多体动力学
摘要
采用笛卡尔绝对坐标通过动静法建立多刚体系统的动力学方程。
目录
I 问题概述 (3)
1. 多体系统仿真模型 (3)
2. 静力学问题 (4)
3. 运动学问题 (4)
4. 动力学问题 (4)
II 基本概念和公式 (4)
5. 参照物 (4)
6. 矢量 (5)
6.1 矢量的定义及符号 (5)
6.2 矢量的基本运算 (5)
6.3 单位矢量的定义及符号 (6)
6.4 零矢量的定义及符号 (6)
6.5 平移规则 (6)
7. 坐标系 (7)
8. 矢量在坐标系内的表示 (8)
9. 方向余弦矩阵 (10)
10. 欧拉角 (13)
11. 刚体的位置和姿态坐标 (15)
12. 矢量在某参照物内对时间的导数 (16)
13. 角速度 (17)
14. 简单角速度 (17)
15. 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (18)
16. 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (20)
17. 角速度叠加原理 (21)
18. 角加速度 (22)
19. 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (23)
20. 动点的速度和加速度 (25)
21. 刚体上两固定点的速度与加速度 (26)
22. 相对刚体运动的点的速度和加速度 (27)
23. 并矢 (28)
24. 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (30)
25. 约束 (33)
25.1滑移铰 (34)
25.2 旋转铰 (34)
25.3 圆柱铰 (35)
25.4 球铰 (36)
25.5 平面铰 (36)
25.6 固定铰 (37)
25.7 点在线约束 (37)
25.8 点在面约束 (38)
25.9 姿态约束 (39)
25.10 平行约束 (39)
25.11垂直约束 (40)
25.12 等速万向节 (41)
25.13 虎克铰 (41)
25.14 万向节 (42)
25.15 关联约束 (43)
26. 弹簧力的计算 (45)
27. 阻尼力的计算 (46)
III 问题求解 (47)
28.Macpherson悬架多体系统动力学方程DAEs的建立 (47)
29. DAEs的简单解法 (48)
参考文献 (49)
I 问题概述
1. 多体系统仿真模型
型：左面有
5个物体： ● 下控制臂 ● 转向节 ● 轮毂 ● 上滑柱 ● 转向横拉杆 左面约束有7个：
● 下控制臂与车身间的旋转铰 ● 下控制臂与转向节间的球铰 ● 转向节与轮毂间的旋转铰 ● 转向节与上滑柱间的滑移铰 ● 上滑柱与车身间的球铰
● 转向节与转向横拉杆间的球铰
● 转向横拉杆与转向齿条(这里固定于
车身)间的虎克铰
左面力有7个：
● 转向节与上滑柱间的弹簧力 ● 转向节与上滑柱间的阻尼力 ● 五个物体的重力
采用笛卡尔绝对坐标运用多体动力学的基本公式和动静法可以建立Macpherson 悬架的多体系统数学模型（DAEs ）。可选择的坐标有绝对坐标和相对坐标，绝对坐标可以是笛卡尔坐标或自然坐标。
图1-2 Macpherson 悬架多体系统模型
笛卡尔坐标规范统一，所有刚体都一样。相对坐标数量较少。自然坐标数量虽多，但涉及的概念较少，约束方程中没有三角函数，为二次多项式的形式。建立方程的方法有直观的矢量力学方法、抽象的分析力学方法和界于二者之间的Kane方法，这里采用的动静法属于矢量力学方法。
2. 静力学问题
在静平衡状态下，利用静平衡方程（速度和加速度均为零的DAEs）求未知外力、约束力或未知平衡位置的问题。
3. 运动学问题
在静平衡或运动状态下，利用运动约束方程求未知位置、速度或加速度的问题，方程中不涉及力的计算。
4. 动力学问题
在运动状态下，利用动力学方程和运动约束方程（DAEs）求未知加速度、速度、位置或未知外力及未知约束力的问题。
II 基本概念和公式
5. 参照物
参照物：定义运动的参照物体，如大地或刚体。
6. 矢量
6.1 矢量的定义及符号
矢量：具有大小和方向且满足一定运算规则的物理量，如力、位移、速度、加速度、角速度及角加速度。矢量一般用带箭头的符号表示，如a ，b 。
6.2 矢量的基本运算
a b
两矢量a 和b 的点积为一数量αcos ........
a b
d
两矢量a 和b 的叉积为另一矢量d αsin ab ....... a
b
α
c
三矢量a 、b 、c 的混合积为一数量，代表其组成的平行六面体的体积
()()()a b c a b c c a b
??=??=?? ...................................................... （ 三矢量a 、b 、c 的两重叉积为另一矢量，它位于a 和b 所张成的平面内c b a b c a ?-? ..................... 两矢量a 和b 的和为另一矢量
两矢量a 和b 的和为另（6-2）
6.3 单位矢量的定义及符号
单位矢量：大小为单位1的矢量。单位矢量一般用带“^”的符号表示，如??,e
x 。单位矢量可以用来表示一个方向，如主销的方向，车轮旋转轴线的方向。
6.4 零矢量的定义及符号
零矢量：大小为零的矢量。零矢量一般用“0”表示。
6.5 平移规则
将一个矢量在空间平行移动得到的矢量与原矢量相等。
例6-1 两个单位矢量1?x
和2?x 的点积为12??cos x x α?=，这里α为这两个单位矢量间的夹角，故两个单位矢量的点积表示其夹角的余弦。
例6-2 设有坐标系?e
，其三个单位矢量分别为1?e 、2?e 和3?e ；另外有一个任意方向的单位矢量为?x ，它与1?e
、2?e 和3?e 的夹角分别为1α、2α和3α，则11??cos x e α?=、22??cos x e α?=和33??cos x e α?=分别为单位矢量?x
在坐标系?e 内的方向余弦。
例6-3 若在式（8-1）中，b 为单位矢量b ?，则αcos ?a b a =? 表示矢量a 在b ?方向的投影。
例6-4 车轮前束角的确定：)????(
1
Y z X z tg
l l ??=-α，)????(1Y z
X z tg r r ??-=-α。
例6-5 磨胎半径（scrub radius ）和主销后倾拖距（caster moment arm ）的计算：设地面向上的法向单
位矢量为k ?，车轮自转轴线单位矢量（指向车身外面）为w ?，主销穿地点到轮胎印迹中心的矢量为ρ
，
令单位矢量l ?为车轮平面于水平路面交线指向后方的单位矢量，令m
?为车轮自转轴线在水平路面投
影线指向车身外面的单位矢量，则w k w k l
??/?????=，k w k k w k m ?)??(/?)??(?????=，m radius scrub ??_?=ρ
，l arm moment caster ?__?=ρ
。
7. 坐标系
坐标系：由三个两两垂直的单位矢量组成的右手直角坐标系。坐标系有时简称为基。
例如，取三个单位矢量1?r e
、2?r e 、3?r
e ，固定在大地一点o 上，令其两两垂直，如图7-1所示，则组成了一个惯性坐标系。这里的下标1、2、3用来表示第一、第二和第三个单位矢量，用上标“r ”
是为了和其他坐标系区分开，o 为坐标原点。为简化称呼，这个惯性坐标系可以用符号“?r
e
”来表示。有时三个单位矢量也用x
?、y ?及z ?表示。
图6-6磨胎半径（scrub radius ）和主销后倾拖距（caster moment arm ）
一个参照物上可以固定多个坐标系，如图7-1中固定在刚体上的坐标系?b e
和?i
e 。 有时为了方便，可以用固定于参照物上的某个坐标系来代表该参照物，因为固定于参照物上的坐标系与参照物在空间具有相同的运动。
一个坐标系的单位矢量，如?r
e
的1?r
e 、2?r
e 、3?r
e 之间的点积和叉积关系如下： 11121321222331
3233??????1, 0, 0??????0, 1, 0??????0, 0, 1r r r r r r
r r
r r r r
r r r r r r
e e e e e e e e e e e e e e e e e e ??=?=?=??=?=?=???=?=?=? ........................................................................ （7-1） 111231322132223131232133????????0, , ????????, 0, ????????, , 0r r r r r r r r
r r r r r r r r r r r r r r r r e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ??=?=?=-???=-?=?=???=?=-?=??
.............................................................. （7-2） 例7-1 Adams 有两种坐标系，GCS （Global Coordinate System ）和LCS （Local Coordinate System ），GCS 固定于大地上，只有唯一一个。LCS 包括BCS （Body Coordinate System ）和Markers ，BCS 固定在刚体上，每个刚体有一个且只有一个BCS ，Markers 为刚体拥有的坐标系，数目不限，分为Fixed markers 和Floating markers ，前一种固定于刚体上，后一种相对刚体是运动的。
8. 矢量在坐标系内的表示
一个矢量可以在任何一个坐标系内用沿各单位矢量的分量形式表
示。矢量η在某坐标系?e
内的分量表达式为： 112233???e
e e ηηηη=++................................................................. （8-1） 其中各系数1η、2η、3η为矢量η在各单位矢量方向上的投影，即坐标：
11223
3???e
e
e ηηηηηη=???
=???=?? ................................................................................. （8-2） 将（8-2）代入（8-1）中有
112233??????e
e e e e e ηηηη=?+?+? .................................................... （8-3）
η
在一个坐标系内，利用三个坐标可以描述空间任意一个矢量的大小和方向。 三个系数1η、2η、3η可以组成一个列阵：
12ηηηη????
=??????
..................................................................................... （8-4）
称为矢量η在坐标系?e
内的坐标阵。这里用字母下加一线的符号来表示矩阵，可以是列阵、行阵及一般矩阵。
三个系数1η、2η、3η还可以组成一个33?方阵：
323
12
1
0ηηηηηηη-??
??=-????-??
.............................................................. （8-5）
称为矢量η在坐标系?e
内的坐标方阵，这里用矩阵符号上加一波浪线的形式表示这个特殊的矩阵。 一个矢量在不同坐标系内的坐标阵和坐标方阵一般是不同的。
利用矢量在同一坐标系内的坐标阵和坐标方阵，可以实现矢量间的点乘和叉乘运算。
例8-1 设二矢量a 和b 在坐标系?e
内表示为 112233???a a e
a e a e =++，112233???
b b e b e b e =++，试求a b ?在坐标系?e 内的矩阵表达式。 解：
1122331122331111112211332211222222333311332233331122??????()()??????()()()()()()??????()()()()()()??????()()()()()()a b a e
a e a e
b e b e b e a e
b e a e b e a e b e a e
b e a e b e a e b e a e
b e a e b e a e b e a b a b ?=++?++=?+?+?+?+?+?+?+?+?=++33
a b 由于a 和b 在坐标系?e
内的坐标阵为 123a a a a ????=??????，123b b b b ????=??
????
则a b ?在坐标系?r e
内可用矩阵表示为：T T a b a b b a ?==
例8-2设二矢量a 和b 在坐标系?r
e
内表示为 112233???a a e
a e a e =++，112233???
b b e b e b e =++，试求a b
c ?=这个矢量在坐标系?e 内的坐标阵。 解：
112233112233111111221133221122222233331133223333123??????()()??????()()()()()()??????()()()()()()??????()()()()()()?0a b a e
a e a e
b e b e b e a e
b e a e b e a e b e a e
b e a e b e a e b e a e
b e a e b e a e b e a b e ?=++?++=?+?+?+?+?+?+?+?+?=+132213231312321233211331212213???0??0???()()()a b e a b e
a b e a b e
a b e a b a b e
a b a b e a b a b e --+++-+=-+-++-
从而矢量c 在坐标系?e
内的坐标阵为 233213311221a b a b c a b a b a b a b -????=-+????-??
又可进一步用矩阵表示为
233232132113313
123
12122121
32
1
30
0000a b a b a a b b b a c a b a b a a b b b a a b a b a a b b b a ---??????????
??????????=-+=-=--????????????????????---??????????
从而有c ab ba ==-
9. 方向余弦矩阵
设有两个坐标系?r
e
和?b
e ，如图11-1所示。?b
e 相对?r
e 的位置，可以用由?r
e 的坐标原点向?b
e 的坐标原点引出的矢量来描述。下面讨论?b
e
相对?r
e 的姿态。确定了?b
e 的三个单位矢量相对?r
e 的方向就确定了?b
e
相对?r
e 的姿态。单位矢量1?b
e 、2?b
e 和3?b
e 在?r
e 内的坐标阵分别为 112131123122232132333????????????,,??????b r b r b
r b
b b b r b r b r b r b r b r e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e ???????????????=?=?=??????????????????????
..................................................................... （9-1） 其中各元素代表各单位矢量在坐标系?r e
内的方向余弦，将其按图9-1中的表格进行排列即有矩阵 112131122232132333??????????????????b r b
r b
r rb
b r b r b r b r b r b r e
e e e e e A e e e e e e e e e e
e e ???????=???????????
?
........................................................................................ （9-2） 称为?b
e
关于?r
e 的方向余弦矩阵。这个矩阵描述了?b
e 三个单位矢量在?r
e 内的方向，从而确定了?b
e 相对?r
e 的姿态。右上角标“rb ”代表这个方向余弦矩阵是?b
e 关于?r
e 的，而?r
e
关于?b
e 的方向余弦矩阵br
A 的元素排列如下表所示：
123111213121222323132333????????????????????????br
r r
r
b r b r b r b b r b r b r b
b r b r b r b A e e e
e
e
e e e e e
e e
e e e e e e
e
e e e
e e
????????? ............................. （9-3）
比较br A 和rb
A 的元素可知
()br rb
T A A = ........................................................ （9-4）
同一矢量η在?r
e
和?b
e 内的坐标阵分别为r η和b
η，则其关系为： r rb b A ηη= .......................................................... （9-5）
此时方向余弦矩阵起的作用是坐标变换，所以方向余弦矩阵也称为坐标变换矩阵，上式把矢量η的
坐标阵从?b e
变换到?r e ，所以rb A 也称为从?b e 到?r
e 的坐标变换矩阵。 同一矢量η在?r
e
和?b
e 内的坐标方阵分别为r η和b
η，则其关系为： r rb b br A A ηη= .................................................... （9-6）
若另有一个坐标系?s e
，可以定义rs A 和sb
A ，则有 rb
rs
sb
A A A = ....................................................... （9-7）
例9-1 边长为a 的正方体上有两个坐标系，r e ?和b e ?，如图9-2所示，试求rb A 和br A ，并写出b
e 2?在r e ?内的分量形式（用r e ?的三个单位矢量表示b e ?）
。 解：
123123????cos30
sin 30
?sin 30cos300?00
1
rb
b b b
r r
r A e e e
e
e e
-（9-8） 123123????cos30sin 30
?sin 30cos300?0
1
br
b b b r r r A
e e
e
e
e e
-（9-9） 212???sin 30cos30b r r e e e =-+（9-10）
例9-2 如图9-2所示，试求矢量η在
坐标系?b
e 内的坐标阵。 解：
r a a a η????=??????
.............................................................. （9-11
cos30sin 300cos30sin 30sin 30
cos300sin 30cos3000
11b br b a A a a a ηη????+??
?
?????==-=-+??????
?????????
???
（9-12） 例9-3 设有一坐标系?s
e
，原点为A ，如图9-2所示，已知 100001010rs A -??
??=??
???? ............................................. （9-13） 试画出?s e
的姿态。
b η
2?s e
例9-4 三点法确定坐标系的姿态。在ADAMS 中可以采用欧拉角来确定一个坐标系相对另一个坐标系的姿态，也可以采用三点法来确定一个坐标系相对另一个坐标系的姿态。采用三点法时，坐标系的相对位置也同时确定了。约定如下： ● 第一点A 为待定坐标系原点；
● 第二点为待定坐标系?z
方向的一点； ● 第三点为待定坐标系zx 平面上x 坐标为正的那半个平面上的一点。
??1010A G G
R X Y =+ ............................................. （9-14） ?10B
G
R Y
= ............................................................ （9-15） ???1010C G G
R Y Z =+ .............................................. （9-16） ?10B
A
G
AB R R X
=-=- ................................... （9-17） ??1010C A G G
AC R R X Z =-=-+ ..................... （9-18） ????10(1010)100G
G
G
G
AB AC X
X Z Y ?=-?-+= （9-19） ?10??10G G X AB
z X AB
-===- ............................... （9-20） ?100??100G G
Y AB AC
y Y AB AC
?===? ........................... （9-21） ??????()G G G
x y z Y X Z =?=?-= ............................ （9-22） 在Adams 中的相应函数为
ORI_IN_PLANE(A, B, C, Z_ZX) ........................ （9-23）
类型参数 Z_ZX 代表上述三个约定，此外还可以是Z_ZY, X_XY, X_XZ, Y_YX, Y_YZ 。
C A
(10,10,0) B
G
X ?G
Y ?G
Z R R R AC
?y
?x
三点法确定坐标系姿态
10. 欧拉角
一个刚体或坐标系在空间有六个自由度，坐标系?b e相对?r e的位置和姿态，可以利用六个独立参数完全描述；描述?b e的坐标原点在?r e内的位置需用三个坐标，则描述?b e相对?r e的姿态可用三个参
数。方向余弦矩阵用九个元素描述?b e
相对?r
e 的姿态，这九个元素中只有三个是独立的。欧拉角定义为图10-1、图10-2和图10-3中的三个角，其中坐标系?u
e
和?v
e 为引入的两个辅助坐标系，?u
e 的第三单位矢量3?u
e
与?r
e 的第三单位矢量永远重合，1?u
e 与1?r
e （或2?u
e 与2?r
e ）的夹角为第一个欧拉角ψ；?v
e 的第一个单位矢量1?v
e
与?u
e 的第一个单位矢量1?u
e 永远重合，3?v
e 与3?u
e （或2?v
e 与2?u
e ）的夹角为第二个欧拉角θ；?b e
的第三个单位矢量与?v e 的第三个单位矢量永远重合，1?b e 与1?v e （或2?b e 与2?v
e ）的夹角为第三个欧拉角?。
各坐标系间的方向余弦矩阵如图10-1~3所示，总方向余弦矩阵rb
A 等于三个方向余弦矩阵的积：
rb
ru uv vb
A A A A = ................................................................................................................ （10-1）
将各矩阵用欧拉角表示且相乘，则有
123123????c c ??rb
b b b
r r
r A
e e e
e
s c s c s s c c s s e s c c c s s s c c c c s e
s s s c c ψ?ψθ?
ψ?ψθ?
ψθ
ψ?ψθ?
ψ?ψθ?
ψθθ?
θ?
θ
---+-+- ................................................. （10-2）
给定三个欧拉角，利用上式可唯一确定?b
e
各单位矢量在?r
e 内的方向，从而可唯一确定?b
e 相对?r
e 的姿态。反过来，若给定?b
e
相对?r
e 的一个姿态，即若给定方向余弦矩阵 111213212223313233rb a a a A a a a a a a ??
??=??
????
.............................................................................. （10-3） 限定0θπ<<，ψπ≤，?π≤，则求欧拉角的公式为（用Matlab 函数表示）
)cos(33a a =θ ............................................................................................ （10-4） 此时sin 0θ>，从而13a 是sin ψ的正的倍数，23a 是cos ψ的负的倍数，从而有 ),(2tan 2313a a a -=ψ ................................................................................ （10-5） 同样，31a 是sin ?的正的倍数，32a 是cos ?的正的倍数，故有
),(2tan 3231a a a =? .................................................................................. （10-6）
如果令'
θθ=-，则相应的'
ψ和'
?由下面的方向余弦矩阵确定
123'''''
'''''
''
1'''''
'''''
''
2''
''
'
3????c c ??rb
b b b
r r
r A e
e e
e
s c s c s s c c s s e s c c c s s s c c c c s e
s s s c c ψ?ψθ?ψ?ψθ?ψθψ?ψθ?ψ?ψθ?ψθθ?θ?θ---+-+- ...................................... （10-7） 此时'
sin 0θ<，则13a 是'
sin ψ的负的倍数，23a 是cos ψ的正的倍数，从而有
'1323tan 2(,)a a a ψψπ=-=+ ................................................................ （10-8）
同样，31a 是'
sin ?负的倍数，32a 是cos ?负的倍数，故有
'3132tan 2(,)a a a ??π=--=+ ............................................................... （10-9）
当0θ=或θπ=时，无法唯一确定角度ψ和?。这个位置称为欧拉角的奇点，也就是3?b e 与3?r e 同向（0θ=）或反向（θπ=）时的位置。当0θ=时，由式（10-2）知
1
00?0)
cos()
sin(?0
)sin()cos(????321321r r r b
b b rb
e
e
e e e e A ?ψ?ψ?ψ?ψ+++-+ .................................................... （10-7）
此时给定方向余弦矩阵，只能确定出?ψ+，而ψ和?有无数组解。若规定0=?，则可唯一定出ψ。
当πθ=时，由式（12-2）知
100
?0
)cos()
sin(?0
)
sin()cos(????321321------r r r b
b b rb
e e
e e e
e
A ?ψ?ψ?ψ?ψ ................................................... （10-7）
此时给定方向余弦矩阵，只能确定出?ψ-，而ψ和?有无数组解。若规定0=?，则可唯一定出ψ。
Adams 用Body-fixed 313来称呼这种欧拉角。
例10-1 已知坐标系?b e
相对?r
e 的欧拉角为90,90,270ψθ?===，试画出其姿态。
例10-2 几何法确定欧拉角。假设给定了坐标系?b
e
相对?r
e 的姿态，为使θ为正，即与（10-4）的计算结果一致，可以按下面步骤确定各角度
● 先确定b b e e
21??平面与r
r e e 21??平面的交线N ； ● 再确定u e e
b r =?33??的方向，u
与上面的N 线重合； ● r e
1?绕r e 3?正向转至与u
同向的角度为ψ； ●
r e 3?绕u 正向转至与b
e 3?同向的角度为θ；
●
u 绕b
e
3?正向转至与b e 1?同向的角度为?。
11. 刚体的位置和姿态坐标
一个自由刚体在空间相对
大地有六个自由度，可用三个位置坐标和三个姿态角坐标来描述。
如图11-1所示，在大地上取一点O 作为原点，固定一个惯性坐标系，其三个单位矢量
1
?r
e
2?r
e
3?r
e
1?u e
2
?u
e
3
?u
e
1?v e
2?v e
3?v e
1?b e
2?b
e
3?b e
9090270
图10-4 欧拉角(90,90,270)度
分别为G X ?、G Y ?和G
Z ?，Adams 称为GCS(Global Coordinate System)。 在刚体上取一点B 作为原点，固定一个坐标系，其三个单位矢量分别为B x
?、B y ?和B z ?，Adams 称为BCS(Body Coordinate System)。
刚体相对大地的位置坐标可以取为B 点在GCS 中的三个坐标，可用 ),,(z y x 表示。
刚体相对大地的姿态坐标可以取为BCS 相对GCS 的三个欧拉角),,(?θψ。 表示刚体姿态的坐标有很多种，如果把上面的欧拉角称为狭义欧拉角，那么广义欧拉角有24种。此外还有方向余弦坐标、有限转动四元数坐标、欧拉四元数坐标及自然坐标等。
12. 矢量在某参照物内对时间的导数
空间任意矢量η在固定于参照物R 上的
坐标系?r
e
内表示为 112233???r r r r r r
e e e ηηηη=++ ...................... （12-1）
则矢量η在参照物R 内对时间的导数定义为
312123???r r r r
r r
r d d d d e e e dt dt dt dt
ηηηη=++ ..... （12-2）
例12-1 刚体B 为一杆件，长为l ，相对参照物R(大地)做定轴转动，则固定于刚体上的矢量ρ在刚体这个参照物内对时间的导数为零，而在大地内对时间的导数不为零。
假设固定于大地上的坐标系?r
e
的原点为O ，
如图12-2所示，三个单位矢量分别为1?r e 、2?r e 和3?r e
，其中3?r e 沿旋转铰轴线方向，固定于刚体B 上的坐标系?b
e
的原点也取为O ，三个单位矢量分别为1?b
e 、2?b
e 和3?b
e ，其中3?b
e 也沿旋转铰轴线方向，则当刚体转动时，?b
e 相对?r
e 做定轴转动，设1?r
e
与1?b
e 之间的转角为θ。从O 点向刚体的另一端点P 引矢量ρ，则ρ为固定于刚体B 上的矢量。
矢量ρ可在刚体B 上的坐标系?b
e
内表示为 1?b le ρ= .............................................................................................................................. （12-3）
ρ在刚体B 内对时间的导数为 1?0B
b
d dl
e dt dt
ρ== ............................................................................................................. （12-4）
即点P 相对刚体B 的速度为零。
矢量ρ可在大地上的坐标系?r e
内表示为 12??cos sin r r
l e l e ρθθ=+ .................................................................................................. （12-5）
ρ在大地内对时间的导数为
η
空间矢量η和参照物B
ρ
l
1212122????(cos )(sin )sin cos ??(sin cos )?R
r r r r
r r
b
d d d l
e l e l e
l e dt dt dt
l e e le
ρθθθθθθθθθθ=+=-+=-+= .............................. （12-6）
即点P 相对大地的速度为不为零，其方向垂直于杆件轴线即沿2?b
e
方向，大小为角速度θ与杆长l 的积。
13. 角速度
在刚体B 上固定坐标系?b
e
，如图13-1所示，则刚体B 相对参照物R 的角速度定义为 3211
32132?????????R b R
b R
b R
B
b
b b b b b de de de e
e e e e e
dt dt dt
ω=?+?+? ...................................................... （13-1） 14. 简单角速度
当刚体相对参照物做定轴转动或平面运动时，刚体相对参照物的角速度可表示为
?R
B k
ωθ= .................................................................................................................... （14-1） 其中单位矢量?k
沿定轴转动的轴线方向或垂直于平面运动所在平面方向，θ为转动角度。
例15-1 房屋门相对大地的角速度为简单角速度；直线行驶的汽车车轮相对大地做平面运动，其相对大地的角速度为一简单角速度。
15. 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数
如图15-1所示，矢量ρ固定在刚体B 上，刚体B 相对参照物R 的角速度为R B
ω，则矢量ρ在
参照物R 内对时间的导数可通过R
B
ω与ρ的叉积获得
R
R B
d dt
ρωρ=? ................................................. （15-1） 证明： 由于
11??1b b e
e ?= ............................................................. （15-2） 上式两边在参照物R 内对时间求导有
1111????0R
b R b b b de
de e e dt dt ?+?= .................................... （15-3） 矢量点积与顺序无关，从而
11??0R
b b de
e dt
?= ....................................................... （15-4） 又由于
31??0b b e e
?= ............................................................ （15-5） 上式两边在参照物R 内对时间求导有
3113????0R
b R
b b b
de de e e dt dt ?+?= .................................... （15-6） 移项有
3113????R
b R b b
b de de e e dt dt
?=-? ....................................... （15-7） 由刚体角速度的定义有
3211
32132?????????R b R
b R
b R
B
b b b b b b de de de e
e e e e e
dt dt dt
ω=?+?+? ......................................................................（15-8） 从而
ρ
ρ
3211
1
321321321113211312313122???????????()??????????????????R b R
b R
b R
B
b b b b b b b b R b R b R
b b b b b b b b b b R b R
b b b b b de de de e e e e e e e
e dt dt dt
de de de e e e e e e e e e
dt dt dt de de e e e e dt dt
ω?=?+?+??=??+??+??=-?+? ....................................................（15-9） 考虑（10-4）和（10-7）有
11111
112233???????????R
b R b R b R b R
B
b
b b b b b b de de de de e e e e e e e dt dt dt dt
ω?=?+?+?= ..................................................... （15-10）
同理可证
22
??R
b R
B
b de e dt ω?= ........................................................................................................................... （15-11）
33??R b
R B b
de e dt ω?= ........................................................................................................................... （15-12）
将矢量ρ表达为
112233???b b b b b b
e e e
ρρρρ=++ ............................................................................................................. （15-13） 将其在参照物R 内对时间求导有
312123???R b R b R b
R
b b b de de de d dt dt dt dt
ρρρρ=++ .................................................................................... （15-14）
考虑（10-10）、（10-11）和（10-12）有
112233112233??????()R
b R B b b R B b b R B b
R B b b b b b b
R B d e e e
dt
e e e ρρωρωρωωρρρωρ
=?+?+?=?++=? ...................................................................... （15-15） 证毕。
16. 矢量在两参照物内对时间导数的关系
如图16-1所示， η为空间任意矢量，R 和S 为两个参照物，则矢量η在两个参照物内对时间的导数一般是不相等的，存在如下关系
R
S R S
d d dt dt
ηηωη=+? ...................................... （16-1） 其中R
S
ω为S 相对R 的角速度。 证明：
在S 上固定坐标系?s e
，则矢量η可在?s
e 内表示为 112233???s s s s s s
e e e ηηηη=++ ....................................... （16-2）
将其在参照物R 内对时间求导有
331122112233331212123123112233????????????()()
???()
s R s s R s s R s
R
s s s s s s s R s s s R s R s
s s s s s s S s R S s s R S s s R S s
S
d d
e d de d de d e e e
dt dt dt dt dt dt dt
d d
e d d de de e e e dt dt dt dt dt dt d e e e dt d ηηηηηηηηηηηηηηηωηωηω=+++++=+++++=+?+?+?=112233???()
R S s s s s s s
S
R S e e e dt d dt ηωηηηηωη+?++=+? （16-2）
证毕。
例16-1 在（16-1）式中，若0R
S
ωη?=，则有R
S d d dt dt
ηη=。即当S 相对R 平动（R S ω为零）或R S
ω与矢量η平行时，η在两个参照物内对时间的导数相等。特别地，当η就是R S
ω时，恒有
R
R S S R S
d d dt dt
ωω=，即R S
ω在参照物R 和S 内对时间的导数相等。 η
空间矢量η和两个参照物
柔性多体系统的运动变形描述 柔性多体系统运动的描述方式，按其所选取的参照系不同，可分为绝对描述和相对描述两种类型[]。绝对描述以某一个指定的惯性系为参考系，系统中每一个物体在每一个时刻的位形都在此惯性系中确定。而在相对描述中对每一个物体都按某种方式选定一个随动参考系，物体的位形是相对于自己的动参照系确定的。这些参照系通常是惯性的。这两种描述方式导致两种不同的动力学模型。相对描述的显著优点在于处理物体变形很方便。它的一个缺点是在各加速度项中出现整体刚性运动和变形之间的耦合，这种耦合导致质量阵中出现与变形坐标有关的项。这些项的存在大大增加了动力学方程数值求解的难度，并且是引起数值病态的主要原因之一。 【补充】相对描述方法特别适合于由小变形物体所组成的系统。此时可以适当地选取动参考系，使得物体相对于动参考系的运动（变形）总是小的。这样，对小变形可按通常的线性，例如进行模态展开和截断等。将描述变形的弹性坐标和描述刚性运动的参数合起来，作为系统的广义坐标，就可以按通常的离散系统分析动力学方法建立动力学方程。相对描述方法的核心问题为物体变形与整体刚性运动的相互作用。这种相互作用可以通过规范场论的方法完全确定。于是动力学方程分为互相耦合的两类，一类控制物体的整体刚性运动，另一类控制物体的相对变形。 [] 陆佑方．柔性多体系统动力学．高等教育出版社．1996 对于如何描述系统变形模式方面，大致有下列三种方法。 1 经典的瑞利-里兹(Reyliegh-Ritz)法 这个方法是对所研究的弹性体，构造一个假设位移场，该位移场必须满足相容性和完备性要求。若假设位移场用(,,)x y z Φ表示，并取12[...]n Φ=ΦΦΦ，称为里兹函数矩阵， 用以描述物体变形模式，则物体上各点的变形向量f μ可表示为 f f q μ=Φ 式中，()f f q q t =为对应的弹性变形广义坐标向量。 这是弹性连续力学近似解的最基本方法，但对于复杂形状、复杂边界和复杂载荷的情况，要构造出一个适合的位移场式非常困难的，甚至可能做不到。
柔性机器人的动力学研究 摘要：现代机械向高速、精密、轻型和低噪声等方向发展，为了提高机械产品的动态性能、工作品质，必须十分重视机构动力学的研究。特别对于高速运行的机器人，在外力与惯性力作用下，构件的弹性变形不可忽略，它不仅影响了机构的轨迹精 度和定位精度，破坏系统运行的稳定性和可靠性，同时降低了工作效率和整机的使用寿命。对有害动态响应的消减是机械动 力学研究的重要问题。本文以柔性机器人为例，阐述了柔性机器人动力学分析的研究现状及其发展趋势，对Lagrange法，有 限元法、变Newton-Euler方法、Kane方法等方法进行了详细阐述和比较为柔性机器人的控制和优化设计提供科学基础。 关键字：柔性机器人动力学Lagrange 变Newton-Eule方法Kane方法有限元法 Dynamics of Flexible Manipulators Name: Liu Fuxiu Student ID: 1211303007 (Mechanical Engineering of Guangxi University, Mechanical Design and Theory 12 research) Abstract:The modern machinery to speed, precision, lightweight, and low noise direction, in order to improve the dynamic performance and quality of work of mechanical products, Research into the dynamics must be attached great importance to institutions. Especially for high-speed operation of the robot, under the external force and inertial force, the elastic deformation member can not be ignored, it only affects the body path accuracy and positioning accuracy, destroy the stability and reliability of the system, while reducing the efficiency and whole life. Abatement of hazardous dynamic response is an important issue of mechanical dynamics. In this paper, flexible robot, for example, describes the flexible robot dynamics analysis of present situation and development trend of the Lagrange method, finite element method, variable Newton-Euler method, Kane method and other methods were described in detail and compared to the flexible robot control and optimize the design to provide a scientific basis. Keywords: flexible robot dynamics Lagrange Newton-Euler method FEM method Kane finite element method 1 引言 现代科学技术的发展和进步产生了机器人，机器人是机器进化和技术进步的必然结果，而机器人技术有促进生产力的发展。“机器人”源于捷克语“robota”，意思为工作。美国机器人协会对它的定义是:“机器人是一种可再编程的多功能操作机，可以用各种编程的动作完成多种作业，用于搬运材料、工件、工具和专用装置”。自从1959年的Unimation公司推出第一台工业机器人以来，各种机器人或机械手广泛运用于许多领域。它们可以替代人类劳动，完成各种精密、繁重环境恶劣，甚至是危险的任务。 机器人动力学主要研究机器人机构的动力学，机器人机构包括机械结构和驱动装置，它是机器人的本体，是机器人实现各种功能运动和操作任务的执行机构，也是机器人系统中的被控对象。对机器人动力学的研究，应该说，在机器人一出现就已经开始，且随着机器人技术的发展而不断地加以丰富和积累。机器人动力学与其他一般力学、机构动力学比较，它与现代控制技术和计算技术更为密切相关。设计机器人的控制系统，以及实时控制机器人本身的过程中，不可避免地要运用现代计算技术，因此对于动力学的研究必须适应现代计算技术，并需要解决一系列新的问题。如何合理有效地降低机器人的机构重量，成为削减机器人系统总重量的关键所在，近年来，国际竞争越来越激烈，用户在希望成本降低的同时，对机器人的精度、工作速度、负载能力也提出了越来越高的要求。然而，机构的惯性力和角速度的平方成正比，随着工作速度的不断提高，惯性力将成为柔性机械臂变形的主要影响因素。因此，必须尽可能精确地分析机器人在高速情况下的运动动力学特性，从而有效地提高其精度，以上诸多因素导致了柔性机器人及其设计理论的出现。
收稿日期:20010226 作者简介:仲 昕(1973-),女(汉),山东,博士生E 2m ail :xinzhong 99@sina . com 仲 昕 文章编号:100328728(2002)0320387203 多柔体系统动力学建模理论及其应用 仲 昕,杨汝清,徐正飞,高建华 (上海交通大学机器人研究所,上海 200030) 摘 要:以往对机械系统进行动力学分析,要么将其抽象为集中质量—弹簧—阻尼系统,要么将其中的每个物体都 看作是不变形的刚性体,但如果系统中有一些物体必须计及其变形,就必须对机械系统建立多柔体模型。本文阐述了柔性体建模理论,并用汽车前悬架多柔体模型进行举例说明。结果表明多柔体模型的仿真结果较多刚体动力学模型的仿真结果更接近道路试验数据结果,充分验证了多柔体建模的必要性和有效性。关 键 词:多柔体模型;柔性体建模理论中图分类号:TH 122 文献标识码:A D ynam ic M odeli ng of M ulti -Flex ible Syste m ——Theory and Applica tion ZHON G X in ,YAN G R u 2qing ,XU Zheng 2fei ,GAO J ian 2hua (In stitu te of Robo tics ,Shanghai J iao tong U n iversity ,Shanghai 200030) Abstract :In dynam ic analyses of a m echan ical system ,it is often ab stracted as a cen tralized m ass 2sp ring 2damper system ,o r every part in the system is regarded as a rigid body .How ever ,if som e parts defo rm obvi ou sly and their defo rm ati on m u st be taken in to con siderati on ,the m echan ical system m u st be modeled as a m u lti 2flex ib le body .In th is paper ,the flex ib le body modeling theo ry is demon strated firstly .T hen ,an examp le of modeling a k ind of au tomob ile’s fron t su spen si on as a m u lti 2flex ib le system is show n .F inally ,it is show n that the si m u lati on resu lts of m u lti 2flex ib le dynam ic model agree w ith the road test data mo re than tho se of m u lti 2rigid dynam ic model do .T hu s ,it is fu lly testified that u sing m u lti 2flex ib le body theo ry to model is necessary and effective .Key words :M u lti 2flex ib le body ;F lex ib le body modeling theo ry 机械系统一般是由若干个物体组成,通过一系列的几何约束联结起来以完成预期动作的一个整体,因此也可以把整个机械系统叫做多体系统。如果将系统中每个物体都看作是不变形的刚性体,则该系统称为多刚体系统;若系统中有一些物体必须计及其变形,则称之为多柔体系统或柔性多体系统。 随着当今世界经济的飞速发展和市场全球化,降低成本、提高质量、缩短开发周期、最大限度地减轻产品质量、确保操作者的安全性、舒适性等等已成为企业生存和发展的关键,因此必须考虑各零部件的柔性(弹性和塑性)以提高仿真分析的精度。多柔体系统动力学是研究物体变形与其刚性整体运动相互作用或耦合,以及这种耦合所导致的独特的动力学效应。这是多柔体系统动力学的核心特征。对机械系统的建模也由多刚体模型向多柔体模型发展。应用多柔体系统动力学的建模理论和方法,可以实现精确建模、虚拟设计、动力学仿真分析与优化、系统匹配、整体性能预测 等等。多柔体系统动力学的研究对象大致有两方面,即宇 航、大型空间站和高速轻型机械(特别是高速地面车辆)[1,2]。 1 计算方法1.1 广义坐标的选择 用刚体i 的质心笛卡尔坐标和反映刚体方位的欧拉角 作为广义坐标q i =[x ,y ,z ,7,Η,Υ]T i ,q =[q T 1,…,q T n ]T 即每个刚体用六个广义坐标描述。由于采用了不独立的广义坐标,系统动力学方程是最大数量但却高度稀疏耦合的微分代数方程,适于用稀疏矩阵的方法高效求解[3]。1.2 刚体系统动力学方程的建立 应用拉格朗日待定乘子法,多刚体系统的动力学方程为 d d t 5T 5q αT -5T 5q T +5T q p +ΗT q αΛ-Q =05(q ,t )=0 Η(q ,q α,t )=0(1) 式中:T 是系统能量,T =12 (v T M v +w T Iw );5(q ,t )=0为第21卷2002年 第3期5月机械科学与技术 M ECHAN I CAL SC IEN CE AND T ECHNOLO GY V o l .21M ay N o.3 2002
第42卷第11期 2008年11月 上海交通大学学报 JOU RN AL O F SH AN G HA I JIA OT O N G U N IV ERSIT Y Vol.42No.11 Nov.2008 收稿日期:2007 10 08 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10772113);高等学校博士学科点专项科研基金资助项目(20040248013) 作者简介:洪嘉振(1944 ),男,浙江宁波市人,教授,博士生导师,研究方向:多体系统动力学与控制.电话(T el.):021 ********; E mail:jzhong@s https://www.doczj.com/doc/a48185276.html,. 文章编号:1006 2467(2008)11 1922 05 刚柔耦合动力学的建模方法 洪嘉振, 刘铸永 (上海交通大学工程力学系,上海200240) 摘 要:对柔性多体系统动力学研究的若干阶段和研究现状进行回顾,对已有的刚柔耦合动力学建模方法进行总结.为了对已有的建模方法进行评价,提出了5项指标:科学性、通用性、识别性、兼容性和高效性,指出现有的建模方法尚无法满足工程实际应用的需要,应研究满足全部评价指标的刚柔耦合动力学建模方法.文中对今后柔性多体系统刚柔耦合动力学的几个研究方向进行展望,包括理论建模、计算方法和试验研究等方面. 关键词:刚柔耦合系统;动力学;建模方法;评价指标中图分类号:O 313 文献标识码:A Modeling Methods of Rigid Flexible Coupling Dynamics H ON G J ia z hen, L I U Zhu y ong (Department of Engineering M echanics,Shanghai Jiaotong Univ er sity,Shanghai 200240,China)Abstract:A brief review about several phases and present status o f flexible multi bo dy dynamics w as given and the ex isting m odeling m ethods o f r ig id flex ible coupling dynam ics w ere sum marized.Five indexes,in cluding scientific index,g eneral index,identifiable index,compatible index and efficient index ,w ere pro posed to evaluate the ex isted mo deling methods.It show s that the ex isted m odeling metho ds can no t satis fy the actual needs of eng ineer ing application and new modeling m ethod w hich satisfies all the evaluating index es should be inv estig ated.T he r esearch tar gets including modeling theor y,com putational methods and exper im ents w er e sugg ested for the rigid flexible co upling dynamics o f the flex ible multi body sys tems. Key words:rigid flex ible coupling sy stem s;dy nam ics;mo deling methods;evaluating index 柔性多体系统是指由多个刚体或柔性体通过一定方式相互连接构成的复杂系统,是多刚体系统动力学的自然延伸.考虑刚柔耦合效应的柔性多体系统动力学称之为刚柔耦合系统动力学,主要研究柔性体的变形与其大范围空间运动之间的相互作用或相互耦合,以及这种耦合所导致的动力学效应.这种耦合的相互作用是柔性多体系统动力学的本质特 征,使其动力学模型不仅区别于多刚体系统动力学,也区别于结构动力学.因此,柔性多体系统动力学是 与经典动力学、连续介质力学、现代控制理论及计算机技术紧密相联的一门新兴交叉学科[1 3],它对高技术、工业现代化和国防技术的发展具有重要的应用价值. 根据力学的基本原理,基于不同的建模方法,得
有限元软件与多体动力学软件 数值分析技术与传统力学的结合在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS 、NASTRAN 等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS 和DADS 为代表的动力学分析软件。两者共同构成计算机辅助工程（CAE ）技术的重要内容。 商业通用软件的广泛应用给我们工程师带来了极大的便利，很多时候我们不需要精通工程问题中的力学原理，依然可以通过商业软件来解决问题，不过理论基础的缺失还是会给我们带来不少的困扰。随着动力有限元与柔性多体系统分析方法的成熟，有时候正确区分两者并不是很容易。 机械领域应用比较广泛的有两类软件，一类是有限元软件，代表的有：ANSYS, NASTRAN, ABAQUS, LS-DYNA, Dytran 等；另一类是多体动力学软件，代表的有ADAMS, Recurdyn ， Simpack 等。在使用时，如何选用这两类软件并不难，但是如果深究这两类软件根本区别并不容易。例如，有限元软件可以分析静力学问题，也可以分析“动力学”问题，这里的“动力学”与多体动力学软件里面的动力学一样吗？有限元软件在分析动力学问题时，可以模拟物体的运动，它与多体动力学软件中模拟物体运动相同吗？多体动力学软件也可以分析柔性体的应力、应变等，这与有限元软件分析等价吗？ 1 有限元软件 有限单元法是一种数学方法，不仅可以计算力学问题，还可以计算声学，热，磁等多种问题，我们这里只探讨有限元法在机械领域的应用。 计算结构应力、应变等的力学基础是弹性力学，弹性力学亦称为弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而为工程结构或构件的强度、刚度设计提供理论依据和计算方法。也就是说用有限元软件分析力学问题时，是用有限元法计算依据弹性力学列出的方程。 考虑下面这个问题，在()0t ， 时间内给一个结构施加一个随时间变化的载荷()P t ，我们希望得到结构的应力分布，在刚刚施加载荷的时候，结构中的应力会有波动，应力场是变化的，但很久以后，应力场趋于稳定。 如果我们想得到载荷施加很久以后，稳定的应力场分布，那么应该用静力学分析方法分析
柔性多体动力学建模 、仿真与控制 近二十年来，柔性多体系统多力学（the dynamics of the flexible multibody systems）的研究受到了很大的关注。多体系统正越来越多地用来作为诸如机器人、机构、链系、缆系、空间结构和生物动力学系统等实际系统的模型。huston认为： “多体动力学是目前应用力学方面最活跃的领域之一，如同任何发展中的领域一样，多体动力学正在扩展到许多子领域。最活跃的一些子领域是： 模拟、控制方程的表述法、计算机计算方法、图解表示法以及实际应用。这些领域里的每一个都充满着研究机遇。”多柔体系统动力学近年来快速发展的主要推动力是传统的机械、车辆、军械、机器人、航空以及航天工业现代化和高速化。传统的机械装置通常比较粗重，且*作速度较慢，因此可以视为由刚体组成的系统。而新一代的高速、轻型机械装置，要在负载/自重比很大，*作速度较高的情况下实现准确的定位和运动，这是其部件的变形，特别是变形的动力学效应就不能不加以考虑了。在学术和理论上也很有意义。 关于多柔体动力学方面已有不少优秀的综述性文章。 在多体系统动力学系统中，刚体部分： 无论是建模、数值计算、模拟前人都已做得相当完善，并已形成了相应的软件。但对柔性多体系统的研究才开始不久，并且柔性体完全不同于刚性体，出现了很多多刚体动力学中不呈遇到的问题，如： 复杂多体系统动力学建模方法的研究，复杂多体系统动力学建模程式化与计算效率的研究，大变形及大晃动的复杂多体系统动力学研究，方程求解的stiff数值稳定性的研究，刚柔耦合高度非线性问题的研究，刚-弹-液-控制组合的复杂多体系统的运动稳定性理论研究，变拓扑结构的多体系统动力学与控，复杂多体系统动力学中的离散化与控制中的模态阶段的研究等等。柔性多体动力学而且柔性多体动力学的发展又是与当代计算机和计算技术的蓬勃发展密切相关的，高性能的计算机使复杂多体动力学的仿真成为可能，特别是计算机的功
柔性机械臂动力学建模 一,研究现状 柔体动力学建模方面国内外出现很多研究,主要针对关节柔性与柔性臂杆进行建模。 其中,Chang-Jin Li, T、S、 Sankar, 利用拉格朗日方程及假设模态法对柔性机械臂进行建模,提出的该方法可以降低运算量,并用单连杆柔性机器人进行证明验证; B、Subudhi ,A、S、Morris, 基于欧拉-拉格朗日法与假设模态法对多柔性杆与柔性关节进行动力学建模; Gnmarra-Rosado VO,Yuhara, EAO,利用牛顿-欧拉公式与有限元分析法对两柔性两转动关节推导动力学方程; 危清清,采用拉格朗日及假设模态法建立柔性机械臂辅助空间站舱段对接过程的动力学方程; 谢立敏,基于动量、动量矩守恒关系与拉格朗日假设模态法对双柔性关节单柔性臂建模;王海,在考虑外部干扰下对柔性关机机械臂进行动力学建模;刘志全,基于精细模型的空间机械臂对柔性关节进行建模。 1，建模过程原理 1）坐标系的选择(根据机械臂运动姿态选择不同的坐标系,一般包括绝对坐标系与相对坐标系,如表1所示) 设柔性体的变形始终处于弹性范围内,因为任何一个弹性体都具有无限多自由度,忽略轴向变形与剪切变形的影响,仅考虑弯曲变形,通常都将柔性体离散成有限自由度作为近似分析模型。(对变形场进行离散化后得到的常微分方程将有利于对柔性多体系统动力学建模研究的进一步深入)如下表2所列。
根据原理的不同一般常用的可分为牛顿-欧拉方法,拉格朗日方程(第二类),以及凯恩方程。如表3所示。 表3 动力学建模方法 二,单杆柔性机械的建模过程 1,模型简化假设 关节建模时需要注意关节齿轮传动间隙,间隙的存在使得传动机构存在误差,输出运动与输入运动不再就是线性关系;另外,关节臂驱动力就是通过电机来提供,电机中的电感电阻等元件,会影响电机力矩的产生,即关机建模的精细化问题,这里只进行简单的处理,不考虑精细化问题。柔性关节主要由分体式永磁同步电机,谐波减速器,永磁制动器,光电编码器与圆光栅等组成。谐波减速器为柔性关节的减速与驱动装置,一般把把关节视为转子-扭簧系统。
柔性多体动力学建模、仿真与控制 近二十年来，柔性多体系统多力学（the dynamics of the flexible multibody systems）的研究受到了很大的关注。多体系统正越来越多地用来作为诸如机器人、机构、链系、缆系、空间结构和生物动力学系统等实际系统的模型。huston认为：“多体动力学是目前应用力学方面最活跃的领域之一，如同任何发展中的领域一样，多体动力学正在扩展到许多子领域。最活跃的一些子领域是：模拟、控制方程的表述法、计算机计算方法、图解表示法以及实际应用。这些领域里的每一个都充满着研究机遇。” 多柔体系统动力学近年来快速发展的主要推动力是传统的机械、车辆、军械、机器人、航空以及航天工业现代化和高速化。传统的机械装置通常比较粗重，且*作速度较慢，因此可以视为由刚体组成的系统。而新一代的高速、轻型机械装置，要在负载/自重比很大，*作速度较高的情况下实现准确的定位和运动，这是其部件的变形，特别是变形的动力学效应就不能不加以考虑了。在学术和理论上也很有意义。关于多柔体动力学方面已有不少优秀的综述性文章。 在多体系统动力学系统中，刚体部分：无论是建模、数值计算、模拟前人都已做得相当完善，并已形成了相应的软件。但对柔性多体系统的研究才开始不久，并且柔性体完全不同于刚性体，出现了很多多刚体动力学中不呈遇到的问题，如：复杂多体系统动力学建模方法的研究，复杂多体系统动力学建模程式化与计算效率的研究，大变形及大晃动的复杂多体系统动力学研究，方程求解的stiff数值稳定性的研究，刚柔耦合高度非线性问题的研究，刚-弹-液-控制组合的复杂多体系统的运动稳定性理论研究，变拓扑结构的多体系统动力学与控，复杂多体系统动力学中的离散化与控制中的模态阶段的研究等等。柔性多体动力学而且柔性多体动力学的发展又是与当代计算机和计算技术的蓬勃发展密切相关的，高性能的计算机使复杂多体动力学的仿真成为可能，特别是计算机的功能今后将有更大的发展，柔性多体必须抓住这个机遇，加强多体动力学的算法研究和软件发展，不然就不是现代力学，就不是现代化。 柔性多体系统动力学时多刚体动力学、连续介质力学、结构动力学、计算力学、现代控制理论等构成的一门交叉性、边缘性学科，这门学科之所以能建立和迅速发展是与当代计算机技术的爆炸式发展分不开的。由于近20年来卫星及航天器飞行稳定性、太阳帆板展开、姿态控制、交会对接的需求和失败的教训以及巨型空间站的构建；高速、轻型地面车辆、机器人、精密机床等复杂机械的高性能、高精度的设计要求等，柔性多体系统动力学引起了广泛的兴趣，已成为理论和应用力学的一个极其活跃的领域。
多体系统动力学简介
多体系统动力学研究对象——机构 工程中的对象是由大量零部件构成的系统。在对它们进行设计优化与性态分析时可以分成两大类 一类为结构 ——正常工况下构件间没有相对运动（房屋建筑，桥梁等） ——关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定 一类为机构 ——系统在运动过程中这些部件间存在相对运动（汽车，飞机起落架。机器人等）——力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统 多体系统动力学俄研究的对象——机构（复杂机械系统）
不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其变化速度和加速度的关系 典型案例：平面和空间机构的运动分析 系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起 数学模型：各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程
当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力 典型案例：机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，整车设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为平稳性与操纵稳定性的研究打下基础 数学模型：非线性微分代数方程组
讨论载荷和系统运动的关系 研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题 动力学正问题——已知外力求系统运动的问题 动力学逆问题——已知系统运动确定运动副的动反力，是系统各部件强度分析的基础 动力学正逆混合问题——系统的某部分构件受控，当它们按照某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动 数学模型：非线性微分代数方程组
机械系统的多体系统力学模型 在对复杂机械系统进行运动学与动力学分析前需要建立它的多体系统力学模型。对系统如下四要素进行定义： ?物体 ?铰链 ?外力（偶） ?力元 实际工程中的机械系统多体系统力学模型的定义取决于研究的目的 模型定义的要点是以能揭示系统运动学与动力学性态的最简模型为优 性态分析的求解规模与力学模型的物体与铰的个数有关
多体动力学 摘要 采用笛卡尔绝对坐标通过动静法建立多刚体系统的动力学方程。 目录 I 问题概述 (3) 1. 多体系统仿真模型 (3) 2. 静力学问题 (4) 3. 运动学问题 (4) 4. 动力学问题 (4) II 基本概念和公式 (4) 5. 参照物 (4) 6. 矢量 (5) 6.1 矢量的定义及符号 (5) 6.2 矢量的基本运算 (5) 6.3 单位矢量的定义及符号 (6) 6.4 零矢量的定义及符号 (6) 6.5 平移规则 (6) 7. 坐标系 (7) 8. 矢量在坐标系内的表示 (8) 9. 方向余弦矩阵 (10) 10. 欧拉角 (13) 11. 刚体的位置和姿态坐标 (15) 12. 矢量在某参照物内对时间的导数 (16) 13. 角速度 (17) 14. 简单角速度 (17) 15. 刚体上固定矢量在某参照物内对时间的导数 (18) 16. 矢量在两参照物内对时间导数的关系 (20) 17. 角速度叠加原理 (21) 18. 角加速度 (22) 19. 角速度与欧拉角对时间导数的关系 (23) 20. 动点的速度和加速度 (25) 21. 刚体上两固定点的速度与加速度 (26) 22. 相对刚体运动的点的速度和加速度 (27) 23. 并矢 (28) 24. 刚体惯性力向质心简化的主矢和主矩 (30) 25. 约束 (33) 25.1滑移铰 (34) 25.2 旋转铰 (34) 25.3 圆柱铰 (35) 25.4 球铰 (36) 25.5 平面铰 (36) 25.6 固定铰 (37) 25.7 点在线约束 (37) 25.8 点在面约束 (38) 25.9 姿态约束 (39) 25.10 平行约束 (39) 25.11垂直约束 (40) 25.12 等速万向节 (41) 25.13 虎克铰 (41) 25.14 万向节 (42) 25.15 关联约束 (43) 26. 弹簧力的计算 (45)
第36卷第２期2015年２月太阳能学报 ACTA ENERGIAE SOLARIS SINICA Vol.36,No.2 Feb.,2015 文章编号：0254-0096（2015）02-0329-07 基于柔性多体动力学的风电机组LPV建模方法 张丹1，李玲莲2 （1.上海大学应用数学与力学研究所，上海200072；2.上海卡鲁自动化科技有限公司，上海201203） 摘要：为了满足风电机组真实控制器硬件回路测试要求，在柔性多体动力学模型的基础上建立一个依赖于叶片桨距角和风轮转速的线性时变参数（LPV）的风电机组仿真模型。将风力机的塔筒、机舱、叶片及轮毂分为13个杆单元，通过有限元的结果优化每个杆单元的刚度和阻尼系数以及铰接点的位移量。用万向连接表示结构的柔性，带外部力矩输入的旋转连接代表激励。采用柔性多体动力学建模方法，选取若干个典型工作点，通过多叶片坐标系变换及雅可比线性化处理，在各个典型工作点建立相应的线性模型，然后根据工作点的数据以及各工作点间的过渡数据，进行1.5MW风力机的系统辨识，通过插值方法获取LPV模型。将输出参数和GH Bladed进行对比，结果显示该模型能准确描述风电机组前四阶的动态响应特性，且计算时间远小于主控器的最小响应时间10ms，具有良好的实时性，适用于风电机组主控系统的硬件在回路测试平台的仿真模型。 关键词：风电机组；LPV；柔性多体动力学；桨距角；风轮转速 中图分类号：TK8文献标识码：A 0引言 随着微处理器在电力电子、数据采集、信号处理和工业控制等领域的广泛应用，风力机的控制系统普遍采用基于单片机或可编程控制器的微机控制。为了提高机组的运行性能、降低发电成本，对大型风力发电机组的控制系统研究一直非常活跃。而我国在这一技术含量很高的部件上，存在较多设计和制造问题，水平远低于世界水平。为提高风电机组控制系统的设计制造能力，开发一套具有实时性和准确性的仿真环境，建立有别于传统意义的先进的硬件在回路（hardware-in-loop）测试手段是关键。但风电机组是一个复杂多变量非线性系统，具有高度非线性、时变性、多变量、强耦合的特点，常规的离线仿真与实际运行工况存在严重失真和脱节问题，为此要求硬件在回路测试必须同时兼顾良好的实时性能和较高的仿真置信度。从而实现对控制器核心算法的性能检测以及极限工况下的安全测试。 增益调度控制是广泛应用于非线性时变系统的设计方法，其原理是通过一些成熟的线性化方法，将非线性系统在多个工作点上线性化，并分别设计控制器，根据用户定义的参数切换到所设计的相应控制器上，或根据参数轨迹对局部控制器进行插值得到全局控制器［1，2］。近年来，随着鲁棒控制及线性矩阵不等式（linear matrix inequality，LMI）算法的不断发展，增益调度法越来越流行，特别是基于线性参数时变（linear parameter varying，LPV）方法的增益调度控制已应用于实际设计［3~7］。本文基于该技术，针对风电机组提出一种新的建模思想，即基于柔性多体动力学的线性参数时变LPV建模方法。 1线性参数时变LPV系统 风电机组的建模方式可分为辨识建模和解析建模。之前的研究偏重于使用GH Bladed和NREL FAST软件进行辨识建模，将风电机组系统黑箱化，通过系统输入输出构建模型，存在风电机组参数和模型无直观联系，物理意义不明确的缺陷，不利于主控器的设计和分析。 LPV模型的建模方法属于半解析建模方法，系统是一类特殊的线性系统，其状态空间方程系数矩阵是某些时变参数的函数，这些时变参数是可预知 收稿日期：2012-12-12 基金项目：上海市科研计划（11dz1202802）；上海市重点学科建设项目（S30106） 通信作者：张丹（1975—），女，博士、讲师，主要从事工程力学方面的研究。dan.zhang@https://www.doczj.com/doc/a48185276.html,
柔性机械臂动力学建模 一，研究现状 柔体动力学建模方面国内外出现很多研究，主要针对关节柔性和柔性臂杆进行建模。 其中，Chang-Jin Li, T.S. Sankar, 利用拉格朗日方程及假设模态法对柔性机械臂进行建模，提出的该方法可以降低运算量，并用单连杆柔性机器人进行证明验证； B.Subudhi ,A.S.Morris, 基于欧拉-拉格朗日法和假设模态法对多柔性杆和柔性关节进行动力学建模； Gnmarra-Rosado VO,Yuhara, EAO,利用牛顿-欧拉公式和有限元分析法对两柔性两转动关节推导动力学方程； 危清清，采用拉格朗日及假设模态法建立柔性机械臂辅助空间站舱段对接过程的动力学方程； 谢立敏，基于动量、动量矩守恒关系和拉格朗日假设模态法对双柔性关节单柔性臂建模；王海，在考虑外部干扰下对柔性关机机械臂进行动力学建模；刘志全，基于精细模型的空间机械臂对柔性关节进行建模。 1，建模过程原理 1）坐标系的选择（根据机械臂运动姿态选择不同的坐标系，一般包括绝对坐标系和相对坐标系，如表1所示） 2），柔体离散化方法 设柔性体的变形始终处于弹性范围内，因为任何一个弹性体都具有无限多自由度，忽略轴向变形和剪切变形的影响，仅考虑弯曲变形，通常都将柔性体离散成有限自由度作为近似分析模型。（对变形场进行离散化后得到的常微分方程将有利于对柔性多体系统动力学建模研究的进一步深入）如下表2所列。
3）动力学的建模方法 根据原理的不同一般常用的可分为牛顿-欧拉方法，拉格朗日方程 （第二类），以及凯恩方程。如表3所示。 二，单杆柔性机械的建模过程 1，模型简化假设 关节建模时需要注意关节齿轮传动间隙，间隙的存在使得传动机构存在误差，