复 数
一．本章知识结构 二．学习内容和要求 （一）学习目标
1．了解引进复数的必要性，数集的扩展过程及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念； 3．掌握复数的代数形式；
4．掌握复数的代数形式的运算法则； 5．能进行复数的加、减、乘、除运算； 6．掌握某些特殊复数的运算特征
7．能在复数集中因式分解、解一元二次方程等。 （二）本章知识精要 1．复数的概念： （1）虚数单位i ；
（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 3．复数的四则运算
若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；
（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；
（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （6）特殊复数的运算：
① n
i (n 为整数)的周期性运算； ② (1±i)2=±2i ；
③ 若ω=－21
+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.
4．共轭复数与复数的模
（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).
（2）复数z=a+bi 的模，
且2||z z z ?==a2+b2.
三．学习方法与指导 （一）学习方法点拨：
1．数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程得需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。 要求熟悉我们已经学过的各种数集之间的内在联系。理解复数在其中所起到的重要作用，和各种数集之间的包含关系。
2．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
3．根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =???
=?. 由这个定义得到a+bi=0?0
0a b =??
=?
.
两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。
4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a －bi)=a2－(bi)2=a2－b2i2=a2+b2.
6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即
22
()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i
c di c di c di c
d ++-++-==++-+.
7．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。 （二）典型例题讲解 1．复数的概念
例1．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m －1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z 在第三象限？
解：复数z=m+1+(m －1)i 中，因为m ∈R ，所以m+1，m －1都是实数，它们分别是z 的实部和虚部， ∴ （1）m=1时，z 是实数； （2）m ≠1时，z 是虚数；
（3）当10
10m m +=??
-≠?
时，即m=－1时，z 是纯虚数；
（4）当1010m m +
-
时，即m<－1时，z 对应的点Z 在第三象限。
例2．已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x, y.
解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)x y y -=??
=--?
，得x=25, y=4.
例3．已知x 与y 实部相等，虚部互为相反数，且(x+y)2－3xyi=4－6i ，求x, y. 解：由题意设x=a+bi ，y=a －bi (a, b ∈R)，则代入原式得
(2a)2－3(a2+b2)i=4－bi ?222443()6a a b ?=?
-+=-?，
?11a b =??=?或11a b =??
=-?或11a b =-??=?或1
1a b =-??=-?
，∴ 11x i y i =+??=-?或11x i y i =-??=+?或11x i y i =-+??=--?或11x i y i =--??=-+?
. 例4．当m 为何实数时，复数z ＝22
232
25m m m ---+(m2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）
是纯虚数．
解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．
（1）z 为实数，则虚部m2+3m －10=0，即
22
3100250m m m ?+-=?-≠?， 解得m=2，∴ m=2时，z 为实数。
（2）z 为虚数，则虚部m2+3m －10≠0，即
22
3100
250m m m ?+-≠?-≠?， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22
22320
3100250m m m m m ?--=?+-≠??
-≠?，
解得m=－21, ∴当m=－21
时，z 为纯虚数．
诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．
例5．计算：i ＋i2＋i3+……+i2005. 解：此题主要考查in 的周期性．
i ＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005 =(i －1－i+1)+ (i －1－i+1)+……+(i －1－i+1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i.
或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组． 例8．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，
∴22
21030430m m m m m ?
==??==?，∴ m=3.
当m ＝3时，原不等式成立．
诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。 例9．已知z=x ＋yi(x ，y ∈R)，且
222log 8(1log )x y i x y i
++-=-，求z ．
解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．
∵ 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y +?-=?=-?，∴3
2x y xy +=??
=?， 解得21x y =??=?或12x y =??=?
, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ． 诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 例10．已知x 为纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y)i ，求x 、y 的值．
解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法． 设x ＝ti (t ∈R ，且t ≠0），则2x －1＋i ＝y －(3－y)i 可化为 2ti －1＋i ＝y －(3－y)i ，即(2t ＋1)i －1=y －(3－y)i ，
∴21(3)1t y y +=--??
-=?, ∴y=－1, t=－25, ∴ x=－25i.
2．复数的四则运算 例1．计算：
（1）22(1)
(1)(1)n
n i i -+-，n ∈N+；
（2）若ω=－21
+23i ，ω3=1
，计算66+；
（3
（4）S=1+2i+3i2+4i3+ (100i99)
解：（1）22(1)
(1)(1)n n i i -+-=2212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2n n n i i i i i i i ++?-=?-=-?--
=221,22,i n k k N i n k k N +
+?=-∈?-=∈?.
（2
）
66(
)()22i i +
=666
62611()()[()]22i i i ωω-+--?+-?=?+
=－2.
（3
i
=
, i
=,
∴
222
|)||)|i i ??==
=8. （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99
=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i －3－4i)+(5+6i －7－8i)+……+(97+98i －99－100i) =25(－2－2i)=－50－50i.
例2．已知复数z 满足|z －2|=2，z+4
z ∈R ，求z.
解：设z=x+yi, x, y ∈R ，则
z+4z =z+222222
44()44()z x yi x y x yi x y i zz
x y x y x y -=++=++-+++， ∵ z+4z ∈R ，∴ 2
2
4y y x y -+=0， 又|z －2|=2, ∴ (x －2)2+y2=4,
联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，
当y ≠0时
, 1
x y =???
=??
±3,
∴ 综上所得 z1=4，z2=1+3i ，z3=1－3i.
例3．设z 为虚数，求证：z+1
z 为实数的充要条件是|z|=1.
证明：设z=a+bi (a, b ∈R ，b ≠0)，于是
z+1z =(a+bi)+222222
1()()a bi a b
a bi a
b i a bi
a b a b a b -=++=++-++++, 所以b ≠0, (z+1z )∈R ?b －22
b a b +=0?a2+b2=1?|z|=1.
例4．复数z 满足(z+1)(z +1)=|z |2，且1
1z z -+为纯虚数，求z.
解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则
(z+1)(z +1)=|z |2+z+z +1=|z |2，∴ z+z +1=0，z+z =－1，x=－21
.
11z z -+=22(1)(1)||1(1)(1)|1|z z z z z z z z -++--=+++=22
2
1
|1|x y x yi x yi z +++-+-+为纯虚数，
∴ x2+y2－1=0, y=±23, ∴ z=－21+23i 或z=－21
－23i. 例5．复数z 满足(1+2i)z+(3－10i)z =4－34i ，求z.
解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x －yi) =4－34i ， 整理得(4x －12y)－(8x+2y)i=4－34i.
∴ 41248234x y x y -=??+=?, 解得41x y =??=?
, ∴ z=4+i. 例6．设z 是虚数，ω=z+1
z 是实数，且－1<ω<2，
（1）求|z|的值及z 的实部的取值范围；（2）设u=11z
z -+，求证u 为 纯虚数；
（3）求ω－u2的最小值。
解：（1）设z=a+bi (a, b ∈R, b ≠0)，则 ω=
2222
()()a b
a b i a b a b +
+-++，由于ω是实数且b ≠0，∴ a2+b2=1，
即|z|=1，由ω=2a, －1<ω<2, ∴ z 的实部a 的的取值范围是(－21
, 1).
（2）u=11z z -+=22
22
11221(1)1a bi a b bi bi a bi
a b a -----==-+++++，由于a ∈(－21
, 1), b ≠0， ∴ u 是纯虚数。
（3）ω－u2=2a+
2222
1122221(1)(1)11b a a a a a a a a a --=+=-=-+++++ =
1
2[(1)]31a a ++
-+,
由于a ∈(－21
, 1)，∴ a+1>0，则ω－u2≥2×2－3=1，
当a+1=1
1a +, 即a=0时，上式取等号，所以ω－u2的最小值为1. 例7．证明：i z
i z +-＝1．
解：此题考查复数的运算、模的定义，共轭复数的性质等．
设z ＝a ＋bi ，(a, b ∈R)，则
i z i z +-
=
(1)1
(1)i a bi a b i
i a bi a b i +-+-===---+-.
解2：∵ i z i z i z +=+=-+，∴ i z
i z +-=()1i z i z i z i z -+--==--.
诠释：此题抓住模的定义或共轭复数的性质来求解．
例8．(2002年高考)已知复数z ＝1＋i ，求实数a ，b 使az+2b z ＝(a ＋2z)2． 解：此题主要考查共轭复数，复数的四则运算，复数的相等． ∵ z ＝1＋i ，∴az+2b z ＝(a ＋2b)＋(a －2b)i ， (a ＋2z)2＝(a ＋2)2－4＋4(a ＋2)i=(a2＋4a)＋4(a ＋2)i ．
∴ 22424(2)a b a a
a b a ?+=+?-=+?
，解得24或12a a b b ?=-=-??
?=-=??. 例9．若复数z 满足z=11ti
ti +-(t ∈R)，求z 的对应点Z 的轨迹方程．
解：此题主要考查复数的四则运算，点的轨迹方程的求法等．
设z ＝x ＋yi ，(x, y ∈R)，∵ z=11ti ti +-=2222(1)12(1)(1)11ti t t i ti ti t t +-=+-+++，
∴ 2221121t x t t
y t ?-=??+?
?=?
+?，消去参数 t ，得x2＋y2= 1，且x ≠－1． ∴ 所求方程为x2＋y2＝1（x ≠－1）．
诠释：解此题应抓住复数相等的充要条件，从而得到参数方程，消去参数，或者利用模的定义和性质，求出|z|即可．
例10．已知复数z 满足|z|＝5，且(3+ 4i)z 是纯虚数，求z ．
解：此题主要考查复数的有关概念，复数的运算，模的定义及计算． 设 z ＝x ＋yi （x, y ∈R ）, ∵|z|＝5，
∴x2＋y2＝25, 又(3＋4i)z=(3＋4i)(x ＋yi)＝(3x －4y)+(4x ＋3y)i 是纯虚数，
∴ 340
430x y x y -=??
+≠?
， 联立三个关系式解得44或33x x y y ?==-???==-??， ∴ z=4＋3i 或z ＝－4－3i ．
诠释：解此题应抓住纯虚数的定义和模的定义而得到方程组，正确解方程组即可．
例11．设1z
z +是纯虚数，求复数z 对应的点的轨迹方程．
解：此题主要考查复数的有关概念及性质，四则运算和点的轨迹方程的求法．
∵ 1z z +是纯虚数，∴ ()011z z
z z +=++，即0
11z z z z +=++,
∴ 20
(1)(1)z z z z
z z ?++=++，∴ 2z z +z+z =0，(z ≠0，z ≠－1)，
设z=x ＋yi ，(x ，y ∈R)，2(x2＋y2)＋2x ＝0（y ≠0）
∴ (x ＋21
)2＋y2＝41（y ≠0）．它为复数z 对应点的轨迹方程．
诠释：解此题应抓住虚数的定义和共扼复数的性质，利用运算法则进行求解。 （三）单元检测 一、选择题： 1．设f(a)=n
n
i i
-+(n ∈N)，则集合{f(n)}中元素的个数为（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2．已知等比数列的第100项为2i ，第300项为－200i ，则它的第200项为（ ） A ．20 B ．± 20 C ．－198i D ． 202i 3．设条件甲：x=0，条件乙：x ＋yi （x ，y ∈R ）是纯虚数，则（ ） A ．甲是乙的充分非必要条件 B ．甲是乙的必要非充分条件 C ．甲是乙的充分必要条件 D ．甲是乙的既不充分，又不必要条件
4．已知关于x 的方程x2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实根，则实数m 应取的值是（ ）
A ．m ≥－41
B ．m ≤－41
C ．m=112
D ．m=－1
12
5．有下列命题： ① 若z ∈C ，则z2≥0；② 若z1，z2∈C ，z1－z2>0，则z1>z2； ③ 若a>b ，则a ＋i>b ＋i ．其中，正确命题的个数为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
6．设R+，R —，M 分别表示正实数集，负实数集，纯虚数集，则集合加{m2| m ∈M}是（ ） A ．R+ B ．R － C ．R+∪R － D ．R －∪{0}
7
．
36
(1)2(1)12i
i i -+-+-++等于（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．i
8．设f(z)＝|1+z|－z ，若f(－z )＝10－3i ，则z 等于（ ） A ．5＋3i B ．5－3i C ．－5＋3i D ．－5－3i 9．方程x2＋(k+2i)x ＋2＋ki ＝0至少有一实根的条件是（ ） A ．－22≤k ≤22 B ．k ≤－22或k ≥22 C ．k=±22 D ．k ≠22
10．若2＋3i 是方程x2+mx+n ＝0的一个根，则实数m ，n 的值为（ ） A ．m ＝4，n=－3 B ．m=－4，n ＝13 C ．m ＝4，n=－21 D ．m=－4，n ＝－5
11．在复平面上，复数z 所对应的点在二、四象限的角平分线上，则z2所对应点的轨迹是（ ） A ．y 轴 B ．y 轴正半轴 C ．y 轴负半轴 D ．x 轴 二、填空题：
12．计算：i29+i30+ i31＋i32+……＋i250＝ .
13．设m ∈R ，z ＝(2＋i)m2－3(1＋i)m －2(1－i)，当m= 时，z ∈R ；当m= 时，z 为纯虚数． 14．已知下列命题：
（1）在复平面中，x 轴是实轴，y 轴是虚轴； （2）任何两个复数不能比较大小； （3）任何数的偶次幂都是非负数； （4）若 t ＋si=3－4i ，则 t=3、s=－4．
其中真命题为 ．
15．若复数z 满足z+21
|z |=－1＋2i ，则z= .
16．设z ∈C ，|z|=1，则|z+3+i|的最大值为 . 三、解答题：
17．设z=(a2－a －6)+22
215
4a a i a +--，试判断复数z 能否为纯虚数？并说明理由．
18．关于x 的方程a(1+ i)x2+(1+a2i)x+a2＋i=0 (a ∈R ）有实根，求a 的值及方程的根．
19．已知关于t 的一元二次方程 t2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y)i=0（x 、y ∈R ），当方程有实根时，求点(x ，y)的轨迹方程．
20．已知复数z 满足|z|＝1＋3i －z ．求3(1)(34)
2i i z ++的值．
21．已知z=1a i i --(a>0)，复数ω=z(z+i)，Re(ω)－Im(ω)=－23
，求|ω|．
22．若z ∈C ，满足4z ＋2z ＝33+i ，ω=sin θ－icos θ．求z 的值和|z －ω|的取值范围。 （四）参考答案
12
．i －1 13．m=2或1；m=－21
14．① 15．－38
+2i 16．3
三．解答题：
四．2004年部分高考试题回顾
1．(福建1)复数10)11(i i +-的值是（ A ）
A ．－1
B ．1
C ．－32
D ．32
2．(湖北2)的值是( A ）
A ．－16
B ．16
C ．41
-
D ．i 4341-
3．(湖南1)复数
4
)11(i +的值是（ D ）
A ．i 4
B ．－i 4
C ．4
D ．－4
4．(辽宁4)设复数z 满足=+=+-|1|,11z i z z
则（ C ）
A ．0
B ．1
C ．2
D ．2
5．(全国一．1) (1－i)2·i=（ D ）
A ．2－2i
B ．2+2i
C ．－2
D ．2
6．(全国二．3)设复数ωω++
-=1,23
2
1则i =（ C ）
A ．ω-
B ．2
ω C ．ω1
- D ．21
ω
7．(全国三．6)设复数z 的辐角的主值为32π
，虚部为3，则2
z =（ A ）
A ．i 322--
B ．i 232--
C ．i 32+
D ．i 232+
8．(天津1) i 是虚数单位，3)
2)(1(i i i ++-=（ D ）
A ． i +1
B ． i --1
C ． i 31+
D ． i 31--
9．(重庆2)设复数1z =, 则2
2z z -=（ A ）
A ．–3
B ．3
C ．－3i
D ．3i
10．(广东14)已知复数z 与 (z +2)2－8i 均是纯虚数，则 z = －2i . 11．（上海17）(本题满分12分)
已知复数z1满足(1+i)z1=－1+5i, z2=a －2－i, 其中i 为虚数单位,a ∈R, 若2
1z z -<
1
z ,求a 的取值范
围.
解：由题意得 z1=i i
++-151=2+3i,
于是
2
1z z -=
i
a 24+-=
4)4(2
+-a ,1z =13.
4)4(2
+-a <13,得a2－8a+7<0,1 数系的扩充和复数概念和公式总结 1.虚数单位i: 它的平方等于-1，即21 i=- 2.i与－1的关系:i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i 3.i的周期性：i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n=1 4.复数的定义：形如(,) a bi a b R +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即(,) =+∈ z a bi a b R 5.复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时， a bi a b R 复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi 叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C. 6.两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小当两个复数不全是实数时不能比较大小 7.复平面、实轴、虚轴： 点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴 数 （1）实轴上的点都表示实数 （2）虚轴上的点都表示纯虚数 （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 8．复数z1与z2的加法运算律：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 9.复数z1与z2的减法运算律：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 小学英语不规则名词单复数 一般情况下，直接加s，如：apple-apples, pig-pigs, book-books等。 一、以f 和fe结尾的单词规则：变f或fe为“ves”。 单数复数词义单数复数词义wolf wolves狼wife wives妻子，太太half halves半个knife knives小刀，刀子calf calves小牛life lives（个人的）性命sheaf sheaves捆，束，扎thief thieves贼 leaf leaves叶子 二、结尾是o的单数词，无生命的，加s就成复数词 单数复数词义单数复数词义piano pianos钢琴photo photos照片，相片radio radios收音机bamboo bamboos竹子 zoo zoos动物园kangaroo kangaroos 袋鼠 三、结尾是o的有生命力的词，一般加“es”口诀：黑人英雄吃西红柿马铃薯。 单数复数词义单数复数词义negro negroes黑人hero heroes英雄 tomato tomatoes西红柿potato potatoes土豆，马铃薯mango mangoes芒果 四、以s，x，ch，sh结尾的词名词变复数时，要在词尾加es 单数复数词义单数复数词义 bus buses公共汽车class classes班级 box boxes盒子fox foxes狐狸 match matches火柴，比赛lunch lunches午餐 brush brushes画笔，刷子 五、以man结尾表示一类人的，变man为men 单数复数词义单数复数词义man men男人woman women女人，妇女policeman policemen警察fireman firemen消防员 圆的知识点概念公式大全 一．圆的定义 1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形． 3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小． 二．同圆、同心圆、等圆 1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆； 2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆； 3．半径相等的圆叫做等圆． 三．弦和弧 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B 、为端点的弧记作?AB，读作弧AB． 在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 四．与圆有关的角及相关定理 1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等． 2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角． 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等． 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 的圆周角所对的弦是直径． （在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角） 3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角． 圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半． 4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角． 圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角． 6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等． 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等． 五．垂径定理 1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧． 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论： ⑴弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； ⑵平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶圆的两条平行弦所夹的弧相等． 《复数》知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 《复数》知识点总结 1、复数的概念 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模 叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+ （5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 （1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++； （2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +?+=-++； （3）除法运算：2222 ()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈ （5）22||||z z z z == 3、 规律方法总结 （1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b （2）复数(,)z a bi a b R =+∈是由它们的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法．对于一个复数 复数概念及公式总结 数系的扩充和复数概念 1.虚数单位i:它的平方等于-1，即21 i=- 2. i与－1的关系: i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i； 3. i的周期性： 4.复数的定义：形如(,) +∈的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成 a bi a b R 的集合叫做复数集，用字母C表示复数通常用字母z表示，即 z a bi a b R =+∈ (,) 5. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,) +∈，当且仅当b=0时，复数 a bi a b R a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；a≠0且b≠0时，z=bi叫做非纯虚数的纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0. 5.复数集与其它数集之间的关系：N___Z___Q___R___C. 6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di?a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较当两个复数不全是实数时不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴： 点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z =a +bi (a 、b ∈R )可用点Z (a ，b )表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面， x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数 （1）实轴上的点都表示____________ （2）虚轴上的点都表示____________ （3）原点对应的有序实数对为(0，0) 设z 1=a +bi ，z 2=c +di (a 、b 、c 、d ∈R )是任意两个复数， 8．复数z 1与z 2的加法运算律：z 1+z 2=(a +bi )+(c +di )=(a +c )+(b +d )i . 9.复数z 1与z 2的减法运算律：z 1-z 2=(a +bi )-(c +di )=(a -c )+(b -d )i . 10.复数z 1与z 2的乘法运算律：z 1·z 2= (a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 11.复数z 1与z 2的除法运算律： 12.共轭复数： 通常记复数z 的共轭复数为z 。例如z =3＋5i 与z =3－5i 互为共轭复数 13. 共轭复数的性质 （1）实数的共轭复数仍然是它本身 （2）22Z Z Z Z ==? （3）两个共轭复数对应的点关于实轴对称 14.复数的两种几何意义： 15几个常用结论 （1）()i i 212=+，（2）()i i 212-=- （3）i i -=1， （4） i i i =-+11 16.复数的模： （5） i i i -=+-11 复数bi a Z +=的模22b a Z += （6）()()22b a bi a bi a +=-+ 点),(b a Z 向量OZ 一一对应 一一对应 一一对应 复数()R b a bi a Z ∈+=, 名词与名词词组——重点是名词的“数” 名词的数(number)——单数(singular number)和复数(plural number) 英语名词复数的思维规律，及与汉语名词复数的区别 名词的可数与不可数这一区分反映了中国人与英美人在看待客观物质世界时所持的两种不同的世界观。在本栏目接下来的几期内容中,笔者就要和大家一起来探讨“老外”看待物质世界的四大思维规律,帮助大家从英语思维的高度来理解并区分英文名词的可数与不可数。下面笔者首先来分析第一个规律:不可分隔的物质与可分隔的个体物品。该规律包含四个方面的内容,本期先着重讨论第一、二方面的内容。 物质名词表示个体物品时转化为可数名词 在英文中,一个名词若表示无法分隔的物质,或者说被分隔之后各个部分与原先整体没有本质差别,我们就无法用数目来计量它,只能将其看作一个整体,此时该名词是不可数名词。但如果在特定的语境中,这个名词表示能够分隔的个体物品,则转为可数名词。比如说我们每时每刻都需要呼吸的“空气”(air),是无法被分隔成个体的,或者说被分隔之后的各个部分的空气与原先整体的空气没有本质差别,依然还是空气,我们无法用数目1、2、3等来计量它,因而air表示“空气”时是不可 数的。下面举几个例句来说明: 1. Let’s go out and get some fresh air. 让我们出去呼吸些新鲜空气。 在上面这个例子中,air前面没有加不定冠词an修饰,因为air在这个语境中用作不可数名词,不能被不定冠词修饰。值得注意的是,air除了表示大家熟悉的“空气”这个意思之外,还可以指人的外表、神态、气质,或者指周围环境的氛围、气氛。此时,air表示某一种特定的神态、气质或氛围、气氛,是可以数的,因而成了一个可数名词,前面需要加不定冠词an修饰,比如: 2. There was an air of tension at the meeting.会上的气氛有点紧张。 再如下面这个例子,air指人所具有的某种具体的气质、神态: 3. John set about his task with an air of quiet confidence. 约翰悠然自信地开始了自己的工作。 当air表示“空气”这样的物质名词时是不可数的,这从我们汉语的思维角度也能理解,因为在汉语思维里,“空气”也是无法用具体数目去计量的。不过,还有很多物质名词在汉语里是可以用数目计量的,但在英文里是不可数的,这时就需要我们理解英语思维是如何看待这些物质名词的。比如,让我们中国人难以理解的是“纸”(paper)在英文里为什么是不可数的,因为我们汉语里可以说“一张纸”“两张纸”。那么英文思维又是如何看待“纸”是不可数的呢?原来,在英文思维中,“纸”被看做是一种可以无限分割的物质,比如大家拿出一张A4的纸,将它裁成两半、四半、八半等,你可以一直这样无限裁下去,但它还是一张张纸——虽然大小不同,但每张被裁的小纸片与原先A4大小的纸张在物质材料方面是没有区别的。从这个角度来看,“纸”就是不可数的。因此,“两张纸”在英语里不可以直接说“two papers”,而要说成“two pieces of paper”或“two sheets of paper”,比如下面的例句: 4. We send to China little pieces of paper for their goods. 中国人生产产品给美国人用,而我们只给了他们一些小纸片。 这是美国“股神”巴菲特日前批评美国高负债的政策时说的一句话。这里的“小纸片”指的是美国国债。不过,当把paper作为个体的物品,比如作为“报纸”“论文”或“考卷”来讲时,则是可数的。这时我们就可以说“two papers”,但不表示“两张纸”,而是表示“两份报纸”“两篇论文”或“两张考卷”,比如: 5. a. I have a term paper to write on weekend. 我周末有一篇学期论文要写。 b. I bought a paper to read news. 为了了解新闻,我买了一份报纸。 在a句中,paper的意思是“论文”,为可数名词;在b句中,paper相当于newspaper,表示“报纸”,为可数名词。 从以上例子我们看到,随着词义不同,paper的可数性也不同。与此类似的名词还有glass,该词表示“玻璃”时是不可数名词,但表示“玻璃杯”时则是可数名词,请看例句: 6. a. He broke a glass. 他打碎了一个玻璃杯。 b. He broke a piece of glass. 他打碎了一块玻璃。 圆 一、名词解释： 1.弦——连接圆上任意两点的线段叫做弦。 2.弧——圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 3.半圆——圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，第一条弧 都叫做半圆。 4.等圆——能够重合的两个圆叫做等圆。 5.等弧——在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 6.圆心角——顶点在圆心的角叫做圆心角。 7.圆周角——顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 8.圆内接多边形——如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这 个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。9.外心——外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这 个三角形的外心。 10.内心——三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。 11.内切圆——与三角形各边相切的圆叫做三角形的内切圆。 12.割线——直线和圆有两个公共点（直线和圆相交），这条直线叫做圆 的割线。 13.切线——直线和圆只有一个公共点（直线和圆相切），这条直线叫做 圆的切线，这个点叫做切点。 14.切线长——经边圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长， 叫做这点到圆的切线长。 15.圆心距——两个圆圆心的距离叫做圆心距。 16.中心——正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 17.中心角——正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。 18.边心距——中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 19.扇形——由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形 叫做扇形。 20.母线——连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母 线。 二、定理 1.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 2.圆心角、弦、弧定理：（三者是一组等量关系） ①在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 ②在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。 ③在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。 3.圆周角定理： ●在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所 对的圆心角的一半。 ●半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ●圆内接四边形对角互补。 1. 基本变化规则 ①一般在名词后加s,变成复数。如boy→boys, pen→pens等。 ②以s, x, sh, ch结尾的,在后面加es。如class→classes, fox→foxes,box→boxes, brush→brushes, watch→watches。但stomach(胃)的复数为stomachs。 ③“以辅音字母+y”结尾的,y变为i,然后再加es。如baby→babies, family→families, country→countries, city→cities.像以元音字母加y结尾则直接加s,例如boy→boys, toy→toys, way→ways。另外以y结尾的专有名词,则直接加s变复数,如the Henrys(亨利一家)。 ④以o结尾的名词,除有生命的“两人两物”Negro(黑人), hero, tomato, potato在后面加es外,一般是在后面直接加s。如kilo→kilos, photo→photos, zoo→zoos, radio→radios, piano→pianos, video→videos. ⑤以f或fe结尾的名词英语中共有100多个,其中直接加s的有90多个,但这些绝大多数不常用,如, belief→beliefs,roof→roofs等;把f或fe改为v, 再加es的只有十几个,但13个都是常用的名词,如half→halves, knife→knives, leaf →leaves, wolf→wolves, wife→wives, life→lives, thief→thieves 等 2. 不规则变化 名词单数变复数的不规则变化要注意以下几点: ①含man的名词,一般变man为men。如woman→wom en, policeman→policemen, Englishman→Englishmen。但German→Germans除外。 ②将oo改为ee的有foot→feet, tooth→teeth, goose→geese等。 圆中的基本概念及定理（讲义） ? 课前预习 在小学的时候，我们知道“一中同长”表示的是圆，中心称为______，固定的线段长称为_______，还知道半径为r 的圆的周长为_________，面积为__________． 在七年级我们学习了圆的另外一种说法：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O 称为圆心，线段OA 称为半径． 一条弧AB 和经过这条弧的两条半径OA ，OB 所组成的图形叫做扇形． 顶点在圆心的角叫做圆心角． ? 知识点睛 1. 平面上到_____的距离等于_____的所有点组成的图形叫做圆，其中，_____称为圆心，_____称为半径；圆O 记作_____． 2. 圆中概念： 弧：_________________________；弧包括______和_______； 弦：_______________________________________________； 圆周角：___________________________________________； 圆心角：___________________________________________； 弦心距：___________________________________________． 3. 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是_________________________； 圆是中心对称图形，其对称中心为_____________________． 4. 圆中基本定理： *（1）垂径定理：_____________________________________ ______________________________________________； 推论：_________________________________________ ______________________________________________； 总结：知二推三①_______________________________， ②_____________________，③____________________， ④_____________________，⑤____________________． （2）四组量关系定理：在_____________________中，如果 _______________、______________、_______________、_______________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． （3）圆周角定理：___________________________________； 推论1：________________________________________； 推论2：________________________________________，_______________________________________________ 推论3：_______________________________________． （4）三点定圆定理：_________________________________． 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的_______，三角形叫做圆的___________，外接圆的圆心是____________________，叫做三角形的___________． ? 精讲精练 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，下列结论不一定成立的 是（ ） A ．CM =DM B ．CB ︵=BD ︵ C ．∠AC D =∠ADC D ．OM =MD 第1题图 第2题图 2. 如图，⊙O 的弦AB 垂直平分半径OC ，若AB ，则⊙O 的半径为_________． 3. 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm ，测 精心整理 页脚内容 复数 【知识梳理】 一、复数的基本概念 1、虚数单位的性质 i 叫做虚数单位，并规定：①i 可与实数进行四则运算；②12-=i ；这样方程12-=x 就有解了，解为i x = 2（1①a z =（2例题：注意：三、共轭复数 bi a +与di c +共轭),,,(,R d c b a d b c a ∈-==? bi a z +=的共轭复数记作bi a z -=_，且22_ b a z z +=? 四、复数的几何意义 1、复平面的概念 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴。显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。 精心整理 页脚内容 2、复数的几何意义 复数bi a z +=与复平面内的点),(b a Z 及平面向量),(b a OZ =→),(R b a ∈是一一对应关系（复数的实质是有序实数对，有序实数对既可以表示一个点，也可以表示一个平面向量） 相等的向量表示同一个复数 例题：（1）当实数m 为何值时，复平面内表示复数i m m m m z )145()158(22--++-=的点 ①位于第三象限；②位于直线x y =上 （2）复平面内)6,2(=→AB ，已知→→AB CD //，求→ CD 对应的复数 3、复数的模： 向量OZ 的模叫做复数bi a z +=的模，记作z 或bi a +，表示点),(b a 到原点的距离，即=z 22b a bi a +=+，z z = 若bi a z +=1，di c z +=2，则21z z -表示),(b a 到),(d c 的距离，即2221)()(d b c a z z -+-=- 例题：已知i z +=2，求i z +-1的值 五、复数的运算 （1）运算法则：设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i ，a ，b ，c ，d ∈R ①i d b c a di c bi a z z )()(21+++=+++=± ②i ad bc bd ac di c bi a z z )()()()(21++-=+?+=? ③2221)()()()())(())(d c i a d bc bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z +-++=-?+-+=++= （2）几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.如图给出 的平行四边形OZ 1ZZ 2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即＝＋，＝－. 六、常用结论 （1）i ，12-=i ，i i -=3，14=i 求n i ，只需将n 除以4看余数是几就是i 的几次 例题：=675i （2）i i 2)1(2=+，i i 2)1(2-=- （3）1)2321(3=±-i ，1)2 321(3-=±i 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)方程x 2＋x ＋1＝0没有解.( ) 复数知识点 考试内容： 复数的概念． 复数的加法和减法． 复数的乘法和除法． 数系的扩充． 考试要求： （1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义． （2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算． （3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想． 1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=. ⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ； ④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且. ⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小. 注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√） ②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-， 0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立） 2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=. 其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. 4圆是定点的距离等于定长的点的集合 5圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 7同圆或等圆的半径相等 8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆 9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 11定理圆的接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的对角 12 ①直线L和⊙O相交 d＜r ②直线L和⊙O相切 d=r ③直线L和⊙O相离 d＞r 13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 15推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 16推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 18圆的外切四边形的两组对边的和相等 19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 20推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 31推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项 32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 33推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 34如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 35 ①两圆外离 d＞R+r ②两圆外切 d=R+r ③两圆相交 R-r＜d＜R+r(R＞r) ④两圆切 d=R-r(R＞r) ⑤两圆含d＜R-r(R＞r) 36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 37 定理把圆分成n(n≥3): ⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的接正n边形 ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆 〖圆的定义〗 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。 集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 〖圆的相关量〗 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是…，通常用π表示，计算中常取为它的近似值。 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。 〖圆和圆的相关量字母表示方法〗 圆—⊙半径—r 弧—⌒直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S 〖圆和其他图形的位置关系〗 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。 直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O 相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P ＜R-r。 【圆的平面几何性质和定理】 〖有关圆的基本性质与定理〗 圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。 〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗 高中数学复数的知识点总结 高中数学复数的知识点总结 定义 数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行。比如判别式小于0的一元二次方程仍无解，因此将数集再次扩充，达到复数范围。形如z=a+bi的数称为复数(complexnumber)，其中规定i为虚数单位，且i^2=i*i=-1(a，b是任意实数)我们将复数z=a+bi中的实数a称为复数z的实部(realpart)记作Rez=a实数b称为复数z的虚部(imaginarypart)记作Imz=b.已知：当b=0时，z=a，这时复数成为实数当a=0且b≠0时，z=bi，我们就将其称为纯虚数。 运算法则 加法法则 复数的加法法则：设z1=a+bi,z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 乘法法则 复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i^2=1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。 即(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i. 除法法则 复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算， 即(a+bi)/(c+di) =[(a+bi)(c-di)]/[(c+di)(c-di)] =[(ac+bd)+(bc-ad)i]/(c^2+d^2). 开方法则 若z^n=r(cosθ+isinθ)，则 z=n√r[cos(2kπ+θ)/n+isin(2kπ+θ)/n](k=0，1，2，3……n-1) 复数中的难点 (1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好，对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义，对其灵活地加以证明. (2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道，但对其灵活地运用有一定的困难，特别是开方运算，应对此认真地加以训练. (3)复数的辐角主值的求法. (4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示，同时复数的.模和辐角都具有几何意义，对他们的理解和应用有一定难度，应认真加以体会. 英语名词单数变复数口诀 (一) 规则变化 名词单数变复数，直接加-s 占多数； s, x, z, ch, sh 来结尾，直接加上-es； 词尾是f 或fe，加-s 之前先变ve； 辅母+ y 在词尾，把y 变i 再加-es； 词尾字母若是o，常用三个已足够， 要加-es 请记好，hero, tomato, potato。 (二) 不规则变化 男人女人a 变e，鹅足牙oo 变ee； 老鼠虱婆也好记，ous 变ic； 孩子加上ren，鱼鹿绵羊不用变。 注：1．以s，sh，ch，x等结尾的词加“es”，如bus→buses，peach→peaches box → boxes class → classes 2.以辅音字母＋y结尾的词，变y为i加es，如family→families ， library →libraries 以元音字母＋y结尾的名词变复数时，直接加s变复数，如monkey→monkeys，toy→toys 3．以o 结尾的名词变复数时加es的名词有：口诀：英雄爱吃西红柿、土豆和芒果。 hero →heroes tomato→tomatoes potato→potatoes mango→mangoes 4．以f或fe结尾的名词变复数时： a）加s的名词有： belief→beliefs roof→roofs等 b）去掉f，fe 加ves的名词有： 口诀：小偷的妻子用树叶做小刀杀了一匹狼把它劈成了两半挂在了架子上，从此过上幸福生活。 thief→thieves wife→wives leaf→leaves knife→knives wolf→wolves half→halves shelf→ shelves life→lives 5. 名词复数的不规则变化需要特别记忆。例如：man →men, woman →women, goose →geese, foot →feet, tooth →teeth, mouse →mice,child →children, fish →fish, deer (鹿) →deer, sheep →sheep 等。 6.表示“某国人”的名词复数形式变化可通过歌诀记忆：中日不变英法变，其余-s 加后面。例如：Chinese →Chinese, Japanese →Japanese；Englishman →Englishmen, Englishwoman →Englishwomen, Frenchman →Frenchmen, Frenchwoman →Frenchwomen；American →Americans, Rusian →Rusians, Arab →Arabs, German →Germans 等。 7. 不可数名词一般只有单数形式，没有复数形式。有些不可数名词可借助单位词表示一定的数量。例如：a cup of tea 一杯茶, two piece of paper 两张纸, an item of news 一则新闻。 最全的人教版初中数学常用概念、公式和 定理 2017最全的初中数学公式 1.整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数) 都是有理数. 如:－3,,0.231,0.737373…,,.无限不环循小数叫做无理数..如:π,－,0.1010010001…(两个1之间依次多1个0).有理数和无理数统称为实数. 2.绝对值:a≥0丨a丨=a;a≤0丨a丨=－a. 如:丨－丨=;丨3.14－π丨=π－3.14. 3.一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数 字,都叫做这个近似数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 4.把一个数写成±a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:－40700=－4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 5.被开方数的小数点每移动2位,算术平方根的小数点就向相同方向移动1 位;被开方数的小数点每移动3位,立方根的小数点就向相同方向移动1位. 如:已知=0.4858,则=48.58;已知=1.558,则=-0.1588. 6.整式的乘除法:①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项.③多项式乘以多项 式,用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项.④多项式除以单项式,将多项式的每一项 分别除以这个单项式. 7.幂的运算性质:①a m×a n=a m+n.②a m÷a n=a m－n.③(a m)n=a mn.④(ab)n=a n b n.⑤(- )n=n.⑥a－n=n,特别:()－n=()n.⑦a0=1(a≠0). 如:a3×a2=a5,a6÷a2=a4,(a3)2=a6,(3a3)3=27a9,(－3)－1=－,5－2==,()－2=(-)2=,(－3.14)0=1,(－)0=1. 复数知识点总结 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998 《复数》知识点总结 1、复数的概念 形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足21i =-，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部. (1)纯虚数：对于复数z a bi =+，当00a b =≠且时，叫做纯虚数. (2)两个复数相等：,()a bi c di a b c d R ++∈、、、相等的充要条件是=a c b d =且. (3)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，横轴为实轴，竖轴除去原点为虚轴. (4)复数的模：复数z a bi =+可以用复平面内的点Z(,)a b 表示，向量OZ 的模 叫做复数z a bi =+的模，表示为：||||z a bi =+ （5）共轭复数：两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数. 2、复数的四则运算 （1）加减运算：()()()()a bi c di a c b d i +±+=±++； （2）乘法运算：()()()()a bi c di ac bd ad bc i +?+=-++； （3）除法运算：2222()()()()(0)ac bd bc ad a bi c di i c di c d c d +-+÷+=++≠++； （4）i 的幂运算：41n i =，41n i i +=，421n i +=-，43n i i +=-.()n Z ∈ （5）22||||z z z z == 3、 规律方法总结 （1）对于复数(,)z a bi a b R =+∈必须强调,a b 均为实数，方可得出实部为a ，虚部为b复数概念及公式总结
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