八年级上数学培优练习（一）: 三角形（1）
1、△ABC 的内角为∠A ，∠B ，∠C ，且∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠A+∠C ，则∠1、∠
2、∠3中( )
A ．至少有一个锐角 ；
B ．一定都是钝角；
C ．至少有两个钝角；
D ．可以有两个直角； 2、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=130°，将它
向右平移到△DEF 的位置，使AB=BE ，若BD 和AF 相交于点M ，则∠BMF 等于( )
A ．130°
B ．142.5°
C ．150°
D ．1553.如上图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ， 点
E 是AD 中点，点
F 是CD 上一点，若8=?ABE S ，
3=?DEF S ，则___________=?BEF S
4.△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点N 和M (N 比M 更靠近B)，使得NM=AM 且∠MAC=∠BAN ，则∠CAN=( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°
5.周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( ) A ．23P m P <≤ B ．23P m P << C ．23P m P ≤< D ．2
3P m P ≤≤
6．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( ) A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
7．等腰三角形的周长为24cm ，腰长为xcm ，则x 的取值范围是________．
8．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是( )
A ．14
3< 1 < 1< 9．已知三角形的三边的长a 、b 、c 都是整数，且a ≤b 10．如果三角形的一个外角大于这个三角形的某两个内角的2倍，那么这个三角形一定是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．直角或钝角三角形 11.如下图，在△ABC 中，BC>AC ，∠A=60°，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若PC 平分∠ACB ，PD 平分∠ADE ，则∠DPC=___________ B A F 12.如上图，在直角三角形ABC的两直角边AC、BC上分别作正方形ACDE和CBFG，连接DG，连接AF交BC于W，连接GW。若AC=14，BC=28。则△AGW的面积为______； 13、如图19，D、E分别是边AC的两个四等分点，试在△ABC内找一点O，分别在边AB、BC上找一点F、G，使得OD、OE、OF、OG把△ABC分成面积相等的四部分。 14．如图5—25，豫东有四个村庄A、B、C、D．现在要建造一个水塔P．请回答水塔P应建在何位置， 才能使它到4村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和理由． 15．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠A的度数． 16.如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与 CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小．(“希 望杯”邀请赛试题) 17.不等边△ABC的两条高长度分别为4和12，若第三条高的长也是整数，试求它的长．(美国数学邀请赛试题) 18.现有长为150cm的铁丝，要截成n(n>2)小段，每段的长为不小于l㎝的整数．如果其中任意3小段都不能拼成三角形，试求n的最大值，此时有几种方法将该铁丝截成满足条件的n 段．(第17届江苏省竞赛题) ． 八年级上数学培优练习（二）: 三角形（2） 1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是．(2003年河南省竞赛题) 2．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，则a的取值范围是． 3．如图，在△ABC中，两条角平分线CD、BE相交于点F，∠A＝60°，则∠DFE＝度． 4．如图，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝α，∠DBE＝β，则∠DCE＝．(用α、β表示)．(山东省竞赛题) 5．以1995的质因数为边长的三角形共有( ) A．4个B．7个C．13个D．60个 6．△ABC的内角A、B、C满足3A>5B，3C≤2B，则这个三角形是( ) A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定 7．如图，△ABC内有三个点D、E、F，分别以A、B、C、D、E、F这六个点为顶点画三角形，如果每个三角形的顶点都不在另一个三角形的内部，那么，这些三角形的所有内角之和为( ) A．360°B．900°C．1260°D．1440°(重庆市竞赛题) 8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∠C的平分线与∠B的外角平分线交于E点，连结AE，则∠AEB是( ) A．50°B．45°C．40°D．35°(山东省竞赛题) 9．如图，已知∠3＝∠1+∠2，求证：∠A+∠B+∠C+∠D＝180°． 10.已知三角形的三条边长均为整数，其中有一条边长是4，但它不是最短边，这样的三角形 共有个． 11．三角形的三个内角分别为α、β、γ，且α≥β≥γ，α=2γ，则β的取值范围． 12．已知△ABC的周长是12，三边为a、b、c，若b 是最大边，则b的取值范围是．13．如图，E和D分别在△ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分∠ACB和∠AED，若∠B＝70°，∠D=40°，则∠F的大小是． 14．如图，已知射线ox与射线oy互相垂直，B，A分别为ox、oy上一动点，∠ABx、∠BAy 的平分线交于C．问：B、A在ox、oy上运动过程中，∠C的度数是否改变?若不改变，求出其值；若改变，说明理由． 15．将长度为2n(n为自然数，且n≥4)的一根铅丝折成各边的长均为整数的三角形，记(a，b， c)为三边的长，且满足a≤b≤c的一个三角形． (1)就n＝4，5，6的情况，分别写出所有满足题意的(a，b，c)； (2)有人根据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n(n为自然数且n≥4)时，对应(a，b，c)的个数一定是n－3，事实上，这是一个不正确的猜想，请写出n＝12时的所有(a，b，c)，并回答(a，b，c)的个数； (3)试将n=12时所有满足题意的(a，b，c)，按照至少两种不同的标准进行分类． (河北省初中数学创新与知识应用竞赛试题) 八年级上数学培优练习（三）：全等三角形（1）1．如图，AD、A′D′分别是锐角△ABC和△A′B′C′中BC、B′C边上的高，且AB= A′B′，AD＝A′D′，若使△ABC≌△A′B′C′，请你补充条件(只需要填写一个你认为适当的条件) ．(黑龙江省中考题) 2．如图，在△ABD和△ACE中，有下列4个论断：①AB=AC；②AD＝AC；③∠B=∠C；④BD=CE，请以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个真命题(用序号○○○→○的形式写出) ．(海南省中考题) ． 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形． 4．如图，DA⊥AB，EA⊥AC，AB＝AD，AC＝AE，BE和CD相交于O，则∠DOE的度数是． 5．如图，已知OA=OB，OC=OD，下列结论中：①∠A=∠B；(②DE＝CE；③连OE，则OE平分∠O，正确的是( ) A．①②B．②③C．①③D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠1＝∠2＝∠3，则DE的长等于( ) A．DC B．BC C．AB D．AE+AC (2003年武汉市选拔赛试题) 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么图中全等的三角形有( ) A．5对B．6对C．7对D．8对 8．如图，把△A BC绕点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，已知∠A′DC=90°，求∠A 的度数．(贵州省中考题) 9．如图，在△ABE和△ACD中，给出以下4个论断：①AB=AC；②AD＝AE；③AM＝AN；④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中3个论断为题设，填人下面的“已知”栏中，一个论断为结 论，填人下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程．(荆 州市中考题) 已知： 求证： 10已知：如图，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE=900，试以图中标 有字母的点为端点，连结两条线段，如果你所连结的两条线段满足相等、垂直或平行关系中的一种，那么请你把它写出来并证明． 11.若两个三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等，试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．( “五羊杯”竞赛题改编题) 12．(1)已知△ABC和△A′B′C′中，AB= A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠B′A′C′=100°， 求证：△ABC≌△A′B′C′； (2)上问中，若将条件改为AB＝A′B′，BC= B′C′，∠BAC＝∠∠B′A′C′=70°， O E A B D C 结论是否成立?为什么? 13.如图，BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上， BP ＝A C ，点Q 在CE 上，CQ=AB 求证：(1)AP=AQ ；(2)AP ⊥AQ ． 14．如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．(武汉市选拔赛试题) 八年级上数学培优练习（四）：全等三角形（2） 1.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是 （ ） A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等 2．如图14.△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ， AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（ ） A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 3．在ABC ?中，BC AC =，且?=∠90ACB ，点D 是AC 上一点，BD AE ⊥，交 BD 的延长线于点E ，且BD AE 2 1 = ，则_________=∠ABD . 4.在△ABC 中，AC ＝5，中线AD ＝4，则边AB 的取值范围是( ) A ．1 5、如图，∠E=∠F=90°，∠B=∠C ，AE ＝AF ，给出下列结论：①∠1=∠2； ②BE=CF ；③△ACN ≌△ABM ；④CD=DN ，其中正确的结论是 (把你认为所有正确结论的序号填上)． (广州市中考题) 6.如图，已知四边形纸片ABCD 中，AD ∥ BC ，将∠ABC 、∠DAB 分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC 上一点E ，你能获得哪些结论? 7如图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=o ，35D ∠=o ，则AEC ∠等于（ ） A ．60o B ．50o C ．45o D ．30o 8已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等 的是【 】(A)两条边长分别为4，5，它们的夹角为β (B)两个角是β，它们的夹边为4 A E D O (C)三条边长分别是4，5，5 (D)两条边长是5，一个角是β 9. 附图为八个全等的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的 各点位置，判断△ACD 与下列哪一个三角形全等？（ ） A ．△ACF B ．△ADE C ．△ABC D ．△BCF 10．如图，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交B C 延长线于M ，求证：∠M= 2 1 （∠ACB －∠B ）(天津市竞赛 11．在△ABC 中，高AD 和BE 交于H 点，且BH ＝AC ，则∠ABC ＝ ． 12．如图，已知AE 平分∠BAC ，BE ⊥AE 于E ，ED ∥AC ，∠BAE ＝36°，那么∠BED ．(河南省竞赛题) 13．如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交A C 于点E ，给出3个论断：①DE=FE ；②AE ＝CE ；③FC ∥AB ，以其中一个论断为结论，其余两个论断为条件，可作出3个命题，其中正确命题的个数是 ．(武汉市选拔赛试题) 14．如图，AD ∥BC ，∠1＝∠2，∠3＝∠4， AD=4，BC=2，那么AB= ． 15．如图，在△ABC 中，AD 是∠A 的外角 平分线，P 是AD 上异于A 的任意一点，设PB ＝m ，PC ＝n ，AB=c ，AC=b ，则（m+n ）与(b+c)大小关系是( ) A ．m+n> b+c B ． m+n C ．m+n= b+c D ．不能确定 16．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB>AD ，下列结论中正确的是( ) A ．A B －AD>CB －CD B ．AB －AD ＝CB —CD C ．AB —AD D D ．AB －AD 与CB —CD 的大小关系不确定． (江苏省竞赛题) 17．考查下列命题( ) (1) 全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； (2) 两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等； (3) 两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等； (4)两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等． 其中正确命题的个数有( ) A ．4个 B ．3个 C ． 2个 D ．1个 18．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，过C 作CE ⊥AB 于E ，并且AE=2 1 (AB+AD)。 求∠ABC+∠ADC 的度数． (上海市竞赛题) 19．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥DF ，试判断BE+CF 与EF 的大小关系，并证明你的结论． 20．如图，已知AB=CD=AE ＝BC+DE=2，∠ABC=∠AED=90°，求五边形ABCDC 的面积．(江苏省竞赛题) 八年级上数学培优练习（五）：三角形与全等三角形（1） 1．如图，用硬纸片剪一个长为16cm 、宽为12cm. 对角线为20cm 的长方形，再沿对角线把它分成两个三角形，用这两个三角形可拼出各种三角形和四边形来，其中周长最大的是 ㎝，周长最小的 是 cm ．(选6《荚国中小学数学课程标准》) 2．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= ． 3．如图，ABCD 是凸四边形，AB=2，BC=4，CD=7，则线段AD 的取值范围是 4．凸n 边形中有且仅有两个内角为钝角，则n 的最大值是( ) A ．4 B ．5 C ． 6 D ．7 ( “希望杯”邀请赛试题) 5．一个凸多边形的每一内角都等于140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是( ) A ．9条 B ．8条 C ．7条 D ． 6条 6.△ABC 和△A ’B ’C ’中,①AB=A ’B ’②BC=B ’C ’③AC=A ’C ’④ ∠A=∠A ’,⑤∠B=∠B ’ ⑥ ∠C=∠C ’ 则不能证出△ABC ≌△A ’B ’C ’的条件是( ) A 、①②③ B 、①②⑤ C 、①②④ D 、②⑤⑥ 7.如图，在.面直角坐标系中，已知点A （4-，0），B （0，3），对AOB ?连续作旋转变换，依次得到三角形（1），（2），（3），（4），…，那么第（7）个三角形的直角顶点的坐标是_______________，第（2013）个三角形的直角顶点坐标是____________________ 8 如图△ABC 中已知D 、E 、F 分别为BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC ＝2Mcm ，则S 阴影的值 为：（ ） A 、2Mcm 61 B 、2Mcm 51 C 、2Mcm 41 D 、2Mcm 3 1 9一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（ ） A ． 5 B ． 5或6 C ． 5或7 D ． 5或6或7 10.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ，∠ABC=90°，∠BCD ＝150°，求∠BAD 的度数． (北京市竞赛题) 11.如图所示，在△ABC 中，∠B=∠C ，∠A DE =∠AED ， ?=∠60BAD ，求∠EDC 的度数； 12.用长度相等的100根火柴杆，摆放成一个三角形，使最大边的长度是最小边长度的3倍，求满足此条件的每个三角形的各边所用火柴杆的根数．(大原市竞赛题) 13.如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1）若BD 平分∠ABC ，求证CE=12 BD ； （2）若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范 围；若不变，求出它的度数，并说明理由。 E D C B A 14(1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE. (2) 如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=a,其中a为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由. (3) 拓展与应用：如图(3)，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F 为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状. 八年级上数学培优练习（六）：三角形与全等三角形（1）1．如图8-1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC， 且∠B = 30°，∠C = 100°，如图8-2.则下列说法正确的是( ) A．点M在AB上B．点M在BC的中点处 C．点M在BC上，且距点B较近，距点C较远 D．点M在BC上，且距点C较近，距点B较远 2．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为（） A．30°B．36°C． 38°D． 45° 第2题第3题第4题第5题 3如图，△ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=22°，则∠BDC等于（） A.44°B．60°C．67°D．77° 4.如图，在△ABC和△DEB中，已知AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（） A． BC=EC，∠B=∠E B．BC=EC，AC=DC C． BC=DC，∠A=∠D D．∠B=∠E,,∠A=∠D （第14题图） A B C m （图1）（图2） （图3） m A B C D E B F C m 5.如图，在△ABC 中，点 D 、 E 、 F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且BD=BE ，CD=CF ，∠A =70°， 那么∠FDE 等于（ ） A ．55° B ．45° C ．45° D ．35° 6.有一个边长为4m 的正六边形客厅，用边长为50cm 的正三角形瓷砖铺满，则需要这种瓷砖( ) A ．216块 B ．288块 C ．384块 D ．512块( “希望杯”邀请赛试题) 7，在一个n 边形中，除了一个内角外，其余(n 一1)个内角的和为2750°，则这个内角的度数为( ) A ．130° D ．140° C ．105° D ．120° 8.在一个多边形中，除了两个内角外，其余内角之和为2002°，则这个多边形的边数是 ． 9.在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是( ) A ．0 B ．1 C ．3 D ．5 (全国初中数学竞赛题) 10./如图，在△ABC 中，D AC AB ,=点在AB 上，AC DE ⊥于E ,BC EF ⊥于F .若?=∠140BDE ， 则DEF ∠等于（ ）. A.55° B.60° C.65° D.70° 11．如图，凸四边形有 个；∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ．(重庆市竞赛题) 12．如图，延长凸五边形A 1A 2A 3A 4A 5的各边相交得到5个角，∠B 1，∠B 2，∠B 3，∠B 4，∠B 5，它们的和等于 ；若延长凸n 边形(n ≥5)的各边相交，则得到的n 个角的和等于 ．( “希望杯”邀请赛试题) 13.周长为30，各边长互不相等且都是整数的三角形共有多少个?(2003年河南省竞赛题) 14.在△ABC 中，已知∠A=50°，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是直线 BE 和CF 的交点，求∠ABE 、∠ACF 和∠BHC 的度数 15.如图1，l 1，l 2，l 3，l 4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A ，B ，C ，D 都在这些平行线上．过点A 作AF ⊥l 3于点F ，交l 2于点H ，过点C 作CE ⊥l 2于点E ，交l 3于点G ．（1）求证：△ADF ≌△CBE ； （2）求正方形ABCD 的面积； （第10题） （3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3 表示正方形ABCD的面积S． 16，如图（1），Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F（1）求证：CE=CF． （2）将图（1）中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′ 的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图 （2）所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请 证明你的结论． 八年级上数学培优练习（七）：轴对称 1.下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同?请指出这个图形，并简述你的理由．答：图形；理由是：．(吉林省中考题) 2.如图，△ABC的周长为30cm，把△ABC的边AC对折， 使顶点C和点A重合，折痕交BC边于点D，交AC边于 点E，连接AD，若AE=4cm，则△ABD的周长是（） A．22cm B．20 cm C．18cm D．15c 2(B' 1( A' G H F E D C B A 3.如图所示，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF， 若∠EFC′＝125°，那么∠ABE的度数为（） A．15°B．20°C．25°D．30° B C A D E 4.如图，将六边形 ABCDEF 沿直线GH折叠，使点A、B落在六边形ABCDEF的内面，则下列结论一定正确的是（） A. ∠1+∠2=900°-2( ∠C+∠D+∠E+∠F) B. ∠1+∠2=1080°-2( ∠C+∠D+∠E+∠F) C.∠1+∠2=720°-2( ∠C+∠D+∠E+∠F) D. ∠1+∠2=360°-2( ∠C+∠D+∠E+∠F) 5.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E 在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为度． 6..附图（①）为一张三角形ABC纸片，P点在BC上．今将A折至P时，出现折线BD，其中D点在AC上，如图（②）所示．若△ABC的面积为80，△DBC的面积为50，则BP与PC的长度比为何？（）A．3：2 B．5：3 C．8：5 D．13：8 7..如图，矩形ABCD中，3,4 AB BC ==，AC=5,点E是BC边上一点，连接AE，把B ∠沿AE折叠，使点B落在点'B处，当△' CEB为直角三角形时，BE的长为 (第8题图) （第9题图） 8.如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（） A．7cm B．10cm C．12cm D．22cm 9.如图，△ABC中，AC=BC=5，∠ACB=80°，O为△AB C中一点，∠OAB=10°，∠OBA=30°，则线段AO 的长是．( “希望杯”邀请赛试题) 10.如图，直线a与直线b相交。∠1=60°，点P在∠1内（不在直线a、b上）。小明用下面的方法作点P 关于的对称点：先以a为对称轴作点P关于a的对称点，再以b为对称轴作点 1 p关于b的对称点 2 p,然 后再以a为对称轴作点 2 p关于a的对称点 3 p，以b为对称轴作点 3 p关于b的对称点 4 p，。。。。，若 n p与P 重合,则n的最小值是（） A.5 B.6 C.7 D.8 .P n m )1 D C B A 11.如图，在△ABC中，∠ABC＝46°,D是边BC上的一点，DC=AB, ∠DAB＝21°.试确定∠CAD的度数 12.如图，凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，且AC ⊥BD ，已知OA ＞OC ，OB ＞~OD ，比较BC+AD 与AB+CD 的大小。(“祖冲之杯”邀请赛试题) 13．如图l 已知：△ABD 和△CBD 关于直线BD 对称(点A 的对称点是点C)，点E 、F 分别是线段BC 和线段BD 上的点，且点F 在线段EC 的垂直平分线上，连接AF 、AE ，AE 交BD 于点G ． 求证：∠EAF=∠ABD ； 八年级上数学培优练习（八）：等腰三角形的性质 1． 如图1.△ABC 中，AB ＝AC ，∠A=40°，BP=CE ，BD=CP ，则∠DPF= ． F E C B A E D C A B 图1 图2 图3 2．如图2，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝AE ，BC ＝BF ，则∠ECF ＝( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．不确定 3．如图5，O 为等边三角形ABC 内一点，BD ＝DA ，BE ＝AB ，∠DBE ＝∠DBC ，则∠BED 的度数是 ． 4．如图4，AA ′、BB ′分别是∠EAO 、∠DBC 的平分线，若AA ′=BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为 ． E D P C B A B' C D B A A' E G F E D C B A D C B A 图4 图5 图6 5.如图5，在△ABC 中，∠BAC=120°，AD ⊥BC 于D ，且AB+BD ＝DC ，则∠C 的大小是( ) ． A ．20° B ．25° C ．30° D ．45° 6.如图6，在等腰直角△ABC 中，AD 为斜边上的高，以D 为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E 、F ，连结EF 与AD 相交于G ，则∠AED 与∠AGF 的关系为( ) （“学习报）公开赛试题） A ．∠AED>∠AGF B ．∠AED ＝∠AGF C ．∠AED<∠AGF D ．不能确定 7.如图AOB 是一钢架，且∠AOB=10°，为使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ……添加 的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管 根． (山东省聊城市中考题) A E F D C B 8.如图，在△ABC 中，已知∠A=90°，AB=AC ，D 为AC 上一点，AE ⊥BD 于E ，延长AE 交BC 于F ，问： 当点D 满足什么条件时，∠ADB ＝∠CDF ，请说明理由．(安徽省竞赛题改编题) 9.周长为100，边长为整数的等腰三角形共有 种．( “华杯赛”试题) 10.如图，若AB=AC ，BG ＝BH ，AK=KG ，则∠BAC 的度数为（ ) A ．30° D ．32° C 36° D ．40°(武汉市选拔赛试题) 11．如图，在Rt △ABC 中，已知∠ACB=90°，AC=BC ，D 为DC 的中点，CE ⊥AD 于E ，BF ∥AC 交CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．(河南省中考题) F B C A E D 12.如图，在△ABC 中，已知∠C ＝60°，AC>BC ，又△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC (1)证明：△C ′BD ≌△B ′DC ；(2)证明：△AC ′D ≌△DB ′A ； (3)对△ABC 、△ABC ′、△BCA ′、△CAB ′，从面积大小关系上，你能得出什么结论? (江苏省竞赛题) 13．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，且过△ABC 某一顶点的直线可将△ABC 分成两个等腰三角形，试求厶ABC 各内角的度数．(广州市中考题) 14．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，O 为△ABC 内一点，且∠OBC=10°，∠OCA=20°，求∠BAO 的度数． (天津市竞赛题) O A C B E M G D C F A B 15.如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD=AE ，AF ⊥BE 交BC 于点F ，过F 作FG ⊥CD 交BE 延长线 于G ，求证：BG=AF+FG ． (重庆市竞赛题) 八年级上数学培优练习（九）：等腰三角形的判定 1．如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线相交于O 点．作MN ∥BC ，EF ∥AB ，GH ∥AC ，BC ＝a ，AC=b ，AB ＝c ，则△GMO 周长+△ENO 的周长－△FHO 的周长 ． 2．如图，△ABC 中，AB=AC ，∠B=36°，D 、E 是BC 上两点，使∠ADE=∠AED=2∠BAD ，则图中等腰三 角形共有 个． 3．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AB+BD=AC ，则∠D ：∠C 的值= ．（“五羊杯”竞赛题） 4．如图，四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于E 点，若AC 平分∠DAB ，且AB=AE ，AC=AD ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②BC=DE ；③∠DBC= 2 1 ∠DAB ；④△ABE 是等边三角形．请写出正确结论的序号 ．(把你认为正确结论的序号都填上) (2002午天津市中考题) 5．如图，在△ABC 中，∠BAC=106°，EF 、MN 分别是AB 、AC 的中垂线，E 、M 在BC 上，则∠EAM 等于( ) A ．58° B ．32° C ．36° D ．34° 6．如图，在△ABC 中，∠B ＝2∠C ，则AC 与2AB 之间的关系是( ) A ．AC>2A B B ．A C ＝2AB C ．AC ≤2AB D ．AC<2AB (山东省竞赛题) 7．等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于( ) A ．30° B ．30°或150°C ． 120°或150°D ．30°或120°或150° (“希望杯”邀请赛试题) 8．在锐角△ABC 中，三个内角的度数都是质数，则这样的三角形( ) A ．只有一个且为等腰三角形 B ．至少有两个且都为等腰三角形 C ．只有一个但不是等腰三角形 D ．至少有两个，其中有非等腰三角形 9．如图，在Rt △ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，O 为BC 的中点． (1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系． (2)如果点M 、N 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保持AN=BM ，请判断△OMN 的形状，并证明你的结论． (广东省中考题) 10．如图，已知在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，且BE=AC ，延长BE 交 AC 于F ，求证：AF ＝EF ． 11．如图，已知等边三角形ABC ，在AB 上取点D ，在AC 上取点E ，使得AD=AE ，作等边三角形PCD ，QAE 和RAB ，求证：P 、Q 、R 是等边三角形的三个顶点． 12．在△ABC 中，AB=AC ，高线AD= 2 1 BC ，AE 为∠BAC 的平分线，则∠CAD 的度数为 (北京市竞 赛题) 13．如图，△ABC 中，AB=AC ，BC=BD=ED=EA ，则∠A= ． 14．如图，四边形ABCD 中，AE 、AF 分别是BC ，CD 的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°，则∠ABC= ，∠ADC= ． (天津市竞赛题) 15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为 度． (江苏省竞赛题) 16．在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△PAB 、△PBC 、△PAC 都是等腰三角形，具有这样性质的点P 有( ) A ．1个 B ．4个 C ．7个 D ．10个 17．如图，在五边形ABCDE 中，∠A=∠B=120°，EA=AB=BC=21DC=2 1 DE ，则∠D ＝（ ） A ．30° B ．450° C ． 60° D ．67．5° 18．如图，在△ABC 中，∠BAC=120°，P 是△ABC 内一点，则( ) A ．PA+PB+PC C ．PA+PB+PC=AB+AC D ．PA+PB+PC 与AB+AC 的大小关系不确定，与P 点位置有关 19．如图，在△ABC 内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P 、Q 分别在BC 、CA 上，并且AP 、BQ 分别为∠BAC 、 ∠AB C 的角平分线．求证：BQ+AQ=AB+BP ．(2002年全国初中数学竞赛矗) 20，如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC>60°，∠ABD=60°，且∠ADB=90°一2 1 ∠BDC ，求证：AC=BD+DC 。(天津市竞赛题) 八年级上数学培优练习（九）：等腰三角形综合 1. 如图，已知在ABC ?中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，且 AB OM //，AC ON //，若6=CB ，则OMN ?的周长是（ ） A 、3 B 、6 C 、9 D 、12 A A F G 八年级数学培优练习题及答案大全 1．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=?14，?AC=19，则MN的长为． A． B．2.C．D．3.2.如图，在周长为20cm的□ABCD 中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE 的周长为 4cm 6cm8cm 10cm AE O B C A F M DQ 3题 o B C N 3、如图，在平行四边形 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45，且 AE+AF=ABCD的周长是 4、如图，已知正方形纸片ABCD，M，N分别是AD，BC 的中点，把BC向上翻折，使点C恰好落在MN上的Ｆ点处，BQ为折痕，则∠FBQ＝ A 0° B 5° C 0° D 15° 5、如图所示,在正方形ABCD中,点E、F、G、H均在其内部，且DE＝EF＝FG＝GH＝HB＝2,∠E=∠F=∠G=∠H=60°,则正方形ABCD的边长为 A. B.2 C. D.32 6、如图是一块长、宽、高分别是6cm、4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从顶点A出发，沿长方体的表面爬到和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路线的长是． 7、已知一组数据10，10，x，8的众数与它的平均数相等，则这组数的中位数是． 8、如图OA、AB分别表示甲、乙两名同学运动的一次函数图象，图中s和t分别表示运动 路程和时间，已知甲的速度比乙快，下列说法：①射线BA表示甲的路程与时间的函数关系；②甲的速度比乙快1.5米/秒；③甲让乙先跑12米；④秒钟后，甲超过了乙，其中正确的说法是。 人教版八年级数学上册期末试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．（1）如图1，在Rt△ABC 中，AB AC =，D、E是斜边BC上两动点，且 ∠DAE=45°，将△ABE绕点A逆时针旋转90后，得到△AFC，连接DF . （1）试说明：△AED≌△AFD； （2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF的度数和DE 的长； （3）如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE2的长. 【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】 试题分析：()1由ABE AFC ≌，得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠， 45, EAD ∠=45, BAE CAD ∴∠+∠=45, CAF CAD ∴∠+∠=即 45. DAF ∠=EAD DAF ∠=∠，从而得到. AED AFD ≌ ()2由△AED AFD ≌得到ED FD =，再证明90 DCF ∠=?，利用勾股定理即可得出结论. ()3过点A 作AH BC ⊥于H,根据等腰三角形三线合一得， 1 4. 2 AH BH BC === 1 DH BH BD =-=或7, DH BH BD =+=求出AD的长，即可求得2 DE. 试题解析：()1ABE AFC ≌， AE AF =，BAE CAF ∠=∠， 45, EAD ∠=90, BAC ∠= 45, BAE CAD ∴∠+∠= 45, CAF CAD ∴∠+∠= 即45. DAF ∠= 在AED和AFD中，{ AF AE EAF DAE AD AD， = ∠=∠ = . AED AFD ∴≌ ()2AED AFD ≌， ED FD ∴=， 1 已知x 为实数，且13-x ＋14-x ＋15-x ＋…＋117-x 的值是一个确定的常数，则这个常数是 。 2如图，直线 13 3 +- =x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC=90°，如果在第二象限内有一点 ?? ? ??21,a P ，且△ABP 的面积与△ABC 的面积相等，a 的值是 ____________． 221 1图59 C B 3 如图59，△ABC 中阴影部分面积为_________． 4 函数 3|2|y x 的图象如图2所示,则点A 与B 的坐标分别是A ,B 5若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ） ，则22 2004b a +的值是 6 已知：a 、b 是正数，且a+b=22214a b ++的最小值是 7若n 满足（n-2004）2 +（2005-n ）2 =1,则（2005-n ）（n-2004）等于 8如图，在x 轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5．分别过这些点作x 轴的垂线与三条直线 y ax =，(1)y a x =+，(2)y a x =+相交，其中0a >．则图中阴影部分的面 积是 . 9若x=2- 2,则x 4 -3x 3 -4x 2 +10x-7=______________. 10已知：不论k 取什么实数，关于x 的方程16 32=--+bk x a kx （a 、b 是常数）的根总是x ＝1，则a==______________. 11线段 1 2 y x a =-+（1≤x ≤3，），当a 的值由-1增加到2时，该线段运动所经过的平面区域的面积 为_____________. 12如图，△ABC 中，∠Ａ=30°以BE 为边，将此三角形对折，其次，又以BA 为边，再一次对折，C 点落在P O C B A x y 第2题图 y x A O B 八年级上数学培优练习（一）: 三角形（1） 1、△ABC 的内角为∠A ，∠B ，∠C ，且∠1=∠A+∠B ，∠2=∠B+∠C ，∠3=∠A+∠C ，则∠1、∠ 2、∠3中( ) A ．至少有一个锐角 ； B ．一定都是钝角； C ．至少有两个钝角； D ．可以有两个直角； 2、如图，在等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=130°，将它 向右平移到△DEF 的位置，使AB=BE ，若BD 和AF 相交于点M ，则∠BMF 等于( ) A ．130° B ．142.5° C ．150° D ．155° 3.如上图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ， 点E 是AD 中点，点F 是CD 上一点，若8=?ABE S ， 3=?DEF S ，则___________=?BEF S 4.△ABC 中，AB=BC ，在BC 上取点N 和M (N 比M 更靠近B)，使得NM=AM 且∠MAC=∠BAN ，则∠CAN=( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75° 5.周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( ) A ．23P m P <≤ B ．23P m P << C ．23P m P ≤< D ．2 3P m P ≤≤ 6．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( ) A ．5 个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 7．等腰三角形的周长为24cm ，腰长为xcm ，则x 的取值范围是________． 8．不等边三角形中，如果有一条边长等于另外两条边长的平均值，那么，最大边上的高与最小边上的高的比值k 的取值范围是( ) A ．143< 数学八年级上册全册全套试卷（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，平面内有五个点，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画_____个三角形． 【答案】10 【解析】 【分析】 以平面内的五个点为顶点画三角形，根据三角形的定义，我们在平面中依次选取三个点画出图形即可解答. 【详解】 解：如图所示，以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形， 故答案为：10． 【点睛】 本题考查的是几何图形的个数，我们根据三角形的定义，在画图的时候要注意按照一定的顺序，保证不重复不遗漏. 2．如图，△AEF是直角三角形，∠AEF=900，B为AE上一点，BG⊥AE于点B，GF∥BE，且AD＝BD＝BF，∠BFG＝60０，则∠AFG的度数是___________。 【答案】20° 【解析】 根据平行线的性质，可知∠A=∠AFG，∠EBF=∠BFG＝60０，然后根据等腰三角形的性质，可知∠BDF=2∠A，∠A+∠AFB=3∠A=∠EBF，因此可得∠AFG=20°. 故答案为：20°. 3．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______． 【答案】30° 【解析】 【分析】 设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可. 【详解】 设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x， 由题意得，x＋2x＝90°， 解得x＝30°， 即此三角形中最小的角是30°. 故答案为：30°. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 4．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD＝__________. 【答案】119° 【解析】 【分析】 连接BD，构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数. 【详解】 如图所示，连接BD， ∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°， ∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°. 故答案为：119°. 【点睛】 本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键. 5．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_____． 分式培优练习题 分式 (一) 一 选择 1 下列运算正确的是（ ） A -40=1 B （-3）-1=3 1 C （-2）2=4 D （）-111 2 分式2 8,9,12z y x xy z x x z y -+-的最简公分母是（ ） A 722 B 108 C 72 D 962 3 用科学计数法表示的树-3.6×10-4写成小数是（ ） A 0.00036 B -0.0036 C -0.00036 D -36000 4 若分式652 2+--x x x 的值为0，则x 的值为（ ） A 2 B -2 C 2或-2 D 2或3 5计算?? ? ??-+÷??? ?? -+1111112x x 的结果是（ ） A 1 B 1 C x x 1+ D 1 1-x 6 工地调来72人参加挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，怎样调动劳动力才能使挖出的土能及时运走，解决此问题，可设派x 人挖土，其它的人运土，列方程 ①3172=-x x ②723x ③372 ④372=-x x 上述所列方程，正确的有（ ）个 A 1 B 2 C 3 D 4 7 在m a y x xy x x 1,3,3,21,21,12+++π中，分式的个数是（ ） A 2 B 3 C 4 D 5 8 若分式方程x a x a x +-=+-321有增根，则a 的值是（ ） A -1 B 0 C 1 D 2 9 若3,111--+=-b a a b b a b a 则的值是（ ） A -2 B 2 C 3 D -3 10 已知 k b a c c a b c b a =+=+=+，则直线2k 一定经过（ ） A 第1、2象限 B 第2、3象限 C 第3、4象限 D 第 1、4象限 二 填空 1 一组按规律排列的式子：()0,,,,4 11 38252≠--ab a b a b a b a b ，其中第7个式子是 八年级【几何模型三角形轴对称】试卷（培优篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难） 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是BC延长线上的一点，且BD＝DE．点G是线段BC的中点，连结AG，交BD于点F，过点D作DH⊥BC，垂足为H． （1）求证：△DCE为等腰三角形； （2）若∠CDE＝22.5°，DC＝2，求GH的长； （3）探究线段CE，GH的数量关系并用等式表示，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（22 ；（3）CE＝2GH，理由见解析. 【解析】【分析】 （1）根据题意可得∠CBD＝1 2 ∠ABC＝ 1 2 ∠ACB，，由BD=DE，可得∠DBC＝∠E＝ 1 2∠ACB，根据三角形的外角性质可得∠CDE＝ 1 2 ∠ACB＝∠E，可证△DCE为等腰三角 形； （2）根据题意可得CH=DH=1，△ABC是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质可得BG=GC，2+1，即可求GH的值； （3）CE=2GH，根据等腰三角形的性可得BG=GC，BH=HE，可得GH＝GC﹣HC＝GC﹣ （HE﹣CE）＝1 2 BC﹣ 1 2 BE+CE＝ 1 2 CE，即CE=2GH 【详解】 证明：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD＝1 2 ∠ABC＝ 1 2 ∠ACB， ∵BD＝DE， ∴∠DBC＝∠E＝1 2 ∠ACB， ∵∠ACB＝∠E+∠CDE， ∴∠CDE＝1 2 ∠ACB＝∠E， ∴CD＝CE， ∴△DCE是等腰三角形 （2） ∵∠CDE＝22.5°，CD＝CE2， ∴∠DCH＝45°，且DH⊥BC， ∴∠HDC＝∠DCH＝45° ∴DH＝CH， ∵DH2+CH2＝DC2＝2， ∴DH＝CH＝1， ∵∠ABC＝∠DCH＝45° ∴△ABC是等腰直角三角形， 又∵点G是BC中点 ∴AG⊥BC，AG＝GC＝BG， ∵BD＝DE，DH⊥BC ∴BH＝HE2+1 ∵BH＝BG+GH＝CG+GH＝CH+GH+GH2+1∴1+2GH2+1 ∴GH＝ 2 2 （3）CE＝2GH 理由如下：∵AB＝CA，点G是BC的中点，∴BG＝GC， ∵BD＝DE，DH⊥BC， ∴BH＝HE， ∵GH＝GC﹣HC＝GC﹣（HE﹣CE）＝1 2 BC﹣ 1 2 BE+CE＝ 1 2 CE， ∴CE＝2GH 【点睛】 本题是三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键. 初二数学培优题（一） 1．如图所示，已知△ABC中，点D为BC边上一点，∠1=∠2=∠3，AC=AE，（1）求证：△ABC≌△ADE； （2）若AE∥BC，且∠E=∠CAD，求∠C的度数． 【分析】（1）由∠1=∠2=∠3，可得∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，即∠BAC=∠DAE，又∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE，已知AC=AE，即可证得：△ABC≌△ADE； （2）由题意可得，∠ADB=∠ABD=4x，在△ABD中，可得x+4x+4x=180°，解答处即可； 【解答】解：（1）∵∠1=∠2=∠3， ∴∠1+∠DAC=∠DAC+∠2，（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）即∠BAC=∠DAE， 又∵∠1+∠B=∠ADE+∠3，则可得∠B=∠ADE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（AAS）； （2）∵AE∥BC， ∴∠E=∠3，∠DAE=∠ADB，∠2=∠C， 又∵∠3=∠2=∠1，令∠E=x， 则有：∠DAE=3x+x=4x=∠ADB， 又∵由（1）得AD=AB，∠E=∠C， ∴∠ABD=4x， ∴在△ABD中有：x+4x+4x=180°， ∴x=20°， ∴∠E=∠C=20°． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，判定三角形全等是证明线段或角相等的重要方式，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件． 2．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC． （1）证明：BC=DE； （2）若AC=12，CE经过点D，求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE，利用全等三角形的性质证明即可； （2）由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案； 【解答】（1）解：∵∠BAD=∠CAE=90°， ∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD， ∴∠BAC=∠EAD． 在△ABC和△ADE中， 图1 A B C D E P 八年级数学培优训练题 1. 如图，已知反比例函数y ＝ m x 的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B (1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标． 2． 如图1，把边长为2cm 的正方形沿图中虚线剪成四个全等的直角三角形．请你用这四个直角三角形分别拼成符合下列（1）、（2）、（3）要求的图形(每次拼成的图形必须全部用上这四个直角三角形，且这四个直角三角形互相没有重叠部分，也不留空隙)各一个，并按实际大小把你拼出的图形画在相应的方格纸内(方格纸内每个小方格是边长为1cm 的正方形)． 3．(12分)如图，在菱形ABCD 中，P 是AB 上的一个动点 (不与A 、B 重合)．连接OP 交对角线AC 于E 连接BE ． (1)证明：∠APD ＝∠CBE ；(6分) (2)若∠DAB ＝60o，试问P 点运动到什么位置时，△ADP 的面积等于菱形ABCD 面积的 1 4 ？为什么？(6分) (1)不是正方形的菱形 (2)不是正方形的矩形 (3)梯形 4．(7分)如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接BE 、DG ． (1)求证：BE ＝DG ； (2)图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由． 5．(7分)在直角坐标系中直接画出函数y ＝|x |的图象．若一次函数y ＝kx ＋b 的图象分别过 点A (－1，1)、B (2，2)，请你依据这两个函数的图象写出方程组???y ＝|x | y ＝kx ＋b 的解． 6．(8分)如图，反比例函数y ＝ m x (x ＞0)的图象与一次函数y ＝－ 1 2x ＋ 5 2 的图象交于A 、B 两点，点C 的坐标为(1， 1 2 )，连接AC ，AC ∥y 轴． (1)求反比例函数的解析式及点B 的坐标； (2)现有一个直角三角板，让它的直角顶点P 在反比例函数图象上A 、B 之间的部分滑动(不与A 、B 重合)，两直角边始终分别平行于x 轴、y 轴，且与线段AB 交于M 、N 两点，试判断P 点在滑动过程中△PMN 是否与△CBA 总相似？简要说明判断理由． 八年级数学上册三角形填空选择单元培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC ?的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点111,,A B C ，使111,,A B AB B C BC C A CA ===，顺次连接111,,A B C ，得到111A B C ?；第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222,,A B C ，使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =，顺次连接222,,A B C ，得到222A B C ?，…；按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过__________次操作. 【答案】4 【解析】 【分析】 连接111,,AC B A C B ，根据两个三角形等底同高可得 111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======从而得出第一次操作：11177A B C ABC S S ??==＜2020；同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ??===＜ 2020……直至第四次操作4443334 772401A B C A B C S S ??===＞2020，即可得出结论． 【详解】 解：连接111,,AC B A C B ∵111,,A B AB B C BC C A CA === 根据等底同高可得： 111111111,,C A B C AB ABC A B C A BC ABC B C A B CA ABC S S S S S S S S S ====== ∴111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ====== ∴第一次操作：11177A B C ABC S S ??==＜2020 数学八年级上册 全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，C 在直线BE 上，∠=?,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则 1A =_____?；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的 平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________?． 【答案】（2m ） （1024 m ） 【解析】 【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题． 【详解】 解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2 m ° ． 依此类推∠A 2=224m m ??=，∠A 3=328m m ??=，…，∠A 10=1021024 m m ?? =． 故答案为：()2m ；()1024 m ． 【点睛】 此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和． 2．如图，在△ABC 中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC =_______°. 【答案】65 【解析】 如图，∵AE 平分∠DAC ，CE 平分∠ACF ， ∴∠1= 12∠DAC ，∠2=1 2 ∠ACF ， ∴∠1+∠2=1 2 （∠DAC+∠ACF ）， 又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC ）+（180°-∠ACB ）=360°-（∠BAC+∠ACB ），且 ∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°， ∴∠1+∠2= 1 2 （360°-130°）=115°， ∴在△ACE 中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°. 3．如图，1BA 和1CA 分别是ABC ?的内角平分线和外角平分线，2BA 是1A BD ∠的角平分线， 2CA 是1A CD ∠的角平分线，3BA 是2A BD ∠的角平分线，3CA 是2A CD ∠的角平分线，若1A α∠=，则2018A ∠=_____________ 【答案】2017 2α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义可得∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的1 2 ，根据此规律即可得解． 【详解】 ∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线， ∴∠A 1BC= 12∠ABC ，∠A 1CD=1 2 ∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1， 八年级下册数学培优几 何题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 几何旋转 一．选择题（共3小题） 1．（武汉）如图，在菱形ABCD中，AB=BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论： ①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF． 其中正确的结论（） A ．只有①②B ． 只有①③C ． 只有②③D ． ①②③ 2．（广元）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则四边形AB1OD的周长是（） A ．B ． 2C ． 1+D ． 3 3．（德阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（a，0），B（0，b），如果将线段AB绕点B顺时针旋转90°至CB，那么点C的坐标是（） A ．（﹣b，b+a）B ． （﹣b，b﹣a）C ． （﹣a，b﹣a）D ． （b，b﹣a） 二．解答题（共27小题） 4．（南宁）已知点A（3，4），点B为直线x=﹣1上的动点，设B（﹣1，y）． （1）如图1，若点C（x，0）且﹣1＜x＜3，BC⊥AC，求y与x之间的函数关系式； （2）在（1）的条件下，y是否有最大值若有，请求出最大值；若没有，请说明理由； （3）如图2，当点B的坐标为（﹣1，1）时，在x轴上另取两点E，F，且EF=1．线段EF在x轴上平移，线段EF平移至何处时，四边形ABEF的周长最小求出此时点E的坐标． 5．（聊城）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）． （1）求直线AB的解析式； （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标． 6．（沈阳）已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为（0，24），经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为（18，6）． （1）求直线l1，l2的表达式； （2）点C为线段OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CD∥y轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF． ①设点C的纵坐标为a，求点D的坐标（用含a的代数式表示） ②若矩形CDEF的面积为60，请直接写出此时点C的坐标． 7．（佳木斯）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=12，点C的坐标为（﹣18，0）． （1）求点B的坐标； （2）若直线DE交梯形对角线BO于点D，交y轴于点E，且OE=4，OD=2BD，求直线DE的解析式； （3）若点P是（2）中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q，使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（漳州）如图，直线y=﹣2x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB绕点O逆时针方向旋转90°后得到△OCD． （1）填空：点C的坐标是（_________，_________），点D的坐标是（_________， _________）； （2）设直线CD与AB交于点M，求线段BM的长； （3）在y轴上是否存在点P，使得△BMP是等腰三角形若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（黑龙江）如图，直线AB与坐标轴分别交于点A、点B，且OA、OB的长分别为方程x2﹣6x+8=0的两个根（OA＜OB），点C在y轴上，且OA：AC=2：5，直线CD垂直于直线AB于点P，交x轴于点D． （1）求出点A、点B的坐标． 八年级数学上册全册全套试卷培优测试卷 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．已知,如图A 在x 轴负半轴上，B （0，-4），点E （-6,4）在射线BA 上， (1) 求证：点A 为BE 的中点 (2) 在y 轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F 的坐标. (3) 如图，点M 、N 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，MN=NB=MA ，点I 为△MON 的内角平分线的交点，AI 、BI 分别交y 轴正半轴、x 轴正半轴于P 、Q 两点, IH⊥ON 于H, 记△POQ 的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI. 【答案】（1）证明见解析；（2）22 (0,)7 F ；（3）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）过E 点作EG ⊥x 轴于G ，根据B 、E 点的坐标，可证明△AEG ≌△ABO ，从而根据全等三角形的性质得证； （2）过A 作AD⊥AE 交EF 延长线于D ，过D 作DK ⊥x 轴于K ，然后根据全等三角形的判定得到△AEG ≌△DAK ，进而求出D 点的坐标，然后设F 坐标为（0，y ），根据S 梯形EGKD =S 梯形 EGOF +S 梯形FOKD 可求出F 的坐标； （3）连接MI 、NI ，根据全等三角形的判定SAS 证得△MIN ≌△MIA ，从而得到∠MIN=∠MIA 和∠MIN=∠NIB ，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI ，作IS⊥OM 于S, 再次证明△HIP ≌△SIC 和△QIP ≌△QIC ，得到C △POQ 周长. 试题解析：（1）过E 点作EG⊥x 轴于G ， ∵B （0，-4），E （-6,4），∴OB=EG=4， 在△AEG 和△ABO 中， 菱形正方形 一．选择题（共16小题） ★★★1．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则图中阴影面积（△PEF和△PGH的面积和）等于（） A．7 B．8 C．12 D．14 ★★★2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，O是AD的中点，连接OB、OC，点E在线段BC上（点E不与点B、C重合），过点E作EM⊥OB于M，EN⊥OC 于N，则EM+EN的值为（） A．6 B．1.5 C．D． ★★★3．如图，O为矩形ABCD对角线的交点，AD=8cm，AB=6cm，将△ABO向右平移得到△DCE，则△ABO向右平移过程中扫过的面积是（） A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．60cm2 ★★★4．如图，线段AB的长为，点D在AB上，△ACD是边长为15的等 边三角形，过点D作与CD垂直的射线DP，过DP上一动点G（不与D重合）作矩形CDGH，记矩形CDGH的对角线交点为O，连接OB，则线段BO的最小值为（） A．B．15 C．D．30 ★★★5．如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x的值是（） A．1或9 B．3或5 C．4或6 D．3或6 ★★★6．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q 分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为（） A．2 B．C．2 D．3 ★★★7．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC 的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（） A．4.8 B．5 C．6 D．7.2 ★★★8．矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为（3，4），D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为（） 人教版八年级下册数学 第16章二次根式专项培优训练 一．选择题 1．已知x＝+1，y＝﹣1，则x2+2xy+y2的值为（） A．20 B．16 C．2D．4 2．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x≤1 B．x＜1 C．x＞1 D．x≥1 3．下列二次根式是最简二次根式的为（） A．B．C．D． 4．下列计算正确的是（） A．﹣＝ B．＝ C．＝ D．﹣＝6 5．已知﹣1＜a＜0，化简的结果为（） A．2a B．﹣2a C．﹣ D． 6．化简，结果是（） A．6x﹣6 B．﹣6x+6 C．﹣4 D．4 7．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简+|a+b|的结果为（） A．2a+b B．﹣2a﹣b C．b D．2a﹣b 8．要使有意义，x必须满足（） A．x≥﹣ B．x≤﹣ C．x为任何实数 D．x为非负数 9．若，，则x与y关系是（） A．xy＝1 B．x＞y C．x＜y D．x＝y 10．在数学课上，老师将一长方形纸片的长增加，宽增加，就成为了一个面积为192cm2的正方形，则原长方形纸片的面积为（） A．18cm2B．20cm2C．36cm2D．48cm2 二．填空题 11．已知x，y都是实数，且y＝+﹣2，则y x＝． 12．当1＜x＜2时，化简+＝．已 13．已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是． 14．知，．则代数式x2+y2﹣2xy的值为． 三．解答题 15．计算 （1）．（2）． 16．琪琪同学在作业本上做了这么一道题：“当a＝■时，试求a+的值”，其中■是被墨水弄污的，琪琪同学所求得的答案为． （1）请你计算当a＝5时，代数式a+的值； （2）是否存在数a，使得a+的值为； （3）请直接判断琪琪同学的答案是否正确． 17．已知a＝1+，b＝1﹣，求：（1）求a2﹣2a﹣1的值；（2）求a2﹣2ab+b2的值． 18．点A为数轴上的任意点，若将点A表示的数乘以﹣1，再把所得数对应的点向右平移2个单位长度，得到点A的对应点A'． （1）若点A表示的数是﹣2，则点A′表示的数x＝； （2）若点A′表示的数是+2，则点A表示的数y＝； （3）在（1），（2）的条件下，求代数式﹣（y+）的值． 19．人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦﹣秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝， 那么这个三角形的面积S＝．如图，在△ABC中，a＝8，b＝4，c＝6． （1）求△ABC的面积；（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，BC边上的高为h3，求h1+h2+h3的值． 如何做几何证明题 【知识精读】 1. 几何证明是平面几何中的一个重要问题，它对培养学生逻辑思维能力有着很大作用。几何证明有两种基本类型：一是平面图形的数量关系；二是有关平面图形的位置关系。这两类问题常常可以相互转化，如证明平行关系可转化为证明角等或角互补的问题。 2. 掌握分析、证明几何问题的常用方法： （1）综合法（由因导果），从已知条件出发，通过有关定义、定理、公理的应用，逐步向前推进，直到问题的解决； （2）分析法（执果索因）从命题的结论考虑，推敲使其成立需要具备的条件，然后再把所需的条件看成要证的结论继续推敲，如此逐步往上逆求，直到已知事实为止； （3）两头凑法：将分析与综合法合并使用，比较起来，分析法利于思考，综合法易于表达，因此，在实际思考问题时，可合并使用，灵活处理，以利于缩短题设与结论的距离，最后达到证明目的。 3. 掌握构造基本图形的方法：复杂的图形都是由基本图形组成的，因此要善于将复杂图形分解成基本图形。在更多时候需要构造基本图形，在构造基本图形时往往需要添加辅助线，以达到集中条件、转化问题的目的。 【分类解析】 1、证明线段相等或角相等 两条线段或两个角相等是平面几何证明中最基本也是最重要的一种相等关系。很多其它问题最后都可化归为此类问题来证。证明两条线段或两角相等最常用的方法是利用全等三角形的性质，其它如线段中垂线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等也经常用到。 例1. 已知：如图1所示，?ABC 中，∠=?===C AC BC AD DB AE CF 90，，，。 求证：DE ＝DF C F B A E D 图1 分析：由?ABC 是等腰直角三角形可知，∠=∠=?A B 45，由D 是AB 中点，可考虑连结CD ，易得CD AD =，∠=?DCF 45。从而不难发现??DCF DAE ? 证明：连结CD AC BC A B ACB AD DB CD BD AD DCB B A AE CF A DCB AD CD =∴∠=∠∠=?=∴==∠=∠=∠=∠=∠=90，，，， ∴?∴=??A D E CDF DE DF 说明：在直角三角形中，作斜边上的中线是常用的辅助线；在等腰三角形中，作顶角的平分线或底边上的中线或高是常用的辅助线。显然，在等腰直角三角形中，更应该连结CD ，因为CD 既是斜边上的中线，又是底边上的中线。本题亦可延长ED 到G ，使DG ＝DE ，连结BG ，证?EFG 是等腰直角三角形。有兴趣的同学不妨一试。 例2. 已知：如图2所示，AB ＝CD ，AD ＝BC ，AE ＝CF 。 求证：∠E ＝∠F D B C F E A 图2 证明：连结AC 在?ABC 和?CDA 中， AB CD BC AD AC CA ABC CDA SSS B D AB CD AE CF BE DF ===∴?∴∠=∠==∴=，，，??() 在?BCE 和?DAF 中， 最新八年级上数学培优试题及答案解析 11.1与三角形有关的线段 专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类 推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表： 在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 完成下表： △ABC内点的个数 1 2 3 (1007) 构成不重叠的小三角形的个数 3 5 … 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第三边x的长． 状元笔记 【知识要点】 1．三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线．3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性． 八年级上册周口数学【几何模型三角形轴对称】试卷（培优篇）（Word版含 解析） 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图，△ABC 中，AB=AC=BC，∠BDC=120°且BD=DC，现以D为顶点作一个60°角，使角两边分别交AB，AC边所在直线于M，N两点，连接MN，探究线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明． （1）如图1，若∠MDN的两边分别交AB，AC边于M，N两点．猜想：BM+NC=MN．延长AC到点E，使CE=BM，连接DE，再证明两次三角形全等可证．请你按照该思路写出完整的证明过程； （2）如图2，若点M、N分别是AB、CA的延长线上的一点，其它条件不变，再探究线段BM，MN，NC之间的关系，请直接写出你的猜想（不用证明）． 【答案】（1）过程见解析；（2）MN= NC﹣BM． 【解析】 【分析】 （1）延长AC至E，使得CE=BM并连接DE，根据△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，可以证得△MBD≌△ECD，可得MD=DE，∠BDM=∠CDE，再根据∠MDN =60°，∠BDC=120°，可证∠MDN =∠NDE=60°，得出△DMN≌△DEN，进而得到 MN=BM+NC． （2）在CA上截取CE=BM，利用（1）中的证明方法，先证△BMD≌△CED（SAS），再证△MDN≌△EDN（SAS），即可得出结论． 【详解】 解：（1）如图示，延长AC至E，使得CE=BM，并连接DE． ∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，又BD=DC，且∠BDC=120°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，∴∠MBD=∠ECD=90°， 在△MBD与△ECD中， ∵BD CD MBD ECD BM CE ， ∴△MBD≌△ECD（SAS）， ∴MD=DE，∠BDM=∠CDE ∵∠MDN =60°，∠BDC=120°， ∴∠CDE+∠NDC =∠BDM+∠NDC=120°-60°=60°，即：∠MDN =∠NDE=60°， 在△DMN与△DEN中， ∵MD DE MDN EDN DN DN ， ∴△DMN≌△DEN（SAS）， ∴MN=NE=CE+NC=BM+NC． （2）如图②中，结论：MN=NC﹣BM． 第十二章 全等三角形及其应用 证明线段（或角）相等 【例1】如图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC . （2）证明线段平行 【例2】已知：如图，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，DE=BF ，AF=CE.求证：AB ∥CD （3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等 【例3】如图，在△ ABC 中，AB=AC ，延长AB 到D ，使BD=AB ，取AB 的中点E ，连接CD 和CE. 求证：CD=2CE (ⅰ)折半法：取CD 中点F ，连接BF ，再证ΔCEB ≌ΔCFB.这里注意利用BF 是ΔACD 中位线这个条件。 （ⅱ）加倍法 证明：延长CE 到F ，使EF=CE ，连BF. 说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取AC中点F，连BF(如图)（B为AD中点是利用这个办法的重要前提），然后证CE=BF. (4)证明线段相互垂直 【例4】已知：如图，A、D、B三点在同一条直线上，ΔADC、ΔBDO为等腰三角形，AO、BC的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。 5、中考点拨： 【例1】如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AB的中点，以点E为圆心，EB为半径画弧，交BC于点D，连结ED，并延长ED到点F，使DF＝DE，连结FC． 求证：∠F＝∠A． 说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。 【例2】如图，已知△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE、DE.求证：EC=ED 题型展示： 【例1】如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD． 剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条短线段的一条，再证余下的部分等于另一条短线段）；如作AE＝AC是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条短线段等于长线段，再证明延长的部分与另一条短线段相等），八年级数学培优练习题及答案大全
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