第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量
定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为
n 维向量,
这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量.
n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量.
向量常用黑体小写字母βα、、、b a 等表示,
即n 维列向量记为????
??
? ??=n a a a 21α,n 维行向量记为),,,(21n αααα =.
行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算.
例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T =-=-=γβα
(1) 求 γβα32-+; (2) 若有x , 满足,0253=++-x γβα 求
.x
解（1）γ
βα32-+T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2--+-=.)1,2,4,5(T =
（2）由,0253=++-x γβα得
x )53(21γβα-+-=])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2
1
T T T --+--=.)8,2/7,1,2/5(T --= 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.
§4.2 向量组的线性相关性
1、向量组的概念
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.
例如，一个n m ?矩阵??
?
?
?
?
?
??=mn m m n n a a a a a a a a a A
2122221
11211
每一列????
??
?
??=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A
的列向量组，
而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i ==α组成的向量组
m ααα,,,21 称为矩阵A 的行向量组.
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 2、线性组合与线性表示
定义2 给定向量组s A ααα,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k ααα+++ 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这
个线性组合的系数.
给定向量组s A ααα,,,:21 和向量β, 若存在一组数,,,,21s k k k 使
,2211s s k k k αααβ+++=
则称向量β是向量组A 的线性组合, 又称向量β能由向量组A 线性表示(或线性表出).
例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21--==-=βαα 由于212ααβ-=, 因此
β是21,αα的线性组合.
例2 n 维向量组
T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε
称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 =α都能由它们线性表示。
如何判断向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示？
定理 1 向量β能由向量组m ααα,,,21 线性表示的充分必要条件是矩阵),,,(21m A ααα =的秩等于矩阵),,,,(21βαααm B =的秩.
例 判断向量T )11,1,3,4(1-=β与T )11,0,3,4(2=β是否各为向量组
,)5,1,2,1(1T -=α T )1,1,1,2(2-=α的线性组合. 若是, 写出表示式.
解 设,12211βαα=+k k 对矩阵)(12
1
βαα施以初等行变换:
??????? ??---1115111312421→???
???? ??----990330550421→??????? ?
?00000011
042
1→??????
?
?
?000000110201 易见，秩=)(12
1
βαα秩.2),(21=αα故1β可由21,αα线性表示，且由
上面的初等变换可取,21=k 12=k 使.2211ααβ+=
类似地，对矩阵)
,,(221βαα施以初等行变换:
??????
? ??--1115011312421
???
?
??
? ??----990430550421
??????
? ?
?00
010*******
易见, 秩,3)(22
1
=βαα秩.2)(21=αα 故2β不能由21,αα线性表示.
3、向量组的线性相关性 (一)、线性相关性概念 定义 3 给定向量组
,,,,:21s A ααα 如果存在不全为零的数
,,,,21s k k k
使,02211=+++s s k k k ααα
则称向量组A 线性相关, 否则称为
线性无关.
注: ①包含零向量的任何向量组是线性相关的; ②向量组只含有一个向量α时，则
（1）0≠α的充分必要条件是α是线性无关的； （2）0=α的充分必要条件是α是线性相关的；
③仅含两个向量的向量组线性相关的充分必要条件是这两个
向量的对应分量成比例；
④两个向量线性相关的几何意义是这两个向量共线, 三个向量线性相关的几何意义是这三个向量共面. 例1 设有3个向量(列向量):
,421,221,101221????
? ??=????? ??-=????? ??=ααα
不难验证,02321=-+ααα 因此321,,ααα是3个线性相关的3维向量. (二)、线性相关性的判定
容易看出：向量组)2(,,,21≥s s ααα 线性相关的充必要条件是向量组中至少有一个向量可由其余1-s 个向量线性表示.
向量组m A ααα,,,:21 构成矩阵）（m A ααα,,,21 =，向量组A 的线性相关就是齐次线性方程组02211=+++m m x x x ααα 有非零解。
定理2 向量组m ααα,,,21 线性相关的充要条件是它所构成的矩阵),,,(21m A ααα =的秩小于向量的个数m ；向量组线性无关的充要条件是m A R =)(
例5 讨论n 维单位坐标向量组
T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 ===εεε
的线性相关性.
解 n 维单位坐标向量组构成的矩阵
)(21n E εεε,,, =????
??
?
??=100010001 是n 阶单位矩阵.由,01≠=E 知n R =)E (，即)(E R 等于向量组中向量的个数, 故此向量是线性无关的.
例已知,1111????? ??=α,5202????? ??=α ,7423???
?
?
??=α试讨论向量组321,,ααα及21,αα的线性
相关性.
解 ),,,321(ααα=A =????? ??7514212011213r r r r --→????? ??550220201325
2
r r -???
→,000220201????
? ?? ,32)(向量的个数<=A r 故向量组,,,321ααα线性相关; 因前两个向量构成
的矩阵的秩为2等于向量的个数，所以，向量组21,αα线性无关. 例 判断下列向量组是否线性相关:
.11134,1112,5121321??????
?
??-=??????? ??-=??????? ??-=ααα
解 对矩阵)(321ααα,,施以初等行变换化为阶梯形矩阵:
???
?
??
? ??---111511131242
1 ???
?
??
? ??----990330550421
??????
? ?
?000000110421
秩,,,32)(321<=ααα所以向量组321ααα,,线性相关.
例9 证明：若向量组γβα,,线性无关, 则向量组,βα+,γβ+αγ+亦
线性无关.
证 设有一组数,,,321k k k 使
0)()()(321=+++++αγγββαk k k
（1）
成立，整理得0)()()(322131=+++++γβαk k k k k k
由γβα,,线性无关，故
???
??=+=+=+0
0032
2131k k k k k k （2）
因为1
100111
01,02≠=故方程组（2）仅有零解.即只有0321===k k k 时（1）
式才成立. 因而向量组,βα+,γβ+αγ+线性无关.
定理 (1)相关向量组增加向量后仍然相关， 线性无关的向量组
减少向量后仍然线性无关.
（2）无关向量组的每个向量增加分量后仍然线性无关. 相
关向量组减少分量后仍然相关
（3）当向量组的维数小于向量的个数时, 此向量组必线性
相关.
（4）若向量组m ααα,,,21 线性无关，而向量组βαα,,,1m 线
性相关, 则向量β可由m ααα,,,21 线性表示，且表示是唯一的
§4.3 向量组的秩
一、两个向量组的等价 定义4 设有两向量组
,,,,:;
,,,:2121s m B A βββααα
若向量组B 中的每一个向量都能由向量组A 线性表示, 则称向量
组B 能由向量组A 线性表示.若向量组A 与向量组B 能相互线性表示, 则称这两个向量组等价.
按定义, 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则存在
),,2,1(,,,21t j k k k sj j j =
使,),,,(21212211????
??
? ??=+++=sj j j s s sj j j j k k k k k k ααααααβ
所以
,),,,(),,,(2
1
22221
112112121??
?
?
?
?
?
??=st s s t t s t k k k k k k
k k k αααβββ 其中矩阵t s ij t s k K ??=)(称为这一线性表示的系数矩阵.
若,n t t s n s B A C ???= 则矩阵C 的列向量组能由矩阵A 的列向量组线性表示, B 为这一表示的系数矩阵.
,),,,(),,,(21
2221
112
112121??
?
?
?
?
?
??=sn s s n s n b b b bn b b
b b b
c c c ααα
而矩阵C 的行向量组能由B 的行向量组线性表示,
A 为这一表示的
系数矩阵. ???
?
?
?
?
?????????
??=??????? ??T s T T ms m m s s T m T T a a a a a a a a a βββγγγ
212
1
22221
1121121
所以，矩阵A 经初等行变换变为矩阵B ，则矩阵A 的行向量组与矩阵
B 行向量组等价；矩阵A 经初等列变换变为矩阵B ，则矩阵A 的列向
量组与矩阵B 列向量组等价。 二、极大线性无关组
定义5 设有向量组,,,,:21s A ααα 若在向量组A 中能选出r 个向量r ααα,,,21 , 满足
(1) 向量组r A ααα,,,:210 线性无关;
(2) 向量组A 中任意1+r 个向量(若有的话)都线性相关.
则称向量组0A 是向量组A 的一个极大线性无关组(简称为极大无关组).
注: 含有零向量的向量组没有极大无关组
例 全体n 维向量构成的向量组记作n R , 求n R 的一个极大无关组. 解 因为n 维单位坐标向量构面的向量组n E εεε,,, 21:是线性无关的，又知，n R 中的任意1+n 个向量都线性相关，因此向量组E 是n R 的一个极大无关组 三、向量组的秩
定义6 向量组s ααα,,,21 的极大无关组所含向量的个数称为该向量的秩, 记为),,,(21s r ααα .
规定: 由零向量组成的向量组的秩为0. 例 n R 的秩等于n . 三、矩阵与向量组秩的关系
定理 设A 为n m ?矩阵，则矩阵A 的秩等于它的列向量组的秩, 也等于它的行向量组的秩.
可知，若r D 是矩阵A 的一个最高阶非零子式, 则r D 所在的r 列就是A 的列向量组的一个极大无关组; r D 所在的r 行即是A 的行向量组
的一个极大无关组.。
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量组的极大无关组；
同理，也可以向量组中各向量为行向量组成矩阵，通过作初等列
变换来求所求向量组的极大无关组.
例 求向量组：T )5312(1-=α，T )3134(2-=α，
T )7323(3-=α，T )171514(4-=α的秩和一个极大无关组
定理5 若向量组B 能由向量组A 线性表示, 则 )()(A r B r ≤.
推论1 等价的向量组的秩相等.
推论2 设n s s m n m B A C ???=, 则)}.(),(min{)(B r A r C r ≤
推论3 设向量组B 是有向量组A 的部分组，若向量组B 线性无关，且向量组A 能由向量组B 线性表示，则向量组B 是向量组A 的一个极大无关组.
§4.4 向量空间
一、向量空间与子空间
定义7 设V 为n 维向量的集合,若集合V 非空,且集合V 对于n 维向量的加法及数乘两种运算封闭, 即
(1) 若,,V V ∈∈βα则V ∈+βα; (2) 若,,R V ∈∈λα则V ∈λα. 则称集合V 为R 上的向量空间.
记所有n 维向量的集合为n R , 由n 维向量的线性运算规律,容易验证集合n R 对于加法及数乘两种运算封闭. 因而集合n R 构成一向量空间, 称n R 为n 维向量空间.
注：3=n 时, 三维向量空间3R 表示实体空间;
2=n 时, 维向量空间2R 二表示平面; 1=n 时,
一维向量空间1R 表示数轴.
3>n 时, n R 没有直观的几何形象.
例 判别下列集合是否为向量空间
},,|),,,0({221R x x x x x V n T n ∈==
解
1V 是向量空间. 因为对于1V 的任意两个元素
,,,,T n a a )0(2 =α,,,,12)0(V b b T n ∈= β
有122)0(V b a b a T n n ∈++=+,,, βα.,,,12)0(V a a T n ∈=λλλα
例 判别下列集合是否为向量空间
},,|),,,1({222R x x x x x V n T n ∈==
解
2V 不是向量空间.
因为若,,,,,22)1(V a a T n ∈= α 则.,,,,22)222(2V a a T n ?= α 例 设βα,为两个已知的n 维向量, 集合
},|{R V ∈+==μλμβλαξ
试判断集合V 是否为向量空间. 解
V
是一个向量空间. 因为若,111βμαλξ+=,222βμαλξ+=
则有,)()(212121V ∈+++=+βμμαλλξξ ,)()(111V k k k ∈+=βμαλξ
即V 关于向量的线性运算封闭.
这个向量空间称为由向量βα,所生成的向量空间.
注: 通常由向量组m a a a ,,,21 所生成的向量空间记为
}.,,,|{212211R a a a V m m m ∈+++==λλλλλλξ
定义8 设有向量空间1V 和2V , 若向量空间21V V ?, 则称1V 是2V 的子空间.
例 3R 中过原点的平面是3R 的子空间
二、向量空间的基与维数
定义9 设V 是向量空间, 若有r 个向量V r ∈ααα,,,21 , 且满足 (1) r αα,,1 线性无关;
(2)
V
中任一向量都可由r αα,,1 线性表示.
则称向量组r αα,,1 为向量空间V 的一个基, 数r 称为向量空间V 的维数,记为r V =dim 并称V 为r 维向量空间.
注: (1) 只含零向量的向量空间称为0维向量空间, 它没有基;
(2) 若把向量空间V 看作向量组,则V 的基就是向量组的极大无关组,
V
的维数就是向量组的秩;
(3) 若向量组r αα,,1 是向量空间V 的一个基,则V 可表示为
}.,,,,|{2111R x x V r r r ∈++==λλλαλαλ
此时,
V
又称为由基r αα,,1 所生成的向量空间.
(4)如果在向量空间V 中取定一个基r a a a ,,,21 , 那么V 中任一向量x 可惟一地表示为,2211r r a a a x λλλ+++=
§4.5 线性方程组解的结构
一、齐次线性方程组解的结构
设有齐次线性方程组??
????
?=+++=+++=+++0
00221122221211212111n mn m m n
n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a (1)
若记??????? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211, ??????
? ??=n x x x X 1 则方程组(1)可写为向量方程 0=AX (2)
称方程(2)的解????
??
? ??=n x x x X 21为方程组(1)的解向量.
齐次线性方程组解的性质:
性质1 若21,ξξ为方程组(2)的解, 则21ξξ+也是该方程组的解. 性质2 若1ξ为方程组(2)的解, k 为实数, 则1ξk 也是(2)的解. 注: 齐次线性方程组若有非零解, 则它就有无穷多个解. 由性质知：线性方程组0=AX 的全体解向量所构成的集合对于加法和数乘是封闭的，因此构成一个向量空间. 称此向量空间为齐次线性方程组0=AX 的解空间.
定义10 齐次线性方程组0=AX 的有限个解t ηηη,,,21 满足: (1) t ηηη,,,21 线性无关; (2)
0=AX 的任意一个解均可由t ηηη,,,21 线性表示.
则称t ηηη,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系.
注：方程组0=AX 的一个基础解系即为其解空间的一个基, 易见方程组0=AX 基础解系不是唯一的，其解空间也不是唯一的.
按上述定义，若t ηηη,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系. 则0=AX 的通解可表示为 t t k k k X ηηη+++= 2211
其中t k k k ,,,21 为任意常数.
当一个齐次线性方程组只有零解时, 该方程组没有基础解系; 而当一个齐次线性方程组有非零解时, 是否一定有基础解系呢? 如果有的话,怎样去求它的基础解系? 下面的定理回答了这两个问题.
定理12 对齐次线性方程组0=AX ，若n r A r <=)(,则该方程组的基础解系一定存在，且每个基础解系中所含解向量的个数均等于r n -, 其中n 是方程组所含未知量的个数.
注：定理的证明过程实际上已给出了求齐次线性方程组的基础解系的方法.
且若已知r n -ηηη,,,21 是线性方程组0=AX 的一个基础解系，则
0=AX 的全部解可表为,2211r n r n c c c x --+++=ηηη
(4)
其中r n c c c -,,,21 为任意实数. 称表达式（4）线性方程组0=AX 的通解.
例 求下列齐次线性方程组的一个基础解系:
???
??=-++=+-+=+-+.
0,0223,
03224321
43214321x x x x x x x x x x x x 解 对此方程组的系数矩阵作如下初等行变换:
=A ??
??
?
??---111121233212323132r r r r --?????
??-----111154105410 21r r -
???
?? ??---11115410000
031r r ?????? ??---000054101111 21r r +
????
? ??---0000541043012)1(r -
.000054104301????
? ??-- 于是原方程组可同解地变为:
,5443432
4
31??
?+-=-=x x x x x x 因此基础解系为 1(3,4,1,0),T
η=-.)1,0,5,4(2T -=η
例
求齐次线性方程组?????=++-=++-=--+0
377,02352,
04321
43214321x x x x x x x x x x x x 的基础解系与通解.
解 对系数矩阵A 作初等行变换，化为行最简矩阵:
=A ????
?
??---137723521111
,00007/47/5107/37/201????
?
??---- 得到原方程组的同解方程组,)7/4()7/5()7/3()7/2(432
4
31???+=+=x x x x x x
令????
??43x x =,01???? ??,10???
?
??即得基础解系 =1η,017/57/2??????? ??=2η,107/47/3????
??
?
?? 并由此得到通解
?
?????
? ??4321x x x x 1C =??
??
???
??017/57/22C +????
??
?
??107/47/3).,(21R C C ∈ 二、非齐次线性方程组解的结构
设有非齐次线性方程组
?????
?
?=+++=+++=+++m
n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 2211222221211
1212111 (5)
它也可写作向量方程 b AX = (6)
性质3 设21,ηη是非齐次线性方程组b AX =的解, 则21ηη-是对应的齐次线性方程组0=AX 的解.
性质4 设η是非齐次线性方程组b AX =的解, ξ为对应的齐次线
性方程组0=AX 的解，则ηξ+是非齐次线性方程组b AX =的解.
定理13（结构定理） 设*η是非齐次线性方程组b AX =的一个解,
ξ
是对应齐次线性方程组0=AX 的通解, 则*ηξ+=x 是非齐次线性方程
组b AX = 的通解.
例 求线性方程组???
??=+--=+++-=-+-12
22021224321
43214321x x x x x x x x x x x x 的通解
例 求下列方程组的通解 123451234523
457.3232,22623.
x x x x x x x x x x x x x x ++++=??
+++-=-??+++=?
解
=~
A ????
? ??--236212023121371
1111
????
?
??--0000002/23312/1102/9202/101 由),()(~
A r A r =知方程组有解.
又,2)(=A r ,3=-r n 所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组??
?+---=-+-=2/2332/2
/922/5432531x x x x x x x
令????? ??543x x x =,001????? ??,
010????
? ??.100???
?
? ??分别代入等价方程组对应的齐次方程组中求得基础解系
=1ξ,0012/12/1???????? ??--=2ξ,01010???????? ??-=3ξ.10032???
????
? ??- 求特解:令,0543===x x x 得,
2/91-=x .2/232=x
故所求通解为1C x =?????
??
?
??--0012/12/12C +??
???
??
? ??-010103C +???????? ??-10032+.0002/232/9???
?????
??-
其中,1C ,2C 3C 为任意常数.
例 求解下列非齐次线性方程组:
???
??=--+=+--=--+.
0895,4433,134321
43214321x x x x x x x x x x x x 解 对方程组的增广矩阵作如下初等变换：
?????
??-----==089514431311311)(~
b A A 1312
3r r r r --????
?
??------176401764011311 23r r +????? ??---000001764011311 241r ??? ??-????
? ??-----000004147231011311 21r r -.000004147231045432301????
? ??----
在上面的初等变换中没有作过列对换，因此可立即求出特解γ和对应齐次线性方程组的基础解系：
.
104743,012323,00414521????
??
?
??-=??????? ??=??????? ??-=ηηγ
原方程组的解为 ,2211ηηγc c x ++=其中21,c c 为任意数.
第4章 n 维向量空间 §4.1 n 维向量 定义 1 n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的数组),,,(21n a a a 称为 n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. n 维向量可写成一行，称为行向量，也可以写成一列,称为列向量. 向量常用黑体小写字母 、、、b a 等表示, 即n 维列向量记为 n a a a 21 ,n 维行向量记为),,,(21n . 行向量与列向量的计算按矩阵的运算规则进行运算. 例 设.)1,0,1,0(,)2,4,7,1(,)3,1,0,2(T T T (1) 求 32 ; (2) 若有x , 满足,0253 x 求 .x 解（1） 32 T T T )1,0,1,0(3)2,4,7,1()3,1,0,2(2 .)1,2,4,5(T （2）由,0253 x 得 x )53(21 ])1,0,1,0(5)2,4,7,1()3,1,0,2(3[2 1 T T T .)8,2/7,1,2/5(T 在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），这就是上面定义的3维向量. 因此，当3 n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3 n 时，n 维向量没有直观的几何形象. §4.2 向量组的线性相关性 1、向量组的概念 若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.
例如，一个n m 矩阵 mn m m n n a a a a a a a a a A 21 222 2111211 每一列 mj j j j a a a 21 ),2,1(n j 组成的向量组n ,,,21 称为矩阵A 的列向量组， 而由矩阵A 的的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a T in i i i 组成的向量组 m ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵。 2、线性组合与线性表示 定义2 给定向量组s A ,,,:21 ，对于任何一组实数s k k k ,,,21 , 表达式s s k k k 2211称为向量组A 的一个线性组合, s k k k ,,,21 称为这 个线性组合的系数. 给定向量组s A ,,,:21 和向量 , 若存在一组数,,,,21s k k k 使 ,2211s s k k k 则称向量 是向量组A 的线性组合, 又称向量 能由向量组A 线性表示(或线性表出). 例 设).3,0,0,1(),1,4,0,3(),1,2,0,1(21 由于212 , 因此 是21, 的线性组合. 例2 n 维向量组 T n T T )1,,0,0(,,)0,1,0(,)0,,0,1(21 称为n 维单位坐标向量组，任意一个n 维向量T n a a a ),,,(21 都能由它们线性表示。
若向量a叉乘向量b得c，由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则 1、若a,b是二维的，则(一般)不可能存在3个二维向量互相垂直 2、若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直 对于1，c是不可定义的，对于2，c得定义似乎是歧义的(?) Q0. 所以，向量积只存在于三维向量中？ 其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题： Q1. 对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？ 自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列式没问题，三个四维向量就bug了...于是有 Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？ 类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题 Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个m维超"立方"体，如何通过这些向量的坐标计算超"立方"体的体积？(显然不一定立方，但也不知道怎么称呼...) 假定你学过线性代数，不然没法讲…… 向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题，我们还是用外积这个名字吧。 为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了，但细想起来这还是有点不自然的。而且，如果把两个向量的外积当作一个向量的话，这个向量是依赖于坐标系的。也就是说，它在坐标变换下不能保持不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。 也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。 那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？ 考虑三维空间里的一组基，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一个“面积向量”，于是可以想象，如果把全体“面积向量”组成的线性空间记作的话，的基底可以取成对应于3个坐标平面（对，恰好也是3个）。把这组基记为 。这里用了这个符号，这是外代数里表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。
第三章 n 维向量与向量空间 §3—1 §3—2 §3—3 一、设向量(4,7,3,2)α=-，(11,12,8,58)β=-，求满足322(5)γαβγ-=-的向量γ. 二、选择题： 1．设1234,,,αααα是一组n 维向量，其中123,,ααα线性相关，则 ( ) (A ) 123,,a a a 中必有零向量 (B ) 12,αα必线性相关 (C ) 23,αα必线性无关 (D ) 1234,,,αααα必线性相关 2．若n 维向量组12,,,m αααL 线性无关，则 ( ) (A ) 组中增加一个向量后也线性无关 (B ) 组中去掉一个向量后仍线性无关 (C ) 组中只有一个向量不能由其余向量线性表示 （D ）m n > 3．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则 (A ) 每个向量增加第(1)n +个分量后也线性无关； (B ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性无关； (C ) 每个向量去掉第n 个分量后也线性相关； （D ）每个向量增加第(1)n +个分量后也线性相关 4．若n 维向量12,,,m αααL 线性无关，则必有 ( ) (A ) m n < (B ) m n > (C ) m n ≤ (D ) m n ≥ 三、判断题： 1．若m n >，则n 维向量组1,2,,m αααL 线性相关． ( ) 2．若向量组U 线性相关，则U 的任意一个部分组都线性相关． ( ) 四、判别下列向量组的线性相关性： 1．1(1,1,2)α=，2(2,4,5)α=，3(1,1,0)α=-，4(2,2,6)α=． 2．1(1,1,0)α=-，2(2,1,1)α=，3(1,3,1)α=-． 3．1(1,1,3,1)α=，2(4,1,3,2)α=-，3(1,0,1,2)α=-． 五、证明： 1．若向量组12,,,m αααL 线性无关，而且β不能由12,,,m αααL 线性表示，则向量组12,,,,m αααβL 线性无关．
第三章 线性方程组 § n 维向量及其线性相关性 教学目标：掌握n 维向量及其运算，准确理解向量的线性相关和线性无关的定义， 掌握向量组的线性相关和线性无关的判定定理和判定方法. 重 点： ★ n 维向量的概念 ★ 向量的线性运算 ★ 线性方程组的向量形式 ★ 向量组的线性组合 ★ 向量组间的线性表示 ★ 线性相关和线性无关的概念 ★ 向量组的线性相关和线性无关判定 难 点： ★ 线性相关和线性无关的概念的理解， ★ 向量组的线性相关和线性无关的证明 内容要点 一、n 维向量及其线性运算 定义 数域F 上的n 个有次序的数n a a a ,,,21 所组成的有序数组),,,(21n a a a 称为数域F 上的n 维向量, 这n 个数称为该向量的n 个分量, 第i 个数i a 称为第i 个分量. 向量常用小写希腊字母,,,αβγ来表示； 向量通常写成一行 12(,, ,)n a a a α= 称之为行向量； 向量有时也写成一列 12n a a a α?? ? ?= ? ??? T n a a a ),,,(21 = 称之为列向量． 注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”称为向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象. 引入坐标系后，又定义了向量的坐标表示式（三个有次序实数），此即上面定义的3维向量. 因此，当3≤n 时，n 维向量可以把有向线段作为其几何形象. 当3>n 时，n 维向量没有直观的几何形象.
若干个同维数的列向量（或行向量）所组成的集合称为向量组.=n F {数域F 上n 维向量的全体},=n R 实数域上的n 维向量的全体. 例如，一个n m ?矩阵 ?? ?? ?? ? ??=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 每一列???? ?? ? ??=mj j j j a a a 21α),2,1(n j =组成的向量组n ααα,,,21 称为矩阵A 的列向量组， 而由矩阵A 的每一行),,2,1(),,,(21m i a a a in i i i ==β组成的向量组m βββ,,,21 称为矩阵A 的行向量组. 根据上述讨论，矩阵A 记为),,,(21n A ααα = 或 ???? ?? ? ??=n A βββ 21. 这样，矩阵A 就与其列向量组或行向量组之间建立了一一对应关系. 定义 两个n 维向量),,,(21n a a a =α与),,,(21n b b b =β的各对应分量之和组成的向量，称为向量α与β的和, 记为βα+，即 ),,,(2211n n b a b a b a +++=+ βα 由加法和负向量的定义，可定义向量的减法： )(βαβα-+=- ),,,(2211n n b a b a b a ---= . 定义 n 维向量),,,(21n a a a =α的各个分量都乘以实数k 所组成的向量，称为数k 与向量α的乘积（又简称为数乘），记为αk ，即 ),,,(21n ka ka ka k =α. 向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算. 注：向量的线性运算与行（列）矩阵的运算规律相同，从而也满足下列运算规律: (1) αββα+=+; (2) )()(γβαγβα++=++; (3) ;αα=+o (4) ;)(o =-+αα (5) ;1αα= (6) ;)()(ααkl l k = (7) ;)(βαβαk k k +=+ (8) .)(αααl k l k +=+ 二、 n 维向量空间 定义：数域P 上的n 维向量的全体，同时考虑到定义在它们上的的加法和数量乘法，称为
第二节 n 维向量空间 定义1：n 个实数组成的有序数组称为n 维向量,一般用γβα,,等希腊字母 表示。称()n a a a ,,,21 =α为n 维行向量,称()T n n b b b b b b ,,,2121 =?????? ? ??=β为n 维列向 量。称i i b a ,分别为向量βα,的第i 个分量。 特别对矩阵=A ?? ? ? ? ? ? ??mn m m n n a a a a a a a a a 2 1 22221 11211中每一行()in i i a a a ,,,21 ),,2,1(m i =称为 矩阵A 的行向量；每一列() T nj j j a a a ,,,21 ),,2,1(n j =称为矩阵A 的列向量。 定义2：所有分量都是零的向量称为零向量，零向量记作0＝()000 。 定义3：由n 维向量()n a a a ,,,21 =α各分量的相反数组成的向量，称为α的负向量，记作：()n a a a ---=-,,,21 α。 定义4：若n 维向量()n a a a ,,,21 =α与()n b b b ,,,21 =β的所有对应分量相等，即),,2,1(n i b a i i ==，则称这两个向量相等，记作βα=。 定义5：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α,()n b b b ,,,21 =β，βα与对应分量的和所构成的n 维向量，称为向量βα与的和，记作βα+。 ()n n b a b a b a +++=+,,,2211 βα ()βαβα-=-+()n n b a b a b a ---=,,,2211 定义6：设n 维向量()n a a a ,,,21 =α的各分量都乘以数k 后所组成的n 维向量，称为数k 与向量α的乘积，记作： k α＝()n ka ka ka ,,,21 。 向量的运算性质： （1）αββα+=+ （2）γβαγβα++=++)()(
n 维向量空间 §3.1 n 维向量的定义 1. 定义 定义：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作),,,(21n a a a =α, 称为n 维行向量． i a –– 称为向量α的第i 个分量 R ∈i a –– 称α为实向量 C ∈i a –– 称α为复向量 零向量：)0,,0,0( =θ 负向量：),,,()(21n a a a ---=- α 列向量：n 个数n a a a ,,,21 构成的有序数组, 记作 ??? ?????????=n a a a 21α, 或者T 21),,,(n a a a =α, 称为n 维列向量． 零向量： ? ? ? ? ?? ??????=000 θ 负向量：????????????---=-n a a a 21)(α 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． n 维向量 n 个数a 1,a 2,…,a n 组成的一个有序数组(a 1,a 2,…,a n ) 称为一个n 维向量,记为 1212()(,, ,) ...T n n a a a a a a αα?? ? ?== ? ??? 列向量形式或（行向量形式），其中第i 个数a i 称为向量的第i 个分量。 说明 1. 列向量即为列矩阵,行向量即为行矩阵 2. 行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 3. 行向量和列向量总被看作是两个不同的向量；当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作列
向量。行向量可看作是列向量的转置。 零向量 0=(0,0,…,0)T (维数不同, 零向量不同) 负向量 12(,, ,)T n a a a α-=---。 向量相等 设1212(,, ,)(,, ,)T T n n a a a b b b αβ==，，若,1,2, ,i i a b i n ==则αβ=。 向量运算规律： ① αββα+=+ ② ()()αβγαβγ++=++ ③ 0αα+=（0是零向量，不是数零） ④ ()0αα+-= ⑤ 1αα= ⑥ ()()()λμαλμαμλα== ⑦ ()λαβλαλβ+=+ ⑧ ()λμαλαμα+=+ 满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为线性运算。 1． 内积的概念 定义1：n 维实向量 ??? ???? ??=??????? ??=n n b b b a a a 2121,βα，称n n b a b a b a +++= 2211),(βα ()β αT n n b b b a a a =???? ??? ??= 2121,,,为α和β的内积。 若βα,为行向量，则T αββα=),(。 向量空间的性质： (1) ),(),(αββα= (2) ),(),(),(γβγαγβα+=+