A卷
B卷
20 — 20 学年 第 学期
开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期:
考试方式：
开卷闭卷 其他
考试时间: 120 分
一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 已知向量{}4,3,4a =-与向量{}2,2,1b =则a b ?=(
).
(A) 6 (B) 6- (C) 1 (D) 3- 知识点:向量的内积；难度等级:1。答案: (A).
2. 设arctan ,4z xy π??
=+ ?
?
?
则z x
?=?().
(A)
)
4
(1π
+
+xy xy (B)
2
)
4
(11π
+
++xy x
(C)
2
2)4
(1)
4(sec π
π
+
++xy xy xy (D)
2
)4
(1π
+
+xy y
知识点:多元函数偏导数；难度等级:1。答案: (D). 3. 两个半径为R 的直交圆柱体所围立体的表面积是().
(A) 004R
dx ? (B) 0
8R
dx ?
(C) 04R dx ? (D) 0
16R
dx dy ?
知识点:二重积分的应用；难度等级:2。答案:(D)
分析:可设两个圆柱面的方程为222222,.x y R x z R +=+=由对称性,为第一卦象的面积的8倍.又由对称性,在第一卦限两个曲面部分面积相等,故可取在第一卦限222x z R +=部分面积的16倍,而该面积为00
,R
dx ?选D.
4．设u =(1,0,1)
()
(
).rot gradu =
(A)1
4
(B)0 (C)(0,0,0) (D)(1,0,1) 知识点:旋度定义；难度等级:1。答案:(C)
分析:经计算,对应的旋度场为无旋场,即任意一点处旋度为0,
选C.
5. 微分方程231x
y y e ''-=+的一个特解为(
).
(A)313
x y e =+ (B) 213x y e =+
(C) 313
x y e =- (D) 213
x
y e =- 知识点:二阶常系数非齐次线性微分方程；难度等级: 2。答案: D
分析:原方程的特解为方程31y y ''-=与方程23x
y y e ''-=的特解之和,而方程31y y ''-=的特解为11,3
y =- 方程23x
y y e ''-=的
特解为22.x y e =因此原方程的特解为2121.3
x y y y e =+=-故应选
(D). 6. 设
()f u 具有连续导数,∑是曲面22z x y +=与2
28z x y --=所围
成立体表面之外侧,则zdxdy dzdx y
x
f x dydz y x f y ++
??)(1)(1=( ) (A)16π (B)16π-
(C)8π- (D)因()f u 未知,故无法确定.
知识点:对坐标曲面积分的计算 ,高斯公式；难度等级:2。答案:(A)
分析:利用高斯公式可得积分为所围成立体体积:
4
8
4
16,y
y
D D V dy dxdz dy dxdz π=+=??????选A.
二、填空题(每小题3分,共18分)
7. 微分方程2y x '=的通解为___________.
知识点:可分离变量微分方程；难度等级:1。 答案:2.y x C =+
8. 级数22
1
(1)n
n x x n ∞
=++∑的收敛区间是___________. 知识点:函数项级数的敛散性；难度等级:2。答案:10.x -≤≤
分析:因为幂级数∑∞
=1n 2n
n
y 的收敛域为11,y -≤≤故原级数的收敛域
为112++≤-x x 1,≤解此不等式组得10.x -≤≤
9. 已知曲线弧:
L (01),y x =≤≤则2___________.L x yds =? 知识点:曲线对弧长的积分；难度等级:1。答案:1.3
分析
:1
201.3
L x yds x ==?? 10. 设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为,S 则点(,,)-241到S 的距离___________.d =
知识点:曲线的切线与法平面、点到平面的距离；难度等级:2。 答案:2.
分析:先求S 的方程.法平面的法向量即切线的方向向量:
2(2,6(1),3(1))(2,6,3).n =?-?-=-
切点为(1,2,1).-所以法平面方程为2(1)6(2)3(1)0.x y z +--+-=即
263110.x y z -++=故点(,,)-241到S 的距离
2.d =
=
=
11．设L 为圆周224x y +=沿逆时针方向一周,则
22L
y xdy x ydx -?
___________.=
知识点:曲线对坐标的积分,格林公式；难度等级:2。答案:8.π 分析: 利用格林公式,积分化为
22
222
()8.D
x y d d r rdr π
σθπ+=?=???? 12. 设∑是球面2222x y z R ++=在第二卦限部分,则
2__________.x dS ∑
=??
知识点:曲面对坐标的积分,对称性；难度等级:2。答案:4
.6
R π
分析: 222x dS y dS z dS ∑
∑
∑
==??????
()2221
3x y z dS ∑
=++?? 224114.386
R R R ππ=??= 三、计算题(每小题6分,共24分)
13. 将函数)1ln()(32x x x x f +++=展开成x 的幂级数. 知识点:幂级数间接展开；难度等级:2。
解:22()ln[(1)(1)]ln(1)ln(1),f x x x x x =++=+++
11
(1)ln(1),(1,1],n n
n u u u n -∞
=-+=∈-∑ ∴11211
(1)(1)(),(1,1].n n n n
n n f x x x x n n --∞∞==--=+∈-∑∑
11
(1)(1),(1,1].n n
n n x x x n -∞
=-=+∈-∑
14. 设Ω是由曲线2
2x y z =??
=?
绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的空间区域,求22()d .x y z V Ω
++???
知识点:三重积分计算,旋转曲面方程；难度等级:2。 分析:旋转体横截面为圆,整个落在一圆柱体内,可用柱坐标计算
解:由曲线2
02x y z
=??
=?绕z 轴旋转一周所成的曲面为22
2.x y z += 2224
x y z
z ?+=??
=? 22:8.D x y +≤ 22()d x y z V Ω
++???
2
24
20
2
d d ()d z z πρθρρρ=+??
2423200
21d d 2z z πρθρρρ????=+ ???
????
? 256
.3
π= 15.计算22()x y dS ∑+??,其中∑是锥面()2223z x y =+被平面0z =和
3z =截得的部分.
知识点：对面积曲面积分;难度等级1.
分析 投影到xoy 坐标面用极坐标进行计算
解 ∑在xoy 的投影为22:3xy D x y +≤
2=
2222220
()()229xy
D x y dS x y dxdy d rdr πθπ∑
+=+==??
???.
16. 计算333(2),x x dydz y dzdx z dxdy ∑+++??其中∑为球面2222x y z a ++=的外侧.
知识点：高斯公式，三重积分;难度等级：2.
分析:题设曲面为封闭曲面,高斯公式,再用球面坐标化为三次积分.
解:333(2)x x dydz y dzdx z dxdy ∑+++?? 2
2
2
3()x y z dxdydz Ω=++???+2dxdydz Ω???
2223
000534
3sin 23128.53
a d d r r dr a a a ππθ??πππ=?+?=+???
四、解答题(每小题6分,共12分)
17．求级数∑∞
=++--1
1
212)2()1(n n n
n x 的收敛域.
知识点：幂级数的收敛域;难度等级2.
解:令2.x t -=
考虑级数21
1
(1).21n n
n t n +∞
=-+∑ 23
22123lim ,21
n n n t n t t n ++→∞+=+ ∴当12
当1 =++-11 1 21 )1(n n n 收敛; 当1=t 即3=x 时,级数∑∞ =+-1 1 21 )1(n n n 收敛. ∴级数的半径为1,R =收敛域为[1,3]. 18．求函数)4(),(2y x y x y x f --=在由直线0,0,6===+x y y x 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值. 知识点：多元函数极值;难度等级：2. 解:由?????=--==-+--='0 )24(0 )1()4(22 y x x f xy y x xy f y x 得D 内的驻点为),1,2(0M 且(2,1) 4.f = 又(0,)0,(,0)0,f y f x ==而当0,0,6≥≥=+y x y x 时, 32 (,)212(06).f x y x x x =-≤≤ 令3 2 (212)0,x x '-=得120, 4.x x == 于是相应2,621==y y 且.64)2,4(,0)6,0(-==f f 所以(,)f x y 在D 上的最大值为(2,1)4,f =最小值为.64)2,4(-=f 五、证明题(每小题6分,共12分) 19．求函数1 ( )x d e dx x -的关于x 的幂级数的展开式,并由此证明1 1.(1)!n n n ∞ ==+∑ 知识点:幂级数的展开和求和；难度等级:2 。 分析:本题首先应用间接展开法把函数展开成x 的幂级数,然后 再把x 取定特殊的值便可得到所求的和. 证明:因为 011,!!n n x n n x x e n n ∞ ∞ ====+∑∑所以1 11.! x n n e x x n -∞=-=∑从而 1()x d e dx x -11!n n d x dx n -∞=??=????∑∑∑∞ =--∞=+=-=1122 )!1(!)1(k k n n k kx n x n (+∞<<∞-x ). 又因为 1( )x d e dx x -21 ,x x xe e x -+= 所以 )! 1(11 +-∞ =∑ n nx n n 21 x e xe x x +-= (+∞<<∞-x ). 令1,x =得 1 1.(1)! n n n ∞ ==+∑ 20. 设()f x 为恒大于零的连续函数, 222() 2 2 () ()(),()t D t f x y z dv F t f x y d σ Ω++= +??? ?? 22() 2 ()(),()D t t t f x y d G t f x dx σ -+= ?? ? 其中 2222(){(,,)|},t x y z x y z t Ω=++≤ 222(){(,)|}.D t x y x y t =+≤ 证明 (1)()F t 在区间(0.)+∞内单调递增. (2)当0t >时,2 ()().F t G t π > 知识点:重积分计算,,变限函数求导,导数性质；难度等级:3。 分析 分别将函数表示为关于t 的变限函数,利用导数判断单调性 证明:分别在球坐标及极坐标下计算三重及二重积分. (1)222 22 0022 2 ()sin 2()()()t t t t d d f r r dr f r r dr F t d f r rdr f r rdr π ππ θ??θ= ????? ?? （）= () 2 2 2 2 ()()()'.()t t f t t f r r t r dr F t f r rdr -???（）=2 ?在 ∞（0,+）上,F t '>（）0. ?()F t 在区间(0.)+∞内单调递增. (2)因22() 2()(),()D t t t f x y d G t f x dx σ -+= ?? ? 只需证0t >时,2 ()()0.F t G t π - >即 2 2 2 2 20 0()()()0.t t t f r r dr f r dr f r rdr ??->????? ? ? 令()g t 为左边函数,则 2 2 2 0()()()(-)0.t g t f t f r t r dr '=>? 因为()g t 在0t =处连续,所以当0t >时()(0)0.g t g >=从而当0t >时 2 ()().F t G t π > 六、应用题 (每小题8分,共16分) 21. 求向量场{}222222,,A y z z x x y =+++沿闭曲线Γ的环流量,其中 Γ是球面x z y x 4222=++与柱面x y x 422=+的交线,从Oz 轴正方向 看进去为逆时针)0(≥z . 知识点:对坐标的曲线积分,斯托克斯公式,极坐标；难度等级3。 分析:用斯托克斯公式化为对坐标的曲面积分,并计算此曲面 积分. 解:222222()()()L y z dx z x dy x y dz +++++? 2()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑ =-+-+-?? 2()2xy xy D D x y dxdy xdxdy =-=???? 4cos 220 2 2cos d r dr π θ πθθ-=?? 3 42 2 24cos 316. d π π θθ π- ?= =? 22．一根位于yoz 平面沿半圆 0,122≥=+z z y 的弯曲金属弧(见图),弧上点(,,)x y z 处的密度为z z y x -=2),,(ρ,即该金属弧由下至上其 密度逐渐减少,求该弧的质心. 知识点:多重积分的物理应用；难度等级2。 分析:注意对称性,写出参数方程直接计算 解:由于弧Γ位于yOz 平面上,且质量分布关于z 轴对称,可知质心坐标 0,x y ==(,,)(,,),z z x y z ds x y z ds ρρΓ Γ =?? 其中: ()0,()cos ,()sin , 0.x t y t t z t t t πΓ===≤≤ (,,)(2sin (2sin )122;x y z ds t t dt ππ ρπΓ =-=-?=-??? (,,)sin (2sin z x y z ds t t ρΓ Γ =-?? 8sin (2sin ).2 t t dt π π -=?-= ? 8180.57.22244 z ππ ππ--= ?=≈-- 故弧Γ的质心为(0,0,0.57). 【 高等数学（B2）期末模拟试卷（一） 一、选择题（本大题共 小题，每题 ，共 ） ? ) 1ln(41222 2 -++--= y x y x z ，其定义域为 ?????????????????????????????????（?） ? { } 41),(2 2<+ ???????????????????（?） ? 5- ? 1- ? 1 ? 5 ? 设05432:=+++∏z y x ，4 1 321:-= =-z y x L ，则∏与直L 的关系为 ??（ ?） ? L 与∏垂直 ? L 与∏斜交 ? L 与∏平行 ? L 落于∏内 ? 若{}4,2),(≤≤=y x y x D ，{} 40,20),(1≤≤≤≤=y x y x D )(2 2y x f +为 D 上的连续函数，则 σ d y x f D )(22?? +可化为 ?????????????????????????????????????????????? ????（ ） ? σd y x f D )(1 22?? + ? σd y x f D )(21 22??+ σd y x f D )( 4 1 22??+ ? σd y x f D )(81 22??+ ? 下列哪个函数是某一二阶微分方程的通解 ?????????????????????????????????????????????（ ?） ? x e cx y += ? x e c y x c +=+21 x c e c y x 21+= ? )(21x e x c c y += ? 下 列 哪 个 级 数 收 敛 ?????????????????????????????????????????????? ???????????????????????????（ ） ? ∑∞ =-1 ) 1(n n ? ∑ ∞ =+1 1001 n n ? ∑∞ =+1100n n n ? ∑∞ =1100100 n n ? 若 ??=D d 4 σ，其中 ax y a x D ≤≤≤≤0,0:，则正数 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 第1页 共1页 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考试方式： 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 向量a b ?与,a b 的位置关系是( ). (A) 共面 (B) 垂直 (C) 共线 (D) 斜交 知识点：向量间的位置关系,难度等级：1. 答案:(B). 分析:,a b 的向量积a b ?是一个向量,其方向垂直,a b 所确定的平面. 2. 微分方程633x y dy e e y x y dx =+- 的一个解为(). (A)6y = (B)6y x =- (C)y x =- (D)y x = 知识点：微分方程的解,难度等级：1. 答案: (D). 分析:将(A),(B),(C),(D)所给函数代入所给方程,易知只有 y x =满足方程,故应选(D). 3. 累次积分??=-202 2 x y dy e dx ( ). (A))1(212--e (B))1(3 14--e (C))1(2 14--e (D))1(3 12--e 知识点：二重积分交换次序并计算,难度等级：2. 答案:(C). 分析: 直接无法计算,交换积分限,可计算得)1(2 14--e ,只能选(C). 4．设曲线积分?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关,其中)(x f 具有一阶连续偏导数,且(0)0,f =则=)(x f ( ). (A)2x x e e -- (B)2x x e e -- (C) 12-+-x x e e (D)2 1x x e e +-- 知识点：积分与路径无关的条件,微分方程,求解,难度等级：3.答案:(B). 分析: 由积分与路径无关条件,有[()]cos ()cos x f x e y f x y '-=- 命题人 : 组题人 : 审题人: 命题时间: 教 务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密 A 组 1.用洛必达法则求下列极限： （1）02lim 1cos x x x e e x -→+-- （2）arctan 2lim 1 x x x π →+∞- （3）0cos lim sin x x e x x x →- （4）011 limcot ( )sin x x x x →- （5）1 0(1)lim x x x e x →+- （6）21 0sin lim ()x x x x +→ （7）011lim()sin x x x →- （8）sin 0lim x x x +→ （9）lim(1)x x a x →∞+ （10 ）n 其中n 为正整数 解析：考查洛必达法则的应用，洛必达法则主要应用于00，∞ ∞型极限的求解，当然对于一 些能够化简为00，∞ ∞ 型极限的同样适用，例如00010?∞==∞ 等等，在求解的过程中，同样可以利用前面已经学到的极限的求解方法，例如等价无穷小、两个重要极限 解：（1）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 0002lim lim lim 21cos sin cos x x x x x x x x x e e e e e e x x x ---→→→+--+===- （2）本题为 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 2222 1arctan 12lim lim lim 111 1x x x x x x x x x π →+∞→+∞→+∞--+===+- （3）本题为0 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 000cos sin 1lim lim lim sin sin cos 0x x x x x e x e x x x x x x →→→-+===∞+ （4）先化简，得 23 00011cos sin sin sin limcot ( )lim lim lim sin sin sin sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→----=?== 型极限的求解，利用洛必达法则求解得 大一第二学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-= x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是等价无 穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ， 则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =??x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 8. = -+? 2 1 2 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 11. ． 求，， 设?--??? ??≤<-≤=1 32 )(1020)(dx x f x x x x xe x f x 12. 设函数 )(x f 连续， =?1 ()()g x f xt dt ，且 →=0 () lim x f x A x ，A 为常数. 求'() g x 【注】 高等数学考试时间：7月13日（第二十周周二) 地点:主教楼１6０1教室 以下题目供同学们复习参考用！！！! 《高等数学》(二）期末模拟试题 一、填空题：(15分） 1．设,y x z =则=??x z .1-y yx 2. 积分=??D xydxdy ．其中Ｄ为40,20≤≤≤≤y x 。 16 3． L 为2x y =点(０,0)到(１,1)的一段弧，则=? ds y L .121 55- 4. 级数∑∞ =-1)1(n p n n 当p 满足 时条件收敛.10≤ （C)?? ?+----2 22 2 1 1 1 1 y x x x dz dy dx ; (D ）??? 1 1 0 2 0 dz rdr d π θ。 5.方程x e x y y y -=+'-''323的特解形式为 。B （A ）x e b ax )(+ （B)x cxe b ax ++ (C ）x ce b ax ++ (D ）x xe b ax )(+ 三、),(2 2 x y f z -=其中)(u f 有连续的二阶偏导数,求22x z ??.(８分) 解：)2(x f x z -?'=?? )2()2(222-?'+-?''=??f x f x z f f x '-''=242 例、设)](,[2 xy y x f z ?-=，),(v u f 具有二阶连续偏导数，求x y z ???2． x f f y z ?'?'+-?'=???21)1( ]2[1211 2y f x f x y z ?'?''+?''-=????x y f x f ?'??'?''+?''+??]2[2221??' ?'+??''?'+22f x y f 11 22)(f x xy f ''-''+'?'=??222122)2(f xy f y x ''?'+''?'-+?? 四、计算?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (,L 为由点A （1,０）到B(0,1），再到 C(-1,0)的有向折线。（8分） 解：2cos ,2sin -=-=y e Q y y e P x x y e x Q y e y P x x cos ,2cos =??-=?? .,,围成的区域为由设CA BC AB D 由格林公式 ?-+-L x x dy y e dx y y e )2cos ()2sin (???-+--??-??=CA x x D dy y e dx y y e dxdy y P x Q )2cos ()2sin ()( 02-=??dxdy D =2 五、计算 ?? ∑ ++dxdy zx dzdx yz dydz xy 2 22,其中∑为球体4222≤++z y x 及锥体22y x z +≥的公共部分的外表面。(８分） 解：,围成的空间区域为由设∑Ω . .. . . 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 A卷 B卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考试日期: 考 试方式： 开卷闭卷 其他 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 如果,a b 为共线的单位向量,则它们的数量积().a b ?= (A) 1 (B) 0 (C) 2- (D) cos(,)a b 知识点:向量的数量积,难度等级:1. 答案:D 分析:||||a b a b ?=cos(,)a b =cos(,).a b 2. 微分方程21x y '=的通解是( ). (A) 1y C x = + (B) 1 y C x =+ (C)1C y x =-+ (D) 1 y x C =-+ 知识点:微分方程,难度等级:1. 答案: D 分析:将方程改写为21,dy dx x =并积分,得通解1 ,y C x =-+故应选(D). 3. 设空间区域2222,x y z R Ω++≤：则( ).Ω = (A) 4R π (B) 443R π; (C) 4 3 2 R π (D) 42 R π 知识点:三重积分计算,难度等级:2. 答案: A 4．若L 是上半椭圆cos sin x a t y b t =?? =? 取顺时针方向,则L ydx xdy -?的值为 ( ). (A) 0 (B) 2 ab π (C) ab π (D)ab π- 知识点:对坐标的曲线积分,难度等级:1. 答案: C 分析: 题中半椭圆面积为 ,2 ab π 要用格林公式,添有向线段 1:0(:).L y x a a =-→ 1 1 2,0.D L L L dxdy ab π-+===? ???故选C. 命 题人 : 组 题人 : 审 题人: 命题时间: 教 务 处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密 习题1-5 A 组 1.求参数a 的值，使得函数24 ,2()2,2x x f x x a x ?-≠? =-??=? 在点2x =处连续 解析：考查分段函数的连续性，函数在某一点连续的充要条件可以总结为0 0lim ()()x x f x f x →= 解：本题中2222 4 lim ()lim lim(2)42x x x x f x x x →→→-==+=- 则4a = 2.若函数(sin cos ),0 ()2,0x e x x x f x x a x ?+>=?+≤? 是(,)-∞+∞上的连续函数，求a 解析：考查函数在定义域内的连续性，本题中，当0x >和0x ≤时，函数()f x 都是初等函数的复合，因此都在连续的，则判断函数在上连续只需判断函数在点0x =处连续，即使 00 lim ()lim ()(0)x x f x f x f - + →→== 解：已知(0)f a = lim ()lim(2)x x f x x a a -- →→=+=，00 lim ()lim (sin cos )1x x x f x e x x ++→→=+= 则1a = 3.若函数2,0()sin 0a bx x f x bx x x ?+≤? =?>? ?在0x =点处连续，求a 与b 的关系 解析：考查分段函数在某点上的连续性，和上题类似，只需使0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+ →→== 解：已知(0)f a = 20 lim ()lim()x x f x a bx a -- →→=+=，0 0sin sin lim ()lim lim x x x bx bx f x b b x bx +++→→→=== 则a b = 4.求下列函数的间断点，并指出其类型 （1）2 sin ()1x f x x = - （2）1 ()1x f x x -=- 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()() x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 4. ) ( )( , )(2)( )(1 0=+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 5. = +→x x x sin 2 ) 31(lim . 6. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 7. lim (cos cos cos )→∞-+++= 2 2 2 21n n n n n n ππ π π . 8. = -+? 2 12 12 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 9. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 10. .d )1(17 7 x x x x ?+-求 关于大学高等数学期末考 试试题与答案 Last revision on 21 December 2020 （一）填空题（每题2分，共16分） 1 、函数ln(5)y x =+-的定义域为 . 2、2()12x e f x x a ??=??+? 000x x x <=> ，若0lim ()x f x →存在，则a = . 3、已知 30lim(1)m x x x e →+=，那么m = . 4、函数21()1x f x x k ?-?=-??? 11x x ≠= ，在(),-∞+∞内连续，则k = . 5、曲线x y e =在0x =处的切线方程为 . 6、()F x dx '=? . 7、sec xdx =? . 8、20cos x d tdt dx ??=? ???? . （二）单项选择（每题2分，共12分。在每小题给出的选项中，选出正确答案） 1、下列各式中，不成立的是（ ）。 A 、lim 0x x e →+∞= B 、lim 0x x e →-∞= C 、21 lim 1x x e →∞= D 、1lim 1x x e →∞= 2、下列变化过程中，（ ）为无穷小量。 A 、()sin 0x x x → B 、()cos x x x →∞ C 、()0sin x x x → D 、()cos x x x →∞ 3、0lim ()x x f x →存在是)(x f 在0x 处连续的（ ）条件。 A 、充分 B 、必要 C 、充要 D 、无关 4、函数3y x =在区间[]0,1上满足拉格朗日中值定理的条件，则ξ=（ ）。 A 、 B 、 5、若曲线()y f x =在区间(),a b 内有()0f x '<，()0f x ''>，则曲线在此区间内 （ ）。 A 、单增上凹 B 、单增下凹 C 、单减上凹 D 、单减下凹 6、下列积分正确的是（ ）. A 、1 12111dx x x --=-? B 、 122π-==?? C 、22cos xdx ππ-=?0 D 、2220 sin 2sin 2xdx xdx πππ-==?? （三）计算题（每题7分，共 56分） 1、求下列极限 （1 ）2x → （2）lim (arctan )2x x x π →∞?- 2、求下列导数与微分 （1）x x y cos ln ln sin +=，求dy ； （2）2tan (1)x y x =+，求 dx dy ； （3）ln(12)y x =+，求(0)y '' 3、计算下列积分 （1 ）； （2 ）； （3）10arctan x xdx ?. （四）应用题（每题8分，共16分） 1. 求ln(1)y x x =-+的单调区间与极值. 2. 求由抛物线21y x +=与直线1y x =+所围成的图形的面积. 参考答案 一、填空题（每空2分，共16分） 1. ()3,5 2. 2 3. 3 4. 2 5. 10x y -+= 6. ()F x C + 7. sec tan x x C ++ln 8.2cos x 重庆大学《高等数学（工学类）》课程试卷 A卷 B卷 20 — 20 学年 第 学期 开课学院: 数统学院 课程号: 考 试日期: 考试方式： 开卷闭卷 其他 考试时间: 120 分 一、选择题(每小题3分,共18分) 1. 已知向量{}4,3,4a =-v 与向量{}2,2,1b =v 则a b ?=v v ( ). (A) 6 (B) 6- (C) 1 (D) 3- 知识点:向量的内积；难度等级:1。答案: (A). 2. 设arctan ,4z xy π?? =+ ? ? ? 则z x ?=?(). (A) ) 4 (1π + +xy xy (B) 2 ) 4 (11π + ++xy x (C) 2 2)4 (1) 4(sec π π + ++xy xy xy (D) 2 )4 (1π + +xy y 知识点:多元函数偏导数；难度等级:1。答案: (D). 3. 两个半径为R 的直交圆柱体所围立体的表面积是(). (A) 00 4R dx ? (B) 0 8R dx ? (C) 04R dx ? (D) 0 16R dx dy ? 知识点:二重积分的应用；难度等级:2。答案:(D) 分析:可设两个圆柱面的方程为222222,.x y R x z R +=+=由对称性,为第一卦象的面积的8倍.又由对称性,在第一卦限两个曲面部分面积相等,故可取在第一卦限222x z R +=部分面积的16倍,而该面 积为00 ,R dx ?选D. 4．设u =(1,0,1) () ( ).rot gradu =v v (A)1 4 (B)0 (C)(0,0,0) (D)(1,0,1) 知识点:旋度定义；难度等级:1。答案:(C) 分析:经计算,对应的旋度场为无旋场,即任意一点处旋度为0, 命 题人 : 组题人 : 审题人 : 命题时间 : 教务处制 学院 专业、班 年级 学号 姓名 考试教室 公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊 封 线 密 大一上学期高数期末考试卷 一、单项选择题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 1 (X)= cos x(x + |sinx|),贝= O处有( ) (A) n°)= 2(B)广(°)= 1 (C)广(°)= °(D) /(X)不可导. 设a(x) = |—0(兀)=3-3坂，则当^ —1时( ) 2. 1 + 兀? 9 9 (A) &⑴与0(力是同阶无穷小，但不是等价无穷小；(B) a(“)与仪兀)是 等价无穷小； (C) °(x)是比0(力高阶的无穷小；(D) 0(")是比°(x)高阶的 无穷小. 3. 若F(x)= Jo(力-兀)")力,其中/(兀)在区间上(71)二阶可导且广(小＞0,则(). (A) 函数尸⑴ 必在x = 0处取得极大值； (B) 函数尸⑴必在“ °处取得极小值； (C) 函数F(x)在x = 0处没有极值，但点(0,F(0))为曲线＞'=F(x)的拐点； (D) 函数F(x)在* = °处没有极值，点(°，F(0))也不是曲线〉'=F(x)的拐点。 4 设f(x)是连续函数，-W(x) = x + 2j o* f(t)dt，贝!j f(x)=( ) 十竺+ 2 (A) 2 (B) 2 +(C) —I (D) x + 2. 二、填空题(本大题有4小题，每小题4分，共16分) 5.腳(f ____________________________________ 己知竿是/(X)的一个原函数贝IJ“(x)?竽dx = (? 7C #2兀 2 2龙2刃—1 \ lim —(cos —+ cos ——H ------ cos -------- 兀)= 7. nfg n n n n i x2arcsinx + l , ------ / ——dx = 8. 飞__________________________ . 三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共40分) 9. 设函数尸曲由方程严+sing)"确定，求0(兀)以及以。). 学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线-------------------------------- ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 同济大学版高等数学期 末考试试卷 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．211 f dx x x ??' ????的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ??+ ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? A 组 1.利用导数的四则运算法则求下列函数的导数： （1）（2）tan sin 3 y x x π =+ （3）sinx y x = （4 ）y = （5）3cot ln x x y x += （6）223sin 1x x y x x =-+ 解析：考查导数的求解，四则法则就是导数的四种运算法则，包括加减乘除，同时要对初等函数的导数公式非常了解，详细见91P 解：（1）92y x '=- （2）2()tan (tan )(sin )tan sec 3 y x x x x x x x π ''''=++=+ （3）22 (sin )()sin cos sin x x x x x x x y x x ''--'= = （4 ）化简y == 已知'= ，则 y '''= == （5） 2 33322 2321(3csc )ln (cot ) (cot )ln (ln )(cot )ln ln (3csc )ln cot )ln x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x --?+''+-+'==---= （6）222222 2 22222 222 ()(1)(1)(sin )()sin 3(1)2(1)2cos sin 3(1)23(cos sin )(1)x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''+-+-'=-++-?-=-+-=-+ 2.求下列函数的导数： （1）1 ()21 f x x = -，求(0)f '，(2)f '-； （2）23 51 ()t t f t t -+=，求(1)f '-，(1)f ' 解析：考查函数导数的求解，上面两题都是由基本初等函数构成的，直接利用导数四则法则求解 解：（1）22 (1)(21)(21)2 ()(21)(21)x x f x x x ''----'= =-- 则(0)2f '=-，2 (2)25 f '-=- （2）233232266 4322 64 (51)()(51)(25)3(51)()103103t t t t t t t t t t t f t t t t t t t t t t ''-+--+---+'== -+--+-== 则(1)14f '-=-,(1)6f '= 3.求曲线arctan y x =在横坐标为1的点处的切线方程和法线方程 解析：考查导数的应用，从上节可知，曲线在某点的切线斜率等于该点上导数的值，由此可 以利用点斜式求切线方程，法线与切线垂直，则其斜率相乘为1 解：已知14 x y π == ，21 1 y x '= + 则曲线在点(1, )4 π 上的斜率为1112 x k y ='== 则切线方程为1(1)42y x π - =-，即11242 y x π=+- 设法线方程的斜率为2k ，则121k k ?=-，得22k =- 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0,(),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0(3)(3)lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 ππ-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 201lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 0ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设2,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 0(1),f x dx -?其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤?=+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程00cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞??+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x ππ??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--?? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 3 1;y x =+ 2 2;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式2 05lim 3x x x x →?= 5分 53 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 2212[]121 x y x x '∴=-++ 4分 05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为 A 组 一、填空题： 1.函数lnsin y x =在5[ , ]66ππ 上满足罗尔定理中的____ξ= 解析：考查罗尔定理的应用，要求解ξ，即在区间5(, )66ππ 内，求=0y '的解 解：cos = sin x y x '，令=0y '，则2 x π = 2.函数4()f x x =，2 ()F x x =在[1,2]上满足柯西中值定理中的____ξ= 解析：考查柯西定理的应用，要求解ξ，即在区间(1,2)内，求 (2)(1)() (2)(1)() F F F x f f f x '-='-的解 解：已知 (2)(1)1 (2)(1)5 F F f f -=-，()2F x x '=，3()4f x x = 则即求 321 45 x x =，解得2x =，2x =-（舍去） 则ξ= 3.设函数3 x y e -=，[5,5]x ∈-，则该函数的最大值_____M =，最小值_____m = 解析：考查函数最值的求解，由于函数中存在绝对值，则可以化为分段函数，然后在区间内的最值 解：化为分段函数33,53 35x x e x y e x --?≥>=?≥≥-? 已知x e 和3x +都为恒增函数，则3 x e -也为恒增函数 即当53x ≥>时，最大值为25 x y e ==，3 1x y == 因为3x -为恒减函数，则3 x e -也为恒减函数 当35x ≥≥-时，最大值为8 5 x y e =-=，3 1x y == 综上可知，最大值8 M e =，最小值1m = 4.曲线1ln()y x e x =+（0x >）的渐近线方程为_____ 解析：考查函数渐近线的求解，渐近线包括垂直渐近线、水平渐近线、斜渐近线，前面已经 介绍过各类渐近线的定义，则只需一一验证各类渐近线是 否存在高等数学(B2)期末模拟试卷(一)及答案
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