等差数列
【最新考纲】 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为ɑn＋1
－ɑn＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)等差中项：数列ɑ，A，b成等差数列的充要条件是A＝ɑ＋b 2，
其中A叫做ɑ，b的等差中项．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：ɑn＝ɑ1＋(n－1)d，ɑn＝ɑm＋(n－m)d．
(2)前n项和公式：S n＝nɑ1＋n（n－1）d
2＝
n（ɑ1＋ɑn）
2．
3．等差数列的性质
已知数列{ɑn}是等差数列，S n是其前n项和．
(1)若m、n、p、q、k是正整数，且m＋n＝p＋q＝2k，则ɑm ＋ɑn＝ɑp＋ɑq＝2ɑk．
(2)ɑm，ɑm＋k，ɑm＋2k，ɑm＋3k，…仍是等差数列，公差为kd．
(3)数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…，也是等差数列．
(4)若数列{ɑn}的前n项和为S n，则S2n－1＝(2n－1)ɑn，S2n＝n(ɑ1＋ɑ2n)＝n(ɑn＋ɑn＋1)．
(5)等差数列的通项公式形如ɑn＝ɑn＋b(ɑ，b为常数)，前n项和公式形如S n＝An2＋Bn(A，B为常数)，结合函数性质研究等差数列常常可以事半功倍．
1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()
(2)数列{ɑn}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2.()
(3)等差数列{ɑn}的单调性是由公差d决定的．()
(4)数列{ɑn}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()
答案：(1)×(2)√(3)√(4)×
2．(2016·郑州一检)等差数列{ɑn}的前n项和为S n，且S3＝6，ɑ3＝0，则公差d等于()
A．－1 B．1 C．2 D．－2
解析：依题意得S3＝3ɑ2＝6，即ɑ2＝2，故d＝ɑ3－ɑ2＝－2，选
D.
答案：D
3．在等差数列{ɑn}中，ɑ1＝2，ɑ3＋ɑ5＝10，则ɑ7＝()
A．5 B．8 C．10 D．14
解析：法一设等差数列的公差为d，则ɑ3＋ɑ5＝2ɑ1＋6d＝4＋6d＝10，所以d＝1，ɑ7＝ɑ1＋6d＝2＋6＝8.
法二由等差数列的性质可得ɑ1＋ɑ7＝ɑ3＋ɑ5＝10，又ɑ1＝2，所以ɑ7＝8.
答案：B
4．(2015·课标全国Ⅱ卷)设S n是等差数列{ɑn}的前n项和，若ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3，则S5＝()
A．5 B．7 C．9 D．11
解析：法一∵ɑ1＋ɑ5＝2ɑ3，∴ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝3ɑ3＝3，∴ɑ3＝1，
∴S5＝5（ɑ1＋ɑ5）
2＝5ɑ3＝5，故选A.
法二∵ɑ1＋ɑ3＋ɑ5＝ɑ1＋(ɑ1＋2d)＋(ɑ1＋4d)＝3ɑ1＋6d＝3，∴ɑ1＋2d＝1，
∴S5＝5ɑ1＋5×4
2d＝5(ɑ1＋2d)＝5，故选A.
答案：A
5．(2015·陕西卷)中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为________．
解析：设数列首项为ɑ1，则ɑ1＋2 015
2＝1 010，故ɑ1＝5.
答案：5
一个推导
利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式．
两个技巧
1．若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－2d，ɑ－d，ɑ，ɑ＋d，ɑ＋2d，….
2．若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，ɑ－3d，ɑ－d，ɑ＋d，ɑ＋3d，….
两种思想
1．等差数列的通项公式，前n项和公式涉及“五个量”，“知三求二”，需运用方程思想求解，特别是求ɑ1和d.
2．等差数列{ɑn}中，ɑn＝ɑn＋b(ɑ，b为常数)，S n＝An2＋Bn(A，B为常数)，均是关于“n”的函数，充分运用函数思想，借助函数的图象、性质简化解题过程．
四种方法
等差数列的四种判断方法
1．定义法：ɑn＋1－ɑn＝d(d是常数)?{ɑn}是等差数列．
2．等差中项法：2ɑn＋1＝ɑn＋ɑn＋2(n∈N*)?{ɑn}是等差数列．
3．通项公式：ɑn＝pn＋q(p，q为常数)?{ɑn}是等差数列．
4．前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A、B为常数)?{ɑn}是等差数列．
一、选择题
1．(2016·豫东、豫北十所名校联考(五))已知等差数列{ɑn }中，ɑ5＝13，S 5＝35，则公差d ＝( )
A ．－2
B ．－1
C ．1
D ．3
解析：依题意，得?????ɑ1＋4d ＝13，5ɑ1＋10d ＝35，解得?
????ɑ1＝1，d ＝3， 答案：D
2．(2015·重庆卷)在等差数列{ɑn }中，若ɑ2＝4，ɑ4＝2，则ɑ6＝
( )
A ．－1
B ．0
C ．1
D ．6
解析：∵{ɑn }为等差数列，∴2ɑ4＝ɑ2＋ɑ6，∴ɑ6＝2ɑ4－ɑ2，即ɑ6＝2×2－4＝0.
答案：B
3．(2016·陕西八校联考)在等差数列{ɑn }中，ɑ1＝0，公差d ≠0，若ɑm ＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9，则m 的值为( )
A ．37
B ．36
C ．20
D ．19
解析：ɑm ＝ɑ1＋ɑ2＋…＋ɑ9＝9ɑ1＋9×82
d ＝36d ＝ɑ37，∴m ＝37.故选A.
答案：A
4．(2016·深圳调研)等差数列{ɑn }中，已知ɑ5＞0，ɑ4＋ɑ7＜0，则{ɑn }的前n 项和S n 的最大值为( )
A ．S 7
B ．S 6
C ．S 5
D ．S 4
解析：∵?????ɑ4＋ɑ7＝ɑ5＋ɑ6＜0，ɑ5＞0，∴?????ɑ5＞0，ɑ6＜0，
∴S n 的最大值为S 5.
答案：C
5．已知S n 是等差数列{ɑn }的前n 项和，S 10＞0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为( )
A ．{5}
B ．{6}
C ．{5，6}
D ．{7}
解析：在等差数列{ɑn }中，由S 10＞0，S 11＝0得，S 10＝10（ɑ1＋ɑ10）2
＞0?ɑ1＋ɑ10＞0?ɑ5＋ɑ6＞0，S 11＝11（ɑ1＋ɑ11）2
＝0?ɑ1＋ɑ11＝2ɑ6＝0，故可知等差数列{ɑn }是递减数列且ɑ6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，其中n ∈N *，所以k ＝5或6.
答案：C
二、填空题
6．(2015·广东卷)在等差数列{ɑn }中，若ɑ3＋ɑ4＋ɑ5＋ɑ6＋ɑ7＝25，则ɑ2＋ɑ8＝________．
解析：因为等差数列{ɑn }中，ɑ3＋ɑ4＋ɑ5＋ɑ6＋ɑ7＝25，所以5ɑ5＝25，即ɑ5＝5.所以ɑ2＋ɑ8＝2ɑ5＝10.
答案：10
7．若等差数列{ɑn }满足ɑ7＋ɑ8＋ɑ9＞0，ɑ7＋ɑ10＜0，则当n ＝________时，{ɑn }的前n 项和最大．
解析：由等差数列的性质可得ɑ7＋ɑ8＋ɑ9＝3ɑ8＞0，即ɑ8＞0；而
ɑ7＋ɑ10＝ɑ8＋ɑ9＜0，故ɑ9＜0.所以数列{ɑn }的前8项和最大．
答案：8
8．设等差数列{ɑn }的前n 项和为S n ，若ɑ1＝－3，ɑk ＋1＝32
，S k ＝－12，则正整数k ＝________．
解析：设等差数列{ɑn }的公差为d ，由ɑk ＋1＝32
，且S k ＝－12，则－3＋kd ＝32，且－3k ＋12
k(k －1)d ＝12.消去d ， 得k ＝13.
答案：13
三、解答题
9．数列{ɑn }满足ɑ1＝1，ɑ2＝2，ɑn ＋2＝2ɑn ＋1－ɑn ＋2.
(1)设b n ＝ɑn ＋1－ɑn ，证明{b n }是等差数列；
(2)求{ɑn }的通项公式．
(1)证明：由ɑn ＋2＝2ɑn ＋1－ɑn ＋2得
ɑn ＋2－ɑn ＋1＝ɑn ＋1－ɑn ＋2，
即b n ＋1＝b n ＋2.又b 1＝ɑ2－ɑ1＝1，
所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)解：由(1)得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，
即ɑn ＋1－ɑn ＝2n －1.
于是Σn k ＝1 (ɑk ＋1－ɑk )＝Σn
k ＝1
(2k －1)， 所以ɑn ＋1－ɑ1＝n 2，即ɑn ＋1＝n 2＋ɑ1.
又ɑ1＝1，所以{ɑn }的通项公式为ɑn ＝n 2－2n ＋2.
10．已知等差数列{ɑn }的公差d ＞0.设{ɑn }的前n 项和为S n ，ɑ1＝1，S 2·S 3＝36.
(1)求d 及S n ；
(2)求m ，k(m ，k ∈N *)的值，使得ɑm ＋ɑm ＋1＋ɑm ＋2＋…＋ɑm ＋k ＝65.
解：(1)由题意知(2ɑ1＋d)(3ɑ1＋3d)＝36，
将ɑ1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.
因为d ＞0，所以d ＝2，从而ɑn ＝2n －1，
S n ＝n 2(n ∈N *)．
(2)由(1)得ɑm ＋ɑm ＋1＋ɑm ＋2＋…＋ɑm ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.
由m ，k ∈N *知2m ＋k －1＞k ＋1＞1，
故?????2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，所以?
????m ＝5，k ＝4.
11．(2014·湖北卷)已知等差数列{ɑn }满足：ɑ1＝2，且ɑ1，ɑ2，ɑ5成等比数列．
(1)求数列{ɑn }的通项公式；
(2)记S n 为数列{ɑn }的前n 项和，是否存在正整数n ，使得S n ＞60n ＋800？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由．
解：(1)设等差数列{ɑn }的公差为d ，依题意，2，2＋d ，2＋4d 成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，
化简得d 2－4d ＝0，解得d ＝0或d ＝4.
当d＝0时，ɑn＝2；
当d＝4时，ɑn＝2＋(n－1)·4＝4n－2，
从而得数列{ɑn}的通项公式为ɑn＝2或ɑn＝4n－2.
(2)当ɑn＝2时，S n＝2n.显然2n＜60n＋800，
此时不存在正整数n，使得S n＞60n＋800成立．
当ɑn＝4n－2时，S n＝n[2＋（4n－2）]
2＝2n
2.
令2n2＞60n＋800，即n2－30n－400＞0，
解得n＞40或n＜－10(舍去)，
此时存在正整数n，使得S n＞60n＋800成立，n的最小值为41.综上，当ɑn＝2时，不存在满足题意的n；
当ɑn＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.
（3） 5 、10 、（15 ）、（ 20 ）、25 、30 ； （4） 28 、（ 24 ）、20 、16 、12 、8 ； （5） 88 、79 、70 、（ 61 ）、52 、（ 43 ）； （6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ 28 ）、30 、60 。 第二讲 等差数列（一） 知识要点： 数列 按照一定次序排列的一列数叫数列。 数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2 项、第3 项、……、第n 项、……。 数列的一般形式可以写成：a 1 、a 2 、a 3 、……、a n 、……；其中a n 是数列的第 n 项；这个数列可以简记作{a n }（ n 为正整数）。 等差数列 如果一个数列{a n }，从第2 项起的每一项 a n 与它的前一项a n -1 的差等于同一个 常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示。 等差数列的几个计算公式： 等差数列求和公式：和= （首项+ 末项） ? 项数÷2 字母公式： S = (a 1 + a n )? n ÷ 2 等差数列的通项公式：第n 项= 首项+ （项数-1） ? 公差 a n = a 1 + (n -1)? d 字母公式： 等差数列的项数公式：项数= （末项- 首项） ÷ 公差+1 字母公式： n = (a n - a 1 )÷ d +1 一、基础应用： 【例1】 在括号里填上合适的数。 ） 、 4 、5 、（ （1）1、2 、（ ）； ）、16 ； （2） 4 、6 、8 、10 、（ ）、（ （3） 5 、10 、（ （4） 28 、（ ）、25 、30 ； ）、（ ）、20 、16 、12 、8 ； （5） 88 、79 、70 、（ ）、52 、（ ）； （6） 2 、4 、6 、12 、14 、（ ）、30 、60 。 【解析】填法如下： （1）1、2 、（ 3 ）、4 、5 、（ 6 ）； （2） 4 、6 、8 、10 、（ 12 ）、（14 ）、16 ；
2.2 等差数列 2.2.1 等差数列的概念、通项公式 【学习目标】 1.理解等差数列的定义(重点)； 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题； 3.掌握等差中项的概念，深化认识并能运用(重、难点). 【要点整合】 1. 等差数列的概念 2. 等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项. 注意 根据等差中项的定义，a ，A ，b 成等差数列，则A ＝a ＋b 2；反之，若A ＝a ＋b 2 ，也可得到a ，A ，b 成等差数列，所以A 是a ，b 的等差中项?A ＝a ＋b 2 3. 等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 上述公式中有4个变量，a 1，d ，n ，a n ，在4个变量中已知其中的三个便可求出其余的一个，即“知三求一”.其作用为： (1)可以由首项和公差求出等差数列中的任一项； (2)已知等差数列的任意两项，就可以求出首项和公差，从而可求等差数列中的任一项； (3)由等差数列的通项公式可求出数列中的任意一项，也可判断某数是否为数列中的项及是第几项. 【典例讲练】 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列？ (1)9,7,5,3，…，－2n ＋11，…； (2)－1,11,23,35，…，12n －13，…； (3)1,2,1,2，…；
(4)1,2,4,6,8,10，…； (5)a，a，a，a，a，…. 练习1：数列{a n}的通项公式a n＝2n＋5，则此数列() A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 题型二等差中项 例2在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c使这五个数成等差数列，求此数列. 练习2：若m和2n的等差中项为4,2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 题型三等差数列的通项公式及应用 例3(1)若{a n}是等差数列，a15＝8，a60＝20，求a75. (2)已知递减等差数列{a n}的前三项和为18，前三项的乘积为66.求数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？ （3）等差数列2,5,8,...,107共有项
等差数列习题课 1. 进一步了解等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式； 2. 理解等差数列的性质，等差数列前n 项和公式的性质应用； 项和之比问题，以及实际应用。 一、知识回顾 1．等差数列的定义用递推公式表示为： )(1++∈=-N n d a a n n 或),2(1+-∈≥=-N n n d a a n n ，其中d 为常数，叫这个数列的公差。 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=， 3．等差数列的分类： 当0>d 时，}{n a 是递增数列；当0 课时作业 1．在等差数列{a n }中，已知a 2＝2，前7项和S 7＝56，则公差d ＝( ) A ．2 B ．3 C ．－2 D ．－3 答案 B 解析 由题意可得??? a 1＋d ＝2， 7a 1＋7×6 2d ＝56， 即??? a 1＋d ＝2，a 1＋3d ＝8，解得? ?? a 1＝－1，d ＝3，选B. 2．(2019·衡阳模拟)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则a 2＋a 14的值为( ) A ．6 B ．12 C ．24 D ．48 答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， ∴由等差数列的性质可得a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48.故选D. 3．(2020·荆州模拟)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＝3，a 8＝8，则a 12的值是( ) A ．15 B ．30 C ．31 D ．64 答案 A 解析 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 4＋a 5＝3，∴3a 4＝3，即a 1＋3d ＝1，又由a 8＝8得a 1＋7d ＝8，联立解得a 1＝－174，d ＝74，则a 12＝－174＋7 4×11＝15.故选A. 4．(2019·山东济南调研)已知数列{a n }为等差数列，且满足a 2＋a 8＝8，a 6＝5，则其前10项和S 10的值为( ) A ．50 B ．45 C ．55 D ．40 答案 B 解析 因为数列{a n }为等差数列，且a 2＋a 8＝8，所以根据等差数列的性质得2a 5＝8，所以a 5＝4，又因为a 6＝5，所以S 10＝10(a 1＋a 10)2＝10(a 5＋a 6) 2 ＝45. 5．(2019·陕西咸阳模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则a 2＋a 4＋a 9＝( ) A ．9 B ．15 C ．18 D ．36 答案 C 解析 由等差数列的通项公式及性质，可得 S 9＝9(a 1＋a 9) 2＝9a 5＝54，a 5＝6，则a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5＝18.故选C. 6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( ) A ．27 B ．36 C ．45 D ．54 答案 D 解析 ∵在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11， ∴a 5＝6，故S 9＝9(a 1＋a 9) 2 ＝9a 5＝54.故选D. 7．(2019·东北三省三校联考)已知数列{a n }是等差数列，满足a 1＋2a 2＝S 5，下列结论中错误的是( ) A ．S 9＝0 B ．S 5最小 C ．S 3＝S 6 D ．a 5＝0 答案 B 解析 由题意知a 1＋2(a 1＋d )＝5a 1＋5×4 2d ，则a 5＝0，∴a 4＋a 6＝0，∴S 3＝S 6，且S 9＝9a 5＝0，故选B. 第二十一讲：等差数列 一、知识提纲 1．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)． (2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列?A ＝a ＋b 2 ，其中A 叫做a ，b 的等 差中项． 2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋ n n －1 2 d ＝ n a 1＋a n 2 . 3．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系 (1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d >0时，数列为递增数列；当d <0时，数列为递减数列． (2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0?S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 4．常用结论 已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (2)在等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)． (3)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)． (4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d . (5)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (6)若{a n }是等差数列，则?????? ??? ?S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差 是{a n }公差的1 2 . (7)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶 ＝ 等差数列练习题 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 例1．根据数列前4项，写出它的通项公式： （1）1，3，5，7……； （2）2212-，2313-，2414-，251 5-； （3）11*2-，12*3，13*4-，1 4*5 。 解析：（1）n a =21n -； （2）n a = 2(1)11n n +-+； （3）n a = (1)(1) n n n -+。 点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。 如（1）已知* 2 ()156 n n a n N n = ∈+，则在数列{}n a 的最大项为__ ； （2）数列}{n a 的通项为1 +=bn an a n ，其中 b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为 __ ； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围； 2、等差数列的判断方法：定义法1(n n a a d d +-=为常数）或11(2)n n n n a a a a n +--=-≥。 例2．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n =n 2，则{a n }是（ ） A.等比数列，但不是等差数列 B.等差数列，但不是等比数列 C.等差数列，而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列 答案：B ； 解法一：a n =???≥-==??? ?≥-=-)2( 12) 1( 1) 2( )1( 11n n n a n S S n S n n n ∴a n =2n －1（n ∈N ） 又a n+1－a n =2为常数， 1 21 21-+= +n n a a n n ≠常数 ∴{a n }是等差数列，但不是等比数列. 解法二：如果一个数列的和是一个没有常数项的关于n 的二次函数，则这个数列一定是等差数列。 点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n =S n －S n －1的推理能力.但 第二讲：等差数列、等比数列的通项公式 【知识结构】 1、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数 d （与项数n无关），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差。 等差数列的递推公式为：即 a n a n 1 d,n 2,n N （d为常数）/a ni a n d,n N /，这就是一个恒等式，数列 中的恒等式一定要注意变量的范围，即项数n的范围。 a b 2、等差中项：如果a,A,b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且A - 2 3、等差数列的通项公式：a n a i （n 1）d dn 佝d）。当d 0时，从函数的角度 看，等差数列的通项公式是关于n的一次函数，它的图象是在一条直线的散点。 【典型例题】 例1、（1）已知等差数列｛a n｝中，a12，公差为3,则通项公式a n3n 1。 （2）已知等差数列｛a n｝中，a2 3，a4 7，则通项公式a n2n1。 （3）已知等差数列｛a n｝中，2a2 a31,a7 a8 20 ，a k15，则k 10。 （4）在等差数列a n中，若a1 a4a$ a12 a15 2 则2。 解:⑶设a1,公差d 3a1 4d 1 2耳13d 20,解得［c3 a n 2n d 2 5k 10 等差数列的通项公式的作用是把等差数列中的任意一项用首项和公差表示。练习：P7自主练习中的1,2,3（2）（3）（4）,4 。 例2、 （1 ） a n 1a n2,n N*； （2 ） 满足2a n 1a n 2 a n, n N * ； （3 ）a n 1a n n,n N * 满足条件（2），数列｛a n｝是等差数列。 考点4 等差数列 [玩前必备] 1．数列的定义 按一定次序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项． 2．数列的通项公式 如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的函数关系可以用一个式子表示成a n ＝f (n )，那么这个式子叫作这个数列的通项公式． 3．已知数列{a n }的前n 项和S n ， 则a n ＝????? S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2). 4．等差数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差是同一个常数，我们称这样的数列为等差数列，这个常数叫作等差数列的公差，通常用字母d 表示． 5．等差数列的通项公式 如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 说明：等差数列{a n }的通项公式可以化为a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)的形式，即等差数列的通项公式是关于n 的一次表达式，反之，若某数列的通项公式为关于n 的一次表达式，则该数列为等差数列. 6．等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2 d . 说明：数列{a n }是等差数列?S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)．这表明d ≠1时，等差数列的前n 项和公式是关于n 的二次表达式，并且没有常数项. 7．等差中项 如果A ＝a ＋b 2 ，那么A 叫作a 与b 的等差中项． 8．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N ＋)． (2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . [玩转典例] 题型一 数列的概念 例1 根据下面数列{a n }的通项公式，写出它的前5项： (1)a n ＝n 2－12n －1 ；(2)a n =n(n+2). [玩转跟踪] 学科教师辅导讲义 f.若数列中含有偶数项（2n 项），则nd s s =-奇偶； g.n n n n n s s s s s 232,,--成等差数列，且公差为d n 2 。 （4）等差数列判断的方法：（先让学生总结，老师再进行补充） a.定义法：a n+1-a n =d （常数）?{a n }为等差数列； b.中项公式法：2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +）?{a n }为等差数列； c.通项公式法：a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，则{a n }为公差是a 的等差数列； d.前n 项和公式法： S n =an 2 +bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数，则{a n }为等差数列。 【典型例题分析】 例1、已知数列的前项和，数列 的每一项都有 ，求数列 的前项和 . 解析： ，当 时， . 又当， . ∴ 数列的通项公式为. 故数列是首项为9，公差为 的等差数列. 在中. 由二次函数的性质知， 当时， 最大（若令 则 ）. 而 . ∴ 的前五项为正， 故，从第6项起又组成一个首项为1， 公差为2的等差数列， 其和为 又. 故当 时， . 综合上述，可得数列的前项和为 点评 对于数列的问题要注意从函数的观点去认识．因为的前五项为正，从第六项起为负，所以 的前项 和 只能用分段函数加以表述． 变式练习：已知数列{a n }的前n 项和S n =12n －n 2，求数列{|a n |}的前n 项和T n .（只是数值上有所改变，让学生独立完成） 解析：由S n =12n －n 2知S n 是关于n 的无常数项的二次函数（n ∈N *），可知{a n }为等差数列，求出a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n . 解：当n =1时，a 1=S 1=12－12=11； 当n ≥2时，a n =S n －S n －1=12n －n 2－［12（n －1）－（n －1）2］=13－2n . ∵n =1时适合上式， ∴{a n }的通项公式为a n =13－2n . 由a n =13－2n ≥0，得n ≤ 2 13， 即当 1≤n ≤6（n ∈N *）时，a n ＞0；当n ≥7时，a n ＜0. （1）当 1≤n ≤6（n ∈N *）时， T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |=a 1+a 2+…+a n =12n －n 2. （2）当n ≥7（n ∈N *）时， T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n | =（a 1+a 2+…+a 6）－（a 7+a 8+…+a n ） =－（a 1+a 2+…+a n ）+2（a 1+…+a 6） =－S n +2S 6=n 2－12n +72. ∴T n =?????+--72121222 n n n n ). ,7(),,61(**N N ∈≥∈≤≤n n n n 评述：此类求和问题先由a n 的正负去掉绝对值符号，然后分类讨论转化成{a n }的求和问题. 例2、等差数列{a n }中，前m 项的和为77（m 为奇数），其中偶数项的和为33，且a 1-a m =18，求这个数列的通项公式。 解析： 利用前奇数项和和与中项的关系 令m=2n-1，n ∈N + 则 ???=-==-=-33a )1n (S 77a )1n 2(S n n 1n 2偶 ∴ 33771n 1n 2= --∴ n=4∴ m=7 ∴ a n =11∴ a 1+a m =2a n =22 又a 1-a m =18∴ a 1=20，a m =2∴ d=-3∴ a n =-3n+23 变式练习：已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，求这个数列的公比和项数。 第2讲 等差数列及其前n 项和 一、选择题 1.(2016·武汉调研)已知数列{a n }是等差数列，a 1＋a 7＝－8，a 2＝2，则数列{a n }的公差d 等于( ) A.－1 B.－2 C.－3 D.－4 解析 法一 由题意可得?????a 1＋（a 1＋6d ）＝－8，a 1＋d ＝2， 解得a 1＝5，d ＝－3. 法二 a 1＋a 7＝2a 4＝－8，∴a 4＝－4， ∴a 4－a 2＝－4－2＝2d ，∴d ＝－3. 答案 C 2.已知等差数列{a n }的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为25，则这个数列的项数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析 设项数为2n ，则由S 偶－S 奇＝nd 得，25－15＝2n ，解得n ＝5，故这个数列的项数为10. 答案 A 3.已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A.a 1＋a 101＞0 B.a 2＋a 100＜0 C.a 3＋a 99＝0 D.a 51＝51 解析 由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2 ＋a 100＝a 3＋a 99＝0. 答案 C 4.设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.－37 解析 设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2， ∴{a n ＋b n }为等差数列，又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100， ∴{a n ＋b n }为常数列，∴a 37＋b 37＝100. 答案 C 5.(2017·泰安模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝( ) A.9 B.8 C.7 D.6 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由?????a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2， 得?????a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2，解得?????a 1＝－13，d ＝2. ∴a n ＝－15＋2n . 由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152.又n 为正整数， ∴当S n 取最小值时，n ＝7.故选C. 答案 C 二、填空题 6.(2016·江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是________. 解析 设数列{a n }的公差为d ，由题设得 ???a 1＋（a 1＋d ）2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得?????a 1＝－4，d ＝3， 因此a 9＝a 1＋8d ＝20. 答案 20 7.正项数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，2a 2n ＝a 2n ＋1＋a 2n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a 7＝ ________. 等差数列 导引： 若干个数排成一列,称为数列。数列中的每一个数称为一项,其中第一项称为首项,最后一项称为末项,数列中数的个数称为项数。从第二项开始,后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列,后项与前项的差称为公差。 例如:等差数列:3、6、9、…、96,这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。 计算等差数列的相关公式: 通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差 项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1 求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2 在等差数列中,如果已知首项、末项、公差,求总和时,应先求出项数,然后再利用等差数列求和公式求和。 例题1有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项 练习： 1、有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。 2、有一个数列:5,8,11,…,92,95,98,这个数列共有多少项? 3、在等差数列中,首项=1,末项=57,公差=2,这个等差数列共有多少项? 例题2 有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？ 练习： 1、求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。 2、求等差数列2,5,8,11,…的第100项。 3、一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少? 例题3 计算2+4+6+8+…+1990的和。 练习： 1、计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。 2、计算5+10+15+20+? +190+195+200的和。 3、计算100+99+98+…+61+60的和 例题4计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990) 练习： 1、计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002) 2、计算(2+4+6+...+100)-(1+3+5+ (99) 3、计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。 例题5 已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。 练习： 1、有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。 三年级等差数列教师版 https://www.doczj.com/doc/a21038548.html,work Information Technology Company.2020YEAR 小学三年级奥数专项练题《等差数列》 【知识要点屋】 1．定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个数，这个数列就叫做等差数列。 2．特点：①相邻两项差值相等；②要么递增，要么递减。 3．名词：公差，首项，末项，项数 ★按一定次序排列的一列数叫做数列。 ★数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；最后一个数叫末项。 ★如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列。 ★后项与前项的差就叫做这个数列的公差。如： 1，2，3，4，是等差数列,公差是 1; 1，3，5，7，是等差数列，公差是 2； 5，10，15，20，是等差数列，公差是 5. ★由高斯的巧算可知，在等差数列中，由如下规律： 通项公式：末项＝首项＋（项数－1）×公差 第几项 = 首项+（项数-1）×公差； 项数公式：项数＝（末项－首项）÷公差＋1 求和公式：总和＝（首项＋末项）×项数÷2 = 平均数×项数 平均数公式：平均数＝（首项＋末项）÷2 (★★★) ⑴一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大3，它的首项是4，那么末项是______； ⑵一个等差数列共有13项，每一项都比它的前一项小5，它的第1项是121，那么它的末项是_______。 (3)一个等差数列的首项是12，第20项等于392，那么这个等差数列的公差＝_____；第19项＝______，212是这个数列的第_____项。 (★★) 计算下面的数列和： ⑴1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＋25＝ ⑵1＋5＋9＋13＋…＋33＋37＋41＝ (3)3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＝ 拓展练习： 1、在10和40之间插入四个数，使得这六个数构成一个等差数列。那么应插入哪些数？ 解答：d=（40-10）÷(4+1)=6，插入的数是：16、22、28、34。 2、一个等差数列的首项是6，第8项是55，公差是（）。 解答：d=（55-6）÷（8-1）=7 3、（1）2、 4、6、8、……、28、30这个等差数列有( )项。 2.2等差数列教学设计(第一课时) 2.2.1《等差数列》教学设计 教材分析1.教学内容分析 本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列第二节等差数列第一课时。主要内容是等差数列定义和等差数列的通项公式。 2.地位与作用数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用．等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广．同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”、“类比”的思想方法． 教学目标知识目标 1.理解并掌握等差数列的定义，能用定义判断一个数 列是否为等差数列； 2.掌握等差数列的通项公式. 能力目标 1.通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析 探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力; 2.培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归 纳思想和化归思想并加深认识. 情感目标 通过对等差数列的研究，使学生明确等差数列与一般 数列的内在联系，渗透特殊与一般的辩证唯物主义观 点，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣． 教学重难点重点 1.等差数列的概念； 2.等差数列的通项公式的推导过程及应用． 难点 理解等差数列“等差”的特点及 通项公式的含义. 教学设想 本课教学，重点是等差数列的概念，在讲概念时，通过创设情境引导学生理解概念，进一步引导学生通过概念来判断一个数列是否是等差数列。整个过程以学生自主思考、合作探究、教师适时点拨为主， 真正体现课堂教学中学生的主体作用。 教学过程 教学环节 教师活动 学生 活动 设计意图 环节一 环节1 创设情境，提出问题 在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星： （1）1682，1758，1834，1910，1986，（ ） 你能预测出下一次的大致时间吗？ 主持人问: 最近的时间什么时候可以看到哈雷慧星？ 天文学家陈丹说: 2062年左右。 学生活动 通过情景 引出数列，观察发现 其规律，并通过规律 填写内容。 情景引入 提高学生 的学习兴 趣， 调动 学生的积极性 四年级等差数列练习题（1） 1．找出规律后填出下面数列中括号里的数： (1) 1， 3， 5， 7， ( )， 11， 13， ( )，… (2) 1， 4， 7， 10， ( )， 16， 19，… (3) 1， 3， 6， 10， 15， ( )， 28，… (4) l， 2， 4， 5， 7， 8， ( )， ( )，… (5) 5， 7， 11， 19， 35， ( )， 131； 259，… 2.已知等差数列2，7，12，…，122，这个等差数列共有_____项。 3. 请问13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37共有（）项？ 4.那么126,128,130, ……,148,150共有（）项？ 5.那么16,18,20, ……,162,164共有（）项？ 6.那么120,124,138, ……,280,284共有（）项？ 7.练习5（1）1+2+3……+998+999+1000 8、求等差数列46，52，58，……，172共有（）项？ 9、6＋7＋8＋9＋……＋74＋75＝ 10、2＋6＋10＋14＋……＋122＋126＝ 11、1＋2＋3＋4＋……＋2007＋2008＝ 12.小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30看了78 页正好看完。这本书共有( )页？ 13.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。文丽在这些天中共学会了( )个英语单词？ 14.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。这批零件共有( )个？ 15.建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有( )根。 第34讲：数列的概念与等差数列 一、课程标准 1、通过实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)，了解数列是一种特殊函数. 2、通过实例，理解等差数列的概念． 3、探索并掌握等差数列的通项公式与前n 项和的公式． 4、.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题． 5、体会等差数列与一次函数的关系. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 数列的概念 (1)按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每个数都叫做这个数列的项．数列可以看做是定义域为N *或其非空子集的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，其图像是一群孤立的点． 注：数列是特殊的函数，应注意其定义域，不要和函数的定义域混淆． (2)数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，简记为{a n }，其中a 1称为数列{a n }的第1项(或称为首项)，a 2称为第2项，…，a n 称为第n 项． 2. 数列的分类 (1)数列按项数的多少来分：项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列． (2)按前后项的大小来分：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列． 3. 数列的通项公式 一般地，如果数列{}a n 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列{}a n 的通项公式． 注：并不是每一个数列都有通项公式，有通项公式的数列，其通项公式也不一定唯一． 4. 数列的表示方法 数列可以用通项公式来描述，也可以通过图像或列表来表示． 5．等差数列的有关概念 (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等 第12讲——等差数列 【精讲精练】 例1、有一个等差数列：4，7，10，13……，这个等差数列的第28项是多少？【答案】85 【解析】 4＋（28－1）×3＝85 练1、有一个等差数列：10、16、22、28……，这个等差数列的第42项是多少？【答案】256 【解析】 10＋（42－1）×6＝256 例2、一个等差数列有12项，每一项都比它的前一项小2，并且首项为55，那么末项是多少？ 【答案】77 【解析】 55－（12－1）×2＝33 练2、一个等差数列共有15项，每一项都比它的前一项大2，并且首项为30，那么末项是多少？ 【答案】58 【解析】 30＋（15－1）×2＝58 例3、一个等差数列共有10项，每一项都比它的前一项小2，末项为75，那么首项是多少？ 【答案】57 【解析】 75－（10－1）×2＝57 练3、某露天剧场有30排座位，最后一排座位有86个，后面每排比前排多2个座位，第一排有多少个座位？ 【答案】28个 【解析】 86－（30－1）×2＝28（个） 例4、（1）一个等差数列首项为13，第9项为29，这个等差数列的公差是多少？【答案】2 【解析】 （29－13）÷（9－1）＝2 （2）一个等差数列第5项是16，第11项是70，那么这个等差数列的公差是多少？ 【答案】9 【解析】 （70－16）÷（11－5）＝9 练4、一个等差数列第4项是19，第14项是79，那么这个等差数列的公差是多少？ 【答案】6 【解析】 （79－19）÷（14－4）＝6 例5、（1）一个等差数列首项为13，末项为85，公差为8，那么这个等差数列一共有多少项？ 【答案】10项 【解析】 （85－13）÷8＋1＝10（项） （2）一个等差数列第3项为40，末项为100，公差为6，那么这个等差数列一共有多少项？ 【答案】13项 【解析】 （100－40）÷6＋3＝13（项） 练5、已知等差数列2，9，16，23，30，…那么93是其中的第几项？ 【答案】14 【解析】 （93－2）÷7＋1＝14 知识要点 1.按一定次序排列的一列数叫做数列．数列中的数称为项，第一个数叫第一项，又叫首项；第二个数叫第二项；……，最后一个数叫末项．如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的差都相等，就称这个数列为等差数列．后项与前项的差叫做这个数列的公差． 如：1,2,3,4， 是等差数列，公差为1；2,4,6,8， 是等差数列，公差为2；5,15,20， 是等差数列，公差为5． 等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+ -?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =- -?（） 同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到： 11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组． 当然还可以有其他的配组方法． ③ 求和公式：和=(首项+末项)?项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++ 11002993985051=++++++++ 共50个101 （）（）（）（）101505050=?= (思路2)这道题目，还可以这样理解： 等差数列 二阶等差数列及其通项公式 ⑷ 1，2，4，7，11，16，22，… ⑸ 1，3，6，10，15，21，28，… ⑹ 1，3，7，13，21，31，43，… 通过观察分析，也能发现上面三个数列有其内在规律与特点，但若想轻易写出通项公式却有难处。 本文旨在由等差数列推导出如⑷、⑸、⑹这样的一类数列的通项公式，并给出一个相关定义。 二、 预备知识： 1、 等差数列的定义：如果一个数列 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， 从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数d ，即a 2 - a 1 = a 3 - a 2=… = a n - a n-1 = d ，则称此数列为等差数列，常数d 叫等差数列的公差。 2、 等差数列的通项公式：a n =a 1 + ( n - 1 ) d ， 公 差： d = a 2 - a 1. 三、 二阶等差数列的定义及其通项公式： a) 定义：如果一个数列 a 1，a 2，a 3，…，a n ，…， （★） 从第二项起，每一项与它的前一项的差按照前后次序排成新的数列，即 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…， a n - a n-1，…成为一个等差数列，则称数列（★）为二阶等差数列。 相应地，d =（a 3 - a 2） - （a 2 - a 1）= a 3 + a 1 - 2a 2 称为二阶等差数列的二阶公差。 显然，依此定义可以判断，⑷、⑸、⑹均是二阶等差数列。其二阶公差分别为1、1、2. 说明：⑴、为区别于二阶等差数列，可把通常定义的等差数列称为一阶等差数列. ⑵、二阶与一阶等差数列的相互关系： 二阶等差数列不一定是一阶等差数列，但一阶等差数列肯定是二阶等差数列。 b) 二阶等差数列的通项公式： 设数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…是一个二阶等差数列，为了书写的方便，我们记数列 a 2 - a 1，a 3 - a 2，a 4 - a 3，…，a n - a n-1，… 为 b 1 , b 2 , b 3 , …，b n-1 , …， (☆) 即记b n = a n+1 - a n ， (n ≥1，n ∈Z) 则数列 (☆) 是一个一阶等差数列。 显然，对于数列(☆)，d = b 2 - b 1 = a 1 + a 3 - 2a 2， 根据等差数列的通项公式,则有 b n = a n+1 - a n = b 1 + (n-1) d ，（n ≥1,n ∈Z ） 由此得，a n +1= a n + b 1 + (n-1) d 依此规律，则有 a 2 = a 1 + b 1， 本讲知识点属于计算板块的部分，难度较三年级学到的该内容稍大，最突出一点就是把公式用字母表示。要求学生熟记等差数列三个公式，并在公式中找出对应的各个量进行计算。 一、等差数列的定义 ⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法 定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列． 譬如：2、5、8、11、14、17、20、L 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、L 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 ⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示 末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。 项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示； 公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示； 和 ：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示 ． 二、等差数列的相关公式 (1)三个重要的公式 ① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)?公差，11n a a n d =+-?（） 递减数列：末项=首项-(项数1-)?公差，11n a a n d =--?（） 回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白 末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-?（），n m >（） ② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 由通项公式可以得到：11n n a a d = -÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)． 找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的． 譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、L 、40、43、46 ， 分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、L 、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145 -+=知识点拨 教学目标 等差数列的认识与公式运用2021高三人教B版数学一轮(经典版)：第6章 第2讲 等差数列及其前n项和
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