高三数学第三次模拟试卷 总分:150分 时间:120分钟
一.选择题(共60分)
1.已知集合A={(x,y)│x 2+y 2=1},B={(x,y)│y=x},则A ∩B 中元素的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0
2.设x ∈R,若“2-x ≥0”是“1x -≤1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.已知a ∈R,i 是虚数单位,若z=a+3i,z ·z =4,则a= ( )
A.1或- 1
B.7或-7
C.-3
D.3
4.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm 3)是 ( )
A.2
π+1 B. 2
π+3 C.
32
π
+1 D.
32
π
+3
5.设变量
x,y 满足约束条件20220
03x y x y x y +≥??+-≥??
≤??≤?则目标函数z=x+y 的最大值为 ( ) A.23 B.1 C.3
2
D.3
6.等差数列{a n }的首项为1,公差不为0.若a 2,a 3,a 6成等比数列,则{a n }前6项的和为 ( ) A.3 B.-3 C.-24 D.8
7.已知奇函数f(x)在R 上是增函数.
若a=-f(log 21
5
),b=f(log 24.1),c=f(20.8),则a,b,c 的大小关系为 ( )
A.a
B.b C.c D.c 2 sinx x 的部分图像大致为 ( ) 9.执行如图所示的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 10.若双曲线C: 2 2x a -22y b =1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆 (x-2)2+y 2=4所截得的弦长为2,则C 的离心率为 ( ) A.2 B.3 C.2 D. 23 3 11.设A,B 是椭圆C:23x +2 y m =1长轴的两个端点,若C 上存在 点M 满足∠AMB=120°,则m 的取值范围是 ( ) A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,3]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0, 3]∪[4,+∞) 12.函数f(x)=lnx+x 2-bx+a(b>0,a ∈R)的图象在点(b ,f(b))处的切线的倾斜角为α,则倾斜角α的取值范围是 ( )A. B. C. D. 二.填空题(共20分) 13.已知(1+3x)n 的展开式中含有x 2项的系数是54,则 n= 14.函数 f(x)=sin 2x+ 3cosx- 30,42x π????∈ ??????? 的最大值是 . 15.已知点P 在圆x 2+y 2=1上,点A 的坐标为(-2,0),O 为原点, 则AO ·AP 的最大值为 . 16.高斯是德国著名的数学家,享有“数学王子”之称,以他 的名字“高斯”命名的成果达110个,设x ∈R ,用[x]表示不超过x 的最大整数,并用{x}=x-[x]表示x 的非负纯小数,则y=[x]称为高斯函数,已知数列{a n }满足:a 1=, a n+1=[a n ]+ (n ∈N *),则a 2017=__________. 三.解答题(共70分,要求写出解答过程及证明过程) 17.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin 22 B . (1)求cosB. (2)若a+c=6,△ABC 的面积为2,求b. (本小题满分12分) 18. 某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工 活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会. (1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率. (2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望. (本小题满分12分) 19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,平面PAD ⊥平面ABCD,点M在线段PB上,PD∥平面MAC,PA=PD=,AB=4. (1)求证:M为PB的中点. (2)求二面角B-PD-A的大小.(本小题满分12分) 20.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0, 抛物线C:y2=2px(p>0). (1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程. (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和 Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值 范围. (本小题满分12分) 21.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)e x-x. (1)讨论f(x)的单调性. (2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围. (12分) 22. (10分)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为 2 x t y kt =+ ? ? = ? (t为参数),直线l2的参数方程为 2 x m m y k =-+ ? ? ? = ?? (m为参数) 设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C. (1)写出C的普通方程. (2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设l3:ρ(cosθ+sinθ)-2 =0,M为l3与C的交点,求M的极径. 19. 20. 21.(1) 21(2)22. 2017-2018高三数学理科第三次模拟试卷答案BBAADC CDBAAB 13. 4 14. 1 15. 6 16.3024+ 4.【解析】选A.根据所给几何体的三视图,画出该几何体的直观图,如图所示,可知该几何体是由一个半圆锥和一个三棱锥组合成的,圆锥的底面半径为1,高为3,三棱锥底面是斜边为2的等腰直角三角形,高也为3,所以该几何体的体积为: V=π·12×3×1 3 × 1 2 +2×1× 1 2 ×3× 1 3 = 2 π +1. 5.其中A(0,1),B(0,3),C 3 ,3 2 ?? - ? ?? ,D 24 , 33 ?? - ? ?? , 所以直线z=x+y过点B时取最大值3. 7.【命题意图】本题综合考查函数的单调性与奇偶性和指数、对数运算,综合性较强. 【解析】选C.由题意:a=f(-log 21 5 )=f(log 2 5), 且log 25>log 2 4.1>2,1<20.8<2, 所以:log 25>log 2 4.1>20.8, 结合函数的单调性有:f(log 25)>f(log 2 4.1)>f(20.8), 即a>b>c. 8.【解析】选D.当x=1时,f()1=1+1+sin1=2+sin1>2,故排除A,C;当x →+∞时,y→1+x,故排除B,因此满足条件的只有D. 9.【命题意图】对程序框图的理解.通过求输出值意在考查学生推理论证能力. 【解析】选B.阅读程序框图,初始化数据a=-1,K=1,S=0,循环结果执行如下: 第一次:S=0-1=-1,a=1,K=2; 第二次:S=-1+2=1,a=-1,K=3; 第三次:S=1-3=-2,a=1,K=4; 第四次:S=-2+4=2,a=-1,K=5; 第五次:S=2-5=-3,a=1,K=6; 第六次:S=-3+6=3,a=-1,K=7; 结束循环,输出S=3. 11.【命题意图】本题主要考查椭圆的性质,利用椭圆的性质解决相关问题. 【解析】选A.当0 a b ≥tan60°=3,即3m ≥3,得0 b ≥tan60°=3,即 3 m ≥3,得m ≥9,故m 的取值范围为(0,1]∪[9,+∞) 12.【解析】选 B.依题意得f ′(x)=+2x-b ,f ′(b)= +b ≥ 2 =1(b>0),当且仅当 =b>0,即b=时取等号,因此有tan α ≥1,≤α<,即倾斜角α的取值范围是. 13.【命题意图】本题考查二项式展开式中通项公式的应用,意在考查考生的运算求解能力. 【解析】2n C (3x)2 =54x 2 ,即() 12 n n -=6,解得n=4. 14.f(x)=1-cos 2x+3cosx- 34=-cos 2x+3cosx+14=-2 3cosx ??- ? ?? +1,因为x ∈0,2π?? ???? ,所以cosx ∈[0,1],所以当cosx=32时,函数取得最大 值1. 15.【解析】设P(x,y),则x 2+y 2=1, 所以AO ·AP =(2,0)·(x+2,y)=2(x+2),因为点P 在圆x 2+y 2=1上,所以-1≤x ≤1,所以AO ·AP ∈[2,6].所以AO ·AP 的最大值为6. 【解析】满足:a 1=,a n+1=[a n ]+(n ∈N *), 所以a 2=1+ =2+ , a 3=2+=3+=4+(-1), a 4=4+=5+, a 5=5+ =6+ =7+( -1), a 6=7+=8+, a 7=8+=9+ =10+( -1), …, 可得:数列{a 2k-1}成等差数列,首项为,公差为3. 则a 2017= +3×(1009-1)=3024+ . 答案:3024+ 17.【命题意图】考查三角恒等变换、三角形面积公式以及余弦定理,意在考查学生的化归思想方法和求解运算能力. 【解析】(1)由题设及A+B+C=π得sinB=8sin 22 B ,故sinB=4(1-cosB), 上式两边平方,整理得17cos 2 B-32cosB+15=0, 解得cosB=1(舍去),cosB=15 17 …5 (2)由cosB=1517得sinB=817,故S △ABC =12acsinB=4 17 ac, 又S △ABC =2,则ac=17 2,由余弦定理及a+c=6得 b 2=a 2+ c 2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2×172×15117?? + ??? =4, 所以b=2. (12) 18.【解析】(1)由已知事件A:选2人参加义工活动,次数之和为 4,则P ()A = 112 34 3210 C C C 1 3 C += .…5 (2)随机变量X 可能的取值为0,1,2, …6 P ()X 0== 222 334 210 C C C 4 15 C ++= ,…7 P ()X 1== 11113334 2 10 C C C C 7 15 C += ,…8 P ()X 2== 1134210 C C 4 15 C = …9 X 0 1 2 P 415 715 415 E ()X = 78 11515 +=.…12 19.【解析】(1)设AC ∩BD=O, 连接OM,因为PD ∥平面MAC 且平面PBD ∩平面MAC=MO,所以PD ∥MO, 因为O 为BD 中点,所以M 为PB 中点. …4 (2)取AD 中点E,连接PE, 因为PA=PD,所以PE ⊥AD, 又因为平面PAD ⊥平面ABCD 且平面PAD ∩平面ABCD=AD,所以PE ⊥平面ABCD, (6) 建立如图所示坐标系, 则B(-2,4,0),P(0,0,2),D(2,0,0),A(-2,0,0), ...7 易知平面PDA 的法向量m=(0,1,0), (8) 设平面BPD 的法向量n=(x 0,y 0,z 0), 则( )( ()()0 00 ,,20,,4,4,0440 n DP n DP y x x z y y x x z ??=-=-+=?? ?=-=-+=?? …9 所以 n=(1,1,), …10 设二面角B-PD-A 的平面角为θ, cos θ=|cos m n m n ?= = 1 2 ,…11 所以θ= 3 π (12) 20.【解题指南】(1)求出直线与x 轴的交点坐标可得p 的值. (2)利用对称知识及PQ 的中点坐标构造关于y 的一元二次方程,利用判别式大于零求解. 【解析】(1)因为l:x-y-2=0,所以l 与x 轴的交点坐标为(2,0), 即抛物线的焦点为(2,0),所以p 2 =2,所以y 2=8x. (4) (2)①设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2), (5) 则2 11222 y 2px y 2px ?=??=?? 2 1 12 22y x ,2p y x ,2p ?=????=?? 则k PQ = 12 22 12 12y y 2p = y y y y 2p 2p -+-,又因为P,Q 关于直线l 对称, 所以k PQ =-1,即y 1+y 2=-2p, 所以12 y y 2+=-p,又因为P,Q 的中点一定在直线l 上, 所以 12 12 x x y y =2 2 +++2=2-p, 所以线段PQ 的中点坐标为(2-p,-p). (8) ① 为中点坐标为(2-p,-p), 12221212y y 2p, y y x x 42p,2p ?+=-??++==-?? 即12222 12y y 2p,y y 8p 4p ,?+=-??+=-?? 所以122 12y y 2p, y y 4p 4p,?+=-?? =-?? 即方程y 2+2py+4p 2-4p=0有两个不等实根. 所以Δ>0,(2p)2-4(4p 2-4p)>0 p ∈40,3 ?? ?? ? (12) 21.【命题意图】本题主要考查含有参数问题的函数单调性问题及利用函数的零点确定参数的取值范围. 【解析】(1)由于f ()x =ae 2x +()2a -e x -x, 故f'()x =2ae 2x +()2a -e x -1=()()121x x ae e -+,...2 ① a ≤0时,ae x -1<0,2e x +1>0.从而f'()x <0恒成立. f ()x 在R 上单调递减. (3) ② a>0时,令f'()x =0,从而ae x -1=0,得x=-lna. 综上,当a ≤0时,f(x)在R 上单调递减; 当a>0时,f(x)在(-∞,-lna)上单调递减,在(-lna,+∞)上单调递增. (6) (2)由(1)知,当a ≤0时,f ()x 在R 上单调减,故f ()x 在R 上至多一个零点,不满足条件. 当a>0时,f(x)min =f(-lna)=1- 1 a +lna. 令g ()a =1-1a +lna ()0a >,则g'()a =21a +1 a >0.从而g ()a 在()0,+∞上单 调增,而g ()1=0.故当01时g ()a >0. 若a>1,则f(x)min =1-1 a +lna=g ()a >0,故f ()x >0恒成立,从而f ()x 无零点,不满足条件. 若a=1,则f(x)min =1-1 a +lna=0,故f ()x =0仅有一个实根x=-lna=0,不满足条件.