2011福建理
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．i 是虚数单位，若集合{}1,0,1S =-，则 （ ） A ．i S ∈ B ．2i S ∈ C ． 3
i S ∈ D ．2
i
S ∈ 【测量目标】复数的基本概念、集合的含义．
【考查方式】给出虚数单位和集合，判断它们之间的关系． 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】2
i 1S =-∈．故选B ．
2．若a ∈R ，则2a =是()()120a a --=的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 C ．既不充分又不必要条件 【测量目标】充分、必要条件．
【考查方式】给出两个命题，判断两个命题的关系． 【难易程度】容易 【参考答案】A
【试题解析】当2a =时，()()120a a --=，所以2a =是()()120a a --=的充分条件，
但是()()120a a --=时，1a =或2a =，所以2a =不是()()120a a --=的必要条件．故
选A ．
3．若tan 3α=，则
2
sin 2cos α
α
的值等于 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6
【测量目标】同角三角函数的基本关系、二倍角公式．
【考查方式】给出式子和正切函数值，利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式求解． 【难易程度】容易 【参考答案】D 【试题解析】
22
sin 22sin cos 2tan 6cos cos ===ααα
ααα
．故选D ． 4．如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q ，则点Q 取自ABE △内部的概率等于 （ ） A ．
14 B ．13 C ．12 D ．23
第4题图
【测量目标】几何概型．
【考查方式】给出图形，利用几何概型求事件的概率． 【难易程度】容易 【参考答案】C
【试题解析】因为12ABE ABCD S S =△，则点Q 取自ABE △内部的概率1
2
ABE ABCD S P S ==△．故选C ． 5．
()1
e
2x
x dx +?等于 （ ）
A ．1
B ．e 1-
C ．e
D ．e 1+
【测量目标】定积分．
【考查方式】给出定积分，求解． 【难易程度】容易 【参考答案】C 【试题解析】
()()
1
1
2
00
e
2e e 1e 0e x
x
x dx x
+=+=+--=?．故选C ．
6．()5
12x +的展开式中，2
x 的系数等于 （ ） A ．80 B ．40 C ．20 D ．10 【测量目标】二项式定理．
【考查方式】给出二项式根据二项展开式的公式特点计算二项式系数． 【难易程度】容易 【参考答案】B
【试题解析】15C 2r r r r T x +=，令2r =，则2x 的系数等于22
5C 240=．故选B ．
7．设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为12,F F ，若曲线Γ上存在点P 满足
1122
::
4:3:2P F F F P F =，则曲线Γ的离心率等于 （ ） A ．
12或32 B ．23或2 C ．12或2 D ．23或3
2
【测量目标】圆锥曲线的定义．
【考查方式】通过给出圆锥曲线上的点与两个交点之间的线段长度比例关系，求圆锥曲线的离心率．
【难易程度】中等 【参考答案】A
【试题解析】因为1122::4:3:2PF F F PF =，所以设14PF λ=，123F F λ=，22PF λ=．
若Γ为椭圆，则12122426,23,
PF PF a λλλF F c λ?+==+=?
?
==??所以12c e a ==．
若Γ为双曲线，则12122422,
23,
PF PF a λλλF F c λ?-==-=??==??所以32c e a ==．故选A ．
8．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域212x y x y +??
???
………上的一个动点，
则OA OM 的取值范围是 （ ）
A ．[]1,0-
B ．[]0,1
C ．[]0,2
D ．[]1,2- 【测量目标】判断不等式组表示的平面区域、向量的数量积．
【考查方式】给出点的坐标和不等式组，判断两向量数量积的取值范围． 【难易程度】中等 【参考答案】C
【试题解析】设()()1,1,z OA OM x y x y ==-=-+
．
作出可行域，如图，直线z x y =-+，即y x z =+经过()1,1B 时，z 最小，
min 110z =-+=，
y x z =+经过()0,2C 时，z 最大，max 022z =+=，
所以OA OM
的取值范围是[]0,2．故选C ．
第8题图
9．对于函数()sin f x a x bx c =++(其中，,a b ∈R ，c ∈Z )，选取,,a b c 的一组值计算()1f 和()1f -，所得出的正确结果一定不可能．．．．．是 （ ） A ．4和6 B ．3和1 C ．2和4 D ．1和2 【测量目标】函数的求值．
【考查方式】给出函数式，判断两函数之和的结果． 【难易程度】中等 【参考答案】D
【试题解析】()()()11sin1sin 12f f a b c a b c c +-=+++--+=，
因为c ∈Z ，则()()11f f +-为偶数，四个选项中，只有D ，123+=不是偶数． 10．已知函数()e x f x x =+，对于曲线()y f x =上横坐标成等差数列的三个点,,A B C ，给出以下判断：
①ABC △一定是钝角三角形 ②ABC △可能是直角三角形 ③ABC △可能是等腰三角形 ④ABC △不可能是等腰三角形
其中，正确的判断是 （ ）
A ．①,③
B ．①,④
C ．②,③
D ．②,④
【测量目标】基本不等式、指数函数的性质、函数的单调性、等差数列的性质、函数图象的
应用．
【考查方式】给出指数函数，判断其图象横坐标上的三个点所成的形状． 【难易程度】较难 【参考答案】B
【试题解析】设a b <．首先证明
()()22f a f b a b f ++??
> ???
．
()()22f a f b a b f ++??
- ???
2e e e 22a b a b a b a b +++++=--
2e e e 2
a b
a b ++=-
2
2
2
e
e
e
0a b
a b a b +++=-=，（步骤1）
当且仅当a b =时等号成立，由于a b <，所以等号不成立，于是
()()022f a f b a b f ++??
-> ???
，
()()22f a f b a b f ++??
> ???
． ① （步骤2）
设点(),A A A x y ，(),B B B x y ，(),C C C x y ，且,,A B C x x x 成等差数列，A B C x x x <<．
由()f x 是R 上的增函数，则A B C y y y <<， ② （步骤3） 如图，D 为AC 的中点，过,,A B C 作x 轴的垂线，垂足依次为,,M N P ． 因为2
A C
B x x x +=
，所以D 在直线BN 上，作AE BN ⊥交BN 于E ，作B F C P ⊥交CP 于F ．
因为()()22A C A C D f x f x y y y ++==，2
A
C
B x x y f +??
= ???
， 由①式，D B y y >，（步骤4）
D A D
E y y =-，D B DB y y =-，由②，DE DB >，所以点B 在DE 内部，（步骤5）
因而90DBA DEA ?
∠>∠=，又C
B A D B A ∠>∠，所以AB
C △一定是钝角三角形．结
论①正确．（步骤6）
若ABC △是等腰三角形，因为D 为AC 的中点，则BD AC ⊥，因而AC x 轴，这是不可能的，所以ABC △不是等腰三角形．结论④正确；
所以结论①，④正确．故选B ．（步骤7）
第10题图
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．运行如图所示的程序，输出的结果是_______．
第11题图
【测量目标】程序语句．
【考查方式】给出程序语句，计算求解． 【难易程度】容易
【参考答案】3
【试题解析】123a =+=．所以输出的结果是3．
12．三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥底面，3PA =，底面ABC 是边长为2的正三角形，则三棱锥P ABC -的体积等于______． 【测量目标】三棱锥的体积．
【考查方式】给出三棱锥的底边边长和高，求其体积． 【难易程度】容易
【试题解析】2112333ABC V S PA =
=?= △ 13．盒子装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取
出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于_______． 【测量目标】随机事件与概率．
【考查方式】给出条件，利用随机概率求解． 【难易程度】中等 【参考答案】
35
【试题解析】所取出的2个球颜色不同的概率1132
2
5C C 233C 105
P ?===． 14．如图，ABC △中，2AB AC ==
，BC =D 在BC 边上，45ADC ?
∠=，
则AD 的长度等于______．
第14题图（1）
【测量目标】余弦定理、正弦定理．
【考查方式】给出三角形边长及角度，利用余弦定理和正弦定理求长度． 【难易程度】中等
【试题解析】解法一：由余弦定理
2223
c o s 2AC BC AB C AC BC +-===
,（步骤1） 所以30C ?
=．（步骤2） 再由正弦定理
s i n s i n A D A C C A D C =∠，即2sin 30sin 45AD ??
=
，所以AD =．（步骤3） 解法二：作AE BC ⊥于E ，因为2AB AC ==，所以E 为BC 的中点，因为
BC =EC =．
（步骤1）
于是1AE =，
（步骤2）
因为ADE △为有一角为45?
的直角三角形．且1AE =，所以AD =．（步骤3）
第14题图（2）
15．设V 是全体平面向量构成的集合，若映射:f V →R 满足：对任意向量()11,x y V =∈a ，
()22,x y V =∈b ，以及任意λ∈R ，均有
()()()()()11f f f λλλλ+-=+-a b a b
则称映射f 具有性质P ．
先给出如下映射：
① ()()11:,,,f V f x y x y V
→=-=∈R m m ；
② ()()2
22:,,,f V f x y x y V →=+=∈R m m ； ③ ()()33:,1,,f V f x y x y V →=++=∈R m m ．
其中，具有性质P 的映射的序号为________．（写出所有具有性质P 的映射的序号）． 【测量目标】向量的坐标运算、映射．
【考查方式】给出三个映射，利用向量的坐标运算求出与f 具有相同性质的映射． 【难易程度】较难 【参考答案】①，③
【试题解析】设()11,x y V =∈a ，()22,x y V =∈b ，则
()()()()11221,1,x y x y λλλλ+-=+-a b
()()()12121,1x x y y λλλλ=+-+-．（步骤1） 对于①， ()()()()()()1
2
1
2
111f
x x y y λλλλλλ+-=+--+-a b
()()()11221x y x y =-+--λλ，（步骤2）
()()()()()()112211f f x y x y λλλλ+-=-+--a b ，
所以()()()()()11f f f λλλλ+-=+-a b a b 成立，①是具有性质P 的映射；
（步骤3）
对于②，()()()()()()2
121
2
111f x x y y λλλλλλ+-=+-++-a b
()(
)()()2
12
1
2
11x x y y =+-++-λλλλ
()()()2
222
1122121121x y x y x x =++-+-+-λλλλλλ，（步骤4） ()()()()()()22112211f f x y x y λλλλ+-=++--a b ，
显然，不是对任意λ∈R ，()()()()()11f
f f λλλλ+-=+-a b a b 成立，
所以②不是具有性质P 的映射；（步骤5） 对于③，()()()()()()1
2
1
2
1111f
x x y y λλλλλλ+-=+-++-+a b
()()()112211x y x y =++-++λλ，（步骤6）
()()()()()()11221111f f x y x y λλλλ+-=+++-++a b
()()()()112211x y x y =++-+++-λλλλ ()()()112211x y x y =++-++λλ． 所以()()()()()11f
f f λλλλ+-=+-a b a b 成立，③是具有性质P 的映射．
（步骤7）
因此，具有性质P 的映射的序号为①，③．（步骤8）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．已知等比数列{}n a 的公比3q =，前3项和3133
S =． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若函数()sin(2)(0,0π)f x A x A ??=+><<在π
6
x =
处取得最大值，且最大值为3a ，求函数()f x 的解析式．
【测量目标】等比数列的通项、性质及前n 项和、函数sin()y A x ω?=+的图象及性质． 【考查方式】给出等比数列的公比和前几项的和，求其通项公式；已知函数的最大值为数列的一项，求其解析式． 【难易程度】中等
【试题解析】（Ⅰ）由3q =，3133S =?
()
311313133
a -=-，解得11
3a =．（步骤1） 所以1
1211
333
n n n n a a q
---==?=．（步骤2） （Ⅱ）由（Ⅰ），32333a -==，所以函数()f x 的最大值为3，于是3A =．（步骤3） 又因为函数()f x 在π
6
x =处取得最大值， 则πsin 216???
?
+= ??
?
，因为0π?<<，所以π6?=．（步骤4） 函数()f x 的解析式为π()3sin 26f x x ?
?
=+ ??
?
．（步骤5） 17．已知直线:l y x m =+，m ∈R ．
（Ⅰ）若以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，且点P 在y 轴上，求该圆的方程；
（Ⅱ）若直线l 关于x 轴对称的直线为l '，问直线l '与抛物线2:4C x y =是否相切？说明理由．
【测量目标】圆的方程、直线与圆的位置关系、直线与抛物线的位置关系．
【考查方式】给出直线方程，根据圆与直线的位置关系求圆的方程；给出抛物线方程和直线的条件，判断两者之间的位置关系． 【难易程度】较难
【试题解析】（Ⅰ）解法一：由题意，点P 的坐标为()0,m ． 因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点P ，
所以MP l ⊥．0
1102
MP l m k k -==-- ，所以2m =．（步骤1） 点P 的坐标为()0,2．
设圆的方程为()2
22
2x y r -+=，
则r MP ==
=，
（步骤2） 所以，所求的圆的方程为()2
2
28x y -+=．（步骤3）
第17题图（1）
解法二：设圆的方程为()2
22
2x y r -+=，
因为以点()2,0M 为圆心的圆与直线l 相切与点()0,P m ，
所以22
4m r r ?+==
，解得2
m r =???=??．（步骤1）
所以，所求的圆的方程为()2
2
28x y -+=．（步骤2）
（Ⅱ）解法一：因为直线:l y x m =+，且
直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．（步骤4）
由24,,
x y y x m ?=?=--?得2440x x m ++=， 2Δ4440m =-?=，解得1m =．（步骤5）
所以，当1m =时，Δ0=，直线l '与抛物线2
:4C x y =相切，当1m ≠时，Δ0≠，
直线l '与抛物线2
:4C x y =不相切．（步骤6）
解法二：因为直线:l y x m =+，且直线l '与直线l 关于x 轴对称，则:l y x m '=--．
设直线l '与抛物线2
14
y x =
相切的切点为()00,x y ， 由214y x =得12y x '=，则01
12
x =-，02x =-， ()022y m m =---=-．（步骤3）
所以切点为()2,2m --，切点在抛物线2
14
y x =上，则21m -=，1m =．（步骤4）
所以，当1m =时，直线l '与抛物线2
:4C x y =相切，当1m ≠时，直线l '与抛物线2:4C x y =不相切．
（步骤5）
第17题图（2）
18．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x
（单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中36x <<，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．
（Ⅰ）求a 的值；
（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．
【测量目标】一元二次函数模型，利用倒数求函数的最值．
【考查方式】给出函数关系式，根据条件求解，再利用导数求利润最大时的销售价格． 【难易程度】中等
【试题解析】（Ⅰ）因为5x =时，11y =，由函数式 210(6)3
a
y x x =
+-- 得 11102
a
=
+，所以2a =．（步骤1） （Ⅱ）因为2a =，所以该商品每日的销售量为22
10(6)3
y x x =+--，()36x <<． 每日销售该商品所获得的利润为
()()()222310(6)2103(6)3f x x x x x x ??
=-+-=+--??-??
，()36x <<．
（步骤2） ()()()()()()2
1062363064f x x x x x x ??'=-+--=--??
．（步骤3）
于是，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：
由上表可以看出，4x =是函数在区间()3,6内的极大值点，也是最大值点．（步骤4） 所以，当4x =时，函数()f x 取得最大值42．
因此当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．（步骤5） 19．某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2,,8…，其中5X …为标
准A ，3X …为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B 生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准
（Ⅰ）已知甲厂产品的等级系数1X 的概率分布列如下所示：
且1X 的数字期望16EX =，求,a b 的值；
（Ⅱ）为分析乙厂产品的等级系数2X ，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4
6 3 4
7 5 3 4
8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数2X 的数学期望． （Ⅲ）在（Ⅰ），（Ⅱ）的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：（1）产品的“性价比”=
产品的零售价
期望
产品的等级系数的数学；
（2）“性价比”大的产品更具可购买性． 【测量目标】离散型随机变量的期望和方差．
【考查方式】给出分布列和期望，求分布列中的未知数；根据样本数据求期望；给出产品性价比的公式，判断购买性． 【难易程度】中等
【试题解析】（Ⅰ）因为16EX =，所以
50.46780.16a b ?+++?=，即67 3.2a b +=，（步骤1）
又0.40.11a b +++=， 所以0.5a b +=，
解方程组67 3.2
0.5a b a b +=??
+=?
解得0.3a =，0.2b =．（步骤2）
（Ⅱ）由样本的数据，样本的频率分布表如下：
（步骤3）
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数2X 的概率分布
（步骤4） 所以230.340.250.260.170.180.1 4.8EX =?+?+?+?+?+?=．（步骤5） （Ⅲ）甲厂的产品的等级系数的数学期望为6，价格为6元/件，所以性价比为6
16
=，（步骤6）
甲厂的产品的等级系数的数学期望为4.8，价格为4元/件，所以性价比为
4.8
1.214
=>． 所以，乙厂的产品更具可购买性．（步骤7）
20．如图甲，四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，四边形ABCD 中，AB AD ⊥，
4AB AD +=，CD =45CDA ?∠=．
（Ⅰ）求证：PAB ⊥平面平面P AD ； （Ⅱ）设AB AP =．
（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为30?
，求线段AB 的长；
（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等？说
明理由．
第20题图
【测量目标】面面垂直的判定、线面角、立体几何中的探索性问题．
【考查方式】给出四棱锥及其边角关系和条件，证明面面垂直；根据线面角求解线段长度，探索点的存在性． 【难易程度】较难 【试题解析】（Ⅰ）因为PA ABCD ⊥底面，AB ABCD ?底面，
所以PA AB ⊥．（步骤1）
又AB AD ⊥，PA AD A =∩，
所以AB ⊥平面P AD ，又AB ?平面P AB ， PAB ⊥平面平面P AD ．（步骤2）
（Ⅱ）以A 为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系A xyz -．
在平面ABCD 内，作//CE AB 交AD 于E ． 则CE AD ⊥．（步骤3） 在Rt CDE △
中，cos 451DE CD ?
==
=．
（步骤4） 设AB AP t ==，则(),0,0B t ，()0,0,P t ．
由4AB AD +=，则4AD t =-，所以()0,3,0E t -，()0,4,0D t -，()1,3,0C t -．
()1,1,0CD =- ，()0,4,PD t t =--
，
（步骤5） （i ）设平面PCD 的法向量为(),,x y z =n ，由CD ⊥ n ，PD ⊥ n 得00
CD PD ?=??=??
n n , ()040x y t y tz -+=??
--=?取x t =，则y t =，4z t =-．(),,4n t t t =-
，（步骤6） 又(),0,PB t t =- ，由直线PB 与平面PCD 所成的角为30?
，得
1cos602PB PB ?
==
=
n n ．（步骤7） 解得4
5t =
或4t =（因为40,4AD t t =-><，故舍去） 所以4
5
AB =．（步骤8）
第20题图（1）
（ii ）假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等， 设()0,,0G m ，()04m
t -剟．
则()1,3,0GC t m =-- ，()0,4,0GD t m =-- ，()0,,GP m t =-
，（步骤9）
则由GC GD = 得()()22
134t m t m +--=--，即3t m =-， ①
由GP GD = 得()222
4t m m t --=+， ②（步骤10）
从①，②消去t ，并化简得2
340m m -+= ③
方程③没有实数根，所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等．（步骤11）
第20题图（2）
解法二：假设线段AD 上存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等，
由GC GD =得45GCD GDC ?
∠=∠=，
从而90CGD ?
∠=，则CG GD ⊥，（步骤9）
设AB λ=，则由4AB AD +=，得4AD λ=-，（步骤10） 3AG AD GD λ=-=-．（步骤11）
在Rt ABG △中，1GB ==>．
（步骤12）
与1GB GD ==矛盾，
所以在线段AD 上不存在一个点G ，使得点G 到点,,,P B C D 的距离都相等． （步骤13）
第20题图（3）
21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）选修42-：矩阵与变换 设矩阵 00a M b ??
=
???
（其中0a >， 0b >）
． （Ⅰ）若2,3a b ==，求矩阵M 的逆矩阵1
M
-；
（Ⅱ）若曲线22
:1C x y +=在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线
2
2:14
x C y '+=，求,a b 的值．
【测量目标】矩阵与行列式初步．
【考查方式】给出矩阵，求其逆矩阵；给出曲线方程及其在矩阵对应的线性变化作用下得到的曲线方程，求未知量． 【难易程度】中等
【试题解析】（Ⅰ）设矩阵M 的逆矩阵111
22x
y M
x y -??= ???，则1
1001MM -??= ???
，（步骤1） 因为2003M ??=
???，所以1
12220100301x y x y ??????
= ? ? ?????
??，
（步骤2） 所以121x =，120y =，230x =，231y =， 即112x =
，10y =，20x =．21
3
y =，（步骤3） 所以1
1
02103M -?? ?
=
? ? ???
．（步骤4） （Ⅱ）设曲线C 上的任意一点为(),P x y ，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到点
(),P x y '''．
则00a x x b y y '??????= ??? ?'??????，即ax x by y '=??'=?
，（步骤5） 又点(),P x y '''在曲线22
:14x C y '+=上，所以2214x y ''+=，（步骤6） 即22
2214
a x
b y +=为曲线22:1C x y +=的方程，则24a =，21b =，（步骤7） 又因为0,0a b >>，则2,1a b ==．（步骤8） （2）选修44-：坐标系与参数方程
在直接坐标系x O y 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程
为
o s s i n
x θ
y θ?=??
=??（θ为参数）． （Ⅰ）已知在极坐标（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x
轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为π4,
2??
??
?
，判断点P 与直线l 的位置关系； （Ⅱ）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.
【测量目标】坐标系与参数方程、点与直线的位置关系． 【考查方式】给出直线方程和点的极坐标，判断点与直线的位置关系；给出曲线的参数方程，求曲线上的动点到直线的最小距离． 【难易程度】中等
【试题解析】（Ⅰ）点P 的极坐标为π4,2?
?
??
?
，则直角坐标为()0,4，把()0,4P 代入直线l 的方程40x y -+=，（步骤1）
因为0440-+=，所以点P 在直线l 上．（步骤2）
（Ⅱ）因为点Q 是曲线C 上的一个动点，则点Q
的坐标可设为)
,sin Q αα．
点Q 到直线l 的距离为
π2cos 4π6αd α?
?++ ???=
==++ ??
?（步骤3） 所以当πcos 16α?
?
+
=- ??
?
时，d
(步骤4) （3）选修45-：不等式选讲
设不等式211x -<的解集为M ． （Ⅰ）求集合M ；
（Ⅱ）若,a b M ∈，试比较1ab +与a b +的大小．
【测量目标】不等式选讲．
【考查方式】给出不等式，求其解集；给出关于集合两个元素的式子，比较它们的大小． 【难易程度】中等
【试题解析】（Ⅰ）由211x -<得1211x -<-<，解得01x <<， 所以{}
01M x x =<<．（步骤1）
（Ⅱ）因为,a b M ∈，则01a <<，01b <<，（步骤2）
()()()()1110ab a b a b +-+=-->，
所以1ab a b +>+．（步骤3）
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，
它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
2012年福建省高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）（2012?福建）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（） A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i 考 点： 复数代数形式的乘除运算． 专 题： 计算题． 分 析： 由复数z满足zi=1﹣i，可得z==，运算求得结果． 解答：解：∵复数z满足zi=1﹣i， ∴z===﹣1﹣i，故选A． 点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题． 2．（5分）（2012?福建）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（） A．1B．2C．3D．4 考 点： 等差数列的通项公式． 专 题： 计算题． 分 析： 设数列{a n}的公差为d，则由题意可得 2a1+4d=10，a1+3d=7，由此解得d的值． 解答：解：设数列{a n}的公差为d，则由a1+a5=10，a4=7，可得2a1+4d=10，a1+3d=7，解得d=2， 故选B． 点 评： 本题主要考查等差数列的通项公式的应用，属于基础题． 3．（5分）（2012?福建）下列命题中，真命题是（） A．?x 0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2 C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；全称命题；特称命题；命题的真假判断与应用． 专 题： 计算题．
分析：利用指数函数的单调性判断A的正误；通过特例判断，全称命题判断B的正误；通过充要条件判断C、D的正误； 解答：解：因为y=e x＞0，x∈R恒成立，所以A不正确； 因为x=﹣5时2﹣5＜（﹣5）2，所以?x∈R，2x＞x2不成立．a=b=0时a+b=0，但是没有意义，所以C不正确； a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，显然正确． 故选D． 点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，全称命题，特称命题，命题的真假判断与应用，考查基本知识的理解与应用． 4．（5分）（2012?福建）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（） A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 考 点： 由三视图还原实物图． 专 题： 作图题． 分析：利用简单几何体的结构特征以及三视图的定义，容易判断圆柱的三视图不可能形状相同，大小均等 解答：解：A、球的三视图均为圆，且大小均等； B、三条侧棱两两垂直且相等的适当高度的正三棱锥，其一个侧面放到平面上，其三视图均为三角形且形状都相同； C、正方体的三视图可以是三个大小均等的正方形； D、圆柱的三视图中必有一个为圆，其他两个为矩形． 故一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是圆柱． 故选D． 点评：本题主要考查了简单几何体的结构特征，简单几何体的三视图的形状大小，空间想象能力，属基础题 5．（5分）（2012?福建）下列不等式一定成立的是（） A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R） 考 点： 不等式比较大小． 专 题： 探究型． 分析：由题意，可对四个选项逐一验证，其中C选项用配方法验证，A，B，D三个选项代入特殊值排除即可 解 答： 解：A选项不成立，当x=时，不等式两边相等； B选项不成立，这是因为正弦值可以是负的，故不一定能得出sinx+≥2； C选项是正确的，这是因为x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0； D选项不正确，令x=0，则不等式左右两边都为1，不等式不成立．
高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。 2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{< 2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：立体几何 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．163 2．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ． 53 B ．329 C ．43 D ．259 3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24 D ．1635．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．163 6．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形， 2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(福建卷 ) 本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分.理科：第Ⅱ卷第21题为选考题， 其他题为必考题，满分1５0分. 第Ⅰ卷 一、选择题：（理科)本大题共10小题,每小题5分，共５０分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(文科）本大题共12小题,每小题5分，共6０分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数z 满足z i ＝１-i ，则ｚ等于( ) A ．-1-i B.１－i C ．-1+i Ｄ．１+i Ａ．3+4i B ．５+4i C.3+2i D ．5+２i 2.等差数列{a ｎ}中,a 1+a 5＝10，a ４＝７，则数列{a ｎ}的公差为( ) Ａ．1 B.2 Ｃ.3 D ．4 3.下列命题中，真命题是（ ） A ．ｘ０∈R ,0e 0x ≤ B.ｘ∈R ，２ｘ>ｘ2 C ．ａ+b =０的充要条件是1a b =- Ｄ．a ＞1,b ＞1是ａb >1的充分条件 4．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是( ) A ．球 B ．三棱锥 Ｃ．正方体 D.圆柱 ５.下列不等式一定成立的是( ) A ．l ｇ(x 2＋ 14 )>lg x (ｘ＞0） Ｂ.s ｉn x ＋1sin x ≥2（ｘ≠ｋπ，k ∈Ｚ） C.x 2＋1≥２|ｘ|(x ∈R ） D.2111 x >+(x ∈R ） 6.如图所示，在边长为1的正方形ＯAB Ｃ中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ) Ａ． 14 B ．15 C.16 D ．17 7.设函数1,()0,x D x x ?=??为有理数，为无理数，则下列结论错误的是（ ) A.D (x )的值域为{0,1} B ．D （x )是偶函数 C.Ｄ(ｘ）不是周期函数 Ｄ．D (x )不是单调函数 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数（含解析）理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )． A．4 3 B ．2 C． 8 3 D． 162 3 【答案】C 考点：定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点：导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图，函数() f x的图象是折线段ABC， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64) ，，，，，，则((0)) f f=； 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 (1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 【答案】 2 2 考点：函数的图像，导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 考点：导数，函数的图像，奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1- 考点：导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】（本小题共13分） 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π 全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。答案：y2=－8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案： 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在 双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案：1＜e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且 ∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率，则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________． 答案：[π4,π 3 ]. 解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22 13b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ，，(0)B b ，，若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形，则b ＝_________ . 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3 【好题】高考数学试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 +AB AC D ． 13 44 +AB AC 2．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =± 3．在二项式4 2n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ． 1 6 B ． 14 C ． 512 D ． 13 4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 6．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α β= ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标, 上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 函数 一、填空题 1、（崇明县2015届高三上期末）函数23()lg(31)1x f x x x = ++-的定义域是 2、（奉贤区2015届高三上期末）定义函数34812 2 ()1()2 22 x x f x x f x ?--≤≤??=? ?>??，则函数()()6 g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 3、（黄浦区2015届高三上期末）函数22log (1)()1x f x x +=-的定义域是 4、（黄浦区2015届高三上期末）若函数2 13()2x ax a f x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的 单调递减区间是 5、（嘉定区2015届高三上期末）函数x x y -+ -=21 )1lg(的定义域是____________ 6、（嘉定区2015届高三上期末）已知24=a ，a x =lg ，则=x ___________ 7、（静安区2015届高三上期末）已知11)(+-=x x x f ，4 5 )2(=x f (其中)0>x ，则=x 8、（浦东区2015届高三上期末）已知1 ()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=， 则实数a = 9、（浦东区2015届高三上期末）定义在R 上的偶函数()y f x =，在),0[+∞上单调递增，则不等式)3()12(f x f <-的解是 10、（普陀区2015届高三上期末）方程1)7lg(lg =-+x x 的解集为 11、（普陀区2015届高三上期末）函数22)(2+-=x x x f （0≤x ）的反函数是 12、（青浦区2015届高三上期末）数()y f x =的反函数为()1 y f x -=，如果函数()y f x =的图 像过点()2,2-，那么函数()1 21y f x -=-+的图像一定过点 . 13、（青浦区2015届高三上期末）已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时， 2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ． 2012年福建省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出分四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（5分）若复数z满足zi=1﹣i，则z等于（） A．﹣1﹣i B．1﹣i C．﹣1+i D．1+i 2．（5分）等差数列{a n}中，a1+a5=10，a4=7，则数列{a n}的公差为（）A．1 B．2 C．3 D．4 3．（5分）下列命题中，真命题是（） A．?x0∈R，≤0 B．?x∈R，2x＞x2 C．a+b=0的充要条件是=﹣1 D．a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件 4．（5分）一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是（） A．球B．三棱锥C．正方体D．圆柱 5．（5分）下列不等式一定成立的是（） A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z） C．x2+1≥2|x|（x∈R） D．（x∈R） 6．（5分）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为（） A．B．C．D． 7．（5分）设函数，则下列结论错误的是（） A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数 C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数 8．（5分）已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双 曲线的焦点到其渐近线的距离等于（） A．B．C．3 D．5 9．（5分）若函数y=2x图象上存在点（x，y）满足约束条件， 则实数m的最大值为（） A．B．1 C．D．2 10．（5分）函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x1，x2∈[a，b]，有 则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题： ①f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的； ②f（x2）在[1，]上具有性质P； ③若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]； ④对任意x1，x2，x3，x4∈[1，3]，有[f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）] 其中真命题的序号是（） A．①②B．①③C．②④D．③④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．（4分）（a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=． 12．（4分）阅读图所示的程序框图，运行相应地程序，输出的s值等于．高考数学试卷及答案-Word版
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