第十章双线性函数与辛空间
1、设V是数域P上的一个三维线性空间,ε1,ε2,ε3是它的一组基,f是V上的
一个线性函数,已知
f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3
求f (X
1ε
1
+X
2
ε
2
+X
3
ε
3
).
解因为f是V上线性函数,所以有
f (ε1)+ f (ε3)=1
f (ε2)-2 f (ε3)=-1
f (ε1)+f (ε2)=-3
解此方程组可得
f (ε1)=4,f (ε2)=-7,f (ε3)=-3 于是
f (X
1ε
1
+X
2
ε
2
+X
3
ε
3
).=X
1
f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3)
=4 X
1
-7 X
2
-3 X
3
2、设V及ε1,ε2,ε3同上题,试找出一个线性函数f ,使
f (ε1+ε3)=f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1
解设f为所求V上的线性函数,则由题设有
f (ε1)+ f (ε3)=0
f (ε2)-2 f (ε3)=0
f (ε1)+f (ε2)=1
解此方程组可得
f (ε1)=-1,f (ε2)=2,f (ε3)=1
于是?a∈V,当a在V的给定基ε1,ε2,ε3下的坐标表示为
a= X
1ε
1
+X
2
ε
2
+X
3
ε
3
时,就有
f (a)=f (X
1ε
1
+X
2
ε
2
+X
3
ε
3
)
= X 1 f (ε1)+X 2 f (ε2
)+X 3 f (ε
3
)
=-X 1+2 X 2+ X 3 3、 设ε1,ε
2
,ε
3
是线性空间V 的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,令
α1=ε1-ε
3
,α2=ε1+ε
2-ε
3,α3=ε
2+ε
3
试证:α1,α2,α3是V 的一组基,并求它的对偶基。 证: 设
(α1,α2,α3)=(ε1,ε2
,ε
3
)A
由已知,得
A =110011111????????-??
因为A ≠0,所以α1,α2,α3是V 的一组基。 设g1,g2,g3是α1,α2,α3得对偶基,则 (g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)(A ˊ)1-
=(f1,f2,f3)011112111-??
??-????--??
因此
g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3
4.设V 是一个线性空间,f1,f2,…fs 是V *中非零向量,试证:?α∈V ,使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证:对s 采用数学归纳法。
当s =1时,f1≠0,所以?α∈V ,使fi(α)≠0,即当s =1时命题成立。 假设当s=k 时命题成立,即?α∈V ,使fi(α)=αi ≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。
若f 1k +(α)≠0,则命题成立,若f 1k +(α)=0,则由f 1k +≠0知,一定?β∈V 使f 1k +(β)=b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c ≠0,使 ai+cdi ≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ=+,则γ∈V ,且
fi(γ)=ai+cdi≠0(i=1,2…,k)
f
1
k+
(γ)=cb≠0
即证。
5.设α1,α2,…αs是线性空间V中得非零向量,试证:
fi(α
i
)≠0 (i=1,2…,s)
证:因为V是数域P上得一个线性空间,V*是其对偶空间,若取定V中得一个非零向量α,则可定义V*的一个线性函数α**如下:
α**(f)=f(α) (f∈V*)
且α**是V*的对偶空间(V*)*中的一个元素,于是,V到其对偶空间的对偶空间(V*)*的映射
α→α**
是一个同构映射,又因为α1,α2,…αs是V中的非零向量,所以α1**,α2**,…αs**对偶空间V*的对偶空间(V*)*中的非零向量,从而由上题知,?f∈V*使
f(α
i
)=αi**(f) ≠0 (i=1,2…,s)
即证.
6.设V=P[x]
3
,对P(x)=C0+C1x+C2x2∈V,定义
f
1(p(x))=
1
()
p x dx
?
f
2(p(x))=
2
()
p x dx
?
f
3(p(x))=
1
()
p x dx
-
?
试证f
1, f
2
, f
3
都是V上线性函数,并找出V的一组基p1(x),p2(x),p3(x),使
f 1, f
2
, f
3
是它的对偶基。
证:先证是V上线性函数,即f
1
∈V*,对?g(x),h(x) ∈V, ?k∈P,由定义有
f
1(g(x)+h(x))=
1
(()())
g x h x dx
+
?
=
1
()
g x dx
?+10()
h x dx
?
=f
1
(g(x))+ f
1
(h(x))
f
1(kg(x))=
1
()
kg x dx
?=k10()
g x dx
?=k f1(g(x))
即证f
1。同理可证f
2
, f
3
∈V*。
再设p1(x),p2(x),p3(x) 为V的一组基,且f
1, f
2
, f
3
是它的对偶基。若记
P1(x)= C0+C1x+C2x2则由定义可得
f
1(p(x))=
1
()
p x dx
?=C0+1
2
C1+
1
3
C2=1
f
2(p(x))=
2
()
p x dx
?=2C0+2C1+8
3
C2=0
f
3(p(x))=
1
()
p x dx
-
?=-C0+1
2
C1-
1
3
C2=0
解此方程组得
C0=C1=1,C2=-3 2
故
P1(x)=1+x-3
2
x2
同理可得
p2(x)=- 1
6
+
1
2
x2
p3(x)= -1
3
+x-
1
2
x2
7.设V是个n维线性空间,它得内积为(α,β),对V中确定得向量α,定义V上的一个函数α*:
α*(β)=(α,β)
1)证明α*是V上的线性函数
2)证明V到V*的映射是V到V*的一个同构映射(在这个同构下,欧氏空间可看成自身的对偶空间。)
3)证:1)先证明α*是V上的线性函数,即α*∈V*,对?β1,β2∈V,
?k∈P,由定义有:
α*(β1+β2)=(α,β1+β2)
=(α,β1)+(α,β2)
=α*(β1)+α*(β2)
α*(kβ1)=(α,kβ1)=k(α,β1)=kα*(β1)故α*是V上的线性函数。
2)设ε
1
,
ε
2
…
ε
n
是V的一组标准正交基,且对?β∈V由定义
ε
i *(β)=(ε
i
β)(i=1,2…,n)
知
ε
i *(ε
j
)=(
ε
i
,
ε
j
)=
1,
0,
i j
i j
=
?
?
≠
?
于是ε
1
*,ε
2
*…ε
n
*是ε
1
,
ε
2
…
ε
n
的对偶基,从而V到V*的映射是V与V*
中两基间的一个双射因此它也是V到V*的一个同构映射
8.设A是数域P上N维线性空间V得一个线性变换。
1)证明,对V上现行函数f,f A仍是V上的线性函数;
2)定义V*到自身的映射为f→f A证明A*是V*上的线性变换;
3)设ε
1
,
ε
2
…
ε
n
是V的一组基,f
1
, f
2
, f
n
是它的对偶基,并设A在ε1,ε2…
ε
n 的矩阵为A。证明:A*在f
1
, f
2
,… f
n
下的矩阵为A′。
证:1)对?α∈V,由定义知(f A)(α)=f(A(α))是数域P中唯一确定的元,所以f A是V到P的一个映射。
又因为?α,β∈V,?k∈P,有(f A)(α+β)=f(A(α+β))
=f(A(α)+A(β))
=(f A)(α)+(f A)(β)
(f A)(kα)=f(A(kα))=f(k A(α))
=k f(A(α))=k(f A)(α)所以f A是V上线性函数。
2)对?f∈V*,有A*(f)= f A∈V*,故A*是V*上的线性变换。
3)由题设知
A(ε1,ε2…εn)=(ε1,ε2…εn)A
设A*(f
1, f
2
,… f
n
)=(f
1
, f
2
,… f
n
)B
其中A=(a
ij )
n n?
,B=(b
ij
)
n n?
,且f
1
, f
2
,… f
n
是
ε
1
,
ε
2
…
ε
n
的对偶基,于是
f
j A=A*(f
j
),所以a
ji
= b
ij
(i,j=1,2,…n),即证A*在f
1
, f
2
,… f
n
下的矩阵为B=A′.
9.设V是数域P上的一个线性空间,f
1, f
2
,… f
n
是V上的n个线性函数。
1)证明:下列集合
W={α∈V︱f
i
(α)=0(1≤i≤n)}
是V的一个子空间,W成为线性函数f
1, f
2
,… f
n
的零化子空间;
2)证明:V的任一子空间皆为某些线性函数的零化子空间。
证:1)因为f
1, f
2
,… f
n
是V上的n个线性函数,所以f∈V*(1≤i≤n),
且f
i
(0)=0(i=1,2,…n),因而0∈W,即证W非空。
又因为?α,β∈V,?λ∈P,有
f
i
(α+β)=f i(α)+f i(β)=0 (i=1,2,…n)
f
i
(λα)=λ f i(α)=0
所以α+β∈W,λα∈W,即证W是V的一个子空间。
2)设W
1是V的任一子空间,且dim(W
1
)=m,则当m=n时,只要取f为V的零函数
,就有
W
1
=V={α∈V ︱f (α)=0}
所以W
1
是f的零化子空间。
当m 1 , ε 2 … ε m 为W 1 的一组基,将其扩充为V的一组基 ε 1 , ε 2 … ε m , ε 1 m+ ,… ε n ,并取这组基的对偶基f 1 , f 2 ,… f n 的后n-m个线性函数 f 1 m+,f 2 m+ ,…,f n ,则 W 1 =V={α∈V︱f i(α)=0(m+1≤i≤n)} 即W 1是f 1 m+ ,f 2 m+ ,…,f n 的零化子空间,事实上,若令 U 1 ={α∈V︱f i(α)=0(m+1≤i≤n)} 则对?α=a 1ε 1 +a 2 ε 2 +…+a m ε m ∈W 1 ,有 f 1 m+ (α)= f2m+(α)=…=f n(α)=0 因而α∈U 1,即W 1 ? U 1 。 反之,?β=b1ε1+b2ε2+…+b mεm+b1m+ε1m++…b nεn∈U1, 由f 1 m+ (α)= f2m+(α)=…=f n(α)=0,可得b1m+=b2m+=…=b n=0,因而β= b 1ε 1 +b 2 ε 2 +…+b m ε m +b 1 m+ ε 1 m+ +…b n ε n ∈W 1 ,即U 1 ?W 1 ,故U 1 =W 1 。10.设A是数域P上的一个m极矩阵,定义P m n+上的一个二元函数 f(X,Y)=tr(X′AY) (X,Y∈P m n+) 1)证明f(X,Y)是P m n+上的双线性函数; 2)求f(X,Y)在基E 11 ,E 12 ,…,E 1n ,E 21 ,…,E 2n ,…,E 1 m ,E 2 m ,…,E mn 下的度量矩阵。 证:1)先证f(X,Y)是P m n+上的双线性函数,对?X,Y,Z∈P m n+,?k1,k2∈P 由定义有 f (X, k 1 Y+ k 2 ,Z)=tr(X′A(k 1 Y+ k 2 Z)) = k 1 tr(X′AY)+ k 2 tr(X′AZ) = k 1 f(X,Y) + k 2 f(Y,Z) 因而f(X,Y)是P m n+上的双线性函数。 2)由E' ij AE ks =a ik E js 知 f (E ij , E ks )=tr(E' ij AE ks )=tr(a ik E js ) = , 0, ik a j s j s = ? ? ≠ ? 以下设f(X,Y)在基E 11 ,E 12 ,…,E 1n ,E 21 ,…,E 2n ,…,E 1 m ,E 2 m ,…,E mn 下的度量矩阵为B,则 B= 11121 21222 12 m m m m mm a E a E a E a E a E a E a E a E a E ?? ? ? ? ??? L L M M O M L 其中,E为n阶单位矩阵。 11.在P4中定义一个双线性函数f(X,Y),对 X=(x1,x2,x3,x4),Y=(y1,y2,y3,y4)∈P4有 f (X,Y)=3x1y2-5x2y1+x3x4-4x4y3 1)给定P4的一组基 ε 1=(1,-2,-1,0), ε 2 =(1,-1,1,0) ε 3=(-1,2,1,1), ε 4 =(-1,-1,0,1) 求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵; 2)另取一组基η1,η2,η3,η4,且 (η1,η2,η3,η4)=(ε1,ε2,ε3,ε4)T 其中 T= 1111 1111 1111 1111?? ? -- ? ? -- ? -- ?? 求f (X,Y)在这组基下的度量矩阵。 解1)设f (X,Y)在给定基ε 1 , ε 2 , ε 3 , ε 4 下的度量矩阵为A=(a ij ) 44? ,则 A= 47514 1227 011114 154152 -- ?? ?-- ? ? - ? -- ?? 其中a ij =f ( ε i ,εj). 3)设f (X,Y)在给定基η1,η2,η3,η4下的度量矩阵为B,则由 (η1,η2,η3,η4)=(ε1,ε2,ε3,ε4)T 可得 B=T′A T= 646824 18261672 23800 15400 - ?? ?-- ? ?-- ??? 12.设V是复数域上的线性空间,其维数n>=2,f (,αβ)是V上的一个对称双线性函数。 1)证明V中有非零向量ξ使f (ξ,ξ)=0 2)如果f (,αβ)是非退化的,则必有线性无关的向量ξ,η满足 f (ξ,η)=1 f (ξ,ξ)=f (η,η)=0 证1)设α1,α2…αn为复数域上N维线性空间V的一组基,f (,αβ)是V上的对称双线性函数,则f (,αβ)关于基α1,α2…αn的度量矩阵A为对称矩阵,于是,存在非退化的矩阵T,使 T′AT= 00 r E ?? ? ?? =B 若令(ε 1 , ε 2 , ε 3 ,… ε n )=(α1,α2…αn)T 则ε 1 , ε 2 , ε 3 ,… ε n 也是V的一组基,且f (,αβ)关于基ε1,ε2,ε3,…εn 的度量矩阵为B,因此 ?ξ=X 1ε 1 + X 2 ε 2 +…X n ε n ,η= Y1ε1+ Y2ε2+…Y nεn∈V,有 f(ξ,η)=X1 Y1+ X2 Y2+…+X r Y r f(ξ,ξ)=X21+X22+…+X2r (0≤r≤n) 故而 当r=0时,对V中任一非零向量ξ,恒有f(ξ,ξ)=0; 当r=1时,只要取ξ=ε2≠0,就有f(ξ,ξ)=0; 当r≥2时,只要取ξ=iε1+ε2≠0,就有f(ξ,ξ)=0;2)如果f (,αβ)是非退化的,则f(ξ,η)=X1 Y1+ X2 Y2+…+X n Y n 因而只要取 ξ ε 1ε 2,ηε 1ε 2 就有 f(ξ,η)= )2))=1 f(ξ,ξ)= )22=0 f(η,η)= )22=0 即证。 13.试证:线性空间V 上双线性函数f (,αβ)是反对称的充要条件是:对任意的α∈V ,都有 f(,αα)=0 证:必要性。因为f (,αβ)是反对称的,所以?α∈V ,恒有 f(,αα)=-f(,αα) 故f(,αα)=0 充分性。因为f (,αβ)是双线性函数,所以?,αβ∈V ,有 f (α+β,α+β)=f(,αα)=f(β,β)=0 故 f (,αβ)=-f(β,α) 即 f (,αβ)是反对称的。 14.设f (,αβ)是V 上对称或反对称的双线性函数,,αβ是V 中的两个向量,若 f (,αβ)=0,则称,αβ正交,再设K 是V 的一个真自空间,证明:对ξ?K 必有 0≠ η∈K+L(ξ) 使f(η,α)=0对所有α∈K 都成立 证明 :1)先证f (,αβ)是对称的双线性函数的情形。 因为K 是V 的子空间,所以f (,αβ)是K 上的对称双线性函数,设dim (K )=r 则f (,αβ)关于K 的任意一组基的度量矩阵皆为对称矩阵,于是,必存在K 的一组基α1, α2…αr ,使f (,αβ)在这组基下的度量矩阵为对角矩阵 D =diag(d 1,d 2, …d ) 只要令 η= 11(,)f d ξαα1+22 (,) f d ξαα2+… (,) r r f d ξααr -ξ 且当d i =0(1≤i ≤r)时,就删除d i 相应的项,则0≠η∈K+L(ξ),于是对任意α∈K,恒有 f(η,α)=0 2)再证f (,αβ)是反对称双线性函数的情形, 首先,若对给定ξ?K ,若存在β∈K ,使f(ξ,β)=0,则可令ε1=ξ,ε1 -=λβ,使得 f(εi ,ε i -)=1.又因为K+L(ξ)是V 的子空间,所以f (,αβ)也是K+L(ξ)上的反对称双线 性函数,于是可将εi ,ε i -扩充为K+L(ξ)的一组基: ε1,ε1 -,ε 2 ,ε 2 -,…ε r ,ε r -,η1,η2…ηs 使 (,)1(1,2,...)(,)0(0)(,)0((),1,2,...) i i i j k f i r f i j f k L k r εεεεαηαξ-==? ? =+≠??=∈+=? 故而 当s ≠0时,只要取η=η1,则对?α∈K ,恒有f(η,α)=0; 当s=0时,只要取η=ε1,则由ξ=ε1,K=L(ε1,ε1 -,ε 2 ,ε 2 -,…ε r ,ε r -), 对?α∈K ,也有f(η,α)=0。 其次,若对给定的ξ?K ,,及任意β∈K ,使f(ξ,β)=0,则只要取η=ξ即可。 15.设V 与f (,αβ)同上题,K 是V 的一个子空间,令 ={}|(,)0,V f K ααββ∈=?∈ 1)试证K ⊥是 V 的子空间(K ⊥ 称为K 的正交补); 2)试证:如果K ∩K ⊥={0},则V =K +K ⊥ 证:1)因为?β∈K ,恒有f(0, β)=0,所以0∈K ⊥,即K ⊥ 非空。 另一方面,?α1,α 2 ∈K ⊥ ,?k ∈P, ?β∈K ,有 f(α 1 +α2,β)=f(α1,β)+f(α2,β)=0 f(kα 1 ,β)=k f(α1,β)=0 故α 1+α 2 , kα 1 ∈K⊥,从而K⊥是V的子空间。 2)由于K和K⊥都是V的子空间,知 K+ K⊥?V 不妨设K是V的一个真子空间,?ξ∈V,若ξ∈K,则证毕,若ξ?K,则存在 0≠η∈K+L(ξ), 使 f(η,α)=0 (?α∈K) 于是η∈K⊥。又因为 η=β+kξ (β∈K,k∈P) 显然K ≠0,否则 η=β=K∩K⊥={0} 从而η=β=0,这是不可能的。因此有 ξ=-1 κ β+ 1 κ η∈K+ K⊥ 故V ?K+ K⊥。即证。 16.设V,,K同上题,并设f(α,β)限制,试证: V=K+ K⊥ 的充要条件是f(α,β)在V上是非退化的. 证:必要性。设V=K+ K⊥,且f(α,β)=0 (?β∈K) 下证α=0,设α=α1+α2,α1∈K,α2∈K⊥,则?β∈K,有0=f(α,β)=f(α1+α2,β)=f(α1,β)+f(α2,β) =f(α1,β) 由于f(α,β)在K 上是非退化的,故α1=0,从而α=α 2 ∈K ⊥ 同理,?γ∈K ⊥,由f(α,γ)=0可得α∈(K ⊥)⊥,但K ∩ K ⊥={0} 因而得知α=0。 充分性:设α1∈K ∩ K ⊥,若≠0,则只要将α1扩充为一组基α1,α2 ,…α m 由于α1∈K ⊥,因而必有 ,()0(1,2,)i j f j m αα==L 于是,?β∈K ,皆有f(α,β)=0,这与f(α,β)限制在K 上非退化矛盾,所以 α1=0,也就是K ∩ K ⊥={0} 由此即证V= K+ K ⊥. 17.设f(α,β)是N 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数,对V 中的一个元素α 定义V *中的一个元素α* : α* (β)=f(α,β)(β∈V ) 试证: 1)V 到V *的映射 α→α* 是一个同构映射。 2)对V 的每组基ε1,ε 2 …ε n ,有V 的唯一的一组基ε' 1,ε ' 2 , ε 'n ,使f(εi ,ε 'j )=ij δ 4) 如果V 是复数域上的N 维线性空间,则有一组基1η,2η,…,n η,使 i η=' i η (i=1,2…n) 证:1)因为f(α,β)是N 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数,所以存在V 的一组基ε1,ε 2 …ε n ,使 f (εi , εj )=,0,i d i j i j =??≠? 再由V * 的定义作ε 1 * ,ε2 *…ε n *∈V * ,设有线性关系 k 1 ε 1 *+k 2 ε 2 * +…+k n ε n *=0* 则 0=0*(εi)=(k1ε1*+k2ε2*+…+k nεn*)(εi) =k 1ε 1 *(ε i )+k 2 ε 2 *(ε i )+…+k n ε n *(ε i ) =k 1 f (ε1,εi)+k2 f (ε2,εi)+…+k n f (εn,εi) =k i d i (i=1,2…n) 但d i ≠0(i=1,2…n),故 k i =0(i=1,2…n) 这意味着ε 1 *,ε 2 *…ε n *线性无关,因而ε 1 *,ε 2 *…ε n *为V的一组 基,故V到V*的映射α→α*是一个双映射。 另一方面,?α,β,γ∈V,?k∈P,有 (α+β)*(γ)=f (α+β,γ)=f (α,γ)+f (β,γ) =α*(γ)+β*(γ) (kα)*(γ)= f (kα,γ)=k f (α,γ)=kα*(γ)故V到V*的映射α→α*是一个同构映射。 2)设V*中的线性函数f 1,f 2 ,…f n 是V的基 ε 1 , ε 2 … ε n 的对偶基,于是存在V 的唯一一个向量组α1,α2,…αn,使 α i *(β)=f(α i ,β)= f i (β) (?β∈V,i=1,2,…n) 且 α i *(ε j )=f(αi,εj)=f i(εj)= 1, 0,ij i j i j δ = ? = ? ≠ ? 另一方面,设有线性关系 k 1α 1 + k 2 α 2 +…k n α n =0 则 0=f (k 1α 1 + k 2 α 2 +…k n α n )(εi) = k 1 f(α1,εi)+k 2f(α2,εi)+…k n f(αn,εi) =k i (i=1,2,…n) 故k i =0(i=1,2,…n)。这意味着α1,α2 ,…α n 线性无关,因而α1,α 2 ,…α n 为V 的 一组基。只要令ε' 1=α1,ε '2 =α 2 …,ε 'n =α n 即证。 3)因为V 是复数域上·1的N 维线性空间,f(α,β)是N 维线性空间V 上的非退化对称双线性函数,所以存在V 的一组基1η,2η,…,n η,使f(α,β)在这组基下的度量矩阵为单位矩阵。再由2即可知i η=' i η (i=1,2…n) 18.设V 是对于非退化对称双线性函数f(α,β)N 维准欧氏空间,V 的一组基ε1,ε 2 … ε n 如果满足 f (εi ,εi )=1 (i=1,2…p) f (εi ,εi )=-1 (i=p+1,p+2, …,n) f (εi ,ε j )=0 (i ≠j) 则称为V 的一组正交基。如果V 上的线性变幻A 满足 f(A (α),A (β))=f(α,β) (α,β∈V) 则A 为V 的一个准正交变换。试证: 1) 准正交变换是可逆的,且逆变换也是准正交变换; 2) 准正交变换的乘积也是准正交变换 3) 准正交变换的特征值等于1或-1; 4) 准正交变换在正交积上的矩阵A 满足 A 111 1?? ? ? ? ?- ? ? ? ?-? ?O O A ′=111 1?? ? ? ? ?- ? ? ? ?-? ? O O 证: 1)因为f(α,β)是非退化的对称双线性函数,所以存在V 的一组基ε1,ε2 … ε n ,使f(α,β)在该基下的度量矩阵为对角矩阵,设其为 A =diag{d 1,d 2,…d n } 其中d i ≠0(i=1,2, …n). 若A 为V 的一个准正交变换,则由定义有 A (V )=L(A (ε1), A (ε2), …A (ε n )) 于是对于线性关系 k 1A (ε1)+k 2 A (ε2)+…+k n A (εn )=0 有 0=f (0, A (εi ))=f (k 1A (ε1)+k 2 A (ε2) = k 1 f (A (ε1), A (εi ))+ k 2 f (A (ε2), A (εi )) +…+k n f(A (ε n ), A (εi )) = k 1 f (ε1,εi )+k 2 f (ε2,εi )+…+k n f (εn ,εi ) =,1,2,...,,1,...,i i i i k d i p k d i p n =?? -=+? 但d i ≠0 (i=1,2, …,n),故k i =0(i=1,2, …,n).这意味着A (ε1),A (ε2),…A (εn ) 线性无关,因而,A (ε1),A (ε2),…A (ε n )为A (V )的一组基,且 dim(A (V ))=n,有因为V 是有限维的,所以A 是可逆变换。 设A 的逆变换为A 1 -,则A 1 -仍为线性变换,且任意α,β∈V ,有 f (A 1 -(α),A 1 -(β))=f (A A 1 -(α),A A 1 -(β))=f(α,β) 故A 1 -也是准正交变换。 2)设A 1 A 2为V 的两个准正交变换, 则A 2A 1也是V 的一个线性变换,且任意α,β∈V ,有 f (A 2 A 1(α),A 2A 1(β))=f (A 1(α),A 1(β))=f(α,β) A 2A 1也是准正交变换. 3)因为f(α,β)非退化的对称双线性函数,所以存在V 的一组基ε1,ε2 …ε n ,使 f (εi ε j )=,0,i d i j i j =??≠? 设λ为准正交变换A 的任一特征值,α为其相应的一个特征向量,且 α=k 1 ε 1+k 2 ε 2 +…+k n ε n 则 f (α,α)=f (A (α),A (α))=f (λα,λα)=λ2 f (α,α) 但f (α,α)=k 2 1d 2 1+k 2 2d 2 2+…k 2 n d 2 n ≠0 所以λ 2 =1,即证λ=±1。 5) 设α1,α 2 …,α n 为N 维准欧氏空间V 的一组正交基,则 f (αi ,αi )=1 (i=1,2, …p ) f (αi ,αi )=-1 (i= p+1,p+2, …n ) f (αi ,α j )=0(i ≠j) 若准正交变换A 在基α1,α 2 ,…α n 下的矩阵为A ,则 A (α1,α 2 ,…α n )=(α1,α 2,…α n )A 且有AA ′=P P E E ?? ?-? ? ,从而有 A 111 1?? ? ? ? ?- ? ? ? ?-? ?O O A ′=111 1?? ? ? ? ?- ? ? ? ?-? ? O O 第六章线性空间 . 设 M N , 证 明: M N M , M N N 。 1 证任 取M , 由 M N , 得 N , 所 以M N , 即证 M N M 。又因 M N M , 故 M N M 。再证第二式,任 取 M 或N , 但 M N , 因此无论 哪一种情形,都有N , 此即。但 N M N , 所以 M N N 。 2.证明 M ( N L ) (M N ) (M L) , M (N L) ( M N ) (M L ) 。 证x M (N L), 则 x M 且 x N L. 在后一情形,于是 x M N或 x M L. 所以 x (M N )(M L) ,由此得 M ( N L) (M N ) (M L ) 。反之,若 x (M N ) ( M L) ,则 x M N或 x M L. 在前一情形, x M , x N , 因此 x N L. 故得 x M ( N L ), 在后一情形,因而 x M , x L, x N L ,得 x M ( N L ), 故 ( M N ) ( M L) M ( N L), 于是 M ( N L) (M N ) (M L ) 。 若 x M ( N L),则 x M , x N L 。 在前一情形 X x M N ,且 X M L,因而 x ( M N) ( M L)。 在后一情形, x N ,x 因而 x M N , 且 X M ,即 X ( M N)(M L)所以L, L (M N)(M L) M (N L) 故 M ( N L) =()(M L) M N 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1)次数等于n( n 1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法;2)设 A 是一个 n× n 实数矩阵, A 的实系数多项式 f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量 乘法; 3)全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4)平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5)全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: ( a1,b1)( a b ( a1a2,b1b2a1 a2) (kk 1) 2 第一学期第一次课 第一章 代数学的经典课题 §1 若干准备知识 1.1.1 代数系统的概念 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算,这些运算满足一定的运算法则,则称这样的一个体系为一个代数系统。 1.1.2 数域的定义 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果K 中至少包含两个不同的复数,且K 对复数的加、减、乘、除四则运算是封闭的,即对K 内任意两个数a 、b (a 可以等于b ),必有 K b a b K ab K b a ∈≠∈∈±/0时,,且当,,则称K 为一个数域。 例1.1 典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域Q ;Gauss 数域:Q (i) = {b a +i |b a ,∈Q },其中i =1-。 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素0≠∈a K a ,且。于是 K a a K a a ∈= ∈-=10, 。 进而∈?m Z 0>, K m ∈+??++=111。 最后,∈?n m ,Z 0>, K n m ∈,K n m n m ∈-=-0。这就证明了Q ?K 。证毕。 1.1.3 集合的运算,集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 定义(集合的交、并、差) 设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为A 与B 的交集,记作B A ?;把A 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为A 与B 的并集,记做B A ?;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩下的元素组成的集合成为A 与B 的差集,记做B A \。 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定的元素(记做)(a f ),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 ). (, :a f a B A f α→ 如果B b a f ∈=)(,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的B 的子集称为A 在f 下的像,记做)(A f ,即{}A a a f A f ∈=|)()(。 若,'A a a ∈≠?都有),'()(a f a f ≠ 则称f 为单射。若 ,B b ∈?都存在A a ∈,使得b a f =)(,则称f 为满射。如果f 既是单射又是满射,则称f 为双射,或称一一对应。 1.1.4 求和号与求积号 1.求和号与乘积号的定义. 为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数n a a a ,,,21Λ,我们使用如下记号: 第九章 欧氏空间 1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 122222 11211)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β== 高等代数(北大*第三版)答案 目录 第一章多项式 第二章行列式 第三章线性方程组 第四章矩阵 第五章二次型 第六章线性空间 第七章线性变换 第八章 —矩阵 第九章欧氏空间 第十章双线性函数与辛空间 注: 答案分三部分,该为第三部分,其他请搜索,谢谢! 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 第七章线性变换 1.?判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1)?在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2)?在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3)?在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4)?在P 3中,A ),,2(),,(132213 21x x x x x x x x +-=; 5)?在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6)?在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7)?把复数域上看作复数域上的线性空间,A ξξ=。 8)?在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α,A )0,0,4()(=αk , A ≠ )(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+=A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- =A α+A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx =k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f +=A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f +A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i,k(A a)=i,A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y , 第五章 二次型 1.用非退化线性替换化下列二次型为标准形,并利用矩阵验算所得结果。 1)323121224x x x x x x ++-; 2)2 3322221214422x x x x x x x ++++; 3)3231212 2216223x x x x x x x x -+--; 4)423243418228x x x x x x x x +++; 5)434232413121x x x x x x x x x x x x +++++; 6)4342324131212 422212222442x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++; 7)4332212 4232221222x x x x x x x x x x ++++++。 解 1)已知 ()323121321224,,x x x x x x x x x f ++-=, 先作非退化线性替换 ??? ??=-=+=33 212211y x y y x y y x (1) 则 ()312 221321444,,y y y y x x x f ++-= 2 223233121444y y y y y y ++-+-= ()2 2 233 3142y y y y ++--=, 再作非退化线性替换 ??? ? ??? ==+=3 3223112121z y z y z z y (2) 则原二次型的标准形为 ()2 322213214,,z z z x x x f ++-=, 最后将(2)代入(1),可得非退化线性替换为 ??? ? ? ? ??? =+-=++=333212321 121212 121z x z z z x z z z x (3) 于是相应的替换矩阵为 ?? ?????? ? ?-=? ?????? ??????? ??-=1002112 1 210 2110001021021100011011T , 且有 ??? ? ? ??-='100040001AT T 。 2)已知()=321,,x x x f 2 3322221214422x x x x x x x ++++, 由配方法可得 ()()() 2 33222222121321442,,x x x x x x x x x x x f +++++= ()()2 322 212x x x x +++=, 于是可令 ??? ??=+=+=33 3222112x y x x y x x y , 则原二次型的标准形为 ()2 221321,,y y x x x f +=, 且非退化线性替换为 高等代数北大版第章习 题参考答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第六章 线 性空 间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==。 证任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因 ,M N M ? 故M N M =。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。 证),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈,由此得)()()(L M N M L N M =。反之,若 )()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或在前一情形,,,N x M x ∈∈因此 .L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈,得 ),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈(),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈,X M L ∈且,x M N ∈因而()(M L )。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L )故 (L )=()(M L ) 即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1)次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2)设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法; 第七章线性变换 1.判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是:1)在线性空间V中,A,其中V是一固定的向量; 2)在线性空间V中,A其中V是一固定的向量; 3)在P 322 中,A(,,)(,,) x1xxxxxx; 231233 4)在P 3中,A(,,)(2,,) x1xxxxxxx 2312231 ; 5)在P[x]中,A f(x)f(x1); 6)在P[x]中,A()(), fxfx其中 0 x P是一固定的数;0 7)把复数域上看作复数域上的线性空间,A 。 nn 中,A X=BXC其中B,CP 8)在P 解1)当0时,是;当0时,不是。nn 是两个固定的矩阵. 2)当0时,是;当0时,不是。 3)不是.例如当(1,0,0),k2时,k A()(2,0,0),A(k)(4,0,0), A(k)k A()。 4)是.因取(x1,x2,x3),(y1,y2,y3),有 A()=A(x1y1,x2y2,x3y3) =(2x12y1x2y2,x2y2x3y3,x1y1) =(2x1x2,x2x3,x1)(2y1y2,y2y3,y1) =A+A, A(k)A(kx1,kx2,kx3) (2kx 1 k x 2 ,k x 2 k x, 3 k x) 1 (2kx 1 k x 2 ,k x 2 k x, 3 k x) 1 =k A(), 3 故A是P 上的线性变换。 5)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x],并令 u(x)f(x)g(x)则 A(f(x)g(x))=A u(x)=u(x1)=f(x1)g(x1)=A f(x)+A(g(x)), 再令v(x)kf(x)则A(kf(x))A(v(x))v(x1)kf(x1)k A(f(x)),故A为P[x]上的线性变换。 6)是.因任取f(x)P[x],g(x)P[x]则. A(f(x)g(x))=f(x0)g(x0)A(f(x))A(g(x)), A(kf(x))kf(x0)k A(f(x))。 7)不是,例如取a=1,k=I,则A(ka)=-i,k(A a)=i,A(ka)k A(a)。 8)是,因任取二矩阵X,Y nn 第一章 多项式 一 、习题及参考解答 1. 用)(x g 除)(x f ,求商)(x q 与余式)(x r : 1)123)(,13)(2 2 3 +-=---=x x x g x x x x f ; 2) 2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 。 解 1)由带余除法,可得9 2926)(,9731)(--=-= x x r x x q ; 2)同理可得75)(,1)(2 +-=-+=x x r x x x q 。 2.q p m ,,适合什么条件时,有 1)q px x mx x ++-+3 2 |1, 2)q px x mx x ++++2 4 2 |1。 解 1)由假设,所得余式为0,即0)()1(2 =-+++m q x m p , 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+3 2|1。 2)类似可得???=--+=--0 10 )2(2 2m p q m p m ,于是当0=m 时,代入(2)可得1+=q p ;而当022=--m p 时,代入(2)可得1=q 。 综上所诉,当?? ?+==10q p m 或???=+=2 12 m p q 时,皆有q px x mx x ++++2 42|1。 3.求()g x 除()f x 的商()q x 与余式: 1)5 3 ()258,()3f x x x x g x x =--=+; 2)3 2(),()12f x x x x g x x i =--=-+。 解 1) 432()261339109()327 q x x x x x r x =-+-+=-; 2) 2()2(52)()98q x x ix i r x i =--+=-+。 第十章 双线性函数与辛空间 个线性函数,已知 解此方程组可得 f ( 1) =4,f ( 2)=-7,f ( 3)=- 3 =4 X 1-7 X 2 - 3 X 3 设 f 为所求 V 上的线性函数,则由题设有 解此方程组可得 f (a)=f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ) 1、 设 V 是数域 P 上的一个三维线性空间, 12 3 是它的一组基, f 是 V 上的 f ( 1+ 3 )=1,f ( 2 -2 3 )=-1,f ( 1+ 2 )=-3 求 f (X 1 1+X 2 2 +X 3 3 ). 解 因为 f 是 V 上线性函数, 所以有 1) + f ( 3)=1 2 )-2 f ( 3)=-1 1)+f ( 2 )=-3 f (X 1 1+X 2 2+X 3 3).=X 1 f ( 1)+X 2 f ( 2)+X 3 f ( 3) 2、 设V 及 1 , 2 , 3 同上题,试找出一个线性函数 f ,使 f ( 1+ 3) = f ( 2 -2 3)=0, f ( 1+ 2 )=1 1) + f ( 3)=0 2 )-2 f ( 3)=0 1)+f ( 2 )=1 1) =-1,f ( 2)=2,f ( a V,当 a 在 V 的给定基 3 下的坐标表示为 a= X 1 1+X 2 2 +X 3 3 时, 就有 = X 1 f ( 1)+X2 f ( 2)+X3 f ( 3) =-X 1 +2 X 2+ X3 3、设 1,2,3是线性空间V 的一组基,f1,f2,f3 是它的对偶基,令 1= 1 -3, 2 =1+2-3,3= 2 +3 试证: 1 ,2, 3 是V 的一组基,并求它的对偶基。 证:设 ( 1,2,3)=( 1 ,2,3)A 由已 知, 得 1 1 0 A=0 1 1 1 1 1 因为A ≠0,所以1,2,3是V 的一组基。 设g1,g2,g3 是 1 , 2 , 3 得对偶基,则 g1,g2,g3)=( f1,f2,f3 )(Aˊ) 0 1 1 =( f1,f2,f3 ) 1 1 2 1 1 1 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V 是一个线性空间,f1,f2 , ?fs 是V*中非零向量,试证:∈V,使 fi( )≠0 (i=1,2 ?,s) 证:对s 采用数学归纳法。 当s=1 时,f1≠0,所以∈V,使fi( ) ≠0,即当s=1 时命题成立。 假设当s=k 时命题成立,即∈V,使fi( )= i ≠0 (i=1,2 ?,k) 下面证明s=k+1 时命题成立。 若f k1( )≠ 0,则命题成立,若 f k1( ) =0,则由 f k 1≠0知,一定∈V 使f k1( )=b,设fi( )=di(i=1,2 ?,k), 于是总可取数c≠0,使 c ,则∈V,且 ai+cdi ≠0(i=1,2 ?,k) 第十章双线性函数与辛空间 1、设V是数域P上的一个三维线性空间,ε1,ε2,ε3是它的一组基,f是V上的 一个线性函数,已知 f (ε1+ε3)=1,f (ε2-2ε3)=-1,f (ε1+ε2)=-3 求f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ). 解因为f是V上线性函数,所以有 f (ε1)+ f (ε3)=1 f (ε2)-2 f (ε3)=-1 f (ε1)+f (ε2)=-3 解此方程组可得 f (ε1)=4,f (ε2)=-7,f (ε3)=-3 于是 f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ).=X 1 f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3) =4 X 1 -7 X 2 -3 X 3 2、设V及ε1,ε2,ε3同上题,试找出一个线性函数f ,使 f (ε1+ε3)=f (ε2-2ε3)=0, f (ε1+ε2)=1 解设f为所求V上的线性函数,则由题设有 f (ε1)+ f (ε3)=0 f (ε2)-2 f (ε3)=0 f (ε1)+f (ε2)=1 解此方程组可得 f (ε1)=-1,f (ε2)=2,f (ε3)=1 于是?a∈V,当a在V的给定基ε1,ε2,ε3下的坐标表示为 a= X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 时,就有 f (a)=f (X 1ε 1 +X 2 ε 2 +X 3 ε 3 ) = X 1 f (ε1)+X2 f (ε2)+X3 f (ε3) =-X 1+2 X 2 + X 3 3、设ε1,ε2,ε3是线性空间V的一组基,f1,f2,f3是它的对偶基,令α1=ε1-ε3,α2=ε1+ε2-ε3,α3=ε2+ε3 试证:α1,α2,α3是V的一组基,并求它的对偶基。 证:设 (α1,α2,α3)=(ε1,ε2,ε3)A 由已知,得 A= 110 011 111????????-?? 因为A≠0,所以α1,α2,α3是V的一组基。设g1,g2,g3是α1,α2,α3得对偶基,则 (g1,g2,g3)=(f1,f2,f3)(Aˊ)1- =(f1,f2,f3) 011 112 111 -???? - ????--?? 因此 g1=f2-f3 g2=f1-f2+f3 g3=-f1+2f2-f3 4.设V是一个线性空间,f1,f2,…fs是V*中非零向量,试证:?α∈V,使 fi(α)≠0 (i=1,2…,s) 证:对s采用数学归纳法。 当s=1时,f1≠0,所以?α∈V,使fi(α)≠0,即当s=1时命题成立。 假设当s=k时命题成立,即?α∈V,使fi(α)=αi≠0 (i=1,2…,k) 下面证明s=k+1时命题成立。 若f 1 k+(α)≠0,则命题成立,若f 1 k+ (α)=0,则由f 1 k+ ≠0知,一定?β∈V 使f 1 k+ (β)=b,设fi(β)=di(i=1,2…,k),于是总可取数c≠0,使 ai+cdi≠0(i=1,2…,k) 令c γαβ =+,则γ∈V,且 一个集合,如果在它里面存在一种或若干种代数运算, 这些运算满足一定的运算法则, 则称这样的一个体系为 定义(数域) 设K 是某些复数所组成的集合。如果 K 中至少包含两个不同的复数,且 K 对复数的加、减、乘、 四则运算 是封闭的,即对K 内任 两个数a 、 b ( a 可 以等于b ), 必有 b K , ab K ,且当b 0时,a/b K ,则称 K 为一个数域。 1.1典型的数域举例: 复数域C ;实数域R ;有理数域 Q ; Gauss 数域:Q (i) = { a b i | a, b € Q},其中 i = ?. 1 命题 任意数域K 都包括有理数域Q 。 证明 设K 为任意一个数域。由定义可知,存在一个元素 K ,且 a 0。于是 进而 最后, m, n Z 巴K 。这就证明了 n K 。证毕。 1.1.3 集合的运算, 集合的映射(像与原像、单射、满射、双射)的概念 和B 中的元素合并在一起组成的集合成为 A 与 B 的并集, 记做A B ;从集合A 中去掉属于B 的那些元素之后剩 定义(集合的映射) 设A 、B 为集合。如果存在法则 f ,使得A 中任意元素a 在法则f 下对应B 中唯一确定 若a a'代都有f (a) 第一章代数学的经典课题 § 1若干准备知识 1.1.1代数系统的概念 个代数系统。 1.1.2数域的定义 定义(集合的交、并、差)设S 是集合,A 与B 的公共元素所组成的集合成为 A 与 B 的交集,记作A B ;把A 下的元素组成的集合成为 A 与 B 的差集,记做A B 。 的元素(记做f(a)),则称f 是A 到B 的一个映射,记为 B, f (a). 如果f(a) b B ,则b 称为a 在f 下的像,a 称为b 在f 下的原像。A 的所有元素在f 下的像构成的 B 的 子集称为A 在f 下的像,记做 f (A),即 f (A) f(a)| a A 。 f(a'),则称f 为单射。若 b B,都存在a A ,使得f(a) b ,则称f 为满射。 1.1.4 求和号与求积号 1 ?求和号与乘积号的定义.为了把加法和乘法表达得更简练,我们引进求和号和乘积号。 设给定某个数域K 上n 个数a 1,a 2, ,a n ,我们使用如下记号: 第一学期第一次课 如果f 既是单射又是满射,则称 f 为双射,或称一一对应。 第七章 线性变换 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3) 在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3 中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=; 5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。 8) 在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2() ,,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 7)不是,例如取a=1,k=I ,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)。 8)是,因任取二矩阵Y X ,n n P ?∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y X B Y X )()A X +A Y , 高等代数北大版习题参 考答案 GE GROUP system office room 【GEIHUA16H-GEIHUA GEIHUA8Q8- 第 七章 线性变换 1. 判别下面所定义的变换那些是线性的,那些不是: 1) 在线性空间V 中,A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量; 2) 在线性空间V 中,A αξ=其中∈αV 是一固定的向量; 3) 在P 3 中,A ),,(),,(2 33221321x x x x x x x +=; 4) 在P 3 中,A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=; 5) 在P[x ]中,A )1()(+=x f x f ; 6) 在P[x ]中,A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数; 7) 把复数域上看作复数域上的线性空间, A ξξ=。 8) 在P n n ?中,A X=BXC 其中B,C ∈P n n ?是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。 3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk , A ≠)(αk k A()α。 4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有 A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++ =),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β, A =)(αk A ),,(321kx kx kx ),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-= = k A )(α, 故A 是P 3 上的线性变换。 5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令 )()()(x g x f x u +=则 A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g , 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f , 故A 为][x P 上的线性变换。 6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则. A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g ), A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f 。 第六章 线性空间 1.设,N M ?证明:,M N M M N N ==。 证 任取,M ∈α由,N M ?得,N ∈α所以,N M ∈α即证M N M ∈。又因,M N M ? 故M N M =。再证第二式,任取M ∈α或,N ∈α但,N M ?因此无论 哪 一种情形,都有,N ∈α此即。但,N M N ?所以M N N =。 2.证明)()()(L M N M L N M =,)()()(L M N M L N M =。 证 ),(L N M x ∈?则.L N x M x ∈∈且在后一情形,于是.L M x N M x ∈∈或所以)()(L M N M x ∈,由此得)()()(L M N M L N M =。反之,若)()(L M N M x ∈,则.L M x N M x ∈∈或 在前一情形,,,N x M x ∈∈因此.L N x ∈故得),(L N M x ∈在后一情形,因而,,L x M x ∈∈x N L ∈,得),(L N M x ∈故),()()(L N M L M N M ? 于是)()()(L M N M L N M =。 若x M N L M N L ∈∈∈(),则x ,x 。 在前一情形X x M N ∈, X M L ∈且,x M N ∈因而()(M L )。 ,,N L x M N X M L M N M M N M N ∈∈∈∈∈?在后一情形,x ,x 因而且,即X (M N )(M L )所以 ()(M L )(N L ) 故 (L )=()(M L )即证。 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间: 1) 次数等于n (n ≥1)的实系数多项式的全体,对于多项式的加法和数量乘法; 2) 设A 是一个n ×n 实数矩阵,A 的实系数多项式f (A )的全体,对于矩阵的加法和数量乘法; 3) 全体实对称(反对称,上三角)矩阵,对于矩阵的加法和数量乘法; 4) 平面上不平行于某一向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法; 5) 全体实数的二元数列,对于下面定义的运算: 212121121112b a b a a b b a a k k b a ⊕+=+++-1111(a ,)((,) ()k 。(a ,)=(ka ,kb + 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于 A 是正定矩阵,因此∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A = 。 4) 由定义,知 ∑=j i j i ij y x a ,),(βα , α== β== 第九章 欧氏空间 1.设() ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而 ),,,(21n x x x Λ=α, ),,,(21n y y y Λ=β, 在n R 中定义内积βαβα'A =),(, 1) 证明在这个定义之下, n R 成一欧氏空间; 2) 求单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵; 3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。 解 1)易见 βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且 (1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =, (3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑= 'A =j i j i ij y x a ,),(αααα, 由于A 是正定矩阵,因此 ∑j i j i ij y x a ,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有 0),(=αα。 2)设单位向量 )0,,0,1(1Λ=ε, )0,,1,0(2Λ=ε, … , )1,,0,0(Λ=n ε, 的度量矩阵为 )(ij b B =,则 )0,1,,0(),()(ΛΛi j i ij b ==εε??????? ??nn n n n n a a a a a a a a a Λ M O M M ΛΛ2 1222 22112 11)(010j ? ??? ??? ? ??M M =ij a ,),,2,1,(n j i Λ=, 因此有B A =。 第一章多项式 多项式理论是高等代数研究得基本对象之一,在整个高等代数课程中既相对独立,又贯穿其它章节,换句话说,多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系,却可为其它章节的内容提供范例和理论依据。 本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质,包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。 教学目的:通过本章的学习,要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不)可约多项式、重因式等基本概念,领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式分解的具体内容,掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理系数多项式的可约性的判定。 教学重点:最大公因式的求法、因式分解定理及其应用 教学难点:有理系数多项式 教学方法与手段:1. 理论课教学以讲授为主,部分介绍性内容用多媒体。 2.习题课以多媒体教学为主。 教学内容: §1 一元多项式的定义和运算 1. 多项式的定义 令R是一个数环, 并且R含有数1, 因而R含有全体整数。在这一章里, 凡是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复。 先讨论R上一元多项式。 定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式 a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n (1) 这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, a n都是R中的数。 在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地,a i x i叫做第i次项, a i叫做第i次项的系数。 一元多项式常用符号f(x), g(x), …来表示。 2. 相等多项式: 定义2 若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项, 或者只差一些系数为零的项, 那么f(x)和g(x)说是相等; f (x)=g(x) 定义3a n x n叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n, ( a n≠0)的最高次项,非负整数n叫做多项式a0+a1x+…+ a n x n, (a n≠0)的次数。称a n为多项式的首项系数。 系数全为零的多项式没有次数, 这个多项式叫做零多项式。按照定义2, 零多项式总可以记为0。以后谈到多项式f(x)的次数时, 总假定f(x)≠0。 多项式的次数有时就简单地记作?°(f(x))。高等代数(北大版)第6章习题参考答案
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