Bayes判别分析及应用
班级：计算B101姓名：孔维文学号201009014119
指导老师：谭立云教授
【摘要】判别分析是根据所研究个体的某些指标的观测值来推断该个体所属类型的一种统计方法，在社会生产和科学研究上应用十分广泛。在判别分析之前，我们往往已对各总体有一定了解，样品的先验概率也对其预测起到一定作用，因此进行判别时应考虑到各个总体出现的先验概率；由于在实际问题中，样品错判后会造成一定损失，故判别时还要考虑到预报的先验概率及错判造成的损失，Bayes判别就具有这些优点；然而当样品容量大时计算较复杂，故而常借助统计软件来实现。本文着重于Bayes判别分析的应用以及SPSS的实现。
论文共分三部分。首先简单地介绍了判别分析的意义、主要应用及SPSS的优点；其次详细讲解了Bayes判别分析理论,举例说明利用SPSS实现Bayes判别分析的操作及结果分析；最后，在09年统计年鉴收集到“各地区农村居民家庭平均每人生活消费支出”数据资料，研究各地区经济发展程度说明Bayes判别分析在经济学方面的应用。
【关键词】判别分析Bayes判别Spss实现判别函数判别准则
Class: calculation B101 name: KongWeiWen registration number 201009014119
Teacher: TanLiYun professor
.【Abstract】Discriminant analysis is based on the study of certain indicators of individual observations to infer that the individual belongs as a type of statistical methods in social production and scientific research is widely used. In discriminant analysis, we often have a certain understanding of the overall sample of the a priori probability of its prediction play a role, it should be taken into account to determine the overall emergence of various prior probability; because of practical problems, samples will result in some loss of miscarriage of justice, so identification must be considered when the prior probability and wrongly predicted loss, Bayes discriminant to have these advantages; However, when the sample is large computing capacity of more complex, often using statistical software Guer to achieve. This article focuses on the application of Bayes discriminant analysis, and implementation of SPSS.
Thesis is divided into three parts. First, a brief overview of the significance of discriminant analysis, the main applications and advantages of Spss; followed by detailed explanation of the Bayes discriminant analysis theory, an example implementation using Spss Bayes discriminant analysis and results of operations; finally, in the 2009 Statistical Yearbook of the collected " all areas of life of rural residents per capita household
consumption expenditures "data, the study of the extent of economic development shows Bayes discriminant analysis applications in economics.
【Key words 】 Discriminant analysis; Bayes discriminant; Spss achieve; Discriminant
function; Criteria;
1.1.1 判别分析的概念
在科学研究中，经常会遇到这样的问题：某研究对象以某种方式（如先前的结果或经验）已划分成若干类型，而每一种类型都是用一些指标T p X X X X ),,(21 =来表征的，即不同类型的X 的观测值在某种意义上有一定的差异。当得到一个新样品（或个体）的关于指标X 的观测值时，要判断该样品（或个体）属于这几个已知类型中的哪一个，这类问题通常称为判别分析。也就是说，判别分析是根据所研究个体的某些指标的观测值来推断该个体所属类型的一种统计方法。
判别分析的目的是得到体现分类的函数关系式，即判别函数。基本思想是在已知观测对象的分类和特征变量值的前提下，从中筛选出能提供较多信息的变量，并建立判别函数；目标是使得到的判别函数在对观测量进行判别其所属类别时的错判率最小。
判别函数的一般形式是：1122n n Y a x a x a x =+++ .
其中，Y 为判别函数判别值；n x x x ,,,21 为反映研究对象特征的变量；n a a a ,,,21 为各变量的系数，即判别系数。常用的判别法有距离判别法、Fisher 判别法和Bayes 判别法。
用统计语言来描述判别分析，就是已知有g 个总体g G G G ,,,21 （每个总体i G 可认为是属于i G 的指标T p X X X X ),,,(21 =取值的全体），它们的分布函数
)(,),(),(21x F x F x F g 均为p 维函数，对于任一给定的新样品关于指标X 的观测值
T p x x x x ),,,(21 =，我们要判断该样品应属于这g 个总体中的哪一个。
1.1.2 判别分析的应用及意义
判别分析的应用十分广泛。例如，在工业生产中，要根据某种产品的一些非破坏性测量指标判别产品的质量等级；在经济分析中，根据人均国民收入、人均工农业产值、人均消费水平等指标判断一个国家、某个省市经济发展程度所属的类型；在考古研究中，根据挖掘的古人头盖骨的容量、周长等判断此人的性格；在地质勘探中，根据某地的地质结构、化探和物探等各项指标来判断该地的矿化类型；在医学诊断中，医生要根据某病人的化验结果和病情征兆判定病人患哪一种疾病，等等。值得注意的是，作为一种统计方法，判别分析所处理的问题一般都是机理不甚清楚或基本不了解的复杂问题，如果样品的某些观测指标和其所属类型有必然的逻辑关系，也就没有必要应用判别分析方法了。
在实际应用中，通常由取自各总体的关于指标X 的样本为该总体的代表，该样本
称为训练样本，判别分析即提取训练样本中各总体的信息以构造一定的准则来决定新样品的归属感。训练样本往往是历史上对某现象长期观察或者是用昂贵的试验手段得到的，因此对当前的新样品，我们自然希望将其指标中的信息同各总体训练样本中的信息作比较，使可在一定程度上判定新样品的所属类型。概括起来，下述几方面体现了判别分析的重要意义。
第一，为未来的决策和行动提供参考。例如，以前对一些公司在破产前两年观测到某些重要的金融指标值。现在，要根据另一个同类型公司的这些指标的观测值，预测该公司两年后是否将频临破产的危险，这便是一种判别，其结论可以帮助该公司决策人员及早采取措施，防止将来可能破产的结局。
第二，避免产品的破坏。例如，一只灯泡的寿命只有将它用坏时才能得知；一种材料的强度只有将它压坏时才能获得。一般地，我们希望根据一些非破坏性的测量指标，便可将产品分出质量等级，这也要用到判别分析。
第三，减少获得直接分类信息的昂贵代价。例如在医学诊断中，一些疾病可用代价昂贵的化验或手术得到确诊，但通常人们往往更希望通过便于观测的一些外部症状来诊断，以避免过大的开支和患者不必要的损伤。
第四，在直接分类信息不能获得的情况下可用判别分析。例如，要判断某未署名的文学作品是否出自某已故作家之手，很显然，我们不能直接去问他。这是可以用判别分析方法在一定程度上判定该署名作品是否由该作家所作。
从以上例子也可以清楚地看出，如果不是利用直接明确的分类信息来判断某新样品的归属问题，难免会出现误判的情况，判别分析的任务是依据训练样本所提供的信息，建立在某种意义下最优（如误判概率最小或误判损失最小）的准则来判定一个新样品属于哪一个总体。
2.1 Bayes判别分析的前提假设
在介绍具体判别方法前首先来看判别分析的假设条件。这一点非常重要，如果数据不满足分析的前提条件，分析的结果是值得怀疑的。
（1）各个判别变量服从正态分布，由各个判别变量的联合分布是多元正态分布。只有在这个条件下，我们才可以进行有关的显著性检验。
（2）各判别变量不能存在多重共线性。这样变量组成的矩阵将不存在逆，判别分析的计算不能进行。
（3）每个变量在各类中的取值应存在显著性差异。只有在这个假设下才能通过变量建立有效地判别函数将各类区分出来。
2.2 Bayes判别的基本思想
Bayes统计是现代统计学的重要分支，其基本思想[1]是：假定对所研究的对象（总
体）在抽样前已有一定的认识，常用先验分布来描述这种认识，然后给予抽取的样本再对先验认识作修正，得到后验分布，而各种统计推断均基于后验分布进行。将Bayes 统计的思想用于判别分析，就得到Bayes 判别方法。
用统计的语言来描述Bayes 判别分析[2]: 已知有g 个p 维总体g G G G ,,,21 （每个总体i G 可认为是属于i G 的指标g X X X X ,,,21 =取值的全体）,它们的先验概率分别为g q q q ,,,21 （他们可由经验给出也可以估计出），显然应有),,2,1(0g i q i =≥且
11
=∑=g
i i
q
。各总体分别具有互不相同的p 维密度函数()x f x f x f g ,),(),(21 （在离散情形
是概率函数），在观测到一个样本x 的情形下，可用著名的Bayes 公式计算它来自第k 总体的后验概率（相对先验概率来说，将它又称为后验概率）：
∑==
g
i i i
k k x f q
x f q x k P 1
)
()
()/( g k ,,2,1 = （2-2-1）
并且当 )/(max )/(1x k P x h P g
k ≤≤= 时，则判X 来自第h 个总体.
有时还可以使用错判损失最小的概念作判别函数。这时把x 错判归第h 总体的平均损失定义为
()
k h L x f q
x f q x h E h
k g
i i i
k k /)
()
()/(1
?=∑
∑≠= （2-2-2）
其中)/(k h L 称为损失函数。它表示本来是第k 总体的样品错判为第h 总体的损失。显然上式是对损失函数依概率加权平均或称为错判的平均损失。当k h =时，有
)/(k h L =0，当k h ≠时，有)/(k h L >0.建立判别准则为
如果 )/(min )/(1x k E x h E g
k ≤≤= ，则判x 来自第h 个总体.
原则上说,考虑损失函数更为合理,但是在实际应用中)/(k h L 不容易确定,因此常常在数学模型中就假设各种错判的损失皆相等,即
??
?=10
)/(x k L k h k h ≠= （2-2-3） 这样一来,寻找h 使后验概率最大和使错判的平均损失最小是等价的,即
min )/(max )/(?→???→?h
h x h E x h p
2.3 两正态分布的Bayes 判别[6]
2.3.1马氏 (Mahalanobis ) 距离和判别函数
设G 是p 维总体,数学期望为μ,协方差矩阵为∑,p 维样本x 到总体G 的马氏距离定义为
2
1
1
)]()
[(?),(μμ--=∑
-x x G x d T
（2-3-1）
设1G ,2G 为不同的两个p 维总体,数学期望分别为1μ和2μ,协方差矩阵分别为1
∑和2∑, 考察样品x 到两总体的马氏距离的平方差,并根据式(1)可得
2/)(,)()(2),(),(212111222μμμμμμ+=--=-∑-T x G x d G x d （2-3-2）
)(x W 为判别函数, 令
∑--=-)()()(211μμμT x x W （2-3-3）
2.3.2 Bayes 判别函数
设21,G G 为两个不同的p 维正态总体，这时其概率密度为
2,1,)()(21exp )
2()(12
12
=?
??
???-∑--∑=--
-
i x x x f i i T i i
p i μμπ （2-3-4）
其中i μ和i ∑（2,1=i ）为两总体的均值向量和协方差矩阵，i ∑表示矩阵i ∑的行列式（2,1=i ）。假设两正态总体的协方差矩阵相等，即∑=∑=∑21。这时可得
[]
?
??
???-∑---∑-=--)()()()(21exp )()(11121221μμμμx x x x x f x f T T ()()[]
?
?????-=1222,,21exp G x d G x d
(){}x W exp =， 其中 ())(]2
1
[)(21121μμμμ-∑+-
=-T x x W （2-3-5） 实际应用中,若1μ,2μ和∑未知,则用训练样本作估计,即以1?μ
=)1(x ,2?μ=)2(x 和2
)1()1(?212211-+-+-=∑
n n S n S n 代替式(5)中的1μ和2μ和∑. 2.4 多正态总体的 Bayes 判别
将两正态总体的 Bayes 判别推广到多正态总体的判别分析中.设g 个p 维正态总体g G G G ,,,21 其概率密度函数同式(4).
假设各正态总体的协方差矩阵相等,即∑=∑==∑=∑g 21, 则判别函数为()i i T i T i q x x W ln 2
11
11+∑-
∑=--μμμ,其中g i ,,3,2,1 =. 实际应用中,若i μ，i ∑未知,则以训练样本作估计,即以训练样本的样本均值)(i x 和样本方差i S 作为i μ和i ∑的估计,此时
()()()[]
)/(111212211g n n n S n S n S n g g g -+++-++-+-=∑ . 2.5 判别准则
在此介绍错判的平均损失最小原则的理论。
（1）两正态总体的Bayes 判别准则.设总体21,G G 的先验概率分布分别为1q 和2q , 误判损失分别为)1|2(c 和)2|1(c .对给定的样品x ,计算两总体的概率密度函数在x 处的函数值,其Bayes 判别准则为
()()()(),,1|22|1ln )(,,1|22|1ln )(2
1211
2???????
∈<∈≥G
x c q c q x W G x c q c q x W 若若 （2-3-6）
（2）多正态总体的Bayes 判别准则.设总体g G G G ,,,21 的先验概率分布分别为
g q q q ,,,21 ,误判损失为),,,2,1,)(|(j i g j i i j c ≠= . 记)|(i j c =0在等误判损失下, 其 Bayes 判别准则为
若 {
})()(max 1x W x W i k g
k =≤≤，则i G x ∈ （2-3-7） 2.6 判别准则的评价[1]
当一个判别分析提出后，很自然的问题就是它们的优良性如何。通常，一个判别准则的优势，用它的误判率来衡量。以两个总体为例，一个判别准则的误判率即x 属于1G 而判归2G 后的概率，但只有当总体的分布完全已知时，才有可能精确计算误判概率。在实际应用中，这种情况是很少见的，因为在大多数情况下，我们可利用的资料只是来自各总体的训练样本，而总体的分布是未知的。下面我们以两个总体为例，介绍两种以训练样本为基础的评价判别准则优劣的方法。它们很容易推广到多个总体的情况。
1.貌似误判率方法
当利用各总体的训练样本构造出判别准则后，评估此准则优劣的一个可行的办法是通过对训练样本中的各样品逐个回判（即将各样品代入判别准则中进行再判别），利用回判的误判率来衡量判别准则的效果，具体办法如下：
设1G ，2G 为两个总体，()2,1,,,)
()(2)(1=k x x x k n
k k k
为来自1G 和2G 的容量分别为1n 和2n 的训练样本，
以此按一定方法（如Bayes 判别法）构造一个判别准则（或判别函数），以全体训练样本作为21n n +个新样品，逐个代入已建立的判别准则中判别其归属，这个过程称为回判，为明了起见，将回判结果连同其实际分类列成如下的四格表2-6-1。
表1 两总体回判结果
回判情况
实际归类 1G 2G
合计
1G 2G
11n 12n
21n 22n
1n 2n
其中
11n ：属于1G 的样品被正确判归1G 的个数，
12n ：属于1G 的样品被正确判归2G 的个数，
21n ：属于2G 的样品被正确判归1G 的个数，
22n ：属于2G 的样品被正确判归2G 的个数。 很显然有
11n +12n =1n ， 21n +22n =2n 。
定义貌似误判率为回判中判错样品的比例，记为a
?，即 2
121
12?n n n n a
++= （2-3-8）
a
?在一定程度上反映了某判别准则的误判率且对任何判别准则都易于计算。但是，a ?是由建立判别函数的数据反过来又用作评估准则优劣的数据而得到的，因此a
?作为真实误判率的估计是有偏的，往往要比真实的误判率来的小。但作为误判概率的一种近似，当训练样本容量较大时，还是具有一定的参考价值。
2.刀切法
刀切法也称为交叉确认法（Cross-Validation ）。其基本思想: 每次剔除训练样本中的一个样品, 利用其余容量为-+21n n 1的训练样本建立判别函数,再用所建立的判别函数对删除的那个样品作判别。对训练样本中的每个样品重复上述步骤 , 以其误判的比例作为误判概率的估计。具体步骤如下：
(1)从总体1G 的容量为1n 的训练样本开始, 剔除其中的一个样品, 用剩余的-1n 1个训练样本和总体2G 的容量为2n 的训练样本建立判别函数；
(2)用步骤(1)中建立的判别函数对剔除的样品作判别；
(3)重复步骤(1)和(2),直到总体1G 的训练样本中的1n 个样品依次被剔除和判别,
用)
(1J M n 记误判样品个数；
(4)对总体2G 的容量为2n 的训练样本重复步骤(1)～(3),用)
(2J M n 记误判的样品个
数.则总的误判比例为
2
1)
(2)(1?n n n n J M
J M J ++?
α . 可以证明它是实际误判概率的渐进无偏估计。
刀切法比貌似误判率方法要更合理些，但缺点是计算量大。
3. 实例分析
为研究舒张期血压和血浆胆固醇对冠心病的作用[5]，某医师测定了50—59岁冠心病人15例和正常人16例的舒张压和胆固醇指标，结果如表3-3所示。试做判别分析，建立判别函数以便在临床中用于筛选在临床中用于筛选冠心病人。
表：2
冠心病人组
正常人组
编号 舒张压 胆固醇 编号 舒张压 胆固醇 1 9.86 5.18 16 10.66 2.07 2 13.33 3.73 17 12.53 4.45 3 14.66 3.89 18 13.33 3.06 4 9.33 7.1 19 9.33 3.94 5 12.8 5.49 20 10.66 4.45 6 10.66 4.09 21 10.66 4.92 7 10.66 4.45 22 9.33 3.68 8 13.33 3.63 23 10.66 2.77 9 13.33 5.96 24 10.66 3.21 10 13.33 5.7 25 10.66 5.02 11 12 6.19 26 10.4 3.94 12 14.66 4.01 27 9.33 4.92 13 13.33 4.01 28 10.66 2.69 14 12.8 3.63 29 10.66 2.43 15 13.33 5.96 30 11.2 3.42 31 9.33 3.63
4.判别分析的结果
1．各组的描述统计量和对各组均值是否相等的检验。
表3： 分析个案综合统计量
表3反映的是有效样本量及变量缺失的情况；按变量“组别”分组共有31个样本为判别基础数据进入分析，其中第一组十五例，第二组十六例
表4： 分组统计量
Analysis Case Processing Summary
31 100.0
0 .0 0
.0
0 .0 0 .0 31
100.0
Unweighted Cases
Valid
Missing or out-of-range
group codes
At least one missing discriminating variable Both missing or
out-of-range group codes and at least one missing discriminating variable Total
Excluded Total
N Percent
表4是各组变量的描述统计分析列表；表中给出分组变量和合计的均数（means ）、标准差（standard deviation ）和有效个案的例数。
表5： 各组均值相等性检验
表5是对各组均值是否相等的检验，F 值越大，Wilks ’Lsmbda 越小，平均数的差异越大；由sig 值可以看出，在0.01的显著性水平上拒绝变量在两组的均值相等的假设，即认为变量在两组的均值是有极显著性差异的。
2．对各组协方差矩阵是否相等的Box's M 检验。
表6： Log Determinants 表
表:6反映协方差矩阵的秩和行列式的对数值。由行列式值可以看出协方差矩阵不是病态矩阵。
表:7： Test 表
Group Statistics
12.4940 1.6406 15 15.000 4.8680 1.1295 15 15.000 10.6287 1.0968 16 16.000 3.6625 .9247 16 16.000 11.5313 1.6600 31 31.000 4.2458
1.1823
31 31.000
舒张压
胆固醇 舒张压 胆固醇 舒张压 胆固醇
类别
冠心病人组 正常人组 Total
Mean Std. Deviation
Unweighted Weighted
Valid N (listwise) Tests of Equality of Group Means
.674 14.017 1 29 .001 .732
10.633
1
29
.003
舒张压
胆固醇
Wilks' Lambda
F df1
df2 Sig. Log Determinants
2 1.048 2 .004 2
.605
类别
冠心病人组 正常人组
Pooled within-groups
Rank
Log Determinant
The ranks and natural logarithms of determinants printed are those of the group covariance matrices.
表7是对各总体协方差阵是否相等的统计检验。又F 值及其显著性水平，我们在0.05的显著性水平下拒绝原假设（原假设假定各总体协方差阵相等），即变量遵从正态分布。所以认为选取的变量是满足判别分析的假定的。
3．典型判别函数的分析
表8： 典型判别函数的特征值表
表:8所示是典型判别函数的特征值表，其特征（Eigenvalue ）为组间平方和与组内平方和之比，计算得1.239，典型相关系数（Canonical Corr ）为0.744。
表9： Wilks 检验
表9是对第一个判别函数的显著性检验。其中Wilks 值为0.447，卡方检验统计量的观测值为22.571，概率sig 值为0.001，小于0.05，认为判别函数在0.01的显著性水平上是极显著的。
4．判别函数系数表
表10： 标准化典型判别函数系数
Eigenvalues
1.239 a 100.0
100.0
.744
Function
1
Eigenvalue % of Variance
Cumulative %
Canonical Correlation
First 1 canonical discriminant functions were used in the analysis.
a. Test Results
2.815 .868
3 17795
2.8 .457 Box's
M Approx
. df 1 df
2 Si
g. F Tests null
hypothesis of equal population covariance matrices.
Wilks' Lambda
.447 22.571
2
.000
Test of Function(s) 1
Wilks' Lambda Chi-square
df
Sig.
表:10给出典型判别函数的标准化系数，其标准化函数为：21823.0884.0x x f += 判别函数方程的标准化系数就是前面提到的判别权重，即根据判别函数方程的标准化系数，可以确定各变量对结果的作用大小，本例舒张压的标准化系数为0.884大于胆固醇的标准化系数0.823，因而舒张压对冠心病的影响作用大于胆固醇。
表:11： 典型判别函数系数
表11所示为典型判别函数的系数，其典型函数为：218.0638.0753.10x x f ++-= 5．以下输出结果是分类的统计结果
表12 分类过程摘要表
表12概括了分类过程，说明31个观测都参与分类。
表13： 先验概率表
.638 .800 -10.753
舒张压 胆固醇 (Constant)
1 Function
Unstandardized coefficients
Standardized Canonical Discriminant Function Coefficients
.884 .823
舒张压 胆固醇
1 Function Classification Processing Summary
31 0 0 31
Processed
Missing or out-of-range group codes
At least one missing discriminating variable
Excluded
Used in Output
Canonical Discriminant Function Coefficients
表13包括各类别和全部对应的先验概率(Prior )和参与分析的未加权(Unweighted )和经过加权(weighted )的个案数(Cases Used in Analysis )。各类别的先验概率等于1除以类别数。本例中，我们在Classify 选项中选择的是所有组的先验概率相等，类别数等于2，所以各类别的先验概率等于0.5。
表14 费歇尔线性判别函数系数表
利用该表得到两个类别的分类判别函数为：
冠心病人组：211181.8418.8191.73x x f ++-= 正常人组：212043.7457.6948.49x x f ++-=
我们可以计算出每个观测在各组的分类函数值，然后将观测分类到较大的分类函数值中。例如某个个案的指标为12、6.19.代入函数得到，1f =78.459，2f =71.132，可以看出1f 较大，所以将此个案归入冠心病人组。
表15： 分类矩阵表
Prior Probabilities for Groups
.500 15 15.000 .500 16 16.000 1.000
31 31.000
类别
冠心病人组 正常人组 Total
Prior Unweighted Weighted
Cases Used in Analysis Classification Function Coefficients
8.418 7.043 8.181 6.457 -73.191 -49.948
舒张压
胆固醇 (Constant)
冠心病人组 正常人组
类别
Fisher's linear discriminant functions
表中Predicted Group Membership 表示预测的所属组关系，Original 表示原始数据的所属组关系，Cross-validated 表示交叉验证的所属组关系，这里交叉验证是采用“留一个在外”的原则，即每个观测是通过除了这个观测以外的其他观测推导出来的判别函数来分类的。
由表15可以看出，通过判别函数预测，有25个观测是分类正确的，其中y =1组15个观测中有12个观测被判对，y =2组16个观测中有13个观测被判对，从而有25/31=80.6%的原始观测被判对。在交叉验证中，y =1组15个观测中有12个观测被判对，y =2组16个观测中有12个观测被判对，从而有24/31=77.4%的原始观测被判对。还可以通过分类结果分析判对和判错的百分比。最后系统对回代判别情况做出评价，即病人组正确率为80.0%，正常人组为81.3%，总判别正确率为80.65%；交叉验证法的正确率为77.4%，说明该判别函数的正确率还是较高的。
Classification Results
b,c
12 3 15 3 13 16 80.0 20.0 100.0 18.8 81.3 100.0 12 3 15 4 12 16 80.0 20.0 100.0 25.0 75.0
100.0
类别
冠心病人组 正常人组 冠心病人组 正常人组 冠心病人组 正常人组 冠心病人组 正常人组
Count %
Count %
Original Cross-validated
a 冠心病人组 正常人组
Predicted Group Membership Total
Cross validation is done only for those cases in the analysis. In cross validation, each case is classified by the functions derived from all cases other than that case. a. 80.6% of original grouped cases correctly classified. b. 77.4% of cross-validated grouped cases correctly classified.
c.
参考文献
[1] 梅长林、周家良.实用统计方法[M].北京:科学出版社,2002.86-110
[2] 茆诗松、王静龙、濮晓龙.高等数理统计[M].北京：高等教育出版社；海德堡：
施普林格出版社，1998.7.362-381
[3] 于秀林、任雪松.多元统计分析[M].北京:中国统计出版社，1995.5.128-152
[4] 米红、张文璋.实用统计分析方法与SPSS应用[M].2000.10
[5] 苏金明.统计软件SPSS for Windows实用指南[M].2000.9. 478-492
[6] 李静萍、谢邦昌.多元统计分析方法与应用[M].北京:中国人民大学出版
社,2008.71-87
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应用回归分析论文
贵州民族大学 实用回归分析论文 (GuizhouMinzu University) 论文题目：影响谷物的因素分析 年级：2014级 班级：应用统计班 小组成员： 姓名：黄邦秀学号：201410100318 序号：4 姓名：王远学号：201410100314 序号：26 姓名：陈江倩学号：201410100326 序号：11 姓名：吴堂礼学号： 时间：2016.12.06
目录 摘要：在实际问题的研究中，经常需要研究某一些现象与影响它的某一最主要因素的关系，如影响谷物产量的因素非常多。本文采用多元线性回归分析方法,以1994—2014年中国谷物产量及其重要因素的时间序列数据为样本,对影响中国谷物生产的多种因素进行了分析。分析结果表明,近年来我国谷物生产主要受到单产提高缓慢、播种面积波动大、农业基础设施投入不足、自然灾害频繁等重要因素的影响。为提高谷物产量、促进谷物生产,首先应该提供一套促进谷物生产的政策措施,提高谷物种植效益,增加谷物收入是根本。在这个前提下,才有可能提高单产、稳定面积、加强基础设施建设、提高抗灾能力,增强我国谷物生产能力和生产稳定性。 (4) 关键词：谷物产量影响因素多元线性回归分析 (4) 一、问题的提出 (5) 二、多元线性回归模型的基假设 (5) 三、收集整理统计数据 (6) 3.1数据的收集 (6) 3.2确定理论回归模型的数学形式 (7) 四、模型参数的估计、模型的检验与修改 (8) 4.1 SPSS软件运用 (8) 4.2 用SPSS软件，得到相关系数矩阵表 (10) 4.3 回归方程的显著性检验 (11) 4.4利用逐步回归法进行修正 (12) 4.5 DW检验法 (13) 五、结果分析 (14) 六、建议 (14) 七、参考文献 (15)
多元线性回归统计预测模型 摘要:本文以多元统计分析为理论基础，在对数据进行统计分析的基础上建立多元线性回归模型并对未知量作出预测,为相关决策提供依据和参考。重点介绍了模型中参数的估计和自变量的优化选择及简单应用举例。 关键词：统计学;线性回归;预测模型 一．引言 多元线性回归统计预测模型是以统计学为理论基础建立数学模型，研究一个随机变量Ｙ与两个或两个以上一般变量X 1,X ２，…,Xp 之间相依关系,利用现有数据,统计并分析，研究问题的变化规律，建立多元线性回归的统计预测模型,来预测未来的变化情况。它不仅能解决一些随机的数学问题,而且还可以通过建立适当的随机模型进而解决一些确定的数学问题,为相关决策提供依据和参考。 目前统计学与其他学科的相互渗透为统计学的应用开辟新的领域。并被广泛的应用在各门学科上,从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工业、农业、商业及政府部门。而多元线性回归是多元统计分析中的一个重要方法,被应用于众多自然科学领域的研究中。多元线性回归分析作为一种较为科学的方法,可以在获得影响因素的前提下，将定性问题定量化，确定各因素对主体问题的具体影响程度。 二.多元线性回归的基本理论 多元线性回归是多元统计分析中的一个重要方法，被广泛应用于众多自然科学领域的研究中。多元线性回归分析的基本任务包括:根据因变量与多个自变量的实际观测值建立因变量对多个自变量的多元线性回归方程；检验、分析各个自变量对因自变量的综合线性影响的显著性；检验、分析各个自变量对因变量的单纯线性影响的显著性，选择仅对因变量有显著线性影响的自变量，建立最优多元线性回归方程;评定各个自变量对因变量影响的相对重要性以及测定最优多元线性回归方程的偏离度等。由于多数的多元非线性回归问题都可以化为多元线性回归问题,所以这里仅讨论多元线性回归。许多非线性回归和多项式回归都可以化为多元线性回归来解决,因而多元线性回归分析有着广泛的应用。 2.1 多元线性回归模型的一般形式 设随机变量y 与一般变量12,, ,p x x x 线性回归模型为 01122...p p y x x x ββββε=+++++ （2.1） 模型中Ｙ为被解释变量(因变量）,而12,,,p x x x 是p 个可以精确测量并可控制的一般变 量，称为解释变量（自变量）。p ＝1时，(２.1)式即为一元线性回归模型，p 大于2时，(2.1)
楚雄师范学院 2012年数学建摸模拟论文 题目应用回归分析 姓名韩金伟 系（院）数学系09级01班 专业数学与应用数学 2012 年8月22 日
题目：应用回归分析 摘要：随着社会经济的不断发展，科学技术的不断进步，统计方法越来越成为人们必不 可少的工具和手段。应用回归分析是其中的一个重要分支，数据处理，数据检验，模型的建立和检验都是回归分析不可缺少的部分。针对多组数据的多个变量样本，我们通常都会对它建立回归模型，在此建模过程中我们就要对给定的数据做合理化检验分析，找出数据的规律，再对数据进行分类建模。当然，因为各变量之间或多或少都会存在强影响的变量，所以通常都要做剔除性检验和重新建模，最后建立出一个合理化的模型。 关键词：回归分析相关性自相关残差异常点正态性杠杆值
一、问题重述 （10.1 附录一）中给定了一些关于自变量654321,,,,,x x x x x x 与因变量y 的一些数据，请按所给的要求对给定的数据进行分析： 要求：1.检测强影响点,并求出杠杆值. 2.正态性检验. 3.相关性检验. 4.自变量的多重共线性检测,若有多重共线性,试消除,再建模. 5.残差的自相关性分析,模型的合理性分析. 6.预测T X )225,7,13,50,82,81,470(0=时Y 的预测值. 二、问题分析 本题是要针对一组数据做合理化的线性分析，先后要求对数据做了异常值的检验和剔除，各变量的正态性检验，在从相关性的角度对各变量做相关性检验，得出数据是否适合做多元线性规划模型。为了使建立的模型具有很好的拟合效果和实际意义，又要求对各变量做相关性检验的同时进而做多重共线性的诊断，从中发现自变量之间是否存在着多重共线性。在有多重共线性的情况下，为了消除多重共线性的影响，我们又要做剔除不合理的变量再做回归模型。当然在做好的模型中，我们又要剔除不能通过t 检验的变量，最后建立没有强多重共线性，没有异常点且通过了F 检验，t 检验的合理化模型，再对给定的数据做出预测。 三、模型假设 假设y 为因变量，654321,,,,,x x x x x x 为自变量，y 因变量y ，X1 自变量x1，X2 自变量x2，X3 自变量x3，X4 自变量x4，X5 自变量x5，X6 自变量x6，i e 第i 个值的残差， i SER 第i 个值的学生化残差，) (i e 第i 个值的删除残差，)(i SRE 第i 个值的删除学生化残 差，) (i ch 第i 个值的杠杆值，h c 平均杠杆值。 四、符号说明 符号 意义 符号 意义 id 序列号 i cook 第i 个值的库克距离 y 因变量y i Mahar 第i 个值的马氏距离 X1 自变量x1 i k 条件数 X2 自变量x2 X 矩阵 X3 自变量x3 i β 系数 X4 自变量x4 VIF 方差扩大因子 X5 自变量x5 DW DW 检验 X6 自变量x6 i k 条件索引 i e 第i 个值的残差 F F 检验
线性回归模型的研究毕业论文 1 引言 回归分析最早是由19世纪末期高尔顿（Sir Francis Galton）发展的。1855年，他发表了一篇文章名为“遗传的身高向平均数方向的回归”，分析父母与其孩子之间身高的关系，发现父母的身高越高或的其孩子也越高，反之则越矮。他把儿子跟父母身高这种现象拟合成一种线性关系。但是他还发现了个有趣的现象，高个子的人生出来的儿子往往比他父亲矮一点更趋向于平均身高，矮个子的人生出来的儿子通常比他父亲高一点也趋向于平均身高。高尔顿选用“回归”一词，把这一现象叫做“向平均数方向的回归”。于是“线形回归”的术语被沿用下来了。 回归分析中，当研究的因果关系只涉及因变量和一个自变量时，叫做一元回归分析；当研究的因果关系涉及因变量和两个或两个以上自变量时，叫做多元回归分析。此外，回归分析中，又依据描述自变量与因变量之间因果关系的函数表达式是线性的还是非线性的，分为线性回归分析和非线性回归分析。按照参数估计方法可以分为主成分回归、偏最小二乘回归、和岭回归。 一般采用线性回归分析，由自变量和规定因变量来确定变量之间的因果关系，从而建立线性回归模型。模型的各个参数可以根据实测数据解。接着评价回归模型能否够很好的拟合实际数据；如果不能够很好的拟合，则重新拟合；如果能很好的拟合，就可以根据自变量进行下一步推测。 回归分析是重要的统计推断方法。在实际应用中，医学、农业、生物、林业、金融、管理、经济、社会等诸多方面随着科学的发展都需要运用到这个方法。从而推动了回归分析的快速发展。 2 回归分析的概述 2.1 回归分析的定义 回归分析是应用极其广泛的数据分析方法之一。回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。 2.2 回归分析的主要容
基于SPSS的多元回归分析模型选取的应用文献综述 重庆工商大学统计学 2010级统计2班殷婷 引言 随着社会的发展，统计的运用范围越来越广泛，统计学作为高等院校经济类专业和工商管理类专业的核心课程，不管是在经济管理领域，或是在军事、医学等领域的研究中对于数量分析与统计分析都需要更高的要求,需要用到的数学知识较多，应用方面的灵活性也较强，计算量大且复杂.然而科学研究的深入，研究的对象也日益变得复杂，复杂系统的研究问题更是成为当今研究的热点. 为了更好的描述一个复杂的现象，就需要大量的数据和信息，如何高效、准确地利用已知的信息便成为当今社会研究的一项重要课题. 基于以上背景，本文通过总结和吸取其他国内外学者对统计学研究的，并结合我国的实际情况，本文采用了案例一对于网络购物这块的的研究，通过对2005年到2012年的居民消费水平，以及我国网络普及度，我国人人均纯收入以及我国的居民消费水平对淘宝网的未来发展趋势进行非线性回归模型的研究以及案例二对于我国财政收入的进行变量选取研究，通过对1992年到2012年的人均国内生产总值，城镇居民家庭人均可支配收入，全社会固定投资，进出口总额，居民消费价格水平对我国财政收入的影响进行定量数据的研究. 通过对数据的选取，回归模型的确定以及软件的操作方法来告知读者如何在SPSS的操作中变量选取的原则、要求和方法. 一、研究现状 在科学技术飞速发展的今天，统计学通过不断吸收和融合相关学科的新理论，开发应用新技术和新方法，拓展新的领域的同时不断深化和丰富了统计学传统领域的理论与方法. 在我国，社会主义市场经济体制的逐步建立，实践发展的需要对统计学提出了新的更多、更高的要求. 随着我国社会主义市场经济的成长和不断完善，统计学的潜在功能将得到更充分更完满的开掘. 从20世纪60年代开始，关于回归自变量的选择成为统计学中研究的热点问题，统计学家提出了许多回归选元的准则，并提出了许多行之有效的选元方法. 在应用回归分析去处理实际问题时，回归自变量选择是首先要解决的重要问题. 通常在做回归分析时，人们根据所研究问题的目的，结合经济理论罗列出对因变量可能有影响的
毕业论文声明 本人郑重声明： 1．此毕业论文是本人在指导教师指导下独立进行研究取得的成果。除了特别加以标注地方外，本文不包含他人或其它机构已经发表或撰写过的研究成果。对本文研究做出重要贡献的个人与集体均已在文中作了明确标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 2．本人完全了解学校、学院有关保留、使用学位论文的规定，同意学校与学院保留并向国家有关部门或机构送交此论文的复印件和电子版，允许此文被查阅和借阅。本人授权大学学院可以将此文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本文。 3．若在大学学院毕业论文审查小组复审中，发现本文有抄袭，一切后果均由本人承担，与毕业论文指导老师无关。 4.本人所呈交的毕业论文，是在指导老师的指导下独立进行研究所取得的成果。论文中凡引用他人已经发布或未发表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。论文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中已明确的方式标明。 学位论文作者（签名）： 年月
关于毕业论文使用授权的声明 本人在指导老师的指导下所完成的论文及相关的资料（包括图纸、实验记录、原始数据、实物照片、图片、录音带、设计手稿等），知识产权归属华北电力大学。本人完全了解大学有关保存，使用毕业论文的规定。同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版或电子版，允许论文被查阅或借阅。本人授权大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存或编汇本毕业论文。如果发表相关成果，一定征得指导教师同意，且第一署名单位为大学。本人毕业后使用毕业论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为大学。本人完全了解大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存或汇编本学位论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入学校有关数据 库和收录到《中国学位论文全文数据库》进行信息服务。在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 论文作者签名：日期： 指导教师签名：日期：
应用回归分析 课程设计报告 课程：应用回归分析 题目：人均可支配收入的分析年级：11金统 专业：金融统计 学号： 姓名： 指导教师：
基于多元线性回归模型对我国城镇居民家 庭人均可支配收入的分析 摘要：收入分配和消费结构都是国民经济的重要课题居民消费的主要来源 是居民收入而消费又是拉动经济增长的重要因素。本文将通过多远统计分析方法对我国各地区城镇居民收入的现状进行分析。通过分析找出我国城镇居民收入特点及其中存在的不足。城镇居民可支配收入是检验我国社会主义现代化进程的一个标准。本文根据我国城镇居民家庭人均可支配收入为研究对象，选取可能影响我国城镇居民家庭人均可支配收入的城乡居民储蓄存款年底余额、城乡居民储蓄存款年增加额、国民总收入、职工基本就业情况、城镇居民家庭恩格尔系数(%)5个因素，运用多元线性回归分析建立模型，先运用普通最小二乘估计求回归系数再对方程进行异方差、自相关、和多重共线性诊断，用迭代法消除了自变量之间的自相关。对于多重共线性问题，先是用逐步回归和剔除变量的方法，最终转变为用方差扩大因子法城乡居民储蓄存款年增加额剔除城镇居民家庭恩格尔系数(%) 解决多重共线性，建立最终回归方程 432108.0039.0012.0470.5305x x x y +++-=∧ 标准化回归方程 ** 3*24108.0863.0031.0x x x y ++=∧ 以其探究最后进入回归方程的几个变量在影响城镇居民收入孰轻孰重，达到学习与生活结合的效果。分析出影响城镇居民收入的主要原因，并对模型联系实际进行分析，以供国家进行决策做参考。 关键词：多元线性回归 异方差 自相关 多重共线性 逐步回归 方差扩 大因子 （一）引言： 改革开放以来我国的国民经济增长迅速居民的收入水平也大幅提高但居
贵州民族大学 实用回归分析论文 (GuizhouMinzu University) 论文题目：影响谷物的因素分析 年级：2014级 班级：应用统计班 小组成员： 姓名：黄邦秀学号：201410100318 序号：4 姓名：王远学号：201410100314 序号：26 姓名：陈江倩学号：201410100326 序号：11 姓名：吴堂礼学号： 时间：2016.12.06
目录 摘要： (3) 关键词： (3) 一、问题的提出 (4) 二、多元线性回归模型的基假设 (4) 三、收集整理统计数据 (5) 3.1数据的收集 (5) 3.2确定理论回归模型的数学形式 (6) 四、模型参数的估计、模型的检验与修改 (6) 4.1 SPSS软件运用 (6) 4.2 用SPSS软件，得到相关系数矩阵表 (8) 4.3 回归方程的显著性检验 (9) 4.4利用逐步回归法进行修正 (9) 4.5 DW检验法 (11) 五、结果分析 (11) 六、建议 (12) 七、参考文献 (12)
影响谷物的因素分析 摘要：在实际问题的研究中，经常需要研究某一些现象与影响它的某一最主要因素的关系，如影响谷物产量的因素非常多。本文采用多元线性回归分析方法,以1994—2014年中国谷物产量及其重要因素的时间序列数据为样本,对影响中国谷物生产的多种因素进行了分析。分析结果表明,近年来我国谷物生产主要受到单产提高缓慢、播种面积波动大、农业基础设施投入不足、自然灾害频繁等重要因素的影响。为提高谷物产量、促进谷物生产,首先应该提供一套促进谷物生产的政策措施,提高谷物种植效益,增加谷物收入是根本。在这个前提下,才有可能提高单产、稳定面积、加强基础设施建设、提高抗灾能力,增强我国谷物生产能力和生产稳定性。 关键词：谷物产量影响因素多元线性回归分析
浙江财经学院东方学院《应用回归分析》课程论文 论文题目：我国民航客运量的因素分析 学生姓名徐妙学期 2012-2013学年第一学期分院信息专业统计学 班级10统计1班学号 1020430112 教师彭武珍成绩 2013年 1 月 1 日
我国民航客运量的因素分析 摘要：随着人们生活水平的提高，对交通工具的选择也逐渐发生变化。从最开始单调的汽车、轮船，到现在的动车、火车、飞机、地铁，存在多种选择，在与家人出门游玩时也更加方便。在此主要研究民航的客运量，从过去到现在他的发展趋势如何，主要存在哪些客观因素对他造成影响，今后的预测走势又如何等一系列问题将一一分析。其中所用数据均来自《中华人民共和国统计年鉴》，所做的检验结果均由统计软件spss17.0提供。 关键字：回归、相关性、显著性、检验。
1引言 伴随着经济的发展，人们的生活水平也随之增加了，同时带来了消费水平和消费观念的改变；与此同时也促进了经济的增加。为了研究我国民航客运量的变化趋势及其成因，我们以民航客运量作为因变量y ，以国民收入、消费额、铁路客运量、民航航线里程、来华旅游入境人数为影响民航客运量的主要因素。y 表示民航客运量（万人），x1表示国民收入（亿元），x2表示消费额（亿元），x3表示民航航线里程（万公里），x4来华旅游入境人数（万人）。我们可以对此作一些猜测：我国民航客运量可能随着国民收入的增加而增加，随着铁路客运量的增加而减少，随着民航航线里程的增加而增加，随着来华旅游入境人数的增加而增加。根据《中华人民共和国年鉴》获得1978—2005年的统计数据（见附录）。 利用spss17.0软件通过建立回归模型分析我国民航客运量主要受到哪些因素的影响，通过回归模型的建立反映我国经济水平发生的变化。 2预备知识 2.1多元线性回归模型 2.1.1多元线性回归模型的一般形式 设随机变量y 与一般变量 p x x x ,...,,21的线性回归模型为 εββββ+++++=p p x x x y ...22110，其中：p 为解释变量的数目， 0β为回归常数， p ββ...,1称为回归系数，ε是随机误差。 2.2多元线性回归参数的估计 2.2.1回归参数的普通最小二乘估计 所谓最小二乘法，就是寻找参数p βββ,...,,10的估计值p βββ?,....,?,?10，使离差平方和()(2110110)....,...,,ip p i n i i p x x y Q ββββββ----=∑=达到极小。
一元线性回归分析的应用 ——以微生物生长与温度关系为例 摘要：一元线性回归预测法是分析一个因变量与一个自变量之间的线性关系的预测方法。应用最小二乘法确定直线，进而运用直线进行预测。本文运用一元线性回归分析的方法，构建模型并求出模型参数，对分析结果的显著性进行了假设检验，从而了微生物生长与温度间的关系。 关键词：一元线性回归分析；最小二乘法；假设检验；微生物；温度 回归分析是研究变量之间相关关系的统计学方法，它描述的是变量间不完全确定的关系。回归分析通过建立模型来研究变量间的这种关系，既可以用于分析和解释变量间的关系，又可用于预测和控制，进而广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。本文尝试用一元线性回归分析方法为微生物生长与温度之间的关系建模，并对之后几年的情况进行分析和预测。 1 一元线性回归分析法原理 1.1 问题及其数学模型 一元线性回归分析主要应用于两个变量之间线性关系的研究，回归模型模型为εββ++=x Y 10，其中10,ββ为待定系数。实际问题中，通过观测得到n 组数据（X i ，Y i ）（i=1,2,…,n ）,它们满足模型i i i x y εββ++=10（i=1,2,…,n ）并且通常假定E(εi )=0，V ar (εi )=σ2各εi 相互独立且服从正态分布。回归分析就是根据样本观 察值寻求10,ββ的估计10?,?ββ，对于给定x 值, 取x Y 10???ββ+=，作为x Y E 10)(ββ+=的 估计，利用最小二乘法得到10,ββ的估计10?,?ββ，其中
??????????? ??-???? ??-=-=∑ ∑==n i i n i i i x n x xy n y x x y 1221110???βββ。 1.2 相关系数 上述回归方程存在一些计算相关系数。设L XX =∑∑==-=-=n i i n i i def xx x n x x x L 12 212 )(，称为关于X 的离差平方和；L yy =21)(∑=-=n i i y y S 总称为关于Y 的离差平方和，L xy =∑∑==-=-=n i i n i i def xx x n x x x L 1 2 212)(1)(∑=-=n i i y y S 总称为关于X 与Y 的离差积和。 相关系数r =yy xx xy n i i n i i n i i i L L L Y Y x x Y Y x x =----=∑∑∑===12 121)()())((ρ，0≤ | r |≤1。| r |=1时表示完全线性相关，| r |=0时表示不存在线性相关；0< | r |≤0.3为微弱相关，0.3< | r |≤0.5时为低度相关，0.5< | r |≤0.8为显著相关，0.8< | r |≤1为高度相关。 1.3 样本统计量的假设检验 从总体中随机抽取一个样本，根据样本的数据导出的线性回归方程由于受到抽样误差的影响，所确定的变量之间的线性关系是否显著，以及按照这个模型用给定的自变量X 估计因变量Y 是否有效，必须通过显著性检验才可以作出结论，通常所用的检验方法是F 检验。 线性回归模型εββ++=x Y 10，),0(~2σεN 可知，当01=β时，就认为Y 与x 之 间不存在线性回归关系，故需检验如下假设：,0:10=βH 0:11≠βH ，2 1)(∑=-=n i i y y S 总=2121)?()?(∑∑==-+-n i i n i i i y y y y 为总偏差平方和，令21)?(∑=-=n i i y y S 回，21)?(∑=-=n i i i y y S 剩。当H 0为真时，取统计量)2,1(~) 2(--=n F n S S F 剩回，由给定显著性水平α，查表得F α(1，
应用回归分析实训（SPSS）课程号：STAN32110P 结课报告写作要求 1.学生报告采用打印版，请按照附件要求格式提交报告。 2.题目自拟。选题得当，分析过程正确清晰，结论明确。 3.分析所采用的方法必须是课堂讲授过的某一方面或多个方面。所 有软件操作必须使用spss。 4.论文内容方面有雷同者则此课程不及格。
北京房价影响因素的多元线性回归分析关键词：多元线性；回归分析；相关性 一、研究目的和意义 我国房地产市场从20世纪90年代开始建立到如今已经颇具规模，对我国的经济增长产生了很大的影响，甚至成为了国民经济的支柱型产业。但是近年来，房价的飞速发展又不得不引起我们的重视，在促进经济增长的同时，带来的一系列结构性问题将对房地产行业的健康发展甚至国民经济的可持续发展带来影响。因此研究商品房价格的影响因素，有助于科学的把握房地产市场的发展规律，对整个国民经济都具有很大的意义。 二、研究内容和方法 本文主要以北京为中国房地产市场的代表城市进行分析，通过对1999年至2007年的相关经济数据整理建立起多元线性回归模型。 从理论上来讲，房价的波动主要受宏观经济影响，包括地区生产总值，城镇人均可支配收入，建设成本，城市人口密度，货币政策，土地价格以及房地产开发投资额等指标。这里主要选取商品房平均售价作为因变量，城镇人均可支配收入，城市人口密度，以及房地产开发投资额作为自变量来进行分析，通过多元回归方法来了解商品房价格的影响因素 （一）多元回归模型的建立
表：北京1999～2007年相关经济数据 设定三个自变量指标分别为：城镇人均可支配收入1x ，城市人口密度2x ，房地产开发投资额3x ，商品房平均售价y 作为因变量，并建立如下的多元线性回归模型： εββββ++++=3322110x x x y 其中0β，1β，2β，3β分别为未知参数， ε为剩余残差，与三个自变量无关。服从N(0, 2σ). （二） 回归模型的检验 具体操作步骤为
《应用回归分析》课程论文 论文题目 学号： 姓名： 年级： 专业： 指导教师： 完成日期：
第一章（空2格）基本概念（小二黑体居中段前段后1行） 1.1（空2格）一级标题（小三黑体顶格） 1.1.1（空2格）二级标题（黑体四号顶格） 定义1 在常微分方程 ()()0,,,=??'n y y y x F ， （1-1） 1.论文段落内容单倍行间距，每自然段前空四格，段中标点用“，”或者“.”； 3.“定义”，“定理”，“结论”，“推论” ，“证明”，“解”与后面内容之间空2个空格。 4.文中“定义”，“定理”，“例题”按章节排序，例如 定义1.1，定义1.2…… 定义2.1，定义2.2…… 5.公式必须公式编辑器编写，独立成行居中，公式末不加标点，序号按章编写，格式如下，其中（1-1）至于最右端。 ()()0,,,=??'n y y y x F ， （1-1） s p p p p s p s p s n n n n n =+++++-∞→ 100 1 10lim （1-2） 表2-1 商品大分类信息表 下面为图的事例： 图3-1 会员登录页面
结（空4格）论（小二黑体居中段前段后1行） 内容行间距20磅，教法类论文段中标点用“，”或者“。”；其他类型论文段落内容段中标点用“，”或者“.”。
论文内容示例 实验目的：结合SPSS 软件使用回归分析中的各种方法，比较各种方 法的使用条件，并正确解释分析结果。 实验内容：世纪统计学教材应用回归分析（第二版）课后习题 2.14。 详细设计： 2.14 解答：（1）散点图为： （2）x 与y 之间大致呈线性关系。 （3）设回归方程为01y x ββ∧ ∧ ∧ =+ 1β∧ = 1 2 2 17()n i i i n i i x y n x y x n x -- =- =-=-∑∑ 0120731y x ββ- ∧- =-=-?=- 17y x ∧ ∴=-+可得回归方程为
基于线性回归的银行卡业务量因素分析 摘要 回归分析是一种应用广泛的统计分析方法，在金融、经济、医学等领域已被成功的应用。它用于分析事物之间的统计关系，侧重观察变量之间的数量变化规律，并通过回归方程的形式描述和反应这种关系，帮助人们准确的把握变量受其他一个或多个变量影响的程度，进而为预测提供科学依据。 本文以银行卡为对象，以微观经济学中的商品需求理论为基础，运用计量经济学中的普通最小二乘法，针对商业银行中间业务中较为重要的银行卡业务需求问题，尝试运用线性回归的方法，具体对影响银行卡业务量的因素进行分析。以银行卡业务量为因变量，以银行卡受理环境的各种因素为自变量，建立银行卡业务影响的多自变量函数模型，考察银行卡的需求函数；同时，通过理论与实证分析，找出对银行卡业务需求影响的显著性因素，揭示银行卡业务需求的特征、银行卡业务发展趋势，为该业务拓展提供经营决策的实证基础。 关键词：回归分析，受理环境，统计检验，银行卡
Analysis of the Bank Card Business Factors Based on Linear Regression Author: Zhang Wei-min Tutor: Guo Jing-mei Abstract Regression analysis is a widely used statistical analysis method. It has been successfully used in financial, economic, medical and other fields. It is used for statistical analysis of the relationship between things, focus on the number of changes of variables, and through the formal description and the relationship between the regression equation, to help people grasp the other variables by one or more variables influence degree, and provide the scientific basis for predicting. Using the merchandise demand theory as the base, this paper takes bank cards as the object and tries to analyze the factors influencing the bank card business. Basing on the Ordinary Least Squares, this paper analyzes the data with the regression method. The dependent variable is bank card business and the independent factors include the amount of the shops engaged by special arrangement, the amount of the savings outlets, the amount of the ATM and the amount of the POS. Then this paper analyzes these variables using SPSS, with the analysis of theory and demonstration. We can find out the remarkable factors which influence the independent variable, so that offer the positive groundwork of management decision-making for developing bank card operation. Key Words: Regression analysis, Environment, Statistical test, Bank card
线性回归模型论文回归模型论文 一种基于线性回归模型的运动矢量重估算法 摘要:针对H.264/AVC空间分辨率缩减的视频转码,提出一种基于线 性回归模型的运动矢量重估计算法。它利用原始视频流的运动矢量与下采样视频流的运动矢量之间的相关性,运用线性回归模型建模,得 到下采样视频的运动矢量。仿真实验结果表明:在保持率失真性能的 同时,计算复杂度明显降低。 关键词:视频转码;H.264;线形回归模型;运动矢量重估计 A Motion Vector Re-estimation Algorithm based on Linear Regression Model YANG Gao-bo1, XIA Zhong-chao1, ZHANG Zhao-yang2, WANG Hui-qian1 (1.College of Computer and Communication, Hunan Univ, Changsha, Hunan410082, China; 2.Key Lab of Advanced Display and System Applications, Ministry of Education, Shanghai Univ, Shanghai 200072, China) Abstract: For the spatial resolution reduction of H.264/AVC stream, a motion re-estimation algorithm based on linear regression model is proposed in this paper. It exploits the correlation between the motion vectors of original video stream and those of down-sampled video, which is modelled by
我国农民人均生活收入及消费支出的线性回归分析 农业是文明发展的基础，凡是士工商贾，都不能完全摆脱赖食于农的局面。作为农业人口占绝大多数的国家，“三农问题”解决的好坏，直接关系到国民经济的持续、稳定、健康发展。虽然我们用占世界7%的耕地养活了占世界22%人口，却使用了占世界40%左右的农民来实现。换句话说，在我国农业取得举世公认的成就的同时，很多深层次的矛盾也在日益显露。 近几年，农民收入保持快速增长，连续四年超过6％，但与城市居民人均收入增长速度相比，依然很低。不仅如此．地区之间和农户之间收入差距也逐年扩大，中西部地区低收入户和贫困农户增收困难，农村人口仍然是全社会最大的低收入群体。各地区、各部门认真研究农业和农村发展进入新阶段以后出现的新情况和新问题，认真贯彻落实党在农村的各项方针政策，调动了广大农民群众的积极性．农民收入持速增长。但农民增收困难仍然是当前农业和农村工作面临的最大难题，城乡之间收入差距扩大的趋势还未得到根本扭转，影响农民增收的一些长期性、根本性因素并未消除，增加农民收入仍是农业和农村工作的立足点。 基于此，笔者以我国31个省、自治区和直辖市的农村居民人均收入以及消费性支出为样本，主要通过SPSS软件对农民收入与支出进行线性回归分析。 一、农民人均生活收入及消费支出分析 我国是一个农业大国，至今仍有9亿农村人口，占全国人口总数的70%，农民是我国最大的群体，农村消费能力的提升直接关系到国民经济的全局。从农村市场看，中国有近六成人口生活在农村。农村城镇化的进程对经济增长的带动作用是非常明显的，世界上还没有哪个国家有规模如此巨大的城镇化。农村居民的收入虽然低于城市居民，但是基数巨大，且农村人口的收入也在稳定增长。 随着经济的发展，我国农民的收入水平和消费水平的结构也发生了很大变化，农民生活水平的提高和消费的增加对于实现国民经济又好又快发展、正确处理好内需和外需的关系至关重要。但从总体来看，农民消费水平仍然较低，调查显示有的地区都不及城市居民人均消费支出的三分之一。而且消费结构不合理，局限于食品类等生存基本需求品，消费在衣着装饰等方面的极少。而影响农民消
《应用回归分析》课程设计 题目大学生在校人数的多元回归分析 姓名唐家彬乔利飞文韬 学号 10801020120 10801020119 10801020121 指导教师胡爱萍高红霞康新梅 成绩
大学生在校人数的多元回归分析 摘要：自从1978年恢复高考以来，我国高等教育在快速发展，尤其在近十几年发展速度惊人。由以前千军万马挤独木桥演变成满城尽是大学生。我们将研究以普通高等学校在校人数为因变量做回归分析。研究其受那些因素的影响。最终我们选者了x3、x4、x6这几个变量进行回归，分别对应了普通高等学校招生人数、国家财政教育经费、人均可支配收入这几个变量。得出标准化回归方程为：普通高等学校在校人数=0.241*普通高等学校招生人数+0.219*国家财政教育经费+0.216*人均可支配收入。 关键词：强制回归逐步回归岭回归 一、问题的提出 自从1978年恢复高考以来，我国高等教育在快速发展，尤其在近十几年发展速度惊人。由以前千军万马挤独木桥演变成满城尽是大学生。数据显示，从2000年到2005年，高等教育阶段在校生人数一路攀升：从1230万人，增长到1300万人、1500 万人、1900 万人和2000 万人，至2009年增长到2300万人。大学教育越来越普及，在校大学生人数也是剧增。 我们将研究以普通高等学校在校人数为因变量做回归分析。研究其受那些因素的影响。 二、模型的建立 普通高等学校在校人数应该从学校和学生两方面来分析。学校方面因素应该有：普通高等学校学校数（下文称学校数）、普通高等学校专职教师数（教师数）、普通高等学校招生人数（招生数）、国家财政教育经费（教育经费）。学生方面因素应该包括：高中升学率（升学率）、人均可支配收入（可支配收入）。 可建立多元回归模型： y=β0+β1*1+β2*x2+β3*x3+β4*x4+β5*x5+β6*x6+ε 其中： y 普通高等学校在校人数（万人） x1普通高等学校学校数（所） x2普通高等学校专职教师数（万人） x3普通高等学校招生人数（万人）
回归分析在商品的需求量分析中的运用 摘要：本文结合多元统计分析理论中关于多元线性回归分析的应用，对商品需求量与商品价格和人均月收入的关系的线性方程进行探索研究。回归分析的基本思想是描述若干个变量间的统计关系，以研究一个或多个自变量与因变量之间的内在联系。而回归分析研究又包括线性回归和非线性回归。本文就是运用线性回归来分析商品需求量和商品价格，人均月收入之间的关系的。 关键词：线性回归线性方程商品需求量 一．引言 随着我国经济的快速发展，人们的物质生活条件越来越好，各种各样的商品出现在人们的日常生活中。随着人们收入水平的不断变化，随着商品价格的不断变化，人们对某种商品的需求量也不同。如果生产的商品量大于商品的需求量，则会导致资源浪费，商品的价格下降；反之如果商品的生产量少于商品的需求量，则会导致商品供应不足，价格上涨。以上两种情况都会对经济发展造成不利的影响。因此，对商品需求量的预测是必要的。那么，应该如何预测商品的需求量呢？为此，本文在参阅相关文献的基础上，根据东方财富网所提供的某地1996~2995年10年间对某品牌的手表需求量和商品价格，人均月收入的数据采用线性回归的方法进行回归分析，并对模型进行检验，预
测。 二．经济理论分析、所涉及的经济变量 （1）经济理论分析： 1.需求：是指在各种不同价格水平下，消费者愿意且能够购买的商品或服务的数量； 2.需求与价格之间存在这需求规律，即“在其它条件不变的条件下，一种商品的价格上升会引起该商品的需求量减少，价格下降会引起该商品的需求量增多”；由此我们引出需求的价格弹性的概念，它是指需求量对价格变动的反应程度，是需求量变化的百分比除以价格变化 的百分比，即公式： 价格变动率需求量变得率 需求的价格弹性系数= 3.同理，需求与收入的关系可以用需求的收入弹性分析，它表示某一商品的 需求量对收入变化的反应程度，即公式： 收入变动率 需求量变得率 需求的收入弹性系数= （2）变量的设定：在经济生活中，我们不难发现价格和收入水平的高低对商品需求量有着直接且密切的影响，故所建立的模型是一个回归模型！其中“商品价格”与“消费者平均收入”分别是自变量x1、x2，“商品需求量”是因变量y 。
居民消费价格指数的影响因素 作者：罗林霞 摘要：研究居民消费价格指数的影响因素，建立与居民消费价格指数相关的多元线性回归模型，借助统计软件SPSS对数据作线性回归分析，对模型进行自变量的筛选、多重共线性、异方差性及自相关性的检验。最终检验出模型存在异方差性，利用加权最小二乘估计消除异方差性，确立最终的回归方程，各自变量对居民消费价格指数都是正影响，其中食品的影响是最显著的，其次是衣着和交通通讯，显著性最小的是医疗保健及个人用品。 关键词：居民消费价格指数;多元线性回归；逐步回归法;DW检验;共线性诊断;异方差检验;加权最小二乘估计 引言:CPI反应一定时期内居民所消费商品及服务项目的价格水平变动趋势和变动程度。居民消费价格水平的变动率在一定程度上反映了通货膨胀（或紧缩）的程度。通俗的讲，CPI 就是市场上的货物价格增长百分比。一般市场经济国家认为居民消费价格指数增长率在2%-3%属于可接受范围内，当然还要看其他数据，CPI过高始终不是好事。因此，对CPI的影响因素的研究十分重要。 一、因变量与自变量的提出 选取的数据是2013年《中国统计年鉴》里面的我国31个省、市、自治区的相关数据,y 为居民消费价格指数，x1为食品，x2为烟酒及用品，x3为衣着，x4为家庭设备用品及维修服务,x5为医疗保健及个人用品,x6为交通通信,x7为教育文化娱乐及用品,x8为居住。 二、模型初步建立与检验 利用SPSS软件对数据作线性回归分析得： 根据表一，F=52.554,P≈0.000远远小于显著性水平α=0.05，所以方程是显著的，即变量x1 ，x2…x8整体对y有显著的影响，说明建立y与x1，x2,…x8之间的多元线性方程是正确的。但自变量整体对y的影响是显著的并不表明每个变量对y都是显著的，从表二中可知x4对y是不显著的，从而需要剔除掉不显著的变量。 表一：方差分析表 Model Sum of Square df Mean Square F Sig. Regression 5.061 8 .633 52.554 .000 Residual .265 22 .012 Total 5.326 30