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一次函数新课讲义—实用全面

（一）变量和函数 1. 函数的概念

一般地，在一个过程中，如果有两个变量x 和y ，并且对于的，那么我们就说x 是自变量，y 是． 2. 函数的三种表示方法

（1）用数学式子表示函数关系的方法叫做；

（2）通过列出自变量的值与对应的函数的表格来表示函数关系的方法叫做；

（3）一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的作为点的，在平面直角坐标系内，由这些点，叫做这个函数的图象．这种表示函数关系的方法叫做． 3. 判定一次函数的方法：

1) 从表达式角度考虑：有三条件：自变量x 为一次；因变量为一次，系数k ≠0.

例1 已知y-3与x 成正比例，且x=2时，y=7.

（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）当x=4时，求y 的值；（3）当y=4时，求x 的值．

[分析] 由y-3与x 成正比例，则可设y-3=kx ，由x=2，y=7，可求出k ，则可以写出关系式．

解：（1）由于y-3与x 成正比例，所以设y-3=kx ．把x=2，y=7代入y-3=kx 中，得7-3＝2k ， ∴k ＝2． ∴y 与x 之间的函数关系式为y-3=2x ，即y=2x+3．（2）当x=4时，y=2×4+3=11．（3）当y ＝4时，4=2x+3，∴x=

. 引申：+1成正比例，当x=5时，y=12，则y 关于x 的函数关系式是 . 【注意】 y 与x+1成正比例，表示y=k(x+1)，不要误认为y=kx+1.

2) 从表格角度考虑：任从表格中组成二点的坐标，其纵坐标之差与横坐标差的比值不变。 3) 从图像角度考虑：判断所形成的图像是否为直线。

4. 确定一次函数的方法（一般要备两条件），确定一次函数就是求k ，b

（1）由于正比例函数y=kx （k ≠0）中只有一个待定系数k ，故只需一个条件（如一对x ，y 的值或一个点）就可求得k 的值．

（2）由于一次函数y=kx+b （k ≠0）中有两个待定系数k ，b ，需要两个独立的条件确定两个关于k ，b 的方程，求得k ，b 的值，这两个条件通常是两个点或两对x ，y 的值．一般从以下角度考虑求k 和b ：

1) 从表达式：已知两点坐标时可先设出所求表达式y=kx+b 再找两点的坐标分别代入表达式中，列出方程（或方程

（1（2（3

2) 从表格：将表格取两个值，组成具有有序的实数对，化为两个点的坐标，代入解方程组

例：版社出版一种适合中学生阅读的科普读物，若该读物首次出版印刷的印数不少于5000册时投入的成本与印数间的相应数据如下：

（1）经过对上表中数据的探究，发现这种读物的投入y （元）是印数x （册）的一次函数，求这个一次函数

的解析式（不要求写出的x 取值范围）。（2）如果出版社投入成本48000元，那么能印该读物多少册？

例：发现课桌椅可以根据人的身长调节高度.他测量了一套课桌椅上的四个档次的高度,得到如下数据:

请你和同学一起讨论,研究y 和x 可能满足什么函数关系

例.（2009年广东省）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖 __________块，

第n 个图形中需要黑色瓷砖__________块（用含n 的代数式表示）．

分析：直接观察第n 个图形中需要黑色瓷砖的块

数有一定的难度，若把上面图案的顺序编号为1、2、3……，它们所对应的白色纸片的块数分别是4、7、10……，于是得到有序实数对（1，4）（2，7）（3，10）……，用函数思想就可简洁的求出规律式. 解：设所求的黑色瓷砖的块数y 与序号n 之间的关系式为：y=kn+b ，把（1，4）（2，7）代入关系式，解得：

?==1b 3k ，于是得到第n 个图形中需要黑色瓷砖的块数为31n +.

3) 从图象：在直线上找两个点，将其两点的坐标代入函数解析式中。

例：机动车出发前油箱内有油42升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q （升）与行驶时间t （时）之间的函数关系如图所示，根据下图回答问题：（1）机动车行驶小时后加油；（2）中途加油升；

（3）写出直线CD 的关系式

例：直线ＡＢＣ为甲地向乙地打长途电话所需付的话费ｙ（元）与通话时间x （分钟）之间的函数关系的图象，当x ≥3时，该图象的解析式为；从图象可知，通话2分钟需付电话费为元；通话7分钟需付电话费元.

例：小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：

（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm ；

（2）求放入小球后量筒中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）?

之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？例: 已知一个一次函数的图象经过点（-2，5）并且与y 轴相交于点P ，直线y ＝3

x 与y 轴交于点Q ，点Q 与点P 关于x 轴对称,求这个一次

函数表达式。

5. 函数的性质： 1) 自变量的取值范围：

2) 属性：由于一次函数y=kx+b （k ，b 为常数，k ≠0）的图象是一条直线，所以一次函数y=kx+b 的图象也称为直

线y=kx+b ．由于两点确定一条直线，因此在今后作一次函数图象时，只要描出适合关系式的两点，再连

成直线即可一般选取两个特殊点：直线与y 轴的交点（0，b ），直线与x 轴的交点（-k b ，0）.但也不必一定选取这两个特殊点.画正比例函数y=kx 的图象时，只要描出点（0，0），（1，k ）即可.

3) K 值和b 的理解：

从表达式角度理解：k 为自变量每变化一个单位值时所对应的函数的变化值x y

??；b 为当自变量取零时相应的函数

值。

例：自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费

0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费。写出该单位水费y （元）与每月用水量x （吨）之间的函数关系式。

从表格角度理解：任从表格中组成二点的坐标，其纵坐标之差与横坐标点的比值即为k 值，b 为表格中自变量x

为0时，对应的y 值。

从图像角度理解：K 值为图像与x 正半轴夹角的正切值，即自变量每变化一个单位值时所对应的函数的变化值x y

??，

b 值为图像与y 轴交点的纵坐标值。

例

规定乘客随身携带的行李若超过一定的质量，需要购买行李票，已知行李票价

y （元）是行李质量x （千克）的一次函数，它的图象如下图所示：求y 与x 的函数关系式，并指出x 的取值范围。

t （时）

4) k 的正负决定直线的倾斜方向：

● 两直线k 相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角，因此，它们是平行的．|k|=x y

● 增减性：当k>0时，y 随x 值的增加而增加，当k<0时，y 随x 值的增加而减小， ● |k|大小决定直线的倾斜程度，即|k|越大，直线与x 轴相交的锐角度数越大（直线陡），|k|越小，直线与x

轴相交的锐角度数越小（直线缓）；增加的快慢由两点的纵坐标之差和横坐标之差的比值来决定，即由k 值的大小决定。

例：是某人骑自行车的行驶路程s (千米)与行驶时间t (时)的函数图象，下列说法不正确的 ( ) A.从0时到3时，行驶了30千米 B.从1时到2时匀速前进 C.从1时到2时在原地不动

D.从0时到1时与从2时到3时的行驶速度相同

例：已知一次函数y=kx+b 的图象与x 轴交于点A （-6，0），与y 轴交于点B?，?若△AOB 的面积是12，且y 随x 的增大而减小，你能确定这个一次函数的关系式吗？

例：某加油站五月份营销一种油品的销售利润y （万元）与销售量x （万升）之间函数关系的图象如图中折线所示，

该加油站截止到13日调价时的销售利润为4万元，截止至15日进油时的销售利润为5.5万元．（销售利润＝（售价－成本价）×销售量）

请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题：（1）求销售量x 为多少时，销售利润为4万元；（2）分别求出线段AB 与BC 所对应的函数关系式；

（3）我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在OA 、AB 、BC 三段所表示的销售信息中，哪一段的利润

率最大？（直接写出答案）

解答:（1）由图象可知，当销售利润为4万元，销售量4÷(5－4)=4(万升)，即x =4（万升）;

（2）点A 的坐标为(4,4)，从13日到15日利润为5.5－4=1.5(万元)，所以销售量为1.5÷(5.5－4)=1(万升)，所以点B 的坐标为(5,5.5)

设线段AB 所对应的函数关系式为y=kx ＋b ，，则???4=4k ＋b 5.5=5k ＋b ，解得???k=1.5

b=－2

∴线段AB 所对应的函数关系式为y=1.5x －2(4≤x ≤5),

从15日到31日共销售5万升，利润为1×1.5＋4×(5.5－4.5)=5.5(万元) ∴本月销售该油品的利润为5.5＋5.5=11(万元)，所以点C 的坐标为(10,11).

设线段BC 所对应的函数关系式为y=mx ＋n ，则???5.5=5m ＋n 11=10m ＋n ，解得???m=1.1

n=0

∴线段BC 所对应的函数关系式为y=1.1x(5≤x ≤10);

（3）线段AB.

点评：由“截止到13日调价时的销售利润为4万元”不难求出此时的销售量x=4(万升)，这样点A 的坐标就知

1日：有库存6万升，成本价 4元

/升，售价5元/升． 13日：售价调整为5.5元/升．

15日：进油4万升，成本价 4.5元/升． 31日：本月共销售10万升．五月份销售记录万升）

一次函数复习与提高

一次函数复习讲义温故而知新：题型一、点的坐标方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数； 1、若点A （m,n ）在第二象限，则点（|m|,-n ）在第____象限； 2、若点P （2a-1,2-3b ）是第二象限的点，则a,b 的范围为______________________； 3、已知A （4，b ），B （a,-2），若A ，B 关于x 轴对称，则a=_______,b=_________; 若A,B 关于y 轴对称，则a=_______,b=__________; 若A ，B 关于原点对称，则a=_______,b=_________； 4、若点M （1-x,1-y ）在第二象限，那么点N （1-x,y-1）关于原点的对称点在第______象限。题型二、关于点的距离的问题方法：点到x 轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y 轴的距离用横坐标的绝对值表示；任意两点(,),(,)A A B B A x y B x y ；若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -；若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -；点(,)A A A x y 1、点B （2，-2）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；

2、点C （0，-5）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是 ____________； 3、点D （a,b ）到x 轴的距离是_________；到y 轴的距离是____________；到原点的距离是 ____________； 4、已知点P （3,0），Q(-2,0),则PQ=__________,已知点110,,0,22M N ??? ?- ? ???? ?,则MQ=________; ()()2,1,2,8E F --,则EF 两点之间的距离是__________;已知点G （2，-3）、H （3,4），则G 、H 两点之间的距离是_________； 5、两点（3，-4）、（5，a ）间的距离是2，则a 的值为__________； 6、已知点A （0,2）、B （-3，-2）、C （a,b ），若C 点在x 轴上，且∠ACB=90°，则C 点坐标为 ___________. 题型三、一次函数与正比例函数的识别方法：若y=kx+b(k,b 是常数，k ≠0)，那么y 叫做x 的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k 是常数，k ≠0)，这时，y 叫做x 的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若y=b ，这时，y 叫做常函数。 ☆A 与B 成正比例 A=kB(k ≠0) 1、当k_____________时，()2323y k x x =-++-是一次函数； 2、当m_____________时，()21345m y m x x +=-+-是一次函数； 3、当m_____________时，()21445m y m x x +=-+-是一次函数； 4、2y-3与3x+1成正比例，且x=2,y=12,则函数解析式为________________；题型四、函数图像及其性质方法：

反比例函数中的模型

1 反比例函数中的模型（讲义）一、知识点睛与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① OCD ABCD △梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练

2 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线y x = （x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________． 2. 如图，A ，B 是双曲线y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________．第2题图第3题图 3. 如图，直线3y x = 与双曲线y x =（x >0）交于点A ．将直线3y x =向右平移2个单位后，与双曲线y x = （x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若 2=BC ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18，则k =________．第4题图第5题图 5. 如图，已知函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________．

3 6. 已知：如图，直线64y x =+与双曲线y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. y 轴交于点A ，与双曲线x y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=，则k =_______ 8. 双曲线1y x =，2 y x =A 作x 轴的平行线，交 B ，交y 轴于点 C ，过点A 作x D ，交x 轴于点 E ，连接BD ，CE ，则 CE =________．第9题图第10题图

艺术生高考数学专题讲义：考点7 指数与指数函数

考点七指数与指数函数知识梳理 1．根式如果a ＝x n ，那么x 叫做a 的n 次实数方根(n >1且n ∈N *)，当n 为奇数时，正数的n 次实数方根是一个正数，负数的n 次实数方根是一个负数，记为：n a ；当n 为偶数时，正数的n 次实数方根有两个，它们互为相反数，记为：±n a .式子n a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数. (1)两个重要公式 ① n a ＝?????a （n 为奇数），|a |＝?????a （a ≥0），－a （a <0）（n 为偶数）； ② (n a )n ＝a (注意a 必须使n a 有意义)． (2)0的任何次方根都是0． (3)负数没有偶次方根． 2．分数指数幂 (1)分数指数幂的概念： ①正分数指数幂：a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ②负分数指数幂：a m n -＝ 1 a m n ＝ 1n a m (a >0，m ，n ∈N *，且n >1)． ③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质： ①a r a s ＝a r ＋ s (a >0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a r s (a >0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．无理数指数幂一般地，无理数指数幂a r (a >0，r 是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 4．指数函数的图象与性质

图象定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质过点(0,1)，即x ＝0时y ＝1 当x >0时，y >1；当x <0时，00时，01 是R 上的增函数是R 上的减函数典例剖析题型一指数幂的化简与求值例1 的值是．答案－3 解析 . 变式训练下列各式正确的是．(填序号) ① ② ④a 0＝1 答案解析根据根式的性质可知正确．，a ＝1条件为(a ≠0)，故①、②、④错．例2 化简或求值 (1) (2) (a 2 3 ·b －1 ) 12 -·a 1 2 - ·b 1 3 6 a · b 5 解析 (1)原式= = . (2)原式＝ a 13 - b 12 ·a 12 -b 13 a 16 b 56 ＝a 111326 ---·b 115 236 +-＝1a . 解题要点指数幂运算的一般原则

指数函数与对数函数经典讲义

指数函数与对数函数重点:指数函数、对数函数的图像和性质;指、对数方程(含不等式)的解法;数学思想方法的运用．难点：幂函数、指数函数和对数函数组成的复合函数的性质. 一、指数与对数的运算法则 1、指数的运算法则 ① m n m n a a a +=??② m m n n a a a -= ③ ()()n m mn m n a a a == ?④ 1 n a =2、对数式与指数式的互换 log b a a N b N =?=(0a >且1a ≠）、（上式中b R ∈，0N >） 3、对数的运算法则 (1）对数运算法则 ① ()log log log a a a M N M N ?=+ ② log log log a a a M M N N =- ③ log log n a a M n M = ? ? ④ 1 log log a a M n = （2）几个常用的恒等式 ① log a N a N =??② log N a a N = ③ log log log b a b N N a = (换底公式)? ④ 1log log a b b a = ⑤ log log m n a a n b b m = 例1、求: 82log 9 log 3 的值．解：82lg 9 log 9lg 9lg 22lg 3lg 22 lg8lg 3log 3lg833lg 233 2 lg lg lg = =?=?=. 二、指数函数与对数函数

1、指数函数与对数函数的图像和性质指数函数 x y a =和对数函数log a y x =互为反函数，所以它们的图像关于y x =对称． 2、指数函数与对数函数的图像的应用例2、在下列一次函数b ax y +=(10<