本科毕业论文
题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院
专业：信息与计算科学
班级：信计081
姓名：张倩
学号：2008121191
指导教师：庞常词
完成日期：2012年6月1日
目录
摘要 (Ⅱ)
ABSTRACT (Ⅲ)
1前言
1.1微分方程的发展和应用 (1)
1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2)
1.3本文的研究内容及意义 (2)
2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系
2.1基本概念 (3)
2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3)
2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5)
3 微分方程的恰当方程解法
3.1恰当方程的概念 (8)
3.2恰当微分方程解法 (10)
4 微分方程的积分因子解法
4.1积分因子的概念 (14)
4.2积分因子解法 (14)
5二阶变系数微分方程可积的条件
结论 (22)
谢辞 (23)
参考文献 (24)
摘要
微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。
如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。
本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。
关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子
S olve For Varied Coefficient Second Order
Liner Differential Equation
ABSTRACT
Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard.
If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition.
This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation.
Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation
1前言
1.1 微分方程的发展和应用
数学分析中所研究的函数，是反映客观现实世界运动过程中量与量之间的一种关系。但是在大量的实际问题中遇到稍微复杂的一些运动过程时，反映运动规律量与量之间的关系往往不能直接写出来，却比较容易的建立这些变量和它们的导数间的关系式。这种联系着自变量、未知函数及它的倒数的关系式，数学上称为微分方程。微分方程是研究自变量、未知函数及它的导数之间的关系的数学科学。它是伴随着微积分的产生和发展而形成的一门历史悠久的学科，至今已有300多年的历史了。
微分方程来源于生产实践，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客观规律，能动的解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数学方法。牛顿在研究天体力学和经典力学的时候，利用了微分方程这个工具，证实了地球绕太阳的运动轨迹是一个椭圆，从理论上得到了行星运动的规律。此后，法国天文学家勒维烈利用微分方程计算出海王星的位置，这些都是表面微分方程在自然科学领域和社会科学领域有着广泛的应用。
在常微分方程发展的初期，人们主要是针对各种实际问题列出方程，用积分得方法求其准确的解析表达式，也就是初等积分法。这种方法一直沿用到十九世纪中期，直到法国数学家刘维尔与1841年在他的一篇论文中提到大多数常微分方程不能用初等积分法求解，由此促使人们放弃这种方法。从此常微分方程进入了基础定理和新型方法的研究阶段。
随着科学的发展和社会的进步，常微分方程在越来越多的领域内有着重要的作用，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等，都提出了大量的微分方程问题，同样在社会科学的领域也存在着微分方程问题。
此外，微分方程与数学的其他分支的关系也是非常密切的，他们往往互相联系，互相促进，例如几何学就是常微分方程理论的丰富源泉之一和有力工具，对微分方程的发展产生了深刻的影响。反过来，微分方程进一步发展的需要，也推动着其他数学分支的发展。
1.2 二级变系数线性常微分方程的重要性
常微分方程作为其他自然科学和偏微分方程的基础，一直以来受到很多学者们的重视，很多专家发表相关著作和论文，从而使微分方程的理论发展的了比较完善的程度。
众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，除了近似解法外，至今还没有一个普遍方法，但是幂级数解法计算了大，而且不能得到解析解，不便于理论上的分析。因此，变系数二阶线性微分方程的求解在微分方程理论中有着十分重要的地位，寻求一种简便的计算方法是完全有必要的。
1.3 本文的研究内容及意义
变系数二阶线性微分方程的求解基本理论已发展到了一定程度，很多学者也提出了很多不同的特殊方法解决一些具体某种特点的变系数方程，特别是在利用积分因子及恰当方程的方法领域取得了显著成就。但是大家对于如何判断方程是否可积及如何确定积分因子和恰当方程仍然存在疑惑，感觉无从下手。
论文正是在这种情况下通过对有关变系数二阶微分方程的教材和文献的研究，总结了前人的成果，从本质上阐述了确定积分因子和恰当方程的思想和方法，同时给出了判断方程是否可积的条件。通过积分一种法和恰当方程法，进一步从整体上阐述了变系数二阶线性微分方程的基本思想和步骤。
2 二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系
2.1 基本概念
如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种方程为常微分方程。 若()p x 、()q x 为连续非常数的函数，方程
''()'()()y p x y q x y f x ++=
则称为二阶变系数线性微分方程。其中
()p x 、()q x 及()f x 都是某区间上的连续
函数。如果()f x 恒等于零，那么该方程称为二阶变系数齐次线性微分方程；如果
()f x 非恒等于零，那么该方程称为二阶变系数非齐次线性微分方程。
我们把含有2个独立的任意常数12,c c 的解 12(,,)y x c c ?=称为二阶方程
22'(,,,,)'dx d x d x
F x y dy d y d y 的通解。为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个
解所必须的条件这就是所谓的定解条件，常见的定解的条件是初值条件和边值条件。所谓二阶微分方程的初值条件通常是指以下两个条件： 当0x x =时，00,
dy
y y y dx
==这里001,,x y y 是给定的3个常数。 2.2 二阶变系数线性微分方程的求解定理 已知 变系数二阶常微分方程
''()'()()y a x y b x y f x ++=，在相对应Riccati 方程
2'()()z z a x z b x =-+可知一个特解的情况下，给出了方程
''()'()()y a x y b x y f x ++= (2.1)
求解的积分公式。
引理1 设(),()a x b x 及
()f x 是连续函数，且()z x 是Riccati 方程2
'()()z z a x z b x =-+
的一个特解，则方程(2.1)的通解积分公式为
()(2()())(()())12((()))f x dx b x a x dx a x z x dx
y e e f x e dx c dx c ---???=++?? 。
引理 2 设(),()a x b x 及
()f x 是连续函数，且211()'()()2
4
b x a x a x
c --≡（常
数），则方程(2.1)的通解可求出。
定理 2.1 若211
()'()()24
b x a x a x
c --≡（常数），则方程(2.1)相对应的Riccati 方程的特解是：
（i ）当
0c = 时， 11()2z a x x
=-
； （ii ）当0c >时，
1
()t a n 2
z a x c c x =
+ ；
（iii ）当0c <时， 221(1)()21cx cx
e c
z a x e
--+-=+- 。 推论2.1.1 设(),()a x b x 及()f x 是连续函数，且211
()'()()24
b x a x a x
c -
-≡（常数），则方程（2.1）对应其次方程 (''()'()0y a x y b x y ++=的通解是：
（i ）当0c =时， 1
()2
21()a x dx y e
c x c -
?
=- ；
（ii ）当0c >时，1
()1
2
2(
sin cos )a x dx c y e
cx c cx c
-
?
=+ ；
（iii ）二阶变系数线性微分方程(2.1)(()0)p x ≠能化为常系数线性微分方程的充要条件是：2
2
4()2'()4p q x p x k l -+=-（,k l 为常数）。
定理 2.2 设方程(2..1)满足条件
3
2
'()2()()
[()]
q x p x q x c q x ε+=(c 常数)。其中
1()01()0
q x q x ε≥?=?-≤?则方程(2.1)可化为
2()
2()2()
x x t d y c dy f x y dt dt q x ε=++= 。
推论2.3.1 若存在常数r 使得
2()()0r rp x q x ++= ，则方程(2.1)的通解为：
{
}2()()21[()]rx p x dx
rx p x dx
rx
y e
e
f x e
dx c dx c --+?
?
=?++?? 。
推论2.3.2 2()()1q x x p
x x =+-，则方程(2.1)的通解为：
{
}[2()][()]21[()]xdx x p x dx
p x x dx
y e e f x e dx c dx c ---?
??
=++?
? 。
推论2.3.3 若
()()p x rq x =- ，则方程(2.1)的通解为：
}()()2121[()]p x dx
p x dx y x e xf x e dx c dx c x
-???=++???? 。
推论 2.3.4 若(),()p x q x 是关于x 的连续函数，且()()(1)1x
p x q x ce =--+ ，则方程''()'()0y p x y q x y ++=的解为()
()
q x dx
p x y e -?
=。
当0c <时，1
()12
2(
)a x dx cx
cx
c y e
e c e c
-
-
--
-?
=+- 。
2.3 二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 约定
1）对所讨论问题的特解均约定其常系数部分为1（否则视为同一解）；
2）均假定系数满足进行运算所需要的分析性质，必要时假定满足一些其他性质，但行文时不会另指出；
3）在一个问题上已达成共识：对一般的方程而言，其两线性无关特解一般不能由其系数唯一决定；
4）以下不再验证特解之线性无关性，且文中的等式皆是对论域中的任意自变量成立。
讨论方程 ''()'()x a t x b t x +
+= ( 2.2) 假定1x 、2x 是其二特解。
命题2.1 设()0b t <，若'()2()()b t a t b t =-，
则方程(2.2)两特解为()b t dtdt
e
-?、()b t dtdt
e
-
-? 。
反之，若方程有1x 、
2x 两解满足121x x ?=，则(2.2)式成立。
命题2.2 若 2
11'()()()24
a t a t
b t += ，
则方程(2.2)两特解为
1
()2
a t dt e -?、
1
()2
a t dt te -
? ，
反之，若
1x ，2x 是原方程的解，且12x tx = ，则(2.2)式成立。
命题2.3 若2222
11[(1)'()][()(1)]()24
k t a t a t k t b t ----++--= ，
则方程(2.2)两特解为
11
[(1)()]2
k t a t dt e --
-+? 、
11
[(1)()]2
k t a t dt k
t e --
-+? ，
反之，若
1x ，2x 是原方程的解，且12k x x t =，则(2.2)式成立。
命题2.4 若2111'()()()244
a t a t
b t +=+ ， 则方程(2.2)两特解为1
[()1]2
a t dt e
-
+?
、1
[()1]2
a t dt t e
-
++?
，
反之，若1
2t
x e x =，则(2.2)式成立。 命题2.6 若222
22
11(2)2()'()()424(1)k kt k a t a t b t kt +++=++ ， 则方程(2.2)两特解为1(2)
[()]21
k kt a t dt k e +-
++?
、1(2)
[()]21
k kt a t dt kt kt t e
+-
+++?
?，
反之，若1
2kt x t e x =??，则(2.2)式成立。
命题2.7 ()()0a t b t +=
?方程(2.2)有特解。
命题2.8 2(1)()()0k k t k t a
t b t t -++?=?方程(2.2)有特解k
t (k 为常数。)
命题2.9 1()()0a t b t ++=?方程(2.2)有特解
t
e 。
命题2.10 (2)(1
)()()0k k t k t a t b t t ++++?=?方(2.2)程有特解kt
t e ?。 例2.1 求方程(1)'''2(21)0x y y x y +--+= 的一个特解，并求此方程
的通解。
解 方程可改写为 12(21)
'''011
x y y y x x +-
-=++ ，
其中 12(21)(),()11
x p x q x x x +
=-=-++ 。
设 2
12(21)011
x r r y x x +-
-=++ 。 2r =满足上式，所以方程有一个特解2x
y e =。该方程通解为
1
1221241
e
dx
x x x x
y C e C e dx e +?=+?
22412(1)x x x C e C e e x dx -=++?
222
1(45)16
x x C C e x e -=-
+ 。
3 微分方程的恰当方程解法
3.1 恰当方程的概念 考虑方程(3.1)、(3.2)
()''()'()(),(P x y Q x y R x y f x P x ++=≠ (3.1)
()'''()''()'()(),()0P x y Q x y R x y l x y f x P x +++=≠ (3.2)
定义3.1 若存在2个可微函数(),()x x αβ，使得
(()'())()''()'()()
()
d
x y x y P x y Q x y R x y f x d x αβ+=++= ， 成立，则称方程(3.1)为恰当方程。
定义3.2 若存在两个具有二阶连续导数的函数(),()x x αβ使得下式成立
2
2(()'())()'''()''()'()()
d x y x y P x y Q x y R x y l x y f x dx
αβ+=+++= ， 则称方程(3.1)为恰当方程。
推论3.1 若方程(3.1)和(3.2)为恰当方程，则它们一定可积。 仅就方程(3.1)证明。
证 因为方程(3.1)为恰当方程，则存在(),()x x αβ使得：
(()'())()()
d
x y x y f x d x αβ+= ， 又
()f x 连续，所以0()'()()x y x y f x dx C αβ+=+? 。这是一阶线性非齐次方程，
它是可积，故方程(3.1)可积。
结论 3.1 若方程(3.1)的系数具有二阶连续导数，则方程(3.1)为恰当方程的充要
条件为：
''(
)()()P x Q x R x -+= 。 证 充分性。 取()(),()()'()x P x x Q x P x αβ==-，则有
(()'())('()''()()()''()'('()''())()
d
x y x y x y x y x y P x y Q x y Q x P x y d x αβαββ+=++=++- ，
由已知 ''()()()P x Q x R x -+=可得：
(()'())()''()'()()()
d
x y x y P x y Q x y R x f x d x αβ+=++= ， 故方程(3.1)为恰当方程。
必要性。 若方程(3.1)是恰当方程，由定义 3.1知，存在可微函数(),()x x αβ使得：
(()'())()''()'()()
d
x y x y P x y Q x y R x y d x αβ+=++ 。 即()(),'()(),'()()()x P x x R x x x Q x αβαβ==+=对所有x 成立，因为(),(),()P x Q x R x 具有二阶连续导数，故(),()x x αβ具有二阶连续导数，从而有：
''()'()'()x x Q x αβ+=，即''()()'()0P x R x Q x +-= 。
结论成立。
结论 3.2 若方程(3.1)的系数具有三阶连续导数，则方程(3.1)为恰当方程的充要条件为：2'()3''()(),2''()()''()Q x P x R x P x l x Q x ==+= 同时成立。 证 充分性。取定义3.2中的()(),()()2'()x P x x Q x P x αβ==-，则有：
[][]2
2
(()'())()'''2'()()''''()2'()'''()()'''()''(2'()3''())'(''()2'''())d x y x y x y x x y x x y x y dx
P x y Q x y Q x P x y Q x P x y
αβααβαββ+=+++++=++-+- 由已知条件 2'(
)3''()(),2''()()Q x P x R x P x l x
Q x ==+=得
[]2
2()'()()'''()''()'()()
d x y x y P x y Q x y R x y l x y f x dx
αβ+=+++= ， 所以方程(3.1)为恰当方程。
必要性 若方程(3.1)为恰当方程，则存在具有二阶导数的函数(),()x x αβ使得下式恒成立。
2
2(()'())()'''()''()'()d x y x y P x y Q x y R x y l x y dx
αβ+=+++ 。 将上式左端展开并整理得：
[][][]2
2()'()()'''2'()()''''()2'()'''()d x y x y x y x x y x x y x y dx
αβααβαββ+=+++++ 。 从而有()(),2'()()(),''()2'()(),''()()x P x x x Q x x x R x x l x ααβαββ=+=+== 恒成立，即有2'()3''()(),''()2''()()Q x P x Q x Q x P x l x ==-= 同时成立。
推论3.2 若结论3.1成立，定义3.1中的()x α取()P x ，()x β取()'()Q x P x -。
推论3.3 若结论3.2成立，定义3.2中的()x α取()P x ，()x β取()2'()Q x P x -。
用上述结论很容易求出恰当方程的通解 例3.1 已知方程 2
22
24a r c t a n 42
2'''(4)a r c t a n
(4)a r c t a n 2
2
x
y y y x
x x x +
-=
+++ 取22
()1,()(4)arctan 2x x x x αβ==
+，则有2
2(')0(4)arctan
2
d y y x dx x +=+。 21001
arctan ln(1)24arctan 2
x x y C C x C x ??
=+-+????
其中01,C C 为任意常数。
下面讨论如何将非恰当方程化为恰当方程。 定义3.3 若存在一个()M x 使得：
()()''()()'()()()()M x P x y M x Q x y M x R x y M x f x ++=
为恰当方程，则称()M x 为方程(3.1)的恰当因子。
同样可定义方程(3.2)的恰当因子，恰当因子的选取，对于一般方程来讲比较困难，但对某些特殊情况比较容易找到。 3.2 恰当微分方程解法
例3.2 考虑方程 ''()'()(y p x y q x y f x ++= (3.3)
(1)当(),()p x q x 满足()'()()1q x p x p x =+-时，x
e 为方程(3.3)的恰当因子。
例3.3 求211
'''
x x y y y x x x
+-++=的通解。 解 此方程不是恰当方程，但满足()'()()1q x p x p x =+-，方程两边同乘以x e 得：
211'''x x
x x x x e y e
y e y e x x x
+-++= ， (')x
x x d e e y y e x dx x += 。 两边对x 积分得： 1'x
x
x x e e y y xe e C x
+=-+ 。 解此方程得 3221111()(1)32x
y x C x x C e x x -??=
+--+????
， 其中12,C C 为任意常数，此解即为所求。 (2)当
(),()p x q x 满足1
()'()()q x p x p x x
=+时，取其恰当因子为x 。
例3.4 求233
112''''y y y x x x +
-=-的通解。 解 因为2311
(),()p x q x x x
=
=-满足1()'()()q x p x p x x =+ 。 其中δ是21(1)
t -的展开式中3n t -的系数，'δ是31(1)t -的展开式3
n t -的系数，显然
0δ=，或1，'0δ=或1，从而有034'7δδ≤+≤，故
223(4)(3)()1212
n n p n -+≤≤ ， 即
22311()123124
n n p n -≤≤+ ， 由此得 2311
()1232
n p n -
≤< ， 由定义3.2 23()12n p n ??
=????
，
用归纳法易证 212244n j j n n ??
??
=+??????
=????????
????∑ 。 利用上述引理可得以下重要结论。
定理3.1 22()1244n n n T n ??+????
=-?????????
??? 证 若n 的3个部分分拆(,,)a b c 满足条件b c a +>，则确定一个周长为n 的整数边三角形；反之，任一符合条件的三角形都确定一个n 的上述分拆，为此只须求n 的符合上述条件的3部分分拆。
现在考察n 的3部分分拆中，不满足条件b c a +>的分拆的个数。
对任意正整数2
n j ??≤????
，及j 的2部分分拆(,)b c ，令n j a -=,则 b c j n ++≤，
也即b c n j q +≤-≤ ，且 ()a b c n j b c n ++=-++=。即对每一个2n j ??≤????
及j 的每一个2部分分拆
(,)b c ，对应一个n 的不能生成三角形的分拆(,,)a b c 。
反之，对n 的任意一个不能生成三角形的分拆(,,)a b c ，即a b c n ++= ，
b c a +≤ ，令j b c =+ 。
则(,)b c 是j 的一个2部分分拆。因为j 为整数，则2n j ??
≤????
，于是得到一个正整数
2n j ??
≤????
及j 的一个2部分分拆(,)b c 。 例3.5 用“分项组合”法求2223
(36)(64)0x xy dx x y y dy +++=的通解。
解 把方程重新“分项组合”，得到
232234660x dx y dy xy dx x ydy +++= ，
即 3
4
2
22
2
33
0d x d y y d x x d y +++= ，
或者写成
3422
(3)0d x y x y ++= 。
于是，方程的通解为
34223x y x y c ++= ，其中c 为任意常数。
例3.6 求解方程211(cos )()0x
x dx dy y y y
++-= 。 解 因为21M y y ?=-? ， 21
N x y ?=-?，故方程是恰当微分方程。把方程重新“分项组合”，得到
211cos ()0x
xdx dy dx dy y y y
+
+-= ， 即 2
sin ln 0ydx xdy
d x d y y
-++
= ， 或者写成 (s i n
l n )0
x
d x y y
++
= 。 于是，方程的通解为
s i n
l n x
x y c y
++
= ，
这里
c 是任意常数。
4 微分方程的积分因子解法
4.1 积分因子的概念
如果存在连续可微的函数(,)0x y μμ=≠，使得
(,)(,)(,)(,)0x y M x y dx x y N x y μμ+= (4.1)
为一恰当方程，即存在函数ν，使M d x N d y d v μμ+=，则称(,)x y μ为方程(4.1)
的积分因子，这时(,)x y c ν=是该方程的通解。
同一方程可以有不同的积分因子，可以证明只要方程有解存在，则必有积分因子存在，并且不是唯一的。因此，在具体过程中由于求出的积分因子不同，从而解有不同的形式。
函数(,)x y μ为方程(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=的积分因子的充要条
件是
()()
M N y x
μμ??=?? 即 ()M N
N
M x y y x
μμμ????-=-???? (4.2) 例如 对于方程(,)(,)(,)M x y dx N x y dy du x y +=，如果只存在与x 有关的积分因子()x μμ=，则
0y μ?=?，这时方程（4.2）变成()d M N N dx y x
μ??=-?? ，即 M N
d y x
dx N
μμ??-
??= 。 由此可知方程有只与x 有关的积分因子的充要条件是
()M N
y x
x N
???-??= ，同理方程只有
与
y
有关的积分因子的充要条件是
()M N
y x
y M
???-?=- 。
4.2 积分因子解法
例4.1 试用积分因子法解线性微分方程 ()()dy
P x y Q x dx
=+ 。
解 将方程改写成
[()()]0P x y Q x dx dy +-= (4.3)
这时，()(),1M P x y Q x N =+=-，算得
()M N
y x
P x N
??-??=- ， 因而，线性方程有只与x 有关的积分因子()P x dx
e
μ-?
=。以()P x dx
e
μ-?
=乘以(4.3)得到
()()()()()0P x dx
P x dx
P x dx
P x e ydx e dy Q x e dx ---?
?
?
-+= ，
即 ()()()()0P x dx
P x dx
P x dx
yde
ydx e dy Q x e dx ---?
?
?
++= ，
或者写成
()()()()0P x dx P x dx
d y
e Q x e dx --??-= 。 因此方程(4.3)的通解为
()()()P x dx P x dx ye Q x e dx c --??-=? ， 或者改写为 ()()(())P x d x
P x
d x
y e
Q x e
d x c -
?
?=+?
。
积分因子一般是不容易求得的，我们可以先从求特殊形状的积分因子开始或者通过观察法进行分项组合而求得积分因子。
例4.2 求解方程2
1()dy x x dx y y
=-++ (0)y > 。 解 方程可以写为
22
xdx ydy x y dx +=+ ， 或者 2222
1()2
d x y x y dx +=+ ，
容易看出，此方程有积分因子22
1x y μ=
+ ，以μ乘之得
2222
()
2d x y dx x y
+=+ ，
故通解为 22x y x c +=+ ，
或者
2(2)y c c x =+ 。
例4.3 求解方程 21()dy x x dx y y
=-++ (0)y > 。 解 方程可以写成为
变系数线性常微分方程的求解 张慧敏，数学计算机科学学院 摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数 二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。 关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
第八节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：掌握二阶常系数齐次线性微分方程的特征方程，特征根，及对应于特征根的三种 情况，通解的三种不同形式。 教学重点：特征方程，特征根，及对应于特征根的三种情况，通解的三种不同形式。 教学难点：根据特征根的三种不同情况，得到三种不同形式的通解。 教学内容： 若 22()()0d y dy P x Q x y dx dx ++= （1） 中(),()P x Q x 为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程，而(1)称之为二阶变系数齐次微分方程。 记： '''0y py qy ++= （2） 将rx y e =代入（2）中有2()0rx r pr q e ++=，称20r pr q ++=为（2）的特征方程。 20r pr q ++= （3） 设12,r r 为（3）的解。 （1）当12r r ≠即240p q ->时，1 212r x r x y C e C e =+为其通解。 （2）当12r r r ==即240p q -=时， （3）只有一个解rx y Ce =。 （3）当r i αβ=±即240p q -<时，有()i x y e αβ±=是解。 利用欧拉公式可得实解，故通解为 12(cos sin )x y e C x C x αββ=+。 求二阶常系数齐次线性微分方程 '''0y py qy ++= （2） 的通解的步骤如下： 1． 写出微分方程（2）的特征方程 2 0r pr q ++= （3） 2． 求出特征方程（3）的两个根1r 、2r 。
3． 根据特征方程（3）的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程（2）的通解： 例1 求微分方程230y y y ''--=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为 2230r r --= 其根121 ,3r r =-=是两个不相等的实根，因此所求通解为 312x x y C e C e -=+ 例2 求方程222 0d s ds s dt dt ++=满足初始条件0|4t s ==，0|2t s ='=-的特解。 解 所给方程的特征方程为 2210r r ++= 其根121r r ==-是两个相等的实根，因此所求微分方程的通解为 ()12t s C C t e -=+ 将条件0|4t s ==代入通解，得14C =，从而 ()24t s C t e -=+ 将上式对t 求导，得 ()224t s C C t e -'=-- 再把条件0|2t s ='=-代入上式，得22C =。于是所求特解为 ()42t s t e -=+ 例3 求微分方程250y y y '''-+=的通解。 解 所给微分方程的特征方程为
二阶变系数线性微分方程的一些解法
第九节 二阶变系数线性微分方程的 一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2) 其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有 dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1 ＋u 2 12dx y d 代入(9.1)式得
y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 212dx y d ＋p(x) dx dy 1 ＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1dz ＝－[1 y 2 ＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］
几类二阶变系数常微分方程解法论文
二阶变系数常微分方程几种解法的探讨 胡博（111114109） （湖北工程学院数学与统计学院湖北孝感 432000） 摘要：常系数微分方程是我们目前可以完全解决的一类方程，而求变系数常微分方程的通解是比较困难的，一般的变系数常微分方程目前是还没有通用解法的。本文主要对二阶变系数常微分方程求解进行了探究，利用特解、常数变易法、变量变换等方法求出了某些二阶变系数线性微分方程的通解，并初步归纳了二阶变系数线性方程的求解基本方法及步骤。 关键词：二阶变系数线性微分方程；变换；通解；特解 To explore the solution of some ordinary differential equations of two order variable coefficient Zhang jun(111114128) (School of Mathematics and Statistics Hubei Engineering University Hubei Xiaogan 432000) Abstract:Differential equation with constant coefficients is a class of equations we can completely solve the present general solution, and change coefficient differential equations is difficult, the variable coefficient ordinary differential equation is at present there
变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl
Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl
Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言： 一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制 变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。 见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m
一阶线性非齐次微分方程一、线性方程 方程 dy dx P x y Q x += ()() 1 叫做一阶线性微分方程(因为它对于未知函数及其导数均为一次的)。 如果 Q x()≡0，则方程称为齐次的； 如果 Q x()不恒等于零，则方程称为非齐次的。 a)首先，我们讨论1式所对应的齐次方程 dy dx P x y += ()0 2 的通解问题。 分离变量得dy y P x dx =-() 两边积分得ln()ln y P x dx c =-+ ? 或 y c e P x dx =?-?() 其次，我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程1的通解。 将1的通解中的常数c换成的未知函数u x()，即作变换 y u e P x dx =?-?() 两边乘以得P x y uP x e P x dx ()()() ?=-? 两边求导得dy dx u e uP x e P x dx P x dx ='- -?-? ()() () 代入方程1得
'=-?u e Q x P x dx ()() ， '=?u Q x e P x dx ()() u c Q x e dx P x dx =+??()() 于是得到非齐次线性方程1的通解 [] y e c Q x e dx P x dx P x dx =?+-???()()() 将它写成两项之和 y c e e Q x e dx P x dx P x dx P x dx =?+?--????()()()() 非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解 【例1】求方程 dy dx y x x -+=+21 13 2 () 的通解。 解： ] 23 )1([1212dx e x c e y dx x dx x ??++??=+-+-- ] 23 )1([22 )1(ln )1(ln dx e x c e x x +-+??++?= =+?++- ?()[()]x c x dx 1121 2 =+?++()[()] x c x 12121 2 由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次方程，求解它只需套用公式。
第4章 一阶线性微分方程组 一 内容提要 1． 基本概念 一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。 若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解 含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。 满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义
第九节 二阶变系数线性微分方程 的一些解法 常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍处理这类方程的二种方法 §9.1 降阶法 在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。 考虑二阶线性齐次方程 22dx y d ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1) 设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2) 其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有 dx dy ＝y 1dx du ＋u dx dy 1 求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1＋u 21 2dx y d 代入(9.1)式得
y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1 dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数 积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］
常系数线性微分方程的解法 摘 要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言 为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们 就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极
本科毕业论文 题目：变系数线性微分方程的求解问题院（部）：理学院 专业：信息与计算科学 班级：信计081 姓名：张倩 学号：2008121191 指导教师：庞常词 完成日期：2012年6月1日
目录 摘要 (Ⅱ) ABSTRACT (Ⅲ) 1前言 1.1微分方程的发展和应用 (1) 1.2二阶变系数线性常微分方程的重要性 (2) 1.3本文的研究内容及意义 (2) 2二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 2.1基本概念 (3) 2.2二阶变系数线性微分方程的求解定理 (3) 2.3二阶变系数线性微分方程特、通解与系数的关系 (5) 3 微分方程的恰当方程解法 3.1恰当方程的概念 (8) 3.2恰当微分方程解法 (10) 4 微分方程的积分因子解法 4.1积分因子的概念 (14) 4.2积分因子解法 (14) 5二阶变系数微分方程可积的条件 结论 (22) 谢辞 (23) 参考文献 (24)
摘要 微分方程在数学理论中占有重要位置，在科学研究、工程技术中有着广泛的应用。在微分方程理论中，一些特殊的微分方程的性质及解法也已经有了深入的研究，它们总是可解的，但是变系数微分方程的解法比较麻烦的。 如果能够确定某一类型的二阶变系数线性微分方程的积分因子或恰当方程，则该二阶变系数线性微分方程就可以求解，问题在于如何确定积分因子和恰当方程及该类方程在何种情况下可积。 本文通过对微分方程的理论研究，用不同的方法探讨这类问题，扩展了变系数线性微分方程的可积类型，借助积分因子和恰当方程的方法求解方程。 关键词：变系数；二阶微分方程；积分因子；恰当因子
S olve For Varied Coefficient Second Order Liner Differential Equation ABSTRACT Second order liner homogeneous differential equation plays an important role in mathematics theory, and use extensively in science research and technology. In differential equation theory, some special differential equation’s solve ways have already been researched. So they can be seemed as could be solved sort of equation. But varied coefficient equation, however, this solve for this sort of equation is hard. If we can make integrating factor or exact equation of some types of second order liner different equation, and this types of second order liner different equation can be solved. The problem is how to make integrating factor and exact equation, and this type equation can be integral in which condition. This article utilizes different ways to research this problem in different equation theories, which expand could be solved type of varied coefficient second order liner differential equation. By integrating factor and exact equation make varied coefficient second order liner differential equation. Key Words: varied coefficient; second order liner differential equation; integrating factor; exact equation
第四讲 常系数线性微分方程组的解法（4课时） 一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌 握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入 由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-
的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =
变系数线性微分方程的解法 ... 摘 要：文章通过对一些变系数线性微分方程的经典题目总结一下解决这类问题的基本方法。 关键词：变系数线性微分方程，基本解法。 1 引 言 整体回顾了一下第三章，我想感慨一下现在数学发展得真是完备。我们学的95%以上的知识数学书上都给出了一般的解。比如说可降阶的高阶方程，我们用一个变量代换最低阶的自变量那项就可以解出所有的这类题目了；又比如说线性常系数微分方程，使用常数变易法和待定系数法也可以解决所有的题目，特别是待定系数法，实在是解决线性非齐次常系数微分方程的利器！在这几块，我觉得实在是难以补充什么了。当下我觉得最需要我们去探索和挖掘的应该是那些目前不能够有普适解法的题目，比如说接下来要讲的变系数线性微分方程。下面，我们通过几个例题来总结一下解决这类问题的基本方法。 2 几个变系数线性微分方程的基本方法 2.1 化为常系数法 2.1.1形如0222 =++x dt dx bt dt x d at 的常微分方程。 这类题目是书上明确告诉我们的解法的，其实这类方程叫欧拉方程，虽然书上讲过了，但是也是这部分很重要的一类题，这边放在第一类。 因为这类题目的形式统一，所以直接求解带未知数的微分方程了。 解：作变换u e t =，即t u ln =，则： du dx t dt du du dx dt dx 1==，)(122222du dx du x d t dt x d -= 用上式带入原方程，得0)(22=++-x du dx b du dx du x d a 这样的话我们得到了一个自变量为u,应变量为x 的一个常系数线性齐次微分方程，显
常系数线性微分方程的解的结构分析 【 摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。 【关键词 】常系数 线性 微分方程 结构 一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ， （1.1） 的求解 上式可以改写为 adt x dx -= ， （1.2） 于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ， （1.3） 这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ， （1.4） 其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。 这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。 一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ， （2.1） 其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ， （2.2） 上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ， （2.3） 两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ， （2.4） 这里c 是常数。 若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了 一阶非齐次线性微分方程。 我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶
齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ， （2.5） 中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ， （2.6） 微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ， （2.7） 以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8） 即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (， 积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。 二阶常系数线性微分方程 （1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1） 其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特 解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。 我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，
常系数线性方程组基解矩阵的计算
常系数线性方程组基解矩阵的计算 董治军 （巢湖学院数学系，安徽巢湖238000） 摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of
Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质 定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,