《数值计算方法》复习试题
一、填空题：
1、??
???
?
????----=410141014A ，则A 的LU 分解为
A ?
????????
???=????????????。
答案：
??
????????--??????????--=1556141501
4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,
0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计
算求得?≈3
1
_________
)(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。
答案：2.367，0.25 3、1)3(,2)2(,
1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2x 的系
数为 ，拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1，
)2)(1(21
)3)(1(2)3)(2(21)(2--------=
x x x x x x x L
4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字；
5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是(
)；
答案
)(1)
(1n n n n n x f x f x x x '---
=+
6、对1)(3++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )；
7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式
中x 2系数为( 0.15 )；
11、 两点式高斯型求积公式?1
0d )(x x f ≈
(?++-≈1
)]
321
3()3213([21d )(f f x x f
)，代数精度为( 5 )；
12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A
的各阶顺序主子式均不为零)。 13、 为了使计算
32)1(6
)1(41310--
-+-+
=x x x y
的乘除法次数尽量地
少，应将该表达式改写为 11,))64(3(10-=
-++=x t t t t y
，为了减少舍入误差，应将表达式19992001-
14、 计算积分?1
5
.0d x
x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近
似值为 0.4268 ，用辛卜生公式计算求得的近似值为 0.4309 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 15、
求解方程组??
?=+=+042.01
532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为
?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2
)(2)1(1k k k k x x x x ，该迭代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ=
12
1 。
16、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l
)2()(1--=x x x l
，)(x f 的二
次牛顿插值多项式为
)1(716)(2-+=x x x x N 。
17、 求积公式?∑=≈b
a
k n
k k x f A x x f )(d )(0
的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具有(
12+n )次代数精度。
18、 已知 f (1)=1,f (3)=5,f (5)=-3,用辛普生求积公式求
?5
1
d )(x
x f ≈( 12 )。
19、 设f (1)=1， f (2)=2，f (3)=0，用三点式求≈')1(f ( 2.5 )。 23、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则
∑==
n
k k
x l
0)(( 1
)，
∑==
n
k k j
k x l x 0
)((
j
x )，当
2
≥n 时
=
++∑=)()3(2
4x l x x
k k n k k
( 324++x x
)。
26、改变函数f x x x ()=
+-
1 (x >>1)的形式，使计算结果较精确
()x
x x f ++=
11 。
29、若用复化梯形公式计算?1
0dx
e x ，要求误差不超过610-，利用余
项公式估计，至少用 477个求积节点。 30、写出求解方程组
??
?=+-=+2
4.016.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭代公式
()()
()() ,1,0,4.026.111112211=???+=-=+++k x x x x k k k k ，迭代矩阵为
???? ??--64.006.10，此迭代法是否收
敛 收敛 。
31、设
A =?? ?
??
5443,则=∞A 9 。
32、设矩阵4
8257136A ????=??
????
的
A LU
=，则U =
4820161002U ??
????=??
??-????
。
33、若4321()f x x x =++，则差商2481632[,,,,]f = 3 。
34、数值积分公式1
1
2
18019
()[()()()]f x dx f f f -'≈-++?的代数精度为
2 。
35、 线性方程组
121015112103x ????
????????=????????????
的最小二乘解为
11?? ???
。
36、设矩阵
321204135A ????=??
????
分解为
A L
=，则U =
32141003321002??
??????-????????
。
二、单项选择题：
1、 Jacobi 迭代法解方程组b x =A 的必要条件是（ C ）。 A ．A 的各阶顺序主子式不为零 B ． 1)( C ． n i a ii ,,2,1,0 =≠ D ． 1≤A 2、设?? ??? ? ????--=700150322A ，则)(A ρ为( C )． A ． 2 B ． 5 C ． 7 D ． 3 4、求解线性方程组A x =b 的LU 分解法中，A 须满足的条件是( B )。 A ． 对称阵 B ． 正定矩阵 C ． 任意阵 D ． 各阶顺序主子式均不为零 5、舍入误差是( A )产生的误差。 A. 只取有限位数 B ．模型准确值与用数值方法求得的准确值 C ． 观察与测量 D ．数学模型准确值与实际值 6、3.141580是π的有( B )位有效数字的近似值。 A ． 6 B ． 5 C ． 4 D ． 7 7、用 1+x 近似表示e x 所产生的误差是( C )误差。 A ． 模型 B ． 观测 C ． 截断 D ． 舍入 8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是( A )。 A ．控制舍入误差 B ． 减小方法误差 C ．防止计算时溢出 D ． 简化计算 9、用 1+3 x 近似表示31x +所产生的误差是( D )误差。 A ． 舍入 B ． 观测 C ． 模型 D ． 截断 10、-324．7500是舍入得到的近似值，它有( C )位有效数字。 A ． 5 B ． 6 C ． 7 D ． 8 11、设f (-1)=1,f (0)=3,f (2)=4,则抛物插值多项式中x 2的系数为( A )。 A ． –0．5 B ． 0．5 C ． 2 D ． -2 13、( D )的3位有效数字是0.236×102。 (A) 0.0023549×103 (B) 2354.82×10ˉ2 (C) 235.418 (D) 235.54×10ˉ1 14、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=?(x)，则f(x)=0的根是( B )。 (A) y=?(x)与x 轴交点的横坐标 (B) y=x 与y=?(x)交点的横坐标 (C) y=x 与x 轴的交点的横坐标 (D) y=x 与y=?(x)的交点 15、用列主元消去法解线性方程组??? ??-=+--=-+-=+-1 340921433 21321321x x x x x x x x x ，第 1次消元， 选择主元为( A ) 。 (A) －4 (B) 3 (C) 4 (D)－9 16、拉格朗日插值多项式的余项是( B ),牛顿插值多项式的余项是( C ) 。 (A) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)， (B) )!1() ()()()()1(+= -=+n f x P x f x R n n n ξ (C) f(x,x0,x1,x 2,…,xn)(x －x0)(x －x1)(x －x2)…(x －xn －1)(x －xn)， (D) ) ()! 1() ()()()(1)1(x n f x P x f x R n n n n +++=-=ωξ 17、等距二点求导公式f '(x1) ≈( A )。 1011 0101 0010 101)()() D ()()() C ()()() B ()()() A (x x x f x f x x x f x f x x x f x f x x x f x f +--+---- 18、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足( A ),则它的解数列{xn}n=0,1,2,…一定收敛到方程f(x)=0的根。 0)()()D (0 )()()C (0 )()()B (0 )()()A (0000<'<''>'>''x f x f x f x f x f x f x f x f 19、为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改 写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A )。 (A)1 1:,1 1 12-=-= +k k x x x x 迭代公式 (B) 21211:,11k k x x x x +=+ =+迭代公式 (C) 3 /12123)1(:,1k k x x x x +=+=+迭代公式 (D) 11:,12 2 1 2 3+++==-+k k k k x x x x x x 迭代公式 21、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+)()1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 22、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数 ) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ） 时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， 所确定的插值多项式的次数是（ ）。 （1）二次； （2）三次； （3）四次； （4）五次 25、1732.≈计算41)x =，下列方法中哪种最好？（ ） (A)28- (B)24(-； (C ) ； (D) 。 27、由下列数表进行Newton 插值，所确定的插值多项式的最高次 5432 29 Newton 迭代格式为( ) (A) 132k k k x x x += +；(B ) 1322k k k x x x += +；(C) 122k k k x x x += +；(D) 133k k k x x x += +。 32、设()i l x 是以019(,, ,)k x k k ==为节点的Lagrange 插值基函数，则 9 ()i k kl k ==∑( ) (A)x ； （B ）k ； （C ）i ； （D ）1。 33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有( )次代数精度 (A )5； (B)4； (C)6； (D)3。 35、已知方程3250x x --=在2x =附近有根，下列迭代格式中在02x =不收敛的是( ) (A) 1k x +=； (B) 1k x +=； (C ) 3 15 k k k x x x +=--； (D) 3 12 2532k k k x x x ++=-。 (A ) 4； (B)2； (C)1； (D)3。 四、计算题： 1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 ??? ??=++=++=++22 5218241124321 321321x x x x x x x x x ，取 T )0,0,0()0(=x ，迭代四次(要求按五位有效数字计算)。 答案：迭代格式 ??? ??? ???--=--=--=++++++)222(51)218(41)211(41)1(2)1(1)1(3) (3)1(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 2、 求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)]21 ()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的代数精度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求? =2 1 1 dx x I (保留 四位小数)。 答案：2,,1)(x x x f =是精确成立，即 ?? ? ??=+=+322122 22B A B A 得 98,91== B A 求积公式为 )]21 ()21([98)]1()1([91)(1 1f f f f dx x f +-++-=?- 当3 )(x x f =时，公式显然精确成立；当 4 )(x x f =时，左=5 2 ，右 =31 。所以代数精度为 3。 69286.0140 97 ] 3 21132/11[98]311311[9131111322 1 ≈= +++-++++-≈+=??--=dt t dx x x t 3、 已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 )(x f 的三次插值多项 式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。 答案：)53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L )45)(35)(15() 4)(3)(1(4 )54)(34)(14()5)(3)(1(5 ------+------+x x x x x x 差商表为 )4)(3)(1(41 )3)(1()1(22)()(33---+ ----+==x x x x x x x N x P 5.5)2()2(3=≈P f 5、已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2x p ，并求)0(f '的近似值。 答案：解： 正规方程组为 ??? ? ?=+==+41 341031015 10520120a a a a a 1411 ,103,710210=== a a a 221411103710)(x x x p ++= x x p 711 103)(2+=' 103 )0()0(2 ='≈'p f 6、已知x sin 区间[0.4，0.8]的函数表 如用二次插值求63891.0sin 的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。 答案：解： 应选三个节点，使误差 |)(|!3|)(|33 2x M x R ω≤ 尽量小，即应使|)(|3x ω尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上 述要求。即取节点}7.0,6.0,5.0{最好，实际计算结果 596274.063891.0sin ≈， 且 4 1055032.0)7.063891.0)(6.0963891.0)(5.063891.0(! 31 596274 .063891.0sin -?≤----≤ - 7、构造求解方程0210=-+x e x 的根的迭代格式 ,2,1,0),(1==+n x x n n ?，讨论其收敛性，并将根求出来，4 110||-+<-n n x x 。 答案：解：令 010)1(, 02)0(, 210e )(>+=<-=-+=e f f x x f x . 且010e )(>+='x x f )(∞+-∞∈?，对x ，故0)(=x f 在(0,1)内有唯一实根. 将方程0)(=x f 变形为 )e 2(101 x x -= 则当)1,0(∈x 时 )e 2(101)(x x -=?， 110e 10e |)(|<≤-='x x ? 故迭代格式 )e 2(101 1n x n x -= + 收敛。取5.00=x ，计算结果列表如下： 且满足 6671095000000.0||-<≤-x x .所以008525090.0*≈x . 8﹑利用矩阵的LU 分解法解方程组 ??? ??=++=++=++20 53182521432321321321x x x x x x x x x 。 答案：解： ?? ????????--??????????-==244132 11531 21LU A 令b y =L 得T )72,10,14(--=y ，y x =U 得T )3,2,1(=x . 9﹑对方程组 ??? ??=-+=--=++8 4102541015 1023321321321x x x x x x x x x （1） 试建立一种收敛的Seidel 迭代公式，说明理由； （2） 取初值T )0,0,0()0(=x ，利用（1）中建立的迭代公式求解， 要求3)()1(10||||-∞+<-k k x x 。 解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优 ??? ??=++=-+=--15 1023841025410321 321321x x x x x x x x x 故对应的高斯—塞德尔迭代法收敛.迭代格式为 ??? ??? ???+--=++-=++=++++++)1523(101)842(101)54(101)1(2)1(1)1(3) (3)1(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 取T )0,0,0()0(=x ,经7步迭代可得： T )010000.1,326950999.0,459991999.0()7(*=≈x x . 11、用列主元素消元法求解方程组 ??????????--=????????????????????--11124112345111321x x x 。 解： ??? ?? ?????----???→????????????----111124111123451111212345411121r r ????? ? ?? ????????-----???→?????????? ??? ?????- -----???→?-5852510579515130123 4 5 57951513058525101234 55 2 51 321312r r r r r r ??? ?? ? ?? ??????? ?----???→?+135 1350579515130 123 4 5131 23r r 回代得 3,6,1123==-=x x x 。 12、取节点1,5.0,0210===x x x ,求函数x x f -=e )(在区间[0,1]上的二次插 值多项式)(2x P ,并估计误差。 解： )15.0)(05.0() 1)(0()10)(5.00()1)(5.0()(5.002----? +----? =--x x e x x e x P )5.0(2)1(4)1)(5.0(2) 5.01)(01() 5.0)(0(15.01-+----=----? +---x x e x x e x x x x e 又 1 |)(|max ,)(,)(] 1,0[3='''=-='''=∈--x f M e x f e x f x x x 故截断误差 |)1)(5.0(|!31 |)(||)(|22--≤ -=-x x x x P e x R x 。 12604.1)0.2(,07334.1)5.1(43≈==≈y y y y 14、给定方程01e )1()(=--=x x x f 1) 分析该方程存在几个根； 2) 用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字； 3) 说明所用的迭代格式是收敛的。 解：1）将方程 01e )1(=--x x （1） 改写为 x x -=-e 1 （2） 作函数1)(1-=x x f ，x x f -=e )(2的图形（略）知（2）有唯一根)2,1(*∈x 。 2) 将方程（2）改写为 x x -+=e 1 构造迭代格式 ?? ?=+=-+5 .1e 101x x k x k ),2,1,0( =k 计算结果列表如下： 3) x x -+=e 1)(?，x x --='e )(? 当]2,1[∈x 时，]2,1[)]1(),2([)(?∈???x ，且 1e |)(|1<≤'-x ? 所以迭代格式 ),2,1,0()(1 ==+k x x k k ?对任意]2,1[0∈x 均收敛。 15、用牛顿(切线)法求3的近似值。取x 0=1.7, 计算三次，保留五 位小数。 解： 3是03)(2 =-=x x f 的正根，x x f 2)(='，牛顿迭代公式为 n n n n x x x x 23 21-- =+， 即 ) ,2,1,0(2321 =+= +n x x x n n n 取x 0=1.7, 列表如下： 16、已知f (-1)=2，f (1)=3，f (2)=-4，求拉格朗日插值多项式)(2x L 及f (1，5)的近似值，取五位小数。 解： )12)(12() 1)(1(4)21)(11()2)(1(3)21)(11()2)(1(2)(2-+-+? --+-+?+------? =x x x x x x x L )1)(1(34 )2)(1(23)2)(1(32-+--+---= x x x x x x 04167 .0241 )5.1()5.1(2≈=≈L f 17、n =3,用复合梯形公式求x x d e 10?的近似值（取四位小数）,并求误 差估计。 解：7342.1]e )e e (2e [3201d e 1210 310 ≈+++?-= ≈?T x x x x x f x f e )(,e )(=''=，10≤≤x 时，e |)(|≤''x f 05.0025.0108e 312e |e |||2 3≤==?≤ -= T R x 至少有两位有效数字。 18、用Gauss-Seidel 迭代法求解线性方程组 ????? ??--411131103????? ??321x x x =????? ??--815， 取x (0)=(0,0,0)T ,列表计算三次，保留三位小数。 解：Gauss-Seidel 迭代格式为： ??? ??? ???-+-=----=+-=++++++)8(41)1(31)5(3 1)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2 ) (3)1(1 k k k k k k k k x x x x x x x x 系数矩阵?????? ????--411131103严格对角占优，故Gauss-Seidel 迭代收敛. 取x (0)=(0,0,0)T ，列表计算如下: 20、（82bx a y += 解：},1{x span =Φ ??? ???=22 2 2 38312519 1111 T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ??????=7.1799806.173y A T 解得： ??????=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a ， 0501025.0=b 21、（15分）用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算dx e x ?-1 时，试用余项估计其误差。用8=n 的复化梯形公式（或复化 Simpson 公式）计算出该积分的近似值。 解： 001302.07681 81121)(12][022==??≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 22、（15分）方程013=--x x 在5.1=x 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）3 1+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ；(2) x x 1 1+ =对 应迭代格式n n x x 1 11+ =+；（3）13-=x x 对应迭代格式13 1-=+n n x x 。判断迭代格式在5.10=x 的收敛性，选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根，精确到小数点后第三位。 解：（1）3 2 1(31 )(-+='）x x ?，118.05.1<='）（ ?，故收敛； （2） x x x 1 121)(2+ - ='?，117.05.1<='）（ ?，故收敛； （3）23)(x x ='?， 15.135.12>?='）（?，故发散。 选择（1）：5.10=x ，3572.11=x ，3309.12=x ，3259.13=x ，3249.14=x ， 32476.15=x ，32472.16=x 23、（8分）已知方程组f AX =，其中 ??????????--=4114334A ，?? ??? ?????-=243024f （1） 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 （2） 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径。 解：Jacobi 迭代法：?? ???????=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) (2)1(3)(3)(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法：?? ???????=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) 1(2)1(3)(3)1(1)1(2)(2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k ?????? ????? ?--=+-=-0430430 43043 0)(1 U L D B J ， 790569.0)410(85)(==或J B ρ 27、（10分）已知数值积分公式为： )]()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈ ?λ，试确定积分公式中的参数 λ，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。 解：1)(=x f 显然精确成立； x x f =)(时，] 11[]0[22220 -++==?h h h h xdx h λ； 2)(x x f =时，12122]20[]0[2332 230 2 = ?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ； 3)(x x f =时，] 30[121 ]0[24223403 h h h h h dx x h -++==?； 4)(x x f =时，6 ]40[121]0[2553 2450 4 h h h h h h dx x h = -++≠=?； 所以，其代数精确度为3。 28、（8分）已知求)0(>a a 的迭代公式为： 2,1,00)(2101=>+= +k x x a x x k k k 证明：对一切a x k k ≥=,,2,1 ，且序列{}k x 是单调递减的， 从而迭代过程收敛。 证明： 2,1,0221)(211==???≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1 。 又1 )11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1，即序列{}k x 是单调递减有 下界，从而迭代过程收敛。 29、（9分）数值求积公式?+≈3 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公 式？为什么？其代数精度是多少？ 解：是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121 )1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=30)]2()1([23)(f f dx x p 。其代数精度为1。 30、(6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。 (6分) ()()[]n n n x x x cos 141 1+= =+φ，n=0,1,2,… ()()141 sin 41'<≤= x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。 31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算115的近 似值，并利用余项估计误差。 用Newton 插值方法：差分表： ≈ 11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-1 21) =10.7227555 【 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数， 则 a =( )， b =（ ）， c =（ ）。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ； 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ?，则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 《数值计算方法》复习试题 一、填空题： 1、????? ?????----=410141014A ，则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案： ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：， 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ， 拉格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； （ 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y )，y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y )； 10、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精 度为( 5 )； 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ，1 ,进行两步后根的所在区间为 ， 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ，用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ，梯形公式的代数精度为 1 ，辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ，该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ，)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高，具 有( 12+n )次代数精度。 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等 价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证 明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 马克思主义哲学原理试题及答案（一） 第一部分选择题 一、单项选择题（本大题共30小题，第小题1分，共30分） 1、唯心主义的两种基本形式是 b a、形而上学唯心主义和辩证唯心主义 b、主观唯心主义和客观唯心主义 c、彻底的唯心主义和不彻底的唯心主义 d、自然观上的唯心主义和历史观上的唯心主义 2、把可直接感知的某种具体实物看作是世界的本原，这种观点属于 a a、朴素唯物主义 b、形而上学唯物主义 c、辩证唯物主义c、庸俗唯物主义 3、马克思主义认为，哲学是 b a、科学的世界观和方法论 b、系统化理论化的世界观 c、人们自发形成的世界观 d、人们对人生目的意义的根本观点 4、唯物主义和唯心主义在世界统一性问题上的根本分歧是 d a、肯定世界的统一性还是否认世界的统一性 b、认为世界统一于运动还是统一于静止 c、认为世界统一于主体还是统一于客体 d、认为世界统一于物质还是统一于精神 5、相对静止是指 c a、事物绝对不动 b、事物永恒不变 c、事物运动的特殊状态 d、事物运动的普遍状态 6、时间和空间是 c a、物质的唯一特性 b、物质的根本属性 c、物质运动的存在方式 d、物质运动的根本原因 7、唯物辩证法认为，发展的实质是 d a、事物数量的增加 b、事物的一切变化 c、事物根本性质的变化 d、新事物的产生和旧事物的灭亡 8、在生活和工作中，凡事都要掌握分寸，坚持适度原则，防止“过”和“不及”。这在哲学上符合 b a、内容和形式相互作用的原理 b、量和质相统一的原理 c、理论和实践相统一的原理 d、内因和外因相结合的原理 9、有的哲学家认为，世界上的一切现象都是有原因的，因而一切都是必然的，偶然性是不存在的。这是一种 c a、庸俗唯物主义观点b、唯心主义非决定论观点 c、形而上学的机械决定论观点 d、辩证唯物主义决定论观点 请浏览后下载，资料供参考，期待您的好评与关注！ 数值计算方法试题一 一、填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数，需对分（）次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在（）。 3、已知是三次样条函数，则 =( )，=（），=（）。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数，则 ( )，( )，当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为，5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族，其中，则。 8、给定方程组，为实数，当满足，且时，SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设，当（）时，必有分解式，其中为下三角阵，当其对角线元素满足（）条件时，这种分解是唯一的。 二、二、选择题（每题2分） 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是（）。（1）, (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式：中，当系数是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1），（2），（3），（4）， （1）二次；（2）三次；（3）四次；（4）五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题，试问为保证该公式绝对稳定，步长的取值范围为（）。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、（15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 （2）用的复化梯形公式（或复化 Simpson公式）计算出该积分的近似值。 四、1、（15分）方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）对应迭代格式；(2)对应迭代格式；（3）对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性，选一种收敛格式计算附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。 2、（8分）已知方程组，其中 ， （1）（1）列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 （2）（2）求出Jacobi迭代矩阵的谱半径，写出SOR 迭代法。 五、1、（15分）取步长，求解初值问题用改进的欧拉法求的值；用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、（8分）求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、（下列2题任选一题，4分） 1、1、数值积分公式形如 （1）（1）试确定参数使公式代数精度尽量高；（2）设，推导余项公式，并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时，如何选择参数使方法阶数尽可能高，并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题：（共16分，每小题２分） １、若是阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵和上三角阵，使唯一成立。（） 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 2020年自考《马克思主义哲学原理》模拟试题及答案 (6) 4.1.实践的基本特点表现在它是(ACE)。 A.客观的感性物质活动 B.人类的纯思维活动 C.主体有意识、有目的的活动 D.动物的本能活动 E.社会的、历史的活动 4.2.下列活动哪些属于实践的基本形式(ADE)。 A.农民种地 B.医生诊病 C.学生读书 D.司法人员办案 E.科学家做实验 4.3.关于理解主体下列哪些观点是准确的(ABCE)。 A.理解的主体必须是有意识的存有物 B.理解的主体必须是社会的存有物 C.理解的主体是从事实践活动和理解活动的现实的 D.理解的主体是指实践和理解所指向的事物 E.理解的主体包括个人、集团和类三种形式 4.4.对于研究者来说下列现象属于理解的客体(ABCDE)。 A.自然现象 B.社会现象 C.现实的人 D.主观精神 E.客观化精神 4.5.主体和客体之间的关系是(BCD)。 A.一般与个别的关系 B.改造与被改造的关系 C.反映与被反映的关系 D.相互作用的关系 E.思维与存有的关系 4.6.唯物主义反映论认为(CD)。 A.理解是从“感觉和思想到物”的过程 B.理解是人脑中固有的 C.理解是主体对客体的反映 D.理解能够与被理解对象相一致 E.理解来源于某种“客观精神” 4.7.不可知论的代表是(BE)。 A.柏拉图 B.康德 C.黑格尔 D.费尔巴哈 E.休谟 4.8.能动的革命的反映论坚持(ABCDE)。 A.从“物到感觉和思想”的理解路线 B.实践对理解的决定作用 C.理解对实践的能动作用 D.世界是可知的 E.实践与理解的具体历史的统一 4.9.旧唯物主义理解论的主要缺陷是(DE)。 A.不坚持从物到思想的理解路线 B.不坚持可知论 C.否认理解是主体对客体的反映 D.不懂得实践是理解的基础 E.不懂得理解过程的辩证法 4.10.必须坚持感性理解和理性理解的辩证统一，因为(AE)。 A.离开感性理解，就没有理性理解 B.理性理解就是感性理解的持续积累 C.感性理解不可靠，理性理解才可靠 D.理性理解不可靠，感性理解才可靠 E.要反映事物本质感性理解必须上升到理性理解 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 马克思主义哲学原理试题及答案( 一) 第一部分选择题 一、单项选择题( 本大题共30小题, 第小题1分, 共30分) 在 第小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的, 请将 正确选项前的字母填在题后的括号内。 1、唯心主义的两种基本形式是( ) A、形而上学唯心主义和辩证唯心主义 B、主观唯心主义和客观唯心主义 C、彻底的唯心主义和不彻底的唯心主义 D、自然观上的唯心主义和历史观上的唯心主义 2、把可直接感知的某种具体实物看作是世界的本原, 这种观点属 于( ) A、朴素唯物主义 B、形而上学唯物主义 C、辩证唯物主义C、庸俗唯物主义 3、马克思主义认为, 哲学是( ) A、科学的世界观和方法论 B、系统化理论化的世界观 C、人们自发形成的世界观 D、人们对人生目的意义的根本观点 4、唯物主义和唯心主义在世界统一性问题上的根本分歧是( ) A、肯定世界的统一性还是否认世界的统一性 B、认为世界统一于运动还是统一于静止 C、认为世界统一于主体还是统一于客体 D、认为世界统一于物质还是统一于精神 5、相对静止是指( ) A、事物绝对不动 B、事物永恒不变 C、事物运动的特殊状态 D、事物运动的普遍状态 6、时间和空间是( ) A、物质的唯一特性 B、物质的根本属性 C、物质运动的存在方式 D、物质运动的根本原因 7、唯物辩证法认为, 发展的实质是( ) A、事物数量的增加 B、事物的一切变化 C、事物根本性质的变化 D、新事物的产生和旧事物的灭亡 8、在生活和工作中, 凡事都要掌握分寸, 坚持适度原则, 防止”过”和”不及”。这在哲学上符合( ) A、内容和形式相互作用的原理 B、量和质相统一的原理 C、理论和实践相统一的原理 D、内因和外因相结合的原理 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足，而 ，故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。 解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字，其误差限，相对误差限 有2位有效数字， 有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？ （1） （2） 解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。 （1） （2） 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取，利用：式计算误差最小。 四个选项： 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值 误差限，因 ，故 二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值 误差限 ，故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少? 解：用误差估计式（5.8）， 令 因 得 3. 若，求和. 解：由均差与导数关系 于是 4. 若互异，求 的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性 可知当有 而当P＝n＋1时 于是得 5. 求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分，共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式，并计算，要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,，则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若，证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大，并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形，a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分，共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 2 A J ：；［则 || A 「一— 仙二 ------------- 'a+1 2 3 设「_1 J ，当a 满足条件 时，A 可作LU 分解。 (试卷一) 一 (10 分)已知％ =1.3409, x 2 =1.0125都是由四舍五入产生的近似值， 判断x-i x 2及x 1 - x 2 有几位有效数字。 二 ( 1 多项式 三(15分)设f(x)? C 4［a,b ］，H (x )是满足下列条件的三次多项式 H (a)二 f (a) , H (b)二 f (b) , H (c) = f (c) , H (c)二 f (c) ( a ：：： c ：： b ) 求f (x) -H(x)，并证明之。 1 四(15分)计算， : =10』。 o 1 +X 五(15分)在［0，2］上取X 。= 0, X 1 = 1, X 2 = 2，用二种方法构造求积公式，并给出其公式的代 数精度。 六(10分)证明改进的尢拉法的精度是 2阶的。 七(10分)对模型y ■ = ■?y , ■：■ 0，讨论改进的尢拉法的稳定性。 八(15分)求方程x 3 4x 2 - 7x - 1 = 0在-1.2附近的近似值，；=10 "。 (试卷二) 一 填空(4*2分) 1 { k (x) }k￡是区间［0，1］上的权函数为'(x)=x 2的最高项系数为1的正交多项式族，其中 1 （x ） =1，贝y . X 0（ x ）dx = ------------ ， 1（X ）工 ------- 数值分析试题集 3 2 * * * 4设非线性方程f (x)二(x -3x - 3x -1)(x ? 3) = 0，其根& = -3 ,他 =-1，则求为的近似值时，二阶局部收敛的牛顿迭代公式是 -------------------------------------- 。 广1 —0.5 a ' 二(8 分)方程组AX=b，其中A= — 0.5 2 -0.5，X, R3 l -a -0.5 1 』 1试利用迭代收敛的充要条件求出使雅可比迭代法收敛的a的取值范围，a取何值时雅可比迭代 收敛最快？ 2选择一种便于计算的迭代收敛的充要条件，求出使高斯-塞德尔迭代法收敛的a的取值范围。 "V " = f(X y) 三(9分)常微分方程初值问题丿'的单步法公式为y n* = y n」+2hf (x n, y n)，求该 、、y°= y(x°) 公式的精度。 四(14分)设A X =b为对称正定方程组 1求使迭代过程X k 1二X k ?〉(b-A?X k)收敛的数〉的变化范围； 『2 -1 -1、、 1、『0 、 2用此法解方程组-12 0-X2=1 L1 0 《计算方法》期中复习试题 一、填空题： 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ，则用辛普生（辛卜生）公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案：2.367，0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ，则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ，拉 格朗日插值多项式为 。 答案：-1， )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字； 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( )； 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 )； 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差； 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时，二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b )； 8、已知f (1)＝2，f (2)＝3，f (4)＝5.9，则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 )； 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f )，代数精度 为( 5 )； 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少，应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ，为了减少舍入误差，应将表达式1999 2001- 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题（每空1分，共17分） 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则 a =( )，b =（ ），c =（ ）。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则 ∑== n k k x l 0)(( )， ∑== n k k j k x l x 0 )(( )，当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0 =x ?，则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。 二、 选择题（每题2分） 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是（ ）。 （1）1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式： ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中，当系数) (n i C 是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ ）时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 （1）8≥n ， （2）7≥n ， （3）10≥n ， （4）6≥n ， x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数字),计 算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 公共基础知识马克思主义哲学原理试题库第【1】题 哲学是( )。 A.关于自然界和社会发展一般规律的科学 B.科学的世界观和方法论 C.系统化和理论化的世界观 D.革命性和科学性相统一的世界观 正确答案：C 第【2】题 哲学的基本问题是( )。 A.物质和运动的关系问题 B.可知论和不可知论的关系问题 C.思维和存在的关系问题 D.理论和实践的关系问题 正确答案：C 第【3】题 哲学与具体科学的区别表现在( )。 A.哲学是世界观,具体科学是方法论 B.哲学是绝对的,具体科学是相对的 C.哲学揭示一般规律,具体科学揭示特殊规律 D.哲学以各门具体科学为基础 正确答案：D 第【4】题 哲学为具体科学的研究提供( )。 A.一般方法 B.经验材料 C.理论结论 D.具体方法 正确答案：A 第【5】题 马克思主义哲学同具体科学的关系是( )。 A.普遍和特殊的关系 B.整体和局部的关系 C.代替和被代替的关系 D.有限和无限的关系 正确答案：A 第【6】题 马克思主义哲学的理论来源是( )。 A.古希腊朴素唯物主义哲学 B.17世纪英国唯物主义哲学 C.18世纪法国唯物主义哲学 D.19世纪德国古典哲学 正确答案：D 第【7】题 马克思主义哲学的创立意味着( )。 A.人类哲学思想的发展达到了顶峰 B.科学哲学体系的最终完成 C.绝对真理的体现 D.人类优秀哲学思想集大成和在更高阶段上发展的起点 正确答案：D 第【8】题 马克思主义哲学是整个马克思主义理论的( )。 A.主要内容 B.理论基础 C.核心部分 D.实质和灵魂 正确答案：B 第【9】题 马克思主义哲学是( )。 A.劳动人民的世界观 B.无产阶级的世界观 C.为全社会服务的世界观 D.新兴阶级的世界观 正确答案：B 第【10】题 学习马克思主义哲学的根本目的在于( )。 A.提高知识理论水平 B.培养和确立科学的世界观 C.掌握正确的工作方法 D.全面提高人的素质 正确答案B 第【11】题 我国著名的地质学家李四光在从事地质学研究中，自觉应用马克思主义哲学的基本原理和方法，创立了地质力学的新理论，对我国石油地质工作作出了巨大的贡献。这说明( )。 A.哲学是对具体科学的概括和总结 B.哲学随具体科学的发展而发展 C.哲学是具体科学的总和 D.哲学对具体科学的研究有指导作用 正确答案：D 第【12】题 哲学的生命力从根本上说在于（）。 A.适应时代的需要 B.满足统治阶级的需要 C.反映劳苦大众的需要 D.适应思想创新的需要 正确答案：A 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 数值分析试题及答案 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D． 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷 人 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案 1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷 人 三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解， ， 所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组 （1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式； （2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为 雅可比迭代公式为 高斯－塞德尔迭代法公式 用雅可比迭代公式得 用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？ （2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案 马克思主义哲学原理试题及答案（二） 一、单项选择（每题 1 分，共 30 分） 1 、古代朴素唯物主义把世界的本原归结为（） ①存在②理念③灵魂④“原初”物质 2 、辩证唯物主义认识论首要的基本的观点是（） ①唯物主义观点②实践的观点③辩证的观点④联系的观点 3 、正确的意识来源于客观世界，错误的思想归根结底来源于（） ①人脑的错误判断②人的主观想象③客观世界④落后的思想意识 4 、检验真理的唯一标准是（） ①客观事物本身②经典著作的结论③逻辑推理④实践 5 、矛盾的转化（） ①是向着任何一个方向转化②是向着自己的对立面转化③只是由坏到好的转化④只是由低级向高级转化 6 、揭开全部社会发展史奥秘的钥匙，马克思是在（） ①自然演变史中找到的②由猿到人的演变中找到的 ③劳动发展史中找到的④意识发展史中找到的 7 、“原因和结果的区分既是确定的，又是不确定的”，这是（） ①唯物主义观点②唯物辩证法观点 ③折衷主义④诡辩论 8 、社会主义经济基础是（） ①社会主义的生产方式②多层次的生产力③以公有制为基础的社会主义生产关系④社会化的大生产 9 、真理是绝对的又是相对的，这是真理问题的（） ①唯物主义②辩证法③历史观④二元论 10 、人类社会变化发展的决定因素是（） ①阶级斗争②社会精神生产过程③经济基础和上层建筑和矛盾运动④物质资料的生产方式 11 、劳动对象是指（） ①各种生产工具②各种产品③劳动过程中所能加工的一切对象④自然界现成的物质资料 12 、唯心主义在意识作用问题上的错误是（） ①片面夸大了意识的能动性②否认了意识对物质的反作用③片面强调了意识对物质的依赖作用④既肯定物质对意识的决定作用，又强调意识的能动作用 13 、上层建筑的核心是（） ①政治法律思想②哲学和社会科学③国家政权④社会意识形态 14 、社会的精神文明是指（） ①生产力发展状况的现实表现②共产主义思想③人类的精神成果的总和④人类改造客观世界及主观世界的精神成果的总和 15 、事物发展的根本原因在于 ①外力推动②对立面之间的相互斗争③矛盾的同一性 ④事物的内部矛盾 16 、矛盾的主要方面是指（） ①事物的本质方面②处于被支配的方面③处于主导地位的方面④事物的非本质方面 17 、构成人们认识事物基础的是（） ①矛盾的同一性②矛盾的斗争性③矛盾的普遍性 ④矛盾的特殊性 18 、事物在某一局部发生性质的变化，这是（）数值计算方法试题及答案
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