === 123 ,,z z z ∴为以z 为圆心，1为半径的圆上的三点。 即123z ,z ,z 是内接于单位圆的正三角形。
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3）
由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 . 2 )(21)(21)(, 2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(，
第一章 1.定解条件：边界条件和初始条件统称为定解条件。边界条件又有Dirichlet 边界条件（也称第一类边界条件）、Neumann 条件,也称第二类边界条件、Robin 边界条件，第三类边界条件。P3-4 2.定解问题：一个微分方程（组）和相对应的定解条件合在一起就构成了一个定界问题。又分有初始问题（Cauchy 问题），只有初始条件没有边界条件的定界问题；边值问题，只有边界条件没有初始条件的定解问题；混合问题，两者都有。对于边值问题，根据边界条件不同，又可以分为第一、第二和第三边值问题。 P11 3.定解问题的适定性 从数学上看，判断一个定解问题是否合理，即是否能够完全描述给定的物理状态，一般来说有一下三个标准： ⑴解的存在性：所给定的定解问题至少存在一个解。 ⑵解的惟一性：所给定的定解问题至多存在一个解。 ⑶解的稳定性：当给定条件以及方程中的系数有微小变动时，相应的解也只有微小变动。 定解问题解的存在性、惟一性和稳定性统称为定解问题的适定性。P12 4.Dirichlet 、Neumann 定解问题 定解条件只有Dirichlet 条件没有初始条件的定解问题叫做Dirichlet 定解问题。 定解条件只有Neumann 条件没有初始条件的定解问题叫做Neumann 定解问题。 5.热传导Fourier 定律：热量以传导形式传递时，单位时间内通过单位面积所传递的热量与当地温度梯度成正比。对于一维问题，可表示为:Φ＝-λA(dt/dx) 其中Φ为导热量，单位为W,λ为导热系数,A 为传热面积，单位为m2, t 为温度，单位为K, x 为在导热面上的坐标。 6.Hooke 弹性定律：在弹性限度内，物体的形变跟引起形变的外力成正比。χχεσE = 7.发展方程：所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、热传导方程等 8.在热传导方程中，如果温度分布稳定，即0u t =，则三维热传导方程f u a u 2t +?=变为 0f u =+?，此方程为Poisson 方程。特别地，若f(x,y,z)=0，即0u =?，则为Laplace 方程。 Poisson 方程或Laplace 方程统称为位势方程。 9.二阶线性偏微分方程分类方法 022*******=++++++F Cu u B u B u A u A u A ηξηηξηξξ的二阶主部为yy xy xx u A u A u A 2212112++。 若二阶主部作成的判别式在区域Ω中的某点 ），（00y x 02211212>-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是双曲型的；若某点），（00y x 022112 12=-≡?a a a ，称方程在这点），（00y x 是 抛物型的；若某点），（00y x 02211212<-≡?a a a ，则称方程在这点），（00y x 是椭圆型的。 第二章 1.特征值： 使常微分方程边值问题具有非零解的数λ称为这个边值问题的特征值，相对应的非零解称为这个特征值的特征函数。P26
行波法与达朗贝尔公式 我们已经熟悉常微分方程的常规解法：先不考虑任何附加条件，从方程本身求出通解，通解中含有任意常数（积分常数），然后利用附加条件确定这些常数。偏微分方程能否仿照这种办法求解呢？ （一）达朗贝尔公式 试研究均匀弦的横振动方程（7-1-6）、均匀杆的纵振动方程（7-1-9）、理想传输线方程（7-1-14），它们具有同一形式 即 （7-4-1） （1）通解 方程（7-4-1）的形式提示我们作代换 （7-4-2） 因为在这个代换下， 方程（7-4-1）就成为 。但为了以后的书写便利，把代换（7-4-2） 修改为 ,0 2 2 2 22 =??? ????-??u x a t . 0 =??? ????-????? ????+?? u x a t x a t , ),(ηξηξ-=+=t a x , x a t x x t t ??+??=????+????=??ξξξ, ??? ????-?? -=?? ??+????=?? x a t x x t t ηηη0 ) /(2 =???u ηξ
即 在此代换下，方程（7-4-1）化为 （7-4-3） 就很容易求解了。 先对 积分，得 （7-4-4） 其中 是任意函数。再对 积分，就得到通解 （7-4-5） 其中 和 都是任意函数。 式（7-4-5）就是偏微分方程（7-4-1）的通解。不同于常微分方程的情况，式中出现任意函数而不是任意常数。 通解（7-4-5）具有鲜明物理意义。以 而论，改用以速度 沿 正方向移动的坐标轴 ，则新旧坐标和时间之间的关系为 而 与时间 T 无关。这就是说，函数的图象在动坐标系中保持不变，亦即是随着动 坐标系以速度 沿 正方向移动的行波。同理，是以速度 沿 负方向移动的行波。 这样，偏微分方程（7-4-1）描写以速度 向两方向传播的行波。 ?????? ? -=+=),(21),(21ηξηξa t x ?? ?-=+=., at x at x ηξ, 0 2 =???η ξu η ) ( ξξ f u =??f ξ ), ()( ) ()()()(21212at x f at x f f f f d f u -++=+=+= ? ηξηξξ1 f 2 f ) (2at x f -a x X ?? ?=-=,,t T at x X ), ()(22X f at x f =-a x ) (1at x f +a x a
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月
目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)
1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换
第三章行波法与积分变换法 在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert） 要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。 对于一维波动方程
22 222 u u a t x ??=?? （3.1） 作如下代换： x at x at ξη=+?? =-? （3.2） 利用复合函数微分法则，得 u u u u u x x x ξηξηξη ???????=+=+??????? 222 2 2 22 ()()2u u u u u x x x u u u ξη ξξηηξηξξηη?????????=+++????????????= ++???? （3.3） 同理有 22222 2 2 222 ()()[ 2]u u u u u a a t u u u a ξξηηξηξξηη ???????=---??????????=-+???? （3.4） 将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得 20u ξη ?=?? （3.5） 将（3.5）式对η积分得 ()u f ξξ ?=?，（()f ξ是ξ的任意可微函数） 在对此式对ξ积分得 212(,)()()()()u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-? （3.6） 其中1f ，2f 都是任意二次连续可微函数。（3.6）式就是方程（3.1）得通解（包含两个任意函数的解）。 在各个具体问题中，我们并不满足于求通解，还要确定函数1f ，
第三章 行波法 §3.1 达朗贝尔公式（P150-152） 1．确定下列初值问题的解 （1）()()20,,00,,01tt xx t u a u u x u x -=== 解：因为 ()()0,1x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? =t （2）()()220,,0sin ,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为 ()()2 s i n ,x x x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? =2231 sin cos 626x at x at a t a ?? + +? ? =2231sin cos 3 x at x t a t ++ （3）()()230,,0,,0tt xx t u a u u x x u x x -=== 解：因为 ()()3,x x x x ?ψ== 由达朗贝尔公式有： ()()() ()1 ,2 2x at x at x at x at u x t d a ??ψαα+--++= + ? = ()() 1 cos cos 1 2 2x at x at x at x at e d a α+---+++ ? =1cos cos x at e t -+ 2．求解无界弦的自由振动，设弦的初始位移为()x ?，初始速度为()'a x ?-。 解：该问题的数学模型为：
()()()( ) 2 ' ,,0,0,,0t t x x t u a u x t u x x u x a x ???=-∞<<+∞>?? ==-?? 由达朗贝尔公式： ()()() ()' 1,2 2x at x at x at x at u x t a d a ???αα+--++= + -? =()x at ?- 2．求解弦振动方程的古沙问题 ()()()( )()(),,,,tt xx u u u x x x x u x x x x ?ψ=? ? -=-∞<<+∞??=-∞<<+∞ ? 解：该方程的通解为： ()()()12,u x t f x t f x t =++- （1） 令：t x =- ()()()1202x f f x ?=+ 令： t x = ()()()1220x f x f ψ=+ 令2y x =，则有： ()()()()12210202y f y f y f y f ψ??? ? =- ?????? ? ? ?=- ???? ? 所以： ()()1102x t f x t f ψ+??+=- ???，()()2202x t f x t f ?-?? -=- ??? ()()()12,0022x t x t u x t f f ψ?+-???? =+-+?? ? ??????? 又 ()()121(0)(0)002 f f ?ψ+=+???? 所以古沙问题解为： ()()() 00,22 2x t x t u x t ?ψψ?++-????=++ ? ????? 3．求解无限长理想传输线上电压和电流的传播情况。设初始电压分布为 cos A kx cos kx 。