对数函数综合应用
1．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x
（1）求当x＜0时，求函数f（x）的表达式
（2）若g（x）=2x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或}，试判断集合A 和B的关系．
2．已知函数f（x）=log a（x+2），
（1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值；
（2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤﹣1．
（3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标．
3．（1）设不等式2（）2+9+9≤0时，求的最大值和最
小值．
（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b
①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3．
4．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数h（x）的定义域；
（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．
5．已知函数f（x）=．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
6．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
7．已知函数，
对定义域内的任意x都有f（2﹣x）+f（2+x）=0成立．
（1）求实数m的值；
（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．
8．已知函数f（x）=（a＞1）．
（1）求f（x）的定义域、值域，并判断f（x）的单调性；
（2）解不等式f﹣1（x2﹣2）＞f（x）．
9．设f（x）=ln（|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3）（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若当1，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
10．设函数f（x）=lg，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，求实数a的取值范围．
对数函数综合应用参考答案与试题解析
1．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x
（1）求当x＜0时，求函数f（x）的表达式
（2）若g（x）=2x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或}，试判断集合A
和B的关系．
解：（1）∵函数f（x）为奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）
∵当x＞0时，f（x）=log2x ∴当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x）
（2）∵log2x≥2，解得﹣≤x＜0或x≥4 ∴集合A={x|x≥4或﹣}，
依题意2x≥16，解得x≥4或x≤﹣4，≤2x≤1解得﹣≤x≤0
∴集合B={x|x≥4或﹣}，∴A是B的真子集；
2．已知函数f（x）=log a（x+2），
（1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值；
（2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤﹣1．
（3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标．
解：（1）函数f（x）的图象经过M（7，2）点，则有log a（7+2）=2，解得：a=3，
（2）若a=3，函数f（x）=log3（x+2），当x∈（1，25]时，
3＜x+2≤27，∴1＜log3（x+2）≤3，即y∈（1，3]，所以函数f（x）的值域为（1，3]．
又不等式f（x）≤﹣1?不等式log3（x+2）≤log3?0＜x+2≤?﹣2＜x≤﹣．
∴不等式的解为：﹣2＜x≤﹣．
（3）函数f（x）=log a（x+2），当x=﹣1时，y=0，
依题意，点（﹣1，0）在函数f（x）=log a（x+2）的图象上，
则点（0，﹣1）在函数f（x）=log a（x+2）的反函数的图象上那么P点的坐标为（0，﹣1）．
3．（1）设不等式2（）2+9+9≤0时，求的最大值和最
小值．
（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b
①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3．
解：（1）、∵不等式2（）2+9+9≤0，
∴，∴．∴．
∴=（log2x﹣1）?（log2x﹣3）
=（log2x）2﹣4log2x+3=（log2x﹣2）2﹣1．
故当log2x=2时，的最小值是﹣1；
当log2x=0时，的最大值是3．
（2）、①证明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．
∵0＜a＜b，y=lgx是增函数，∴﹣lga=lgb，故a＜1＜b．
②证明：∵﹣lga=lgb，∴，∴ab=1，∵0＜a＜b，∴．
∵，∴，∴．
∴，∴，∵b＞1，∴2＜4b﹣b2＜3．
4．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．
（1）求函数h（x）的定义域；（2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由；
（3）求不等式f（x）＞g（x）的解集．
解：（1）f（x）+g（x）=log a（x+1）+log a（1﹣x）．若要上式有意义，则，
即﹣1＜x＜1．所以所求定义域为{x|﹣1＜x＜1}
（2）由于h（x）=f（x）+g（x），则h（﹣x）=f（﹣x）+g（﹣x）=log a（﹣x+1）+log a（1+x）=h（x）．所以h（x）=f（x）+g（x）是偶函数．
（3）f（x）＞g（x），即log a（x+1）＞log a（1﹣x）．
当0＜a＜1时，上述不等式等价于解得﹣1＜x＜0．
当a＞1时，原不等式等价于，解得0＜x＜1．
综上所述，当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜0}；
当a＞1时，原不等式的解集为{x|0＜x＜1}．
5．已知函数f（x）=．
（1）当m=7时，求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
解：（1）由题设知：当m=5时：|x+1|+|x﹣2|＞7，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
，或，或，
解得函数f（x）的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（4，+∞）；
（2）不等式f（x）≥2即|x+1|+|x﹣2|≥m+4，∵x∈R时，恒有|x+1|+|x﹣2|≥|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，
∴不等式|x+1|+|x﹣2|≥m+4解集是R，等价于m+4≤3，∴m的取值范围是（﹣∞，﹣1]．
6．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3）
（1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间；
（2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：（1）∵f（x）=log4（ax2+2x+3）且f（1）=1，∴log4（a?12+2×1+3）=1?a+5=4?a=﹣1
可得函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）∵真数为﹣x2+2x+3＞0?﹣1＜x＜3 ∴函数定义域为（﹣1，3）令t=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4 可得：当x∈（﹣1，1）时，t为关于x的增函数；
当x∈（1，3）时，t为关于x的减函数．∵底数为4＞1
∴函数f（x）=log4（﹣x2+2x+3）的单调增区间为（﹣1，1），单调减区间为（1，3）
（2）设存在实数a，使f（x）的最小值为0，
由于底数为4＞1，可得真数t=ax2+2x+3≥1恒成立，且真数t的最小值恰好是1，
即a为正数，且当x=﹣=﹣时，t值为1．
∴??a=
因此存在实数a=，使f（x）的最小值为0．
7．已知函数，
对定义域内的任意x都有f（2﹣x）+f（2+x）=0成立．
（1）求实数m的值；（2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值．解：（1）由条件得：
∴（m2﹣1）x2=0对定义域内的任意x成立∴m2﹣1=0
∴m=1或m=﹣1 当m=1时不成立∴m=﹣1
（2）
由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），
当0＜a＜1时，x∈（b，a）的值域为（0，a），
函数在x∈（b，a）上是减函数，所以，这是不可能的．
当a＞1时，x∈（b，a）的值域为（a，+∞），
所以，函数在x∈（b，a）上是减函数，并且b=3 所以，，解得
综上：，b=3
8．已知函数f（x）=（a＞1）．
（1）求f（x）的定义域、值域，并判断f（x）的单调性；
（2）解不等式f﹣1（x2﹣2）＞f（x）．
解：（1）为使函数有意义，需满足a﹣a x＞0，即a x＜a，又a＞1，∴x＜1，即函数定义域为（﹣∞，1）．又由＜log a a=1，∴f（x）＜1，∴函数的值域为（﹣∞，1）．
设x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=＞log a1=0，即f（x1）＞f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，1）上是减函数．
（2）设y=，则a y=a﹣a x，∴a x=a﹣a y，∴x=．
∴f（x）=的反函数为f﹣1（x）=（x＜1）．
由f﹣1（x2﹣2）＞f（x），得f（x2﹣2）＞f（x），
∴解得﹣1＜x＜1．故所求不等式的解为{x|﹣1＜x＜1}．
9．设f（x）=ln（|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3）（m∈R）
（Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）若当1，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．
解：（I）由题设知：|x﹣1|+|x﹣2|﹣3＞0，
∴①，或②，或③．
解①可得x＞5，解②可得x∈?，解③可得x＜0．
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集，求得函数的定义域为（﹣∞，0）∪（5，+∞）．
（II）不等式f（x）≥0 即|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3≥0，即m≥．
∵1，∴m≥==1+，即m≥1+．
由于函数y=1+在[1，]上是增函数，故当x=1时，y 取得最小值为2；
当x=时，y 取得最大值为5，由题意可得，m大于或等于y的最大值5，故m的取值范围是[5，+∞）．10．设函数f（x）=lg，其中a∈R，m是给定的正整数，且m≥2．如果不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，则实数a的取值范围是a．
解：不等式f（x）＞（x﹣1）lgm，即lg＞lgm x﹣1，
∵常用对数的底10＞1，∴原不等式可化为1x+2x+3x+…+（m﹣1）x+m x a＞m x，
移项得（1﹣a）m x＜1x+2x+3x+…+（m﹣1）x，
因为m是正整数，所以两边都除以m x，得1﹣a＜（）x+（）x+（）x+…+（）x，…（*）
不等式f（x）＞（x﹣1）lgm在区间[1，+∞）上有解，即（*）式的右边的最大值大于1﹣a
∵g（x）=（）x+（）x+（）x+…+（）x在[1，+∞）上是一个减函数
∴当x=1时，g（x）的最大值为+++…+=×=
因此1﹣a＜，得实数a的取值范围是a＞，结合m≥2得a
数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。
指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数
函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1)
x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x
2.2指数函数与对数函数的应用 目标认知：学习目标： 能够熟练运用指数函数与对数函数的性质，解决指数函数与对数函数的综合问题． 学习重点： 运用函数有关理论，解决综合问题． 学习难点： 指数函数与对数函数综合应用． 典型例题：例1．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则( ) A．B．2C．D．4 【解读】设，函数在区间上的最大值与最小值分别为 ，，它们的差为，∴，，选D．例2．函数的反函数的定义域为( ) A．B．(1，9]C．(0，1)D． 【解读】函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(1，9]， ∴选B． 例3．若，则下列结论正确的是( ) A．B．C． D． 【解读】D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确． 例4．函数的值域为 A．B．C．D．
答案：A 例5．若函数是函数的反函数，且，则 ( ) A．B．C．D． 答案：A 【解读】函数的反函数是，又，即 ， 所以，a=2，故，选A． 例6．设，，，则 A．B．C．D． 答案：A 【解读】∵，∴ ∴，∴． 例7．设则________ 答案：． 【解读】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算． 例8．已知函数．若，a＜b且，则的取值范围是 A．B．C．D． 答案：C 【解读1】因为，所以，所以a=b(舍去)，或，所以
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令， 由“对勾”函数的性质知函数在上为减函数， 所以，即a+b的取值范围是． 【解读2】由0＜a＜b，且得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题， ，过点(1，1)时z最小为2， ∴C 例9．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是 A．B．C． D． 答案：A 【解读】的零点为，的零点为， 的零点为，的零点为． 现在我们来估算的零点，因为，， 所以的零点， 又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 只有的零点适合，故选A．
与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.
三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.
高中数学例题：对数函数性质的综合应用 例．（1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2 ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题. ()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数， 即要求22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0?≥. 【答案】（1）1a >；（2）1a ≤；（3） 132 ． 【解析】 （1）2lg(2)y x x a =++的定义域为R ， ∴220x x a ++>恒成立，∴440a ?=-<，∴1a >． （2）2lg(2)y x x a =++的值域为R ， ∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ?=-≥，∴1a ≤． （3）由题意，问题可等价转化为不等式22log 0a x x -<的解集为10,2?? ??? ，记2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只
需2C 过点1124?? ???，，∴021a <<，即满足102a <<，且2211 log ()22a =即可，解得132 a =． 【总结升华】如果函数()f x 的定义域为某个区间D ，则函数()f x 在这个区间D 的任何子集内部都有意义；如果函数()f x 在区间E 上有意义，而()f x 的定义域为D ，则必有E D ?． 举一反三： 【变式1】 已知函数2()lg(21)f x ax x =++. (1)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）a>1；（2）0≤a ≤1． 【解析】(1) ()f x 的定义域为R ，即：关于x 的不等式2210ax x ++>的解集为R ， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R ； 当a ≠0时，有???<-=?>0 440a a ? a>1.∴ a 的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R ，即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数? a=0或? ??≥-=?>0440a a ?0≤a ≤1， ∴ a 的取值范围为0≤a ≤1.
《对数函数的应用》导学案 教学目标：①掌握对数函数的性质。②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。 教学重点与难点：对数函数的性质的应用。 教学过程设计： ⒈复习提问：对数函数的概念及性质。 ⒉开始正课 1 比较数的大小 例 1 比较下列各组数的大小。 ⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1) ⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл 师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？ 生：这两个对数底相等。 师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？ 生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。 师：对，请叙述一下这道题的解题过程。 生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0 y=logax单 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数 y=logax单调递 增，所以loga5.1 一、指数的性质 （一）整数指数幂 1．整数指数幂概念： 43 421Λa n n a a a a 个???= )(*∈N n ()0 10a a =≠ 2．整数指数幂的运算性质：（1）(),m n m n a a a m n Z +?=∈ （2） ()(),n m mn a a m n Z =∈ （3）()()n n n ab a b n Z =?∈ 其中m n m n m n a a a a a --÷=?=， ()1n n n n n n a a a b a b b b --??=?=?= ??? ． 3．a 的n 次方根的概念 一般地，如果一个数的n 次方等于a ( )* ∈>N n n ,1，那么这个数叫做a 的n 次方根， 即： 若a x n =，则x 叫做a 的n 次方根， ()* ∈>N n n ,1 例如：27的3次方根3273=， 27-的3次方根3273-=-， 32的5次方根2325=， 32-的5次方根2325-=-． 说明：①若n 是奇数，则a 的n 次方根记作n a ； 若0>a 则0>n a ，若o a <则0 对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式， 形象显示了函数的性质。为研究它的数量关 系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一. 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 (一) 图象的平移变换 y log 2(x 2)的图象 主：图象的平移变换： 1.水平平移：函数y f (x b) , (a 0)的图像，可由y f (x)的 2.竖直平移：函数y f (x) b , (b 0)的图像，可由y f (x)的图像向上(+)或向下 平移b 个单位而得到. (二) 图像的对称变换 例2.画出函数y log 2 x 2的图像，并根据图像指出它的单调区间 ? 解：当 x 0 时，函数 y log 2 x 2 满足 f ( x) log 2( x)2 log 2 x 2 f (x)，所以 2 2 y log 2 x 是偶函数，它的图象关于 y 轴对称。当x 0时，y log 2 x 2 log 2 x 。因 此先画出y 2 log 2 x ,( x 0)的图象为s ，再作出&关于 y 轴对称C 2, c i 与C 2构成函数y 由图象可以知道函数 y log 2 x 2 调增区间是(0,) 例1. 画出 函数 y log 2 (x 2) 与 y log 2(x 2)的图像，并指出两个图像 之间的关系? 解：函数y log 2 x 的图象如果向右平移 到y Iog 2(x 2)的图像；如果向左平移 /pl y i. J - ■- .— w ■■ *-------- 1 ------ ~ / - 1 ] ''5 / 3 = / ' 到y log 2(x 2)的图像，所以把y log 2(x 2) 图像向左(+)或向右 平移a 个单位而得到 2个单位就得 2个单位就得 的图象向右平移4个单位得到 教材：对数函数性质的应用 目的：加深对对数函数性质的理解与把握，并能够运用解决具体问题。 过程： 一、复习：对数函数的定义、图象、性质 二、例一 求下列反函数的定义域、值域： 1．4 12 1 2 - = --x y 11≤≤-x 1- 2．=y 解：∵2x R 从而3．=y 51< 由①：01<<-x 由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x 当10<= 02 .0log 11.0log 1 .02 .0>= ∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0> 例三 已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = 试比较)()(x g x f 和的大小。 解：4 3log )()(x x g x f x =- 1? 当341431>??????>>x x x 或 ?? ? ??< 2? 当 3 414 3= =x x 即时 )()(x g x f = 3? 0?>x ?< 对数函数的单调性及其性质 一、相关内容 1、当0 2、选择题 1) 若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．122lg x x x >> B ．122lg x x x >> C ．122lg x x x >> D ．1 2lg 2x x x >> 2) 若b a ,是任意实数,且b a >，则（ ） A 22b a > B 1-b a D b a ??? ??0 B ．a 1－a >1 C ．log a (1－a )<0 D ．(1－a )2>a 2 6) 设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 7) 已知log 12b 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 1、指数函数、对数函数的图像和性质： a 1 0 a 1 图 象 （ 1）定义域： 性 （ 2）值域： 质 （ 3）过定点： （ 4）在 ______上是 ________函数． （ 4）在 ______上是 ________函数． 2、指数函数与对数函数的互化： y a x x l o g a y ( a 0,a 1 ) 【基础练习】 、若 9 x 1 ，则 x= ( ) 1 3 A. 1 B. 1 C.2 D.1 2 2 2 2、若函数 h( x) lg( x x 2 1) ， h( 1) 1.62 ，则 h( 1) （ ） x 2 A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3 若 log ( x a) log a 2 log x 有解，则 a 的取值范围是 （ ） A. 0 a 1或 a 1 B. a 1 C. a 1 或 1 a D. a 1 4、某工厂某设备价值 50 万元，且每年的综合损耗是 3%，若一直销售不下去，经过多少年其价值降低为 36 万元。（精确到 1 年） 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术， 则该工厂的用水量是 5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减 少 10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为 2.5%，按复利计算，若本金为 30000 元，设存入 x 期后的本金和利息为 y 元． （ 1）写出 y 随 x 变化的函数； （ 2）若使本利和为存入时的 1.5 倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在 0 摄氏度的冰箱中，保鲜时间是 192 小时，而在 22 摄氏度的厨房中则是 42 小时． （1）写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数关系式； （2）利用（ 1）中的结论，指出温度在 30 摄氏度到 16 摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b %，则 n 年后这批设备的价值为（） C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n A、 na (1-b%) B、a (1- nb %) 2、方程 2 x x2 2 的实数解的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10% 的变化，设该放射性物质原来的质量为 a 克．（1）写出它的剩余量 y 随时间 x 变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 2、指数函数与对数函数的互化： x y a =?y x a l o g =(1,0≠>a a ) 【基础练习】 1、若3 19=-x ，则x= ( ) A.21 B.2 1- C.2 D.1 2、若函数)1lg(2)(22+++=x x x x h ，62.1)1(=-h ，则=-)1(h （ ） A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3若x a a x πππlog log )(log 2+=+有解，则a 的取值范围是 （ ） A.110-<<a C.011<<->a a 或 D. 1 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术，则该工厂的用水量是5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减少10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为2.5%，按复利计算，若本金为30000元，设存入x期后的本金和利息为y元． （1）写出y随x变化的函数； （2）若使本利和为存入时的1.5倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在0摄氏度的冰箱中，保鲜时间是192小时，而在22摄氏度的厨房中则是42小时． （1）写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数关系式； （2）利用（1）中的结论，指出温度在30摄氏度到16摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n年后这批设备的价值为（） A、na (1-b%) B、a (1- nb %) C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n 2、方程2 -+=） 2x x A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10%的变化，设该放射性物质原来的质量为a克．（1）写出它的剩余量y随时间x变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 对数函数性质及其应用 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 对数函数性质及其应用 学习目标： 1.掌握对数函数的单调性. 2.掌握比较同底对数大小的方法. 3.掌握比较不同底对数大小的方法. 4.培养学生数学应用意识.培养学生数形结合、分类讨论的数学思想; 学习重点：利用对数函数单调性比较同底对数大小. 学习难点：不同底数的对数比较大小. 学法指导: 自学辅导法 首先使学生明确本节重点就是利用对数函数单调性比较同底对数大小，而对数函数的单调性对底数分a＞1和0＜a ＜1两种情况，学生应能根据题目的具体形式确定所要考查的对数函数；如果题 目中含有字母，即对数底数不确定，则应该分两种情形讨论. 其次，对于不同底数的对数大小的比较，应插入中间数，转化为两组同底数的对数大小的比较，从而使问题得以解决. 学习过程 一、巩固旧知 上一节，大家学习了对数函数的图象和性质，明确了对数函数的单调性，即： 当a＞1时，y=logax在（0,+∞）上是增函数； 当0＜a＜1时，y=logax在（0，+∞）上是减函数. 这一节，我们主要学习对数函数单调性的应用. 探求之一： 二、例题讲解 ［例1］比较下列各组数中两个值的大小： , 分析：此题主要利用对数函数的单调性比较两个同底数的对数值大小. 三、课堂练习 2、, 3、,(a＞0,a≠1) 总结： 比较两个同底对数值的大小时: １.观察底数是大于1还是小于1（a>1时为增函数 0 1 探求之二： 你能比较log3∏和的大小 方法一解：log3∏>log33=1=log22> 方法二解：log3∏>log31=0=log21> 四、小结 本节课我们学习了比较两个对数大小的方法： 1、若比较两个同底对数值的大小时，需借助于对数函数的单调性 特别的若底数不确定，那就要对底数进行分类讨论即0 1 2、若比较两个不同底对数的大小时，需借助于中间量 第四章 对数运算与对数函数 §3 对数函数 课时3 指数函数与对数函数的综合应用 知识点1 利用指数、对数函数的性质比较大小 1.☉%*@*93@16%☉(2020·上海建平中学高一期中考试)若0 课 题 指数函数与对数函数综合运用 教学目标 熟练掌握指数、对数函数的定义、图像、性质等基本知识，在此基础上加强对其涉及到的问题的解答和理解。 重点、难点 重点：掌握指数函数、对数函数定义、图像和性质。 难点：结合函数定义域值域等知识解答综合问题。 考点及考试要求 指数函数：掌握指数的图像、定义域、值域，熟练运用各个知识的转换。 对数函数：掌握对数的图像、定义域、值域，熟练运用各个知识的转换，可以和指数综合解题。 教学内容 知识点：指数函数与对数函数 1.对数的概念 如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。 即指数式与对数式的互化：log b a a N b N =?= 2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。 自然对数：通常将以无理数 2.71828e =???为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。 3.对数的性质及对数恒等式、换底公式 （1）对数恒等式：①log N a a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a = (01,0)a a N >≠>且 （2）换底公式：log a N = log log b b N a （3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a = ③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ??=log a d 4.对数的运算性质 如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么 （1）log ()a MN = ； （2）log a M N = ； （3）log n a M = ； （4）log n a m M = 。 对数函数综合应用 一、单选题(共10道，每道10分) 1.函数上为减函数，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 2.已知定义在上的偶函数，在时，，若，则a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：奇偶性与单调性的综合 3.已知函数，对任意的，且时，满足 ，则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 4.若函数满足对任意的，当时， ，则实数a的取值范围是( ) A.a＞1 B. C.0 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 6.设函数，给出下列命题： ①函数的值域是； ②函数有最小值； ③当a=0时，函数为偶函数； ④若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4．正确的命题是( ) A.①③④ B.②③ C.②④ D.①③ 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 7.已知函数，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：对数函数的单调性 8.设函数，则不等式的解集是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 对数函数综合应用 1．已知函数f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x （1）求当x＜0时，求函数f（x）的表达式 （2）若g（x）=2x（x∈R）集合A={x|f（x）≥2}，B={x|g（x）≥16或}，试判断集合A 和B的关系． 2．已知函数f（x）=log a（x+2）， （1）若函数f（x）的图象经过M（7，2）点求a的值； （2）若a=3，x∈（1，25]，求值域，并解关于x的不等式f（x）≤﹣1． （3）函数f（x）的反函数过定点P求P点坐标． 3．（1）设不等式2（）2+9+9≤0时，求的最大值和最 小值． （2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足的实数，其中0＜a＜b ①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b﹣b2＜3． 4．已知函数f（x）=log a（x+1），g（x）=log a（1﹣x）（a＞0，且a≠1），且h（x）=f（x）+g（x）．（1）求函数h（x）的定义域； （2）判断函数h（x）的奇偶性，并说明理由； （3）求不等式f（x）＞g（x）的解集． 5．已知函数f（x）=． （1）当m=7时，求函数f（x）的定义域； （2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围． 6．已知函数f（x）=log4（ax2+2x+3） （1）若f（1）=1，求f（x）的单调区间； （2）是否存在实数a，使f（x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由． 7．已知函数， 对定义域内的任意x都有f（2﹣x）+f（2+x）=0成立． （1）求实数m的值； （2）当x∈（b，a）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求实数a，b的值． 8．已知函数f（x）=（a＞1）． （1）求f（x）的定义域、值域，并判断f（x）的单调性； （2）解不等式f﹣1（x2﹣2）＞f（x）． 9．设f（x）=ln（|x﹣1|+m|x﹣2|﹣3）（m∈R） （Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域； 课题：对数函数的性质及其应用 教学目的：巩固对数函数性质，掌握比较同底数对数大小的方法；并能够运用解决具体问题。 教学重点：性质的应用 教学难点：性质的应用. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教学方法：四环递进教学法 教学过程： 一、旧知回顾： 1、指对数互化关系： 2、对数函数的性质： 二、巩固运用： 1、比较下列各组数中两个值的大小： ⑴5.8log ,4.3log 22； ⑵7.2log ,8.1log 3.03.0； ⑶1,0(9.5log ,1.5log ≠>a a a a 小结：两个同底数的对数比较大小的一般步骤： ①确定所要考查的对数函数； ②根据对数底数判断对数函数增减性； ③比较真数大小，然后利用对数函数的增减性判断两对数值的大小 ④分类讨论的思想：对数函数的单调性取决于对数的底数是大于1还是小 于1。而已知条件并未指明，因此需要对底数a 进行讨论，体现了分类讨论的思想，要逐步掌握 2、比较下列各组中两个值的大小： ⑴6log 7log 76与； ⑵.0log log 23与 小结：引入中间变量比较大小：利用对数函数的增减性比较两个对数的大小，当不能直接比较时，经常在两个对数中间插入1或0等，间接比较两个对数的 3、设有一种放射性物质经过衰变，一年后残留量为原来的84%，设每年的衰变速度不变，问该物质经过多少年后的残留量为原来的50%？（结果保留整数） 4、碳-14的半衰期为5730年，古董市场有一幅达.芬奇（1452-1519）的绘画，测得其碳-14的含量为原来的94.1%，根据这个信息，请你从时间上判断这幅画是不是赝品？ 三、延伸拓展： 1、比较大小 ⑴3.0log 7.0log 4.03.0与，⑵8.0log 7.0log 6.04.3与，⑶1.0log 1.0log 2.03.0与 高中数学对数函数及其应用练习题(含答案) 数学必修1(苏教版) 2.3对数函数 2．3.2对数函数及其应用 前面我们提到了放射性物质经过的时间x(年)与物质剩留量y 的关系式x＝log0.84y，对于每一个给定的y值，都有唯一的x值与之对应，因此，把它可看做x是y的函数，那么得到的这个新函数叫什么函数呢？ 基础巩固 1．函数f(x)＝11－x＋lg(x＋1)的定义域是() A．(－，－1) B．(1，＋) C．(－1,1)(1，＋) D．(－，＋) 解析：x＋10，1－xx－1且x1. 答案：C 2．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为() A．(0，＋) B．[0，＋) C．[1，＋) D．(1，＋) 解析：∵3x0，3x＋11，故log2(3x＋1)0. 答案：A 3．设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则() A．ab B．ba C．ac D．bc 解析：∵0log531，(log53)2log53log541，而log451. 答案：D 4．函数y＝1＋ln(x－1)(x1)的反函数是() A．y＝ex＋1－1(x B．y＝ex－1＋1(x0) C．y＝ex＋1－1(xR) D．y＝ex－1＋1(xR) 解析：y＝1＋ln(x－1)ln(x－1)＝y－1x－1＝ey－1，将x，y 互换得y＝ex－1＋1(xR)． 答案：D 5．若loga3logb30，则() A．0b B．a1 C．0a D．b1 答案：D 6．(2019上海卷)函数y＝log2(x＋2)的定义域是________．解析：x＋2x－2. 答案：(－2，＋) 7．若函数y＝f(2x)的定义域为[－1,1]，则函数y＝f(log2x)的定义域为________． 解析：∵x[－1,1]，122.即f(x)的定义域为12，2，由12log2x2可得：24. 答案：[2，4] 8．f(x)＝loga(x＋1)(a0且a1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 等于________． 课时检测22 函数的应用举例 一 选择题 1. 据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿，比上年增长7.3%”如果“十·五”期间（2001--2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为 A. 115000亿元 B. 120000亿元 C. 127000亿元 D. 135000亿元 2. 某企业生产一种产品，在1999年由于原材料价格上涨，使每年产品的成本比1998增加了20%，而在2000年和2001年，该企业实行了技术改造，在这两年间产品的成本每年均比上一年减少了10%，那么该企业的产品成本2001年与1998年比较 A. 增加了2.8% B. 增加了8% C. 减少了2.8% D. 减少了4% 3. 某彩电的价格在去年6月降价10%，后经10、11、12三个月连续三次回升到6月降价前的水平，则这三次价格平均回升率是 A. 31019 - B. 3101%9??- ? ??? C. 7109 D. 7101%9??- ? ??? 4. 今年年初小王到银行存入现金m 万元，计划存储五年后取出留给儿子上大学用，如果银行年利率为a ，且以复利方式计息，则到期后得到利息为 A. 5a 万元 B. 5(1)m a +万元 C. 4 (1)m a +万元 D. ()511m a ??+-?? 万元 二填空题 5.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，剩留的物质约是原来的4 5 ，那么经 过_______年后，剩留的物质是原来的 64 125 。 6.某种商品因技术含量不高，在市场上占有份额逐渐降低，由第一季度的市场占有率10%，到第二季度的占有率为8%，照此速度发展，到第四个季度，其市场占有率为________. 三解答题 7.某公司拟投资100万元，有两种获利的可能可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息，哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？ 8.有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲乙两家家电商场均有销售。甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买二台单价为760元，依次类推，每多买一台单价均减少20元，但每台最低不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售，某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少？ 9.某电脑公司计划出售“星光牌”电脑，该电脑的市价是2800元/台，成本价按市价扣去25%，为扩大营业，公司决定一新价，以便按新价八折优惠销售后仍可获得售价25%的利润，问： （1）新价是多少？ （2）为使公司今年按新价让利销售后的获利总额不低于50000元，则该公司在今年内至少应销售这种电脑多少台？指数函数和对数函数复习有详细知识点和习题详解
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