第一章随机变量基础
1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？
答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
2 全概率公式的含义？
答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。
3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？
答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。
4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？
答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。
5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量？
答：均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。
6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系？
答：随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征（即变量特性），还增加了变量取每个值的可能性大小的描述（即概率特性）。因此，描述或刻画一个随机变量时，还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。
第二章随机过程的基本概念
1 什么是随机现象？
答：对于某个客观对象，在观测前能知道其可能的结果，但不能明确知道是可能结果中的哪一个，那么该客观对象称为随机现象。
2 如何理解随机过程？
答：一个理解：随机过程是一组样本函数的集合；根据这个理解，可用试验的方法研究随机过程，通过随机试验观测其各个样本函数，观测次数越多，所得样本函数的数目越多，就越能掌握该随机过程的统计规律。另一个理解：随机过程可看作是一簇随时间变化的随机变量的集合；随机过程可视为多维随机变量的推广，时间分割越细，多维随机变量的维数越大，对随机过程的统计描述也就越全面，因此，概率论中多维随机变量的理论也可作为随机过程分析的理论基础。
3 为什么完全描述一个随机过程需要用概率函数族？
答：随机过程是一簇随时间变化的随机变量的集合，对于每一个固定时刻，它们都是随机变量，可以用概率函数来描述。这些不同时刻的随机变量是相互联系的，要描述它们间的各阶关联特性就必须用各阶概率函数。因此，完全描述一个随机过程必须用概率函数族。
4 可用哪些数字特征部分描述随机过程？
答：均值函数、自相关函数、互相关函数、功率谱密度等。
5 如何理解随机过程的自相关函数？
答：两个随机变量的相关矩定义为两个随机变量乘积的统计均值，利用相关矩可以描述这两个随机变量的相对相关性，因此，随机过程的自相关函数可以描述该过程不同时刻所对应随机变量间的相对相关性。 6严格平稳随机过程的最基本的特征是什么？
答：时间起点的平移不会影响随机过程的统计特性，即()X t 与0()X t t +具有相同的统计特性。 7严格平稳随机过程与广义平稳随机过程有什么联系？
答：严格平稳随机过程必定是广义平稳随机过程，但广义平稳随机过程不一定是严格平稳随机过程。 8单位电阻两端的噪声电压是平稳随机过程()X t ，请问均值()X m t 和方差2()X t σ有什么物理意义？ 答：均值()X m t 是一个常数X m ，代表噪声电压中直流分量；()X X t m -代表噪声电压的交流分量，
2[()]1X X t m -代表消耗在单位电阻上瞬时交流功率，而方差22(){[()()]}X X t E X t m t σ=-表示消
耗在单位电阻上瞬时交流功率的统计平均值,
21X m 表示消耗在单位电阻上的直流功率；所以2[()]E X t 22()()X X t m t σ=+表示消耗在单位电阻上的总的平均功率。
9为什么说相关理论是很重要的？
答：因为在许多工程技术问题中，一、二阶矩能给出有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，例如，如果随机过程()X t 代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给出直流分量、交流分量、平均功率及功率在频域上的分布(将在后面讨论功率谱密度)等；另外，在电子系统中经常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定。
10 为什么随机过程的频域表示不能直接采用其傅立叶变换，而要采用功率谱密度的概念？
答：随机过程的样本函数一般不满足傅里叶变换的绝对可积条件，而且，样本函数往往并不具有确定的形状，因此不能直接对随机过程进行傅立叶变换，但随机过程各个样本函数的平均功率总是有限的，可以利用推广的频谱分析法，引入功率谱的概念。
11 如何理解随机过程的功率谱密度？
答：功率谱密度从统计意义上描述了随机过程的样本函数的功率在频率域上的分布，它是描述随机过程常用的一个指标，与自相关函数的描述是等价的。特别对于平稳随机过程而言，功率谱密度就是自相关函数的傅立叶变换。
12 作为随机过程的主要数字特征，功率谱密度有什么不足的地方？
答：功率谱密度仅表示随机过程的平均功率在频域上的分布情况，不包含随机过程的相位信息。
13 为什么实际中可以根据观测到的一个样本函数估计随机过程的均值、方差和相关函数等数字特征？
答：因为实际研究中的大多数平稳随机过程一般都是各态历经过程，其时间平均趋于一个常数，即各个样本函数的时间平均可以认为是相同的，因此随机过程的均值可以用它的任意的一条样本函数的时间均值来代替。同样，相关函数亦可以用任意的一条样本函数的时间相关函数来代替；或者说各态历经随机过程一个样本函数经历了随机过程所有可能的状态，所以可以通过对一条样本函数的观测，就可估计出随机过程均值、方差和相关函数等数字特征。
第三章 随机过程的线性变换
1 随机过程通过线性系统有哪几种分析方法？它们有什么区别？
答：随机过程通过线性系统一般有三种分析方法，它们是微分方程法、冲激响应法和频谱法；冲激响应法是随机过程通过线性系统分析的基本方法，对于平稳和非平稳过程都是适用的，而频谱法只适用于平稳随机过程的情况。
2 什么是随机过程的线性变换？它有什么性质？
答： 随机过程通过一个线性系统的输出仍是随机过程，输出的随机过程可以看作是输入随机过程的一个线性变换。对于线性变换，输出的k 阶矩可以由输入的相应阶矩来确定。
3 随机过程的线性时不变变换有什么性质？
答：随机过程通过线性时不变系统后，输出随机过程是输入随机过程的线性时不变变换。对于线性时不变变换，如果输入随机过程严格平稳，则输出随机过程也是严格平稳的；如果输入随机过程是广义平稳的，输出随机过程也是广义平稳的。
4 可导平稳随机过程和它的导数之间有什么关系？
答：可导的平稳随机过程 和它的导数过程在同一时刻是正交和不相关的，如果随机过程服从正态分布，则它们还是相互独立的。
5 什么是两个平稳随机过程的正交、不相关、相互独立？
答：对于任意时刻，如果两个随机过程的互相关函数为零，则称这两个随机过程是相互正交的；如果两个随机过程的互协方差函数为零，则称这两个随机过程是不相关的；如果两个随机过程的二维联合分布等于这两个随机过程的分布函数的乘积，则称它们是相互独立的。很容易证明，若两个随机过程是相互独立的，则它们一定是不相关的，但反之却不成立。
6 均方收敛和通常的数列收敛有何不同？
答：均方收敛描述的通常是一族数列（随机变量序列）的收敛，由于随机变量序列具有概率特性，故最后收敛到一个随机变量；而通常的数列收敛到某一个确定的值。
7 随机过程的均方连续、导数、积分与通常函数的连续、导数、积分有何不同？
答：随机过程的均方连续、导数、积分描述的通常是一族函数的收敛，由于这一族函数具有概率特性，最后导数过程和积分过程一般也是随机过程；而连续是指这一族函数在某个时间点0t 趋向于一个随机变量0()X t 。
8
随机过程通过线性系统的卷积积分表示与确定性信号通过线性系统的卷积积分表示有何不同？ 答：随机过程通过线性系统的卷积积分表示的是一族确定性通过线性的响应。
9 什么过程是白噪声过程？ 答：如果随机过程X(t)的均值为零，自相关函数为
)()(),(21121t t t V t t R X -=δ
则称X(t)为白噪声，且如果2/)(01N t V =为常数，则X(t)是平稳白噪声，这时，它的功率谱密度为
2)(0
N G X =
ω 即平稳白噪声的功率谱在整个频率轴上的分布是均匀的，因为在光学里，白光的频谱包含了所有的可见光，具有均匀的光谱，因此，具有上述特性的随机过程称为白噪声过程。
10 为什么说白噪声过程是一种理想化的数学模型？实际中有何作用？
答：从时域看，白噪声在任意两个相邻时刻的状态是不相关的，即随时间的起伏变化极快；从频率看，白噪声的平均功率是无限的；这在实际中是不存在的，因此白噪声是一种理想化的数学模型。实际中，如果噪声的功率谱密度在所关心的频带内是均匀的或变化较小，就可以把它近似看作白噪声来处理，这样可以
使问题得到简化，例如在电子设备中，器件的热噪声与散弹噪声起伏都非常快，具有极宽的功率谱，可以认为是白噪声。
11 什么是限带随机过程，有哪几类限带过程？
答：若随即过程在一个有限的频带内具有非零的功率谱，而在频带之外功率谱为零，则称其为限带随机过程。典型的限带过程有低通随机过程和带通随机过程。
12 为什么最佳线性滤波器可使输出的信噪比得到提高？
答：从滤波器的幅频特性可以看出，最佳线性滤波器幅频特性与信号频谱的幅度成正比，与噪声的功率谱密度成反比；对于某个频率点，信号越强，该频率点的加权系数越大，噪声越强，加权越小，可见，最佳线性滤波器的幅频特性有抑制噪声的作用；最佳线性滤波器的相频特性由两项组成，第一项与信号的相频特性反相，第二项与频率成线性关系，滤波器的相频特性argH(ω)起到了抵消输入信号相角argS(ω)的作用，并且使输出信号s0(t)的全部频率分量的相位在t=t0时刻相同，达到了相位相同、幅度相加的目的。而噪声是平稳随机过程，各频率分量的相位是随机的，argH(ω)不影响噪声的功率，也就是说，滤波器对信号的各频率分量起到的是幅度同相相加的作用，而对噪声的各频率分量起到的是功率相加的作用；综合而言，输出信噪比得到了提高。
13 什么是匹配滤波器？
答：匹配滤波器是在白噪声环境下以输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。
第四章随机过程的非线性变换
1 什么是无惰性系统和惰性元件？
答：无惰性系统指的是系统当前时刻的输出只与系统当前时刻的输入有关，与其他时刻的输入无关。像电感器和电容器这样的元件就是惰性元件。
2 何为非线性变换？
答：非线性变换就是输入与输出之间的变换关系不具有线性性。非线性系统不满足迭加性原理。
3 实际工程中常见的系统中，有哪些系统是非线性系统？
答：非线性系统如：检波器、变频器、限幅器、鉴频器。
4 非线性系统是不是都不具有时不变性？
答：否。
5 随机过程通过非线性系统有哪几种常用的分析方法？
答：非线性变换的直接分析法、非线性系统分析的变换法（主要是Price 定理）、非线性系统分析的级数展开法。
6 在有些系统中，传输函数h(x)并不绝对可积，这时怎么办？
答：当传输函数不可积的时候，我们就先求h(x)的拉普拉斯变换，然后再取极限情况s=jw。
7 Price定理是不是都适用?
答：不是，Price 定理虽然很方便，但这种方法也有局限性，它要求输入过程是正态随机过程，其次，非线性系统特性y=h(x)在经过几次求导后能得到delta函数。
8 对于非线性系统，输入随机过程是严格平稳的随机过程，则可推断出输出随机过程具有什么特性？
答：如果输入随机过程是严平稳的，则输出随机过程必然是广义平稳过程。
第五章窄带随机过程
1 什么是窄带随机过程？
答：如果一个随机信号的功率谱集中在某一中心频率附近的一个很小的频带内，且带宽远小于中心频率，这样的随机信号称为窄带随机信号。很明显窄带随机信号是限带随机过程。
2 为什么说窄带随机过程是电子系统中常见的随机过程？
答：在电子系统中，通常都有高频或中频放大器，它们的通频带往往远小于中心频率，这样的窄带系统有很多，宽带噪声(例如白噪声)通过窄带系统，其输出就是窄带随机过程，所以说窄带随机过程是电子系统中常见的随机过程。
3 窄带随机过程分析的主要数学工具是什么？
答：希尔伯特变换。
4 为什么说希尔伯特变换器是一个全通网络？
答：希尔伯特变换器的幅频特性在整个频域上具有恒为1，所以它是一个全通网络。
5 为什么说希尔伯特变换器是一个正交滤波器？
答：希尔伯特变换器的相频特性为
???<>-=02/02/)(ωπωπω? 即在相位上则引入
2π-和2π的相移，因此，希尔伯特变换器可以看作为一个2π的理想移相器(或正交滤波
器)。 6 为什么需要分析窄带正态随机过程的包络分布和相位分布？
答：信号处理中，有用信号通常都是调制在载波的幅度或相位上，要提取这些有用信号，通常需要包络检波器和鉴相器检测出信号的包络和相位，而检测前噪声通常都是窄带正态随机过程，为了获得最佳的检测效果，所以需要分析窄带正态随机过程包络和相位的分布；此外，电子系统所接收的信号中除了噪声外通常还包含回波信号，分析信号加噪声包络和相位的分布对于有效地检测信号也是十分重要的。
7 窄带正态随机过程有哪些重要性质？
答：窄带正态过程的包络一维分布服从瑞利分布，相位一维分布服从均匀分布，且在同一时刻是相互独立的；窄带正态噪声加正弦信号的包络一维分布服从广义瑞利分布，也叫莱斯分布。
8 为什么平方律滤波器分析很重要？
答：在无线电系统中，平方律检波器的应用十分广泛，例如对小信号的检波一般都采用平方律检波；在统计理论上的分析比包络检波器简单，而且实践证明这两种检波器的性能差别甚小，因此在处理检波问题中常根据平方律检波的假设进行分析。
第六章 马尔科夫过程与泊松过程
1．什么是马尔可夫性？ 答：马尔可夫性就是指当前时刻的值与过去时刻的值无关。
2．马尔可夫过程的分类？
答：按照状态和时间参数是离散还是连续，可分为：
１ 时间离散、状态离散的马尔可夫过程被称为马尔可夫链。
２ 时间连续、状态离散的马尔可夫过程被称为纯不连续马尔可夫过程。
３ 时间离散、状态连续的马尔可夫过程被称为马尔可夫过程。
４ 时间连续、状态连续的马尔可夫过程被称为连续马尔可夫过程。
3．马尔科夫过程具有什么样的特性？
答：一阶记忆特性，实际就是带参变量的随机变量间的关联特性，该特性使马尔科夫过程可以由二阶概率函数完全刻画。
4．马尔可夫链也有平稳之说吗？
答：对，如果齐次链中所有状态的概率分布列相同，则称此齐次链是平稳的。
5．在随机信号处理中，到达与相通的共有性质？
答：到达具有传递性。相通具有传递性。
6．闭集的概念？
答：设C为状态空间的一个子集，如果从C内的任何一个状态a_i不能到达C以外的任何状态，则称C
为闭集。
7．何为吸收态？
答：若一个闭集只包含一个状态，则称此闭集为吸收态。
8．是不是所有的状态都是非常返态？
答：不是，对于一个非常返态，在过程中访问它的次数是有限的，对于一个状态个数是有限的马尔可夫链，不是所有的状态都是非常返态，或者说有限状态的马尔可夫链至少有一个状态是常返态。
9．马尔可夫链的遍历性？
答：如果齐次马尔可夫链中，对于一切ｉ与ｊ，存在不依赖ｉ的极限，则称该链具有遍历性。
10．什么是齐次马尔可夫链？
答：如果马尔可夫链的转移函数P_ij(s,n)只取决于差值ｎ－ｓ，而与ｎ，ｓ本身的值无关，则称为马尔可夫链。
11．怎样描述齐次马尔可夫链有限维概率函数？
答：齐次马尔可夫链的状态概率由初始概率和一步转移概率决定，故利用初始分布和一步转移概率矩阵就能完整的描述齐次马尔可夫链的统计特性。
12．到达与相通的性质总结？
答：对于质点的随机游动，所有状态只要不带吸收状态，它与自己相邻的非吸收状态都是相通的，这样，在不带吸收壁的随机游动中，所有状态都是相通的。而在带有吸收壁的随机游动中，除吸收状态外，其他状态也都是相通的。
13．独立增量的特点是什么？
答：独立增量过程的特点是：在任一时间间隔上过程状态的改变，不影响将来任一时间间隔上过程状态的改变。
14 侯振挺老师是如何理解条件期望和Markov性的？
侯振挺老师毕业于唐山铁道学院，最初学的是桥梁专业。由于他一直对数学有兴趣，所以他就自学数学。大学三四年级的时候，他买了Я.辛钦写的一本小书《公共事业中的数学》（名称我记不全了）。当时他看到书中有一个问题，后来用自己的方法证明了该问题并且发表在《中国科学》上。但是毕业后他被分配到长沙铁道学院，从事教学。大学不是正规的数学系毕业，工作单位又是工科学校，其学习数学的环境可想而知。所以他只能继续自学数学。但他后来的成就却非常大，有兴趣的朋友可以到网上艘一下。
这里我想说的是侯老师的直观能力。他的直观能力是概率界公认的。
对于随机变量的条件期望，他是这样解释的：“什么是条件期望？好比长沙铁道学院刚建校，学校处在几个小山之间，地面不平整。为了建房子，先平整土地。如果把地面先画成小块儿，在每个小块儿上平整，但不许把小块儿中的土挪走，这样就得到了局部的平整。如果再次画出更大的片，再局部平整就会得到稍大的平整。最后把铁道学院整个画成一片，就得到了一个完好的校园。实际上，条件期望就是…画分区域?，然后局部平均。如果整个区域只有一个，那么得到的就是平均，也就是随机变量的数学期望”。我曾经在1991年暑假的时候，听过王梓坤先生讲条件期望，他说他曾经问A.N.Kolmogorov是怎样提出条件期的，Kolmogorov本人也回答不清楚。我觉得这是对于条件期望最好的解释。
对于Markov过程，侯老师是这样解释的：“什么是Markov性？好比舞蹈学校去挑学员，看到一个小女孩儿，觉得小女孩儿基础不错，但将来女孩长大了，体形会怎样？把她妈妈找来，女孩将来的体形和她妈妈的现在的体形差不多，根据她妈妈的体形，大致可以推断女孩将来的体形。那么，有没有必要去找女孩的姥姥呢？没必要。女孩好比是…将来?，妈妈好比是…现在?，姥姥好比是…过去?，那么这个例子说明，推断将来，只需要…现在?的信息，而与…过去?没有什么关系。也就是说，在已知…现在?的条件下，…将来?与过去独立。这就是Markov性。具有这样的性质的随机过程，就称为Markov过程”。
第七章估计理论
1 本章学习的估计的方法有哪些？它们有什么应用条件？
答：本章主要学习了贝叶斯估计、线性最小均方估计和最大似然估计，这三种估计方法是要求大家熟练掌握的；最后还介绍了一下最小二乘估计和维纳滤波器。
贝叶斯估计学习了三种：最小均方估计，条件中位数估计，最大后验概率估计。这几种贝叶斯估计方法都需要知道被估计量的先验概率密度。
线性最小均方估计需要知道被估计量的一、二阶矩。
最大似然估计需要知道似然函数，它适用于未知确定量的估计。
最小二乘估计对待估计量的统计特性没有任何假定，应用十分广泛。
2 什么是有效估计量？
答：无偏估计量中，估计方差最小即估计方差达到了CRLB下限的估计量，称为有效估计量。
3 参量估计与波形估计有何不同之处？
答：参量估计的被估计量不随时间而变化，也称为静态估计；而波形估计的被估计量是随时间变化的，也称为动态估计。
4 波形估计有几种主要类型？
答：滤波、预测（外推）、平滑（插值）。
5 波形估计最常用的准则是什么？为什么？
答：原则上，参数估计的估计准则都可以用于波形估计中，但实际中通常采用线性最小均方准则，因为实现相对简单或者说易于实现。
6 构造一个估计问题包括哪些基本要素？
答：构造一个估计问题的基本要素包括：
(1)参数空间：这是被估计量的取值空间，对于单参数，参数空间是一维空间，对于多参数，参数空间是一个多维空间，这时对应的是多参量的同时估计；
(2)概率传递机制：由于噪声的存在使得观测数据出现随机性，f(z;θ)（当θ为随机变量时为条件概率密度f(z|θ)）反映了这种概率传递作用，也就是说，观测数据的产生是受到概率密度的控制；
(3)观测空间：是所有观测值构成的空间，对于单次测量，观测空间是一维的，对于多次测量，观测空间是多维空间；
(4)估计准则：在得到观测数据后，要根据观测z确定估计，这个估计是观测的函数，记为?()z θ，估
计准则就是确定估计的规则；
(5)估计空间：估计不是唯一的，不同的估计方法可以得到不同的估计，所有估计构成的空间称为估计空间。
7 检测与滤波有何区别与联系？
答：检测是根据被噪声淹没的接收信号判断发送信号是几种可能信号中的哪一种信号；而滤波是将接收信号送入滤波器，从而恢复原信号。检测往往可通过滤波的方式来实现。
第八章检测理论
1．检测问题的举例?
答：例如在雷达检测目标是否存在的时候，就必须通过一系列的信号处理和运算过程，从杂波中提取有用的信息，来判定目标是否存在，以及目标的一些特性。
2．检测的方法？
答：检测的方法就是通过处理得到一判决门限值，通过与门限值的比较来判定最终结果。
3．判决的一些准则？
答：根据需要，判决可以选用贝叶斯准则、最小错误概率准则、极大极小准则、纽曼－皮尔逊准则。4．极大极小准则的适用范围？
答：当先验概率未知的时候，就可以采用极大极小准则。
5．在代价因子和先验概率都没有的情况下，怎么办？
答：在这种情况下，我们就采用纽曼-皮尔逊准则。这一准则是在约束虚警概率恒定的情况下使漏警概率最小。
6．蒙特卡罗仿真的基本原理？
答：蒙特卡罗仿真的基本原理就是通过大量的试验，分析其分布特性，来近似求解数学问题或物理问题。观测向量？
答：观测是单次的，也可能是多次观测，对于多次观测，可以用观测矢量来表示。
所有的观测值构成的空间称为观测空间。
7．何为虚警？
答：当H０为真，判H1成立，则为虚警。即没有目标的情况下，判决有目标。
8．何为漏警？
答：当H1为真，判H０成立，则为漏警。
9．漏警和检测概率之间的关系？
答：漏警和检测概率之和为1。
10．最大后验概率和最小错误概率准则的关系？
答：当采用贝叶斯准则时，若判断错误的代价为１，判决正确的代价为０，则最大后验概率准则就等价于最小错误概率准则。
11．课本240页的程序中的函数chi2pdf要自己来编写吗？
答：不需要，有些函数是matlab自身带有的。
12．在课本244-245页中的例子中，虚警概率很高，是不是有错误啊？
答：没有错误，这是因为单次观测造成的，为了降低虚警概率，提高检测概率，采用多次观测是很好的方法。
13．什么是广义似然比？
答：广义似然比也是一种似然比检验，只不过未知参数采用最大似然估计来替代。
实验课之前需要做些什么准备？
问：每次实验感觉时间紧张，做不完规定的实验内容，实验前我们应该做些什么准备？
答：我们的实验内容是对所学内容的综合运用和实践能力的训练，不仅需要对课程的内容有深入的理解，还需要具备一定的MATLAB的编程能力，因此，实验前需要认真做好准备。实验前的准备工作包括如下几个方面：
（1）仔细阅读实验指导书，深入理解实验目的、实验内容、实验原理方法和实验要求；
（2）仔细阅读实验原理和方法，了解随机数的产生方法、随机过程的特征估计原理和方法，了解相关函数和功率谱估计的原理和方法。
（3）初步掌握MATLAB的编程方法，重点掌握各类分布的随机数产生、均值、方差、功率谱估计的MATLAB 函数及其用法，掌握各类图形函数的使用方法。
（4）根据实验内容，提前编写程序，应该在实验前完成了所有程序的编程，在实验课中，只需要对程序进一步完善，并且在老师的指导下对实验参数进行修改，比较实验结果。
（5）要草拟一份实验报告的初稿，然后在实验中再完善报告中的一些实验结果。
总之，实验前的准备工作是实验达到预期目的的关键环节，请同学们高度重视。
第 一 章 1.1不考 条件部分不考 △雅柯比变换 （随机变量函数的变换 P34） △随机变量之间的“不相关、正交、独立” P51 （各自定义、相关系数定义 相互关系：两个随机变量相互独立必定互不相关，反之不一定成立 正交与不相关、独立没有明显关系 结合高斯情况） △随机变量的特征函数及基本性质 （一维的 P53 n 维的 P58） △ 多维高斯随机变量的概率密度和特征函数的矩阵形式、三点性质 P61 ( )()() () ( ) ()()2 2 1 () 2112 2 22 11 ,,exp 2 2exp ,,exp 22T T x m X X X X X n n X T T jU X X X X X n X M X M f x f x x U U u Q u j m Q u u E e jM U σπσμ---?? --??= = -????? ? ?? ?? ?? ??=-==- ?? ??? ????? ?? C C C u u r u u r u u r u u r u u r u u r L u r u r u u r u r L 另外一些性质： []()20XY XY X Y X C R m m D X E X m ??=-=-≥??
第二章 随机过程的时域分析 1、随机过程的定义 从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ?→→∞的推广 2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？ 3、随机过程的概率密度P7 4、特征函数P81。（连续、离散） 一维概率密度、一维特征函数 二元函数 4、随机过程的期望、方差、自相关函数。（连续、离散） 5、严平稳、宽平稳的定义 P83 6、平稳随机过程自相关函数的性质： 0点值，偶函数，周期函数（周期分量），均值 7、自相关系数、相关时间的定义 P88 2 2 2() ()()()()(0)()X X X X X X X X X X C R m R R R R τττρτσ σ--∞= = -∞= 非周期 相关时间用此定义（00()d τρττ∞ =?） 8、两个随机过程之间的“正交”、“不相关”、“独立”。 （P92 同一时刻、不同时刻） 9、两个随机过程联合平稳的要求、性质。P92
第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X，分布函数F(x)P(X x) 离散型随机变量X的概率分布用分布列p k P(X x)分布函数F(x)p k k 连续型随机变量X的概率分布用概率密度f(x)分布函数 x F(x)f(t)dt 2．n维随机变量X(X1,X2,,X n) 其联合分布函数()(1,x,,x n)P(X x,X x,,X n x n,) F x F x 21122 离散型联合分布列连续型联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X E X x k p连续型随机变量X EX xf(x)dx k 方差：2() 2 2 DX E(X EX)EX EX反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量X,Y）：B XY E[(X EX)(Y EY)]E(XY)EX EY 相关系数（两个随机变量X,Y）： B XY XY若0，则称X,Y不相关。 DX DY 独立不相关0 itX ４．特征函数g(t)E(e)离散g(t)e连续g(t)e f x dx itx p itx() k k 重要性质：g(0)1，g(t)1，g(t)g(t)，k i k EX g(0) k ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布P(X1)p,P(X0)q EX p DX pq 二项分布k k n k P(X k)C n p q EX np DX n p q k 泊松分布P(X k)e EX DX均匀分布略 k!
2正态分布N(a,) 2 (x a) 1 2 f(x)e EX a 2 2 D X2
指数分布f(x) e 0, x1 ,x0 EX x0 DX 1 2 ６．Ｎ维正态随机变量(X1,X,,X n) X的联合概率密度X~N(a,B) 2 f( 11 T1 x1,x,,x)exp{(x a)B(x a)} 2n n1 2 22 (2)|B| a(a1,a2,,a n)，x(x1,x2,,x n)，B(b ij)n n正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设 (,P)是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t T，都有一个随机变量X与之对应， 则称随机变量族X(t,e),t T是(,P)上的随机过程。简记为X(t),t T。 含义：随机过程是随机现象的变化过程，用一族随机变量才能刻画出这种随机现象的全部统计规 律性。另一方面，它是某种随机实验的结果，而实验出现的样本函数是随机的。 当 t固定时，X(t,e)是随机变量。当e固定时，X(t,e)时普通函数，称为随机过程的一个样本 函数或轨道。 分类：根据参数集T和状态空间I是否可列，分四类。也可以根据X(t)之间的概率关系分类，如独立增量过程，马尔可夫过程，平稳 过程等 。 ２．随机过程的分布律和数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程的统计规律性。随机过程X(t),t T的一维分布，二维分布，?，n维分布的全体称为有限维分布函数族。随机过程的有限维分布函数族是随机过程概率特征 的完整描述。在实际中，要知道随机过程的全部有限维分布函数族是不可能的，因此用某些 统计特征 来取代。 （１）均值函数 m X(t)EX(t)表示随机过程X(t),t T在时刻t的平均值。 （２）方差函数2 D X(t)E[X(t)m X(t)]表示随机过程在时刻t对均值的偏离程度。 （３）协方差函数B X (s,t)E[(X( E[X s) (s) m ( s ) ) (t) (s) m X m X (t) (t))] 且有 B(t,t)D(t) X X
应用随机过程学习总结 一、预备知识：概率论 随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。 1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。 本帖隐藏的内容 2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。 3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。 二、随机过程基本概念和类型 随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。 1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数 r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差 t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。 因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。 2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。 兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。
第一章 随机过程得基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1.随机变量, 分布函数 离散型随机变量得概率分布用分布列 分布函数 连续型随机变量得概率分布用概率密度 分布函数 2.n 维随机变量 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３.随机变量得数字特征 数学期望:离散型随机变量 连续型随机变量 方差: 反映随机变量取值得离散程度 协方差(两个随机变量): 相关系数(两个随机变量): 若,则称不相关。 独立不相关 ４.特征函数 离散 连续 重要性质:,,, ５.常见随机变量得分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 泊松分布 均匀分布略 正态分布 指数分布 ６.Ｎ维正态随机变量得联合概率密度 )}()(2 1ex p{||)2(1 ),,,(121221a x B a x B x x x f T n n ---=-π ,,正定协方差阵 二.随机过程得基本概念 １.随机过程得一般定义 设就是概率空间,就是给定得参数集,若对每个,都有一个随机变量与之对应,则称随机变量族就是上得随机过程。简记为。 含义:随机过程就是随机现象得变化过程,用一族随机变量才能刻画出这种随机现象得全部统计规律性。另一方面,它就是某种随机实验得结果,而实验出现得样本函数就是随机得。 当固定时,就是随机变量。当固定时,时普通函数,称为随机过程得一个样本函数或轨道。 分类:根据参数集与状态空间就是否可列,分四类。 也可以根据之间得概率关系分类,如独立增量过程,马尔可夫过程,平稳过程等。 ２.随机过程得分布律与数字特征 用有限维分布函数族来刻划随机过程得统计规律性。随机过程得一维分布,二维分布,…,维分布得全体称为有限维分布函数族。随机过程得有限维分布函数族就是随机过程概率特征得完整描述。在实际中,要知道随机过程得全部有限维分布函数族就是不可能得,因此用某些统计特征来取代。 (１)均值函数 表示随机过程在时刻得平均值。
电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷 一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=， 其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀 分布的随机变量。（ 共10分） 1．画出该过程两条样本函数。(2分) 2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的 一维概率密度函数，并画出其图形。(5 分) 3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平 稳？(3分) 解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函 数如题解图(a)所示： 2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω??==????， 此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω =
当34t πω=时， 3()42X πω=-，随机过程的一维 概率密度函数为： 3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==???? 均值不平稳， 所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。 二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与 ()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均 匀分布随机变量。（ 共10分） 1．求两个随机信号的互相关函数 12(,)XY R n n 。(2分) 2．讨论两个随机信号的正交性、互不 相关性与统计独立性。(4分) 3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数 其中()12sin 2220E n n ππφ++=???? 2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =， 故两个随机信号正交。
又 故两个随机信号互不相关， 又因为 故两个随机信号不独立。 3. 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。 三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。在时隙内的任一点 ()30.3P W t =+=????和 ()30.7P W t =-=????，试求（ 共10分） 1．()W t 的一维概率密度函数。(3分) 2．()W t 的二维概率密度函数。(4分) 3．()W t 是否严格平稳？(3分)
1.2.1 通信系统的一般模型 1.2.3 数字通信的特点 (1) 抗干扰能力强，且噪声不积累 (2) 传输差错可控 (3) 便于处理、变换、存储，将来自不同信源的信号综合到一起传输 (4) 易于集成，使通信设备微型化，重量轻 (5) 易于加密处理，且保密性好 1.3.1 通信系统的分类 按调制方式分类：基带传输系统和带通（调制）传输系统 。调制传输系统又分为多种 调制，详见书中表1-1。 按信号特征分类：模拟通信系统和数字通信系统 按传输媒介分类：有线通信系统和无线通信系统 3.1.2 随机过程的数字特征 均值（数学期望）： 方差： 相关函数 3.2.1 平稳随机过程的定义 （1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔τ 有关。 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随机过程。 3.2.2 各态历经性 如果平稳过程使下式成立 则称该平稳过程具有各态历经性。 3.2.4 平稳过程的功率谱密度 非周期的功率型确知信号的自相关函数与其功率谱密度是一对傅里叶变换。这种关系对平稳随机过程同样成立，即有 []∫∞∞?=dx t x xf t E ),()(1ξ} {2)]()([)]([t a t E t D ?=ξξ2121212212121),;,()] ()([),(dx dx t t x x f x x t t E t t R ∫∫ ∞∞?∞∞?==ξξ???==)()(τR R a a ∫∫ ∞ ∞?∞∞??==ω ωπτττωωτξωτξd e P R d e R P j j )(21)()()(
3.3.2 重要性质 广义平稳的高斯过程也是严平稳的。 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。 3.3.3 高斯随机变量 （1）f (x )对称于直线 x = a ，即 （2） 3.4 平稳随机过程通过线性系统 输出过程ξo (t )的均值: 输出过程ξo (t )的自相关函数： 输出过程ξo (t )的功率谱密度: 若线性系统的输入是平稳的，则输出也是平稳的。 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。 3.5 窄带随机过程 若随机过程ξ(t )的谱密度集中在中心频率f c 附近相对窄的频带范围Δf 内，即满足Δf << f c 的条件，且 f c 远离零频率，则称该ξ(t )为窄带随机过程。 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 白噪声n (t ) 定义：功率谱密度在所有频率上均为常数的噪声 － 双边功率谱密度 － 单边功率谱密度 4.1 无线信道 电磁波的分类： 地波：频率 < 2 MHz ；距离：数百或数千千米 天波：频率：2 ~ 30 MHz ；一次反射距离：< 4000 km 视线传播：频率 > 30 MHz ；距离: 4.3.2 编码信道模型 P(0 / 0)和P(1 / 1) － 正确转移概率，P(1/ 0)和P(0 / 1) － 错误转移概率 P (0 / 0) = 1 – P (1 / 0) P (1 / 1) = 1 – P (0 / 1) 2)(0 n f P n =)(+∞<
第一章:预备知识 §1、1 概率空间 随机试验,样本空间记为Ω。 定义1、1 设Ω就是一个集合,F 就是Ω的某些子集组成的集合族。如果 (1)∈ΩF; (2)∈A 若F ,∈Ω=A A \则F; (3)若∈n A F , ，，21=n ,则 ∞=∈1n n A F; 则称F 为-σ代数(Borel 域)。(Ω,F )称为可测空间,F 中的元素称为事件。 由定义易知: . 216\,,)5)4(111F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈?∞ === ，，则，，，）若（； 则若（； 定义1、2 设(Ω,F )就是可测空间,P(·)就是定义在F 上的实值函数。如果 ()()()()∑∞ =∞==???? ???=?≠=Ω≤≤∈1121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有 时，当）对两两互不相容事件（； ）（； 任意 则称P 就是()F ,Ω上的概率,(P F ，，Ω)称为概率空间,P(A)为事件A 的概率。 定义1、3 设(P F ，，Ω)就是概率空间,F G ?,如果对任意 G A A A n ∈,,,21 , ,2,1=n 有: (),1 1∏===???? ??n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族。 §1、2 随机变量及其分布 随机变量X ,分布函数)(x F ,n 维随机变量或n 维随机向量,联合分布函 数,{}T t X t ∈,就是独立的。 §1、3随机变量的数字特征 定义1、7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ,若?∞ ∞-∞<)(||x dF x ,则称 )(X E ＝?∞ ∞-)(x xdF 为X 的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。 方差,()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差,而 DY DX B XY XY = ρ 为X 、Y 的相关系数。若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关。 (Schwarz 不等式)若,,22∞<∞ 随机过程知识点汇总 第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 ) (k k x X P p == 分 布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞ -=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量) ,,,(2 1 n X X X X Λ= 其联合分布函数) ,,,,(),,,()(2211 2 1 n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤==ΛΛ 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随 机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：2 22 )() (EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的 离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）： EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）： DY DX B XY XY ?= ρ 若 0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞ -=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -== λ =EX λ =DX 均匀分布 略 正态分布),(2 σa N 2 22)(21)(σσ πa x e x f -- = a EX = 2 σ=DX 指数分布 ?? ?<≥=-0, 00,)(x x e x f x λλ λ 1 = EX 2 1 λ = DX ６．Ｎ维正态随机变量) ,,,(2 1 n X X X X Λ=的联合概率密度 ),(~B a N X )} ()(2 1 ex p{| |)2(1),,,(12 12 21a x B a x B x x x f T n n ---= -πΛ ) ,,,(21n a a a a Λ=，),,,(2 1 n x x x x Λ=，n n ij b B ?=)(正定协方差阵 二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义 设) , (P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每 个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量 第一章随机过程 的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 X ，分布函数 F (x) P(X x) 1．随机变量 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p P(X x k ) F(x) p k f (t)dt 分布函数 k x X 的概率分布用概率密度 f (x) F(x) 分布函数 连续型随机变量 2．n 维随机变量 X (X ,X , , X ) 1 2 n F(x) F(x ,x , ,x ) P(X x , X 2 x , , X n x n ,) 其联合分布函数 1 2 n 1 1 2 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 ３．随机变量 的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX x p k k X EX xf (x)dx 连续型随机变量 2 DX E(X EX) 2 EX (EX) 2 方差： 反映随机变量取值 的离散程度 协方差（两个随机变量 X ,Y ）： B E[( X EX)(Y EY)] E(XY) EX EY XY B XY 相关系数（两个随机变量 X,Y ）： 0，则称 X ,Y 不相关。 若 XY DX DY 独立 不相关 itX g(t) E(e ) itx e p k 连续 g(t) k e itx f (x)dx ４．特征函数 离散 g(t) 重要性质： g(0) 1， g(t) 1 g( t) g(t) ， ， g (0) i EX k k k ５．常见随机变量 的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 二项分布 P( X 1) p,P( X 0) q EX p DX pq P(X k) C p q n k k k EX np DX n p q n k 泊松分布 P( X k) e k! EX DX 均匀分布略 ( x a)2 1 2 N(a, ) f (x) 2 2 2 EX a 正态分布 e DX 2 第一章： 考试范围1.3,1.4 1、计算指数分布的矩母函数. 2、计算标准正态分布)1,0(~N X 的矩母函数. 3、计算标准正态分布)1,0(~N X 的特征函数. 第二章： 1. 随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数 2. 宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理 3. 独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件 1、设随机过程()Z t X Yt =+，t -∞<<∞.若已知二维随机变量(,)X Y 的协方差矩阵为2122σρρσ?????? ，求()Z t 的协方差函数. 2、设有随机过程{(),}X t t T ∈和常数a ，()()()Y t X t a X t =+-，t T ∈，计算()Y t 的自相关函数（用(,)X R s t 表示）. 3、设12()cos sin X t Z t Z t λλ=+，其中212,~(0,)Z Z N σ是独立同分布的随机变量，λ为实数，证明()X t 是宽平稳过程. 4、设有随机过程()sin cos Z t X t Y t =+，其中X 和Y 是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明()Z t 是宽平稳过程. 第三章： 1. 泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算 2. 与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算 3. 复合泊松过程和条件泊松过程的定义 1、设{(),0}N t t ≥是参数3λ=的Poisson 过程，计算： (1). {(1)3}P N ≤； (2). {(1)1,(3)3}P N N ==； (3). {(1)2(1)1}P N N ≥≥. 2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数. 假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程. (1)．试求到某时刻t 时到达商场的总人数的分布； H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y 课程设计（论文） 课程名称：应用随机过程 设计题目：随机过程简史 院系：电气工程学院 班级： 11S0104 设计者：孙延博 学号： 11S001070 指导教师：田波平 设计时间： 2011-10-23 随机过程简史 摘要 本文简要地介绍了随机过程从20世纪初创立至今，100年的发展历程考察了导致随机过程产生的历史契机，以及早期数学家在这方面作出的杰出工作。并简要介绍了随机过程的概念，研究方法 和研究内容，在现代工程技术领域的应用。 关键词：随机过程平稳随机过程平稳随机序列 1.随机过程的概念研究方法及研究内容 随机过程是现代概率论研究的一个重要分支。数学上的随机过程是由实际随机过程概念引起的一种数学结构。人们研究这种过程，是因为它是实际随机过程的数学模型，或者是因为它的内在数学意义以及它在概率论领域之外的应用。数学上的随机过程可以简单的定义为一组随机变量，即指定一参数集，对于其中每一参数点t指定一个随机变量x(t)。如果回忆起随机变量自身就是一个函数，以ω表示随机变量x(t)的定义域中的一点，并以x(t，ω)表示随机变量在ω的值，则随机过程就由刚才定义的点偶(t，ω)的函数以及概率的分配完全确定。如果固定t，这个二元函数就定义一个ω的函数，即以x(t)表示的随机变量。如果固定ω，这个二元函数就定义一个t的函数，这是过程的样本函数。由于物理学生物学，通讯和控制管理科学等学科的需要随机过程逐步发展起来的。马尔柯夫最早研究了随机过程。研究随机过程的方法多种多样，主要可以分为两大类：一类是概率方法，其中用到轨道性质、停时和随机微分方程等；另一类是分析的方法，其中用到测度轮、微分方程、半群理论、函数堆和希尔伯特空间等。实际研究中常常两种方法并用。另外组合方法和代数方法在某些特殊随机过程的研究中也有一定作用。研究的主要内容有：多指标随机过程、无穷质点与马尔可夫过程、概率与位势及各种特殊过程的专题讨论等。中国学者在平稳过程、马尔科夫过程、鞅论、极限定理、随机微分方程等方面做出了较好的工作。 2.随机过程的历史 1900年，Bachelier在分析股票市场波动时．发现了随机过程的一个重过程——独立增量过程的特恻。1905年，物理学家Einstein在研究Brown运动时，也遇到了相同的过程．1923年，Wiener 给出了Brown运动的数学描述- wiener过程。 Lunbderg在1903年研究一个保险公司所承担索赔累计数的变化规律时．导出了另一类型的随机过程——Lundberg过程。而众所周知、应用甚广的Poisson过程是当所有得付出的索赔总数中每一笔数目都相同时的Lundberg过程。 1909年，Erlang在研究电话业务时引入了Poisson过程，并被物理学家Rutherford和Geiger用于分析放射性蜕变。这些早期对随机过程的研究都是同实际问题紧密联系在一起的。虽然在数学上用了不太严密的方法，却表现出了直观处理这些概念和方法的绝妙能力。 随机过程学习报告 通过这一段时间以来的学习，我认识到我们的生活中充满了随机过程的实例，在生活中我们经常需要了解在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律，如到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；已编码信号的误码数等。在我们的专业学习——通信工程中，研究数字通信中已编码信号的误码流，数模变换中对信号进行采样等也都会应用到随机过程的知识，因此这门课程的学习是非常重要的。 一、认识泊松过程与复合泊松过程的区别 泊松过程是一类很重要的随机过程，随机质点流描述的随机现象十分广泛，下面我就通过运用泊松过程的知识解答一道书本中的实际应用题目： 设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即λ=2。若每户的人口数是随机变量，一户4人的概率是1/6，一户3人的概率是1/3，一户两人的概率是1/3，一户一人的概率是1/6，且每户的人口数是相互独立的，①5周内移民到该地区定居的人口数是否为泊松过程？②求上述随机过程的数学期望与方差。 分析：这道题目中的问题就是复合泊松过程的实际应用，这类过程具有泊松过程的一部分性质，不同的地方就在于随机质点流的到达不必再满足每次只能到一个的标准，这就将随机过程的研究与实际相融合，生活中的大部分过程其实是不可能满足每次到达一个这样的苛刻要求的，比如调查到达商场购物的人数等问题时，实际去商场购物时人们大多都是与好朋友结伴出行而不可能存在每个人都是独自来购物的现象，所以引入复合泊松过程是十分有必要的。 解：设[0,t)时间内到该地定居的户数为N(t)，则{N(t)，t>=0}是一泊松过程，X(n)为第n 户移民到该地定居的家庭人口数，{X(0)=0,X(n),n=1,2,3···}是独立同分布随机变量列，Y(t)为[0,t)时间内定居到该地的人数。 则Y(t)=∑=) (0 )n (X t N n t>=0 为一复合泊松过程， )()(υ?n X =4γi e *1/6+3γi e *1/3+2γi e *1/3+γi e *1/6 )()t (υ?Y =)1)((t )1(-γ?λX e 由特征函数的唯一性可知，Y(t)不是泊松过程。 E[X(n)]=4*1/6+3*1/3+2*1/3+1*1/6=5/2 E[）（n X 2 ]=16*1/6+9*1/3+4*1/3+1*1/6=43/6 则E[Y(t)]=λt*E[X(1)]=t*5; D[Y(t)]=λt*E[）（1X 2 ]=t*43/3; 则五周内定居到该地的人数数学期望为：5*5=25 方差为：5*43/3=215/3 随机过程知识点汇总-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞-=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?= ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX = 泊松分布 !)(k e k X P k λλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略 第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数? ∞ -=x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑= k k p x EX 连续型随机变量X ?∞ ∞-=dx x xf EX )( 方差：2 2 2 )()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?= ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1(p EX =pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)(np EX =npq DX = 泊松分布 ! )(k e k X P k λλ -==λ=EX λ=DX 均匀分布略 第一章：预备知识 §1.1 概率空间 随机试验，样本空间记为Ω。 定义1.1 设Ω是一个集合，F 是Ω的某些子集组成的集合族。如果 （1）∈ΩF ； （2）∈A 若F ，∈Ω=A A \则F ； （3）若∈n A F ， ，，21 =n ，则 ∞ =∈1 n n A F ； 则称F 为-σ代数(Borel 域)。(Ω,F )称为可测空间，F 中的元素称为事件。 由定义易知： . 216\,,)5)4(1 1 1 F A A A i F A F B A F B A F i i n i i n i i i ∈=∈∈∈∈?∞ === ，，则，，，）若（； 则若（； 定义1.2 设(Ω,F )是可测空间，P(·)是定义在F 上的实值函数。如果 ()()()()∑∞=∞==???? ???=?≠=Ω≤≤∈1 121,,,31210,)1(i i i i j i A P A P A A j i A A P A P F A 有 时，当）对两两互不相容事件（；）（； 任意 则称P 是()F ,Ω上的概率，（P F ，，Ω）称为概率空间，P(A)为事件A 的概率。 定义1.3 设（P F ，，Ω）是概率空间，F G ?，如果对任意G A A A n ∈,,,21 ， ,2,1=n 有： (),1 1 ∏===??? ? ??n i i n i i A P A P 则称G 为独立事件族。 §1.2 随机变量及其分布 随机变量X ，分布函数)(x F ，n 维随机变量或n 维随机向量，联合分布函数， {}T t X t ∈,是独立的。 §1.3随机变量的数字特征 定义1.7 设随机变量X 的分布函数为)(x F ，若 ? ∞ ∞ -∞<)(||x dF x ，则称 )(X E ＝?∞ ∞ -)(x xdF 为X 的数学期望或均值。上式右边的积分称为Lebesgue-Stieltjes 积分。 方差，()()[]EY Y EX X E B XY --=为X 、Y 的协方差，而 DY DX B XY XY =ρ 为X 、Y 的相关系数。若,0=XY ρ则称X 、Y 不相关。 （Schwarz 不等式）若,,2 2 ∞<∞ 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布 1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤= 离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑= k p x F )( 连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数?∞-= x dt t f x F )()( 2．n 维随机变量),,,(21n X X X X = 其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量X ∑= k k p x EX 连续型随机变量X ?∞∞-=dx x xf EX )( 方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ?-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DY DX B XY XY ?=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。 独立?不相关?0=ρ ４．特征函数)()(itX e E t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ?∞ ∞-=dx x f e t g itx )()( 重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0( 母函数：∑∞===0)()(k k k k z p z E z g !)0()(k g p k k = )1()('g X E = 2''")]1([)1()1()(g g g X D -+= ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 k n k k n q p C k X P -==)( np EX = n p q DX = 泊松分布 !)(k e k X P k λλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略 正态分布),(2σa N 22 2)(21 )(σσπa x e x f --= a EX = 2 σ=DX 指数分布 ???<≥=-0, 00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX ６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X 随机信号重要知识点整理 1．能量信号和功率信号 通常称2 )(t x 为信号)(t x 的能量密度或瞬时功率。信号的总能量是对2 )(t x 在整个时间范围积分，即 ?∞ ∞-=dt t x E x 2 )( （1.6） 同理，离散信号的总能量定义为 ∑ ∞ -∞ == n x n x E 2 )( （1.7） 如果信号的总能量有限，即E x <∞，则称)(t x 或()x n 为能量信号；如果信号的总能量无限，即E x >∞,但是其平均功率有限，即 ∞<=?-∞ →222 )(1lim T T dt t x T P T x （1.8） 或（对于离散信号） ∞<+=∑-=∞ →N N n T x n x N P 2 )(121lim （1.9） 则称)(t x 或()x n 为功率信号。 然而，对于数字信号处理，信号处理的长度总是有限的。而在有限的区间内信号的总能量是有限，因此在处理运算时，可以对功率信号与能量信号不加以区别。仅当考虑平均功率、平均谱密度时，需要考虑系数1(21)N +。 2. 窄带信号与宽带信号 时间信号可以用不同频率的正弦波展开（或傅里叶级数展开），即信号的傅里叶积分反变换： ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= d e X t x t j )()(1 （1.10） 其中)(ΩX 是)(t x 的傅里叶变换，又称为频谱，它等于 ?∞ ∞ -Ω-=Ωdt e t x X t j )()( （1.11） 可见，时间信号可以看作是由简单的正弦波t j e Ω相加（线性叠加）组成，)(ΩX 是)(t x 在频域或频率空间的表示。 如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较窄的频率区间内存在，则称其为窄带信号。与之对应的是，如果信号)(t x 的频谱)(ΩX 在较宽的频率区间内存在，则称其为宽带信号。 3. 信号处理的理论基础 数字信号处理的理论基础：1）Nyquist —Shannon 采样定理；2）傅立叶级数；3 ） 2 0 — 1分布 P(X 1) P,P(X 0) q EX DX pq 二项分布 P(X k) C ： EX np DX npq 泊松分布 P(X k) k! EX DX 均匀分布略 正态分布 N(a, 2) f(x) (X a)2 2 2 EX DX 第一章随机过程的基本概念与基本类型 一.随机变量及其分布 1 .随机变量X ,分布函数F(x) P(X X) 离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 P k P(X x k )分布函数 F(x) P k 连续型随机变量 X 的概率分布用概率密度 f(x) 分布函数F(x) X f(t)dt 2. n 维随机变量 X (X 1,X 2, ,X n ) 其联合分布函数 F (X ) F (X 1,X 2, , X n ) P(X 1 X [ , X 2 X 2 , , X n X n ,) 离散型 联合分布列 连续型联合概率密度 3 .随机变量的数字特征 数学期望：离散型随机变量 X EX X k P k 连续型随机变量 X EX xf (x)dx 2 2 2 方差：DX E(X EX) EX (EX) 反映随机变量取值的离散程度 协方差(两个随机变量 X,Y )： B XY E[(X EX )(Y 相关系数(两个随机变量 X, Y ) : XY t _ ____________________________________ VDX v'DY 独立 不相关 5 ?常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 B XY EY)] E(XY) EX EY 则称X,Y 不相关。 4 ?特征函数 g(t) E(e ItX ) 离散 g(t) e ItX k p k 连续 g(t) e ltx f (x)dx 重要性质：g(0) 1 , g(t) 1 , g( t) g(t) , g (0) EX k随机过程知识点汇总
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