六年级奥数-第一讲1分数的速算与巧算学
生版
第一讲:分数的速算与巧算
教学目标
本讲知识点属于计算大板块内容，分为三个方面系统复习和学习小升初常考计算题型.
1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找
通项进行解题的能力
2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。
3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利
用运算定律进行简算的问题．
4、通项归纳法
通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式．
知识点拨
一、裂项综合
（一）、“裂差”型运算
(1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即1a b
?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b
=-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：
1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3)
n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)
n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3)
n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（二）、“裂和”型运算：
常见的裂和型运算主要有以下两种形式：
（1）11a b a b a b a b a b b a
+=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比：
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。
三、整数裂项
(1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3
n n n =
-??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．
三、循环小数化分数
0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990
ab =?=； 0.990abc =，…… 2、单位分数的拆分：
例：110=112020+=()()11+=()()11+=()()11+=()()11+ 分析：分数单位的拆分，主要方法是：
从分母N 的约数中任意找出两个m 和n,有：
11()()()()m n m n N N m n N m n N m n +==++++=11A B
+ 本题10的约数有:1,10,2,5.。
例如：选1和2，有：
11(12)12111010(12)10(12)10(12)3015
+==+=++++ 本题具体的解有： 1111111111011110126014351530
=+=+=+=+ 例题精讲
模块一、分数裂项 【例 1】
11111123423453456678978910
+++???++???????????????
【巩固】 333 (1234234517181920)
+++?????????
【例 2】 计算：57191232348910
+++=?????? ． 【解析】 如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目．但是本题中分子不相同，而是成等
差数列，且等差数列的公差为2．相比较于2，4，6，……这一公差为2的等差数列(该数列的第n 个数恰好为n 的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算．也可以直接进行通项归纳．根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为23n +，所以
()()()()()()2323121212n n n n n n n n n +=+?+?++?+?+?+，再将每一项的()()
212n n +?+与()()
312n n n ?+?+分别加在一起进行裂项．后面的过程与前面的方法相同．
【巩固】 计算：5717191155234345891091011
?++++????????（
）
【巩固】 计算：
3451212452356346710111314
++++????????????
【例 3】 12349223234234523410+++++?????????
【例 4】 1111
11212312100++++++++++ 【解析】 本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通
过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的代入有112(11)1112
2
==+??，112(12)21223
2
==+?+?，……，
【例 5】
22222211111131517191111131
+++++=------ .
【解析】 这题是利用平方差公式进行裂项：22()()a b a b a b -=-?+，
【例 6】 111
3199921111111(1)(1)(1)(1)(1)223231999
+++++?++?+??+
【例 7】
121231234123502232342350
++++++++++????++++++ 【解析】 找通项(1)(1)2(1)(1)212n n n n n a n n n n +??+==+??+--
【例 8】 2222222222222
3333333333333
1121231234122611212312341226++++++++?+-+-+?-++++++++?+ 【解析】 22222333(1)(21)122212116()(1)123(1)31
4
n n n n n n a n n n n n n n ?+?+++?++===?=?+?+++?+?++
【例 9】 计算：222
22223992131991
???=--- 【解析】 通项公式：()()()()()
221111112n n n a n n n n ++==+++-+，
【巩固】 计算：222222129911005000220050009999005000
+++=-+-+-+ 【解析】 本题的通项公式为221005000
n n n -+，没办法进行裂项之类的处理．注意到分母()()()2100500050001005000100100100n n n n n n -+=--=----????，可以看出如果把n 换成100n -的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个2
2505050005000
-+．将项数和为100的两项相加，得 ()()()()2222222221001002200100002100500010050001005000
1001001005000n n n n n n n n n n n n n n -+--++===-+-+-+---+， 所以原式249199=?+=．（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式19999=?=）
【例 10】 ??? ??+++++++-??? ???++?+??22222210211211112120154132124 【解析】 虽然很容易看出321?＝3121-，541?＝5
141-……可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不象分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式 ，于是我们又有
)
12()1(632112222+?+?++++n n n n ＝ ．．减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢？
模块二、换元与公式应用
【例 11】 计算：3333333313579111315+++++++
【例 12】 计算：234561111111333333
++++++ 【解析】 法一：利用等比数列求和公式。 原式71113113
?????-?? ???????=- 7132641132729????=-?=?? ???????
法二：错位相减法． 设23456
1111111333333S =+
+++++ 则23451111133133333S =++++++，61333S S -=-，整理可得3641729S =． 法三：本题与例3相比，式子中各项都是成等比数列，但是例3中的分子为3，与公比4差1， 所以可以采用“借来还去”的方法，本题如果也要采用“借来还去”的方法，需要将每一项的分子变得也都与公比差1．由于公比为3，要把分子变为2，可以先将每一项都乘以2进行算，最后再将所得的结果除以2即得到原式的值．由题设，2345622222222333333S =+
+++++，则运用“借来还去”的方法可得到61233S +=，整理得到3641729
S =．
【例 13】 计算：22222222(246100)(13599)12391098321
+++???+-+++???++++???+++++???+++
【例 14】 计算：2222222222
12233445200020011223344520002001
+++++++++???+?????
【例 15】 ()20078.58.5 1.5 1.5101600.3-?-?÷÷-=???? ．