数列的全章复习与巩固
【学习目标】
1．系统掌握数列的有关概念和公式；
2．掌握等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式与前n 项和公式，并运用这些知识解决问题； 3．了解数列的通项公式n a 与前n 项和公式n S 的关系，能通过前n 项和公式n S 求出数列的通项公式n a ；
4．掌握常见的几种数列求和方法. 【知识网络】
【要点梳理】
要点一：数列的通项公式 数列的通项公式
一个数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式()n a f n =来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。
要点诠释：
①不是每个数列都能写出它的通项公式。如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的。如：数列―1，1，―1，1，…的通项
公式可以写成(1)n
n a =-，也可以写成cos n a n π=；
③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的。 通项n a 与前n 项和n S 的关系：
任意数列{}n a 的前n 项和12n n S a a a =++
+；
1
1
(1)(2)
n n n S n a S S n -=??=?
-≥??
要点诠释：
由前n 项和n S 求数列通项时，要分三步进行： （1）求11a S =，
（2）求出当n≥2时的n a ，
（3）如果令n≥2时得出的n a 中的n=1时有11a S =成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式。
数列的递推式：
如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项n a 与它的前一项1n a -或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式。
要点诠释：
利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二：等差数列
判定一个数列为等差数列的常用方法
①定义法：1n n a a d +-=（常数）?{}n a 是等差数列； ②中项公式法：122(*){}n n n n a a a n N a ++=+∈?是等差数列； ③通项公式法：n a pn q =+（p ，q 为常数）?{}n a 是等差数列；
④前n 项和公式法：2
n S An Bn =+（A ，B 为常数）?{}n a 是等差数列。
要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性。 等差数列的有关性质：
（1）通项公式的推广：+()n m a a n m d =－
（2）若*
()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a +=+；
特别，若2m n p +=，则2m n p a a a +=
（3）等差数列{}n a 中，若*m n p m n p N ∈、、（
、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等差数列.
（4）公差为d 的等差数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等差数列。 （5）等差数列{}n a ，前n 项和为n S
①当n 为奇数时，12
n n S n a +=?；12
n S S a +-=奇偶；
1
1
S n S n +=
-奇偶
； ②当n 为偶数时，1
2
2
(
)2
n n
n a a S n ++=?；1
2
S S dn -=
偶奇；21
2
n
n a S S a +=奇偶。
（6）等差数列{}n a ，前n 项和为n S ，则
m n m n
S S S m n m n
+-=
-+（m 、n ∈N*，且m≠n ）。 （7）等差数列{}n a 中，若m+n=p+q （m 、n 、p 、q ∈N*，且m≠n ，p≠q ），则p q
m n S S S S m n p q
--=--。
（8）等差数列{}n a 中，公差d ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -成等差数列，新公差2
'd k d =.
等差数列前n 项和n S 的最值问题： 等差数列{}n a 中
① 若a 1＞0，d ＜0，n S 有最大值，可由不等式组10
n n a a +≥??
≤?来确定n ；
② 若a 1＜0，d ＞0，n S 有最小值，可由不等式组10
0n n a a +≤??≥?来确定n ，也可由前n 项和公式
21()22
n d d
S n a n =
+-来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三 ：等比数列
判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：
1
n n
a q a +=（q 是不为0的常数，n ∈N*）{}n a ?是等比数列； （2）通项公式法：n
n a cq =（c 、q 均是不为0的常数n ∈N*）{}n a ?是等比数列； （3）中项公式法：2
12n n n a a a ++=?（120n n n a a a ++??≠，*n N ∈）{}n a ?是等比数列.
等比数列的主要性质：
（1）通项公式的推广：n m
n m a a q -=
（2）若*
()m n p q m n p q N +=+∈、、、，则m n p q a a a a ?=?.
特别，若2m n p +=，则2m n p a a a ?=
（3）等比数列{}n a 中，若*
m n p m n p N ∈、、（、、）成等差数列，则m n p a a a 、、成等比数列.
（4）公比为q 的等比数列中，连续k 项和232,,k k k k k S S S S S --，… 组成新的等比数列。 （5）等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，当n 为偶数时，S S q =偶奇。
（6）等比数列{}n a 中，公比为q ，依次每k 项和：k S ，2k k S S -，32k k S S -…成公比为q k 的等比数列。
（7）若{}n a 为正项等比数列，则{log }a n a （a ＞0且a≠1）为等差数列；反之，若{}n a 为等差数列，则{}n a
a （a ＞0且a≠1）为等比数列。
（8）等比数列{}n a 前n 项积为n V ，则(1)2
1
(*)n n n
n V a q n N -=∈
等比数列的通项公式与函数：
11n n a a q -=
①方程观点：知二求一； ②函数观点：1
11n n
n a a a q
q q
-==
? 01q q >≠且时，是关于n 的指数型函数；
1q = 时，是常数函数；
要点诠释：
当1q >时，若10a >，等比数列{}n a 是递增数列；若10a <，等比数列{}n a 是递减数列； 当01q <<时，若10a >，等比数列{}n a 是递减数列；若10a <，等比数列{}n a 是递增数列； 当0q <时，等比数列{}n a 是摆动数列； 当1q =时，等比数列{}n a 是非零常数列。 要点四：常见的数列求和方法 公式法：
如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n 项和公式求和。
分组求和法：
将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：a n =2n+3n .
裂项相消求和法：
把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.
若1
()()
n a An B An C =
++，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,
则)11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=
，如a n = 1(1)n n +11
1
n n =-
+ 错位相减求和法：
通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：n n n c b a ?=, 其中 {}n b 是公差d≠0等差数列，{}n c 是公比q≠1等比数列，如a n =(2n-1)2n .
一般步骤：
n n n n n c b c b c b c b S ++?++=--112211，则 1211n n n n n qS b c b c b c -+=+??++
所以有13211)()1(+-??+++=-n n n n c b d c c c c b S q
要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五：数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么.
②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.
③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量. 【典型例题】
类型一：数列的概念与通项 例1．写出数列：15-
，103，517-，26
7，……的一个通项公式. 【思路点拨】从各项符号看，负正相间，可用符号(1)n
-表示；数列各项的分子：1，3，5，7，……是个奇数列，可用21n -表示；数列各项的分母：5，10，17，26，……恰是221+,2
31+, 241+,2
51+,…
可用2
(1)1n ++表示；
【解析】通项公式为：2
21
(1)(1)1
n
n n a n -=-++. 【总结升华】
①求数列的通项公式就是求数列中第n 项与项数n 之间的数学关系式。如果把数列的第1，2，3，…项分别记作(1)f ，(2)f ，(3)f ，…，那么求数列的通项公式就是求以正整数n (项数)为自变量的函数
()f n 的表达式；
②通项公式若不要求写多种形式，一般只写出一个常见的公式即可；
③给出数列的构造为分式时，可从各项的符号、分子、分母三方面去分析归纳，还可联想常见数列的通项公式，以此参照进行比较.
举一反三：
【变式1】数列：1-，
58，157
-，924，……的一个通项公式是（ ） A.2(1)21n
n n n a n +=-+ B.(3)(1)21
n n n n a n +=-+
C.2(1)1(1)21n
n n a n +-=-- D.(2)(1)21
n n n n a n +=-+ 【答案】采用验证排除法，令1n =,则A 、B 、C 皆被排除，故选D. 【变式2】给出数表：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
… … … …
（1）前m 行共有几个数？
（2）第m 行的第一个数和最后一个数各是多少？ （3）求第m 行的各数之和；
（4）数100是第几行的第几个数？ 【答案】
（1）
)1(21
+m m ； （2）1(1)12m m -+，1
(1)2m m +；
（3）2
1(1)2
m m +；
（4）第14行的第9个数。
类型二：等差、等比数列概念及其性质的应用
例2.已知三个数成等比数列，积为216，若第二个数加上4，则它们构成一个等差数列，求这三个数。
【思路点拨】成等比数列的三个数我们可以设为
q
a
、a 、aq ，可以简化运算. 【解析】设这三个数为
q
a
、a 、aq ， 由题知
216a
a aq q
??=，解得6a =， 又∵
q
6
，64+，6q 构成等差数列， ∴q q
66
)46(2+=
+?，即231030q q -+=， 解得3q =或3
1=
q ， ∴这三个数为2，6，18或18，6，2。
【总结升华】 恰当地选择设未知数，列方程（组）求解。方程思想在数列中很重要。 举一反三：
【变式1】如果一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32：27，求公差.
【答案】设等差数列首项为1a ，公差为d ，则
????
????????==????=-=+?=
???+???++=???+520253546612273225621625621)(635411122112111111d a d a d a d
a d d a d a
【高清课堂：数列综合381084 例1】
【变式2】已知两个等比数列{}n a ，{}n b ，满足1(0)a a a =>，111b a -=，
222b a -=，333b a -=.
（1）若1a =，求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 唯一，求a 的值.
【答案】（1
）1(2n n a -=
或1(2n n a -= （2）1
3
a =
例3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若
3613S S =，则612
S
S 等于( ) A ．
3
10
B ．13
C ．18
D ．19
【思路点拨】利用等差数列的性质来解：等差数列{}n a 中， k S ，2k k S S -，32k k S S -也成等差数列.
【解析】由题意知3S ，63S S -，96S S -，129S S -成等差数列， 由已知得633S S =，故公差为6333()S S S S --=，
所以96332S S S S -=+，故936S S =，129333S S S S -=+，故12310S S =， 所以
6123
10
S S =．故选A 。 【总结升华】等差等比数列的性质是高考命题的热点，熟练掌握它们的性质并灵活运用，能使问题简洁.
举一反三：
【变式】 已知等差数列{}n a ，25n S =, 2100n S =, 则3n S =（ ） A.125 B.175 C.225 D.250 【答案】C
方法一：∵{}n a 为等差数列，
∴n S ,2n n S S -,32n n S S -成等差数列，即2322()()n n n n n S S S S S -=+- ∴32(10025)25(100)n S -=+-，
解得3225n S =，∴选C.
方法二：取特殊值（适用选择题）：令1n =，由题意可得1125n S S a ===,2212100n S S a a ==+=, ∴275a =，2150d a a =-=， ∴3313(31)
32252
n S S a d ?-==+=, ∴选C.
方法三：1(1)252n n n S na d -=+=,212(21)
21002n n n S na d -=+=, 两式相减可得1(31)
752
n n na d -+=，
∴313(31)
37532252
n n n S na d -=+=?=.
∴选C.
例4．设S n 、T n 分别为等差数列{a n }，{b n }的前n 项和，满足
71427n n S n T n +=+，求1111
a b . 【思路点拨】利用等差数列的前n 项求和公式及性质是解决本题的关键，主要利用：
12121(21)()(21)2(21)22
n n
n n n a a n a S n a +++++?=
==+ 进行求解.
【答案】111143
a b = 【解析】
方法一：
12111111212111111212112121
()2721142212421273
()2
a a a a a a S
b b b b T b b ++?+======+?++ 方法二：设(71),(427)n n S k n n T k n n =+=+(k≠0)， ∴a 11=S 11-S 10=11k(7×11+1)-10k(7×10+1)=148k b 11=T 11-T 10=11k(4×11+27)-10k(4×10+27)=111k ∴
11111484
1113
a k
b k ==. 【总结升华】等差数列的中项在前n 项和式中的应用是解决本例的关键，也应注意到前n 项和与通项公式的联系.
举一反三：
【变式1】等差数列{a n }中，S n =50，123430a a a a +++=，32110n n n n a a a a ---+++=，求项n.
【答案】123430
(1)a a a a +++=， 32110
(2)n n n n a a a a ---+++=，
由（1）+（2）得:114()40()10n n a a a a +=?+=，
1()10
501022
n n n a a n S n +?=
?=?=. 【变式2】已知各项均为正数的等比数列{}n a ，1237895,10a a a a a a ==，则456a a a =____.
【答案】由已知得
，故3
3456528(52a a a a a a ===.
【变式3】等差数列{}n a 中，113a =,311S S =，则它的前__ 项和最大，最大项的值是____. 【答案】7，49
设公差为d, 由题意得3a 1+223?d=11a 1+2
10
11?d ，得d=-2, ∴n S 有最大值.
又S 3=S 11,可得n=
2
11
3+=7， ∴S 7为最大值，即S 7=7×13+2
6
7?(-2)=49.
类型三：由递推关系求数列通项公式 例5．已知数列{}n a 中，11a =，12
13
n n a a +=
+，求n a . 【思路点拨】把1213n n a a +=+整理成12
3(3)3
n n a a +-=-，得数列{3}n a -为等比数列，再用叠
加法,等比数列求和求出通项公式.
【解析】
法一：设12
()()3n n a A a A ++=
+，解得3A =- 即原式化为12
(3)(3)3
n n a a +-=-
设3n n b a =-，则数列{}n b 为等比数列，且1132b a =-=- ∴1
22
3(2)()33()3
3
n n n n n b a a -=-=-??=-?
法二：∵12
13
n n a a +-
= ①
12
1(2)3
n n a a n --=≥ ②
由①－②得：112
()3
n n n n a a a a +--=-
设1n n n b a a +=-，则数列{}n b 为等比数列
∴11222()()333
n n n n n b a a -+=-=
?= ∴221()33
n n n a a +-= ∴233()3n
n a =-?
法三：21213a a =+，2322221()1333a a =+=++，32432222
1()()13333a a =+=+++，……，
11222
1()1333
n n n a a --=+==+++，
∴233()3
n
n a =-?
【总结升华】求数列通项公式，特别是由递推公式给出数列时，除迭加、迭代、迭乘等基本方法外，还应注意根据递推关系式的特点，进行转化，变形为与是等差（等比）有关的数列. 若数列{}n a 满足
q p q pa a n n ,1(1≠+=+为常数），则令)(1λλ+=++n n a p a 来构造等比数列，并利用对应项相等求λ
的值，求通项公式。
举一反三：
【变式1】数列{}n a 中，n n n a a a a a 23,3,11221-===++，则=n a 。 【答案】)(2112n n n n a a a a -=-+++
212=-a a {}1--∴n n a a 为首项为2公比也为2的等比数列。 112--=-n n n a a ，（n>1）
n>1时
122
1211222)()()(211
12211-=--=++++=+-++-+-=-----n n
n n n n n n n a a a a a a a a
显然n=1时满足上式
∴=n a 12-n
【变式2】在数列{a n }中，a 1=1，a n+1=
n
n
na a +1，求a n .
【答案】
11111,1+++=
∴==++n n n n n n n a na a n na a a a ，∴111
+-=n n
n a a
∴
21
11
1-=a a 32
11
2-=a a ……
1
11(1)(2)--=-≥n n n n a a 将以上各式叠加，得
1
11
12(1)(1)(2)2
-=+++-=
-≥n n
n n n a a ∴
11(1)(2)2
=+-≥n n
n n a 又n=1时，1
11
1(11)12+
-==a ∴*
2
2()2
=
∈-+n a n N n n 类型四：n a 与n S 的关系的综合运用
例6.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2
n S kn n =+，n ∈N +，其中k 是常数．
(1)求1a 及n a ；
(2)若对于任意的m ∈N +，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值．
【思路点拨】（1）利用n ≥2时，1n n n a S S -=-进行求解，注意对n=1时进行验证；（2）利用等比中项及恒成立问题求解.
【解析】(1)当n ＝1时，111a S k ==+，
当n ≥2时，22
1[(1)(1)]21n n n a S S kn n k n n kn k -=-=+--+-=-+， 经检验，n ＝1时，上式成立，∴ 2
221m S kn k =-+．
(2)∵ m a ，2m a ，4m a 成等比数列，∴ 2
24m m m a a a =?，
即2
(41)(21)
(81)km k km k km k -+=-+-+，
整理得：(1)0mk k -=，对任意的m ∈N +成立， ∴ k ＝0或1．
【总结升华】等比数列中通项与求和公式间有很大的联系，它们是1
1(1)(2)
n n n a n a S S n -=?=?-≥?，尤
其注意首项与其他各项的关系.
举一反三：
【变式1】已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足2
1056n n n S a a =++，且a 1，a 3，a 15成等比数列，
求数列{a n }的通项a n .
【答案】∵2
1056n n n S a a =++， ① ∴2
1111056a a a =++，解之得a 1=2或a 1=3. 又2
1111056(2)n n n S a a n ---=++≥， ②
由①-②得22
1110()5()n n n n n a a a a a --=-+-，即11()(5)0n n n n a a a a --+--=
∵a n +a n-1＞0，∴a n -a n-1=5(n≥2).
当a 1=3时，a 3=13，a 15=73，a 1，a 3，a 15不成等比数列 ∴a 1≠3；
当a 1=2时，a 3=12，a 15=72，有a 32=a 1a 15， ∴a 1=2，∴a n =5n-3.
【变式2】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1
(1)(*)3
n n S a n N =-∈。 （1）求12,a a ；
（2）求证：数列{}n a 是等比数列。 【答案】 （1）由111(1)3S a =-，得111
(1)3
a a =-， ∴112
a =-
，
又221(1)3S a =
-，即1221(1)3a a a +=-，得214
a =。 （2）证明：当2n ≥时，1n n n a S S -=-111
(1)(1)33
n n a a -=
---， 得
112n n a a -=-，又211
2
a a =-， 所以{}n a 为首项为12-
，公比为1
2
-的等比数列。 【变式3】（2016 浙江文）设数列{a n }的前n 项和为S n 。已知S 2=4，a n+1=2S n+1，n ∈N*。. （I ）求通项公式an ；
（II ）求数列{a n ―n ―2}的前n 项和。 【答案】
（1）由题意得：1221421a a a a +=??
=+?，则121
3
a a =??=?，
又当n ≥2时，由a n+1―a n =(2S n +1)―(2S n －1+1)=2a n ， 得a n+1=3a n ，
所以，数列{a n }的通项公式为a n =3n －
1，n ∈N*。 （2）设b n =|3n ―
1―n ―2|，n ∈N*，b 1=2，b 2=1。 当n ≥3时，由于3n －
1＞n+2，故b n =3n ―
1―n ―2，n ≥3。 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 1=2，T 2=3。
当n ≥3时，229(13)(7)(2)3511
31322
n n n n n n n T --+---+=+-=-，
所以，22, 1
3511,2,*2
n n T n n n n n N =??
=?--+≥∈?
?
类型五：数列的求和问题
例7. 求数列1，)0(,......,,,6
5434322≠++++++a a a a a a a a a a 的前n 项和n S . 【思路点拨】本题求和后，不宜直接分组，应该把通项化简变形后，再决定如何分组求和。 【解析】
（1）当1≠a 时，2
21
...--+++=n n n n a
a a a )(11
1)1(1211-----=--=n n n n a a a
a a a
[]
)(...)()()1(11
121523---++-+-+--=
∴n n n a a a a a a a a
S 212422
22
121(1...)(1...)111(1)()111(1)(1)(1)(1)
n n n n n n a a a a a a a a
a a a a a a a a a a --+??=
++++-++++??-??
--=-??---??--=
-+ （2）当1=a 时，)1(2
1
+=
n n S n ； （3）当1-=a ，原数列为1，0，1，0，1，0……，
若n 为偶数，令2n k =（*
k N ∈），则21010 (102)
n k n S S k ==++++++==； 若n 为奇数，令21n k =-（*
k N ∈），则211010 (1012)
n k n S S +==+++++++=.
【总结升华】分类讨论a 和n 的奇偶是本例化简的关键. 举一反三：
【变式1】求数列)})1(1
()11)...(311()211{(2
222+?--?-n n 的前n 项和。 【答案】
22222222222
213111
...23(1)1324(1)(1)1...23(1)12(1)111()21
n n a n n n n n n n n n n ---=??
+??-+=??+=
+=-+
所以可以得到：)
1(2)111(21+=+-=
n n n S n 。 【变式2】求和：)(*122221
N n b ab b a b a b a
a S n n n n n n
n ∈++++++=----
【答案】a=0或b=0时，)(n
n n a b S = 当a=b 时，n
n a n S )1(+=；
当a ≠b 时，b
a b
a S n n n --=++11
类型六：应用题
例8．某商场因管理不善及场内设施陈旧，致使年底结算亏损，决定从今年开始投入资金进行整修，计划第一个月投入80万元，以后每月投入将比上月减少1
5
.第一个月的经营收入约为40万元，预计以后每个月收入会比上个月增加
14
. (1) 设n 个月内的总投入为a n 万元，总收入为b n 万元，写出a n ，b n ；
(2) 问经过几个月后商场开始扭亏为盈.
【思路点拨】应用题须认真读懂关键词句，容易看出每月的投入和收入均构成等比数列。 【解析】 (1)由题意，得
2
14144445808080808040014555515
n
n n
n a -??
- ???????
??????=+?+?+
+?=?=-?? ? ? ? ?????
????????-.
2
1
55540404040444n n b -????
??=+?+?+
+? ? ? ?
????
??
51544016015414
n
n ??
- ?
??????=?=-?? ???????-.
(2)由题意，令a n
∴454001160154n n ????????-<-???? ? ?????????????
.
设54n
t ??
= ???
，则1512(1)t t ??-<- ???，即2t 2－7t ＋5>0.
∵t >1，∴解得t >52，即55
42
n
??> ???.
取n ＝4，则4
551255
421282
????=?< ? ?????；
取n ＝5，则5
556255
425122
????=?> ? ?????
∴第5月开始扭亏为盈．
【总结升华】解应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化就可得相应的解析式. 举一反三：
【变式】某地区原有森林木材存量为a ，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b ，设n a 为n 年后该地区森林木材存量.
（1）写出n a 的表达式.
（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于a 9
7
,如果a b 7219=，那么今后该地区会发生水土流失吗？若会，要经过几年？（取lg 20.30=）.
【答案】
（1）依题意，第一年森林木材存量为a ，
1年后该地区森林木材存量为：15
4a a b =-， 2年后该地区森林木材存量为：221555
()(1)444a a b a b =-=-+，
3年后该地区森林木材存量为：32325555
()[()1]4444a a b a b =-=-++，
4年后该地区森林木材存量为：4324355555
()[()()1]44444
a a
b a b =-=-+++，
… …
n 年后该地区森林木材存量为：b a a n n n n ]14
5
...)45()45[()45(21++++-=--
（2）若a b 7219=时，依题意该地区今后会发水土流失，则森林木材存量必须小于a 97
，
即 55197()4[()1]44729n n a a a --?<，
解得554n >（），即5lg lg54
n >，
∴lg 51lg 2
7lg 52lg 213lg 2
n ->
==--，
∴8n =.
故经过8年该地区就开始水土流失.
高一数学数列知识总结 知识网络
二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值
的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：①???≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ （4）造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 第一节通项公式常用方法 题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适 合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：
数列知识点归纳及例题分析
《数列》知识点归纳及例题分析 一、数列的概念： 1.归纳通项公式：注重经验的积累 例1.归纳下列数列的通项公式： (1)0，-3,8，-15,24，....... (2)21,211,2111,21111,...... (3), (17) 9 ,107,1,23 2.n a 与n S 的关系：???≥-==-)2(,) 1(,11n S S n a a n n n 注意：①强调2,1≥=n n 分开，注意下标；②n a 与n S 之间的互化（求通项） 例2：已知数列}{n a 的前n 项和???≥+==2 ,11 ,32n n n S n ，求n a . 3.数列的函数性质： （1）单调性的判定与证明：①定义法；②函数单调性法 （2）最大（小）项问题：①单调性法；②图像法 （3）数列的周期性：（注意与函数周期性的联系） 例3：已知数列}{n a 满足?? ??? <<-≤≤=+121,12210,21n n n n n a a a a a ，531 =a ，求2017a . 二、等差数列与等比数列 1.等比数列与等差数列基本性质对比（类比的思想，比较相同之处和不同之处） 等差数列 等比数列 定义 1n n a a d +-=（d 是常数1,2,3n =，…） 1 n n a q a +=（q 是常数，且0≠q ，1,2,3n =，…） 通项 公式 ()11n a a n d =+- ()n m a a n m d =+- 11n n a a q -= 推广：n m n m a a q -= 求和 公式 () 112 n n n S na d -=+=()12n n a a + ()111 (1)1(1)11n n n na q S a q a a q q q q =?? =-?-=≠? --? 中项 公式 2 n k n k a a A -++=（*,,0n k N n k ∈>>） k n k n a a G +-±=（*,,0n k N n k ∈>>）
数列知识点题型方法总复习 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函 数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）已知* 2 () 156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__（125）； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（3λ>-）；（4）一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式)(1n n a f a =+得到的数 列}{n a 满足)(* 1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是（A ） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。如设{}n a 是等差数列，求证：以b n = n a a a n +++ 21 *n N ∈为通项公式的数列{}n b 为等差数列。 2．等差数列的通项：1(1)n a a n d =+-或()n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{}n a 中，1030a =，2050a =，则通项n a = 210n +；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ 8 33 d <≤ 3．等差数列的前n 和：1()2n n n a a S += ，1(1) 2n n n S na d -=+。如（1）数列 {}n a 中，*11(2,)2 n n a a n n N -=+≥∈，32n a =，前n 项和15 2n S =-，则13a =-，10n =； （2）已知数列 {}n a 的前n 项和2 12n S n n =-，求数列{||}n a 的前n 项和n T （答：2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈?=?-+>∈??）. 4．等差中项：若,,a A b 成等差数列，则A 叫做a 与b 的等差中项，且2 a b A +=。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、 d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ） 三．等差数列的性质： 1．当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率 为公差d ；前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. 2．若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数 列。
数列基础知识点 《考纲》要求： 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项； 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题； 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式，并能解决简单的实际问题。 数列的概念 1 ．数列的概念：数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或 其子集{1，2，3，……n}的函数f(n)．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第项． 2．数列的通项公式 一个数列{a n }的与之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f(n)来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为： =n a ?????≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴公式法：等差数列与等比数列采用首项与公差(公比)确定的方法． ⑵观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式. 例1.根据下面各数列的前n 项的值，写出数列的一个通项公式． ⑴－3 12?，534?，－758?，9716?…； ⑵ 1，2，6，13，23，36，…； ⑶ 1，1，2，2，3，3， 解：⑴ a n ＝(－1) n )12)(12(12+--n n n ⑵ a n ＝)673(21 2+-n n （提示：a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝4，a 4－a 3＝7，a 5－a 4＝10，…，a n －a n －1＝1＋3(n －2)=3n －5．各式相加得
一、数列 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项. ⑴数列中的数是按一定“次序”排列的，在这里，只强调有“次序”，而不强调有“规律”．因此，如果组成两个数列的数相同而次序不同，那么它们就是不同的数列． ⑵在数列中同一个数可以重复出现． ⑶项a n 与项数n 是两个根本不同的概念． ⑷数列可以看作一个定义域为正整数集(或它的有限子集)的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，但函数不一定是数列 2.通项公式：如果数列{}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式，即)(n f a n =. 3.递推公式：如果已知数列{}n a 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项1-n a （或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ，那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中，12,11+==n n a a a ，其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21； ②???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 1、已知*2()156 n n a n N n =∈+，则在数列{}n a 的最大项为（答：125）； 2、数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为（答：n a <1+n a ）； 3、已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）； 4、一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式) (1n n a f a =+得到的数列}{n a 满足)(*1N n a a n n ∈>+，则该函数的图象是 （）（答：A ）
数列知识梳理 一、看数列是不是等差数列有以下三种方法： ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题： (1)当1a >0,d<0时，满足?? ?≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意 转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法：
（1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：① ? ? ? ≥ - = = - )2 ( )1 1 1 n S S n S a n n n （；②{} n a等差、等比数列{}n a公式. 1、已知{a n}满足a n+1=a n+2，而且a1=1。求a n。 例1已知 n S为数列{}n a的前n项和，求下列数列{}n a的通项公式： ⑴1 3 22- + =n n S n ；⑵1 2+ =n n S. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①) ( 1 n f a a n n + = + ；②). ( 1 n f a a n n = + 数列求和的常用方法 一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n2 )1 ( 2 ) ( 1 1 - + = + = 2、等比数列求和公式： ?? ? ? ? ≠ - - = - - = = )1 ( 1 1 ) 1( )1 ( 1 1 1 q q q a a q q a q na S n n n 二.裂项相消法:适用于 ? ? ? ? ? ? +1 n n a a c 其中{ n a}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列 )1 (n 1 + n 的前n项和 ***这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如： （1） 1 1 1 )1 ( 1 + - = + = n n n n a n
数列知识点总结及题型归纳总结
高三总复习----数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数 列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数 列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N + ∈）， 数列②的通项公式是n a = 1n （n N + ∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表 示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，
1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一 个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N + （或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分： 有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常 数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系： 1 1(1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和3 22+=n s n ，求数列}{n a 的通
数列知识点题型法总复习 一．数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。如 （1）已知* 2 () 156 n n a n N n =∈ + ，则在数列{}n a的最大项为__（ 1 25 ）； （2）数列} { n a的通项为 1 + = bn an a n ，其中b a,均为正数，则 n a与 1+ n a的大小关系为___（ n a< 1+ n a）； （3）已知数列{} n a中，2 n a n n λ =+，且{} n a是递增数列，数λ的取值围（3 λ>-）；（4）一给定函数) (x f y=的图象在下列图中，并且对任意)1,0( 1 ∈ a，由关系式) ( 1n n a f a= + 得到的数列} { n a满足) (* 1 N n a a n n ∈ > + ，则该函数的图象是（A） A B C D 二．等差数列的有关概念： 1．等差数列的判断法：定义法 1 ( n n a a d d + -=为常数）或 11 (2) n n n n a a a a n +- -=-≥。如设{} n a是等差 数列，求证：以b n= n a a a n + + +Λ 2 1* n N ∈为通项公式的数列{} n b为等差数列。 2．等差数列的通项： 1 (1) n a a n d =+-或() n m a a n m d =+-。如(1)等差数列{} n a中， 10 30 a=， 20 50 a=， 则通项 n a=210 n+；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取 值围是______ 8 3 3 d <≤ 3．等差数列的前n和：1 () 2 n n n a a S + =， 1 (1) 2 n n n S na d - =+。如（1）数列{} n a中， * 1 1 (2,) 2 n n a a n n N - =+≥∈， 3 2 n a=，前n项和 15 2 n S=-，则 1 3 a=-，10 n=； （2）已知数列{} n a的前n项和2 12 n S n n =-，求数列{||} n a的前n项和 n T （答： 2* 2* 12(6,) 1272(6,) n n n n n N T n n n n N ?-≤∈ ? =? -+>∈ ?? ）. 4．等差中项：若,, a A b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且 2 a b A + =。 提醒：（1）等差数列的通项公式及前n和公式中，涉及到5个元素：1a、d、n、n a及n S，其中1a、d称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2 a d a d a a d a d --++…（公差为d）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3 a d a d a d a d --++,…（公差为2d） 三．等差数列的性质： 1．当公差0 d≠时，等差数列的通项公式 11 (1) n a a n d dn a d =+-=+-是关于n的一次函数，且斜率 为公差d；前n和2 11 (1) () 222 n n n d d S na d n a n - =+=+-是关于n的二次函数且常数项为0. 2．若公差0 d>，则为递增等差数列，若公差0 d<，则为递减等差数列，若公差0 d=，则为常数
数列基础知识点和方法归纳 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界 项， 即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由10 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶 奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，
第二章 数列 复习要点 1. 等差数列的定义与性质 定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()()11122 n n a a n n n S na d +-==+ 性质：{}n a 是等差数列 （1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； （2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列， 公差为d n 2； （3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121 m m m m a S b T --= （5）{}n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项， 即：当100a d ><，，解不等式组1 00n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当100a d <>，，由100 n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. (6)项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶，1 +=n n a a S S 偶奇 .
数列 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). ⑶看数列是不是等比数列有以下四种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) (4)在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ?≤≥+0 1m m a a 的项数m 使 得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+001 m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对 值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
数列通项的常用方法： ⑴利用观察法求数列的通项. ⑵利用公式法求数列的通项：①?? ?≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. ⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ ⑶构造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 题型1 利用公式法求通项 基础篇： 1、已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1 a 适合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- .
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个 位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式 就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211，，，，… 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈?+=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1 开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：11(1)(2) n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 二、等差数列 (一)、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为 1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥ 例：等差数列12-=n a n ，=--1n n a a (二)、等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； 说明：等差数列（通常可称为A P 数列）的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列。 例：1.已知等差数列{}n a 中，124971 16a a a a ，则，==+等于（ ） A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 2.{}n a 是首项11a =，公差3d =的等差数列，如果2005n a =，则序号n 等于 （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670 3.等差数列12,12+-=-=n b n a n n ，则n a 为 n b 为 （填“递增数列”或“递减数列”） (三)、等差中项的概念： 定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。其中2 a b A += a ，A ，b 成等差数列?2 a b A += 即：212+++=n n n a a a （m n m n n a a a +-+=2） 例：1．（06全国I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++= （ ） A ．120 B ．105 C ．90 D ．75 (四)、等差数列的性质： （1）在等差数列{}n a 中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项； （2）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列； （3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n m a a d n m -= -()m n ≠； （4）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； (五)、等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)22 n n n a a n n S na d +-= =+n d a ）（2n 2112-+=。(),(2 为常数B A Bn An S n +=?{}n a 是等差数列 ) 递推公式：2 )(2)()1(1n a a n a a S m n m n n --+=+= 例：1.如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++= （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 2.（2009湖南卷文）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 3.（2009全国卷Ⅰ理） 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若972S =,则249a a a ++= 4.若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（ ） A.13项 B.12项 C.11项 D.10项
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数列基本概念 数列是一种特殊函数，对于数列这种特殊函数，着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类： 依定义域分为：有穷数列、无穷数列； 依值域分为：有界数列和无界数列； 依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。 数列的表示方法：列表法、图象法、解析法（通项公式法及递推关系法）； 数列通项：() n a f n = 2、等差数列 1、定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1,()n n a a d d +-=常，d 叫公差。 2、通项公式 1(1)n a a n d =+- 3、前n 项和公式 由 1211,n n n n n S a a a S a a a -=+++=+++， 相加得 12n n a a S n += ， 还可表示为1(1) ,(0)2 n n n S na d d -=+≠，是n 的二次函数。 特别的，由1212n n a a a -+= 可得 21(21)n n S n a -=-。
4、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A 称为a 与b 的 等差中项．若2 a c b += ，则称b 为a 与c 的等差中项． 5、等差数列的性质： （1）m n p q +=+（m 、n 、p 、* q ∈N ），则m n p q a a a a +=+； 特别地，若2n p q =+（n 、p 、* q ∈N ），则2n p q a a a =+． （2）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列． （3）若项数为() *2n n ∈N ，则S S nd -=偶奇 ，． （4）若项数为()* 21n n -∈N ，则()2121n n S n a -=-，1 S n S n = -奇偶 3、等比数列 1、 定义 当n N ∈,且2n ≥ 时，总有 1 (0)n n a q q a -=≠ , q 叫公比。 2、 通项公式： 11n n m n m a a q a q --==, 在等比数列中，若 2m n p q r +=+= , 则 2m n p q r a a a a a ?=?=. 3、 、在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，则G 称为a 与b 的等比中 项．若2 G ab =，则称G 为a 与b 的等比中项． 4、 等比数列的前n 项和的性质： （1）m n p q +=+（m 、n 、p 、* q ∈N ），则m n p q a a a a ?=?；若{}n a 是等比数列，且2n p q =+（n 、p 、*q ∈N ），则2 n p q a a a =?． （2）n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列。 5、 前n 项和公式: 由 12231,n n n n n S a a a qS a a a a +=+++=++++， 两式相减， 当 1q ≠时，11(1),(1)11n n a a q a q S q q q --==≠-- ；当1q =时 ，1n s na = 。 关于此公式可以从以下几方面认识：
数列专题解析方法 一、数列通项公式的求解 类型一：观察法 例 1: 写出下列数列的一个通项公式 （1）3,5,9,17,33 ，； （2）11,22,33,44, ; 2345 （3）7,77.777.7777. （4）2, 1,10, 17,26, ; 3 7 9 11 （5）3,9,25,65, ; 2 4 8 16 类型二：公式法 (1) a n a1 (n 1)d a m (n m)d 例 2：已知等差数列a n 中，a1 1,a3 3,求a n 的通项公式 n 1 n m (2)a n a1q n1 a m q n m 例 3：已知等比数列a n 中，a2 6,6a1 a3 30, 求a n 的通项公式类型三：利用“ S n ”求解 S1,(n 1) (1) (1) a n n S n S n 1(n 2)
例 4：已知数列a n 的前n项和S n n2 24n(n N* )，求a n 的通项公例 5：已知数列a n 的前n项和为S n，且有a1 3,4S n 6a n a n 1 4S n 1,求a n 的通项公式 例 6：已知数列a n 的前n 项和为S n，且有a1 1,a n 1 2S n 1(n 1), 求a n 的通项公式 例 7：已知正数数列a n 的前n项和为S n ，且对任意的正整数n满足 2 S n a n 1, 求a n 的通项公式 (2)S n S n 1的推广 例 8：设数列a n满足a13a232a33n 1a n n,n N*求a n的通项公 3 式 类型四：累加法 形如a n 1 a n f (n)或a n a n 1 f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n 的函数) (1)若 f (n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和例 9：a n 1 a n 2n 1,a1 2, 求a n 的通项公式 (2)若 f (n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和例 10：a n 1 a n 2n,a1 2, 求a n 的通项公式 (3)若 f (n) 是关于n 的二次函数，累加后可分组求和 例11：a n 1 a n n n 1,a1 1, 求a n 的通项公式 (4)若 f (n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和 例 12：a n 1 a n 21,a1 1, 求a n的通项公式 n 2 2n n 类型五：累乘法 形如an1f(n)或an f (n)型的递推数列(其中f(n)是关于n的函数) a n a n 1
数 列 专 题 ◆ 考点一：求数列的通项公式 1. 由a n 与S n 的关系求通项公式 由S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路有： ①利用S n －S n －1＝a n (n≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式； 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝? ?? ?? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n≥2.当n ＝1时，a 1若适合S n －S n －1，则n ＝1的情况可 并入n≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示． ②转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 的关系，再求a n . 2.由递推关系式求数列的通项公式 由递推公式求通项公式的常用方法:已知数列的递推关系，求数列的通项公式时，通常用累加、累乘、构造法求解． ◆ 累加法：递推关系形如a n ＋1－a n ＝f(n)，常用累加法求通项； ◆ 累乘法：递推关系形如a n ＋1 a n ＝f(n)，常用累乘法求通项； ◆ 构造法：1）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q(p 、q 是常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通 项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p(a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列； 2）递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p≠1，q≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n ＋1 转为用迭加法求解． 3） ◆ 倒数变形
3.数列函数性质的应用 数列与函数的关系 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．因此，在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性． 函数思想在数列中的应用 (1)数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决． (2)数列的单调性是高考常考内容之一，有关数列最大项、最小项、数列有界性问题均可借助数列的单调性来解决，判断单调性时常用：①作差；②作商；③结合函数图象等方法． （3)数列{a n }的最大(小)项的求法 可以利用不等式组? ?? ?? a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1，找到数列的最大项；利用不等式组? ?? ?? a n －1≥a n ， a n ≤a n ＋1，找到 数列的最小项. [例3] 已知数列{a n }．(1)若a n ＝n 2 －5n ＋4，①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． (2)若a n ＝n 2 ＋kn ＋4且对于n ∈N * ，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． 考点二：等差数列和等比数列 等差数列 等比数列 定义 a n －a n －1＝常数(n≥2) a n a n －1＝常数(n≥2) 通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d a n ＝a 1q n －1 (q≠0)
高三总复习----数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式 就叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 1 4131211，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ①{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=? ； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值(1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,…