第11章随机变量及其数字特征知识结构图：
教学基本要求：
1．了解随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量、分布函数的概念和性质;
2．了解两点分布、泊松分布、均匀分布，掌握二项分布、正态分布；
3．理解数学期望、方差的概念、性质及其计算；
4．掌握利用概率分布列、概率密度及分布函数计算有关事件概率；
5．会求随机变量函数的数学期望．
重点：理解随机变量（离散型连续型）、分布函数、随机变量函数以及概率密度等概念和性质；了解两点分布、泊松分布、均匀分布、二项分布、正态分布的差异和关系以及性质；掌握数学期望、方差的计算方法及性质；掌握概率分布列、概率密度及分布函数的计算及计算有关事件的概率。
难点：随机变量的概念、分布函数的概念、随机变量函数的数学期望．
11.1随机变量
11.1.1 随机变量的概念
随机变量：如果一个变量，它的取值随着试验结果的不同而变化着，当试验结果确定后，它所取的值也就相应地确定，这种变量称为随机变量，随机变量可用英文大写字母X,Y,Z,…(或希腊字母)等表示．随机变量与一般变量有点差别：随机变量的取值是随机的(试验前只知道它可以取值的范围，但不能确定它取什么值)，且取这些值具有一定的概率，比如X取值是0，相应地有概率P(X=0)；一般变量X取值是确定的，比如X 取值是0，就是X=0．
例1在10件同类型产品中，有3件次品，现任取2件，用一个变量X表示“2件中的次品数”，X的取值有0,1,2．显然，“X=0”表示次品数为0，它与事件“取出的2件中没有次品”是等价的．由此可知，“X=1”等价于“恰好有1件次品”，“X=2”等价于“恰好有2件次品”．
于是由古典概率可求得
此结果可统一成
例5某人打靶，一发子弹打中的概率为p，打不中的概率为1-p，用随机变量描述这个随机现象，通常规定随机变量
这样取X有几个优点：
(1)X反映了一发子弹的命中次数(0次或1次)．
随机变量的分类
(2)计算上很方便，有利于今后进一步讨论．
随机变量的分类：根据随机变量取值的情况，我们可以把随机变量分为两类：离散型随机变量和非离散型随机变量，若随机变量X的所有可能取值是可以一一列举出来的(即取值是可列个)，则称X为离散型随机变量；若随机变量X的所有取值不能一一列举出来，则称X为非离散型随机变量．
对一个随机变量X，不仅要了解它取哪些值，而且要了解取各个值的概率，即它的取值规律，通常把X取值的规律称为X的分布．
11.1.2离散型随机变量
定义11.1设离散型随机变量X的所有取值为x1,x2,…,x k,…，并且X取各个可能值的概率分别为
p k=P(X=x k)，k=1,2,…．
称上式为离散型随机变量X的概率分布，简称分布列或分布．为清楚起见，X及其分布列也可以用表格的形式表示
x x1 x2… x k…
p k p1 p2… p k…
分布列的性质：由概率的定义可知,p k满足如下性质：
性质1
性质2
如例1中“任取2件产品，2件中的次品件数X”的分布列是
X 0 1 2
p k7/15 7/15 1/15
例6设有N件产品，其中有M件是次品，现从中随机抽取n(n≤N )件，抽到的次品数X就是一个随机变量，由古典概率的计算公式知X的分布列是
其中l=min(M,n)，具有这种形式的分布称为超几何分布．
11.1.3连续型随机变量
连续型随机变量：
定义11.2设随机变量X，如果存在非负可积函数f(x),
()，使得对任意a≤b，有
则称X为连续型随机变量，称f(x)为X的概率密度函数，简称概率密度或分布密度．
概率密度函数的性质性质：由定义可知，概率密度有下列性质：
性质1f(x)≥0(因为概率不能小于0)．
性质2
例7设随机变量X的概率密度函数是
试求：(1) 系数A；
(2) X落在区间内的概率．
解(1)根据概率密度函数的性质2，可得
所以A=1/π.
例8设随机变量X的概率密度函数是
其中λ>0，则称X服从参数为λ的指数分布．若某电子元件的寿命X服从参数λ＝1/2000的指数分布，求P(X≤1200).
解
电子元件的使用寿命、电话的通话时间等都可以用指数分布来描述．
11.2分布函数及随机变量函数的分布
11.2.1分布函数概念
分布函数概念：
定义11.3设X是一个随机变量，称函数
F(x)=P(X≤x)
为随机变量X的分布函数．记作X~F(x)或F X(x)．
（1）对于离散型随机变量X，若它的概率分布是p k=P(X=x k)( k=1,2,…)，则X 的分布函数为
（2）对于连续型随机变量X，其概率密度为f(x)，则它的分布函数
即分布函数是概率密度的变上限的定积分．由微分知识可知，在f(x)的连续点X处，有
也就是说概率密度是分布函数的导数
分布函数F(x)的性质：
性质10≤F(x)≤1(因为F(x)就是某种概率)．
性质2F(x)是单调不减函数，且
性质3或
11.2.2分布函数的计算
离散型随机变量X的分布函数的计算：
例1设随机变量X的分布列是
X -1 0 1
p i0.3 0.5 0.2 求X的分布函数
解当x<-1时，因为事件{X≤x}=?，所以F(x)=0 ;
当-1≤x<0时，有
F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)=0.3 ；
当0≤x<1时，有
F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)
=0.3+0.5=0.8；
当x≥1时，有
F(x)=P(X≤x)=P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)
=0.3+0.5+0.2=1.
故X的分布函数为
连续型随机变量X的分布函数的计算：
例2设随机变量X的概率密度是
求X的分布函数F(x)．
解由分布函数定义，可得
当x 当a≤x 当b≤x时，有f(x)=0，故 故X的分布函数F(x)为 11.2.3随机变量函数的分布 随机变量函数的概念：设f(x)是一个函数，若随机变量X的取值为x时，随机变量Y的取值为y=f(x)，则称随机变量Y是随机变量X的函数，记作Y=f(X)．例如，设随机变量X是圆直径的测量值，而圆面积Y就是X的函数： ．我们的问题是如何根据已知的随机变量X的分布去求随机变量 Y=f(X)的分布． 随机变量函数的分布： （1）若离 X x1 x2… x k… p k p1 p2… p k… 如果f(x Y f(x1) f(x2) … f(x k) … p k p1 p2… p k… 如果f(x k)( k=1,2,…)中有相等的，则把相等的值合并起来，同时把对应的概 随机变量的数字特征试题 答案 It was last revised on January 2, 2021 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）= B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4 D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）= （C ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004 B. C. D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X -Y ）=D （X ）-D （Y ） D ． D （X -C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 B ． 21 C ．2 3 D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D = （C ） A ． 34 B ． 37 C ． 323 D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)31 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ． -13 B ． 15 C ． 19 D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 B ． 22 C ． 30 D ． 46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 B ． 1 C ． 3 10 D ． 10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0 D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D B ． )(X D -)(Y D C ．)(X D +)(Y D -2),cov(Y X D ．)(X D +)(Y D +2),cov(Y X 12、设随机变量)2 1 ,10(~B X ，)10,2(~N Y ，又14)(=XY E ，则X 与Y 的相关系数 XY ρ=（D ） A ． B ． -0.16 C ． D ． 13、已知随机变量X 的分布律为 25 .025.012p P x X i -，且E （X ）=1?，则常数x =( B) A ． 2 B ． 4 C ． 6 D ． 8 14、设随机变量X 服从参数为2的指数分布，则随机变量X 的数学期望是（C ） A. B. 0 C. D. 2 15、已知随机变量X 的分布函数为F(x)=?? ?>--other x e x 00 12，则X 的均值和方差分别为（D ） 大数据的4V特征 近几年很多领域都在讨论如何发展和运用大数据，那么什么是大数据？大数据的特征是什么？好多人不怎么了解，下文对这些方面进行简单的阐述。 （一）大数据（Big Data） 大数据是指那些超过传统数据库系统处理能力的数据。它的数据规模和转输速度要求很高，或者其结构不适合原本的数据库系统。为了获取大数据中的价值，我们必须选择另一种方式来处理它。数据中隐藏着有价值的模式和信息，在以往需要相当的时间和成本才能提取这些信息。如沃尔玛或谷歌这类领先企业都要付高昂的代价才能从大数据中挖掘信息。而当今的各种资源，如硬件、云架构和开源软件使得大数据的处理更为方便和廉价。即使是在车库中创业的公司也可以用较低的价格租用云服务时间了。对于企业组织来讲，大数据的价值体现在两个方面：分析使用和二次开发。对大数据进行分析能揭示隐藏其中的信息。例如零售业中对门店销售、地理和社会信息的分析能提升对客户的理解。对大数据的二次开发则是那些成功的网络公司的长项。例如Facebook通过结合大量用户信息，定制出高度个性化的用户体验，并创造出一种新的广告模式。这种通过大数据创造出新产品和服务的商业行为并非巧合，谷歌、雅虎、亚马逊和Facebook它们都是大数据时代的创新者。 （二）大数据的4V特征 大量化(V olume)：企业面临着数据量的大规模增长。例如，IDC最近的报告预测称，到2020年，全球数据量将扩大50倍。目前，大数据的规模尚是一个不断变化的指标，单一数据集的规模范围从几十TB到数PB不等。简而言之，存储1PB数据将需要两万台配备50GB硬盘的个人电脑。此外，各种意想不到的来源都能产生数据。 多样化(Variety)：一个普遍观点认为，人们使用互联网搜索是形成数据多样性的主要原因，这一看法部分正确。然而，数据多样性的增加主要是由于新型多结构数据，以及包括网络日志、社交媒体、互联网搜索、手机通话记录及传感器网络等数据类型造成。其中，部分传感器安装在火车、汽车和飞机上，每个传感器都增加了数据的多样性。 快速化(Velocity)：高速描述的是数据被创建和移动的速度。在高速网络时代，通过基于实现软件性能优化的高速电脑处理器和服务器，创建实时数据流已成为流行趋势。企业不仅需要了解如何快速创建数据，还必须知道如何快速处理、分析并返回给用户，以满足他们的实时需求。根据IMS Research关于数据创建速度的调查，据预测，到2020年全球将拥有220亿部互联网连接设备。 价值化（Value）：大量的不相关信息，浪里淘沙却又弥足珍贵。对未来趋势与模式的可预测分析，深度复杂分析（机器学习、人工智能Vs传统商务智能(咨询、报告等） 蚁坊软件在舆情大数据处理中注重大量化、多样化、快速化、价值化，凭借自身的大数据平台为客户提供舆情应用服务，其中鹰击提供微博舆情监测分析服务，正是基于这四个维度，其舆情“早发现”的能力显著领先竞争对手，为舆情早报告、早响应提供先机；而蚁坊软件旗下的另外一款典型产品，则是从多样性（全网）、快速性方面独有优势——鹰眼提供全网舆情监测分析服务，方便客户“速读网”，掌控舆情发展态势。 概率论与数理统计练习题 、选择题: 二、填空题: 1 4.设随机变量 X 的密度函数为f(x) e |x| ( x )，则E(X) 0 三、计算题： 1.袋中有5个乒乓球，编号为1 , 2, 3, 4, 5，从中任取3个，以X 表示取出的3个球中最大编 号，求E(X) 解：X 的可能取值为3, 4, 5 E(X) 3 丄 4 色 5 3 4.5 10 10 5 1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 系 _____ 第四章 专业 ______ 班 _________ 随机变量的数字特征(一) 学号 1 ?设随机变量 X 的可能取值为0, 1, 相应的概率分布为 0.6,0.3 , .01，则 E(X) 0.5 2 .设X 为正态分布的随机变量，概率密度为 f(x) 2?2 e (x 1)2 2 8 ，贝U E(2X 1) ，则 E(X 3X 2) 116/15 1 ?设随机变量X ,且 E(X)存在，则 E(X)是 (A )X 的函数 (B )确定常数 随机变量 (D )x 的函数 2 .设X 的概率密度为 f(x) 1 x e 9 9 0 ，则 E( 9X) 3 ?设 x x e 9 dx 1 (B) 9 x x e 9dx (C ) (D ) 1 是随机变量, E( )存在，若 ￥，则 E() E() (B)罟 (C ) E() P(X 3) 1 10 ， P(X 4) C 5 3 10 P(X 5) § 10 2 ?设随机变量X 的密度函数为f(X ) 2 (1 %)0甘它1，求E(X) 0 其它 2 3?设随机变量X~N(,)，求E(|X I) (1) Y 1 e 2X ( 2)Y 2 max{ X, 2} 解：(1) E(Y) 2x x 1 e e dx 0 3 (2) EM) 2 x 2e dx xe 0 2 x dx 2 2e 2 3e 2 2 2 e (3) E(Y 3) 2 e x dx 2e x 0 2 dx 1 c 2 c 2 」 2 3e 2e 1 e 概率论与数理统计练习题 ________ 系 _______ 专业 ______ 班 ___________________学号 _________ 第四章 随机变量的数字特征(二) 、选择题: 解：E(X) X 2(1 x)dx 解： |x (x )2 1 — dx 令y 2 y I y |e 2dy 4 .设随机变量 X 的密度函数为f (x) x 0 ，试求下列随机变量的数学期望。 x 0 (3) Y min{ X,2} 2 2~ 2 o ye dy 第四章 随机变量的数字特征 一、填空题 1. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望____________)(2=+-X e X E 。 2. 若随机变量X 服从均值为2，方差为2 σ的正态分布，且3.0)42(=< 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? 第四章 随机变量的数字特征试题答案 一、选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A. E （X ）=，D （X ）=? B. E （X ）=，D （X ）= C. E （X ）=2，D （X ）=4? D. E （X ）=2，D （X ）=2 2、设随机变量X 与Y 相互独立，且X~N （1，4），Y~N （0，1），令Y X Z -=，则D （Z ）=? （??C?） A. 1 ? B. 3 C. 5? D. 6? 3、已知D （X ）=4，D （Y ）=25，cov （X ，Y ）=4，则XY ρ =（C ） A. 0.004? B. ? C. ? D. 4 4、设X ，Y 是任意随机变量，C 为常数，则下列各式中正确的是（?D ） A ． D （X+Y ）=D （X ）+D （Y ） ?B ． D （X+C ）=D （X ）+C C ． D （X-Y ）=D （X ）-D （Y ） ?D ． D （X-C ）=D （X ） 5、设随机变量X 的分布函数为???? ???≥<≤-<=4, 14 2,12 2, 0)(x x x x x F ，则E(X)=（D ） A ． 31 ?B ． 21 C ．2 3 ?D ． 3 6、设随机变量X 与Y 相互独立，且)61,36(~B X ，)3 1 ,12(~B Y ，则)1(+-Y X D =（C ） A ． 34 ? B ． 37 C ． 323 ? D ． 3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ， X 与Y 相互独立，则)43(--Y X D =（C ） A ． -13 ? B ． 15 C ． 19 ? D ． 23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=，则)(Y X D -=（B ） A ． 6 ?B ． 22 C ． 30 ?D ． 46 9、设)3 1,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ． 31 ?B ． 1 C ． 3 10 ?D ． 10 10、设)3,1(~2 N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A. E （X ）=1? B. D （X ）=3? C. P （X=1）=0? D. P （X<1）= 11、设)(X E ，)(Y E ，)(X D ，)(Y D 及),cov(Y X 均存在，则)(Y X D -=（C ） A ． )(X D +)(Y D ?B ． )(X D -)(Y D §4 数据的数字特征 4.1 平均数、中位数、众数、极差、方差 4.2标准差 双基达标(限时20分钟) 1．已知一组数据20，30，40，50，50，60，70，80，其中平均数、中位数和众数的大小关系是( )．A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 解析中位数、平均数、众数都是50，从中看出一组数据的中位数、众数、平均数可以相同． 答案 D 2．一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是( )．A．81.2，4.4 B．78.8，4.4 C．81.2，84.4 D．78.8，75.6 解析由题意得原来数据的平均数是80＋1.2＝81.2，方差为4.4. 答案 A 3．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150，152，153，149，148，146，151，150，152，147，由此估计这车苹果单个重量的平均值为( ) A．150.2克B．149.8克 C．149.4克D．147.8克 解析这车苹果单个重量的平均值为 x－＝150＋152＋…＋147 10 ＝149.8(克)．故选B. 答案 B 4．已知数据a，a，b，c，d，b，c，c，且a 第四章随机变量的数字特征试题答案 一、 选择（每小题2分） 1、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（D ） A.E （X ）=0.5，D （X ）=0.5?B.E （X ）=0.5，D （X ）=0.25 C.E （X ）=2，D （X ）=4?D.E （X ）=2，D （X ）=2 2 Y X -=，则34） A C 5A 6、)1= （C ） A ．3 4?B ．3 7C ． 323?D ．3 26 7、设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，)3 1 ,8(~B Y ，X 与Y 相互独立，则 )43(--Y X D =（C ） A ．-13? B ．15 C ．19? D ．23 8、已知1)(=X D ，25)(=Y D ，XY ρ=0.4，则)(Y X D -=（B ） A ．6? B ．22 C ．30? D ．46 9、设)3 1 ,10(~B X ，则)(X E =（C ） A ．31? B ．1 C ．3 10?D ．10 10、设)3,1(~2N X ，则下列选项中，不成立的是（B ） A.E （X ）=1? B.D （X ）=3? C.P （X=1）=0? D.P （X<1）=0.5 11 A ．C ．12、XY ρ= （D 13x =(B) A ． 14、（C ） A.-15、为（A ．C ．21)(,41)(== X D X E ?D ．4 1 )(,21)(==X D X E 16、设二维随机变量（X ，Y ）的分布律为 则)(XY E =（B ） A ．9 1-?B ．0 C ．9 1?D ．3 1 17、已知随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则随机变量X 的方差为（D ） A 18，0.5)，则A 19，则X A 20， 则21（B A C 22、设n X X X ,,,21 是来自总体),(2σμN 的样本，对任意的ε>0，样本均值X 所满足的切比雪夫不等式为（B ） A ．{}2 2 εσεμn n X P ≥ <-?B ．{} 22 1ε σεμn X P -≥<- C ．{}2 2 1ε σεμn X P - ≤≥-?D ．{}2 2 εσεμn n X P ≤ ≥- 第三章 随机变量的数字特征答案 一、1、35；2、 6175；;259,59,259, 563、σ σμ1 , =±=b a ； 4、()(),2 1212 1211 )(2 2 2 212111 2??? ? ??-- ---+-? = ? = = x x x x e e e x πππ ? ），（～所以2 1 1N ξ ，2 1 ,12 = ===σ ξμξD E 5、2 1-；6.a=2,b=0,或a=-2,b=2；32)(=ξE 或31 ； 7、()()125,01022===+=+=+=+a D a b a D b a b aE b a E ξξξξ 所以2,5 1 2,51=-=-== b a b a 或 8、()()6.2022,2=++=++=+ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D ()()4.232,2=-+=-+=-ηξρηξηξηξηξξηD D D D Cov D D D 9、148，57； 10、()()()()n D a E D a E i i 2 2 ,,,σξ ξσξξ= ===所以 二、1、C 2、B 3、C 4、B 5、C 三、1、,2.03.023.004.02-=?+?+?-=ξE ()8.23.023.004.02222 2=?+?+?-=ξE ()() ()() ( )04.114,412,4.1353532 222=-==-=+=+ξξξξξξE E D D E E 2、ξ~[]10,0U ，()32512010,5210 02 =-==+=ξξD E ， 3 35=ξD 3、4)(,1)2 (==ξξ D D ，则 1)(,4)1(==-ξξ E D 所以0)1(=-ξE 所以 ()()()() 2 2 2111404E D E ξξξ-=-+-=+= 4、()()()()()()32323223,2D D D D Cov ξηξηξηξη-=+-=+-+- ()( )941225.6D D ξηρ=+-= 随机变量的数字特征 讨论随机变量数字特征的原因 （1） 在实际问题中，有的随机变量的概率分布 难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松 分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。 §4.1 数学期望 一、数学期望的概念 1.离散性随机变量的数学期望 例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下： 解： 平均年龄=1 4810721 224218201019718217+++++?+?+?+?+?+? 25.19= 把上式改写为： 32 12232421328203210193271832217?+?+?+?+?+? 设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为 定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为： 若 ∑k k k p x 绝对收敛（即 +∞ <=∑∑k k k k k k p x p x ），则称它为X 的 数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即 若 ∑k k k p x 发散，则称X 的数学期望不存在。 说明： （1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件： ∑k k k p x 绝对 收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学 期望为EX 。 ∑=k k k p x EX 例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p 例4．3：设X~B(n,p)，求EX EX=np 例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX EX=λ 2.连续型随机变量的数学期望 定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分 ?+∞∞-dx x xf) ( 绝对收敛，（即?∞∞ - +∞ < dx x f x) ( ），则称它 为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即 ) ( ) (?∞∞- =dx x xf X E 若?∞∞ - +∞ = dx x f x) ( ， 则称X的数学期望不存在。 例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。 EX= 2b a+ 例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ 例4.7: ) , ( ~2σ μ N X，求EX §2.3.1随机变量的数字特征（二） 学习目标 1．熟练掌握均值公式及性质． 2．能利用随机变量的均值解决实际生活中的有关问题． 学习过程 【任务一】双基自测 1．分布列为 的期望值为 ( ) A ．0 B ．－1 C ．－13 D ．12 2．设E (ξ)＝10，则E (3ξ＋5)等于 ( ) A ．35 B ．40 C ．30 D ．15 3．某一供电网络，有n 个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p ，供电网络中一天平均用电的单位个数是 ( ) A ．np (1－p ) B ．Np C ．n D ．p (1－p ) 4．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱中，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望E (ξ)＝________ 【任务二】题型与解法 题型一 二项分布的均值 例1：一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分 100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求学生甲和学生乙在这次测验中成绩的均值． 跟踪训练1英语考试有100道选择题，每题4个选项，选对得1分，否则得0分．学生甲会其中的20道，学生乙会其中的80道，不会的均随机选择．求甲、乙在这次测验中得分的期望． 题型二超几何分布的均值 例2一名博彩者，放6个白球和6个红球在一个袋子中，定下规矩： 凡是愿意摸彩者，每人交1元作为手续费，然后可以一次从袋中摸出5个球，中彩情况如下表： 试计算：（1）摸一次能获得20元奖品的概率； （2）按摸10 000次统计，这个人能否赚钱？如果赚钱，则净赚多少钱？ 跟踪训练2厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品． （1）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8，从中任意取出4件进行检验．求至少有1件是合格品的概率； 第四章随机变量的数字特征 【基本要求】理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算方法；掌握计算随机变量函数的数学期望方法；掌握二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差；了解协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法。 【本章重点】数学期望与方差的概念、性质与计算方法；求随机变量函数的数学期望的方法；二项分布、泊松分布、正态分布和指数分布的数学期望和方差。 【本章难点】数学期望与方差的概念计算方法；随机变量函数的数学期望的计算方法；协方差、相关系数、矩的概念、性质及计算方法 【学时分配】7-9学时 分布函数:) x F≤ =——全面描述随机变量X取值的统计规律。但是，在实际问题中 P X ) ( (x 分布函数的确定并不是一件容易的事，而且有时我们也不需要知道分布函数，只需知道随机变量的某些数字特征就够了。例如： 评价粮食产量，只关注平均产量； 研究水稻品种优劣，只关注每株平均粒数； 评价某班成绩，只关注平均分数、偏离程度； 评价射击水平，只关注平均命中环数、偏离程度。 描述变量的平均值的量——数学期望， 描述变量的离散程度的量——方差。 §4.1 数学期望 教学目的：使学生理解掌握随机变量的数学期望的实际意义及概念，会计算具体分布的数学期望； 使学生理解掌握随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学重点、难点：数学期望的概念及其计算；随机变量函数的数学期望的计算及数学期望的性质。 教学过程： (一) 数学期望的概念 先看一个例子:一射手进行打靶练习,规定射入 区域2e 得2分, 射入区域1e 得1分,脱靶即射入 区域0e 得0分.设射手一次射击的得分数X 是一个 e 0 随机变量，而且X 的分布律为P{X=k}=k p ,k=0,1,2 现射击N 次，其中得0分0a 次，得1分1a 次，得2分2a 次，0a +1a +2a =N.则他射击N 次得分的总和为0a 0+ 1a 1+ 2a 2,他平均一次射击的得分数为 ∑==?+?+?2 210210k k N a k N a a a ，因为当N 充分大时, 频率k p 概率稳定值 ??→?N a k 。 所以当N 充分大时, 平均数∑=??→?2 k k k p x x 稳定值 。 显然,数值∑=2 k k k p x 完全由随机变量X 的概率分布确定,而与试验无关，它反映了平均数的大小。 定义: 1.离散型随机变量的数学期望:设离散型随机变量X 的分布律为{}k k P X x p ==，1,2,3k =…若级数1 k k k x p ∞ =∑绝对收敛，则称级数1 k k k x p ∞ =∑为随机变量X 的数学期望，记为()E X ,即()E X ＝1 k k k x p ∞ =∑。 2.连续型随机变量的数学期望:设连续型随机变量X 的密度函数为()f x ，若积分()xf x dx ∞ -∞ ?绝对 收敛，则称积分()xf x dx ∞-∞ ?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即()E X ＝()xf x dx ∞ -∞ ?。 数学期望简称期望，又称为均值。 (二) 数学期望的计算 关键是：求出随机变量的分布律或者密度函数。 1、离散型——若 则()E X ＝1k k k x p ∞ =∑ （绝对收敛） 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第四章 随机变量的数字特征（一） 一、选择题： 1．设随机变量X ，且()E X 存在，则()E X 是 [ B ] （A ）X 的函数 （B ）确定常数 （C ）随机变量 （D ）x 的函数 2．设X 的概率密度为910()9 00 x e x f x x -?≥?=?? 第四章 随机变量的数字特征 ㈠ 数学期望 表征随机变量取值的平均水平、“中心”位置或“集中”位置． 1、数学期望的定义 (1) 定义 离散型和连续型随机变量X 的数学期望定义为 {}?????==?∑∞ ∞ - d )( )()( ， ， 连续型离散型x x xf x X x X k k k P E 其中Σ表示对X 的一切可能值求和．对于离散型变量，若可能值个数无限，则要求级数绝对收敛；对于连续型变量，要求定义中的积分绝对收敛；否则认为数学期望不存在． ①常见的离散型随机变量的数学期望 1、离散型随机变量的数学期望 设离散型随机变量的概率分布为 ，若，则称级数为随 机变量 的数学期望（或称为均值），记为 , 即 2、两点分布的数学期望 设 服从0—1分布，则有 ，根据定义， 的数学期望为 . 3、二项分布的数学期望 设 服从以 为参数的二项分布， ，则 。 4、泊松分布的数学期望 设随机变量 服从参数为的泊松分布，即，从而有 。 ①常见的连续型随机变量的数学期望 1)均匀分布 设随机变量ξ服从均匀分布，ξ～U [a，b] (a §1.4《数据的数字特征》教学案 一、教学背景分析 在义务教育阶段，学生已经通过实例，学习了平均数、中位数、众数、极差、方差等，并能解决简单的实际问题。(由于义务教育阶段《大纲》中对统计部分的要求与《标准》的要求相差较大，若是承接现行《大纲》的话，建议先补充《标准》中第三学段相应部分的内容。)在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。 二、教学目标 1、能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息，培养学生解决问题的能力。 2、通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差，提高学生的运算能力。 三、教学重、难点 教学重点：平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。 教学难点：根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。 四、设计思路 (1)、教法构想 本节教学设计依据课程标准，在义务教育阶段的基础上，进一步掌握平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差的计算、意义和作用。通过具体的实例，让学生理解数字特征的意义，并能选择适当的数字特征来表达数据的信息。 (2)学法指导 学生自主探究，交流合作，教师归纳总结相结合。 五、教学实施 导入新课 提出问题：小明开设了一个生产玩具的小工厂，管理人员由小明、他的弟弟和六个亲戚组成。工作人员由五个领工和十个工人组成。工厂经营的很顺利，需增加一个新工人，小亮需要一份工作，应征而来与小明交谈。小明说：“我们这里报酬不错，平均薪金是每周3 00元。你在学徒期每周75元，不过很快就可以加工资了。”小亮工作几天后找到小明说：“你欺骗了我，我已经找其他工人核对过了，没有一个人的工资超过每周100元，平均工资怎么可能是一周300元呢？”小名说：“小亮啊，不要激动，平均工资是300元，你看，这是一张工资表。”工资表如下： 第十章 随机变量分布及数字特征 10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布 1、学时：2学时 2、过程与方法： 结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求： （1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布 教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程： 一、新课教学内容 10.1 随机变量 概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等． 但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令???=01ξ 不合格 合格 事件10A A X ?=??发生与否用 不发生发生 这些事件数值化后，数量是会 变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ． 定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值． 举例： 1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{ }，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{}Λ210，， 3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{} 50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{} 30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类： （1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°． （2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°． 例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率． 解 X 可取值为{}210，， 101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103 )2(35 1 322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令???=0 1Y 出现反面 出现正面求出现正面与反面概率： 解 21)0(= =Y P 2 1)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布 10.2.1 离散型随机变量的概率分布 例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天 数据的数字特征同步练习思路导引 1.在8个试验点对两个早稻品种进行栽培对比试验，它们在各试验点的单位面积产量如下（单位：kg）： 甲402 492 495 409 460 420 456 501 乙428 466 465 428 436 455 449 459 在这些试验点中哪种水稻的产量比较稳定？ 解：比较甲、乙两组数据标准差的大小.S甲=37.5，S乙=14.7.S 乙 第12讲 随机变量的数字特征习题课 教学目的：掌握随机变量的数字特征，了解切比雪夫不等式和大数定律。 教学重点：理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算，熟悉常用分布的数 学期望和方差。 教学难点：随机变量函数的数学期望。 教学时数：2学时 教学过程： 一、知识要点回顾 1. 随机变量X 的数学期望()E X 2. 对离散随机变量 ()()i i i E X x p x =∑ 3. 若1,2,i =，则假定这个级数绝对收敛，否则就没有数学期望。 4. 对连续随机变量 ()()E X xf x dx +∞ -∞ =? 5. 假定这个广义积分绝对收敛，否则就没有数学期望。 6. 随机变量X 的函数()g X 的数学期望[()]E g X ，其中()g X 为实函数。 7. 对离散随机变量 [()]()()i i i E g X g x p x =∑ 8. 对连续随机变量 [()]()()E g X g x f x dx +∞ -∞ =? 9. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 10. 二维随机变量(,)X Y 的函数(,)g X Y 的数学期望[(,)]E g X Y ，其中(,)g X Y 为二元 实函数。 11. 对离散随机变量 [(,)](,)(,)i j i j i j E g X Y g x y p x y =∑∑ 12. 对连续随机变量 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y dxdy +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? 13. 假定所涉及的无穷级数绝对收敛，所涉及的广义积分绝对收敛。 14. 数学期望的性质（假定所涉及的数学期望都存在） 15. (), ()E c c c =为常数 16. ()(), ()E cX cE X c =为常数 教案数据的数字特征 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 课时教案4 课题：数据的数字特征 一、教学分析 在初中阶段，学生已经学习了平均数、中位数、众数、极差、方差与标准差等概念，它们都是一些统计量，反映了数据的集中趋势与离散程度。在这个基础上高中阶段还将进一步学习标准差，并在学习中不断地体会它们各自的特点，在具体的问题中根据情况有针对性地选择一些合适的数字特征。 二、教学建议 1、本节开始，可结合上一节茎叶图的相关内容，让学生计算初中已经学习过的统计量，让学生复习初中学习的统计量的内容，并能在这个过程中体会用不同的统计量刻画数据集中趋势的不同。 2、在选择适当的数来分别表示这两组数据的离散程度时，学生会很自然地想到义务教育阶段时学习过的极差和方差。在教学时，可以先让学生自主思考，选择适当的数来表示，在此基础上，再鼓励他们积极交流，并认真观察、比较不同刻画方式之间的异同。 3、作为本节的结束，可安排教材的“动手实践”活动，让学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断的过程，进一步体会统计对决策的作用。 三、教学目标 1、知识与技能 （1）能结合具体情境理解不同数字特征的意义，并能根据问题的需要选择适当的数字特征来表达数据的信息。 （2）通过实例理解数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差。 2、过程与方法 在分析和解决具体实际问题的过程中，学会用恰当的统计量表示数据的方法，并能结合统计量对所给数据的分布情况作出合理的解释。2 3、情感态度价值观 通过对现实生活和其他学科中统计问题的分析和解决，体会用数学知识解决现实生活及各学科问题的方法，认识数学的重要性。 四、教学重点、难点 教学重点：理解各个统计量的意义和作用，学会计算数据的标准差。 教学难点: 根据给定的数据，合理地选择统计量表示数据。 （一）课题引入 数据的信息除了通过前面介绍的各种统计图表来加以整理和表达之外，还可以通过一些统计量来表述，也就是将多个数据“加工”为一个数值，使这个数值能够反映这组数据的某些重要的整体特征。 （二）探求新知 请大家思考，初中时我们学习了几个统计量它们在刻画数据时，各有什么样的优点和缺点请大家结合下面问题的解决，对这个问题进行思考。 1、平均数、中位数、众数 某公司的33名职工的月工资（单位：元）如下： （1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数； （2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从随机变量的数字特征试题答案
大数据的4V特征
四、随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征
四、随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征试题答案
北师大版高中数学必修三§4 数据的数字特征
第四章 随机变量的数字特征试题答案
第三章 随机变量的数字特征答案
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征教案
随机变量的数字特征
随机变量的数字特征(答案)
随机变量的数字特征归纳
1.4《数据的数字特征》教学案
随机变量分布及数字特征
教学参考高一北师大数学必修3同步作业：第1章 第4节 数据的数字特征3 含答案
随机变量数字特征习题课
教案数据的数字特征
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