五阶幻方规律
一、什么叫？
（通俗点说）把一些有规律的数填在纵横格数都相等的正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等。这样的方阵图叫做幻方。
幻方又分为奇数阶幻方和偶数阶幻方。奇数阶幻方是指横行、竖列都是单数（即3、5、7、9……）的方阵图。偶数阶幻方是指横行、竖列都是双数（即4、6、8、10……）的方阵图。
二、奇数阶幻方的填法。
奇数阶幻方中最简便的一种就是，又称“九宫图”。
平常我们遇到这类题都是用分析、分组、尝试的方法推出，这种方法较麻烦，如果是五阶幻方、七阶幻方就更困难了。
有一种方法不仅能很快地填出三阶幻方，还能很快地填出五阶幻方、七阶幻方、九阶幻方……那就是“口诀法”
口诀
“1”坐边中间，斜着把数填；
出边填对面，遇数往下旋；
出角仅一次，转回下格间。
注意：
（1）这里的“1”，是指要填的这一列数中的第一个数。
（2）“1”坐边中间，指第一个数要填在任何一边的正中间的空格里。
（3）从1到2时，必须先向边外斜（比如：第一个数填在上边的正中间，填第二个数时，要向左上方或右上方斜），填后面的数时也要按照同样的方向斜。
例如：五阶幻方就是把1－25二十五个数字填入下面的图形中，使每一行、每一列、每条对角线上的五个数字和都相等。
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。 1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 口诀： 1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样 图一 2、单偶数阶幻方 ()1 2 2＋ ＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例） ①把()1 2 2＋ ＝m n阶的幻方均分成4个同样的小幻方A、B、C、D(如图二) 图二
（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2n a ＝）(如图三) 图三 （因为12＋m 为奇数，所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方） ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调(如图四)： 图四 不管是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时，1＝m ，所以本例中只取了一个数） ④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调。（如图五） 图五 3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法（如图三：以八阶幻方为例） ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方（如图六） 图六
任意奇数阶幻方的罗伯移步法 学习心得 范贤荣2016.2.25 在学习幻方构成时，在网上看到了大多数幻友介绍的罗伯（loubere ）法。读后，我有心得如下： 1、罗伯（loubere ）法的确是最简单的任意奇数阶幻方的构成法。它只要一步一步 地填写就可以了。 2、有人称之为楼梯法。这也非常形象，体现了一步一步斜着向上的填写规律。因 此，我觉得以罗伯楼梯法谓之，倒是一个好办法，既尊敬了罗伯的创造，又形象地体现 了填写规律。但是，楼梯太实用了，就采用了浪漫点的移步二字，编写了本文的题目。 3、罗伯法的填写步骤，非常经典。关于“出格/出框”、“重复/遇阻”的规定，也往往还被其他方法所引用。 4、罗伯法的口诀，对“1 居上行正中央”的这种幻方，是很正确且准确的。但是，不知道这是不是罗伯老师的原话。我现在看到的都是幻友们的介绍。因此，就与幻友们讨 论一下： 这个口诀，只适用于“1 居上行正中央”的这种幻方。或者说“1居上行正中央”的这种幻方，只是罗伯幻方的一种。 罗伯幻方每一阶都有多种。幻方数与阶数相同。 因此，我建议在这口诀下面加一个注：“1 居上行正中央”只是罗伯幻方有代表性的一种。1 还可以在其他点格上。 5、1 还可以在那些点格上呢？ 我们把方阵空格用（X，Y）即（行，列）表示。第一行，第三列表示为（1，3）
那么，各阶数方阵有几个幻方， 1 点在何处，可见下表： 我们还可以形象地用方阵的方式，直观地看到 1 的位置。 5 阶幻方的1 点在幻和为65 的格子内。 方法是： 1）与阶数一样，画出阶数方阵。例如， 5 阶 2）将该阶幻方的幻和填在方阵的“上行正中央”。例如5 阶幻和65。 3）在斜着把幻和，逐行向左移一位，填在各行。如下图 4）再利用罗伯法则，将出格的数移回来。就可以直观地看到 1 在那些点格了。5）顺便说说方阵中的其他数据是什么？从何而来？。这些数据都是一个不等于“幻和”的对角线之和。我是计算出来的，计算完5 阶，我就知道7 阶了。因此，就少画了许多方阵。
用拉伊尔法制造五阶幻方（25宫格） 第一步：构造基方：用1-5填写幻方，使两对角线上分别是12345和33333，而且每横行纵行和均为15，如下 1 4 2 5 3 4 2 5 3 1 2 5 3 1 4 5 3 1 4 2 3 1 4 2 5 第二步：然后构造根方：将基方左右调转过来，每个数都减去1，再乘以5，得到如下 10 20 5 15 0 0 10 20 5 15 15 0 10 20 5 5 15 0 10 20 20 5 15 0 10 第三步：根方和基方每个对应小格中的数相加，得到最后的幻方 11 24 7 20 3 4 12 2 5 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15 即二十五宫格。
数字之迷--九宫格到121宫格之解收藏 从古至今，有多少人研究过九宫格，是无法统计的了，九宫格的魅力深深地吸引着热爱数字的人们。九宫格的基本规则是由1到某个奇数平方数组成的数字矩阵，每行、每列，以及斜向的数字之和全部相等。数字的魅力无穷无尽，静待我们去探索。这篇博文，我只把自己求解出来的九宫格到121宫格结果呈现给大家，希望能给大家一个参考，关于求解的方法，感兴趣的朋友可以与我交流。这里只简单提一下，无论怎么填，至少保证1到某个奇数平方数中中间一段数字放到矩阵的斜向上。 9宫格 8 1 6 3 5 7 4 9 2 横、竖、斜各方向数字之和为15，1到9之和为45。 25宫格 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 横、竖、斜各方向数字之和为65，1到9之和为625。 49宫格 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法 ——对杨辉口诀的讨论 范贤荣2016.3.8 关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出”。按照这个口诀，画出“上下对易，左右相更”之后，形成图1d的图面。因此，必定有一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七，二四為肩，六八為足”的三阶幻方。见图1。 图1 杨辉口诀的画法 可见，杨辉口诀是在利用5×5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出5×5方格的3阶的幻方，如图1e。 图2 菱中取方的画法 现在,我们很多人用的是“取方框”画法。即在5×5的方阵中，取出3×3方框来，如图2b的红框。红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的9，是走到框内的蓝方块中。因此1、9没有“对易”。同样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易，左右相更”了。所以，就不需要“四维挺出”了。因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。 所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成： 各子斜排为菱形，中间取方当作城， 城外有子城内空，四围都往城中进。 挺进多少方可止，几阶就挺几步深。 注1：“四围”就是上下左右四边。“都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。 注2：“几阶就挺几步深”。如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。见图2。
下面，我将2~13各奇数阶，由菱方阵演变成幻方的情况，列于后。 图3 5阶菱方阵与幻方 图4 7阶菱方阵与幻方
图5 9阶菱方阵与幻方 图6 11阶菱方阵与幻方
图7 11阶幻方 图8 13阶菱方阵
图9 13阶幻方
预备： 请你将1——9各数填到这个表格中，使得横行、竖行、斜行的和都是15。 传说公元前二千多年，在洛水里浮起一只大乌龟，它的背上有个奇特的图案，（如图1），后来人们把它称之为洛书，实际上它是由九个数字排成一定的格式（如图2），图中有一个非常有趣的性质：它的横、竖、对角线上的每三个数字之和都是15。许多人产生了这样的问题，图中的九个数字，有没有别的填法？如果把图形变成4×4个方格，是否也可以进行这样的填数游戏？ 【知识要点】 在3×3（三行三列）的正方形方格中，既不重复又不遗漏地填上1～9这九个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个自然数的和均相等，这样的图形叫做三
阶幻方。 如果在44 ??（四行四列）的正方形方格中进行填数，就要不重复，不遗漏地在44方格内填上16个连续自然数，且使每行、每列、每条对角线的四个自然数之和均相等，这样的图形叫四阶幻方。 一般地，在n×n（n行n列）的方格里，既不重复又不遗漏地填上n×n个连续自然数，（注意这些连续自然数不一定非要从1开始），每个数占一个格，且每行、每列、每条对角线上的n个自然数和均相等，我们把这个相等的和叫做幻和，n叫做阶，这样排成的数的图形叫做n阶幻方。 中心方格中这个数叫做这个幻方的中间数。 任意阶数幻方的各行或各列或两条条对角线上所有数的和成为幻和！ 幻方的幻和等于n (n2 +1) ÷2 。 幻和=总和÷阶数 二、幻方的特征： 1、对称性 2、轮换性 三、幻方的种类： 按照纵横各有数字的个数，可以分为： 三阶幻方、四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方…… 按照纵横数字数量奇偶的不同，可以分为： 1、奇数阶幻方 2、偶数阶幻方 （1）单偶数阶幻方，阶数是2的倍数，形如：2n+2 （2）双偶数阶幻方，阶数是4的倍数，形如：2n+4 四、幻方的构造方法 1、杨辉口诀法（仅仅适用于三阶幻方） 早在公元1275年，宋朝的杨辉就对幻方进行了系统的研究。他称这种图为“纵横图”，他提出了一个构造三阶幻方的秘诀：
综合与实践 探寻神奇的幻方 太原第二实验中学白志红 学生起点分析 “探寻神奇的幻方” 是学生初中阶段接触的第一个“综合与实践”，学生此前已完成“有理数及其运算”与“整式及其加减”的学习，部分学生对用1～9填成三阶幻方，在方法上有初步的感性认识.学生的认知条件决定了它主要立足于丰富学生的数学活动经验，帮助学生在问题串引导下综合运用知识解决问题，对解决问题的方法和经验进行反思，从中感受对学生而言，一种全新的以自主探究为特色的学习方式. 教学任务分析 本“综合与实践”以探寻三阶幻方的本质特征为载体，帮助学生感受图形的对称；提高字母表示数的技能和探索规律的能力；体验数形结合的思想.教学时要提供学生充足的探索数量关系并符号化的时间，培养学生言之有据的习惯，发展学生正确使用数学语言进行表达和交流的能力，同时要鼓励学生在探索的过程中多角度尝试，不要以教师的讲解代替学生的思考、讨论；可以组建四人活动小组，每组有一份评分标准（见教师用书），促成学生以良好的情感态度主动参与合作交流；引导学生在独立思考的基础上与同伴进行合作交流； 教学目标 1、借助字母表示数、探索规律揭示几种简单的三阶幻方的本质特征；体验有理数混合运算、字母表示数、探索规律与几种简单的三阶幻方本质特征的内在联系；能够快速对含有具体数字的不完整幻方进行补充，掌握幻方的形成和相等关系的一般性描述. 2、在幻方规律的发现、幻方之间关系的探索过程中，形成初步的研究体验，获得一些发现问题、研究问题的经验，提高能力； 3、借助洛书、杨辉幻方等史料，帮助学生感受祖国文化的博大精深，增强民族自豪感，激发他们将民族瑰宝进一步发扬光大的信心和决心，从幻方对称的图形、美妙的结论中，初步感受数学的美. 教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：课前准备——查阅资料；第二环节：结识幻方；第三环节：研究三阶幻方；第四环节：制作三阶幻方；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业.
幻方常规解法汇总 没法，组合数学还考幻方构造。这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。 奇数阶幻方（罗伯法） 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。填写的方法是： 把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数： 1、每一个数放在前一个数的右上一格； 2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。 例，用该填法获得的5阶幻方： 双偶数阶幻方（对称交换法） 所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与 1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。 双偶数阶幻方的对称交换解法： 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（16，11）（7，10）互换即可。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 以8阶幻方为例： (1) 先把数字按顺序填。然后，按
n是它的阶数，比如上面的幻方是3阶。n/2*(n*n+1)为幻方的变幻常数。数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。这里对于这三类幻方，仅举出一种方便手工填写的方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2*k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样：把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n*n-1个数：(1)、每一个数放在前一个数的右上一格；(2)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；(3)、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；(4)、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；(5)、如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方
方阵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 (2) 每个小方阵对角线上的数字，换成和它互补的数。 单偶阶幻方 n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例。这时，k=2 (1) 把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
偶数阶幻方的一种制作方法－双偶阶、单偶阶幻方 1. 双偶阶幻方（对称交换法） n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即 n×n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。 这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
2. 单偶阶幻方（斯特雷奇Ralph Strachey法） n为偶数，且不能被4整除(n=6，10，14，18，22……) (n=4k+2，k=1，2，3，4，5……) 这是三种里面最复杂的幻方。 以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2 （1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。用楼梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k 格。A象限的其它行则标出最左边的k格。将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这
如何填幻方 幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。在欧洲，直到574年，德国著名画家丢功才绘制出了完整的4阶幻方。 数学上已经证明，对于n>2，n阶幻方都存在。目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，每类又有各种各样的填写方法。 1、奇数阶幻方 n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……) 奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。填写方法是这样： 把1(或最小的数)放在第一行正中；按以下规律排列剩下的n×n-1个数： (1)每一个数放在前一个数的右上一格； (2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； (3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； (4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； (5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同(4)。 这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。 2、双偶阶幻方 n为偶数，且能被4整除(n=4，8，12，16，20……) (n=4k，k=1，2，3，4，5……) 先说明一个定义。互补：如果两个数字的和，等于幻方最大数和最小数的和，即n*n+1，称为互补。 先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写： 这个方阵的对角线，已经用颜色标出。将对角线上的数字，换成与它互补（同色）的数字。这里，n×n+1 = 4×4+1 = 17；把1换成17-1 = 16；把6换成17-6 = 11；把11换成17-11 = 6……换完后就是一个四阶幻方。 也可以保留对角线上的数字不动，而将其它的数换为与它互补的数。 对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k2个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 1 63 6 2 4 5 59 58 8 56 10 11 53 52 14 15 49 48 18 19 45 44 22 23 41 25 39 38 28 29 35 34 32 33 31 30 36 37 27 26 40 24 42 43 21 20 46 47 17 16 50 51 13 12 54 55 9 57 7 6 60 61 3 2 64
精心整理 奇数阶幻方的编排方法 简便易学的编排方法。 一、九子排列法 宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。 这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。 先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我 1 2 3 图1） 4 然后把5 5 1 下面以五阶幻方为例，再介绍一种奇数阶幻方的编排方法。步骤如下： ①先画出一个5×5（五行五列）的方格，在方格的四周画出凸阶梯式的虚线方格（如下图1） ②把1～25这二十五个数按斜行方向从左到右依次填入图中（如上图2）； ③以3、15、23、11四个数为顶点（实际上就是五阶幻方的四个顶点）画出一个正方形； ④把正方形外面凸出的虚线方格中的数按“上移下，下移上；左移右，右移左”的方法，全部平移5格到对应部分的方格中，擦掉虚线格子，就得到一个五阶幻方（见下图）。 这种编排幻方的方法叫“巴舍法”，也叫平移补空法，它和“罗伯法”一样，也适用于一切的奇数阶幻方的编排。 需要提醒大家注意的是，在步骤②中，填写1～25这二十五个数时，可以从左向右上填写，也可以从右向左上填写，或者从上向右下填写，还可以从上向左下填写，其移动后的结果都是一个五阶幻方，同学们可以自己动手试一试。
另外，编排n 阶幻方时，不一定非要从1开始，只要是这些数能构成等差数列就可以了。 练习（一定要完成的哦） 1、使用“罗伯法”将4～12编排一个三阶幻方。 2、用“罗伯法”将21、31、32、41、4 3、61、121、125、12 7编成一个三阶幻方。 3、使用“巴舍法”将1～49编排一个七阶幻方。 双偶数阶幻方的编排方法 一、中心对称交换法 例1、用1～16这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。 【分析与解答】用1至16编排一个四阶幻方，就是把1～16这十六个数填入四行四列的方格 34。 是3412＋16＝40（即2与3，＋14＋16＝58（即8与12例如2又如，9称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。 由例1可以看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下： ①把1～16按顺序排成四阶自然方阵； ②四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数； ③把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。 运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。 例2、用1～64这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。 【分析与解答】编排步骤如下: ①把1至64按顺序填入8×8的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图） ②把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角
数阶幻方的编排方法． 奇数阶幻方的编排方法 简便易学的编排方法。 一、九子排列法 宋朝数学家杨辉在《续古摘奇算法》中，总结“洛书”幻方的编排方法时说：三阶幻方的编排方法是“九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出”。 这四个句子是什么意思呢？我们通过下面的一组图来加以理解。
先画出一个3×3的“九宫格”，并在第二列上、下方和第二行左、右边各添加一个虚线格子，把1～9这九个数字按顺序写在如上图所示的三排斜线上，然后上、下对调，左右交换，（因为我们是在格子上进行排列，就不必再进行“四维挺出”了），最后将虚线格子擦掉就可以了。 利用这种方法我们就很容易得到幻方（一）中例1的图A。但是这种方法有一定的局限性，只能编排三阶幻方，如果要编排5×5，7×7，9×9，……等奇数阶幻方又该怎么办呢？我们继续看第二种方法。 二、罗伯法 请大家注意观察幻方（一）中例1的图H，可以总结出下面的编排方法：
1、在第一行正中央的方格子中填上1； 2、按斜上方向在1的右上角填入2，但出上框了，这时要把2改填在2所在这一列的最下边； 3、按斜上方向在2的右上角填入3，又出右框了，把3改填在3所在这一行的最左边；（上图1） 4、按斜上方向在3的右上角填入4，但与先填入的1重合了，这时就把4改填在3的下面，然后把 5、6依次按斜上方向填入方格内； 5、按斜上方向在6的右上角填入7，但出框的右上角，这时就把7改填在6的下面，（与重合相同）。 重复上面的做法，把8、9依次填入方格中，这样就得到了图2，与左边的图H 完全相同。 这种编排奇数阶幻方的方法叫“罗伯法”。使用“罗伯法”时总是向右上的斜行方向进行编排。编排过程中会出现五种情况：“第一行正中央排什么数？”、“排出上框怎么办？”、“排出右框怎么办？”、“排重复了怎么办？”、“排出右上角怎么办？” 为了便于记忆，我们把罗伯法概括成下面的的几句话： 1居上行正中央，依次斜排莫忘记；上出框时往下写，右出框时左边放；重叠就在下格填，右上出框一个样。 罗伯法不仅可以编排三阶幻方，而且可以编排任何奇数阶幻方。下图就是用罗伯法编排的五阶幻方，请大家在方格子中跟着做一、二次，并逐行、逐列及对角线检验幻和是否正确。 三、巴舍法
幻方（一） 1. 会用罗伯法填奇数阶幻方 2. 了解偶数阶幻方相关知识点 3. 深入学习三阶幻方 一、幻方起源 也叫纵横图，也就是把数字纵横排列成正方形，因此纵横图又叫幻方．幻方起源于我国，古人还为它编撰了一些神话．传说在大禹治水的年代，陕西的洛水经常大肆泛滥，无论怎样祭祀河神都无济于事，每年人们摆好祭品之后，河中都会爬出一只大乌龟，乌龟壳有九大块，横着数是3行，竖着数是3列，每块乌龟壳上都有几个点点，正好凑成1至9的数字，可是谁也弄不清这些小点点是什么意思．一次，大乌龟又从河里爬上来，一个看热闹的小孩惊叫起来：“瞧多有趣啊，这些点点不论横着加、竖着加还是斜着加，结果都等于十五！”于是人们赶紧把十五份祭品献给河神，说来也怪，河水果然从此不再泛滥了．这个神奇的图案叫做“幻方”，由于它有3行3列，所以叫做“三阶幻方”，这个相等的和叫做“幻和”．“洛书”就是幻和为15的三阶幻方．如下图： 98 76 54321 我国北周时期的数学家甄鸾在《算数记遗》里有一段注解：“九宫者，二四为肩，六八为足，左三右七，戴九履一，五居中央．”这段文字说明了九个数字的排列情况，可见幻方在我国历史悠久．三阶幻方又叫做九宫图，九宫图的幻方民间歌谣是这样的：“四海三山八仙洞，九龙五子一枝连；二七六郎赏月半，周围十五月团圆．”幻方的种类还很多，这节课我们将学习认识了解它们． 二、幻方定义 幻方是指横行、竖列、对角线上数的和都相等的数的方阵，具有这一性质的33?的数阵称作三阶幻方，44?的数阵称作四阶幻方，55?的称作五阶幻方……如图为三阶幻方、四阶幻方的标准式样， 9 87654 32 1 13 414151 6 1297 8 105113 2 16 三、解决这幻方常用的方法 ⑴适用于所有奇数阶幻方的填法有罗伯法．口诀是：一居上行正中央，后数依次右上连．上出框时往下填，右出框时往左填．排重便在下格填，右上排重一个样． ⑵适用于三阶幻方的三大法则有： ①求幻和： 所有数的和÷行数（或列数） ②求中心数：我们把幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和÷3． ③角上的数=与它不同行、不同列、不同对角线的两数和÷2． 四、数独 知识点拨 教学目标
三阶幻方的解法 第一种：杨辉法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。 1 2 4 3 5 7 6 8 9 2 9 4 7 5 3 6 1 8 第二种：九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。7在左中，3在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下，正中央5） 第三种：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样 8 1 6 3 5 7 4 9 2 四阶幻方的解法 1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵 2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换 （6，11）（7，10）互换 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 1 5 1 另：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。 五阶幻方的解法：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。 17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 18 25 2 9 （在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行, 所以1的右上方应该是第五行的第四个, 接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右
任意奇数阶幻方的杨辉斜排法 --- 对杨辉口诀的讨论 范贤荣2016.3.8 关于三阶幻方的排法，我国古代数学家杨辉给出了一个巧妙的排法： “九子斜排，上下对易，左右相 更，四维挺出”。按照这个口诀，画出 “上下对易，左右相更”之后，形成图 1d 的图面。因此，必定有 一个“四维挺出”的步骤。最后得到“戴九履一，左三右七，二四爲肩，六八爲足”的三阶幻方。见图 1。 九子斜徘 a 上下对易 即 g 对易 b 左右相更 四錐艇出 巴 d 幻方即磁 - 图1杨辉口诀的画法 可见，杨辉口诀是在利用 5X 5的方格，斜排9个数后，按照他的步骤，仍然是画出 5X 5方格的3阶 的幻方，如图1e 。 图2 菱中取方的画法 现在,我们很多人用的是“取方框”画法 。即在5X 5的方阵中，取出 3X 3方框来，如图2b 的红框。 红框外的1，是走到框内的绿方块中，红框外的 9,是走到框内的蓝方块中。因此 1、9没有“对易”。同 样，3、7也没有“相更”。因此，就没有“上下对易，左右相更”了。所以，就不需要“四维挺出”了。 因此，现在的画法，与原来的口诀不一致了。 所以，我根据作图的次序，将杨辉的口诀，演绎成： 各子斜排为菱形，中间取方当作城， 城外有子城内空，四围都往城中进。 挺进多少方可止，几阶就挺几步深。 注1: “四围”就是上下左右四边。 “都往城中进”，因此是相向而行，都到城中。 注2: “几阶就挺几步深”。如3阶进3步，5阶进5步，7阶进7步……后续亦如此类推。见图 2。 1 斗 1 7 S S 6 9 四團都向坝挺进 九彳網排成羞理 挺进三步幻方成
知识要点 幻方与数表 二、 如果一个n n ?的方阵中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上数的和都相等，那么这个方 阵称为n 阶幻方。 三、 在n 阶幻方中，其每一行、每一列、两条对角线上的数字之和都相等，这个和称为幻和。 对于n 行或者n 列，其和为幻和乘以n ，也等于所有2 n 个数的和；所以，幻和2n S n =个数 。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其幻和为2212(1)2 n n n n ++++= ……； 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方， 其幻和为21234567893(13) 1532 ++++++++?+==。 四、 对于n 阶幻方，当n 分别为奇数或偶数时，幻方有一个明显的不同，即奇数阶幻方有一个中 心方格，而偶数阶幻方则没有；奇数阶幻方这个中心方格上的数称为中心数。 中心数等于幻方中所有2n 个数的平均数，也等于任意一行、一列、一条对角线中n 个数的平 均数，也等于任意两个关于中心对称的空格中的数的平均数；中心数2 2 n S n =个数n =幻和 。 用1、2、……、2n 这2 n 个数构造n 阶幻方，其中心数为212 n +。 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数构造3阶幻方，其中心数为2 1352 +=。 五、 在3阶幻方中，2222a i b h c g d f e ++++==== ，2f h a +=、2d h c +=、2b f g +=、2 b d i +=。 i h g f e d c b a
幻方 【例1】 请将2009、2010、2011、2012、2013、2014、2015、2016、2017这9个自 然数填入图中的空格内，使每行、每列、两条对角线上的3个数之和相等。（只要构造出一种） 一、 若一个n n ?的方阵 1111 n n nn a a a a 是n 阶幻方，则方阵 1111n n nn a b c a b c a b c a b c ?+?+?+?+也是n 阶幻方。 数表 中心数 幻和 三阶幻方的性质 幻方的构造 幻方 幻方与数表 （本讲）
教学设计方案
书的奥秘，请你仔细观察，龟背上有什么奥秘呢？这些图案有什么奇特之处？ 总结：龟背上的图案代表了1~9九个不同的数。 （3）为了方便研究，人们把 这些图案所代表的数填在这张表格中（出示表格）数数这张表格有几格？（9格）我们把这样的表格称为“九宫格”。横着的三格叫“行”，竖着的三格叫“列”，斜着的三格叫做“斜行”，数一数它有几行几列几条斜行？ （4）然后把龟背上图案表示的数按照方位填在相应的格子里。先看中间的图案，可以用数字几来表示？剩下的黑点分别用数字几来表示？剩下的白点分别用数字几来表示？ 2.引入幻方 （1）小丁丁发现这个表格还有更神奇的地方。他想做什么？请你在练习纸上也计算下每行、每列、每斜行上三个数的和。看看能不能发现它的神奇之处。 你发现了什么秘密？ 总结：我们把像这样每行、每列、每斜行上的数之和相等 的方格叫做“幻方”（板书）。今天我们就来研究和是15的幻方。 （2）看来幻方确实很神奇，传说背上有洛书的龟是很幸运的，它向夏禹透露，其实它的每个姐妹背上都有奇怪的符号，但这种符号是按不同的顺学生发现九宫格有三行三 列两条斜行。 学生说，教师演示。 学生独立计算每行、每列、 每斜行上的三数之和。全班 汇报交流，教师板书。 指名汇报：它们的和都是 15。每行、每列、每斜行上 的三数之和相等。 背上的图案表示几 个不同的数，进而在 教师的引导下把龟 背图转变为九宫格。 计算是学习重点，本 环节是通过正确计 算来揭示幻方的第 一个秘密：行、列、 斜行计算三个数的 和都是15。
（二）和全是15，填空 1.这只龟姐妹背上的有些图案 已经看不清了，你能帮它找出 来吗？ 2.看!又来了一只龟爷爷，背上 的图案缺得更多了，请你帮帮 它好吗？ 学生独立完成练习，全班交 流。 学生掌握知识后应 能较好地解答问题， 但如何灵活、快速、 正确地解答也是教 学难点，所以策略的 运用就非常的重要。 他们自己意识到从 哪一步入手解答最 简单，最快、最准确 是关键。 四、拓展延伸 1.刚才表格里的数字都是1~9 九个数字。现在里面填的还是 1~9吗？那么它是幻方吗？请 你计算一下它每行、每列、每 斜行上的三数之和。 总结：幻方看来不局限于1～9， 还可以用其他数，只要每行、 每列、每斜行上的三数之和相 等。 2.不仅数可以换，形式也可以 变，如：4行4列 学生独立计算。全班汇报： 每行、每列、每斜行上的三 数之和都是24，相等。所以 它是幻方。 运用材料，借用数与 形的变换，拓宽视 野，丰富对幻方的认 识。
偶数阶幻方填法 以4阶为例，说说偶数阶的填法： 首先，按顺序写下１６个数： １２３４ ５６７８ ９１０１１１２ １３１４１５１６ 接下来固定对角线上数字不动（这里是１、６、１１、１６和４、７、１０、１３），其它数字作左右对换，如２与３换，５与８换等，得到下面的排列： １３２４ ８６７５ １２１０１１９ １３１５１４１６ 继续固定对角线，其他数字作上下对称变换，如８与１２换，２与１５换等，得到如下排列： １１５１４４ １２６７９ ８１０１１５ １３３２１６ 这就是四阶幻方，每行每列四个数字之和均为３４，其他偶
数阶幻方填法可类推！ 奇数阶幻方——口诀 1坐边中间，斜着把数填； 出边填对面，遇数往下旋； 出角仅一次，转回下格间。
一、奇数阶纪方的构造方法(楼梯法)。 把1(或最小的数)放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n*n-1个数： 1)每一个数放在前一个数的右上一格； 2)如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列； 3)如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行； 4)如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右
列那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5)如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同4)。图示： * 1 * * 1 * * * * * * * * * * * * 2 * 1 * * 1 * 3 * * 3 * * * * 2 4 * 2 * 1 * * 1 6 3 5 * 3 5 * 4 * 2 4 * 2 * 1 6 8 1 6 3 5 7 3 5 7 4 * 2 4 * 2 8 1 6
一、实验目的 理解数组的概念，理解多维数组的定义和使用，掌握数组和循环配合的程序设计方法 二、实验问题描述 幻方就是一个方阵，有着自己的规则和定义。幻方的规则就是它的每一行和每一列的和及两条对角线的和都要相等，每列每行每条对角线的和称之为幻和。幻方中所排的数就是从1开始到N的平方结束。 三、实验问题问题 1，本实验所用的数据结构是二维数组。 2,在1到num的数字中，选择1开始填充魔方，将数字1填入第一行的中间方格中，即（0，（n-1）/2）的位置。向以填充的前一个数字位置（I,j）的左上角（i-1,j-1）填入下一个数字，如果出现以下情况，则修改填充位置： A：若填充位置超出上边界，则修改为下边界的相应位置，即把i-1修改为j-1； B：若填充位置超出左边界，则修改为最右边的相应位置，即把i-1修改为j-1; C：若填充位置已有数字，则填充位置修改为下一行的同一位置。 3，重复以上步骤，直至将num个数字修改为下一行的同一位置。 四、实验结果（程序）及分析 //ex2.cpp:五阶幻方
#include
++j; } a[i][j]=num; } cout<<"五阶幻方阵是:"< 学号 1250901205 学年论文 （2016届本科） 题目：浅谈幻方以及其解法 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 作者姓名：甘天明 指导教师：任天胜职称: 副教授 完成日期： 2014 年 12 月 18 日 浅谈幻方以及其解法 甘天明指导教师：任天胜 (河西学院数学与应用数学专业2016届2班05号甘肃张掖 734000) 摘要多少世纪以来，人们对幻方总是怀着浓厚的兴趣，从古代起幻方就跟某些超自然和魔术的领域相联系。在古代亚洲的城市，人们在考古挖掘中发现了它们。有关幻方的最早纪录，是约于公元前2200年在中国出现的“洛书”，传说这个幻方最初是大禹在黄河岸边的一只神龟的背上看到的。 幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，有一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。幻方起源于我国，并由我国传到全世界，在这漫长的历史中，幻方也得到了广泛的发展和进步。 本文主要分为两部分，第一部分从幻方的历史和发展，幻方问题的研究以及幻方的应用来认识幻方；第二部分主要介绍幻方的解法。 关键字: 幻方；幻和；奇幻方；偶幻方. 1 引言 我国的纵横图通过东南亚国家,印度和阿拉伯传到西方。由于纵横图具有十分奇幻的特性，西方把纵横图叫做 Magic Square，翻译成中文就是“幻方”或“魔方”。在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。 幻方问题是具有悠久历史的复杂排列组合问题。幻方问题的复杂性不仅在于解的多样性随阶数指数递增，而且在于解在可行排列空间中所占的比例随阶数指数递减。 此外，在文章中，简单介绍了幻方在数学、智力开发、科学以及艺术中的应用，我们从多个角度去探寻幻方的历史，发展和在现实生活中的应用，以此来进一步加深对幻方的理解。 在文章第二部分，也介绍了幻方的几种解法，从不同的角度对幻方的解法做了一点讨论与研究。 2预备知识 的方阵中，放入从1开始的2n个定义2.1 幻方，也叫纵横图，就是在n n 自然数，在一定的布局下，其各行、各列和两条对角线上的数字之和正好相等。 定义2.2 幻方的各行、各列和两条对角线上的数字之和相等的和数即为幻和，也叫幻方常数。 定义2.3 奇阶幻方：当幻方中的n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。浅谈幻方以及其解法
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