第五章 不定积分1(直接积分法、换元积分法)
一、单选题
1.设)(x f 是可导函数,则?'
))((dx x f 为（ A ）.
A.)(x f
B.C x f +)(
C.)(x f '
D.C x f +')(
2.函数)(x f 的（ B ）原函数,称为)(x f 的不定积分.
A.任意一个
B.所有
C.唯一
D.某一个 3.?
=
+=)(,2cos )(x f C x e dx x f x
则（ A ）.
A.)2sin 22(cos x x e x -
B.C x x e x +-)2sin 22(cos
C.x e x 2cos
D. x e x
2sin
4.函数x e x f =)(
的不定积分是（ B ）.
A.x e
B.c e x +
C.x ln
D.c x +ln 5.函数x x f cos )(=的原函数是 （ A ）.
A.c x +sin
B.x cos
C.x sin -
D.c x +-cos 6.函数211)(x
x f -=的原函数是（ A ）.
A.c x x ++
1 B.x x 1- C.32
x
D.c x x ++12 7.设x 2是)(x f 的一个原函数,则[]
='
?dx x f )(（ B ）
A. x 2
B.2
C.2
x D.-2 8.若
c e dx e x x +=?
, 则
?x
d e x
22=（ A ）
A.c e
x
+2 B.c e x + C.c e x +-2 D.c e x +-2
9.函数x x f sin )(=的原函数是（ D ）
A.c x +sin
B.x cos
C.x sin -
D.c x +-cos 10.若)()()()()(x G x F x f x G x F '-'的原函数，则均为、=（ B ）
A.)(x f
B.0
C.)(x F
D.)(x f ' 11.函数21
1)(x
x f +
=的原函数是（ A ） A.c x
x +-1
B.x x 1-
C.32x
D.c x x ++12
12. 函数21
1)(x
x f -
=的原函数是（ A ）
A.c x
x ++
1 B.x x 1- C.32x D.c x x ++
12
13.若函数)(x f 、)(x g 在区间),(b a 内可导，且)()(x g x f '='，则（ B ） A.)()(x g x f = B.C x g x f +=)()(
C.)()(x g x f ≠
D. 不能确定)(x f 与)(x g 之间的关系 14.若)()(x f x F ='，则下列等式成立的是（ B ）. A.C x f dx x F +='?)()( B.?+=C x F dx x f )()( C.?+=C x f dx x F )()( D.C x F dx x f +='?)()( 15.经过点)1,0(-，且切线斜率为x 2的曲线方程是（ D ）.
A.2x y =
B. 2x y -=
C. 12+=x y
D. 12-=x y 二.填空题
1.)25ln(2125x d x dx --
=-.
2.)1(2
12x d xdx --
=.
3.C a
a dx a x
x +=?
ln .
4.设)(x f 是连续函数，则dx x f dx x f d )()(=?.
5.
x
x cos 2+的原函数是x x sin 2
+.
6.]4)3[(2
1)3(2---=-x d dx x .
7.C x xdx +=?7sin 7
1
7cos .
8.)1(ln 3133-=
x x a d a
dx a .
9.)3(cos 3
13sin x d xdx -
=.
10.C x dx x x +=
?2
ln 21ln .
11.C x dx x +=
?4
34
1.
12.)C 4
1
(22
22+-=--x x e d
dx xe .
13.C x xdx x +=
??2
sin 21sin cos . 14.
C x dx x +=
+?3arctan 3
1
911
2. 15.C x x dx x +-=
?)sin (2
1
2
sin 2.
16.?+=
'C x f dx x f )2(2
1
)2(.
17.设?+=.
)()(C x F dx x f ,若积分曲线通过原点，则常数)
0(F C -=.
18.
)3(arctan 31912
x d x dx
=
+. 19.)(2
12
2
x x e d dx xe =
.
20.已知x
x f C x dx x f 2sin )(,sin )(2=
+=?则.
21.设)()()(21x f x F x F 是、的两个不同的原函数，且=-≠)()(,0)(21x F x F x f 则有 C .
22.C x x dx x x +-=
+-?
2
2
2
11
1 23.C
e dx e x
x
x +-=
?11
21
.
24.)1ln(2
11
22
-=
-x d dx x x .
25.若x x f sin )(的导函数是,则)(x f 的原函数为
C
x +-sin .
26.设)(3
x f x 为的一个原函数，则dx
x x df 23)(=
.
27.)2cos 41(8
12sin x d xdx -=
28.x x sin 2
+的一个原函数是
x x cos 3
13
-.
29.)3
(cos 3
3sin x d dx x -=
.
30.C
x xdx +-=
?cos ln tan .
31.()C x dx x +--=-?)21sin(2
1
21cos .
32.C
x xdx +=?tan sec 2. 33.
C x x
dx
+-=?3cot 3
1
3sin
2
.
34.设x 2是)(x f 的一个原函数，则?
='])([dx x f 2 .
三.判断题 1.
?+=c
x xdx cos sin ( × ) 2.x
x e
dx e =?
（ × ）
3.?-=.
cos sin x xdx ( × ) 4.?
+-=c
x xdx cos sin ( √ ) 5.)
21sin()]21[sin(x dx x -=-?
( × ) 6.?
+-=c
x xdx sin cos （ × ）
四.计算题
1.求不定积分dx x x ?+2
1. 解：原式=C x x d x ++=++?23
2
22)1(3
1)1(121
2.求不定积分
dx x ?-31
. 解: 原式=C x +--3ln
3.求不定积分?+dx e e x x 1. 解：原式=C e e d e
x x x ++=++?)1ln()1(11 4.求不定积分?
+-dx x
x x
)3sin 21(. 解: 原式=C x x x +++ln 3cos 22 5.求不定积分?-dx xe
x 2
. 解: 原式=C e x +--2
2
1 6.求不定积分dx x x
?+1
2. 解: 原式=C x ++)1ln(212
7.求不定积分dx x x
?+2
)72(. 解: 原式=
C x
x x ++?+7
ln 24914ln 1422ln 24 8.求不定积分?+dx x 10)12(. 解: 原式=
C x ++11)12(22
1
9.求不定积分?+-dx x
x x )1)(1(. 解: 原式=C x x x x x +-+-
22
1522
2
10.求不定积分?xdx 2sin . 解: 原式=C x x +-2sin 4
1
21 11.求不定积分?dx x x 22cos sin 1
. 解: 原式=C x x +-cot tan
12.求不定积分
dx x ?+321
. 解: 原式=C x ++32ln
21
13.求不定积分xdx x
arctan 112
?
+. 解: 原式=C x +2)(arctan 21 14.求不定积分?-dx
x x 4313. 解: 原式=C x +--41ln 4
3 15.求不定积分
?+dx x 2
411. 解: 原式=C x +2arctan 2
1
16.求不定积分?+dx x x
)5(3
. 解: 原式=C x x
++
5
ln 5414 17.求不定积分?
-dx e x 5. 解: 原式=C e x
+-
-55
1
五.应用题
1.设一质点作直线运动,已知其加速度为t t a sin 3122-=,如果0=t 时3,500-==s v , 求（1）t v 与的函数关系； （2）t s 与的函数关系. 解：
3
2sin 3)(2sin 3)2cos 34()(2
cos 34)(cos 34)sin 312()(4
3,04335
,032-++=???→?+++=++=++=??→?++=-=-====??t t t t s c t t t dt t t t s t t t v C t t dt t t t v s t v t
2.求经过点（0,0）,且切线斜率为x 2的曲线方程. 解：20
,022x y C x xdx y y x =???→?+====?
3.一物体由静止开始运动,t 秒末的速度是2
3t （米/秒）,问(1)在3秒末物体与出发点之间的距离是多少？ (2)物体走完360米需多长时间？
解：设运动方程为：30
,032)(3)(t t S C t dt t t S S s t =??→?+=====?
（1）当3=t 时，27)3(=S （米）
（2）当.360360)(33
秒=?==t t t S
4.一曲线过原点且在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率等于3
x ,求这曲线的方程. 解：40,043
4
141x y C x dx x y y x =???→?+=
=
==? 5.已知物体由静止开始作直线运动,经过t 秒时的速度为180360-t （米/秒）,求3秒末物体离
开出发点的距离.
解： t t t S C t t dt t S s t 180180)(180180180)-60t 3()(20
,02-=??→?+-====?
.
当3=t 时，1080)3(=S （米）.
6.求经过点)1,(e ,且切线斜率为x 1
的曲线方程.
解：x y C x dx x
y y e x ln ln 11,=??→?+==
==?. 7.求经过点（0,0）,且切线斜率为2
11
x
+的曲线方程.
解：x y C x dx x y y x arctan arctan 110
,02
=???→?+=+===?.
第五章 不定积分2
一.单选题
1.下列分部积分法中, dv u ,选择正确的是（ A ）. A.?==xdx
dv x u xdx x 2sin 2sin ，， B.xdx
dv u xdx ln ,1,ln ==?
C.
dx x dv e u dx e x x x 22,,==--?
D.
xdx dv e u dx xe x
x ==?
,,
2.??-=)(
2arctan d 2arctan A
xd x x x x .
A.x arctan2
B.x arctan4
C.x arctan2-
D.x arctan4- 3.
=?
2
-4d x
x ( A ).
A.C x +2arcsin
B.C x +arcsin
C.C
x
+2arccos D.C x +arccos
二.判断题
1.分部积分法u v uv v u d d ?-=?的关键是恰当的选择u 和v d ,使u v d ?应比v u d ?容易积分.（ √ ）
2.若被积函数中含有2
2a x ±,则可利用三角函数代换法化原积分为三角函数的积分.
（ √ ）
三.填空题
1.
C
x dx x ++=
+?1211.
2.设)(x f 有一原函数?
+-=
'C
x dx x f x x
x cos )(,sin 则.
3.C x x x xdx x +-=?224
1
ln 21ln .
4.
)3(arcsin 3
1912
x d x
dx =
-.
5.C
x x e dx e x x x ++-=?)22(22.
6.?++-=C x x x xdx x 3sin 9
1
3cos 313sin .
四.计算题
1.求不定积分
?
-dx x x
2
32. 解：原式=C
x x d x +--=---
?22
2323
1)32(32161
2.求不定积分?dx
x
e x2
2
. 解：原式=C
x
x
e x+
+
-)
2
1
(
2
1
2
2
3.求不定积分?
+
+
dx
x
x
1
1. 解：
C
x
x
C
t
t
dt
t
t
t
x
+
-
-
+
=
+
-
=
-
=
+?
1
)1
(
3
2
3
2
)
2
2(
1
3
2
2
3
2
原式
4.求不定积分?
+)
1(x
x
dx
. 解：
c
x
C
t
dt
t
t
x
+
=
+
=
+
=?
arctan
2
arctan
2
1
2
2
2
原式
5.求不定积分?xdx
x2
sin
. 解：原式=C
x
x
x+
+
-2
sin
4
1
2
cos
2
1
6.求不定积分?+dx
e
x x5
)2
(
. 解：原式=C
x
e x+
+)
5
9
(
5
1
5
7.求不定积分
dx
xe x
?-4. 解：原式C
x
e x+
+
-
=-)
16
1
4
1
(
4
8. 求不定积分?
+
+
dx
x1
1
1
. 解：原式[]C
x
x+
+
+
-
+
=)
1
1
ln(
1
2
9.求不定积分?
+
-
dx
x1
2
1
1
. 解：原式[]C
x
x+
-
+
+
+
=1
1
2
ln
1
2
-
10.求不定积分
dx
e x
?
+
1
1
. 解：原式=C
e
e
x
x
+
+
+
-
+
1
1
1
1
ln
11.求不定积分?xdx
x ln
2
. 解：原式C
x
x+
-
=)
3
1
(ln
3
1
3
12.求不定积分
dx
x
x
?-1
. 解：原式C
x
x+
-
-
-
=)1
arctan
1
(2
13.求不定积分?
-
-
-
dx
x
x
2
2
1
1
2
. 解：原式C
x
x+
-
=)
(arcsin
2
14.求不定积分?dx
a
x x
2)1
,0
(≠
>a
a. 解：原式C
a
a
x
a
x
a x+
+
-
=)
ln
2
ln
2
ln
(
3
2
2
15.求不定积分
dx
x
?
-2
9
4
1
. 解：原式C
x+
=
2
3
arcsin
3
1
16.求不定积分
dx
x
?sin. 解：原式C
x
x
x+
+
=sin
2
cos
-2
17.求不定积分?
xdx x 3cos . 解：原式C x x x ++=
3cos 9
1
3sin 31 18.求不定积分
dx
x x ?
+2
. 解：原式C x x ++-+=21
23
)2(4)2(3
2
五.应用题 （增加题）
第六章 定积分
一.单选题 1.)(
24
0D
dx x =-?
A.??-+-4
2
2
0)2()2(dx
x dx x B.??-+-4
2
2
)2()2(dx
x dx x C.??-+-4
2
2
)2()2(dx
x dx x D.??-+-4
2
2
)2()2(dx
x dx x
2.=?a a
dx x f )(( C ) A.大于0 B.小于0 C.等于0 D.不能确定 3.??--=+1
1
1
1
)()(dx x f dx x f ( C )
A.大于0
B.小于0
C.等于0
D.不能确定 4.定积分?b
a
dx
x f )(是（ D ）
A.一个原函数
B.()x f 的一个原函数
C.一个函数族
D.一个常数 5.定积分?b
a
dx
x f )(的值的大小取决于( C )
A.)(x f
B.区间 []b a ,
C.)(x f 和[]b a ,
D.都不正确 6.定积分?
b a
dx
x f )(的值的大小取决于( C )
A.)(x f
B.区间 []b a ,
C.)(x f 和[]b a , Ｄ.无法确定 7.??=-3
2
3
4
)()(dx x f dx x f ( A )
A.?4
2
)(dx
x f B.?2
4
)(dx
x f C.?4
3
)(dx
x f D.?3
2
)(dx
x f
8.下列命题中正确的是（ C ）（其中)(),(x g x f 均为连续函数） A.在[]b a ,上若)()(x g x f ≠则dx
x g dx x f b
a b
a
??≠)()( B.??≠b
a
b
a
dt
t f dx x f )()( C.若)()(x g x f ≠,则?
?≠dx
x g dx x f )()( D.
?=b
a
dx
x f dx x f d )()(
9.=?dx x f dx d b
a
)(( B ) A.)(x f B.0 C.)(x f ' D.)(x F 10. 若1)(=x f ,则?=b
a dx x f )(( C )
A.1
B.b a -
C. a b -
D.0 11.定积分?b
a
dx
x f )(是（ B ）
A.任意的常数
B.确定的常数
C.)(x f 的一个原函数
D.)(x f 的全体原函数 12.若?=+1
2
)2(dx k x ,则=k ( B )
A.-1
B.1
C.1/2
D.0 13.=-?dx x 5
042( C )
A.11
B.12
C.13
D.14
二．判断题
1.函数在某区间上连续是该函数在该区间上可定积分的必要条件. ( × )
2.a b dx b
a -=?0 . ( × )
3.
?='b
a
dx x f 0
))(( . ( × ）
4.x xdx dx d b
a sin sin ?=. ( × )
三.填空题
1.设)(x f '在[]b a ,上连续,则)
()()(a f b f dx x f b a
-=
'?.
2.C dx x
x
x +=
??
6
ln 6321
. 3.
4
111
022
π
-
=
+?dx x x .
4.e
e dx x
e x
-=?
2
1
21
.
5.设??==5
2
51
5)(,3)(dx x f dx x f ,则2)(2
1
-=
?dx x f .
6..01
1
3=
?-dx x .
7.若)(x f 在[]b a ,上连续,且?=b
a dx x f 0)(,则[]a
b dx x f b
a
-=
+?1)(.
8.由曲线22+=x y ,直线3,1=-=x x 及x 轴围成曲边梯形的面积3
52)2(312=
+=?-dx x A .
9..0
sin 1
2=?
dx x dx d .
10.
11ln
41
4
1=+-?
-dx x
x
.
11.
1
)
1sin(212=?
dx x
x ππ
. 12.321
12=
?
-dx x .
13.0
cos 1
1
?-=
xdx x .
14.利用定积分的几何意义填写定积分的值
π4
1
11
2=-?
dx x .
15.2
2sin sin x dt t dx d x
?=
.
16..0
sin 2
2
2=
?-xdx x .
17..01
1
3=
?-dx x .
18.
的值为积分.2
1
ln 1
?e
dx x x 19.2
)253(22
2
24??=
++-dx dx x x .
20.1
1
-=
?e dx e x . 21.4
3
1=
?-dx .
22.
?
1
2
12ln xdx
x 的值的符号为 负 .
四．计算题 1.求定积分
．
?
+4
1
1x
dx 解：原式)3
2
ln 1(2+= 2.求定积分
?
-1
24x dx
. 解：原式6
arcsin 1
0π
=
=x
3.求定积分?-+-0
1
)32)(1(dx
x x . 解：原式2
1
-
=
4.求定积分
dx
x
?
--212
12
11 解：原式3
arcsin 212
1π
=
=-
x
5.求定积分?-+1
2511x dx 解：原式=2ln 5
4)511ln(5
11
2
=??????+-x
6.求定积分
dx x ?+9
411
解：原式[
])2ln 1(2)
1ln(232+-=-+-=t t
7.求定积分dx
e
x
?
-1
. 解：原式e
e x
1
101
-=-=- 8.求定积分dx
x ?
2
1
2 解：原式3
7
12313==x
9.求定积分θ
θπ
d ?
40
2tan 解：原式[]4
10
4tan π
π
θθ-
=-=
10.求定积分．
dx x x ?+402sin 12sin π
解：原式2
32
ln 0
4)sin 1ln(=+=π
x 11.求定积分dx
x x ?-π
π
23sin . 解：原式=0
12.求定积分
()dx
x
x ?
--21
2
12
21arcsin . 解：原式=324)(arcsin 3132
12
1
3π=-x 13.求定积分
dx
x x ?
+9
1
1. 解：原式2ln 21
3)1ln(2=+=x
14.求定积分dx
e x x ?1
2. 解：原式20
1)
22(2-=+-=e x x e x
15.求定积分
?+1
04
)1(x dx 解：原式24
70
1)1(3
1-3=
+=-x 16.求定积分dx
xe x ?
2
. 解：原式10
2)
1(2+=-=e x e x
17.求定积分?
-1
dx
xe x . 解：原式e
x e x
2101)
1(--=+=-
18.求定积分
dx x ????
?
?
+π
ππ3
3sin . 解：原式0)3
cos(3
=+
-=ππ
πx
19.已知??
?≤<-≤≤=3
1,
210,)(2
x x x x x f ，计算?2
0)(dx x f . 解：原式??-=-+=21
1
02
61)2(dx x dx x 20.求定积分()d x x x +?194
. 解：原式6
271
49)213
2
(22
3=
+
=x x
21.求定积分?1
arctan xdx
x . 解：原式=2
14)arctan arctan (211
02-=???
???+-πx x x x
22.求定积分?1
arcsin xdx . 解：原式12
1)
1arcsin (2
-=
-+=π
x x x
23.求定积分
?
2
6
2cos π
π
udu
. 解: 原式836)2sin 21(216
2
-=+=πππ
u u
24.求定积分()dx x x x ?+2
sin π
. 解: 原式18
sin cos 2
12
02+=???
???+-=π
πx
x x x 25.求定积分
dx x x ?
-12
12
2
1. 解: 原式[]4
1cot sin 2
4
π
π
π
-=--=t t t x
26.求定积分
dx x x 1
sin 12
1
2
?π
π
. 解: 原式11
cos
1
2
==π
πx
27.求定积分
dx x ?+1
1210. 解: 原式10
ln 495
0110ln 21012=
=+x 28.求定积分xdx
x ?
2
3cos sin π
解: 原式4
10cos 41-24
==π
x
29.求定积分?1
24dx x
x . 解: 原式10
ln 710ln 81
0=??????=x 30.求定积分dx x x e
?-1ln 1. 解: 原式2
1ln 2
1ln 1
2
=?????
?-=e
x x
31.求定积分
dx
x x ?
+3
1
)
1(1. 解: 原式[]6
arctan 23
1
2
π
=
=t t x
32.求定积分xdx
x cos sin 20
3?
π
. 解: 原式4
1
0sin 4124==πx
33.求定积分?--1
321
dx x . 解: 原式[]
5ln 2ln -13
=-=-x
34.求定积分dx x x x ?
++2
1
222)1(1
2 解: 原式4212arctan 1arctan 2
1π-+=?????
?-=x x 35.求定积分
?
+2
1
ln 1e x x dx
. 解: 原式[]
)13(2ln 122
1
-=+=e x
36.求定积分dx
e x x ?2
2
. 解: 原式)1(2
12142
02-=???
???=e e x
37.求定积分dx
x ?
20
sin π
. 解: 原式10
cos 2
=-=π
x
38.求定积分?++1
0)32)(1(dx x x . 解: 原式2112521
32=??????++=x x x
39.求定积分
dt
te
t ?-
102
2
. 解: 原式21
2
11
2
---=???????
?-=e e t 40.求定积分dx x x ?+1
02
2
12. 解: 原式[]2
2)arctan (210π-=-=x x
41.求定积分?π
sin xdx
x . 解: 原式[]ππ
=+-=0sin cos x x x
42.求定积分
dx x x
e
?
1
2ln . 解: 原式3
11ln 313==e x
43.求定积分?
2
cos sin 3π
xdx
x . 解: 原式2
3
0sin 2322==πx
44.求定积分()
?
ω
π
ωω20
sin 为常数tdt t 解: 原式20
22sin 1cos 12ωπωωωωω
ω
-=??????+-=t t t
45.求定积分dx
x ?
230
cos π
. 解: 原式[][]3sin sin 232
2
=-=πππ
x x
46.求定积分dx
x ?--2
2
21. 解：原式431312312
1
3113123=???
???-+??????-+??????-=---x x x x x x
47.求定积分
?
+3
3
1
2
11
dx x . 解：原式[]6
arctan 33
1π
=
=x
48.求定积分?
+16
1 4
x x dx . 解：原式23ln 2)1ln(2142
1
24+=??????++-=t t t t x
五.应用题
1.已知生产某产品x （百台）时,总收入R 的变化率x R -='8 (万元/百台)，求产量从从1(百
台)增加到3(百台)时,总收入的增加量. 解：由已知x R -='8得总收入的增加量为：12218)8(R 3
13
1
3
12=?????
?
-=-='=
?
?x x dx x dx R
2.试描画出定积分?
π
π
2
cos xdx
所表示的图形面积,并计算其面积.
解：[]1sin cos 2
2
=-=-
=?
π
ππ
π
x xdx S . (图形略)
3.试描画出定积分?π
π
2
sin xdx 所表示的面积图形,并计算其面积.
解：[]1cos sin 2
2
=-==
?
π
πππ
x xdx S . (图形略)
4.计算曲线3
x y =,直线3,2=-=x x 及x 轴所围成的曲边梯形面积.
解:49741413
40243
3
2
3
=???
???+??????-=+-
=--?
?
x x dx x dx x S .(图形略) 5.计算抛物线2
4x y -=与x 轴所围成的图形面积. 解: 2
4x y -=与x 轴的交点为(-2,0),(2,0)
3323142)4(2
032
22
=?????
?
-=-=?-x x dx x S
6.已知生产某产品x （百台）时,总成本C 的变化率为x C +='2（万元/百台）,求产量从1(百
台)增加到3(百台)时总成本的增加量.
解:.8212)2(3
13
12=?????
?
+=+=?x x dx x C
7.计算函数x y sin 2=在
???
???
2,0π上的平均值. 解:[]π
π
π
π
π
4
cos 22
2
sin 22
02
=
-=
=
?x xdx
y
8.计算函数x y cos 2=在??
???
?2,0π上的平均值.
解:[]π
π
π
π
π
4
sin 22
2
cos 22
020
=
=
=
?x xdx
y
第七章 定积分的应用
一.单选题
1.变力使)(x f 物体由],[b a 内的任一闭区间]d ,[x x x +的左端点x 到右端点x x d +所做功的近似值为( C ).
A.)(x df -
B.)(dx f
C.dx x f )(
D.dx x f )(-
2.一物体受连续的变力)(x F 作用, 沿力的方向作直线运动,则物体从a x =运动到b x =, 变力所做的功为( A ). A.
?b a x x F d )( B.?a b x x F d )( C.?-a
b x x F d )( D.?-b
a x x F d )(
3.将曲线2
x y =与x 轴和直线2=x 所围成的平面图形绕y 轴旋转所得的旋转体的体积可表
示为
=
y V （ C ）.
A.
dx x ?20
4π B.
?4
ydy
π C.
()dy
y ?-4
4π D.
()dy
y ?+4
4π
二.判断题 1.定积分?b
a
dx
x f )(反映在几何意义上是一块[a,b]上的面积. （ ╳ ）
2.已知边际利润求总利润函数可用定积分方法. （ √ ）
三.填空题
1.计算曲线x y sin =与曲线
2π
=
x 及0=y 所围成的平面图形的面积可用定积分表示为
?
=
20
sin π
dx
A .
2.抛物线3
x y =与x 轴和直线2=x 围成的图形面积为
?
2
3dx
x .
3.由曲线2x y =与直线1=x 及x 轴所围成的平面图形,绕x 轴旋转所的旋转体的体积可用定
积分表示为?=1
4dx
x V x π.
四.计算题
1.求抛物线3
x y =与x 轴和直线3=x 围成的图形面积.
2.把抛物线
ax y 42=及直线)0(>=b b x 所围成的图形绕x 轴旋转,计算所得旋转体的体积. 3.一边长为a m 的正方形薄板垂直放入水中,使该薄板的上边距水面1m ,试求该薄板的一侧所
受的水的压力（水的密度为33kg/m 10, g 取2
m/s 10）.
4.计算抛物线2
x y =与直线轴和x x x 3,1=-=所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转体体积.
5.由2
2x y x y ==和所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体体积.
6.求由曲线
x y 1
=
与直线x y =及2=x 所围成的图形的面积.
7.用定积分求由0,1,0,12
===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.
8.求曲线2
2)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.
9.用定积分求底圆半径为r ，高为h 的圆锥体的体积.
10.计算曲线3
x y =和x y =
所围成的图形面积.
11.计算抛物线2
4x y -=与x 轴所围成的图形面积.
12.求曲线2
x y =与x y =
所围成的图形的面积。
五.应用题
1.已知某产品总产量的变化率是时间的函数,0,12)(≥+=t t t f ,求第一个五年和第二个五年的总产量分别是多少？ 解：第一个五年的总产量：?=+5
30)12(dt t ，
第一个五年的总产量：
?
=+10
5
80)12(dt t .
2.计算抛物线2
x y =与直线4,2=-=x x 和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转所得到的旋转
体体积.)(4
2
4?
-=dx x V π
3.计算曲线3
x y =和x y =
所围成的图形面积. (dx x x S ?-=
1
3)(
)
4.求抛物线px y 22
=及其在点)
,2(p p
处的法线所围成的图形面积.
解:p x y p p x p y k 2
3
,212+-=?==
'=）处的法线方程：过（切 法线与抛物线的交点为: ),2(p p
和)3,2
9
(p p -
则dy p
y p y S p
p ]2)23[(2
3-
+-=?- 5.把等边双曲线4=xy 及直线0,4,1===x y y 所围成的图形绕y 轴旋转所的旋转体的体积. (dy y
V ?
=4
1
2)4
(π
). 6. 已知某产品生产x 个单位时，总收益R 的变化率(边际收益)为:)0(100
200)(≥-='x x x R
（1）求生产了50个单位时的总收益.
（2）如果已经生产了100个单位，求再生产100个单位时的总收益.
7.把抛物线
ax y 42=及直线()000>=x x x 所围成的图形绕x 轴旋转所的旋转体的体积. 8.求曲线2y x =与直线x y =所围成的图形的面积.
9.计算曲线2
x y =,直线32+=x y 所围成的图形面积.
10.计算椭圆1492
2=+y x 绕x 轴旋转所形成的椭圆的体积.
11.由抛物线2x y =及2
y x =所围成的图形绕y 轴旋转所的旋转体的体积. 12.求曲线x x e y e y -==,与直线1=x 所围成的图形的面积.
13.设平面图形D 由抛物线2
1x y -=和x 轴围成,试求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积.
14.已知某弹簧用２Ｎ拉力能伸长2cm,求如果把该弹簧拉长10cm 需做多少功?
15.已知物体的运动速度与时间的函数关系
)/(3)(2
s m t t v =,求在时间段[])(3,1s 上物体的平均速度是多少？
16.求抛物线
342
-+-=x x y 与其在点)3,0(和)0,3(处交线所围成的平面图形的面积.
17.计算曲线3
x y =,直线2,4=-=x x 所围成的曲边梯形面积.
18.计算曲线2x y =,直线32+=x y 所围成的图形面积.
19.某产品的总成本C (万元)的变化率(边际成本)1='C ，总收益R (万元)的变化率(边际收益)为生产量x (百台)的函数x x R -='5)(,
（1）求生产量等于多少时，总利润C R L -=为最大?
（2）从利润最大的生产量又生产了100台，总利润减少了多少?
20.求抛物线x y 22
=将圆822=+y x 分割成两部分的面积.
第八章 常微分方程
一.单选题
1.微分方程0=''y 的通解是（ C ）
A.C y =
B.Cx y =
C.x C x C y 21+=
D.21C x C y += 2.以下不是微分方程的是（ C ）
A.0cos =-x x dx dy
B.dy y x dx x )()12(+=-
C.042
=-xy y D.02)(2='-'y x y x 3.以下属可分离变量微分方程的是（ D ）
A.02
2
=+-'y x y B.33y x dx dy
+= C.0)(=-+ydy dx y x D.
0)2(2
=++dy x xydx 4.微分方程x y y y sin 2='+''是（ B ）
A.一阶线性方程
B.一阶非线性方程
C.二阶线性方程
D.二阶非线性方程
二．判断题
1.sin yy y x '+=是一阶非齐次线性微分方程. ( ╳ )
2.(75)()0x y dx x y dy -++=是二阶微分方程. ( ╳ )
3.2520xy y x y ''''++=是三阶微分方程. ( √ )
三．填空题
1.设曲线()x y y =上任意一点()y x ,的切线垂直于该点与原点的连线，则曲线所满足的微分方
程为
y
x
y -
='.
2.微分方程1sin 2=+''-'''x y y 的阶数为 ２ .
3.微分方程2x y
y e -'=, 00x y ==满足已给初始条件的特解是
)1(2
12+=
x
y e e .
4.微分方程32y y '+=的通解是x Ce y 33
2
-+=
.
5.y y x 4='的通解为
4
x
Ce y =.
6.1+=y dx dy
的满足初始条件()10=y 的特解为
1
-=x Ce y . 7.设某微分方程的的解为()x
e x c c y 221+=,且
==x y ,
1
0='=x y 则0
1=
c ，
1
2=
c .
8.微分方程 满足条件
的特解为
x
x e
y cot csc +=.
9.微分方程
8-=x e dx dy
的通解为
C
x e y x +-=8.
10.微分方程162
2+=x dx y
d 的通解为
212
32
1C x C x x y +++
=.
11.微分方程x dx y
d 62
2=的通解为
2
13C x C x y ++=.
12.微分方程2
3550x x y '+-=的通解是
C x x y ++=
2
32
151.
13.微分方程n my y =+'（其中n m ,为常数，且0≠m ）,则满足条件()00=y 的特解为
)1(mx e m
n
y --=
.
14.微分方程x
e dx dy
=的通解为
C
e y x +=.
四.计算题
1.求微分方程
2
2(2)2y
y x x '-
=--的通解.（)2()2(3-+-=x C x y ）
2.求微分方程e
y
y y x y x =='=
2
,ln sin π的特解. （x
x e
y cot csc +=）
3.求微分方程
的通解. （C e
e y
x =+-）
4.求微分方程0sin =+'x y y 的通解.（x
Ce
y cos =）
5.求微分方程by
ax e dx dy
+=的通解. （C ae
be by
ax =+-） 6.求微分方程0ln =-'y y y x 的通解. （Cx
e y =）
7.求微分方程0ln ln =+ydy x xdx y 的通解.（C y x =+2
2ln ln ） 8.求微分方程0cos =+'x y y 的通解. （x
Ce
y sin -=）
9.求微分方程2
211y y x -='
-的通解. （C x y =+arcsin arcsin ）
10.求微分方程02=+'xy y 的通解.（2
x Ce y -=）
11.求微分方程
y x dx dy 212-=,0
1==x y 的特解.（x x y -=2
2）
12.求微分方程122
2
+='y y y x 的通解.（11
2
-=x
Ce y ）
13.求微分方程x
x e y y e ='+)1(的通解.
14.求微分方程 0,0)12(12==+-+=x y dx x xy dy x 当时的特解. 15.求微分方程y
x e
y -='2,
==x y
的特解.
16.求微分方程
y x dx dy 212--,0
1
==x y 的特解.
17.求微分方程2
23x y y =+'的通解.
五.应用题
1.验证函数
22x
x y -
=是微分方程x y y x =-''22
的解.
2.汽车刹车前速度为20m/s,刹车获得的加速度大小为2m/s 2
,用微分方程求解汽车刹车开始到停止的时间与距离.
3.已知曲线），上点（2-0)(x f y =处的切线方程为632=-y x ,函数y 满足x y 6='',求函数y 的解析表达式.
4.列车在直线轨道上匀速行驶,当制动时列车获得加速度2/8.0s m -,求开始制动后列车的运动规律（即制动后发生的位移与时间的关系式）.
5.列车在直线轨道上以s m /20的速度行驶,当制动时列车获得加速度2/4.0s m -,问开始制动后列车的运动规律（制动后发生的位移与时间的关系）.