第十六章 二次根式章节复习导学案（第一课时）
执教 陈宏伟
一、教学目标
【知识与技能】
（1）理解二次根式的概念，二次根式的性质及运算法则。
（2）熟练运用二次根式的性质及运算法则。
【过程与方法】
（1）夯实二次根式的性质、运算法则
（2）在解决问题的过程中，让学生学会聆听、学会思考，同时发展学生归纳和概括能力。
【情感、态度与价值观】
培养学生勇于探索的精神，激发学生的学习兴趣和学习积极性。
【教学重点】二次根式的性质与运算法则
【教学难点】利用数形结合的思想解决问题。
【教学方法】典例解析法
二、教学设计
（一）知识回顾
1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。（当a ≥0时，a ≥0；当a ≥0时，a 在实数范围内有意义。）
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：
⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：
二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1
）()20a a =≥； （2
()
()()>000<0a a a a a a ??===??-? (3)
ab =b a ?（a ≥0,b ≥0）； （4）()0,0>≥=b a b a b a
5.二次根式的运算：
(1)二次根式的乘除运算：
0,0)a b =≥≥
0,0)a b =≥> (2)二次根式的加减运算：
先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间的联系，掌握注意的地方，加深对知识的全面理解。
（二）典例解析（ppt ）
例3、计算 1 2、【强调】商的算术平方根的性质是二次根式除法法则的逆运用，商的算术平方根的性质是二次根式化简的一个重要公式，利用这个公式可以化去根号内的分母（即分母有理化）
例5、计算 1、 【点拨】二次根式加减实质上是合并同类二次根式。合并同类二次根式的方法和合并同类项的方法一样，把它们的系数相加减，被开方数和根指数不变。
例6、 1、( 【点拨】二次根式的混合运算的顺序和实数的混合运算的顺序一样，实数的运算律和运算法则在二次根式的运算中同样实用。
例7、
m =求:22121m m m m m -+---的值。
例8、设,a b 0a +=，求：222a b -++的值。
（三）课堂练习(ppt)（见学案）
（四）变式练习(ppt)（见学案）
（五）课堂小结
展示本章知识框架图
学生小结：通过这节课的学习（1）谈谈你的收获；（2）提提你的疑惑。 教师小结：
三、课堂反馈 课后评估
基础达标训练（附学案后）
能力提高训练（附学案后）
二次根式 １６.１《二次根式》说课稿 一、说教材 《二次根式》是人教版教材数学八年级下册第一单元《二次根式》的第一课时，是“数与代数”的重要内容。这一内容是在八年级上册《平方根》的基础上，进一步研究二次根式的概念和性质。使学生对算数平方根有更深认识和理解。因此，教材在编排上就围绕算数平方根这个知识的主轴，以学生熟悉的相关问题展开教学内容。而本课时的教学内容就是让学生在积极的参与中来学习《二次根式》，丰富对二次根式意义的理解，为学生学会确定被开方数中字母的取值范围打下扎实的基础。 二、说教学目标 课标要求：学生要学会学习，自主学习，要为学生的终生学习打下坚实的基础，根据新课程标准的要求和教材所处的地位，以及学生的心理特点和认知规律，我确定本节课的教学目标如下： 1、知识目标：能够理解二次根式的意义，会确定被开方数中字母的取值范围 2、能力目标：通过动手练习，应用拓展，体验经历知识的形成过程，培养学生分析问题，解决问题的能力。 3、情感目标：通过课堂练习，培养学生解决问题的能力，促进学生勇于面对问题的能力。 为达到以上教学目标，本节课的教学重点为：理解二次根式的意义和基本性质，会求解简单的被开方数中字母的取值范围。本节课的教学难点是：二次根式的基本性质的灵活运用。 为辅助教学，我制作了多媒体课件。 三、说教法、学法 《新课程标准》指出：“学生是学习活动的主体，教师是学习活动的组织者，引导者和合作者”。在本节课教学方法中，根据学生的年龄特征和已有的知识基础，注重加强知识间的纵向联系，复习引入，揭示课题，让学生体会数学学科知识的联系性和严密性。在具体的教学活动中，让学生新身经历由具体到抽象的认知过程，解决问题的过程，体验探索成功的快乐。学生通过自主学习，动手练习，独立思索，完善自己的想法，形成自己独特的学习方法，古语说得好“授人以鱼，不如授之以渔。”我们教师应当引导学生自主地去认识探究，解决问题，让学生体验学数学，用数学的快乐。 四、说教学过程 接下来，我将介绍一下本节课的教学过程。主要分为以下几个环节。 （一）复习迁移，直入课题 教育家孔子曰：“温故而知新，可以为师矣”。在上课开始，我创设学生熟悉的数学问题。“同学们，你们还记得在直角三角形中，已知两条直角边长，利用勾股定理求斜边长吗？”在此，和学生交流与平方根相关的问题，可以唤起学生的记忆，学生乐于交流，借此教师揭示并板书课题：二次根式。有的学生会猜想二次根式和开平方有什么联系呢，有的学生也会说这不是学过的吗，那有什么不一样的吗？但不管怎样，学生探究的兴趣浓厚，探究的欲望高涨。 （二）集思广益，新课教学 认知心理学认为，学生具有一种与生俱来的学习探究能力，他们渴望在学习中获得乐趣，获得成功。在学生强烈的探究欲望下，我抛砖引玉，先让学生猜想以下两个问题：数字4、8、16、25、36的平方根为多少？其中哪个称作算数平方根？如果把这些算数平方根定义一个新名称—二次根式，那么二次根式有怎样的性质特征呢？学生认真观察这些算数平方根的值，独立思考分析，发表自己的建议。可能每个学生的分析角度不同，因此，教师把各种情况汇总，再进行分析，发现二次根式的值是大于等于0的，二次根式都带有“”这样的数学符号，被开方数都大于等于0。在这个环节，一系列的学习过程都是在教师引导，学生思考、探究的过程中完成的，学生学得轻松，二次根式的性质在浅移默化中由学生总结概括得到。（三）应用拓展，丰富体验。 为了使学生对二次根式有更深的理解，在教学活动中，设置了如何确定被开方数中字母的取值范围问题。如，有的学生认为只要保证未知数就可以了，教师抓住这一契机，先引导学生说一说被开方数是哪部分，是还是。再让学生思考。在此，我相信学生一定能正确求解出的取值范围，从而实现了学生对二次根
二次根式复习课(1) 学习目标： 1. 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2 ?熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 学习重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算. 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 学习过程 一、自主学习 (一)复习 1. 二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件. (1) ___________________ (2) ____________________________ ( 3) ________________________ 2. 二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来. 乘法法则： ____________ . ____________ 除法法则： ____________________________ 反过来： ______________ . ____________ _______________________________________ 3?在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： (l)a =(和肓尸◎事 0); (2)|a|=抵、 4.在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子： (1) (掐『=a(a>0)与日=(掲尸(3》0); (2) A/ab = Va * 7b(a^O , b^G)； 例如，化简井 可以用3种方法’ ⑵分母有理化箱=；￡卞=Wi ⑶看作二次根式的除法寺== 5. 不一定能化成(JR — 当日孑。时，如(厉〉卞二存'=(楠"〉彳二你=(亦尸，此吋，Ji 7 =(描P ；当宜 第二章 实数 7．二次根式（第2课时） 一、学生起点分析 在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）实行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，所以，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。 二、教材任务分析 二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册 第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们实行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是： 1.通过对公式的反向使用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究水平和合作意识． 4.通过对公式的逆使用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 三．教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：复习引入 内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？ 点明本节课研究课题 面积8 面积2 意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。 第二环节：知识探究 1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算： （1）326?；（2）2 36?；（3）52。 解： （1）略 （2）2 3 6?＝236?＝236?＝9＝3 （3）52＝＝52＝5 552??=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数． 第三环节：巩固练习 例4 计算： （1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+； （5）3)3112(?-；（6）2 188+。 解：（1）3322?=32??32?=66； （2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1； （3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52； （4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(?-51613633 1312=-=-=?-?=； 第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？ 2、已知053=-+ +y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思 二次根式的除法说课稿 一、教材分析 本节内容是在积的二次根式性质的基础上学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质. 二、重点难点分析： 本节课是商的二次根式的性质及利用性质进行二次根式的化简与运算,利用分母有理化化简.商的算术平方根的性质是本节的主线，学生掌握性质在二次根使得化简和运算的运用是关键，从化简与运算由引出初中重要的内容之一分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的掌握. 教学难点是二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.二次根式的除法与乘法既有联系又有区别，强调根式除法结果的一般形式，避免分母上含有根号.由于分母有理化难度和复杂性大，要让学生首先理解分母有理化的意义及计算结果形式. 三、教法运用： 1. 本节内容是在有积的二次根式性质的基础后学习，因此可以采取学生自主探索学习的模式，通过前一节的复习，让学生通过具体实例再结合积的性质，对比、归纳得到商的二次根式的性质.教师在此过程中给与适当的指导，提出问题让学生有一定的探索方向. 2. 本节内容可以分为两阶段，第一阶段讨论商的算术平方根的性质，并运用这一性质化简较简单的二次根式（被开方数的分母可以开得尽方的二次根式）；第二阶段讨论二次根式的除法法则，并运用这一法则进行简单的二次根式的除法运算以及二次根式的乘除混合运算，这一课时运算结果不包括根号出现内出现分式或分数的情况。 3. 引导学生思考“想一想”中的内容，培养学生思维的深刻性，教师组织学生思考、讨论过程中，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思考方法激发学生创造性的思维. 四、教学目标 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 二次根式（第一课时）教学设计 执教者-------陈利华（株洲市十六中） 教学内容：湘教版八年级数学下册第4.1.1第一课时 一、教学目标 （1）知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 （2）能力目标：让学生经过探索二次根式的性质的过程，培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 （3）情感目标：通过合作学习，给学生提供探索和发现的机会和欣赏、交流的空间，引导学生自主学习，激发学生学习数学的兴趣，使全体学生积极参与并体验成功的喜悦。 二、教学重点 1a≥0）的内涵．2a≥0）是一个非负数 3、2＝a（a≥0）4a ?及其运用． 三、教学难点 a≥0）是一个非负数的理解 1 22＝a的推导及应用。 四、教学设想： 过去老师教，学生被动听。新课改要求教师把学习的主动权交给学生，让学生自主探究、合作交流；教师只是引导、点拨，这样的课堂教学，才能够培养学生的钻研探讨能力，同时也提高了学生的语言表达能力。课堂上学生展现出的是自己的思维火花、创新能 力。让学生变“要我学”为“我要学”，“我乐学”。只有这样学生才 有可能成为课堂真正的主人。 五、教学环节分析： 本节课由两个环节组成:1、先由学生提前进行课前预习。2、利 用学案，学生分小组在课堂上进行展示。教师引导学生突破本节课 的重点、难点。 六、教学过程： （一）第一学习小组展示学案里的复习回顾的内容 问题1：什么是4的平方根?4的平方根有哪些? 2的算术平方根是什么？ 问题2：如图，在Rt △ABC 中，AB=3，BC=1，∠C=90°， 那么AC 边的长是__________． 问题3：正方形的面积为S,则它的边长为_____. 归纳出:每一个正实数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根 是0，负数没有平方根。 （二）探索新知： 知识点一: 二次根式的定义 师：像±25这样的式子，我们就把它称二次根式．什 么是二次根式呢？下面由第二学习小组展示 生1：一般地，a ≥0）?的式子叫做二次根式，称为:“二次根号”,简称为“根号”．根号下的数a 叫做被开方数。 师：二次根式概念里，抓住哪两个关键点？ 二次根式的加减说课稿 今天我说课的内容是义务教育课程标准试验教科书数学九年级上册，第二十一章《二次根式》第三节《二次根式的加减》第一课时。下面我将从教材分析、教学方法、学法指导、教学程序、板书设计等五个方面进行陈述。 一. 说教材 1，教材所处的地位和作用 本节是在上节学习的化简二次根式的基础上，进一步学习二次根式的加减。在化简二次根式的同时，引导学生概括出同类二次根式的概念。类比整式的加减运算中的合并同类项，给出二次根式的加减运算法则，进而进行二次根式的加减混合运算。 2,教学目标 知识与能力 1、了解同类二次根式的概念，掌握判断同类二次根式的方法。 2、使学生能正确合并同类二次根式，进行二次根式的加减运算， 过程与方法 正确掌握合并同类二次根式的方法 情感、态度与价值观 在探究合并同类二次根式的方法过程中，发展合作意识和合情推理能力. 教学准备制作课件，提高学生的学习兴趣 教学重点 : 二次根式加减法则及其应用。 教学难点 : 法则的探索与理解。 二，教法与学法：由于初三学生的数学思维特征有具体逻辑思维逐步过渡到抽象逻辑思维，但仍有很大程度的经验性，而二次根式需要有一定的抽象思维能力。因此，本节课运用引导探究法，在教师引导下学生进行自主探究的教学方法。 三，教学构思：本节课是在二次根式的化简的基础上的进一步学习，重点是探索二次根式的加减运算法则。在设计本课时教案时，先复习二次根式的化简，并由此引出同类二次根式的定义，注意引导学生对同类二次根式和同类项、二次根式的加减的合并同类项进行比较学习。在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，逐步渗透类比、概括等数学思想，提高学生用数学方法 第16章二次根式复习课 【教学目标】 1. 使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子; 2 ?熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. 【教学重点】 含二次根式的式子的混合运算. 【教学难点】综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子. 【教学方法】典例解析法 【教学过程】 【知识回顾】( 填空形式，学生口答) 1. 二次根式： 式子.a ( a >0)叫做二次根式。(当a > 0时，..a > 0；当a > 0时, a 在实数范围内有意义。) 2. 最简二次根式： 必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中 不含开方开的尽的因数或因式 ；⑵被开方数中 不含分母；⑶分母中不含根 式。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： (1) ( a ) 2 =a ( a > 0)； 5. 二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运 算： 先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。 ⑵二次根式的乘除运算: 掐？祁￡ = 3匕(a > 0,b > 0) ； a 卑 a 0,b 0 \ b Vb 【设计意图】通过对知识的梳理，让学生对本章知识有个系统的认知，理清知识点之间 的联系，掌握 注意的地方，加深对知识的全面理解。 例1 1.使 有意义的的取值范围是 _________________ (2) .. a 2 a ■ a ( a > 0) 0 ( a =0)； a ( a v 0) 分析：第2题的分子是二次根式，分母是含 有意义，同时使分母的值不等于零。 例2下列根式中属最简二次根式的是（ A.~1 B. ￡ C. 分析：B选项根式被开方数中中含有分母，的取值范围是______________ . x的多项式，因此x的取值必须使二次根式）.8 D.27 CD选项中含有能开得尽方的因数（或式）< 2. 中, 课 题 二次根式单元复习 教 学 目 标 1、掌握二次根式的知识结构，理清要点； 2、掌握二次根式的基本运算法则，会二次根式加减乘除运算； 3、进一步加强训练，提高处理问题的能力； 教 学 重 点 掌握知识结构和方法体系 教 学 难 点 掌握方法体系 教 具 学 具 多媒体课件 教 学 内 容 及 教 师 活 动 二次备课 一、知识结构 （一）三个概念 1、二次根式 我们把形如____________（ ）的式子叫做二次根式。 2、最简二次根式： 满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式： （1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； （2）根号内不含分母，分母中不含根号。 化简二次根式的常用的方法有：运用性质化简、分解开方和分母有理化法。 a 的有理化因式是_____， a + b 的有理化因式是______，a b +的有理化因式是______ 3、同类二次根式： 化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式 (二)、三个性质 1、二次根式的双重非负性:二次根式0a ≥中被开方数a 是非负数，即a ≥0，二次根式 0a ≥ 本身也是非负数，即0a ≥。 2、根的方。)0(,)(2≥=a a a 3、方的根。?????<-=>==) 0(,)0(,0) 0(,2 a a a a a a a (三)、三类运算 二次根式乘法法则a b ab ?=（a ≥0，b ≥0） 二次根式除法法则a b a b ÷=÷（a ≥0，b ＞0） 注意：这两个法则的等号从左到右和从右到左双向都成立。 二次根式的加减： 先把所有二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式，类似于合并同类项。 《二次根式》说课稿 一、教材分析 “二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。本章是在第13章的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。第一节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。 二、教学目标 课标要求：学生要学会学习、自主学习，要为学生终生学习打下坚实的基础，根据教学大纲和新课标的要求，根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标 1、了解二次根式的概念 2、了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。 3、通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。 4、学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识。 教学重点:二次根式的概念和基本性质 教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用 三、教法和学法 教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式等，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。 四、教学过程 活动一：根据学生已有知识探究二次根式的概念 二次根式的性质 周口店中学 一. 教学指导思想与理论依据 教学活动是教与学的双边相互促进的活动。在教学活动中，始终坚持教学论中教为主导，学为 主体的指导思想与理论依据。从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通 过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。因此在教学中，我针对 本节课的特点，首先让学生复习了二次根式的意义和性质，然后通过小组讨论探究、a2的结果。在 教学过程注重营造让学生自主探索与合作交流的学习氛围，给学生留有足够的思考空间。在性质的运用中，注意学生的个体差异，问题设计由易到难，层层递进。 二. 教学背景分析 1、学习内容分析：本课位于北京市义务教育课程改革实验教材八年级第15册第十二章第5节的“二次根式及其性质”。本节课时在学习了二次根式的概念和性质 （石2= a（a工0）的基础上进行的，学生对于U a2的结果有一定的想法。按照新课程标准应以探索性质是什么？怎么来的为重点。因此a2等于什么，让学生去探索，在这个 过程中让学生体会分类讨论的思想。并且在探索过程中，使学生能够体会出（石2 = a（a兰0）与空孑=a的区别与联系。明确二次根式的性质Aa 是一 -个工具，对于二次根式的化简和二次根式的计算起着重要的作用。 2、学生情况分析：学生比较喜欢数学课，学习的自觉性和主动性较强，有一定的 自主学习和探究学习能力。同时，本节课是学生在已掌握了二次根式的概念和一个性质的基础上，进一步研究二次根式的另一个性质，学生对研究方法有了一定的了解，因而教学过程是以学生小组讨论学习或自主探究学习的方式来解决问题。 3、教学方式与教学手段说明、技术准备： 本节课综合运用自主探究学习、小组合作交流学习等方式。由于学生对于二次根式的概念和性质1已经掌握，根据学生的认知特点，运用自主探索与小组合作交流的方式探索a等于什么。由于学生表现欲强，习题讲解通过学生完成。 本节课运用信息技术教学手段辅助教学根据本学科特点可以方便地利用PowerPoint简洁快速的出示教学内容，利用实物投影展示学生的解题过程，从而提高课堂密度，增强课堂实效性。 4、前期教学状况、问题、对策等研究说明 浙江版数学八年级下教案一一第一章《二次根式》 §二次根式 教学目标： 1、经历二次根式概念的发生过程； 2、了解二次根式的概念； 3、理解二次根式何时有意义，无意义，会在简单情况下求根号内所含字母的取值范围； 4、会求二次根式的值。 重点与难点：本节教学的重点是二次根式的概念。例1的第（2），（3）题学生不容易理解, 是本节教学的难点。 教学设想：课本在回顾算术平方根的基础上，通过“合作学习”的三个问题引出二次根式的概念，并说明以前学的数的算术平方根也叫二次根式，在例题和练习的安排上，着重体现三个方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范围；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有关的问题。因此在教学中我采用基本按照教材的主体设计意图， 按教材的步骤进行 教学，让学生在自主学习的基础上，发现教材中的学习重点，概括学习所得，提升学生的学习能力。 教学过程： 一、引入（合作学习）： 根据图1—1所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，完成以下填空： 直角三角形的斜边长是___________________ ；正方形的边长是___________________ 等边三角形的边长是______________ 。 首先是让学生进行自主学习，并在实际情境中写出表示算术平方根的式子。提问：你认为所得的各代数式的共同特点是什么 1、表示的是算术平方根； 2、根号内含有字母的代数式。 在学生自主学习的基础上，要求学生对上述答案进行解释。其中学生对于答案3,等边 三角形的边长为.2S，—些学生会采用教材中以下的答案抄写，而不知该答案得到的原因。因此首先选不同程度的几名学生回答，鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评。对于该题的答案的得到过程可以用几何的推理的方法，即画出其中一条高后利用勾股定理进行计算的 方法或利用公式S正=-!a2 （a为该三角形的边长）的方法得到。 4 补充练习：判断，下列各式中哪些是二次根式 7；2；y ；x2y2; 3 ；■■■ a ；. a （a v 0 =； 二、新课讲授 1、二次根式的概念： （1）引导学生概括二次根式的定义：像W 4, ― ,J2S这样表示的算术平方根，且 根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如.亍〒） 也叫做二次根式。……即一个非负数的算术平方根。 （2）概念深化： 提问：a 1是不是二次根式?- 厂呢■ 9呢……学生对于上述的问题，在判断上会产生一定的歧义，此时应按照教参的要求进行教学：.厂、.9是二次根式，而.a 1不是 二次根式，只能称为含有二次根式的代数式。此外对于.2x2 2x . 3这样的代数式，他们的系数或常数项是二次根式，而整个代数式仍看做是整式。 第十六章二次根式 教学目标 1．使学生进一步理解二次根式的意义及基本性质，并能熟练地化简含二次根式的式子； 2．熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算． 教学重点和难点 重点：含二次根式的式子的混合运算． 难点：综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子． 教学过程设计 一、复习 1．请同学回忆二次根式有哪些基本性质？用式子表示出来，并说明各式成立的条件． 指出：二次根式的这些基本性质都是在一定条件下才成立的，主要应用于化简二次根式． 2．二次根式的乘法及除法的法则是什么？用式子表示出来． 指出：二次根式的乘、除法则也是在一定条件下成立的．把两个二次根式相除， 计算结果要把分母有理化． 3．在二次根式的化简或计算中，还常用到以下两个二次根式的关系式： 4．在含有二次根式的式子的化简及求值等问题中，常运用三个可逆的式子： 二、例题 例1 x取什么值时，下列各式在实数范围内有意义： 分析： (1)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (3)题是两个二次根式的和，x的取值必须使两个二次根式都有意义； (4)题的分子是二次根式，分母是含x的单项式，因此x的取值必须使二次根式有意义，同时使分母的值不等于零． x≥-2且x≠0． 解因为n2-9≥0，9-n2≥0，且n-3≠0，所以n2=9且n≠3，所以 例3 分析：第一个二次根式的被开方数的分子与分母都可以分解因式．把它们分别分解因式后，再利用二次根式的基本性质把式子化简，化简中应注意利用题中的隐含条件3-a ≥0和1-a＞0． 解因为1-a＞0，3-a≥0，所以 a＜1，|a-2|＝2-a． (a-1)(a-3)=[-(1-a)][-(3-a)]=(1-a)(3-a)≥0． 这些性质化简含二次根式的式子时，要注意上述条件，并要阐述清楚是怎样满足这些条件的． 问：上面的代数式中的两个二次根式的被开方数的式子如何化为完全平方式？ 4.1 二次根式和它的化简（第一课时）教学内容：二次根式的概念及其运用 教学目标： a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键：1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2 （a≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图像 在第一象限横、?纵坐标相等的点的坐标是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．B A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ． 问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 S= 二、探索新知 都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， （a ≥0）?的式子叫做二次根式，” 称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略） 例11 x （x>0）、 、1 x y +、x ≥0，y?≥0）． 分析；第二，被开方数是正数或0． （x>0）、（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的 1x 、1x y +． 例2．当x 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 13 当x ≥1 3 在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展 例3．当x 1 1 x +在实数范围内有意义？ 分析：11x +在实数范围内有意义，0和11 x +中的x+1≠0． 解：依题意，得23010 x x +≥?? +≠? 由①得：x ≥-3 2 由②得：x ≠-1 当x ≥- 32且x ≠-11 1 x +在实数范围内有意义． 《二次根式》说课稿 一、 教材分析 （一）教材的地位和作用 本节课是北师大版《数学》八年级（上）第二章《实数》的内容，是在学生学习了平方根、立方根、实数的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。本节内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。本节研究了二次根式的概念和性质。它是学习二次根式的化简和运算的依据。在中学阶段，大多数问题都是在实数的范围内研究的，因此，它对今后的数学学习有着非常重要的意义。 二、教学目标 学生要学会学习、自主学习，要为学生终生学习打下坚实的基础，根据教学大纲和新课标的要求，根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标： 1、知识与技能： （1）了解二次根式和最简二次根式，会计算积的算术平方根和商的算术平方根。 （2）正确运用二次根式的性质： );0,0(≥≥b a )0,0(>≥b a 化简二次根式。 2、过程与方法 （1）让学生根据现有的条件或式子找出它们的共性，进而发现规律，培养学生的钻研精神和创新能力. （2）能用类比的方法去解决问题，找规律，用旧知识去探索新知识. 3、情感、态度与价值观 通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性，敢于探索，大胆猜想，和同学积极交流，增强学习数学的兴趣和信心。 三、教学重点、难点： 1. 教学重点：二次根式的概念和基本性质。 2、教学难点：二次根式的性质的灵活运用。 b a b a ?=?b a b a = 四、教法和学法 教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。 五、教学过程 活动一：根据学生已有知识探究二次根式的概念 1.探究二次根式概念 由两个实际问题入手，设置问题情境，让学生感受到研究二次根式来源于生活又服务于生活。 思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？ （1）要做一个两条直角边的长分别为7cm 和4cm 的三角尺，斜边的长应为 cm （2）要修建一个面积为6.28m 2的圆形喷水池，它的半径为 m （π取3.14） （3）观察下列代数式： )25,24())((,121 49, 2.7,11,5==-+c b b c b c 其中。它们有什么共同点？ 学生发现这些式子我们在前面都已经学过，它们的共同特征是：都要含有开方运算，并且开方数都是非负数。在此基础上总结出二次根式的概念。培养学生的钻研精神和创新能力. 活动二：探究二次根式的性质 （1）计算下列各式，你能得到什么猜想？ 94?= ，94?= ； 94= ，9 4= ； 4925= ，4925= 。 （2）［师］通过上面计算的结果，大家认真总结找出规律.如果把具体的数字换成字母应怎样表示呢？ （1） x x -- +315；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275 x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a>时，①如果a b >，则a b > ；②如果a b <，则a b <。 例1、比较35与53的大小。 ， 验证：； 验证:. （1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4415 的变形结果，并进行验证； （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程. 例2. 已知 ，则a _________ 发展：已知 ，则a ______。 例3、化简下列各式： （1）423+ （2）526- 例4、已知a>b>0，a+b=6ab ，则a b a b -+的值为（ ）A ．22 B ．2 C ．2 D ．12 例5、甲、乙两个同学化简 时，分别作了如下变形： 甲：==； 乙：=。 其中，（ ）。 A. 甲、乙都正确 B. 甲、乙都不正确 C. 只有甲正确 D. 只有乙正确 本次课后作业 四、学生对于本次课的评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字： 五、教师评定： 1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字 《二次根式的乘法》说课稿 各位评委老师好： 我是XX 号，今天我说的课题是湘教版八年级下册第四章第二节第一课时《二次根式的乘法》。一、说教材 （一）教材的地位及作用分析： “二次根式”是初中代数重要的内容之一。本节内容是在学习了二次根式的概念、性质的基础上进一步学习二次根式的乘法，同时也为后面学习二次根式的除法、加、减法等运算做准备，具有承上启下的作用，在教材中处于重要的地位。对于学生，通过之前学习了二次根式的性质、化简，现在所学的乘法是对性质的一个应用，一个实践。学生在观察讨论交流的过程中，能主动探索，勇于发现，培养学生知识的迁移和联系能力以及转化的数学思想。 （二）教学重点： （a≥0，b≥0），二次根 （a≥0，b≥0） ，并利用它们进行计算和化简。 （三）教学难点：在具体化简问题中，发现规律，利用积的算术平方根性质和二次根式乘法法则进行化简。 二、教学目标： 依据课标要求，结合教材和学生实际，我指定了如下教学目标：（一）知识与技能目标 1．通过学习，是学生进一步熟练掌握积的算术平方根的性质。 2.通过引导，让学生会运用积的算术平方根的性质进行二次根式的乘法运算和根式化 简。 （二）过程与方法目标 通过探索灵活运用积的算术平方根，使学生感知数学知识具有普遍的联系性。熟练掌握运算法则，培养学生由特殊到一般的思维能力 （三）情感与态度目标 通过主动探究，合作交流，让学生充分参与到数学学习的过程中来，感受探索的乐趣和成功的体验，体会数学的合理性和严谨性，使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，同时进一步培养同学间的合作交流能力和团队合作精神。 三、教法简介： 教学法：根据教材特点和八年级学生的心理特征和认知水平，本课我采用引导设问法、讨论法、练习法等方法，激发学生学习兴趣，并在教学过程中注意加强对学生的启发和引导，充分展示自己的观点和见解，创设一个宽松愉快的学习氛围。学生通过自主学习、合作探究等方法学习，充分体现出学生的主体地位。 【下面，我重点说下本课题的教学过程】四、教学过程： （一）复习，导入新课1.2.在黑板分别板书3道带有根号有关算术平方根的积和积的算术平方根的计算题，请同学 《人教版九年级上册全书教案》 第二十一章二次根式 教材内容 1．本单元教学的主要内容： 二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用： 二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标 1．知识与技能 （1）理解二次根式的概念． （2a≥0）是一个非负数，2=a（a≥0）（a≥0）． （3（a≥0，b≥0）； a≥0，b>0）a≥0，b>0）． （4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减． 2．过程与方法 （1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．?再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，?并运用规定进行计算． （3）利用逆向思维，?得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，?给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的． 3．情感、态度与价值观 通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点 1．a≥0）a≥0）是一个非负数；2＝a（a≥0） （a≥0）?及其运用． 2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算． 教学难点 1a≥0）2＝a（a≥0（a≥0） 二次根式(说课稿) 《二次根式》说课稿 一、说教材 1、说课内容 义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）第二十一章二次根式第一节二次根式 2、教材的地位及作用 “二次根式”是《课程标准》“数与代数”的重要内容。 本章是在第13章实数（13.1平方根；13.2立方根；13.3实 数）的基础上，进一步研究二次根式的概念，性质，和运算。 本章内容与已学内容“实数”“整式”“勾股定理”联系紧 密，同时也是以后将要学习的“锐角三角函数”“一元二次方程”和“二次函数”等内容的重要基础。第一节研究了二次根式的概念和性质。它是学习本章的关键，它也是学习二次根式的化简和运算的依据。 3、教学目标 根据大纲的要求和教材结构内容分析，结合九年级学生的实际水平，考虑到学生已有的认知结构心理特征，本节课可确定如下教学目标： （1）知识技能：使学生理解并掌握二次根式的概念，掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围 （2）数学思考：使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性 （3）解决问题：培养学生根据条件处理问题的能力及分类讨论问题 （4）情感态度：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、分析、 发现问题的能力，培养学生辩证唯物主义观点 4、教学重点难点 （1）教学重点：二次根式中被开方数的取值范围 （2）教学难点：二次根式的取值范围 二、说教法 教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到对二次根式进行条件约束等问题，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。 三、说学法 新课程标准指出：学生是学习的主体。要让学生成为真正的主人，需要在数学教学的过程中，让老师引导学生自主思考、7.2 二次根式(第2课时)教学设计
-人教版第十六章二次根式教案
二次根式的除法说课稿
二次根式教学设计新部编版(第一课时)
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二次根式章节复习教案(20200916115307)
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