十年全国高中数学联赛试题一试
解析几何圆锥曲线部分
一、选择题
2000、已知点A 为双曲线x 2-y 2
=1的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右分支上，△ABC 是等边三角形，则△ABC 的面积是 【答】（ ） (A)
33 (B) 2
3
3 (C) 33 (D) 63 答案：C 。解析：如图所示，设BD=t ，则OD=3t-1，从而B （3t-1，t ）满足方程12
2=-y x ，
可以得到t=3,所以等边三角形，ΔABC 的面积是33.
2002．直线x 4+y 3=1与椭圆x 216+y 2
9=1相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得ΔPAB 面积等于3．这
样的点P 共有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
解：直线与椭圆的交线长=5．直线方程3x +4y －12=0．
设点P (4cos θ，3sin θ)． 点P 与直线的距离d=12|cos θ+sin θ－1|
5
，
当0≤θ≤π2时，d ≤12
5
(2－1)，S ABC ≤6(2－1)<3．即此时没有三角形面积=3；
当
π
2<θ<2π时，d ≤12
5
(2+1)，S ABC ≤6(2+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B ． 2003. 2设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线2
2
bx ay ab +=的图形是【答】（ ）
题设方程可化为b ax y +=和12
2=+b
y a x ,观察图形可知； 2003.3 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60?
的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B
两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ） （A ）
163 (B)8316
33
83易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832=--x x ,从而弦AB
中点的横坐标为34
0=x ,纵坐标3
40=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=
3
16
； 2004、已知M={
}
32|),(22
=+y x y x ，N={}b mx y y x +=|),(，若对于所有的R m ∈，均有
,φ≠?N M 则b 的取值范围是
A ．[
26,26-
] B 。（26
,
26-）C 。（332,332-） D 。[
332,332-] 答：[ ]
解：M N ≠?I 相当于点（0，b ）在椭圆
22
23x y +=上或它的内部2266
1,3b b ∴≤≤≤
。 故选A 。
2005. 方程
13
cos 2cos 3sin 2sin 2
2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆
D. 焦点在y 轴上的双曲线
解：),2
3cos()22cos(,22
322
0,32π
ππ
π
π
π->-∴<
-
<-<
∴>+Θ
即 .3sin 2sin >
又,03cos 2cos ,03cos ,02cos ,32,
220>-∴<>∴<<<
<
ππ
π方程表
示的曲线是椭圆。
)(
)4
232sin(232sin
22)3cos 2(cos )3sin 2(sin *++-=---K K Θ
π
.
0)(,0)4232sin(.42324
3,432322
,0232sin ,02322<*∴>++∴<++<∴<+<
<-∴<-<
-
式π
ππ
π
ππ
π
即∴-<-.3cos 2cos 3sin 2sin 曲线表示焦点在y 轴上的椭圆，选C 。 2007. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是
（ ）
解：设圆O 1和圆O 2的半径分别是r 1、r 2，|O 1O 2|=2c ，则一般地，圆P 的圆心轨迹是焦点为O 1、
O 2，且离心率分别是
212r r c +和|
|221r r c
-的圆锥曲线（当r 1=r 2时，O 1O 2的中垂线是轨迹的一部份，当c=0时，轨迹是两个同心圆）。
当r 1=r 2且r 1+r 2<2c 时，圆P 的圆心轨迹如选项B ；当0<2c <|r 1?r 2|时，圆P 的圆心轨迹如选项C ；当r 1≠r 2且r 1+r 2<2c 时，圆P 的圆心轨迹如选项D 。由于选项A 中的椭圆和双曲线的焦点不重合，因此圆P 的圆心轨迹不可能是选项A 。 二、填空题
2000、在椭圆122
22=+b
y a x (a ＞b ＞0)中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B .若
该椭圆的离心率是
2
1
5-，则∠ABF =_________. 答案：90° 如图所示，由
2
1
5-=a c ?c 2+ac-a 2=0，
()()2
2
2
222
2cos b
a a a c a
b a
ABF +??+-++=
∠=0
?则∠ABF=90°.
2003．设12,F F 是椭圆22
194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ?的面积等于_____________.
21F PF ?是直角三角形，故21F PF ?的面积为4422
1
||||2121=??=?=
PF PF S ; 2005.若正方形ABCD 的一条边在直线172-=x y 上，另外两个顶点在抛物线2
x y =上.则该正方形面积的最小值为 80 .
解：设正方形的边AB 在直线172-=x y 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为
),(11y x C 、),(22y x D ，则CD 所在直线l 的方程,2b x y +=将直线l 的方程与抛物线方程联
立，得.1122,12
+±=?+=b x b x x
令正方形边长为,a 则).1(20)(5)()(2
212
212
212
+=-=-+-=b x x y y x x a ① 在172-=x y 上任取一点（6，,5），它到直线b x y +=2的距离为5
|
17|,b a a +=
∴②.
①、②联立解得,80.63,3221=∴==a b b 或.80.12802
min 2=∴=a a
2006. 已知椭圆22
1164
x y +=的左右焦点分别为1F 与2F ，
点P 在直线l
：
80x ++=上. 当12F PF ∠取最大值时，比
1
2
PF PF 的值为 . 【解】 由平面几何知，要使12F PF ∠最大，则过12,F F ，P 三点的圆必定和直线l 相切于P 点。
设直线l
交x 轴于A (8--，则12APF AF P ∠=∠，即12APF AF P ??:，即
122
PF AP
PF AF =
（1）， 又由圆幂定理，2
12AP AF AF =?
（2），而1(
F -，2
F ，A
(8--，从而有18AF
=，28AF =+
代入（1），（2）得11
22
8
42331 843
PF AF
PF AF
===-=-
+
。
2009.椭圆
22
22
1
x y
a b
+=（0
a b
>>）上任意两点P，Q，若OP OQ
^，则乘积OP OQ
×的最小值为_____________．
三、解答题
2000、已知C0:x2+y2=1和C1:1
2
2
2
2
=
+
b
y
a
x
(a＞b＞0)。试问：当且仅当a,b满足什么条件时，对C1上任意一点P，均存在以P为项点,与C0外切,与C1内接的平行四边形？并证明你的结论。
答案：所求条件为
2
1
a
+
2
1
b
=1.
证明：必要性：易知，圆外切平行四边形一定是菱形，圆心即菱形中心.
假设论成立,则对点( a, 0 ), 有( a, 0 )为项点的菱形与C1内接,与C o外切. ( a, 0 )的相对顶点为( - a, 0 ),由于菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上,为(0, b) 和
(0, -b) .菱形一条边的方程为
a
x
+
b
y
=1,即bx+ay=ab.由于菱形与C O外切,
故必有
2
2b
a
ab
+
=1,整理得
2
1
a
+
2
1
b
=1. 必要性得证.
充分性:设
2
1
a
+
2
1
b
=1,P是C1上任意一点,过P、O作C1的弦PR，再过O作与PR垂直的弦QS，则PQRS为与C1内接菱形.设 OP = r1, OQ =r2, 则点O的坐标为(r1cosθ, r1sinθ),点Q的坐
标为(r2cos(θ+
2
π
),r2sin(θ+
2
π
)),代入椭圆方程,得
()
2
2
1cos a
r θ+
()
2
2
1sin b
r θ
=1,
2
22)]2cos([a r π
θ+
+22
2)]2sin([b
r π
θ+=1,
于是,21OP +21OQ =222111R R +=(22
22
sin cos b a θθ+)+[22)2(cos a πθ++2
2)
2(sin b
π
θ+] =
21a +2
1
b =1. 又在Rt △POQ 中，设点O 到PQ 的距离为h ，则
h 1=21
OP +2
1OQ =1,故得h=1 同理，点O 到QR ，RS ，SP 的距离也为1，故菱形PQRS 与C 0外切.充分性得证. [注]对于给出2
222b a b a =+ ，
2
2
b
a a
b +=1等条件者，应同样给分.
2002．已知点A (0，2)和抛物线y 2
=x ＋4上两点B ，C ，使得AB ⊥BC ，求点C 的纵坐标的取值范围．
解：设B (y 02
－4，y 0)，C (y 12
－4，y 1)．则
k AB =y 0－2y 20－4=1y 0+2．k BC =y 1－y 0y 21－y 20=1y 1+y 0
．
由k AB ·k BC =－1，得(y 1+y 0)(y 0+2)=－1．
∴ y 02
+(y 1+2)y 0+(2y 1+1)=0．
∴ △=(y 1+2)2－4(2y 1+1)=y 12
－4y 1≥0， ∴ y 1≤0，y 1≥4．
当y 1=0时，得B (－3，－1)，当y 1=4时，得B (5，－3)均满足要求，故点C 的纵坐标的取值范围是(－∞，0]∪[4，+∞)．
2005.过抛物线2
x y =上的一点A （1,1）作抛物线的切线，分别交x 轴于D ，交y 轴于B.点C 在抛物线上，点E 在线段AC 上，满足
1
λ=EC AE ;点F 在线段BC 上，满足2λ=FC
BF
，且121=+λλ，线段CD 与EF 交于点P.当点C 在抛物线上移动时，求点P 的轨迹方程.
解一：过抛物线上点A 的切线斜率为：∴=='=,2|21x x y 切线AB 的方程为
D B x y 、∴-=.12的坐标为D D B ∴-),0,2
1
(),1,0(是线段AB 的中点. ………………5分
设),(y x P 、),(2
00x x C 、),(11y x E 、),(22y x F ，则由1λ=EC
AE 知，
;11,11120111011λλλλ++=++=x y x x ,2λ=FC BE
得.11,122
0222022λλλλ++-=+=x y x x
∴EF 所在直线方程为：,111111111111
12021
0112
01220212
01λλλλλλλλλλλλ++-
+++-
=++-++-++-x x x x x x x y 化简得.1]3)[()]1()[(2
020********x x x x y x λλλλλλ-++--=+--…①…………10分
当21
0≠x 时，直线CD 的方程为：1
2202020--=x x x x y …②
联立①、②解得02
13
3x x x y +?
=????=??
，消去0x ，得P 点轨迹方程为：.)13(312-=x y ………15分
当210=
x 时，EF 方程为：CD x y ,4123)34141(23212λλλ-+--=-方程为：2
1=x ，联立解得???
?
??????????==.121,21y x 也在P 点轨迹上.因C 与A 不能重合，∴.32,10
≠∴≠x x ∴所求轨迹方程为).3
2
()13(312≠-=x x y ………………………………………………20分
解二：由解一知，AB 的方程为),0,2
1
(),1,0(,12D B x y --=故D 是AB 的中点. ……5分 令,1,1,2211λλγ+==+===
CF
CB
t CE CA t CP CD 则.321=+t t 因为CD 为ABC ?的中线， .22CBD CAD CAB S S S ???==∴
而
,2
3,232)11(212212*********=∴=+=+=+==??=??????γγγγγt t t t t t t t S S S S S S CB CA CF CE t t CBD CFP CAD CEP CAB CEF P ∴是ABC ?的重心. ………………………………………………………………………10分
设),,(),,(2
00x x C y x P 因点C 异于A ，则,10≠x 故重心P 的坐标为
,3311),32(,313102
02000x x y x x x x =++-=≠+=++=消去,0x 得.)13(3
12-=x y
故所求轨迹方程为).3
2
()13(312≠-=
x x y ………………………………………………20分 2006. 给定整数2n ≥，设 ),(000y x M 是抛物线12
-=nx y 与直线x y =的一个交点. 试证
明对于任意正整数m ，必存在整数2k ≥，使),(00m
m
y x 为抛物线12
-=kx y 与直线
x y =的一个交点.
【证明】 因为12
-=nx y 与x y =
的交点为00x y ==显然有00
1
x n x +
=。…（5分） 若),(00m
m y x 为抛物线12
-=kx y 与直线x y =的一个交点，则00
1
m
m k x x =+. …（10分）
记001m
m m k x
x =+，则 10
110
1
()m m m m m k k x k nk k x +--=+-=-， (2)m ≥ （13.1）
由于1k n =是整数，2
22
200200
11()22k x x n x x =+
=+-=-也是整数，所以根据数学归纳法，通过（13.1）式可证明对于一切正整数m ，
001
m
m m
k x x =+是正整数. 现在对于任意正整数m ，取001m
m
k x x =+
，使得12
-=kx y 与x y =的交点为),(00m m y x . …………… （20分）
2008．如图，P 是抛物线22y x =上的动点，点B C ,在y 轴上，圆22(1)1x y -+=内切于PBC ?，求PBC ?面积的最小值．
[解] 设00(,),(0,),(0,)P x y B b C c ，不妨设b c >．
直线PB 的方程:00
y b
y b x x --=
， 化简得 000()0y b x x y x b --+=．
又圆心(1,0)到PB 的距离为1，
002
200
1()y b x b y b x
-+=-+ ， …5分
故22222
000000()()2()y b x y b x b y b x b -+=-+-+，
易知02x >，上式化简得2000(2)20x b y b x -+-=，
同理有2000(2)20x c y c x -+-=． …10分
所以0
022
y b c x -+=
-，002x bc x -=-，则
22
2
0002
0448()(2)x y x b c x +--=
-．
因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2
002y x =，则
2
2
2
04()(2)x b c x -=
-，0022x b c x -=-． …15分 所以00000014
()(2)4222
PBC x S b c x x x x x ?=
-?=?=-++--
48≥=．
当20(2)4x -=
时，上式取等号，此时004,x y ==±
因此PBC S ?的最小值为8． …20分 2009.（本小题满分14分）设直线l ：y kx m =+（其中k ，m 为整数）与椭圆
22
11612
x y +=交于不同两点A ，B ，与双曲线22
1412x y -=交于不同两点C ，D ，问是否存在直线l ，使得向量0A C BD +=u u u u r u u u r r
，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角α的范围0 0180α≤< （2 ）经过两点 的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有1212//l l k k ?=。特别地，当直线 12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称 方程的形式 已知条件 局限性 点斜式 为直线上一定点，k 为斜率 不包括垂直于x 轴的直线 斜截式 k 为斜率，b 是直线在y 轴上的截距 不包括垂直于x 轴的直线 两点式 是直线上两定点 不包括垂直于x 轴和y 轴的直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直线在y 轴上的非零截距 不包括垂直于x 轴和y 轴或过原点的直线
一般式 A ， B ， C 为系数 无限制，可表示任何位置的直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是 ，两条直线的 交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解 就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1）两点间的距离平面上的两点 间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线 间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y 若123AB AC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 注：斜率变化分成两段，0 90是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。 直线的参数方程 〖例1〗已知直线的斜率k=-cos α (α∈R ).求直线的倾斜角β的取值范围。 思路解析：cos α的范围→斜率k 的范围→tan β的范围→倾斜角β的取值范围。
椭圆专题练习 1.【2017浙江，2】椭圆22 194 x y +=的离心率是 A B C ．23 D ．5 9 2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22 221x y a b +=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．3 B ．3 C ．3 D ．13 3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1， e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（） A ．m >n 且e 1e 2>1 B ．m >n 且e 1e 2<1 C ．m
解析几何练习题 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.） 1．过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是（ ） A.x-2y-1=0 B.x-2y+1=0 C.2x+y-2=0 D.x+2y-1=0 2.若直线210ay -=与直线(31)10a x y -+-=平行，则实数a 等于（ ） A 、12 B 、12 - C 、13 D 、13 - 3．若直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为 （ ） A ． B ． C ． D ． 4.在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O(0，0)，A(1，3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( ) A ．y －1＝3(x －3) B ．y －1＝－3(x －3) C ．y －3＝3(x －1) D ．y －3＝－3(x －1) 5.直线对称的直线方程是 （ ） A ． B ． C ． D ． 6.若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点( ) 32:1+=x y l 2l 1l x y -=2l 2 1 2 1-22-02032=+-=+-y x y x 关于直线032=+-y x 032=--y x 210x y ++=210x y +-=()1:4l y k x =-2l )1,2(2l
A ． B ． C ． D ． 7．已知直线mx+ny+1=0平行于直线4x+3y+5=0，且在y 轴上的截距为3 1，则m ，n 的值分别为 A.4和3 B.-4和3 C.- 4和-3 D.4和-3 8．直线x-y+1=0与圆（x+1）2+y 2=1的位置关系是（ ） A 相切 B 直线过圆心 C ．直线不过圆心但与圆相交 D ．相离 9．圆x 2+y 2－2y －1=0关于直线x -2y -3=0对称的圆方程是（ ） A.（x －2)2 +(y+3)2 =1 2 B.（x －2)2+(y+3)2=2 C.（x ＋2)2 +(y －3)2 =1 2 D.（x ＋2)2+(y －3)2=2 10．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为( ) A ． B ． C ． D ． 11．经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则 弦AB 所在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 0,40,22,44,2(,)P x y 23x y +=24x y +(,)P x y 22111()()242 x y -++ =2 321 22
平面解析几何 一、直线的倾斜角与斜率 1、直线的倾斜角与斜率 （1）倾斜角的范围 0 180 （2）经过两点的直线的斜率公式是 （3）每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率 2.两条直线平行与垂直的判定 （1）两条直线平行 对于两条不重合的直线l1,l2 ，其斜率分别为k1, k2 ，则有 l1 / /l2 k1 k2 。特别地， 当直线 l1,l2 的斜率都不存在时，l1与l2 的关系为平行。 （2）两条直线垂直 如果两条直线l1,l2 斜率存在，设为k1, k2 ，则l1 l2 k1 k2 1 注：两条直线l1 ,l2 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率 之积为 -1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果 l1,l2 中 有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0 时， l1与l2 互相垂直。 二、直线的方程 1、直线方程的几种形式 名称方程的形式已知条件局限性 点斜式 不包括垂直于x 轴的直 线为直线上一定点，k 为斜率 斜截式k 为斜率， b 是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x 轴的直线两点式 不包括垂直于x 轴和 y 轴的是直线上两定点 直线 截距式 a 是直线在x 轴上的非零截距， b 是直不包括垂直于x 轴和 y 轴或
线在 y 轴上的非零截距过原点的直线 一般式 A ，B，C 为系数无限制，可表示任何位置的 直线 三、直线的交点坐标与距离公式 三、直线的交点坐标与距离公式 1.两条直线的交点 设两条直线的方程是，两条 直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条 直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平 行；反之，亦成立。 2.几种距离 （1 ）两点间的距离平面上的两点间的距离公式 （2）点到直线的距离 点到直线的距离； （3）两条平行线间的距离 两条平行线间的距离 注：（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； （2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用 公式计算 （二）直线的斜率及应用 利用斜率证明三点共线的方法： 已知A(x , y ), B(x , y ), C (x , y ), 若 x 1 x 2 x3或k AB k AC ，则有 A 、B、 C 三点共 1 1 2 2 3 3 线。
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平面解析几何初步 知识点一：直线与方程 1. 直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α叫做直线的倾斜角.倾斜角)180,0[?∈α,?=90α斜率不存在. 2. 直线的斜率：αtan ),(211 21 2=≠--= k x x x x y y k ．（111(,)P x y 、222(,)P x y ）. 3．直线方程的五种形式 【典型例题】 例1：已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1．① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2 3．④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点． 【举一反三】 1. 直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．150° 2. 设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ） A ．－3，4 B ．2，－3 C ．4，－3 D ．4，3 3. 直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ） A ．7 B ．－ 77 C ．77 D ．－7 4. 直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ． 例2：已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上. 练习：设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）在同一直线上，求证：a+b+c=0. 例3：已知实数x,y 满足y=x 2-2x+2 (-1≤x≤1).试求：2 3 ++x y 的最大值与最小值.
专业资料 1. 设抛物线y2 2 px( p 0) 的焦点为F，点 A(0, 2) .若线段FA的中点B在抛物线上， 则 B 到该抛物线准线的距离为_____________ 。（3 分） 2 . 已知m＞1，直线l : x my m20 ，椭圆 C : x 2 y21， F1,F2分别为椭圆C的左、 2m2 右焦点 . （Ⅰ）当直线l过右焦点 F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线 l 与椭圆 C 交于A, B两点，V AF1F2，V BF1F2的重心分别为G, H .若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m 的取值范围. （6 分） 3 已知以原点 O为中心，F5,0 为右焦点的双曲线 C 的离心率e 5 。2 （I）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；（I I ）如题（20）图，已知过点M x1, y1 的直线 l1 : x1 x 4 y1 y 4 与过点 N x2 , y2（其中 x2x ）的直 线 l2 : x2 x 4 y2 y 4 的交点E在 双曲线 C 上，直线MN与两条渐近 线分别交与G、H两点，求OGH 的面积。（8 分）
4. 如图，已知椭圆x2y21(a＞ b＞0) 的离心率为2 ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右 a2b22 焦点 F1 , F2为顶点的三角形的周长为4( 2 1) .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和 PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D. （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；（Ⅱ）设直线PF1、 PF2的斜率分别为 k1、 k2，证明 k1·k2 1 ；（Ⅲ）是否存在常数，使得 A B C D A·B C恒D成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. （ 7 分） 5. 在平面直角坐标系 x2y2 xoy 中，如图，已知椭圆1
解析几何 1.（21）（本小题满分13分） 设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经 过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足 ,求点的轨迹方程。 （21）（本小题满分13分）本题考查直线和抛物线的方程，平面向量 的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵 活运用知识探究问题和解决问题的能力，全面考核综合数学 素养. 解：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直 线上，故可设 ① 再设 解得②，将①式代入②式，消去，得 ③，又点B在抛物线上，所以， 再将③式代入，得 故所求点P的轨迹方程为 2.（17）（本小题满分13分） 设直线 （I）证明与相交； （II）证明与的交点在椭圆 （17）（本小题满分13分）本题考查直线与直线的位置关系，线线相交的判断与证明，点在曲线上的判断与证明，椭圆方程等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力. 证明：（I）反证法，假设是l1与l2不相交，则l1与l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此与k1为实数的事实相矛盾. 从而相交. （II）（方法一）由方程组，解得交点P的坐标为，而 此即表明交点 （方法二）交点P的坐标满足， ，整理后，得 所以交点P在椭圆 .已知椭圆G：，过点（m，0）作圆的切线l交椭圆G于A，B两点。 （1）求椭圆G的焦点坐标和离心率； （2）将表示为m的函数，并求的最大值。 （19）解：（Ⅰ）由已知得所以 所以椭圆G的焦点坐标为，离心率为 （Ⅱ）由题意知，.当时，切线l的方程， 点A、B的坐标分别为此时 当m=－1时，同理可得 当时，设切线l的方程为 由；设A、B两点的坐标分别为，则； 又由l与圆
2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A
解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0 军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_________________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影 点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r 课程编号：MTH17014 理工大学2011-2012学年第一学期 2011级本科生解析几何期末试题A 卷 --------------，班级------------，学号--------------， 一，单选题(30分) 1,已知空间三点A,B,C,下面哪个条件能确定A,B,C 四点共面( ) (a),空间任意一点O,三点满足.OA OB OC =+ (b),空间任意一点O,三点满足11 .22 OA OB OC =+ (c),空间任意一点O,三点满足0.OA OB OC ++= (d),空间任意一点O,三点满足11 0.23 OA OB OC ++= 2, 已知三向量,,,αβγ满足下面哪个条件说明这三向量共面( ) (a), ()0αβγ?=, (b), 0.αββγγα?+?+?=, (c), ()0αβγ??=, (d), ()()αβγβγα??=??. 3,在一仿射坐标系中,平面:2430x y z π+++=,点A(1,-2,-1)和点B(2,-1,3).则下面 说确的是( ) (a)点A 和点B 在平面π的两侧; (b)点A 和点B 在平面π的同侧; 4, 在仿射坐标系中,已知直线2103260x z x y ++=??+-=?和直线210 2140x y z x z +--=??+-=? ,则下面 说确的是( ) (a)两直线平行; (b)两直线相交; (c)两直线异面; (d)两直线重合. 5, 在仿射坐标系中,已知平面10x y z ++-=和直线20 210 x y z x y z +-=??-+-=?,则下面说 确的是( ) (a)直线和平面平行; (b)直线和平面相交; (c)直线在平面上; (d)直线和平面垂直. 6,在平面仿射坐标中,直线11112 2220 0A x B y C z D A x B y C z D +++=??+++=?与y 轴相交,则( ) (a)112 2 0C D C D =,(b) 112 2 0A D A D =,(c) 112 2 0B D B D =,(d) 112 2 0A B A B = 7，在空间直角坐标系下，方程 222 3230x y z xy yz +-++=的图形是（ ） (a),椭球面；(b),单叶双曲面；(c),双叶双曲面；(d),锥面。 8,在空间直角坐标系中,曲面的方程是 22442218x xy y x y z ++-++=, 则曲面是( ) (a)椭球面, (b)双曲抛物面, (c)椭球抛物面, (d)双曲柱面. 9,已知平面上两个三角形△ABC 和△DEF,存在几个不同的仿射变换将三角形△ABC 映射为三角形△DEF( ) (a), 1个, (b), 3个, (c), 6个, (d), 无穷多个. 平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =-空间解析几何及向量代数测试题及答案
北京理工大学数学专业解析几何期末试题(MTH17014H0171006)
平面解析几何初步测试题
解析几何期末试卷A参考答案及评分标准.