人教版八年级数学上册全册全套试卷专题练习(解析版)
一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)
1.如图,已知△ABC中,AB=AC=20cm,BC=16cm,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动,同时点Q在线段CA上由C向A点运动.
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理由;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使
△BPD与△CQP全等?
(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?【答案】(1)①△BPD≌△CQP,理由见解析;②V7.5
Q
(厘米/秒);(2)点P、Q
在AB边上相遇,即经过了80
3
秒,点P与点Q第一次在AB边上相遇.
【解析】
【分析】
(1)①先求出t=1时BP=BQ=6,再求出PC=10=BD,再根据∠B=∠C证得
△BPD≌△CQP;
②根据V P≠V Q,使△BPD与△CQP全等,所以CQ=BD=10,再利用点P的时间即可得到点Q的运动速度;
(2)根据V Q>V P,只能是点Q追上点P,即点Q比点P多走AB+AC的路程,设运动x
秒,即可列出方程15
6220
2
x x,解方程即可得到结果.
【详解】
(1)①因为t=1(秒),
所以BP=CQ=6(厘米)
∵AB=20,D为AB中点,
∴BD=10(厘米)
又∵PC=BC﹣BP=16﹣6=10(厘米)∴PC=BD
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△BPD与△CQP中,
BP CQ B C PC BD =??
∠=∠??=?
, ∴△BPD ≌△CQP (SAS ), ②因为V P ≠V Q , 所以BP ≠CQ , 又因为∠B =∠C ,
要使△BPD 与△CQP 全等,只能BP =CP =8,即△BPD ≌△CPQ , 故CQ =BD =10. 所以点P 、Q 的运动时间84
663
BP t
(秒), 此时
107.5
43
Q
CQ V t
(厘米/秒).
(2)因为V Q >V P ,只能是点Q 追上点P ,即点Q 比点P 多走AB +AC 的路程 设经过x 秒后P 与Q 第一次相遇,依题意得15
62202
x x , 解得x=
803
(秒) 此时P 运动了
80
61603
(厘米) 又因为△ABC 的周长为56厘米,160=56×2+48, 所以点P 、Q 在AB 边上相遇,即经过了80
3
秒,点P 与点Q 第一次在AB 边上相遇. 【点睛】
此题考查三角形全等的证明,三角形与动点相结合的解题方法,再证明三角形全等时注意顶点的对应关系是证明的关键.
2.已知:在平面直角坐标系中,A 为x 轴负半轴上的点,B 为y 轴负半轴上的点. (1)如图1,以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt ABC ?,若2OA =,4OB =,试求C 点的坐标;
(2)
如图2,若点A 的坐标为()
-,点B 的坐标为()0,m -,点D 的纵坐标为n ,以
B 为顶点,BA 为腰作等腰Rt ABD ?.
试问:当B 点沿y 轴负半轴向下运动且其他条件都不
变时,整式22m n +-化,请说明理由;
(3)如图3,E 为x 轴负半轴上的一点,且OB OE =,OF EB ⊥于点F ,以OB 为边作等边OBM ?,连接EM 交OF 于点N ,试探索:在线段EF 、EN 和MN 中,哪条线段等于EM 与ON 的差的一半?请你写出这个等量关系,并加以证明.
【答案】(1) C(-6,-2);(2)不发生变化,值为3-;(3)EN=1
2
(EM-ON),证明见详解. 【解析】 【分析】
(1)作CQ ⊥OA 于点Q,可以证明AQC BOA ?,由QC=AD,AQ=BO,再由条件就可以求出点C 的坐标;
(2)作DP ⊥OB 于点P ,可以证明AOB BPD ?,则有BP=OB-PO=m-(-n)=m+n 为定值,从而可以求出结论2253m n +-的值不变为3-. (3)作BH ⊥EB 于点B ,由条件可以得出
∠1=30°,∠2=∠3=∠EMO=15°,∠EOF=∠BMG=45°,EO=BM,可以证明ENO BGM ?,则GM=ON,就有EM-ON=EM-GM=EG ,最后由平行线分线段成比例定理就可得出EN=1
2
(EM-ON). 【详解】
(1)如图(1)作CQ ⊥OA 于Q,
∴∠AQC=90°
, ∵ABC △为等腰直角三角形, ∴AC=AB,∠CAB=90°, ∴∠QAC+∠OAB=90°, ∵∠QAC+∠ACQ=90°, ∴∠ACQ=∠BAO,
又∵AC=AB,∠AQC=∠AOB, ∴AQC BOA ?(AAS), ∴CQ=AO,AQ=BO, ∵OA=2,OB=4, ∴CQ=2,AQ=4, ∴OQ=6, ∴C(-6,-2).
(2)如图(2)作DP ⊥OB 于点P ,
∴∠BPD=90°,
∵ABD △是等腰直角三角形, ∴AB=BD,∠ABD=∠ABO+∠OBD=90°, ∵∠OBD+∠BDP=90°, ∴∠ABO=∠BDP ,
又∵AB=BD,∠AOB=∠BPD=90°, ∴AOB BPD ? ∴AO=BP ,
∵BP=OB -PO=m-(-n)=m+n, ∵A ()
23,0-, ∴OA=3 ∴m+n=23
∴当点B 沿y 轴负半轴向下运动时,AO=BP=m+n=23 ∴整式2253m n +-3- (3)()1
2
EN EM ON =
- 证明:如图(3)所示,在ME 上取一点G 使得MG=ON,连接BG 并延长,交x 轴于H.
∵OBM为等边三角形,
∴BO=BM=MO,∠OBM=∠OMB=∠BOM=60°,∴EO=MO,∠EBM=105°,∠1=30°,
∵OE=OB,
∴OE=OM=BM,
∴∠3=∠EMO=15°,
∴∠BEM=30°,∠BME=45°,
∵OF⊥EB,
∴∠EOF=∠BME,
∴ENO BGM
,
∴BG=EN,
∵ON=MG,
∴∠2=∠3,
∴∠2=15°,
∴∠EBG=90°,
∴BG=1
2 EG,
∴EN=1
2 EG,
∵EG=EM-GM,
∴EN=1
2
(EM-GM),
∴EN=1
2
(EM-ON).
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质,等边三角形的性质,等腰三角形的性质,三角形的外角与内角的关系,全等三角形的判定与性质,平行线分线段成比例定理的运用.
3.(1)已知△ABC是等腰三角形,其底边是BC,点D在线段AB上,E是直线BC上一点,且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°(如图①).求证:EB=AD;
(2)若将(1)中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”,其他条件不变(如图②),(1)的结论是否成立,并说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【解析】
试题分析:(1)作DF∥BC 交AC 于F ,由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,证明△ABC 是等边三角形,得出∠ABC=∠ACB=60°,证出△ADF 是等边三角形,∠DFC=120°,得出AD=DF ,由已知条件得出∠FDC=∠DEC,ED=CD ,由AAS 证明△DBE≌△CFD,得出EB=DF ,即可得出结论;
(2)作DF∥BC 交AC 的延长线于F ,同(1)证出△DBE≌△CFD,得出EB=DF ,即可得出结论.
试题解析:(1)证明:如图,作DF ∥BC 交AC 于F , 则△ADF 为等边三角形 ∴AD=DF ,又∵ ∠DEC=∠DCB , ∠DEC+∠EDB=60°, ∠DCB+∠DCF=60° , ∴ ∠EDB=∠DCA ,DE=CD , 在△DEB 和△CDF 中,
120EBD DFC EDB DCF DE CD ,,
∠=∠=???
∠=∠??=?
∴△DEB ≌△CDF , ∴BD=DF ,
∴BE=AD .
(2). EB=AD 成立;
理由如下:作DF ∥BC 交AC 的延长线于F ,如图所示: 同(1)得:AD=DF ,∠FDC=∠ECD ,∠FDC=∠DEC ,ED=CD , 又∵∠DBE=∠DFC=60°, ∴△DBE ≌△CFD (AAS ), ∴EB=DF , ∴EB=AD.
点睛:此题主要考查了三角形的综合,考查等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,等腰直角三角形的判定与性质,平行线的性质等知识,综合性强,有一定的难度,证明三角形全等是解决问题的关键.
4.如图,在ABC ?中,90C ∠=?,4cm AC BC ==,点D 是斜边AB 的中点.点E 从点B 出发以1cm/s 的速度向点C 运动,点F 同时从点C 出发以一定的速度沿射线CA 方向运动,规定当点E 到终点C 时停止运动.设运动的时间为x 秒,连接DE 、DF .
(1)填空:ABC S ?=______2cm ;
(2)当1x =且点F 运动的速度也是1cm/s 时,求证:DE DF =;
(3)若动点F 以3cm /s 的速度沿射线CA 方向运动,在点E 、点F 运动过程中,如果存在某个时间x ,使得ADF ?的面积是BDE ?面积的两倍,请你求出时间x 的值. 【答案】(1)8;(2)见解析;(3)4
5
或4. 【解析】 【分析】
(1)直接可求△ABC 的面积;
(2)连接CD ,根据等腰直角三角形的性质可求:∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°,即BD=CD ,且BE=CF ,即可证△CDF ≌△BDE ,可得DE=DF ;
(3)分△ADF 的面积是△BDE 的面积的两倍和△BDE 与△ADF 的面积的2倍两种情况讨论,根据题意列出方程可求x 的值. 【详解】 解:(1)∵S △ABC =
1
2
?AC×BC
∴S△ABC=
1
2
×4×4=8(cm2)
故答案为:8
(2)如图:连接CD
∵AC=BC,D是AB中点
∴CD平分∠ACB
又∵∠ACB=90°
∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°
∴CD=BD
依题意得:BE=CF
∴在△CDF与△BDE中
BE CF
B DCA
BD CD
=
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴△CDF≌△BDE(
SAS)
∴DE=DF
(3)如图:过点D作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,
∵AD=BD,∠A=∠B=45°,∠AND=∠DMB=90°
∴△ADN≌△BDM(AAS)
∴DN=DM
当S△ADF=2S△BDE.
∴
1
2
×AF×DN=2×
1
2
×BE×DM
∴|4-3x|=2x
∴x1=4,x2=
4
5
综上所述:x=4
5
或4 【点睛】
本题考查了动点问题的函数图象,全等三角形的性质和判定,利用分类思想解决问题是本题的关键.
5.如图,在平面直角坐标系中,A 、B 坐标为()6,0、()0,6,P 为线段AB 上的一点.
(1)如图1,若P 为AB 的中点,点M 、N 分别是OA 、OB 边上的动点,且保持
AM ON =,则在点M 、N 运动的过程中,探究线段PM 、PN 之间的位置关系与数量关系,并说明理由.
(2)如图2,若P 为线段AB 上异于A 、B 的任意一点,过B 点作BD OP ⊥,交OP 、OA 分别于F 、D 两点,E 为OA 上一点,且PEA BDO =∠∠,试判断线段OD 与AE 的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)PM=PN ,PM ⊥PN ,理由见解析;(2)OD=AE ,理由见解析 【解析】 【分析】
(1)连接OP .只要证明△PON ≌△PAM 即可解决问题;
(2)作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G .由△DBO ≌△GOA ,推出OD=AG ,∠BDO=∠G ,再证明△PAE ≌△PAG 即可解决问题; 【详解】
(1)结论:PM=PN ,PM ⊥PN .理由如下: 如图1中,连接OP .
∵A 、B 坐标为(6,0)、(0,6), ∴OB=OA=6,∠AOB=90°, ∵P 为AB 的中点,
∴OP=
1
2
AB=PB=PA ,OP ⊥AB ,∠PON=∠PAM=45°, ∴∠OPA=90°,
在△PON 和△PAM 中,
ON AM PON PAM OP AP =??
∠=∠??=?
, ∴△PON ≌△PAM (SAS ), ∴PN=PM ,∠OPN=∠APM , ∴∠NPM=∠OPA=90°, ∴PM ⊥PN ,PM=PN .
(2)结论:OD=AE .理由如下:
如图2中,作AG ⊥x 轴交OP 的延长线于G . ∵BD ⊥OP ,
∴∠OAG=∠BOD=∠OFD=90°,
∴∠ODF+∠AOG=90°,∠ODF+∠OBD=90°, ∴∠AOG=∠DBO , ∵OB=OA , ∴△DBO ≌△GOA , ∴OD=AG ,∠BDO=∠G , ∵∠BDO=∠PEA , ∴∠G=∠AEP , 在△PAE 和△PAG 中,
AEP G PAE PAG AP AP ∠=∠??
∠=∠??=?
, ∴△PAE ≌△PAG (AAS ), ∴AE=AG , ∴OD=AE .
【点睛】
考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、坐标与图形性质、直角三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.
二、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)
6.(1)问题发现.
如图1,ACB ?和DCE ?均为等边三角形,点A 、D 、E 均在同一直线上,连接BE .
①求证:ADC BEC ??≌. ②求AEB ∠的度数.
③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________. (2)拓展探究.
如图2,ACB ?和DCE ?均为等腰直角三角形,90ACB DCE ∠=∠=?,点A 、D 、E 在同一直线上,CM 为DCE ?中DE 边上的高,连接BE .
①请判断AEB ∠的度数为____________.
②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________.(直接写出结论,不需证明) 【答案】(1)①详见解析;②60°;③AD BE =;(2)①90°;②2AE BE CM =+ 【解析】 【分析】
(1)易证∠ACD =∠BCE ,即可求证△ACD ≌△BCE ,根据全等三角形对应边相等可求得AD =BE ,根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小;
(2)易证△ACD ≌△BCE ,可得∠ADC =∠BEC ,进而可以求得∠AEB =90°,即可求得DM =ME =CM ,即可解题. 【详解】
解:(1)①证明:∵ACB ?和DCE ?均为等边三角形, ∴AC CB =,CD CE =,
又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=?, ∴ACD ECB ∠=∠, ∴()ADC BEC SAS ??≌. ②∵CDE ?为等边三角形, ∴60CDE ∠=?.
∵点A 、D 、E 在同一直线上, ∴180120ADC CDE ∠=?-∠=?, 又∵ADC BEC ??≌,
∴120ADC BEC ∠=∠=?, ∴1206060AEB ∠=?-?=?. ③AD BE =
ADC BEC ??≌, ∴AD BE =. 故填:AD BE =;
(2)①∵ACB ?和DCE ?均为等腰直角三角形, ∴AC CB =,CD CE =, 又∵90ACB DCE ∠=∠=?,
∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠, ∴ACD ECB ∠=∠, 在ACD ?和BCE ?中, AC CB ACD ECB CD CE =??
∠=∠??=?
, ∴E ACD BC ??≌,
∴
ADC BEC ∠∠=.
∵点A 、D 、E 在同一直线上,
∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=?-∠=?-?=?, ∴1351354590AEB CED ∠=?-∠=?-?=?. ②∵CDA CEB ??≌,
∴
BE AD =.
∵CD CE =,CM DE ⊥,
∴DM ME =. 又∵90DCE ∠=?, ∴2DE CM =,
∴2AE AD DE BE CM =+=+. 故填:①90°;②2AE BE CM =+. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定,考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质,本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键.
7.如图所示,已知ABC ?中,10AB AC BC ===厘米,M 、N 分别从点A 、点B 同时出发,沿三角形的边运动,已知点M 的速度是1厘米/秒的速度,点N 的速度是2厘米/秒,当点N 第一次到达B 点时,M 、N 同时停止运动. (1)M 、N 同时运动几秒后,M 、N 两点重合? (2)M 、N 同时运动几秒后,可得等边三角形AMN ??
(3)M 、N 在BC 边上运动时,能否得到以MN 为底边的等腰AMN ?,如果存在,请
求出此时M 、N 运动的时间?
【答案】(1)10;(2)点M 、N 运动
10
3
秒后,可得到等边三角形AMN ?;(3)当点M 、N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰AMN ?,此时M 、N 运动的时间为40
3
秒. 【解析】 【分析】
(1)设点M 、N 运动x 秒后,M 、N 两点重合,1102x x ?+=;(2)设点M 、N 运动t 秒后,可得到等边三角形AMN ?,如图①,
1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-;(3)如图
②,假设AMN ?是等腰三角形,根据等腰三角形性质证ACB ?是等边三角形,再证
ACM ?≌ABN ?(AAS ),得CM BN =,设当点M 、N 在BC 边上运动时,M 、
N 运动的时间y 秒时,AMN ?是等腰三角形,故10CM y =-,302NB y =-,由
CM NB =,得10302y y -=-;
【详解】
解:(1)设点M 、N 运动x 秒后,M 、N 两点重合,
1102x x ?+=
解得:10x =
(2)设点M 、N 运动t 秒后,可得到等边三角形AMN ?,如图①
1AM t t =?=,102AN AB BN t =-=-
∵三角形AMN ?是等边三角形 ∴102t t =- 解得103
t =
∴点M 、N 运动
10
3
秒后,可得到等边三角形AMN ?. (3)当点M 、N 在BC 边上运动时,可以得到以MN 为底边的等腰三角形, 由(1)知10秒时M 、N 两点重合,恰好在C 处, 如图②,假设AMN ?是等腰三角形, ∴AN AM =,
∴AMN ANM ∠=∠, ∴AMC ANB ∠=∠, ∵AB BC AC ==, ∴ACB ?是等边三角形, ∴C B ∠=∠, 在ACM ?和ABN ?中,
∵AC AB C B AMC ANB =??
∠=∠??∠=∠?
, ∴ACM ?≌ABN ?(AAS ), ∴CM BN =,
设当点M 、N 在BC 边上运动时,M 、N 运动的时间y 秒时,AMN ?是等腰三角形, ∴10CM y =-,302NB y =-,CM NB =,
10302y y -=-
解得:40
3y =
,故假设成立. ∴当点M 、N 在BC 边上运动时,能得到以MN 为底边的等腰AMN ?,此时M 、N 运动的时间为
40
3
秒.
【点睛】
考核知识点:等边三角形判定和性质,全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.
8.在等边ABC ?中,点O 在BC 边上,点D 在AC 的延长线上且OA OD =.
(1)如图1,若点O 为BC 中点,求COD ∠的度数; (2)如图2,若点O 为BC 上任意一点,求证AD AB BO =+.
(3)如图3,若点O 为BC 上任意一点,点D 关于直线BC 的对称点为点P ,连接
,AP OP ,请判断AOP ?的形状,并说明理由.
【答案】(1)30;(2)见解析;(3)AOP ?是等边三角形,理由见解析. 【解析】 【分析】
(1)根据三角形的等边三角形的性质可求1
302
CAO BAC ∠=
∠=?且,90AO BC AOC ⊥∠=?,根据OA OD =,等腰三角形的性质得到D ∠的度数,再通过
内角和定理求AOD ∠,即可求出COD ∠的度数.
(2)过O 作//OE AB ,OE 交AD 于E 先证明COE ?为等边三角形,再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=?,120DCO ∠=?,再证明()AOE DOC AAS ???,得到
CD EA =,再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过,又因为AD AC CD =+,通过等量代换即可得到答案.
(3)通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ???,得到OP OD =,又因为OA OD =,得到AO=OP ,证得AOP ?为等腰三角形,如解析辅助线,由(2)可知得
AOE DOC ???得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°
,即可证得AOP ?是等边三角形. 【详解】
(1)∵ABC ?为等边三角形 ∴60BAC ∠=? ∵O 为BC 中点
∴1
302CAO BAC ∠=∠=?
且,90AO BC AOC ⊥∠=? ∵OA OD =
∴AOD ?中,30D CAO ∠=∠=? ∴180120AOD D CAO ∠=?-∠-∠=? ∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=?
(2)过O作//
OE AB,OE交AD于E ∵//
OE AB
∴60
EOC ABC
∠=∠=?
60
CEO CAB
∠=∠=?
∴COE
?为等边三角形
∴OE OC CE
==
180120
AEO CEO
∠=?-∠=?
180120
DCO ACB
∠=?-∠=?
又∵OA OD
=
∴EAO CDO
∠=∠
在AOE
?和COD
?中
AOE DOC
EAO CDO
OA OD
∠=∠
?
?
∠=∠
?
?=
?
∴()
AOE DOC AAS
???
∴CD EA
=
∵EA AC CE
=-
BO BC CO
=-
∴EA BO
=
∴BO CD
=,
∵AB AC
=,AD AC CD
=+
∴AD AB BO
=+
(3)AOP
?为等边三角形
证明过程如下:
连接,
PC PD,延长OC交PD于F
∵P D 、关于OC 对称
∴,90PF DF PFO DFO =∠=∠=? 在ODF ?与OPF ?中,
PF DF PFO DFO OF OF =??
∠=∠??=?
∴()ODF OPF SAS ??? ∴OP OD =,POC DOC ∠=∠ ∵OA OD = ∴AO=OP
∴AOP ?为等腰三角形
过O 作//OE AB ,OE 交AD 于E 由(2)得AOE DOC ??? ∴AOE DOC ∠=∠ 又∵POC DOC ∠=∠ ∴AOE POF ∠=∠
∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠ 即AOP COE ∠=∠ ∵AB ∥OE ,∠B=60° ∴60COE B ∠=∠=? ∴60AOP COE ∠=∠=° ∴AOP ?是等边三角形. 【点睛】
本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题,灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系,以及等边三角形的性质是解答此题的关键.
9.如图,△ABC 中,AB =BC =AC =12cm ,现有两点M 、N 分别从点A .点B 同时出发,沿三角形的边运动,已知点M 的速度为2cm /s ,点N 的速度为3cm /s .当点N 第一次到达
B点时,M、N同时停止运动.
(1)点M、N运动秒后,△AMN是等边三角形?
(2)点M、N在BC边上运动时,运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN?
(3)M、N同时运动几秒后,△AMN是直角三角形?请说明理由.
【答案】(1)12
5
;(2)
48
5
;(3)点M、N运动3秒或
12
7
秒或10秒或9秒后,
△AMN为直角三角形.
【解析】
【分析】
(1)当AM=AN时,△MNA是等边三角形.设运动时间为t秒,构建方程即可解决问题;
(2)点M、N在BC边上运动时,满足CM=BN时,可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN.构建方程即可解决问题;
(3)据题意设点M、N运动t秒后,可得到直角三角形△AMN,分四种情况讨论即可.【详解】
(1)当AM=AN时,△MNA是等边三角形,设运动时间为t秒
则有:2t=12﹣3t
解得t=12 5
故点M、N运动12
5
秒后,△AMN是等边三角形;
(2)点M、N在BC边上运动时,满足CM=BN时,可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN
则有:2t﹣12=36﹣3t
解得t=48 5
故运动48
5
秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN;
(3)设点M、N运动t秒后,可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上,N在AB上,∠ANM=90°时,如图
∵∠A=60°
∴∠AMN=30°
∴AM=2AN
则有2t=2(12﹣3t)
∴t=3;
②当M在AC上,N在AB上,∠AMN=90°时,如图
∵∠A=60°
∴∠ANM=30°
∴2AM=AN
∴4t=12﹣3t
∴t=12
7
;
③当M、N都在BC上,∠ANM=90°时,如图
CN=3t﹣24=6
解得t=10;
④当M、N都在BC上,∠AMN=90°时,则N与B重合,M正好处于BC的中点,如图
此时2t=12+6
解得t=9;
综上所述,点M、N运动3秒或12
7
秒或10秒或9秒后,△AMN为直角三角形.
【点睛】
本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质,熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
10.小明在学习了“等边三角形”后,激发了他的学习和探究的兴趣,就想考考他的朋友小崔,小明作了一个等边ABC
?,如图1,并在边AC上任意取了一点F(点F不与点A、点C重合),过点F作FH AB
⊥交AB于点H,延长CB到G,使得BG AF
=,连接FG交AB于点l.
(1)若10
AC=,求HI的长度;
(2)如图2,延长BC到D,再延长BA到E,使得AE BD
=,连接ED,EC,求证:ECD EDC
∠=∠.
【答案】(1)HI =5;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)作FP∥BC交AB于点P,证明APF
?是等边三角形得到AH=PH,再证明
PFI BGI
???得到PI=BI,于是可得HI =1
2
AB,即可求解;
(2)延长BD至Q,使DQ=AB,连结EQ,就可以得出BE=BQ,得出△BEQ是等边三角形,就可以得出BE=QE,得出△BCE≌△QDE就可以得出结论.
【详解】
解:如图1,作FP∥BC交AB于点P,
∵ABC
?是等边三角形,