第一章 结晶学基础
例 题
1-1 作图阐明表示晶面符号的Miller 指数。
解： 图1-2的晶体，晶面XYZ 在三个结晶轴上的截距依次为OX 、OY 、OZ 。已知轴率为a ： b ：
c 。该晶面在结晶轴上的截距系数为2a 、3b 、6c 。根据Miller 指数的含意则：
h ：k ：l ＝OX a ：OY b ：OZ c ＝a a 2：b b 3：c c
3＝3：2：1
因此，该晶面的晶面符号为（321）。
图1-2 例题1-1附图
1-2 在面心立方和体心立方中，最密排的平面的Miller 符号是什么？
解：在面心立方堆积中，有（100）、（010）和（001）三个面的对角线所所构成的平面是最密排的面。
因此，它的Miller 符号为（111）。
在体心立方堆积中，由（001）面的对角线和c 轴构成的平面是最密排的面。因此，它的Miller 符号
为（110）。(答案是否唯一？)
1-3 金属铝为面心立方结构，晶胞参数为0.4049nm 求d （200）和d （220）各为多少？（d （200）为（200）面
之间的距离）。
解：d （200）为（200）面之间的距离，根据米氏符号的定义d （200）应为21
d （100）。因为铝是立方结构，因
此d （100）即为晶胞参数0.4049nm 。所以d （200）＝0.2025 nm 。 同理，(100))200(d 21
d ＝。在立方体中，d （100） 为（001）面对角线的1/2 。根据几何关系可得：
)100(d 2 ＝0.4049nm
所以d （100）＝0.2863nm ，则(220)d d （220）＝0.1432nm 。
1-4 为何等轴晶系有原始、面心、体心格子，而没有单面心格子？
解：如果等轴晶系总存在单面心格子，那么等轴晶系所特有的4L 3对称要素将不再存在。因此单面心
格子不符合等轴晶系的对称特点，它不能存在于等轴晶系中。
1-5 图示为面心正交格子去掉上下单面心后的结点排列情况，该图在三维空间无限重复，能否形成一
空间点阵？
解：不能形成一空间点阵。根据空间点阵的基本特征可知，相互平行的行列，其结点间距必定相等。
但图中AB 行列平行于ab 行列，它们的结点间距显然不同。因此，这个图在三维空间无限重复，并不能构成一空间点阵。
图1-3 例题1-5附图 图1-4 例题1-6附图
1-6 以NaCl 晶胞为例，说明面心立方紧密堆积总的八面体和四面体空隙的位置和数量。
解：在NaCl 晶体结构中，Cl -为面心立方紧密堆积，Na +
处于八面体空隙位置中。以NaCl 晶胞体中心
的Na +为例，它处于6个Cl -的八面体中心。晶胞中其它Na +的位置也就是八面体中心。因此，NaCl 晶胞中全部八面体的位置和数量为：体中心一个，每条棱的中心皆为八面体空隙位置。但属于单位晶胞的仅为
1/4。位于棱中心的八面体空隙位置共有12个，因此，属于单位晶胞的这种空隙为12×41＝3。加上体中心一个，单位晶胞中共有4个八面体空隙。
四面体空隙处于单位晶胞的体对角线方向，属于单位晶胞的共有8个四面体空隙。
NaCl 晶胞中，作为立方紧密堆积的Cl -离子，在单位晶胞总共有4个。因此，这种紧密堆积中，质点
数与八面体空隙之比为1：1，与四面体空隙树之比为1：2。
1-7 有一个AB 型面心立方结构的晶体，密度为8.94g/cm 3，计算其晶胞参数和原子间距。
解：设该晶体的原子相对质量为M ，晶胞体积为V 。在面心立方紧密堆积晶胞中，原子数为n ＝4。据
此可求得晶胞体积：
3
2304743nm 6.02108.94nM
M
V M N ???＝＝＝（）ρ
晶胞参数：
1/3
9.06nm a M 0（） 在面心立方密堆中原子半径与晶格参数之间有如下关系：
0a ＝
式中r 为原子半径。设原子间距为d ＝2r 。
则
1/3d 2n m M ＝（＝6.4（） 1-8 铝为一立方结构，a 0＝0.4049nm ，在一个厚度为0.005cm ，面积为25cm 2的薄片内有多少单位晶
胞？该薄片质量为0.3378g ，问该薄片有多少个铝原子构成？单位晶胞中有几个原子？
解：薄片得体积为：
V f ＝25×0.005＝0.125cm 3＝0.125×1021nm 3
单位晶胞的体积为：
V 0＝（0.4049）3＝0.06638nm 3
薄片内的单位晶胞数为：
n ＝V f / V 0＝0.125×1021/0.06638＝1.88×1021个
此外，可按质量计算薄片的Al 原子数。
已知薄片质量为0.3378g ，Al 原子相对质量为26.98。
按阿弗加德罗常数可得薄片中Al 原子数：
2321230.33780.3378 6.0210/26.987.531026.98
6.0210n ????＝＝＝个
根据薄片中得原子数和单位晶胞数可求得单位晶胞中的铝原子数n Al 为：
n Al ＝7.53×1021/1.88×1021
＝4
因此Al 的单位晶胞由4个原子构成，可知金属铝为面心立方结构。
1-9 对于具有面心立方结构和体心立方结构的同质多晶原子晶体，根据面心立方结构的原子半径，计
算转变成体心立方结构时的原子半径，假设晶体的体积不变。
解：面心立方结构的晶胞体积为：
333111V a ＝＝（）＝ 体心立方结构的晶胞体积为：
333
222264/V a ＝＝（）＝
面心立方和体心立方晶体的密度分别为： ρ1＝n 1/V 1；ρ2＝n 2/V 2
已知晶型转变时体积不变，也即密度不变。
则 ρ1＝ρ2
n 1/V 1＝n 2/V 2
式中面心立方结构n 1＝4，体心立方结构n 2＝2，因此：
322
1/321
10.972r r r ＝＝
1-10 用晶体场理论解释FeCr 2O 4和Fe 3O 4分别为正型结构和反型尖晶石结构的原因。 解：在Fe[Cr 2]O 4晶体结构中，由表查得Cr 3+的八面体择位能OSPE 值为195.53J/mol ，而Fe 2+的八面
体择位能OSPE 值仅为16.33J/mol 。两者相比，Cr 3+的OSPE 值远大于Fe 2+的 OSPE 值，Cr 3+必然优先占有八面体空隙而成为正型尖晶石结构。
在Fe 3O 4晶体中，按尖晶石结构中得离子分布关系可写成Fe 3+[Fe 2+Fe 3+]O 4。由表查得，Fe 2+
的OSPE
值为16.33J/mol ，而Fe 3+的OSPE 值等于0。因而，Fe 2+的OSPE 值大于Fe 3+的OSPE 值，Fe 2+占有八面体空隙，而Fe 3+只能占有四面体空隙和余下的一半八面体空隙，而成为反型尖晶石结构。
习 题
1-1 解释下面名词：行列、面网、空间格子。
1-2 何谓对称变换（对称操作）、对称要素、对称中心、对称面、对称轴、倒转轴。
1-3 列表说明晶族、晶系的划分原则。
1-4 简述晶体的均一性、异向性、对称性及三者之间的相互关系。
1-5四方晶系晶体上某一晶面在X 、Y 、Z 轴上的截距分别为2a 、3b 、6c 。给出该晶面的米氏符号。
1-6 说明在等轴晶系晶体中，（111）、（111）、（222）、（111）、（110）晶面之间的集合关系。
1-7 何谓晶棱符号，在等轴晶系中，晶面符号何晶棱符号中的“0”，在概念上有何不同？
1-8 在立方和四方晶体结构中，给出[110]方向。
1-9 举例说明，如何判断晶体理想形中的哪些晶面是属于同一单形。
1-10 为何在单斜晶系的布拉维格子中，有C 心格子而没有B 心格子。
1-11 试从立方面心格子中划分出一个三方菱面体格子，并给出其晶格常数。
1-12 名词解释：晶胞、晶胞参数、大晶胞。
1-13 什么是晶体的微观对称要素，其主要特点是什么？
1-14 具有热-电性质的晶体必须没有对称中心和极轴，问属于空间群C 2和C 2/c 的晶体何者可能呈现热
-电效应。
1-15 何谓离子的有效半径，举例说明它对晶体结构的影响。
1-16 阐述周期表中金属离子半径的变化规律。
1-17 临界半径比的定义是：密堆的负离子恰好相互接触，并与中心的正离子也恰好接触的条件下，正
离子半径与负离子半径之比；即出现一种配位形式时，正负离子半径比的下限。计算下列各类配位时的临界半径比：（a ）立方体配位，（b ）八面体配位，（c ）四面体配位，（d ）三角形配位。
1-18 （a ）半径为R 的球，相互接触排列成体心立方结构，计算能填入其空隙中的最大球半径r 。体
心立方结构中，最大间隙的坐标为（0、21、41
）
（b ）若为面心立方结构，求其八面体和四面体间隙的半径及其中心位置的坐标。
（),,(225.0),,(41.0291.0212121212121321R r R r R r ===；；）
1-19 根据原子半径r 和晶胞参数，计算面心立方，六方，体心立方晶胞的体积。
（
3333964224216r V r V r V bcc hep fcc ===；；） 1-20 画出MgO （NaCl 型结构）的（110）及（111）晶面上的原子排布图，示出其密排方向，指出四
面体及八面体空隙位置。
1-21 某一体心立方结构中，（110）面间的距离为0.203nm 求（a ）晶胞尺寸；（b ）原子的半径。 （0.287nm ；0.124nm ）
1-22 Pb 是面心立方结构，原子半径为0.1750nm ，求它的单位晶胞体积。（0.1212nm 3）
1-23 Al 为面心立方结构，晶胞参数为0.4049nm ，求d （220），d （200），d （111）各为多少？
（0.1431nm ；0.2024nm ；0.2337）
1-24 Cu 为面心立方结构，求在（100）、（110）、（111）面内每cm 2的原子数。
（15.3×1012个/mm2，10.8×1012个/mm2，17.7×1012个/mm2）1-25 Na、K、Cu、Ag的晶胞参数分别为0.424nm、0.462nm、0.361nm、0.408nm Na和K为体心立方结构，Cu、Ag为面心立方结构，求他们各自的原子半径。
（0.183nm；0.195nm；0.127nm；0.144nm）1-26 Au为面心立方结构，晶格参数为a0＝0.4078nm，求（a）在一片0.001×1×2cm的薄片中有多少个单位晶胞。（b）在该薄片中有多少金原子数。
（0.02949×1021个晶胞；0.11796×1021个原子）1-27纯铁在912℃由体心立方结构转变成面心立方，晶体体积随之减少1.06％，根据面心立方结构的原子半径，计算体心立方结构的原子半径。（r bcc＝0.975r fcc）
第二章晶体学基础 1、晶体结构与空间点阵 2、晶向、晶面及指标 3、晶面间距 4、晶面族 5、倒易空间以及倒易点阵
教学目标 通过本章学习，掌握表达晶体周期性结构与它的点阵的各种概念；掌握晶面指数与晶向指数的标定，晶面间距与晶面夹角的表达；倒易点阵。 学习要点 ⑴⑵⑶(4) 晶体结构周期性与点阵。 7个晶系和14种Bravias空间格子。 晶胞，晶带，晶向，晶面，晶面间距，晶面夹角。倒易点阵 学时安排 学时----- 2学时
2.1、晶体结构与空间点阵 2.1.1空间点阵（Space Lattice） 晶体结构的几何特征是其结构基元（原子、离子、分子或其它原子集团）一定周期性的排列。通常将结构基元看成一个相应的几何点，而不考虑实际物质内容。 这样就可以将晶体结构抽象成一组无限多个作周期性排列的几何点。这种从晶体结构抽象出来的，描述结构基元空间分布周期性的几何点，称为晶体的空间点阵。几何点为阵点。
结构基元 在晶体的点阵结构中每个阵点所代表的具体内容，包括原子或分子的种类和数量及其在空间按一定方式排列的结构，称为晶体的结构基元。结构基元是指重复周期中的具体内容。 点阵点 点阵点是代表结构基元在空间重复排列方式的抽象的点。如果在晶体点阵中各点阵点位置上，按同一种方式安置结构基元，就得整个晶体的结构。 所以可简单地将晶体结构示意表示为： 晶体结构= 点阵+ 结构基元
2.1.2 基本矢量与晶胞 一个结点在空间三 个方向上，以a , b , c 重 复出现即可建立空间点 阵。重复周期的矢量a , b , c 称为点阵的基本矢 量。 由基本矢量构成的 平行六面体称为点阵的 单位晶胞。
第一章 结晶学基础 例 题 1-1 作图阐明表示晶面符号的Miller 指数。 解： 图1-2的晶体，晶面XYZ 在三个结晶轴上的截距依次为OX 、OY 、OZ 。已知轴率为a ： b ： c 。该晶面在结晶轴上的截距系数为2a 、3b 、6c 。根据Miller 指数的含意则： h ：k ：l ＝OX a ：OY b ：OZ c ＝a a 2：b b 3：c c 3＝3：2：1 因此，该晶面的晶面符号为（321）。 图1-2 例题1-1附图 1-2 在面心立方和体心立方中，最密排的平面的Miller 符号是什么？ 解：在面心立方堆积中，有（100）、（010）和（001）三个面的对角线所所构成的平面是最密排的面。 因此，它的Miller 符号为（111）。 在体心立方堆积中，由（001）面的对角线和c 轴构成的平面是最密排的面。因此，它的Miller 符号 为（110）。(答案是否唯一？) 1-3 金属铝为面心立方结构，晶胞参数为0.4049nm 求d （200）和d （220）各为多少？（d （200）为（200）面 之间的距离）。 解：d （200）为（200）面之间的距离，根据米氏符号的定义d （200）应为21 d （100）。因为铝是立方结构，因 此d （100）即为晶胞参数0.4049nm 。所以d （200）＝0.2025 nm 。 同理，(100))200(d 21 d ＝。在立方体中，d （100） 为（001）面对角线的1/2 。根据几何关系可得： )100(d 2 ＝0.4049nm 所以d （100）＝0.2863nm ，则(220)d d （220）＝0.1432nm 。 1-4 为何等轴晶系有原始、面心、体心格子，而没有单面心格子？ 解：如果等轴晶系总存在单面心格子，那么等轴晶系所特有的4L 3对称要素将不再存在。因此单面心
第一章晶体学基础 注：本教案中相关图片均可点击放大显示。 第一节晶体和点阵的定义 1.1 晶体及其基本性质 晶体的定义 ?晶体是原子或者分子规则排列的固体； ?晶体是微观结构具有周期性和一定对称性的固体； ?晶体是可以抽象出点阵结构的固体; ?在准晶出现以后，国际晶体学联合会在 1992年将晶体的定义改为：“晶体是能够给出明锐衍射的固体。” 下图为晶体的电子衍射花样，其中图a为一般晶体的电子衍射花样，而图b则是一种具有沿[111]p方向具有六倍周期的有序钙钛矿的电子衍射花样，由这些衍射花样可以看出来，无论是无序还是有序晶体，其倒空间都具有平移周期对称的特点（相应的正空间也应该具有平移对称的特点）。事实上在准晶发现以前，平移周期对称被当作晶体在正空间中的一个本质的特点，晶体学中的点群和空间群就是以晶体的平移对称为基础推导出来的。 晶体的分类 从成健角度来看，晶体可以分成： ?离子晶体； ?原子晶体； ?分子晶体； ?金属晶体。
面角守衡定律：（由丹麦的斯丹诺于1669年提出） 在相同的热力学条件下，同一物质的各晶体之间比较，相应晶面的大小、形状和个数可以不同，但相应晶面间的夹角不变，一组特定的夹角构成这种物质所有晶体的共同特征。 下图是自然界存在的具有规则外形的几种常见的晶体，分别是方解石、萤石、食盐和石英，它们的面角关系完全符合面角守衡定律。事实上，自然界中的晶体，当其形成条件比较接近平衡条件时，它们往往倾向于长成与其晶体对称性相应的外形。 非晶体的定义 非晶体是指组成物质的分子（或原子、离子）不呈空间有规则周期性排列的固体。它没有一定规则的外形，如玻璃、松香、石蜡等。它的物理性质在各个方向上是相同的，叫“各向同性”。它没有固定的熔点。所以有人把非晶体叫做“过冷液体”或“流动性很小的液体”。 准晶的定义 准晶是准周期晶体的简称，它是一种无平移周期性但有位置序的晶体；也有人将其定义为具有非公度周期平移对称的晶体。准晶可以具有一般晶体禁止出现的五次、八次、十次和十二次旋转对称，但非公度周期平移对称才是其本质特点。下图中为准晶的电子衍