八年级上册数学全等三角形专题练习（word版
一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）
1．如图，点A的坐标是（2，2），若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P有_____个．
【答案】4
【解析】
【分析】
由A点坐标可得OA=22，∠AOP＝45°，分别讨论OA为腰和底边，求出点P在x轴正半轴和负半轴时，△APO是等腰三角形的P点坐标即可.
【详解】
（1）当点P在x轴正半轴上，
①如图，以OA为腰时，
∵A的坐标是（2，2），
∴∠AOP＝45°，OA＝22，
当∠AOP为顶角时，OA=OP=22，
当∠OAP为顶角时，AO=AP，
∴OPA=∠AOP=45°，
∴∠OAP=90°，
∴OP=2OA=4，
∴P的坐标是（4，0）或（22，0）.
②以OA为底边时，
∵点A的坐标是（2，2），
∴∠AOP=45°，
∵AP=OP，
∴∠OAP=∠AOP=45°，
∴∠OPA=90°，
∴OP=2， ∴P 点坐标为（2，0）.
（2）当点P 在x 轴负半轴上，
③以OA 为腰时，
∵A 的坐标是（2，2），
∴OA ＝22，
∴OA ＝OP ＝22，
∴P 的坐标是（﹣22，0）．
综上所述：P 的坐标是（2，0）或（4，0）或（22，0）或（﹣22，0）．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查等腰三角形的判定及坐标与图形性质的综合运用，注意分类讨论思想的运用是解题关键．
2．如图，在等边ABC ?中取点P 使得PA ，PB ，PC 的长分别为3， 4， 5，则APC APB S S ??+=_________．
【答案】936 【解析】
【分析】
把线段AP 以点A 为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD ，由旋转的性质、等边三角形的
性质以及全等三角形的判定定理SAS证得△ADB≌△APC，连接PD，根据旋转的性质知
△APD是等边三角形，利用勾股定理的逆定理可得△PBD为直角三角形，∠BPD＝90?，由△ADB≌△APC得S△ADB＝S△APC，则有S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD，根据等边
三角形的面积为边长平方的3
倍和直角三角形的面积公式即可得到S△ADP＋S△BPD＝
3
×32＋1
2
×3×4＝
93
6+．
【详解】
将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60?得到线段AD，连接PD ∴AD＝AP，∠DAP＝60?，
又∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60?，AB＝AC，
∴∠DAB＋∠BAP＝∠PAC＋∠BAP，
∴∠DAB＝∠PAC，
又AB=AC,AD=AP
∴△ADB≌△APC
∵DA＝PA，∠DAP＝60?，
∴△ADP为等边三角形，
在△PBD中，PB＝4，PD＝3，BD＝PC＝5，
∵32＋42＝52，即PD2＋PB2＝BD2，
∴△PBD为直角三角形，∠BPD＝90?，
∵△ADB≌△APC，
∴S△ADB＝S△APC，
∴S△APC＋S△APB＝S△ADB＋S△APB＝S△ADP＋S△BPD＝
3
4
×32＋
1
2
×3×4＝
93
6
4
+．
故答案为：
93
6+．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质与判定，解题的关键是熟知旋转的性质作出辅助线进行求解．
3．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长
_________ .
【答案】3
【解析】
【分析】
过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE?BAD，再证明
CAI?BAJ，求出°
7830
∠=∠=，然后求出
1
2
IF FJ AF
==，，通过设FJ x
=求出x ，即可求出AF的长.
【详解】
解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J
在CAE和BAD中
AC AB
CAE BAD
AE AD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴CAE?BAD
∴ICA ABJ
∠=∠
∴BFE CAB
∠=∠（8字形）
∴°
120
CFD
∠=
在CAI和BAJ中
°
90
ICA ABJ
CAI BJA
CA BA
∠=∠
?
?
∠=∠=
?
?=
?
∴CAI ?BAJ
,AI AJ CI BJ ==
∴°60CFA AFJ ∠=∠=
∴°30FAI FAE ∠=∠=
在RtAIF 和RtAJF 中
°30FAI FAE ∠=∠=
∴12
IF FJ AF ==
设FJ x = 7,4CF BF ==
则47x x +=-
3
2x ∴=
2AF FJ =
AF ∴=
3
【点睛】
此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.
4．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP ＝5，M ，N 分别是射线OA 和OB 上的动点，若△PMN 周长的最小值为5，则∠AOB 的度数为_____．
【答案】30°．
【解析】
【分析】
如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB 、OA 于M 、N ，则可证明此时△PMN 周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，
∠AOB=
12
∠P'O P''=30°. 【详解】
解：如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB 、OA 于M 、N ，
由轴对称△PMN 周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"
∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN 周长的最小
∴P'P"=5
由对称OP=OP'=OP"=5
∴△P'OP"为等边三角形
∴∠P'OP"=60
∵∠P'OB=∠POB ，∠P"OA=∠POA
∴∠AOB=
12
∠P'O P''=30°. 故答案为30°.
【点睛】 本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.
5．如图，在ABC ?和DBC ?中，40A ∠=，2AB AC ==，140BDC ∠=，BD CD =，以点D 为顶点作70MDN ∠=，两边分别交,AB AC 于点,M N ，连接MN ，则AMN ?的周长为_______.
【答案】4
【解析】
【分析】
延长AB至F，使BF=CN，连接DF，通过证明△BDF≌△CDN，及△DMN≌△DMF，从而得出MN=MF，△AMN的周长等于AB+AC的长．
【详解】
延长AB至F，使BF=CN，连接DF．
∵BD=CD，且∠BDC=140°，
∴∠BCD=∠DBC=20°．
∵∠A=40°，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠DBA=∠DCA=90°．
在Rt△BDF和Rt△CND中，
∵BF=CN，∠DBA=∠DCA，DB=DC，
∴△BDF≌△CDN，
∴∠BDF=∠CDN，DF=DN．
∵∠MDN=70°，
∴∠BDM+∠CDN=70°，
∴∠BDM+∠BDF=70°，
∴∠FDM=70°=∠MDN．
∵DF=DN，∠FDM=∠MDN，DM=DM，
∴△DMN≌△DMF，
∴MN=MF，
∴△AMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=4．
故答案为：4．
【点睛】
本题主要利用等腰三角形的性质来证明三角形全等，构造全等三角形是解答本题的关键． 6．如图，已知AB=A 1B ，A 1B 1=A 1A 2，A 2B 2=A 2A 3，A 3B 3=A 3A 4，…若∠A=70°，则锐角∠A n 的度数为______.
【答案】
1702n -? 【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理和外角的性质即可得出答案.
【详解】
在△1ABA 中，AB=A 1B ，∠A=70°
可得：∠1BAA =∠1BA A =70°
在△112B A A 中，A 1B 1=A 1A 2
可得：∠112A B A =∠121A A B
根据外角和定理可得：∠1BA A =∠112A B A +∠121A A B
∴∠112A B A =∠121A A B =
702? 同理可得：∠232A A B =
2702? ∠343A A B =
3702? …….
以此类推：∠A n =
1702n -? 故答案为：
1702
n -?. 【点睛】
本题主要考查等腰三角形、三角形的基本概念以及规律的探索，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键..
7．如图，在3×3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形．图中的△ABC 为格点三角形，在图中最多能画出_____个格点三角形与△ABC 成轴
对称．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解．
【详解】
如图，最多能画出6个格点三角形与△ABC成轴对称．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴．
8．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．
【答案】9 2
【解析】
【分析】
首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】
延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°，∠H＋∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD＋∠H＝90°，∠CDA＋∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝1
4
S△ABH，S△CDH＝
1
4
S△ABH，
∵S△OBD?S△AOE＝S△ADB?S△ABE＝S△ADH?S△CDH＝S△ACD，∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为1
2
×3×3＝
9
2
．
故填：9
2
．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．
9．如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠DAB=60°，E 是AB 的中点，F 是AC 上一个动点，则EF+BF 的最小值是________ .
【答案】33
【解析】
试题解析：∵在菱形ABCD 中，AC 与BD 互相垂直平分，
∴点B 、D 关于AC 对称，
连接ED ，则ED 就是所求的EF+BF 的最小值的线段，
∵E 为AB 的中点，∠DAB=60°，
∴DE ⊥AB ，
∴ED=22AD AE -=2263-=33，
∴EF+BF 的最小值为33．
10．如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则AFE ∠=_______度．
【答案】72．
【解析】
【分析】
根据五边形的内角和公式求出EAB ∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．
【详解】
解：∵五边形ABCDE 是正五边形，
(52)1801085EAB ABC ?
?
-?∴∠=∠==
，
BA BC =
，
36BAC BCA ?∴∠=∠=
，
同理36ABE ∠?＝，
363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠?+??＝＝＝．
故答案为：72
【点睛】
本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．
二、八年级数学轴对称三角形选择题（难） 11．如图，在射线OA ，OB 上分别截取11OA OB =，连接11A B ，在11B A ，1B B 上分别截取1212B A B B =，连接22A B ，
按此规律作下去，若11A B O α∠=，则1010A B O ∠=
（ ）
A ．102a
B ．92a
C ．20a
D ．18
a 【答案】B
【解析】
【分析】
根据等腰三角形两底角相等用α表示出22A B O ∠，依此类推即可得到结论．
【详解】
解：1212B A B B =，11A B O α∠=，
2212
A B O α∴∠=， 同理332111222
A B O αα∠=?=， 443
12A B O α∠=， 1
12n n n A B O α-∴∠=，
101092A B O α
∴∠=，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，图形的变化规律，依次求出相邻的两个角的差，得到分母成2的指数次幂变化，分子不变的规律是解题的关键．
12．如图，已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：①画射线AM ；②连结AC 、BC ；③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；④在射线AM 上截取AB ＝a ；以上画法正确的顺序是（ ）
A ．①②③④
B ．①④③②
C ．①④②③
D ．②①④③
【答案】B
【解析】
【分析】 根据尺规作等边三角形的过程逐项判断即可解答.
【详解】
解：已知一条线段的长度为a ，作边长为a 的等边三角形的方法是：
①画射线AM ；
②在射线AM 上截取AB ＝a ；
③分别以A 、B 为圆心，以a 的长为半径作圆弧，两弧交于点C ；
④连结AC 、BC ．
△ABC 即为所求作的三角形．
故选答案为B ．
【点睛】
本题考查了尺规作图和等边三角形的性质，解决本题的关键是理解等边三角形的作图过程.
13．在坐标平面上有一个轴对称图形，其中A （3，﹣
52
）和B （3，﹣112）是图形上的一对对称点，若此图形上另有一点C （﹣2，﹣9），则C 点对称点的坐标是（ ）
A ．（﹣2，1）
B ．（﹣2，﹣32）
C ．（﹣32
，﹣9） D ．（﹣2，﹣1） 【答案】A
【解析】
【分析】
先利用点A和点B的坐标特征可判断图形的对称轴为直线y=-4，然后写出点C关于直线y=-4的对称点即可．
【详解】
解：∵A（3，﹣5
2
）和B（3，﹣
11
2
）是图形上的一对对称点，
∴点A与点B关于直线y＝﹣4对称，
∴点C（﹣2，﹣9）关于直线y＝﹣4的对称点的坐标为（﹣2，1）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化，需要注意关于直线对称：关于直线x=m对称，则两点的纵坐标相同，横坐标和为2m；关于直线y=n对称，则两点的横坐标相同，纵坐标和为2n．
14．如图，△ABC、△CDE都是等腰三角形，且CA＝CB, CD＝CE,∠ACB＝∠DCE＝α,AD,BE相交于点O，点M,N分别是线段AD,BE的中点，以下4个结论:①AD＝BE;②∠DOB＝180°－α;③△CMN是等边三角形；④连OC,则OC平分∠AOE.正确的是（）
A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】
①根据全等三角形的判定定理得到△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得到AD=BE；故①正确；
②设CD与BE交于F，根据全等三角形的性质得到∠ADC=∠BEC，得到
∠DOE=∠DCE=α，根据平角的定义得到∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；
③根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠CBE，AD=BE，AC=BC根据线段的中点的定义得到AM=BN，根据全等三角形的性质得到CM=CN，∠ACM=∠BCN，得到∠MCN=α，推出△MNC不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C作CG⊥BE于G，CH⊥AD于H，根据全等三角形的性质得到CH=CG，根据角平分线的判定定理即可得到OC平分∠AOE，故④正确．
【详解】
解：①∵CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=α，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中
AC BC ACD BCE CD CE ?∠??
∠??＝＝＝ ∴△ACD ≌△BCE （SAS ），
∴AD=BE ；故①正确；
②设CD 与BE 交于F ，
∵△ACD ≌△BCE ，
∴∠ADC=∠BEC ，
∵∠CFE=∠DFO ，
∴∠DOE=∠DCE=α，
∴∠BOD=180°-∠DOE=180°-α，故②正确；
③∵△ACD ≌△BCE ，
∴∠CAD=∠CBE ，AD=BE ，AC=BC
又∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点，
∴AM=
12AD ，BN=12
BE ， ∴AM=BN ，
在△ACM 和△BCN 中 AC BC CAM CBN AM BN ?∠??
∠??＝＝＝ ∴△ACM ≌△BCN （SAS ），
∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN ，
又∠ACB=α，
∴∠ACM+∠MCB=α，
∴∠BCN+∠MCB=α，
∴∠MCN=α，
∴△MNC 不一定是等边三角形，故③不符合题意；
④过C 作CG ⊥BE 于G ，CH ⊥AD 于H ，
∴∠CHD=∠ECG=90°，∵∠CEG=∠CDH ，CE=CD ，
∴△CGE ≌△CHD （AAS ），
∴CH=CG ，
∴OC 平分∠AOE ，故④正确，
故选：B ．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定等知识点的应用，解此题的关键是根据性质进行推理，此题综合性比较强，有一定的代表性．
15．如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=，3AC =，4BC =，5AB =,将边AC 沿CE 翻折，使点A 落在AB 上的点D 处；再将边BC 沿CF 翻折，使点B 落在CD 的延长线上的点B ′处，两条折痕与斜边AB 分别交于点E 、F ，则线段EF 的长为（ ）
A ．52
B ．125
C ．4
D ．53
【答案】B
【解析】
【分析】
先利用折叠的性质证明出△ECF 是一个等腰直角三角形，因此EF=CE ，然后再根据文中条件综合得出S △ABC =12AC?BC=12
AB?CE ，求出CE 进而得出答案即可. 【详解】
根据折叠性质可知：CD=AC=3，BC=B C '=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B 'CF ，CE ⊥AB ， ∴∠DCE+∠B 'CF=∠ACE+∠BCF ，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECF=45°，
又∵CE ⊥AB ，
∴△ECF 是等腰直角三角形，
∴EF=CE ， 又∵S △ABC =
12AC?BC=12
AB?CE ， ∴AC?BC=AB?CE ， ∵3AC =，4BC =，5AB =,
∴125
CE =，
∴EF
12 5 .
所以答案为B选项.
【点睛】
本题主要考查了直角三角形与等腰三角形性质的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.
16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边三角形ABC 和等边三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④DE＝DP；⑤∠AOE＝120°；其中正确结论的个数为（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【解析】
【分析】
①由于△ABC和△CDE是等边三角形，可知AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，从而证出△ACD≌△BCE，可推知AD=BE，故①正确；
②由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC，加之∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，得到△ACP≌△BCQ （ASA），所以AP=BQ；故②正确；
③根据②△CQB≌△CPA（ASA），再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形，又由
∠PQC=∠DCE，根据内错角相等，两直线平行，可知③正确；
④根据∠QCP=60°，∠DPC=∠BCA+∠PAC＞60°，可知PD≠CD，可知④错误；
⑤利用等边三角形的性质，BC∥DE，再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO，于是
∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°，由平角的性质可得∠AOE=120°，可知⑤正确；
【详解】
①∵△ABC和△CDE为等边三角形
∴AC＝BC，CD＝CE，∠BCA＝∠DCB＝60°
∴∠ACD＝∠BCE
∴△ACD≌△BCE（SAS）
∴AD＝BE，故①正确；
由（1）中的全等得∠CBE＝∠DAC，且BC＝AC，∠ACB＝∠BCQ＝60°
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴AP＝BQ，故②正确；
∵△CQB≌△CPA，
∴PC＝PQ，且∠PCQ＝60°
∴△PCQ为等边三角形，
∴∠PQC＝∠DCE＝60°，
∴PQ∥AE，故③正确，
∵∠QCP＝60°，∠DPC＝∠BCA+∠PAC＞60°，
∴PD≠CD，
∴DE≠DP，故④DE＝DP错误；
∵BC∥DE，
∴∠CBE＝∠BED，
∵∠CBE＝∠DAE，
∴∠AOB＝∠OAE+∠AEO＝60°，
∴∠AOE＝120°，故⑤正确，
故选C．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，综合性较强，题目难度较大．
17．如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN=110°，则∠AOB=（）
A．35°B．40°C．45°D．50°
【答案】A
【解析】
【分析】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质求解．
【详解】
作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，
∵PP1关于OA对称，∠MPN=110°
∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM，
同理可得：∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，
∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，
∴△P1OP2是等腰三角形．
∴∠OP2N=∠OP1M，
∴∠P1OP2=180°-110°=70°，
∴∠AOB=35°，
故选A．
【点睛】
考查了对称的性质，解题关键是正确作出图形和证明△P1OP2是等腰三角形是．
18．如图，等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上的一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC于点D，下列结论中不一定正确的是（
）
A．PD=DQ B．DE=1
2
AC C．AE=
1
2
CQ D．PQ⊥AB
【答案】D
【解析】
过P作PF∥CQ交AC于F，∴∠FPD=∠Q，∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，∴∠A=∠AFP=60°，∴AP=PF，∵PA=CQ，∴PF=CQ，在△PFD与△DCQ
中，
FPD Q
PDE CDQ
PF CQ
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
，∴△PFD≌△QCD，∴PD=DQ，DF=CD，∴A选项正确，
∵AE=EF，∴DE=1
2
AC，∴B选项正确，∵PE⊥AC，∠A=60°，∴AE=
1
2
AP=
1
2
CQ，∴C选项
正确，故选D．
19．等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是（）
A．70°，70°B．40°，100°
C．70°，40°D．70°，70°或40°，100°
【答案】D
【解析】
分析：由等腰三角形的一个角是40度，可以分为若40°的角是顶角与若40°的角是底角去分析求解，小心别漏解．
详解：若40°的角是顶角，则底角为：（180°﹣40°）=70°，
∴此时另外两个角的度数是70°，70°；
若40°的角是底角，则另一底角为40°，
∴顶角为：180°﹣40°﹣40°=100°，
∴此时另外两个角的度数是100°，40°．
∴另外两个角的度数是：70°、70°或40°、100°．
故选：D．
点睛：此题考查了等腰三角形的性质．解题的关键是注意分类讨论思想的应用，注意别漏解．
20．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）
A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）
D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）
【答案】B
【解析】
八年级上册全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在锐角△ABC 中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M ，N 分别是AD ，AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值，再根据AD 是∠BAC 的平分线可知MH=MN ，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH ⊥AC ，垂足为H ，交AD 于M 点，过M 点作MN ⊥AB ，垂足为N ，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD 是∠BAC 的平分线，∴MH=MN ，∴BH 是点B 到直线AC 的最短距离（垂线段最短）． ∵AB=5，∠BAC=45°，∴BH== 5． ∵BM+MN 的最小值是BM+MN=BM+MH=BH=5． 故答案为5． 【点睛】 本题考查了轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2．如图，ABC ?中，90BAC ∠=?，AD BC ⊥，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点F ，
AG 平分DAC ∠．给出下列结论：①BAD C ∠=∠；②EBC C ∠=∠；③AE AF =；④//FG AC ；⑤EF FG =．其中正确的结论是______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】 ①根据等角的余角相等即可得到结果，故①正确；②如果∠EBC=∠C ，则 ∠C=12 ∠ABC ，由于∠BAC=90°，那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°，故②错误；③由BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线，得到∠ABF=∠EBD ．由于 ∠AFE=∠BAD+∠FBA ，∠AEB=∠C+∠EBD ，得到∠AFE=∠AEB ，可得③正确；④连接EG ，先证明△ABN ≌△GBN ，得到AN=GN ，证出△ANE ≌△GNF ，得∠NAE=∠NGF ，进而得到GF ∥AE ，故④正确；⑤由AE=AF ，AE=FG ，而△AEF 不一定是等边三角形，得到EF 不一定等于AE ，于是EF 不一定等于FG ，故⑤错误． 【详解】 ∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ， ∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°， ∴∠ABC=∠DAC ，∠BAD=∠C ， 故①正确； 若∠EBC=∠C ，则∠C= 12 ∠ABC ， ∵∠BAC=90°， 那么∠C=30°，但∠C 不一定等于30°， 故②错误； ∵BE 、AG 分别是∠ABC 、∠DAC 的平分线， ∴∠ABF=∠EBD ， ∵∠AFE=∠BAD+∠ABF ，∠AEB=∠C+∠EBD ， 又∵∠BAD=∠C ， ∴∠AFE=∠AEF ， ∴AF=AE ， 故③正确； ∵AG 是∠DAC 的平分线，AF=AE ， ∴AN ⊥BE ，FN=EN ， 在△ABN 与△GBN 中，
【必考题】初二数学上期末试题(带答案) 一、选择题 1．如图所示，小兰用尺规作图作△ABC 边AC 上的高BH ，作法如下： ①分别以点DE 为圆心，大于DE 的一半长为半径作弧两弧交于F ； ②作射线BF ，交边AC 于点H ； ③以B 为圆心，BK 长为半径作弧，交直线AC 于点D 和E ； ④取一点K 使K 和B 在AC 的两侧； 所以BH 就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（ ） A ．①②③④ B ．④③①② C ．②④③① D ．④③②① 2．如图，已知每个小方格的边长为1，A ，B 两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C ，使△ABC 为等腰三角形，则这样的顶点C 有（ ） A ．8个 B ．7个 C ．6个 D ．5个 3．如果2 220m m +-=，那么代数式2442m m m m m +? ?+? ?+?? 的值是()n n A ．2- B ．1- C ．2 D ．3 4．如图，ABC ?是等边三角形，0 ,20BC BD BAD =∠=，则BCD ∠的度数为( ) A ．50° B ．55° C ．60° D ．65° 5．如果2x +ax+1 是一个完全平方公式，那么a 的值是（） A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．±1 6．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则 ∠CBD 的度数为( )
A ．30° B ．45° C ．50° D ．75° 7．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD 是斜边AB 上的高，AD ＝3 cm ，则 AB 的长度是( ) A ．3cm B ．6cm C ．9cm D ．12cm 8．已知等腰三角形的一个角是100°，则它的顶角是（ ） A ．40° B ．60° C ．80° D ．100° 9．下列条件中，不能作出唯一三角形的是( ) A ．已知三角形两边的长度和夹角的度数 B ．已知三角形两个角的度数以及两角夹边的长度 C ．已知三角形两边的长度和其中一边的对角的度数 D ．已知三角形的三边的长度 10．如图，Rt △ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB=10cm ，AC=6cm ，则BE 的长度为( ) A ．10cm B ．6cm C ．4cm D ．2cm 11．如果一个多边形的每个内角的度数都是108°，那么这个多边形的边数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 12．下列计算中，结果正确的是（ ） A ．236a a a ?= B ．(2)(3)6a a a ?= C ．236()a a = D ．623a a a ÷= 二、填空题 13．把0.0036这个数用科学记数法表示，应该记作_____． 14．记x=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）…（1+2n ），且x+1=2128，则n=______． 15．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°，若AB=20，则BD 的长是 ． 16．分解因式：x 3y ﹣2x 2y+xy=______．
专题练习：因式分解 学好数学的秘密 1、学完多思考 2、多做练习题 3、善于总结规律 学好数学的秘密 1、学完多思考 要想学好数学一定要多思考。主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。独立思考是学习数学必须具备的能力。同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。 2、多做练习题 要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。 3、善于总结规律 我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为( C) ①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)； ②x2＋4x＋4＝(x＋2)2； ③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)． A．3个B．2个C．1个D．0个 2．(广东中考)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D) A．x(x2－9) B．x(x－3)2 C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3) 3．(台湾中考)下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( A) A．2x－2 B．2x＋2 C．4x＋1 D．4x＋2 解析：8x2－10x＋2＝2(4x2－5x＋1)＝2(x－1)(4x－1)，有因式2(x－1)，即2x－2 4．若实数x，y，z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( D) A．x＋y＋z＝0 B．x＋y－2z＝0 C．y＋z－2x＝0 D．z＋x－2y＝0 解析：左边＝[(x－y)＋(y－z)]2－4(x－y)(y－z)＝(x－y)2－2(x－y)(y－z)＋(y－z)2＝[(x－y)－(y－z)]2，故(x－y)－(y－z)＝0，x－2y＋z＝0 5．(宜宾中考)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( B) A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．(泸州中考)分解因式：3a2＋6a＋3＝__3(a＋1)2__． 7．(潍坊中考)分解因式：2x(x－3)－8＝__2(x－4)(x＋1)__． 8．(呼和浩特中考)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__－y(3x－y)2__．
八年级上册全等三角形专题练习（word版 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm． - 【答案】10310 【解析】 解：连接BD，在菱形ABCD中， ∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论： ①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10； ②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP -； 最小，最小值为10310 ③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； -（cm）． 综上所述，PA的最小值为10310 -． 故答案为：10310 点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． ∥，2．如图所示，ABC为等边三角形，P是ABC内任一点，PD AB，PE BC
PF AC ∥，若ABC 的周长为12cm ，则PD PE PF ++=____cm ． 【答案】4 【解析】 【分析】 先说明四边形HBDP 是平行四边形，△AHE 和△AHE 是等边三角形，然后得到一系列长度相等的线段,最后求替换求和即可． 【详解】 解：∵PD AB ，PE BC ∥ ∴四边形HBDP 是平行四边形 ∴PD=HB ∵ABC 为等边三角形,周长为12cm ∴∠B=∠A=60°,AB=4 ∵PE BC ∥ ∴∠AHE=∠B=60° ∴∠AHE=∠A=60° ∴△AHE 是等边三角形 ∴HE=AH ∵∠HFP=∠A=60° ∴∠HFP=∠AHE=60° ∴△AHE 是等边三角形， ∴FP=PH ∴PD+PE+PF=BH+(HP+PE)=BH+HE=BH+AH=AB=4cm 故答案为4cm ． 【点睛】 本题考查了平行四边形的判定和性质以及等边三角形的性质，掌握等边三角形的性质是解答本题的关键． 3．已知A 、B 两点的坐标分别为 （0，3），（2，0），以线段AB 为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC ，使∠BAC ＝90°，如果在第二象限内有一点P （a ， 12 ），且△ABP 和△ABC 的面积相等，则a ＝_____． 【答案】-8 3．
人教版八年级上册数学全等三角形专题练习（解析版） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将 △DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______． 【答案】363 【解析】 【分析】 分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可； 【详解】 解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45° ∵∠C＝45° ∴∠AME＝∠C 又∵∠AME＞∠C ∴这种情况不成立； ②若AE＝EM ∵∠B＝∠AEM＝45° ∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135° ∴∠BAE＝∠MEC 在△ABE和△ECM中， B BAE CEN AE EII C ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ， ∴△ABE≌△ECM（AAS）， ∴CE＝AB6， ∵AC＝BC2AB＝3
∴BE＝23﹣6； ③若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45° ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAE＝45° ∴AE平分∠BAC ∵AB＝AC， ∴BE＝1 BC＝3． 2 故答案为23﹣6或3． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键． 2．如图，在锐角△ABC中，AB=5，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD，AB上的动点，则BM+MN的最小值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知MH=MN，再由等腰直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】 如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M点，过M点作MN⊥AB，垂足为N，则BM+MN 为所求的最小值． ∵AD是∠BAC的平分线，∴MH=MN，∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最
D C B A 、 B 、 C 、 D 、 博瑞教育数学模拟试卷（一） 一、选择题(每小题有且只有一个答案正确，每小题4分，共40分) 1、如图，两直线a ∥b ，与∠1相等的角的个数为( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 2、不等式组x>3 x<4 ???的解集是( ) A 、3
人教版八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（） A．144°B．84°C．74°D．54° 【答案】B 【解析】 正五边形的内角是∠ABC=() 52180 5 -? =108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角 是∠ABE=∠E=() 62180 6 -? =120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°– 120°–120°–36°=84°，故选B． 2．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____． 【答案】92°． 【解析】 【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】 由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°， 根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'， 则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°， 则∠1﹣∠2=92°． 故答案为：92°．
【点睛】 考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 3．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC=_____cm2． 【答案】12cm2． 【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式，得△ACE的面积是△ACD的面积的一半，△ACD的面积是△ABC 的面积的一半． 【详解】 解：∵CE是△ACD的中线， ∴S△ACD=2S△ACE=6cm2． ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC=2S△ACD=12cm2． 故答案为12cm2． 【点睛】 此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分． 4．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______． 【答案】22 【解析】 【分析】 先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可． 【详解】 解：根据题意得，a-4=0，b-9=0，
数学八年级上册全等三角形（篇）（Word版含解析） 一、八年级数学轴对称三角形填空题（难） 1．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形 （1）如图，在ABC ?中，25,105 A ABC ∠=?∠=?，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC ?分割成两个等腰三角形，则BDA ∠的度数是______． （2）已知在ABC ?中，AB AC =，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC ?分割成两个等腰三角形，则A ∠的最小度数为________． 【答案】130? 180 7 ? ?? ? ?? 【解析】 【分析】 （1）由题意得：DA=DB，结合25 A ∠=?，即可得到答案； （2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD， ③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A ∠的度数，即可得到答案． 【详解】 （1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意， 当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°， ∴∠BDA=180°-25°×2=130°． 故答案为：130°； （2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD， ∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴4∠B=180°， ∴∠BAC=90°． ②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD， ∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA， ∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B， ∴∠BAC=3∠B， ∵∠BAC+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°，
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题仅有一个答案正确，请把你认为正确的答案前的字母填 入下表相应的空格 ） 1．在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既 是中心对称图形又是轴对称图形的是 2．如图，小手盖住的点的坐标可能为 A (46)--， B (63)-， C (52)， D (34)-， 3．下列各式中正确的是 A 416±= B 9273 -=- C 3) 3(2 -=- D 2 11 4 12 = 4． 下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是 A 正三角形 B 正方形 C 正五边形 D 正六边形 5．顺次连结对角线互相垂直的等腰梯形四边中点得到的四边形是 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 6．若点),(1y a 、),1(2y a +在直线1+=kx y 上，且21y y >，则该直线所经过的象限是 A 第一、二、三象限 B 第一、二、四象限 C 第二、三、四象限 D 第一、三、四象限 7．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得的图形是 8． 如图，是一块在电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个不同颜色的正方形组成， 晴 C 冰雹 A 雷阵雨 B 大雪 D 第8题 第2题 x y A B C D
已知中间最小的一个正方形的边长为1，那么这个矩形色块图的面积为 A 142 B 143 C 144 D 145 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填在题目中的横线上） 9．平方根等于本身的数是 ． 10．把1.952取近似数并保留两个有效数字是 ． 11．已知：如图，E （－4，2），F （－1，－1），以O 为中心，把△EFO 旋转180°， 则点E 的对应点 E ′的坐标为 ． 12．梯形的中位线长为3，高为2，则该梯形的面积为 ． 13．已知点),(11y x 、),(22y x 、……、),(n n y x 都在直线53-=x y 上，若这n 个 点的横坐标的平均数为a ，则这n 个点的纵坐标的平均数为 ． 14.等腰梯形的上底是4cm ，下底是10cm ，一个底角是60 ，则等腰梯形的腰长 是 cm ． 15．如图，已知函数y a x b =+和y kx =的图象交于点P ，则二元一次方程组 , y a x b y k x =+?? =? 的解是 ． 16．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，若BC =15，且BD ∶DC =3∶2，则D 到边AB 的距离是 ． A C 第16题 第18题
轴对称 14、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在 马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B 的距离之差最大时，这个差等于______米． 15 、如图，△ ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______ 16、等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，则另两边的长分别是______ 17、如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为 18、如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是______ (第十四题) (第十五题) (第十七题) (第十八题) 5、等边△ABC是边长为1，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周长。 16、如图，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连结CF、EF，过点F作直线FD⊥CE于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由． 17、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC 于E，求证CT=BE。 B A C D E F A C T E B M D
18、如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠C=35°，且AB+BD=DC ，求∠B 度数。 19、已知△ABC 中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来。只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） 20、如图1，已知△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。 （1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。①证明DM=DN ； ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； （2）旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM=DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。 21、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC=AD ；（2）AB=BC+AD ． A B C 备用图① A B C 备用图② A B C 备用图③ C A B D A D C N F E B M 图2 A D C F E B M 图3 A D C N F E B M 图1
第十二章《全等三角形 》 知识点归纳 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 （一）、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足：（1）形状相同的图形；（2）大小相等的图形； 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2、全等三角形的性质 （1）全等三角形对应边相等；（2）全等三角形对应角相等； 3、全等三角形的判定方法 （1）三边对应相等的两个三角形全等。SSS （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。ASA （3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。AAS （4）两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。SAS （5）斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。HL 4、角平分线的性质及判定 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 （二）灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中，必须具备三个条件，且至少要有一组边 对应相等，因此在寻找全等的条件时，总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素，如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 （1）已知条件中有两角对应相等，可找： ①夹边相等（ASA）②任一组等角的对边相等(AAS) （2）已知条件中有两边对应相等，可找 ①夹角相等(SAS)②第三组边也相等(SSS) （3）已知条件中有一边一角对应相等，可找 ①任一组角相等(AAS 或ASA)②夹等角的另一组边相等(SAS) 证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤： 1.确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系）； 2.回顾三角形判定公理，搞清还需要什么； 3.正确地书写证明格式（顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题）。 常见考法 （1）利用全等三角形的性质：①证明线段（或角）相等；②证明两条线段的和差等于另一条线段；③证明面积相等； （2）利用判定公理来证明两个三角形全等； （3）题目开放性问题，补全条件，使两个三角形全等。
B D E C A 八 年 级 第 一 学 期 期 末 试 卷 数 学 2018．1 班级 姓名 成绩 一、选择题（本大题共30分，每小题3分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在表格题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1形的是 A B C D 2．下列计算正确的是 A ．325a a a += B ．325a a a ?= C ．23 6 (2)6a a = D ．623a a a ÷= 3．叶绿体是植物进行光合作用的场所，叶绿体DNA 最早发现于衣藻叶绿体，长约0.00005米．其中，0.00005用科学记数法表示为 A ．4 0.510-? B ．4 510-? C ．5 510-? D ．3 5010-? 4．若分式 1 a a +的值等于0，则a 的值为 A ．1- B ．1 C ．2- D ．2 5．如图，点D ，E 在△ABC 的边BC 上，△ABD ≌△ACE ，其中B ，C 为对应顶点，D ，E 为对应顶点，下列结论不． 一定成立的是 A ．AC =CD B ．BE = CD C ．∠ADE =∠AED D ．∠BAE =∠CAD 6．等腰三角形的一个角是70°，它的底角的大小为 A ．70° B ．40° C ．70°或40° D ．70°或 55° 7．已知2 8x x a -+可以写成一个完全平方式，则a 可为 A ．4 B ．8 C ．16 D ．16- 8．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交x 轴的负半轴和y 轴的正半轴于A 点，B 点．分别以点A ，点B 为圆心，AB 的长为半径作弧，两弧交于P 点．若点P 的坐标为（a ，b ），则 A ．2a b = B ．2a b =
八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word 版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6． 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】 如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ． ∵△APE 的面积等于6，∴S △APE = 12AP ?CE =1 2 AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4． ∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S = 12EP ?AC =1 2 ?EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键． 2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ?=，则AB 的长度为_______．
人教版数学 2020-2021 教案 2021-2022学年度 秋季 八年级上学期 人教版数学 全等三角形课后训练 基础巩固 1．下列说法中，不正确的是( )． A ．形状相同的两个图形是全等形 B ．大小不同的两个图形不是全等形 C ．形状、大小都相同的两个三角形是全等三角形 D ．能够完全重合的两个图形是全等形 2．如图所示，△ABD ≌△BAC ，B ，C 和A ，D 分别是对应顶点，如果AB ＝4 cm ，BD ＝3 cm ，AD ＝5 cm ，那么BC 的长是( )． A ．5 cm B ．4 cm C ．3 cm D ．无法确定 3．如图所示，△ABC ≌△ADC ，∠ABC ＝70°，则∠ADC 的度数是( )． A ．70° B ．45° C ．30° D ．35° 4．如图所示，△ABC 与△DBE 是全等三角形，即△ABC ≌△DBE ，那么图中相等的角有( )． A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 5．如图所示，△ABC 与△DEF 是全等三角形，即△ABC ≌△DEF ，那么图中相等的线段有( )． A ．1组 B ．2组 C ．3组 D ．4组 6．(1)已知：如图，△ABE ≌△A CD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠C ，指出其他的对应边和对应角．
人教版数学2020-2021 (2)由对应边找对应角，由对应角找对应边有什么规律？ 能力提升 7．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M ，N 的距离，如果△PQO ≌△N MO ，则只需测出其长度的线段是( )． A ．PO B ．PQ C ．MO D ．MQ 8．如图所示是用七巧板拼成的一艘帆船，其中全等的三角形共有__________对． 9．如图所示，△ADF ≌△CBE ，且点E ，B ，D ，F 在一条直线上．判断AD 与BC 的位置关系，并加以说明． 10．某人想把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1.请你在下图中，帮他沿着虚线画出四种不同的分法．
全等三角形[知识要点] 一、全等三角形 一般三角形直角三角形 判 定 边角边（SAS）、角边角（ASA） 角角边（AAS）、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等 （HL） 性 质 对应边相等，对应角相等 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 ②全等三角形面积相等． 2．证题的思路： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ） 找任意一边（ ） 找两角的夹边（ 已知两角 ） 找夹已知边的另一角（ ） 找已知边的对角（ ） 找已知角的另一边（ 边为角的邻边 ） 任意角（ 若边为角的对边，则找 已知一边一角 ） 找第三边（ ） 找直角（ ） 找夹角（ 已知两边 AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 例1在△ABC中，AC=5，中线AD=4，则边AB的取值范围是( ) A．1 3．如图，把大小为4×4的正方形方格图形分割成两个全等图形，例如图1．请 在下图中，沿着虚线画出四种不同的分法，把4×4的正方形方格图形分割成两 个全等图形． 4．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠a的度数为 5．如图，已知0A=OB，OC=0D，下列结论中：①∠A=∠B；②DE=CE；③连OE，则0E平分∠0，正确的是( ) A．①② B。②③ C．①③ D．①②③ 6．如图，A在DE上，F在AB上，且AC=CE，∠l=∠2=∠3，则DE的长等于( )． A：DC B．BC C．AB D．AE+AC 7．如图，AB∥CD，AC∥DB，AD与BC交于0，AE⊥BC．于E，DF⊥BC于F，那 么图中全等的三角形有( )对 A．5 B．6 C．7 D．8 8.如图，把△ABC绕点C顺时针旋转35度，得到△A′B′C, A′B′交AC乎点D，已知∠A′DC=90°，求∠A的度数 9..如图，在△ABE和△ACD中，给出以下四个论断：①AB=AC；②AD=AE③AM=AN④AD⊥DC，AE⊥BE．以其中三个论断为题设，填入下面的“已知”栏中，一个论断为结论，填入下面的“求证”栏中，使之组成一个真命题，并写出证明过程 已知： 求证： 八年级数学试卷 第 1 页 共 4 页 图4 N M D C B A 图2 E D F D 图3 A C F E B 图1 N P O M A C B 2011-2012学年第一学期期末试卷 科目: 数学 年级: 八年级 时间: 100分钟 一.填空题（本题共10题，每小题3分，共30分） 1.△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为18，若AB=5,AC=6,则EF= . 2、若2 164b m ++是完全平方式，m = . . 。 3.如图1，PM=PN ，∠BOC=30°，则∠AOB= . 4.如图2，在△ABC 中，AB=AC ，AD ⊥BC 于D 点，E 、F 分别为DB 、DC 的中 点，则图中共有全等三角形 对. 5. 已知△ABC ≌△DEF, 且∠A=30°, ∠E=75°, 则∠F= . 6.如图3，在△ABC 和△FED ， AD=FC ，AB=FE ，当添加条件 时， 就可得到△ABC ≌△FED.(只需填写一个你认为正确的条件) 7.如图4, 已知AB=AC, ∠A=40°, AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D,则∠DBC= 度. 8.等腰三角形中有一个角等于500，则另外两个角的度数为 . 9、已知115a b -=，则2322a ab b a a b b +---的值是 10．若()2 190m n -+-=，将22mx ny -因式分解得 。 二.选择题（本题共10题，每小题2分，共20分） 1、在式子：23123510 ,,,,,94678xy a b c x y x a x y π+++中，分式的个数是【 】 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2．下列各式是因式分解，并且正确的是【 】 A ．()()22a b a b a b +-=- B ．123 111 a a a += +++ C ．()()2 32111a a a a a --+=-+ D ．()()2222a ab b a b a b +-=-+ 3.下列图形是轴对称图形的有【 】 八年级数学上册全册全套试卷专题练习（解析版） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB=____． 【答案】105°． 【解析】 【分析】 先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】 如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°， ∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°． 故答案为：105°． 【点睛】 此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键． 2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度． 【答案】360 ° 【解析】 如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°. 点睛：本题考查的知识点： （1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°． 3．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是 __________ ． 【答案】γ=2α+β． 【解析】 【分析】 根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】 由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β， 人教版八年级上册数学期末试卷及 答案 （每小题3分,共30分）： 1．下列运算正确的是（ ） 4= -2 B ．3-=3 C ．24±= D ．39=3 2．计算（ab 2）3的结果是（ ） A ．ab 5 B ．ab 6 C ．a 3b 5 D ．a 3b 6 3．若式子5-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是（ ） A ．x>5 B ．x ≥5 C ．x ≠5 D ．x ≥0 4．如图所示,在下列条件中,不能判断△ABD ≌ △BAC 的条件是（ ） A ．∠D=∠C,∠BAD=∠ABC B ．∠BAD=∠ABC,∠ABD=∠BAC C ．BD=AC ,∠BAD=∠ABC D ．AD=BC,BD=AC 5．下列“表情”中属于轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 6．在下列个数：301415926、10049、0.2、π1、7、11131 、3 27 中无理数的个数是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．下列图形中,以方程y-2x-2=0的解为坐标的点组成的图像是（ ） 8．任意给定一个非零实数,按下列程序计算,最后输出的结果是（ ） A ．m B ．m+1 C ．m-1 D ．m 2 (第4题图) D C B A C B 平方 结果+2m 9．如图,是某工程队在“村村通”工程中修筑的公路长度（m ）与时间（天）之间的关系图象,根据图象提供的信息,可知道公路的长度为（ ）米. A ．504 B ．432 C ．324 D ．720 10．如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 的坐标分别为 （0,0）、（5,0）、（2,3）,则顶点C 的坐标为（ ） A ．（3,7） B ．（5,3） C ．（7,3） D ．（8,2） 二、填空题（每小题3分,共18分）： 11．若x -2+y 2=0,那么x+y= . 12．若某数的平方根为a+3和2a-15,则a= . 13．等腰三角形的一个外角是80°,则其底角是 . 14．如图,已知：在同一平面内将△ABC 绕B 点旋转到△A /BC /的位置时,AA /∥B C,∠ABC=70°,∠CBC /为 . 15．如图,已知函数y=2x+b 和y=ax-3的图象交于点P （-2,-5）,则根据图象可得不等式2x+b>ax-3的解集是 . 16．如图,在△ABC 中,∠C=25°,AD⊥BC,垂足为D,且AB+BD=CD,则∠BAC的度数是 . 三、解答题（本大题8个小题,共72分）： 17．（10分）计算与化简： （1）化简：)1(18--π0)12(21214-+ -； （2）计算：（x-8y ）（x-y ）. (第10题图) (第14题图) A C / C B A / C B D A (第16题图)(完整版)新人教版八年级数学上册期末考试试题
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