现代控制理论理论教案
绪论
【教学目的】了解现代控制理论的基本原理及方法，以便进行系统分析与设计，同时为进一步学习现代控制理论打下较扎实的基础。
【教学重点】了解控制理论发展的三个阶段并掌握各阶段的主要任务。
【教学方法及手段】课堂教学
【课外作业】阅读教材
【学时分配】 2学时
【教学内容】
本教材绪论部分主要讲述了以下几个问题：
一、控制理论发展简况
1）古典控制理论：研究对象以单输入、单输出线性定常系统为主，以传递函数为系统的基本描述，以频率法和根轨迹法为主要分析与设计手段。
2）现代控制理论以状态状态空间模型为基础，可研究多输入、多输出、时变、非线性等各种对象；研究系统内部结构的关系提出了能控性、能观测性等重要概念，提出了不少设计方法。
3）大系统与智能控制阶段。
二、现代控制理论的基本内容
(1)线性多变量系统理论。这是现代控制理论中最基础、最成熟的部分。它揭示系统的内在想律，从能控性、能观测性两个基本概念出发，研究系统的极点配置、状态观测器设计和抗干扰问题的一般理论。
(2)最优控制理论。在被控对象数学模型已知的情况下，寻求一个最优控制规律(或最优控制函数)，使系统从某一个初始状态到达最终状态并使控制系统的性能在某种意义下是最优的。
(3)最优估计理论。在对象数学模型已知的情况下，最优估计理论研究的问题是如何从被噪声污染的观测数据中，确定系统的状态，并使这种估计在某种意义下是最优的。由于噪声是随机的，而且是非乎稳随机过程(随机序列)，这种憎况下的状态估计是卡尔曼提出和解决的，故又称卡尔曼滤波。这种滤波方法是保证状态估计为线性无偏最小估计误差方差的估计。
(4)系统辨识与参数估计。这是基于对象的输入、输出数据、在希望的估计准则下，建立与对象等价的动态系统(即建立对象的数学模型)，由于效学模型一船地说，是由阶致和参数决定的。因此，要决定系统的阶数和参数(即参数估计)。
三、本课程的基本任务
该课程是工业自动化专业的一门重要的专业基础课程。通过这门课的学习了解现代控制理论的基本原理及方法，以便进行系统分析与设计，同时为进一步学习现代控制理论打下较扎实的基础。所谓系统分析，就是指在规定的条件下，对数学模型已知的性能进行分析。系统分析包括定量分析和定性分析。定量分析是通过系统对某一个输人信号的实际响应来进行的；定性分析则研究系统能控性、
能观测性、稳定性和关联性等一般特性。各种设计方法往往来源于系统分析。因此，系统分析是十分重要的。所谓系统设计，就是构造一个能完成给定任务的系统，这个系统具有所希望的瞬态，稳态性能以及抗干扰性能。一般地说，设计过程不是一个简单的一次能完成的过程，而是一个逐步完善的过程。在这个过程中，有可能引入补偿器或调整某些参数。
第一章控制系统的数学模型
第一节状态空间表达式
【教学目的】了解状态空间描述的基本概念，掌握根据物理机理来建立状态空间表达式。掌握状态空间表达式的建立方法。
【教学重点】基本概念的剖析与掌握。
【教学难点】掌握状态变量是确定系统状态的最小一组变量。
【教学方法及手段】课堂教学
【课外作业】1.1
【学时分配】2学时
【教学内容】
一、状态、状态变量和状态空间
通过RLC电路讲清楚状态、状态变量、状态空间的基本概念。
二、状态空间表达式
通过RLC电路的状态方程的建立将其分析结果推广到一般情况，可得到以下各种情况：
1）多输入、多输出（MIMO）线性定常系统：
?
X=BU
AX+
DU
CX
Y+
=（1-1）其中A为系统矩阵，B为输入矩阵，C为输出矩阵，D为直接传输矩阵或称关联矩阵。
2）单输入、单输出（SISO）系统：
?
X bu
AX+
=
du
CX
y+
=（1-2）3）多输入、多输出（MIMO）线性时变系统：
?
X U
t
B
X
t
A)(
)(+
=
U
t
D
X
t
C
Y)
(
)
(+
=（1-3）4）非线性时变系统：
?
X),
,
(t
u
x
f
=
Y=)
,
,
(t
u
x
g（1-4）
5）非线性定常系统：
?
X=)
,
(u
x
f
),(u x g y = （1-5） 三、状态变量的选取
1）同一系统可以取不同的状态变量； 2）状态变量的选取是非唯一的； 3）系统状态变量的数目是唯一的。 四、状态空间表达式建立的举例
通过质量、弹簧、阻尼器系统和直流他励电动机的状态空间表达式的建立以了解实际系统的建模步骤及思想。
第二节 由微分方程求状态空间表达式
【教学目的】 掌握根据系统微分方程建立状态空间表达式的方法。 【教学重点】 状态方程的建立。
【教学难点】 不同形式状态方程的建立。 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】 1.5 【学时分配】 2学时 【教学内容】
微分方程中不含有输入信号导数项
一般情况下，系统的输入和输出关系由n 阶微分方程描述：
u b y a y a y a y
a y
n n n 00.
1..2)
2(2)
1(...=+++++--- （1-6）
u
b x x x x a a a a x x x x n n n n n ??
???????
???????+???????????
?????????????????????----=????????????????---01211
21012100010
0001000010
???
?
?
?
??????=n x x x y 21]0...001[ (1-7)
二、微分方程含有输入信号的导数项
u x x x x a a a a x x x x
n n n n n n n ??????????????+???????????????????????????????
?----=????????????????----βββ1112112101211000
01000010
u x x x y n 021]0...
001[β+????
?
???????= (1-8)
第三节 传递函数矩阵
【教学目的】 掌握系统传递函数矩阵也是线性定常系统的一种描述。 【教学重点】 系统传递函数矩阵的求解
【教学难点】 由状态空间表达式求系统传递函数阵 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】 1.7 【学时分配】 1学时 【教学内容】
1）单输入、单输出系统的传递函数：d b A sI C s g yu +-=-1][)( （1-39）讲例1-4 2）传递函数矩阵：D B A sI C s G yu +-=-1][)(；（1-43）讲例1-5，例1-5的特点为两输入、两输出系统，这有别于单位输入、单输出系统。 3）闭环系统传递函数矩阵
1)]()()[()(-+=s G s H I s G s G H （1-9）
4）传递函数描述和状态空间描述的比较。见P19
第四节 离散系统的数学描述 【教学目的】 了解离散系统空间表达式的建立方法。
【教学重点】 差分方程、 脉冲传递函数化为离散系统状态空间表达式。 【教学难点】 离散系统空间表达式与连续系统表达式的区别。 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】 1-8,1-9 【学时分配】 1学时 【教学内容】
1）差分方程中不含有输入量差分项的状态空间表达式的建立； )()()1(k Hu k Gx k x +=+ )()(k Cx k y =
以三维为例，????
?
?????=??????????---=021
00,10
010
b H a a a G ，[]001=C 2）差分方程中含有输入量差分项的状态空间表达式的建立； )()()1(k Hu k Gx k x +=+
)()()(0k u k Cx k y β+= G 、H 、C 同上
讲清例1-6并要求画出状态图 3）脉冲传递函数（矩阵）
D H G zI C z G yu +-=-1][)(， （1-10）
通过例1-7搞清离散系统的传递函数矩阵的求法。
第五节 线性变换
【教学目的】 通过研究线性变换关系得到便于应用且简单的状态空间表达式 【教学重点】 各种标准的状态空间表达式，如能控、能观、对角、约旦型。 【教学难点】 非奇异变换阵的选取 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】 1-11，1-12 【学时分配】 2学时 【教学内容】
1）等价系统方程
线性定常系统的方程为 ?
X bu AX += du CX y +=
通过线性变换 Px x =-
，1
--
=PAP A ，PB B =-，1
--
=CP C ，D D =-
于是转换后的系统方程为：u B x A x
-
--+=．
u D x C y -
--+=
2)线性变换的基本特性
a 、 线性变换不改变系统特征值；
b 、线性变换不改变系统的传递函数矩阵。 3）化系统矩阵A 为标准形
a 、化A 为对角阵；讲例1-8，1-9
b 、化A 为约当阵
例：考虑由下式确定的系统：
233
)()(2
+++=s s s s U s Y
试求其状态空间表达式之能控标准形、能观测标准形和对角线标准形。
解：能控标准形为：
??
?
???=??????+????????????--=??????)()(]13[)()(10)()(3210)()(212121t x t x t y t u t x t x t x t x
能观测标准形为：
??????=????
??+????????????--=??????)()(]10
[)()(13)()(3120)()(212121t x t x t y t u t x t x t x t x
对角线标准形为：
???
???-=????
??+????????????--=
??????)()(]12
[)()(11)()(2001)()(212121t x t x t y t u t x t x t x t x
讲例1-10化A 为约旦型。
小 结
本章介绍了状态空间描述和传递函数短阵描述。介绍了从状态变量的定义、状态变量的选取到建立状态空间表达式的整个过程,对于线性定常系统，在初始松弛情况下，也可以来用传递函数矩阵描述。这两种描述在系统分析和设计中都有应用。至于采用何种描述，应视所研究的问题以及时这两种描述的熟悉程度而定。
一个系统，状态变量的数目是唯一的，而状态变量的选取是非唯一的。选取不同助状态变量，建立的状态空间表达式亦异。它们之间可以通过线性变换进行转换。本章介绍了线性变换定义、基本持性以及应用变换的方法获得几种标准形。线性变换的方法相当重要，本门课程很多章节中均要应用。
传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关，即系统状态变量的不同选择，传递函数(短阵)是不改变的。
第二章 线性控制系统的运动分析
第一节 线性定常系统齐次状态方程的解 状态转移矩阵（由定义求At e ，由拉普拉斯变换求At e ）
【教学目的】 了解状态转移矩阵的基本概念及求法 【教学重点】 状态转移矩阵的两种求法 【教学难点】 由拉普拉斯变换求At e 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】 2.1 【学时分配】 2学时 【教学内容】
1)齐次方程＝Ａｘｘ。
的解为)0()(x e t x At
=；
2)状态转移矩阵的基本性质.P41 [例2．1] 试求如下线性定常系统
????????????--=??????21213210x x x x
的状态转移矩阵Ф(t)和状态转移矩阵的逆Ф-1(t ）。
[解] 对于该系统，
??????--=3210A
其状态转移矩阵由下式确定
])[()(11---==ΦA sI L e t At
由于
???
???+-=??????---??????=-32
132
10
0s s
s s A sI
其逆矩阵为
??
??
?
?????
??++++-+++++=??
?
?
??-+++=
--)2)(1()
2)(1(2
)2)(1(1)
2)(1(3213
)2)(1(1)(1s s s
s s s s s s s s s s s A sI
因此
])[()(11---==ΦA sI L e t At
???
?
????+-+---=--------t t t t t t t t e e e e e e e e 22222222 由于Ф-1（t ）=Ф(-t )，故可求得状态转移矩阵的逆为
??
????+-+---==Φ--t t t
t t t t t At
e e e e e e e e e
t 222212222)(
第二节 状态转移矩的求法(凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)
定理, 对角线标准形与Jordan 标准形法)
【教学目的】 了解状态转移矩阵的另外两种求法 【教学重点】 对角线标准形
【教学难点】 凯莱-哈密尔顿(Caley-Hamilton)定理 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】2.2，2.4 【学时分配】2学时
【教学内容】1）化e At 为A 的有限项法(Caley-Hamilton 定理法)； 2）对角线标准形与Jordan 标准形法 例：
???
?????-=33
1
100
01
0A [解] 该矩阵的特征方程为
0)1(133||323=-=-+-=-λλλλλA I
因此，矩阵A 有三个相重特征值λ=1。可以证明，矩阵A 也将具有三重特征向量（即有两个广义特征向量）。易知，将矩阵A 变换为Jordan 标准形的变换矩阵为
????
??????==-12
1
01100
1
1
Q
P
矩阵P 的逆为 ???
?????--=-12101100
11S
J PAP =????
?
?????=????
?
???????????????-??????????--=-10
110011
12
1
011001
33
1100010
121
0110011
注意到
?????
??????
?=t
t
t t t t t
J e te
e e t te e e 0
00212
可得 P e P e
Jt At
1-==
??????
?
??????
?++--++---+-=????????--??????????????????????t t
t t t t t t
t t t t t t t
t t t t t t t t t
t e
t te e e t te e t te e t te e t te e e t e t e t te e t te e e te e e t te e 22222222222123212121212112101100100021121011001
例： ??
???
?-=2010
A
试用前面介绍的两种方法计算At
e
[解] 方法一 由于A 的特征值为0和-2（λ1=0，λ2= -2），故可求得所需的变换矩阵P 为
P =??
?
?
??-20
11
因此，由式(2.10）可得
???
?????
-=????
?
????
?
-????????????-=---t
t t o
At
e e e e
e 2220)1(211210
2110
020
11
方法二 由于
??
????+-=??????--??????=-20
120
10
0s s s s
A sI
可得
???
??????
?++=--2
1
0)2(11
)(1
s s s s A sI
因此
???
?
??
??-=-=----t
t e e A sI L 221
1
At
)1(211
])[(e
第三节 线性定常系统非齐次状态方程的解
第四节 线性离散系统的运动分析
【教学目的】掌握线性定常系统非齐次状态方程的解及线性离散系统的运动分析 【教学重点】 线性定常系统非齐次状态方程的解 【教学难点】 线性离散系统的运动分析 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】2.6，2.20 【学时分配】2学时 【教学内容】
给定线性定常系统非齐次状态方程为
Σ：)()()(t Bu t Ax t x
+= (2-28) 其中，r n n n r n R B R A R t u R t x ??∈∈∈∈,,)(,)(，且初始条件为
)
0()(0x t x t ==。
将方程（2.28）写为
)()()(t Bu t Ax t x
=- 在上式两边左乘e-At ，可得
)
()]([)]()([t Bu e t x e dt d
t Ax t x e At At At ---==-
将上式由O 积分到t ，得
τττd Bu e x t x e t
o A At ?=---)()0()(
故可求出其解为
?+=-t
o t A At d Bu e x e t x τττ)()0()()( (2-31)
?-Φ+Φ=t
o d Bu t x t t x τττ)()()0()()( (2.32)
式中At e t =Φ)(为系统的状态转移矩阵。 [例2.2] 求下列系统的时间响应：
u x x x x ????
??+????????????--=??????1032102121 式中，u(t)为t = 0时作用于系统的单位阶跃函数，即u(t)=1(t)。 [解] 对该系统
??????=??????--=103210B A
状态转移矩阵At
e t =Φ)(已在前例中求得，即
??????+-+---==Φ--------t t t
t t t t t At
e e e e e e e e e
t 22222222)(
因此，系统对单位阶跃输入的响应为：
τττττττττd t e e e e e e e e x e t x t o t t t t t t t t At
)(1102222)0()()(2)()
(2)()
(2)()
(2)(??
??????????
?+-+---+=----------------或
???
?????-+-+????????
????+-+---=??????------------t t t t
t t t t t t t
t e e e e x x e e e e e e e e t x t x 22212222212121)0()0(2222)()(
如果初始状态为零，即X(0)=0,可将X(t)简化为
????????-+-=??????----t t t t
e e e e t x t x 22212121)()(
小结
本章对系统运动的分析是通过求系统方程的解来进行的。状态方程是矩阵微分(差分)方程，输出方程是矩阵代数方程。因此，求系统方程的解的关键在于求状态方程的解。
线性系统方程曲解是借助状态转移矩阵来表示的。本章介绍了状态转移矩阵的定义、基本性质和求解方法。重点介绍了线性定常系统
状态转移矩阵的四种计算方法。有了状态转移矩阵，就可以求出系统在初始状态激励下的自由运动(齐次状态方程的解)以及在输入向量作用下的强迫运动(非齐次状态方程的解)。应当指出，系统自由运动轨线的形态是由状态转移短阵决定的，也就是由A唯一决定的。然而对一个系统来说，A是一定的，因此只有靠人为地采取措施(如第五章的状态反馈和输出反馈)来改造自由运动的形态。
状态x(t)求出后，即可求出系统的输出y(t)。不同的输入向量，响应y(t)不同。但是只要有了y(t)就可以按经典控制理论中介绍的时域分析法来定量地分桥系统的性能。由于这个响应y（t）是针对某个控制u（t）而言的，这就为用u（t）来达到希望的y(t)形态提供了可能(见第五章第六节)。
实验一状态空间控制模型系统仿真及状态方程求解
【实验目的】借助Matlab工具在计算机上实现前二章所讲的
重要内容。
【实验重点】各种不同状态方程之间的转换及状态方程的求解、
【实验难点】对角型、约旦型、模态型的转换
【教学方法及手段】上机实验。
【课外作业】认真写实验报告，复习巩固实验内容
【学时分配】2学时
第三章控制系统的能控性和能观测性
【教学目的】掌握系统的能控性的概念及其判据。
【教学重点】线性连续定常系统的能控性的判断。
【教学难点】能控性判据概念的理解。
【教学方法及手段】课堂教学
【课外作业】3-1
【学时分配】2学时
【教学内容】
在经典控制理论中，着眼点在于研究对系统输出的控制。对于一个单输入—单输出系统来说，系统的输出量既是被控量，又是观测量。因此，输出量明显地受输人信号控制，同时，也能观测，即系统不存在能控、不能控和能观测、不能观测的问题。现代控制理论着眼点在于研究系统状态的控制和观测。这时就遇到系统的能控性和能观测性问题了。
能控性(controllability)和能观测性(observability)深刻地揭示了系统的内部结构关系，由R.E.Kalman于60年代初首先提出并研究的这两个重要概念，在现代控制理论的研究与实践中，具有极其重要的意义，事实上，能控性与能观测性通常决定了最优控制问题解的存在性。例如，在极点配置问题中，状态反馈的的存在性将由系统的能控性决定；在观测器设计和最优估计中，将涉及到系统的能观测性条件。
通过例3-1、3-2可知，研究系统的状态变量与输人信号之间的关系时，存在能控与不能控的问题。
系统能观测问题是研究测量输出变量y去确定系统状态变量的问题。通过例3-3可知，状态x存在能观测和不能观测的问题。
至此，我们可以知道，在基于状态空间描述的现代控制理论中，存在状态能控性和能观测性问题。这是两个反映系统构造特性的基本概念。在本章中，我们的讨论将限于线性系统。将首先给出能控性与能观测性的定义，然后推导出判别系统能控和能观测性的若干判据。
第一节能控性及其判据
一、线性定常系统的能控性及其判据
(一)能控性定义
线性定常系统状态方程为
?
X=BU
AX+（3-1）
其中x、u分别为n、r维向量，A、B为满足矩阵运算的常值矩阵。若给定系统
的一个初始状态可为x(t
0)（t
可为0），如果在的有限时间区间[t
，t
1
]内，存
在容许控制u （t ）使x(t 1)＝0，则称系统状态在t 0时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的，简称系统是状态能控的或系统是能控的。 由这个定义可知：
1)系统能控性定义中的初始状态x(t 0)是状态空间中任意的非零有限点，控制的目标是状态空间坐标原点(有的文献称为达原点的能控性)。 2)如果在时间区间[t 0，t 1]内存在容许控制u （t ），使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态x(t 1)，则称为状态能达性。由于连续系统状态转移矩阵是非奇异的．因此可以证明系统能控性与能达性是等价的。 ·
3)在能控性研究中，我们考察的并不是x(t 0)推向x(t 1)＝0的时变形式，而是考察能控状态在状态空间中的分布。很显然，只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。 (二)能控性判据
判据一：若式（3-1）系统能控，则n n ?能控性矩阵
[]B A B A AB B
Q n c 12...
-= 满秩。即
n ）Q rank c =(
判据一的证明从略，结合具体例子介绍其方法。
[例] 考虑由下式确定的系统：
u x x x x ??
????+???????
?????-=??????1010112121 由于
00
01
1][det det ===AB B Q
即Q 为奇异，所以该系统是状态不能控的。 [例] 考虑由下式确定的系统：
u x x x x
??????+????????????-=??????1012112121 (3-2) 对于该情况，
01
11
0][det det ≠-=
=AB B Q 即Q 为非奇异，因此系统是状态能控的。
判据二：由于状态能控的条件是A 的特征向量互异，关于定常系统能控性的判据很多。除了上述的代数判据外，本小节将给出一种相当直观的方法，这就是从标准形的角度给出的判据。
考虑（3-2）的线性系统。 如果A 的特征向量互不相同，则可找到一个非奇异线性变换矩阵P 可将A 阵转换为对角阵，当且仅当转换后的输入矩阵-
B 没有一
行的所有元素均为零时，系统才是状态能控的。如果式（3-2）中的矩阵A 不具有互异的特征向量，则不能将其化为对角线形式。在这种情况下，可将A 化为Jordan 标准形。例如，若A 的特征值分别λ1,λ1,λ1,λ4,λ4,λ6,…,λn ,并且有n - 3个互异的特征向量，那么A 的Jordan 标准形为
??????????
?????
?
????????
????????=n J λλλλλλλ0
1
01
0001
6
4
4
1
1
1
(3-3) 与每个Jordan 块最后一行相对应的B S 1-=Γ的任一行元素不其中，在主对角线上的3×3和2×2子矩阵称为Jordan 块。
假设能找到一个变换矩阵S ，使得
J AS S =-1
如果利用
x = S z
(3-4)
定义一个新的状态向量z ，将式（3-4）代入式（3-2）中，可得到
u
Jz Bu S ASz S z
Γ+=+=--11 (3-5)
从而式（3-5）确定的系统的状态能控性条件可表述为，当且仅当：（1）式（3-3）中的矩阵J 中没有两个Jordan 块与同一特征值有关；（2）全为零；（3）对应于不同特征值的B S 1-=Γ的每一行的元素不全为零时，则系统是状态能控的。
[例] 下列系统是状态能控的：
u x x x x
??
?
???+????????????--=??????5220012121
?????????????
?
?
???????+????????????????????????????????-----=?????????????????????
?????+????????????????????---=??????????2154321543213213211200
0300105
1
52
01200
012340200010011u u x x x x x x x
x x x u x x x x x x 下列系统是状态不能控的：
u x x x x x x x x x x u u x x x x x x
u x x x x ??
???????
???????+?????????????????????????
???????-----=??????????????????????????
??????+????????????????????---=????????????????+???????????
?--=??????0312450
0152
01200012030024
2000100110220015432154321213213212121
判据三： 用传递函数矩阵表达的状态能控性条件
状态能控的条件也可用传递函数或传递矩阵描述。
状态能控性的充要条件是在传递函数或传递函数矩阵中不出现相约现象。如果发生相约，那么在被约去的模态中，系统不能控。 [例] 考虑下列传递函数：
)
1)(5.2(5.2)()(-++=
s s s s U s X 显然，在此传递函数的分子和分母中存在可约的因子（s+2.5）(因此少了一阶)。由于有相约因子，所以该系统状态不能控。
当然，将该传递函数写为状态方程，可得到同样的结论。状态方程为
u x x x x ??????+???????????
?-=??????115.15.2102121 由于
??
??
??=1111][AB B 即能控性矩阵][AB B 的秩为1，所以可得到状态不能控的同样结论。
第二节 能观测性及其判据
【教学目的】 掌握系统的能观性的概念及其判据。 【教学重点】 线性连续定常系统的能观性的判断。 【教学难点】 能观性判据概念的理解。 【教学方法及手段】 课堂教学 【课外作业】3-2 【学时分配】2学时 【教学内容】
现在讨论线性系统的能观测性。考虑零输入时的状态空间表达式
Cx
y Ax x == (3-6)
式中，n m n n m n R C R A R y R x ??∈∈∈∈,,,。
如果每一个状态x (t o )都可通过在有限时间间隔t o ≤t ≤t 1内，由y (t )观测值
确定，则称系统为(完全)能观测的。本节仅讨论线性定常系统。不失一般性，设t o =0。
能观测性的概念非常重要，这是由于在实际问题中，状态反馈控制遇到的困难是一些状态变量不易直接量测。因而在构造控制器时，必须首先估计出不可量测的状态变量。在“系统综合”部分我们将指出，当且仅当系统是能观测时，才能对系统状态变量进行观测或估计。
在下面讨论能观测性条件时，我们将只考虑由式（3-6）给定的零输入系统。这是因为，若采用如下状态空间表达式
Du
Cx y Bu Ax x
+=+= 则
?-+=t
o t A At d Bu e x e t x τ
ττ)()0()()(
从而
Du d Bu e C x Ce t y t o
t A At ++=?-τττ)()0()()(
由于矩阵A 、B 、C 和D 均为已知，u (t )也已知，所以上式右端的最后两项为已知，因而它们可以从被量测值y (t )中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，只考虑式（3-6）所描述的零输入系统就可以了。 判据一、线性定常系统状态能观测性及其判据
考虑由式（3-6）所描述的线性定常系统。将其重写为
Cx
y Ax x ==
易知，其输出向量为
)0()(x Ce t y At =
将At e 写为A 的有限项的形式，即
∑-==1
)(n k k k At
A t e α
因而
)0()()(1
0x CA t t y k n k k ∑-==α
或
)0()()0()()0()()(1110x CA t CAx t Cx t t y n n --+++=ααα (3-7) 显然，如果系统是能观测的，那么在0≤t ≤t 1时间间隔内，给定输出y (t )，就可由式（3-7）唯一地确定出x (0)。可以证明，这就要求nm ×n 维能观测性矩阵
????
?
????
???=-1n CA CA C R 的秩为n 。
由上述分析，我们可将能观测的充要条件表述为：由式（3-6）所描述的线性定常系统，当且仅当n ×nm 维能观测性矩阵
][1T
n T T T T T C A C A C R -=）（
的秩为n ，即n rankR T =时，该系统才是能观测的。此为判据一。 [例] 试判断由式
[]?
?
?
???=??
?
???+???????????
?--=??????21212101101211x x y u x x x x
所描述的系统是否为能控和能观测的。 [解] 由于能控性矩阵
??
?
?
??-==1110
][AB B Q 的秩为2，即n rankQ ==2，故该系统是状态能控的。
对于输出能控性，可由系统输出能控性矩阵的秩确定。由于
[]10]['==CAB CB Q
的秩为1，即m Q rank =='1，故该系统是输出能控的。
为了检验能观测性条件，我们来验算能观测性矩阵的秩。由于
??
??
??==1011
][T T T T C A C R 的秩为2，n rankR T ==2，故此系统是能观测的。
判据二、状态能观测性条件的标准形判据
考虑由式（3.13）和（3.14）所描述的线性定常系统，将其重写为
Cx
y Ax x == (3-8)
设非奇异线性变换矩阵P 可将A 化为对角线矩阵，如果m ×n 维矩阵-
C 的任一列中都不含全为零的元素，那么系统是能观测的。
如果不能将式（3-8）变换为对角线标准形，则可利用一个合适的线性变换矩阵P ，将其中的系统矩阵A 变换为Jordan 标准形。系统能观测的充要条件为：（1）J 中没有两个Jordan 块与同一特征值有关；（2）与每个Jordan 块的第一行相对应的矩阵-
C 列中，没有一列元素全为零；（3）与相异特征值对应的矩阵-
C 列中，没有一列包含的元素全为零。为了说明条件(2），在下例中，对应于每个Jordan 块的第一行的-
C 列之元素用下划线表示。 [例] 下列系统是能观测的：
?????
??
?
??????????????=?????????????
?????????????????????????--=????????????????????
?
?????????
??=????????
?????????????????
?=????????????????=????????????--=??????5432
1215432154321321213213212121210111000111,300132001200012004003,200120012]31[,2001x x x x x y y x x x x x x x x x x x x x y y x x x x x x
x x y x x x x
显然，下列系统是不能观测的：
??
?????
?
??????????????=?????????
?????????????--=????????????????????
?
?????????
??=????????
??????????????????=????????????????=????????????--=??????5432121321213213212121210011000111,300
1320012000
1254321420310,200120012]10[,2001x x x x x y y x x x x x
x x x y y x x x x x x
x x y x x x x
判据三、用传递函数矩阵表达的能观测性条件
类似地，能观测性条件也可用传递函数或传递函数矩阵表达。此时能观测性的充要条件是：在传递函数或传递函数矩阵中不发生相约现象。如果存在相约，则约去的模态其输出就不能观测了。 [例3.6] 证明下列系统是不能观测的。
Cx
y Bu Ax x =+=
式中
[]154,100,611
6
10
010
,321=????
?
???????????????---=????
?
?????=C B A x x x x
[解] 由于能观测性矩阵
????
?
?????----==11
1
575
664
])([2T T T T T T C A C A C R 注意到
01
1
1
575
664=---- 即n rankR T =<3，故该系统是不能观测的。
事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。由于X 1(s )和U (s )之间的传递函数为
)
3)(2)(1(1
)()(1+++=s s s s U s X
《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有 ⑴ 能控标准型： []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---????? ???????????? ???=+?? ???????? ? ?????----???? ? =+??
⑵ 能观标准型： []0011221100010 00 100010 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---?-?? ????? ??-????? ?????=-+???? ? ????? ??????-???? ?=+?? ⑶ 对角线标准型： []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ????? ??????? ???=+?????? ????? ??????=+? 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出， 12121012 1 11012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++ +++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等 于零，其参数如何确定？ 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。 转移项D 的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得： d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 11 10 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。 1.6 在例1. 2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试 问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？
现代控制理论试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系 统的那些性质 2、如何判断线性定常系统的能控性如何判断线性定常系统的能观性 3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么 三、计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 图1：RC无源网络 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和 5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐 近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。
即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&&
2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--??
- 现代控制理论课程总结 学习心得 从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程，在刚拿到课本的时候，没上张老师的课之前，咋一看，会认为开课的内容会是上学期学的控制理论基础的累赘或者简单的重复，更甚至我还以为是线性代数的复现呢！根本没有和现代控制论联系到一起。但后面随着老师讲课的风格的深入浅出，循循善诱，发现和自己想象的恰恰相反，张老师以她特有的讲课风格，精心准备的 ppt 课件，向我们展示了现代控制理论发展过程，以及该掌握内容的方方面面，个人觉得，我们不仅掌握了现代控制理论的理论知识，更重要的是学会了掌握这门知识的严谨的逻辑思维和科学的学习方法，对以后学习其他知识及在工作上的需要大有裨益，总之学习了这门课让我受益匪浅。 由于我们学习这门课的课时不是很多，并结合我们学生学习的需求及所要掌握的课程深入程度，张老师根据我们教学安排需要，我们这学期学习的内容主要有： 1.绪论；2.控制系统的状态表达式；3.控制系统状态表达式的解；4.线性系统的能空性和能观性；5.线性定常系统的综合。而状态变量和状态空间表达式、状态转移矩阵、系统的能控性与能观性以及线性定常系统的综合是本门课程的主要学习内容。当然学习的内容还包括老师根据多年教学经验及对该学科的研究的一些深入见解。 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的必修课。 经典控制理论的特点 经典控制理论以拉氏变换为数学工具，以单输入－单输出的线性定常系统为主要的研究对象。将描述系统的微分方程或差分方程变换到复数域中，得到系统的传递函数，并以此作为基础在频率域中对系统进行分析和设计，确定控制器的结构和参数。通常是采用反馈控制，构成所谓闭环控制系统。经典控制理论具有明显的局限性，突出的是难以有效地应用于时变系统、多变量系统，也难以揭示系统更为深刻的特性。当把这种理论推广到更为复杂的系统时，经典控制理论就显得无能为力了，这是因为它的以下几个特点所决定。 [ 1．经典控制理论只限于研究线性定常系统，即使对最简单的非线性系统也是无法处理的；这就从本质上忽略了系统结构的内在特性，也不能处理输入和输出皆大于1的系统。实际上，大多数工程对象都是多输入－多输出系统，尽管人们做了很多尝试，但是，用经典控制理论设计这类系统都没有得到满意的结果；2．经典控制理论采用试探法设计系统。即根据经验选用合适的、简单的、工程上易于实现的控制器，然后对系统进行分析，直至找到满意的结果为止。虽然这
宁波理工学院现代控制理论课程设计报告 题目打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性分析项目成员史旭东童振梁沈晓楠 专业班级自动化112 指导教师何小其 分院信息分院 完成日期 2014-5-28
目录 1. 课程设计目的 (4) 2.课程设计题目描述和要求 (4) 3.课程设计报告内容 (4) 3.1 原理图 (4) 3.2 系统参数取值情况 (5) 3.3 打印机皮带驱动系统的状态空间方程 (5) 4. 系统分析 (8) 4.1 能控性分析 (8) 4.2 能观性分析 (8) 4.3 稳定性分析 (9) 5. 总结 (11)
项目组成员具体分工
打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性 分析 课程设计的内容如下： 1.课程设计目的 综合运用自控现代理论分析皮带驱动系统的能控性、能观性以及稳定性，融会贯通并扩展有关方面的知识。加强大家对专业理论知识的理解和实际运用。培养学生熟练运用有关的仿真软件及分析，解决实际问题的能力，学会应用标准、手册、查阅有关技术资料。加强了大家的自学能力，为大家以后做毕业设计做很好的铺垫。 2.课程设计题目描述和要求 (1)环节项目名称：能控能观判据及稳定性判据 (2)环节目的： ①利用MATLAB分析线性定常系统的可控性和客观性。 ②利用MATLAB进行线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据。 (3)环节形式：课后上机仿真 (4)环节考核方式： 根据提交的仿真结果及分析报告确定成绩。 (5)环节内容、方法： ①给定系统状态空间方程，对系统进行可控性、可观性分析。 ②已知系统状态空间方程，判断其稳定性，并绘制出时间响应曲线验 证上述判断。 3.课程设计报告内容 3.1 原理图 在计算机外围设备中，常用的低价位喷墨式或针式打印机都配有皮带驱动器。它用于驱动打印头沿打印页面横向移动。图1给出了一个装有直流电机的皮
现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： ) 一．填空题（共27分，每空分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。8." 9.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 10.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 11.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 12.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 13._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.（ 6.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 7.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×）
《现代控制理论A》课程教学大纲 大纲执笔人：李益华大纲审核人： 课程编号：0811000374 英文名称：Modern Control Theory 学分：2.5 总学时：40 。其中，讲授40学时，实验0学时，上机0 学时，实训0 学时。适用专业: 自动化专业的本科生 先修课程：高等数学、线性代数、积分变换、电路、电子技术、微机原理与应用、 自动控制原理等 一、课程性质与教学目的 本课程是自动化专业的技术基础课。现代控制理论是经典控制理论的发展理论，从时间划分，现代控制理论处在智能控制理论之前。学生在学习了经典控制理论单输入单输出（SISO）系统的分析设计方法之后，进一步学习现代控制理论，通过学习掌握状态空间分析控制系统动态特性的方法，能够利用极点配置与状态观测理论，初步掌握对控制系统进行分析与综合，对于实现复杂系统的控制奠定理论基础。 二、基本要求 1、明确现代控制理论的任务，掌握控制系统状态空间表达式的建立，熟练状态空间表达式的几种转换关系。 2、掌握状态转移函数及其状态空间表达式的求解； 3、掌握线性控制系统的能控性和能观性的判别方法，理解状态空间表达式的能控标准型和能观标准型，掌握线性系统的结构分解，了解传递函数的实现等。 4、掌握李雅普诺夫稳定判据第一方法与第二方法，熟悉李雅普诺夫方法在线性系统与非线性系统中的应用。 5、掌握线性定常系统的极点配置、系统镇定、了解系统解耦、状态观测器，利用状态观测器实现状态反馈。 三、重点与难点 重点：求线性时不变连续系统矩阵指数函数；线性时不变连续系统的解；线性时不变连续系
统的离散化；线性时不变连续系统能控、能观、约当标准型以及线性变换成标准型；由状态空间表达式求传递函数矩阵；线性时不变连续系统能控、能观、约当标准型以及线性变换成标准型；由状态空间表达式求传递函数矩阵；通过状态反馈任意配置极点的充要条件及设计方法；系统能镇定的充分充要条件；状态观测器存在的条件及设计方法． 难点：特征向量的求法、线性变换成各种标准型特征向量的求法、线性变换成各种标准型求各种系统的状态转移矩阵、系统状态按能控性、能观性分解的方法、非线性系统李雅普诺夫函数的求法、降维观测器的设计。 四、教学方法 采用理论教学与Matlab仿真相结合的原则，同时采用课堂教学、案例教学相结合。 五、课程知识单元、知识点及学时分配
西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期
2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&
现代控制理论课 程设计报告 题目打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性分析 项目成员史旭东童振梁沈晓楠 专业班级自动化112 指导教师何小其 分院信息分院 完成日期 2014-5-28
目录 1. 课程设计目的 (3) 2.课程设计题目描述和要求 (3) 3.课程设计报告内容 (4) 3.1 原理图 (4) 3.2 系统参数取值情况 (4) 3.3 打印机皮带驱动系统的状态空间方程 (5) 4. 系统分析 (7) 4.1 能控性分析 (7) 4.2 能观性分析 (8) 4.3 稳定性分析 (8) 5. 总结 (10)
项目组成员具体分工 打印机皮带驱动系统能控能观和稳定性 分析 课程设计的内容如下： 1.课程设计目的 综合运用自控现代理论分析皮带驱动系统的能控性、能观性以及稳定性，融会贯通并扩展有关方面的知识。加强大家对专业理论知识的理解和实际运用。培养学生熟练运用有关的仿真软件及分析，解决实际问题的能力，学会使用标准、手册、查阅有关技术资料。加强了大家的自学能力，为大家以后做毕业设计做很好的铺垫。 2.课程设计题目描述和要求 (1)环节项目名称：能控能观判据及稳定性判据 (2)环节目的： ①利用MATLAB分析线性定常系统的可控性和客观性。 ②利用MATLAB进行线性定常系统的李雅普诺夫稳定性判据。 (3)环节形式：课后上机仿真 (4)环节考核方式： 根据提交的仿真结果及分析报告确定成绩。 (5)环节内容、方法： ①给定系统状态空间方程，对系统进行可控性、可观性分析。 ②已知系统状态空间方程，判断其稳定性，并绘制出时间响应曲线验
证上述判断。 3.课程设计报告内容 3.1 原理图 在计算机外围设备中，常用的低价位喷墨式或针式打印机都配有皮带驱动器。它用于驱动打印头沿打印页面横向移动。图1给出了一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的例子。其光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力的变化用于调节皮带的实际弹性状态。 图1 打印机皮带驱动系统 3.2 系统参数取值情况 表1打印装置的参数
现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、计算题（70分） 1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，错误！未找到引用源。为系统的输入，选错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,电压错误！未找到引用源。为为系统的输出y。 图1：RC无源网络 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解错误！未找到引用源。和错误！ 未找到引用源。
5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即错误！未找到引用源。是 否为大范围渐近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。。
现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？ 答：若错误！未找到引用源。在时刻错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于错误！未找到引用源。的实数错误！未找到引用源。和任意给定的初始状态错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的渐近稳定 二、简答题 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：错误！未找到引用源。。 方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且错误！未找到引用源。不包含元素全为0的行 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵错误！未找到引用源。满秩。即：错误！未找到引用源。 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？
“现代控制理论”是自动化及其相关专业本科生的一门重要的专业基础课程。胡皓、王春侠、任鸟飞编著的这本《现代控制理论》适应工程与应用类院校自动化、电气工程及其自动化、测控技术与仪器及相近专业的需要，力图结合系统的物理概念，深入浅出地阐述现代控制理论的最基本内容，包括状态空间的基本概念和分析方法，系统的状态空间描述和各种标准型，系统的运动分析，能控性与能观测性，结构分解和实现问题，以及系统的稳定性分析、状态反馈和状态观测器等；最后通过工程应用实例，归纳和总结状态空间的分析方法和具体应用。 本书叙述深入浅出，理论联系实际，尽可能从实际背景的分析中提出要讨论的问题、概念和方法。在介绍系统分析和控制系统设计方法的同时，适当地给出了相应的MATLAB函数，便于读者利用MATLAB软件来有效求解控制系统的一些计算和仿真问题，以加深对概念和方法的理解。 本书既适用于电气信息类各专业及其他相关专业作为教材使用，也适用于在职人员和广大读者自学深造使用。另外，本书配有电子课件，欢迎选用本书作教材的老师索取。 绪论 第1章线性控制系统的状态空间描述 1.1状态空间模型 1.1.1引例 1.1.2状态空间的基本概念
1.1.3系统的状态空间表达 1.1.4状态结构图 1.2动态系统状态空间表达式的建立 1.3由系统微分方程求状态空间表达式 1.3.1系统输入量不含有导数项 1.3.2系统输入量含有导数项 1.4由状态空间表达式求传递函数 1.4.1单输入单输出系统的传递函数 1.4.2多输入多输出系统传递函数阵 1.5状态矢量的线性变换 1.5.1线性非奇异变换 1.5.2系统的特征根、特征向量与传递函数矩阵1.5.3一般型转化为对角标准型 1.6离散系统的状态空间表示 1.6.1由差分方程或脉冲传递函数建立动态方程1.6.2离散系统的传递函数阵 1.7利用MATLAB进行系统模型之间的相互转换本章小结 习题 第2章线性控制系统的运动分析 2.1线性定常系统状态方程的解 2.1.1齐次状态方程的求解
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ? ? ?1 1J ? 2 J K b ? ?- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 46 1 51 41 31 33 222 11+ - - =+-==+ + - - == =? ? ? ? ? ? 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []????????? ???????????=??????? ? ?????????? ????+?? ???????? ?????????????????????? ? ??? ? ???????? ?---- -=??????????????????????????????6543211654321111111126543 2100 0001 000000 00 0000 0001 00100000 000 000 10 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图
一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 1113222332 1L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=? 改写为1 13111 22 322 312 11111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? ，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为
[]11 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ??????????????? ? ???-?????? ? ? ??? ?? ?=??? ?????? 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为
绪论 为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。 根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。 本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。 本书耗时两周，在同学的共同努力下完成，是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶，望大家能够合理使用，如发现错误请及时通知，欢迎大家的批评指正！ 2014年6月2日 第一章 控制系统的状态空间表达式 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y =
西北工业大学考试试题（卷） 2008 －2009 学年第2 学期 ? 2? 设系统的传递函数为
[y b =21x x kx =-- · @
} 2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+-+-+- ++-+=??????-+++=-? ?? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 2 1221112112213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ *
现代控制理论方法综述 研电1610秦晓 1162201332 摘要：本文将控制理论方法分为现代控制理论基础，线性最优控制，非线性最优控制三大部分，查阅文献，综述了每一部分中的经典控制方法，以及每种控制方法的优缺点和在工业中的应用，最后提出了目前在现代控制理论中依旧存在的问题。 1.引言 电力系统是一个复杂的非线性动态大系统，对于这个规模庞大的系统，研究其运行的动态特性进而构建先进的安全控制系统是极富挑战性的课题。同时，各种新技术的应用，一方面增强了系统的调控能力和经济效益，另一方面也极大的增加了电网控制的复杂性，对电力系统的安全稳定运行提出了更严格的要求。因此，改善与提高我国电力系统的动态品质、安全稳定和经济性成为了电力工作者的首要任务。提高电力系统稳定性的最经济和最有效的手段之一是采用先进的控制理论和方法。在过去的时间里，电力工作者们为改进与发展电力系统控制技术进行了大量研究。本文主要梳理总结电力系统在现代控制方面的研究成果，分析了电力系统控制技术的发展趋势，并总结了目前现代控制理论还需要解决的问题。 2.现代控制的基础 现代控制理论的基础是经典控制理论，在20世纪20年代到50年代间，为了满足第二次世界大战前后军事技术和工业发展的需求，经典控制理论有了飞速的发展。经典控制理论主要研究线性时不变、单输入单输出的控制问题。在分析和设计大型反馈控制系统时，经典控制论主要采用频域法，其中以 Nyquist 判据、Bode 图和根轨迹法最为广泛[1~2]。经典控制理论的设计目标是使闭环系统特征方程的特征根全部位于左半开平面上。上述设计目标可以描述为一类无目标函数的优化问题，即约束满足问题。由于使系统稳定的控制器解并不唯一，所以根据经典控制理论设计的 PID 控制器往往带有较大的冗余性[3]。也正是由于经典控制理论设计目标及方向简单明确，计算方便，特别适合需要依赖工程经验或现场测试进行控制器设计的系统，所以至今仍在工业中广泛应用。 在上世纪70年代以前，经典控制是电力系统控制的主流。如发电机励磁控制AVR主要采用单变量反馈方式，即采用发电机端电压偏差作为反馈量的 PID 控制方式。随着发电技术的进步和电力系统自身规模的增长，人们逐渐发现这种单输入控制方式难以满足电力系统对抑制振荡和提高稳定极限方面的要求。最早报道的互联电力系统低频振荡发生于20世纪60年代，北美MAPP的西北联合系统和西南联合系统进行互联试运行时发生了低频振荡，造成联络线过流跳闸[4]。之后，随着大容量机组的不断投运，以及快速、高放大倍数励磁系统越来越广泛的使用，使得低频振荡现象在世界各国大型互联电网中时有发生，这对电网安全产生了严重威胁。为解决这个问题，文献[5]采用转速偏差作为附加反馈与AVR并联，发展出PSS+AVR的励磁控制方式。进入21世纪以来，我国电网互联程度不断提高，系统中出现了
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为