平面向量板块测试
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(12×5′=60′)
1.下列五个命题:①|a 2|=2a ;②a
b a
b a =?2;③222)(b a b a ?=?;④2222)(b b a a b a +?-=-;
⑤若a ·b =0,则a =0或b =0.
其中正确命题的序号是 ( )
A.①②③
B.①④
C.①③④
D.②⑤
2.若AB =3e ,=-5e 且|AD |=|,则四边形ABCD 是 ( )
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.非等腰梯形 3.将函数y =sin x 按向量a =(1,-1)平移后,所得函数的解析式是 ( ) A.y ′=sin(x ′-1)-1 B.y ′=sin(x ′+1)-1 C.y ′=sin(x ′+1)+1 D.y ′=sin(x ′-1)+1
4.若有点1M (4,3)和2M (2,-1),点M 分有向线段21M M 的比λ=-2,则点M 的坐标为 ( )
A.(0,-35)
B.(6,7)
C.(-2,-3
7
) D.(0,-5) 5.若|a +b |=|a -b |,则向量a 与b 的关系是 ( )
A.a =0或b =0
B.|a |=|b |
C.ab =0
D.以上都不对 6.若|a |=1,|b |=2,|a +b |=7,则a 与b 的夹角θ的余弦值为 ( ) A.-21 B.21 C.3
1
D.以上都不对 7.已知a =31e -42e ,b =(1-n )1e +3n 2e ,若a ∥b 则n 的值为 ( ) A.-
54 B.5
4
C.4
D.2 8.平面上三个非零向量a 、b 、c 两两夹角相等,|a |=1,|b |=3,|c |=7,则|a +b +c |等于
( )
A.11
B.27
C.4
D.11或27 9.等边△ABC 中,边长为2,则·BC 的值为 ( ) A.4 B.-4 C.2 D.-2
10.已知△ABC 中,)(2222444b a c c b a +=++,则∠C 等于 ( ) A.30° B.60° C.45°或135° D.120° 11.将函数y =f (x )cos x 的图象按向量a =(
4
π
,1)平移,得到函数x y 2sin 2=的图象,那么函数f (x )可以是 ( )
A.cos x
B.2cos x
C.sin x
D.2sin x
12.平面直角坐标系中,O 为坐标原点,已知两点A (3,1),B (-1,3),若点C 满足OC =αOA +βOB ,其中α、β∈R ,且α+β=1,则点C 的轨迹方程为 ( )
A.3x +2y -11=0
B.5)2()1(22=-+-y x
C.2x -y =0
D.x +2y -5=0
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(4×4′=16′)
13.已知|a |=3,|b |=5,a ·b =12,则a 在b 上的投影为 .
14.设a =(-4,3),b =(5,2),则2|a 2|-2
1
ab = . 15.已知a =(6,2),b =(-4,2
1
),直线l 过点A (3,-1),且与向量a +2b 垂直,则直线l 的一般式
方程是 .
16.把函数5422+-=x x y 的图象按向量a 平移后,得到22x y =的图象,且a ⊥b ,c =(1,-1),b ·c =4,则b = . 三、解答题(5×12′+14′=74′)
17.若向量a 的始点为A (-2,4),终点为B (2,1).求: (1)向量a 的模.
(2)与a 平行的单位向量的坐标. (3)与a 垂直的单位向量的坐标.
18.设两向量1e 、2e 满足|1e |=2,|2e |=1,1e 、2e 的夹角为60°,若向量2t 1e +72e 与向量1e +t 2e 的夹角为钝角,求实数t 的取值范围.
19.已知向量a =(x 23cos
,x 23sin ),b =(2cos x ,2sin x -),且x ∈[-3π,4
π].
(1)求a ·b 及|a +b |;
(2)若f (x )=a ·b -|a +b |,求f (x )的最大值和最小值.
20.设a=(-1-x)i,b=(1-x)i+y j(x、y∈R,i、j分别是x、y轴正方向上的单位向量),且|a|=|b|.
(1)求点M (x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(4,0)作直线l交曲线C于A、B两点,设OP=OA+OB,求证:四边形OAPB为矩形.
21.已知△ABC的顶点为A(0,0),B(4,8),C(6,-4).M点在线段AB上,且AM=3MB,P点在线段AC上,△APM的面积是△ABC的面积的一半,求点M、P的坐标.
22.如图所示,有两条相交成60°角的直路XX′和YY′,交点是O,甲、乙分别在OX、OY上,起初甲离O点3 km,乙离O点1 km,后来两人同时用4 km/h的速度,甲沿XX′方向,乙沿Y′Y的方向步行.
(1)起初,两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t h后两人的距离.
(3)什么时候两人的距离最短?
第22题图
参考答案
1.B 由向量的数量积的定义即知.
2.C ∵AB ∥CD ,且AD =BC ,AB ≠CD ,故选C.
3.A 点(x ,y )按向量a =(1,-1)平移后的点(x ′,y ′),
∴???-='+='11y y x x 即 ???+'=-'=1
1y y x x
∴y ′+1=sin(x ′-1),即y ′=sin(x ′-1)-1.
4.D 设点M (x ,y ),∴???
????
-=--?-==-?-=521)1(23021224y x
∴点M 的坐标为(0,-5).
5.C 设a =(1x ,1y ),b =(2x ,2y ),由|a +b |=|a -b |,
得221221221221)()()()(y y x x y y x x -+-=+++,即1x 2x +1y 2y =0. 又a ·b =1x 2x +1y 2y ,∴ab =0.
6.B |a +b |2|=α??-+cos ||||2||||22b a b a ,
∴7=1+4-4cos α即cos α=-21,∴a 与b 的夹角θ的余弦值为2
1. 7.A ∵a =(3,-4),b =(1-n ,3n ),∴9n =-4(1-n ),∴n =-5
4
,故选A.
8.D 若两两夹角为0°,则|a +b +c |=|a |+|b |+|c |=11; 若两两夹角为120°,则
|a +b +c 2|=|a 2|+|b 2|+|c 2|+2|a ||b |cos120°+2|b ||c |cos120°+2|a ||c |cos120° =1+9+49+2×(-
2
1
)×(1×3+3×7+1×7)=28,|a +b +c |=27. 9.D AB ·=22·cos120°=-2.故选D. 10.C 由)(2222444b a c c b a +=++, 得2222222)(b a c b a =-+,
∴222c b a -+=±2ab =2abc cos C ,∴cos C =±
2
2
,∴C =45°或135°. 11.D 由平移公式,应有x x f x cos )(1)4
(sin 22=-π+.
即 x x f x x cos )(2sin )2
2cos(==π+-,∴f (x )=2sin x . 12.D 设C (x ,y ),∵OC =αOA +βOB ,
∴(x ,y )=α(3,1)+β(-1,3)=(3α,α)+(-β,3β)=(3α-β,α+3β).
∴?
??β+α=β-α=33y x 又∵α+β=1,∴x +2y -5=0.
13.
512 ∵a ·b =|a |·|b |·cos θ,∴a 在b 上的投影为5
12. 14.57 2|a 2|-21·a ·b =2(16+9)- 2
1
(-20+6)=50+7=57.
15.2x -3y -9=0 设l 的一个方向向量为(m ,n ).a +2b =(-2,3),直线l 与向量a +2b 垂直,即-2m +3n =0,直线l 的斜率k =
32=m n ,直线l 的方程为y +1=3
2
(x -3),即2x -3y -9=0. 16.(3,-1) 22)1(23542-=-+-=x y x x y , ∴a =(-1,-3),
设b =(0x ,0y ),则???-==????=-=--13
4030
00000y x y x y x .
17.解 (1)a =AB =(2,1)-(-2,4)=(4,-3),∴|a |=5)3(422=-+. (2)与a 平行的单位向量是±
||a a
=±51(4,-3)=(54,-53)或(-54,5
3). (3)设与a 垂直的单位向量是e =(m ,n ),则a ·e =4m -3n =0,∴4
3
=n m . 又∵|e |=1,∴122=+n m .解得m =53,n =54或m =-53,n =-5
4. ∴e =(
53,54)或(-53,-5
4
). 18.解 21e =4,2
2e =1,21e e ?=2×1×cos60°=1,
∴(2t 1e +72e )·(1e +t 2e )=2t 21e +(22t +7) 1e ·2e +7t 22e =22t +15t +7.
∴22t +15t +7<0,∴-7 2 1 . 设2t 1e +72e =λ(1e +t 2e )(λ<0)?? ??λ=λ=t t 72 ?22t =7?t =-214 , ∴λ=-14. ∴当t =-2 14 时,2t 1e +72e 与1e +2e 的夹角为π, ∴t 的取值范围是(-7,-214)∪(-214,-21 ). 19.解 (1)a ·b =cos 23x cos 2x -sin 23x sin 2 x =cos2x . |a |=|b |=1,设a 与b 的夹角为θ, 则cos θ=x x b a b a 2cos 1 12cos ||||=?=?. ∴|a +b 2|=2a +2a ·b +2b =1+2×1×1·cos2x +1=2+2cos2x =4x 2cos cos2x , 又x ∈[- 3π,4 π ],cos x >0,∴||b a +=2cos x . (2)f (x )=cos2x -2cos x =22 3)2 1(cos 21cos 2cos 22--=--x x x . ∵x ∈[- 3π,4π],∴21 ≤cos x ≤1. ∴当cos x =21时,f (x )取得最小值-2 3 ;当cos x =1时,f (x )取最大值-1. 20.(1)解 由已知|a |=|b |,即222)1()1(y x x +-=--, 整理得 x y 42= ① (2)证明 由已知只需证⊥即可,即证·=0. 设A (1x ,1y ),B (2x ,2y ), 当l ⊥x 轴时,A (4,4),B (4,-4),∴1x 2x +1y 2y =0,即⊥. 当l 不与x 轴垂直时,设l 的斜率为k ,l 的方程为y =k (x -4)(k ≠0), ② 将②代入①得016)48(2222=++-k k x x k . ∴2214 8k x x + =+,1x 2x =16. 1y 2y =16]16)4 8(416[)4)(4(2 2212-=++ -=--k k x x k . ∴1x 2x +1y 2y =0,∴⊥.故得证. 21.解 如图,M 分AB 的比λ=3,则M 的坐标为??? ????=+?+==+?+=63183033 1430M M y x 由 2 1=??ABC AMP S S ,得21sin 2 1sin 21 =????A AC AB A AP AM . 又∵ 4 3 =AB AM ,∴ 32=AC AP . ∴1 2=PC AP ,即P 分AC 所成的比λ=2. ??? ??? ?-=+-?+==+?+=3821)4(20421620P P y x 则M (3,6),P (4,- 3 8 )为所求. 22.解 (1)设甲、乙两人起初的位置是A 、B , 则由余弦定理???-+=60cos 2222OB OA OB OA AB =2213+-2×3×1×2 1 =7. 所以甲、乙两人的距离是AB =7km. (2)设甲、乙两人t h 后的位置分别是P 、Q ,则AP =4t ,BQ =4t . 当0≤t ≤4 3 时,由余弦定理得??+?--++-=60cos )41()43(2)41()43(222t t t t PQ , 当t > 4 3 时,??+?--++-=120cos )41()34(2)41()34(222t t t t PQ . 注意到上面两式实际上是统一的,所以 ,72448)3816()1816()92416(22222+-=--+++++-=t t t t t t t PQ 即PQ =724482+-t t . (3)∵4)41(482+-=t PO ,∴当t =4 1 时,PQ 的最小值是2.即在第15 min 末PQ 最短. 第21题图解 P 第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线 段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值. 平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4) 高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。2021年高中数学-平面向量专题
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